Ang linear equation ay tinatawag homogenous kung ang intercept nito ay zero, at hindi homogenous kung hindi man. Ang isang sistema na binubuo ng mga homogenous na equation ay tinatawag na homogenous at may pangkalahatang anyo:
Malinaw, ang anumang homogenous na sistema ay pare-pareho at may zero (walang halaga) na solusyon. Samakatuwid, para sa mga homogenous na sistema linear na equation ang isa ay kadalasang kailangang maghanap ng sagot sa tanong ng pagkakaroon ng mga nonzero na solusyon. Ang sagot sa tanong na ito ay maaaring mabalangkas bilang sumusunod na teorama.
Teorama . Ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay may nonzero na solusyon kung at kung ang ranggo nito ay mas mababa sa bilang ng mga hindi alam. .
Patunay: Ipagpalagay na ang isang sistema na ang ranggo ay pantay ay may isang nonzero na solusyon. Malinaw, hindi lalampas sa . Sa kaso ang sistema ay may natatanging solusyon. Dahil ang sistema ng homogenous linear equation ay palaging may zero na solusyon, tiyak na ang zero na solusyon ang magiging natatanging solusyon na ito. Kaya, ang mga nonzero na solusyon ay posible lamang para sa .
Bunga 1 : Ang isang homogenous na sistema ng mga equation, kung saan ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam, ay palaging may nonzero na solusyon.
Patunay: Kung ang sistema ng mga equation ay may , kung gayon ang ranggo ng sistema ay hindi lalampas sa bilang ng mga equation, i.e. . Kaya, ang kondisyon ay nasiyahan at, samakatuwid, ang sistema ay may isang nonzero na solusyon.
Bunga 2 : Ang isang homogenous na sistema ng mga equation na may mga hindi alam ay may nonzero na solusyon kung at kung ang determinant nito ay zero.
Patunay: Ipagpalagay na ang isang sistema ng linear homogeneous equation na ang matrix na may determinant ay may nonzero na solusyon. Pagkatapos, ayon sa napatunayang teorama, , na nangangahulugan na ang matrix ay degenerate, i.e. .
Kronecker-Capelli theorem: Ang SLE ay pare-pareho kung at kung ang ranggo ng matrix ng system ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix ng sistemang ito. Ang isang system ur-th ay tinatawag na compatible kung mayroon itong kahit isang solusyon.Homogeneous na sistema ng mga linear algebraic equation.
Ang sistema ng m linear equation na may n variable ay tinatawag na sistema ng linear homogeneous equation kung ang lahat ng libreng terms ay katumbas ng 0. Ang sistema ng linear homogeneous equation ay palaging magkatugma, dahil ito ay palaging may hindi bababa sa isang zero na solusyon. Ang isang sistema ng linear homogeneous equation ay may nonzero na solusyon kung at kung ang ranggo ng matrix ng mga coefficient nito sa mga variable ay mas mababa sa bilang ng mga variable, i.e. para sa ranggo A (n. Anumang linear na kumbinasyon
mga solusyon ng sistema ng mga linya. homogenous Ang ur-ii ay isa ring solusyon sa sistemang ito.
Ang isang sistema ng mga linearly independent na solusyon na e1, e2,…,ek ay tinatawag na fundamental kung ang bawat solusyon ng system ay isang linear na kumbinasyon ng mga solusyon. Theorem: kung ang ranggo r ng matrix ng mga coefficient sa mga variable ng sistema ng linear homogeneous equation ay mas mababa sa bilang ng mga variable n, kung gayon ang anumang pangunahing sistema ng mga solusyon ng system ay binubuo ng n-r solusyon. Kaya karaniwang desisyon mga sistema ng lin. walang asawa Ang ur-th ay may anyo: c1e1+c2e2+…+ckek, kung saan ang e1, e2,…, ek ay anumang pangunahing sistema ng mga solusyon, c1, c2,…,ck ay mga arbitrary na numero at k=n-r. Ang pangkalahatang solusyon ng isang sistema ng m linear equation na may n variable ay katumbas ng kabuuan
ang pangkalahatang solusyon ng sistemang nauugnay dito ay homogenous. linear equation at isang arbitrary na partikular na solusyon ng sistemang ito.
