Koncept "izjave" je primarni. U logici, prijedlog je izjavna rečenica za koju se može reći da je istinita ili lažna. Bilo koja izjava je ili istinita ili lažna, a nijedna izjava nije istinita i lažna.
Primjeri izjava: postoji paran broj, "1 je prost broj." Istinovita vrijednost prve dvije izjave je "istina", istinita vrijednost posljednje dvije
Upitne i uzvične rečenice nisu iskazi. Definicije nisu izjave. Na primjer, definicija "cijeli broj se zove čak i ako je djeljiv sa 2" nije izjava. Međutim, deklarativna rečenica "ako je cijeli broj djeljiv sa 2, onda je paran" je izjava, i to tačna. U propozicionoj logici, apstrahira se od semantičkog sadržaja propozicije, ograničavajući se na razmatranje sa pozicije da je istinita ili lažna.
U nastavku ćemo shvatiti značenje iskaza kao njegovu istinitost (“tačno” ili “netačno”). Izjave će biti označene velikim latiničnim slovima, a njihova značenja, odnosno "tačno" ili "netačno" - slovima I i L.
Propoziciona logika proučava veze koje su u potpunosti određene načinom na koji su neke propozicije izgrađene od drugih, koje se nazivaju elementarne propozicije. Elementarni iskazi se ovdje razmatraju kao cjelina, nerazložljiva na dijelove, čija nas unutrašnja struktura neće zanimati.
Logičke operacije nad naredbama.
Od elementarnih propozicija, uz pomoć logičkih operacija, mogu se dobiti nove, složenije propozicije. Istinitost složenog iskaza ovisi o istinitosti iskaza koji čine složeni iskaz. Ova zavisnost je utvrđena u definicijama datim u nastavku i odražava se u tabelama istinitosti. Lijevi stupci ovih tabela sadrže sve moguće distribucije istinitih vrijednosti za iskaze koji direktno čine složeni iskaz koji se razmatra. U desnu kolonu upišite istinite vrijednosti složenog iskaza prema distribucijama u svakom redu.
Neka su A i B proizvoljni iskazi za koje ne pretpostavljamo da su njihove istinite vrijednosti poznate. Negacija propozicije A je nova tvrdnja koja je istinita ako i samo ako je A lažna. Negacija A označava se i čita se "nije A" ili "nije tačno da A". Operacija negacije je u potpunosti određena tablicom istinitosti
Primjer. Izjava "nije tačno da je 5 paran broj", koja ima značenje I, negacija je lažne izjave "5 je paran broj".
Uz pomoć operacije veznika, dva iskaza se kombinuju u jedan složeni iskaz, označen kao A D B. Po definiciji, iskaz A D B je tačan ako i samo ako su oba iskaza tačna. Izjave A i B nazivaju se redom prvi i drugi članovi veznika A D B. Zapis "A D B" čita se kao "L i B". Tabela istinitosti za konjukciju ima oblik
Primjer. Izjava "7 je prost broj, a 6 je neparan broj" je netačna, kao konjunkcija dva iskaza, od kojih je jedan netačan.
Disjunkcija dva iskaza A i B je izjava označena sa , što je tačno ako i samo ako je barem jedan od iskaza A i B tačan.
Prema tome, propozicija A V B je lažna ako i samo ako su i A i B lažni. Izjave A i B nazivaju se redom prvi i drugi članovi disjunkcije A V B. Zapis A V B se čita kao "A ili B". Unija "ili" u ovaj slučaj ima nedeljivo značenje, pošto je izjava A V B tačna čak i ako su tačna oba izraza. Disjunkcija ima sljedeću tabelu istinitosti:
Primjer. Izjava „3 Izjava označena kao netačna ako i samo ako je A istinito, a B netačno naziva se implikacija s premisom A i zaključkom B. Izjava A + B se čita kao „ako je A, onda 5” ili „A implicira B", ili "Iz A slijedi B". Tabela istinitosti za implikacije je:
Imajte na umu da možda ne postoji kauzalna veza između premise i zaključka, ali to ne može uticati na istinitost ili netačnost implikacije. Na primjer, tvrdnja "ako je 5 prost broj, onda je simetrala jednakostraničnog trougla medijana" bila bi tačna, iako u uobičajenom smislu drugo ne slijedi iz prvog. Tvrdnja "ako je 2 + 2 = 5, onda je 6 + 3 = 9" također će biti tačna, jer je njen zaključak tačan. At ovu definiciju ako je zaključak istinit, implikacija će biti istinita bez obzira na istinitost premise. Ako je premisa pogrešna, implikacija će biti istinita bez obzira na istinitost zaključka. Ove okolnosti su ukratko formulirane na sljedeći način: "istina proizlazi iz bilo čega", "iz lažnog slijedi bilo što".
O pojmovima i odnosima među njima moguće je izraziti različite sudove. Jezički oblik presude su deklarativne rečenice. Rečenice koje se koriste u matematici mogu se pisati i u verbalnom i u simboličkom obliku. Ponude mogu sadržavati istinite ili lažne informacije.
govoreći je svaka deklarativna rečenica koja može biti istinita ili netačna.