7. Mga linear na espasyo. Mga subspace. Batayan, sukat. Linear na shell. Ang linear na espasyo ay tinatawag n-dimensional, kung naglalaman ito ng isang sistema ng mga linearly independent vectors, at anumang sistema ng mas maraming vectors ay linearly dependent. Tinatawag ang numero dimensyon (bilang ng mga sukat) linear space at tinutukoy ng . Sa madaling salita, ang dimensyon ng espasyo ay maximum na bilang linearly independent vectors ng espasyong ito. Kung mayroong ganoong numero, ang espasyo ay sinasabing may hangganan-dimensional. Kung para sa alinman natural na numero n sa espasyo mayroong isang sistema na binubuo ng mga linearly independent vectors, kung gayon ang nasabing espasyo ay tinatawag na infinite-dimensional (isulat: ). Sa mga sumusunod, maliban kung iba ang nakasaad, isasaalang-alang ang mga finite-dimensional na espasyo.
Ang batayan ng isang n-dimensional linear space ay isang ordered set ng mga linearly independent vectors ( mga batayan ng vector).
Theorem 8.1 sa pagpapalawak ng isang vector sa mga tuntunin ng isang batayan. Kung ito ay isang batayan ng isang n-dimensional na linear na espasyo, kung gayon ang anumang vector ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
at, bukod dito, sa isang natatanging paraan, i.e. ang mga koepisyent ay natatanging tinutukoy. Sa madaling salita, ang anumang space vector ay maaaring mapalawak sa isang batayan at, bukod dito, sa isang natatanging paraan.
Sa katunayan, ang dimensyon ng espasyo ay . Ang sistema ng mga vector ay linearly independent (ito ang batayan). Pagkatapos sumali sa batayan ng anumang vector , nakuha namin ang linearly sistemang umaasa(dahil ang sistemang ito ay binubuo ng mga vector sa isang n-dimensional na espasyo). Sa pamamagitan ng pag-aari ng 7 linearly dependent at linearly independent vectors, nakuha namin ang konklusyon ng theorem.
Ang pamamaraang Gaussian ay may ilang mga disadvantages: imposibleng malaman kung ang sistema ay pare-pareho o hindi hanggang ang lahat ng mga pagbabagong kinakailangan sa pamamaraang Gaussian ay naisagawa; ang Gaussian method ay hindi angkop para sa mga system na may letter coefficients.
Isaalang-alang ang iba pang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ginagamit ng mga pamamaraang ito ang konsepto ng ranggo ng isang matrix at binabawasan ang solusyon ng anumang pinagsamang sistema sa solusyon ng isang sistema kung saan nalalapat ang panuntunan ni Cramer.
Halimbawa 1 Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng sumusunod na sistema ng mga linear equation gamit ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng pinababang homogenous na sistema at isang partikular na solusyon ng inhomogeneous system.
1. Gumagawa kami ng matrix A at ang augmented matrix ng system (1)
2. Galugarin ang system (1) para sa compatibility. Upang gawin ito, nakita namin ang mga ranggo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Kung ito ay lumabas na , pagkatapos ay ang system (1) hindi magkatugma. Kung makuha natin iyon , kung gayon ang sistemang ito ay pare-pareho at malulutas namin ito. (Ang consistent na pag-aaral ay batay sa Kronecker-Capelli theorem).
a. Nahanap namin rA.
Hanapin rA, isasaalang-alang namin ang sunud-sunod na hindi zero na mga menor de edad ng una, pangalawa, atbp. na mga order ng matrix A at ang mga menor de edad na nakapaligid sa kanila.
M1=1≠0 (1 ay kinuha mula sa itaas na kaliwang sulok ng matrix A).
Bordering M1 ang pangalawang row at pangalawang column ng matrix na ito. 
. Nagpatuloy kami sa hangganan M1 ang pangalawang linya at ang pangatlong column..gif" width="37" height="20 src=">. Ngayon, border namin ang non-zero minor M2′ pangalawang utos.
Meron kami: 
(dahil ang unang dalawang column ay pareho)
(dahil proporsyonal ang pangalawa at pangatlong linya).
Nakikita natin yan rA=2, at ang batayang minor ng matrix A.
b. Nahanap namin.
Sapat na pangunahing menor de edad M2′ matrice A border na may column ng mga libreng miyembro at lahat ng linya (mayroon lang tayong huling linya).
. Ito ay sumusunod mula dito na M3′′ nananatiling batayang minor ng matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
kasi M2′- batayang minor ng matrix A mga sistema (2) , kung gayon ang sistemang ito ay katumbas ng sistema (3) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (2) (para sa M2′ ay nasa unang dalawang hanay ng matrix A).
(3)
Dahil ang pangunahing menor de edad ay https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Sa sistemang ito, dalawang libreng hindi alam ( x2 at x4 ). Kaya FSR mga sistema (4) ay binubuo ng dalawang solusyon. Upang mahanap ang mga ito, nagtatalaga kami ng mga libreng hindi alam (4) mga halaga muna x2=1 , x4=0 , at pagkatapos - x2=0 , x4=1 .
Sa x2=1 , x4=0 makuha namin:
.
Ang sistemang ito ay mayroon na ang tanging bagay solusyon (maaari itong matagpuan sa pamamagitan ng panuntunan ng Cramer o ng anumang iba pang paraan). Ang pagbabawas ng unang equation mula sa pangalawang equation, nakukuha natin:
Ang magiging desisyon niya x1= -1 , x3=0 . Ibinigay ang mga halaga x2 at x4 , na ibinigay namin, nakuha namin ang una pangunahing solusyon mga sistema (2) : .
Ngayon ay ipinasok namin (4) x2=0 , x4=1 . Nakukuha namin:
.
Niresolba namin ang sistemang ito gamit ang teorem ni Cramer:
.
Nakukuha namin ang pangalawang pangunahing solusyon ng system (2) : .
Mga solusyon β1 , β2 at make up FSR mga sistema (2) . Kung gayon ang pangkalahatang solusyon nito ay
γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Dito C1 , C2 ay mga di-makatwirang pare-pareho.
4. Maghanap ng isa pribado solusyon heterogenous na sistema(1) . Tulad ng sa talata 3 , sa halip na ang sistema (1) isaalang-alang ang katumbas na sistema (5) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (1) .
(5)
Inilipat namin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi x2 at x4.
(6)
Bigyan natin ng libreng mga hindi kilala x2 at x4 mga arbitrary na halaga, halimbawa, x2=2 , x4=1 at isaksak ang mga ito (6) . Kunin natin ang sistema
Ang sistemang ito ay may natatanging solusyon (dahil ang determinant nito М2′0). Ang paglutas nito (gamit ang Cramer theorem o ang Gauss method), nakuha natin x1=3 , x3=3 . Ibinigay ang mga halaga ng mga libreng hindi alam x2 at x4 , nakukuha namin partikular na solusyon ng isang inhomogeneous system(1)α1=(3,2,3,1).
5. Ngayon ay nananatiling magsulat pangkalahatang solusyon α ng isang inhomogeneous system(1) : ito ay katumbas ng kabuuan pribadong desisyon ang sistemang ito at pangkalahatang solusyon ng pinababang homogenous na sistema nito (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Ibig sabihin nito: 
(7)
6. Pagsusulit. Upang suriin kung nalutas mo nang tama ang system (1) , kailangan natin ng pangkalahatang solusyon (7) kapalit sa (1) . Kung ang bawat equation ay nagiging pagkakakilanlan ( C1 at C2 dapat sirain), kung gayon ang solusyon ay matatagpuan nang tama.
Papalitan namin (7) halimbawa, sa huling equation lamang ng system (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Nakukuha namin ang: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Saan -1=-1. Nagkaroon kami ng identity. Ginagawa namin ito sa lahat ng iba pang mga equation ng system (1) .
Magkomento. Karaniwang medyo mahirap ang pag-verify. Maaari naming irekomenda ang sumusunod na "bahagyang pag-verify": sa pangkalahatang solusyon ng system (1) magtalaga ng ilang mga halaga sa mga di-makatwirang constant at palitan lamang ang nagresultang partikular na solusyon sa mga itinapon na equation (ibig sabihin, sa mga equation na iyon mula sa (1) na hindi kasama sa (5) ). Kung nakakuha ka ng mga pagkakakilanlan, kung gayon malamang, solusyon ng system (1) natagpuan nang tama (ngunit ang naturang tseke ay hindi nagbibigay ng buong garantiya ng kawastuhan!). Halimbawa, kung sa (7) ilagay C2=- 1 , C1=1, pagkatapos ay makukuha natin ang: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Ang pagpapalit sa huling equation ng system (1), mayroon tayong: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ibig sabihin, –1=–1. Nagkaroon kami ng identity.