Primjer. Sljedeće rečenice su izjave:
1) Svi studenti Moskovskog državnog pedagoškog univerziteta su odlični studenti (lažna izjava),
2) Na poluostrvu Kola ima krokodila (lažna izjava),
3) Dijagonale pravougaonika su jednake (tačna izjava),
4) Jednačina nema pravi korijen (tačan iskaz),
5) Broj 21 je paran (lažna tvrdnja).
Sljedeće rečenice nisu izjave:
Kakvo će vrijeme biti sutra?
X- prirodni broj,
745 + 231 – 64.
Izjave se obično označavaju velikim slovima latinice: A, B, C, ...,Z.
Zovu se "tačno" i "netačno". istinite vrijednosti izjave . Svaki prijedlog je ili istinit ili lažan, ne može biti oboje u isto vrijeme.
Snimanje [ A ] = 1 znači da izjava A – tačno .
Rekord [ A ] = 0 znači da izjava A – false .
Rečenica 
nije izjava, jer se o njoj ne može reći da li je istinita ili netačna. Prilikom zamjene određenih vrijednosti varijable X pretvara se u propoziciju: istinito ili netačno.
Primjer. Ako 
, onda 
je lažna izjava, i ako 
, onda 
- istinita izjava.
Rečenica 
pozvao predikat ili propozicioni oblik. Generiše mnoge izjave istog oblika.
Predikat poziva se rečenica s jednom ili više varijabli, koja se pretvara u izjavu svaki put kada se njihove vrijednosti zamijene za varijable.
U zavisnosti od broja varijabli uključenih u prijedlog, razlikuju se jednostruke, dvostruke, trostruke itd. predikati koji se označavaju sa: itd.
Primjer.
1)
je predikat na jednom mjestu,
2) „Direktno X okomito na liniju at' je predikat na dva mjesta.
Varijable također mogu biti sadržane implicitno u predikatima. U rečenicama: „Broj je paran“, „dva prava se seku“, nema varijabli, ali se podrazumevaju: „Broj X- parni", "dve ravne linije X I at ukrštati."
Kada specificirate predikat, navedite ga domena – skup iz kojeg se biraju vrijednosti varijabli uključenih u predikat.
Primjer. Nejednakost 
može se razmatrati višestruko prirodni brojevi, ali možemo pretpostaviti da je vrijednost varijable izabrana iz skupa realnih brojeva. U prvom slučaju, domen definicije nejednakosti 
postojaće skup prirodnih brojeva, au drugom - skup realnih brojeva.
pojedinačni predikat , dat na setu X, naziva se rečenica sa varijablom, koja se pretvara u izjavu kada se u nju zameni varijabla iz skupa X.
Mnoge istine Predikat na jednom mjestu je skup onih vrijednosti varijable iz njene domene definicije, nakon čije zamjene se predikat pretvara u istinit iskaz.
Primjer. Skup istinitosti predikata 
, dat na skupu realnih brojeva, postojat će interval 
. Skup istine predikata 
, definiran na skupu nenegativnih cijelih brojeva, sastoji se od jednog broja 2.
Mnoge istine
predikat na dva mjesta 
sastoji se od svih takvih parova 
kada se zamijene u ovaj predikat, dobiva se istinit iskaz.
Primjer. Par 
pripada skupu istinitosti predikata 
, jer 
je istinita izjava, i par 
ne pripada, jer 
- lažna izjava.
Izjave i predikati mogu biti jednostavni i složeni (složeni). Kompleks rečenice se formiraju od jednostavnih uz pomoć logičke veze - riječi" I », « ili », « ako onda … », « ako i samo ako... » . Sa česticom « ne » ili fraze " to nije istina » moguće od ovaj prijedlog nabavi novi. Pozivaju se prijedlozi koji nisu složeni osnovno .
Primjeri. Složene rečenice:
Broj 42 je paran i djeljiv je sa 7. Sastavljen je od dvije elementarne rečenice: Broj 42 je paran, broj 42 je djeljiv sa 7 i sastavljen je pomoću logičkog veznika “ I ».
Broj X veće ili jednako 5. Nastalo od dvije osnovne rečenice: Broj X veći od 5 i broj X jednak je 5 i sastavljen je pomoću logičkog veznika " ili ».
Broj 42 nije djeljiv sa 5. Nastao iz rečenice: Broj 42 je djeljiv sa 5 pomoću čestice " ne ».
Istinitost elementarne tvrdnje utvrđuje se na osnovu njenog sadržaja na osnovu poznatog znanja. Da bi se odredila istinitost složenog iskaza, mora se znati značenje logičkih veza pomoću kojih se formira od elementarnih i biti u stanju identificirati logičku strukturu iskaza.
Primjer. Otkrijmo logičku strukturu rečenice: "Ako su uglovi okomiti, onda su jednaki." Sastoji se od dvije osnovne rečenice: A- vertikalni uglovi IN- uglovi su jednaki. Kombinuju se u jednu složenu rečenicu pomoću logičkog veznika " ako onda...". Ova složena rečenica ima logičku strukturu (oblik): „ ako je A onda IN».