Halimbawa 2 Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation (1) , na nagpapahayag ng mga pangunahing hindi alam sa mga tuntunin ng mga libre.
Solusyon. Tulad ng sa halimbawa 1, bumuo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ng mga matrice na ito. Ngayon, iiwan na lang namin ang mga equation ng system (1) , ang mga coefficient nito ay kasama sa basic minor na ito (ibig sabihin, mayroon tayong unang dalawang equation) at isaalang-alang ang system na binubuo ng mga ito, na katumbas ng system (1).
Ilipat natin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation na ito.
sistema (9) nalulutas namin sa pamamagitan ng pamamaraang Gaussian, isinasaalang-alang ang mga tamang bahagi bilang mga libreng miyembro.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Opsyon 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Opsyon 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Opsyon 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opsyon 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Magpapatuloy kami sa pagpapakintab ng pamamaraan mga pagbabagong elementarya sa homogenous na sistema ng mga linear na equation.
Ayon sa mga unang talata, ang materyal ay maaaring mukhang mayamot at karaniwan, ngunit ang impression na ito ay mapanlinlang. Magkakaroon ng maraming bagong impormasyon bilang karagdagan sa karagdagang pag-unlad ng mga diskarte, kaya mangyaring subukang huwag pabayaan ang mga halimbawa sa artikulong ito.
Ano ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation?
Ang sagot ay nagmumungkahi mismo. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay homogenous kung ang libreng termino lahat ang equation ng system ay zero. Halimbawa:
Ito ay lubos na malinaw na ang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, ibig sabihin, laging may solusyon. At, una sa lahat, ang tinatawag na walang kuwenta solusyon 
. Trivial, para sa mga hindi naiintindihan ang kahulugan ng pang-uri sa lahat, ay nangangahulugang bespontovoe. Hindi sa akademya, siyempre, ngunit sa katinuan =) ... Bakit kailangan mong mag-aral, alamin natin kung ang sistemang ito ay may iba pang mga solusyon:
Halimbawa 1
Solusyon: upang malutas ang isang homogenous na sistema ito ay kinakailangan upang magsulat system matrix at sa tulong ng mga elementarya na pagbabago ay dalhin ito sa isang stepped form. Tandaan na hindi na kailangang isulat dito ang vertical bar at zero column ng mga libreng miyembro - pagkatapos ng lahat, kahit anong gawin mo sa mga zero, mananatili silang zero: 
(1) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -3.
(2) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1.
Ang paghahati sa ikatlong hanay ng 3 ay hindi gaanong saysay.
Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na homogenous na sistema 
, at, paglalapat ng reverse move ng Gaussian method, madaling i-verify na kakaiba ang solusyon.
Sagot: 
Bumuo tayo ng malinaw na pamantayan: isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay may maliit na solusyon lamang, kung ranggo ng system matrix(v kasong ito 3) ay katumbas ng bilang ng mga variable (sa kasong ito, 3 mga PC.).
Nag-iinit kami at ini-tune ang aming radyo sa isang alon ng elementarya na pagbabago:
Halimbawa 2
Lutasin ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation 
Upang tuluyang ayusin ang algorithm, suriin natin ang panghuling gawain:
Halimbawa 7
Lutasin ang isang homogenous system, isulat ang sagot sa vector form. 
Solusyon: isinulat namin ang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dinadala namin ito sa isang stepped form: 
(1) Ang tanda ng unang linya ay binago. Muli, iginuhit ko ang pansin sa paulit-ulit na natutugunan na pamamaraan, na nagbibigay-daan sa iyo upang makabuluhang pasimplehin ang sumusunod na aksyon.
(1) Ang unang linya ay idinagdag sa ika-2 at ika-3 linya. Ang unang linya na pinarami ng 2 ay idinagdag sa ika-4 na linya.
(3) Ang huling tatlong linya ay proporsyonal, dalawa sa kanila ang tinanggal.
Bilang isang resulta, ang isang karaniwang step matrix ay nakuha, at ang solusyon ay nagpapatuloy kasama ang knurled track:
- pangunahing mga variable;
ay mga libreng variable.