Izraz "za bilo koje X"ili" za sve X" ili "za svaku X» zvao opšti kvantifikator
i označeno 
.
uz pomoć općeg kvantifikatora, označenog sa: 
i glasi: „Za bilo koju vrijednost X od mnogih X odvija 
».
Izraz „postoji X' ili 'za neke X" ili "postoji takav X» zvao egzistencijalni kvantifikator
i označeno 
.
Izjava izvedena iz iskaza ili predikata 
koristeći egzistencijalni kvantifikator, označen sa: 
i glasi: „Za neke X od mnogih X odvija 
" ili "Postoji (postoji) takva vrijednost X od X, koji se odvija 
».
Kvantifikatori općenitosti i postojanja koriste se ne samo u matematičkim izrazima, već iu svakodnevnom govoru.
Primjer. Sljedeće izjave sadrže opći kvantifikator:
a) Sve strane kvadrata su jednake; b) Svaki cijeli broj je realan; c) U bilo kom trouglu, medijane se seku u jednoj tački; d) Svi učenici imaju knjižicu.
Sljedeće izjave sadrže egzistencijalni kvantifikator:
a) Postoje brojevi koji su višestruki od 5; b) Postoji takav prirodan broj 
, šta 
; c) Kandidati za master sporta studiraju u nekim studentskim grupama; d) Najmanje jedan ugao u trouglu je oštar.
izjava 
je tačno
–
identiteta, tj. uzima prave vrijednosti kada se u njega zamjene bilo koje vrijednosti varijable.
Primjer. izjava 
tačno.
izjava 
false
, ako za neku vrijednost varijable X predikat 
Primjer. izjava 
lažno, jer at 
predikat 
postaje lažna izjava.
izjava 
je tačno
ako i samo ako je predikat 
nije identično lažna, tj. za neku vrijednost varijable X predikat 
Primjer. izjava 
istina, jer at 
predikat 
pretvara u istinitu izjavu.
izjava 
false
ako je predikat 
je kontradikcija, tj. identično lažno.
Primjer. izjava 
lažno, jer predikat 
je identično lažno.
Pustite ponudu ALI - izjava. Ako ispred predikata ove rečenice stavite česticu " ne
ili prije cijele rečenice staviti riječi “ to nije istina
“, tada se dobija nova rečenica koja se zove poricanje dato i označeno:
A ili 
(čitaj: " ne
ALI" ili " to nije istina
A
»).
|
Negirajući izjavu A
naziva se izjava Tabela negativne istine: |
|
ili
A, što je netačno kada je izjava A istinito, i istinito kada je izjava A- lažno.
Primjer. Ako je izjava A: "Vertikalni uglovi su jednaki", zatim negacija ove tvrdnje A: "Vertikalni uglovi nisu jednaki." Prva od ovih izjava je tačna, a druga netačna.
Da biste izgradili negaciju iskaza s kvantifikatorima, trebate:
zamijeniti opći kvantifikator egzistencijalnim kvantifikatorom ili obrnuto;
zamijenite izraz negacijom (stavite česticu " ne»).
Na jeziku matematičkih simbola biće napisano ovako.
Plan
Izjave sa eksternom negacijom.
konjunktivni iskazi.
disjunktivni iskazi.
Strogo disjunktivne izjave.
Izjave o ekvivalenciji.
Implicitne izjave.
Izjave sa eksternom negacijom.
Izjava sa eksternom negacijom je izjava (sud) u kojoj se potvrđuje odsustvo određene situacije. Najčešće se izražava rečenicom koja počinje frazom “nije tačno da...” ili “nije u redu da...”. Eksterna negacija je označena simbolom “ù”, koji se naziva znakom negacije. Ovaj znak je određen sljedećom tablicom istinitosti:
U izjavama sa eksternom negacijom poriče se situacija u A. Na primjer, ako A: „Volga se uliva u Crno more“, onda ùA: „Nije tačno da se Volga uliva u Crno more“.
konjunktivni iskazi.
Konjunktivni iskazi su oni u kojima se potvrđuje istovremeno postojanje dvije situacije. Konjunktivni iskazi se formiraju od dva iskaza pomoću sindikata “i”, “a”, “ali”. Oblik konjunktivnog iskaza: (A&B). Svaka od izjava A i B može uzeti i vrijednost "true" i vrijednost "false". Ove vrijednosti su zbog kratkoće označene slovima i, l. Tabela istinitosti za konjunktivne izjave je sljedeća:
U konjunktivnim izjavama se navodi da se situacija opisana u A i u B odvija istovremeno. Primjeri konjunktivnih izjava: “Zemlja je planeta, a Mjesec je satelit”; „Petrov je dobro savladao logiku, ali je Sidorov loše savladao logiku“; „Napolju je mrak i u sali su upaljena svetla“; “Petrov je službeniku dao mito u gotovini, a Sidorov mu je dao flašu.”
disjunktivni iskazi.
Disjunktivni iskazi su iskazi koji potvrđuju postojanje barem jedne od dvije situacije opisane u A i B. Disjunkcija je označena simbolom V i izražena je prirodnim jezikom unijom "ili".