Ipinapahayag namin ang mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libreng variable. Mula sa 2nd equation:
- kapalit sa 1st equation:
Kaya ang pangkalahatang solusyon ay:
Dahil mayroong tatlong libreng variable sa halimbawang isinasaalang-alang, ang pangunahing sistema ay naglalaman ng tatlong vectors.
Palitan natin ang isang triple ng mga halaga 
sa pangkalahatang solusyon at kumuha ng vector na ang mga coordinate ay nakakatugon sa bawat equation ng homogenous system. At muli, inuulit ko na lubos na kanais-nais na suriin ang bawat natanggap na vector - hindi ito kukuha ng napakaraming oras, ngunit ito ay makatipid ng isang daang porsyento mula sa mga pagkakamali.
Para sa isang triple ng mga halaga 
hanapin ang vector
At sa wakas para sa triple 
nakuha namin ang pangatlong vector:
Sagot: , saan
Ang mga nagnanais na maiwasan ang mga fractional na halaga ay maaaring isaalang-alang ang triplets 
at makuha ang sagot sa katumbas na anyo:
Speaking of fractions. Tingnan natin ang matrix na nakuha sa problema 
at tanungin ang tanong - posible bang gawing simple ang karagdagang solusyon? Pagkatapos ng lahat, dito namin unang ipinahayag ang pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga fraction, pagkatapos ay ang pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga fraction, at, dapat kong sabihin, ang prosesong ito ay hindi ang pinakamadali at hindi ang pinaka-kaaya-aya.
Ang pangalawang solusyon:
Ang ideya ay subukan pumili ng iba pang mga pangunahing variable. Tingnan natin ang matrix at pansinin ang dalawa sa ikatlong hanay. Kaya bakit hindi makakuha ng zero sa tuktok? Gumawa tayo ng isa pang elementarya na pagbabago:
Hayaan M Ang 0 ay ang hanay ng mga solusyon ng homogenous na sistema (4) ng mga linear na equation.
Kahulugan 6.12. Mga vector Sa 1 ,Sa 2 , …, may p, na mga solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, ay tinatawag pangunahing hanay ng mga solusyon(pinaikling FNR) kung
1) mga vector Sa 1 ,Sa 2 , …, may p linearly independent (iyon ay, wala sa kanila ang maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng iba);
2) anumang iba pang solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga solusyon Sa 1 ,Sa 2 , …, may p.
Tandaan na kung Sa 1 ,Sa 2 , …, may p ay ilang f.n.r., pagkatapos ay sa pamamagitan ng expression k 1× Sa 1 + k 2× Sa 2 + … + kp× may p maaaring ilarawan ang buong set M 0 solusyon sa system (4), kaya ito ay tinatawag na pangkalahatang pagtingin sa solusyon ng system (4).
Teorama 6.6. Ang anumang hindi tiyak na homogenous na sistema ng mga linear na equation ay may pangunahing hanay ng mga solusyon.
Ang paraan upang mahanap ang pangunahing hanay ng mga solusyon ay ang mga sumusunod:
Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation;
Build ( n – r) ng mga partikular na solusyon ng sistemang ito, habang ang mga halaga ng mga libreng hindi alam ay dapat mabuo matris ng pagkakakilanlan;
Isulat ang pangkalahatang anyo ng solusyon na kasama sa M 0 .
Halimbawa 6.5. Hanapin ang pangunahing hanay ng mga solusyon ng sumusunod na sistema:
Solusyon. Hanapin natin ang pangkalahatang solusyon ng sistemang ito.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Ang sistemang ito ay may limang hindi alam ( n= 5), kung saan mayroong dalawang pangunahing hindi alam ( r= 2), tatlong libreng hindi alam ( n – r), iyon ay, ang pangunahing hanay ng mga solusyon ay naglalaman ng tatlong mga vector ng solusyon. Buuin natin sila. Meron kami x 1 at x 3 - pangunahing hindi alam, x 2 , x 4 , x 5 - libreng hindi alam
Mga halaga ng mga libreng hindi alam x 2 , x 4 , x 5 bumuo ng identity matrix E ikatlong order. Nakuha na ang mga vectors Sa 1 ,Sa 2 , Sa 3 anyo f.n.r. sistemang ito. Kung gayon ang hanay ng mga solusyon ng homogenous na sistemang ito ay magiging M 0 = {k 1× Sa 1 + k 2× Sa 2 + k 3× Sa 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).
Alamin natin ngayon ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng mga nonzero na solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, sa madaling salita, ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang pangunahing hanay ng mga solusyon.
Ang isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay may mga non-zero na solusyon, iyon ay, ito ay hindi tiyak kung
1) ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam;
2) sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam;
3) kung sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, at ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero (i.e. | A| = 0).
Halimbawa 6.6. Sa anong halaga ng parameter a homogenous na sistema ng mga linear na equation 
may mga non-zero na solusyon?
Solusyon. Buuin natin ang pangunahing matrix ng sistemang ito at hanapin ang determinant nito: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. Ang determinant ng matrix na ito ay katumbas ng zero kapag a = –4.
Sagot: –4.
7. Arithmetic n-dimensional na espasyo ng vector
Pangunahing konsepto
Sa mga nakaraang seksyon, nakatagpo na namin ang konsepto ng isang hanay ng mga totoong numero na matatagpuan sa tiyak na pagkakasunud-sunod. Ito ay isang row matrix (o column matrix) at isang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation na may n hindi kilala. Maaaring ibuod ang impormasyong ito.
Kahulugan 7.1. n-dimensional na arithmetic vector ay tinatawag na isang ordered set ng n tunay na mga numero.
ibig sabihin a= (a 1 , a 2 , …, a n), kung saan a iО R, i = 1, 2, …, n ay ang pangkalahatang view ng vector. Numero n tinawag sukat vector, at ang mga numero a i tumawag sa kanya mga coordinate.
Halimbawa: a= (1, –8, 7, 4, ) ay isang limang-dimensional na vector.
All set n-Ang mga dimensional na vector ay karaniwang tinutukoy bilang R n.
Kahulugan 7.2. Dalawang vector a= (a 1 , a 2 , …, a n) at b= (b 1 , b 2 , …, b n) ng parehong dimensyon pantay kung at kung magkapantay lamang ang kani-kanilang mga coordinate, i.e. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Kahulugan 7.3.sum dalawa n-dimensional na mga vector a= (a 1 , a 2 , …, a n) at b= (b 1 , b 2 , …, b n) ay tinatawag na vector a + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+b n).
Kahulugan 7.4. trabaho totoong numero k bawat vector a= (a 1 , a 2 , …, a n) ay tinatawag na vector k× a = (k×a 1 , k×a 2 , …, k×a n)
Kahulugan 7.5. Vector O= (0, 0, …, 0) ay tinatawag sero(o null-vector).
Madaling suriin na ang mga aksyon (operasyon) ng pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami sa kanila sa isang tunay na numero ay may mga sumusunod na katangian: a, b, c Î R n, " k, lОR:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1× a = a, 1 О R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Kahulugan 7.6. Isang grupo ng R n sa mga operasyon ng pagdaragdag ng mga vectors at pagpaparami ng mga ito sa isang tunay na numero na ibinigay dito ay tinatawag arithmetic n-dimensional na vector space.
Halimbawa 1. Maghanap ng pangkalahatang solusyon at ilang pangunahing sistema ng mga solusyon para sa systemSolusyon hanapin gamit ang isang calculator. Ang algorithm ng solusyon ay kapareho ng para sa mga sistema ng linear inhomogeneous equation.
Operating lamang sa mga hilera, nakita namin ang ranggo ng matrix, ang pangunahing menor de edad; ipinapahayag namin na umaasa at libre ang mga hindi alam at hinahanap ang pangkalahatang solusyon.
Ang una at pangalawang linya ay proporsyonal, ang isa sa mga ito ay tatanggalin:
.
Mga nakasalalay na variable - x 2, x 3, x 5, libre - x 1, x 4. Mula sa unang equation na 10x 5 = 0 nakita namin ang x 5 = 0, pagkatapos
; .
Ang pangkalahatang solusyon ay mukhang:
Nahanap namin ang pangunahing sistema ng mga solusyon, na binubuo ng (n-r) na mga solusyon. Sa aming kaso, n=5, r=3, samakatuwid, ang pangunahing sistema ng mga solusyon ay binubuo ng dalawang solusyon, at ang mga solusyong ito ay dapat na linearly na independyente. Para maging linearly independent ang mga row, kinakailangan at sapat na ang ranggo ng matrix na binubuo ng mga elemento ng mga row ay katumbas ng bilang ng mga row, ibig sabihin, 2. Sapat na ibigay ang mga libreng unknowns x 1 at x 4 na mga halaga mula sa mga hilera ng determinant ng pangalawang order, na iba sa zero, at kalkulahin ang x 2 , x 3 , x 5 . Ang pinakasimpleng non-zero determinant ay .
Kaya ang unang solusyon ay:
, ang ikalawa - 
.
Ang dalawang desisyong ito ay bumubuo sa pangunahing sistema ng pagpapasya. Tandaan na ang pangunahing sistema ay hindi natatangi (ang mga determinant maliban sa zero ay maaaring buuin hangga't gusto mo).
Halimbawa 2 . Hanapin ang pangkalahatang solusyon at ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng system 
Solusyon.
,
sumusunod na ang ranggo ng matrix ay 3 at katumbas ng bilang ng mga hindi alam. Nangangahulugan ito na ang sistema ay walang mga libreng hindi alam, at samakatuwid ay may isang natatanging solusyon - isang maliit na solusyon.
Mag-ehersisyo . Galugarin at lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation.
Halimbawa 4
Mag-ehersisyo . Maghanap ng mga pangkalahatan at partikular na solusyon para sa bawat system.
Solusyon. Isinulat namin ang pangunahing matrix ng system:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Dinadala namin ang matrix sa isang triangular na anyo. Gumagana lamang kami sa mga hilera, dahil ang pagpaparami ng isang hilera ng isang matrix sa isang hindi zero na numero at pagdaragdag nito sa isa pang hilera para sa system ay nangangahulugan ng pagpaparami ng equation sa parehong numero at pagdaragdag nito sa isa pang equation, na hindi nagbabago sa solusyon ng sistema.
I-multiply ang 2nd row sa (-5). Idagdag natin ang 2nd line sa 1st:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
I-multiply ang 2nd row sa (6). I-multiply ang 3rd row sa (-1). Idagdag natin ang ika-3 linya sa ika-2:
Hanapin ang ranggo ng matrix.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Ang napiling menor de edad ay may pinakamataas na pagkakasunud-sunod (sa lahat ng posibleng menor de edad) at hindi zero (ito ay katumbas ng produkto ng mga elemento sa reciprocal diagonal), kaya rang(A) = 2.
Basic ang menor de edad na ito. Kabilang dito ang mga coefficient para sa hindi kilalang x 1, x 2, na nangangahulugan na ang hindi kilalang x 1, x 2 ay umaasa (basic), at ang x 3, x 4, x 5 ay libre.
Binabago namin ang matrix, iniiwan lamang ang pangunahing minor sa kaliwa.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x2 | x4 | x 3 | x5 |
Ang sistema na may mga coefficient ng matrix na ito ay katumbas ng orihinal na sistema at may anyo:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Sa pamamagitan ng paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam, nakita namin walang kuwentang solusyon:
Nakuha namin ang mga relasyon na nagpapahayag ng mga umaasang variable x 1 ,x 2 sa pamamagitan ng libreng x 3 ,x 4 ,x 5 , ibig sabihin, nakita namin karaniwang desisyon:
x2 = 0.64x4 - 0.0455x3 - 1.09x5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
Nahanap namin ang pangunahing sistema ng mga solusyon, na binubuo ng (n-r) na mga solusyon.
Sa aming kaso, n=5, r=2, samakatuwid, ang pangunahing sistema ng mga solusyon ay binubuo ng 3 solusyon, at ang mga solusyong ito ay dapat na linearly na independyente.
Para maging linearly independent ang mga row, kinakailangan at sapat na ang ranggo ng matrix na binubuo ng mga elemento ng mga row ay katumbas ng bilang ng mga row, i.e. 3.
Ito ay sapat na upang bigyan ang mga libreng hindi alam na x 3 ,x 4 ,x 5 na mga halaga mula sa mga hilera ng determinant ng ika-3 order, naiiba sa zero, at kalkulahin ang x 1 ,x 2 .
Ang pinakasimpleng non-zero determinant ay ang identity matrix.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Gawain . Maghanap ng isang pangunahing hanay ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation.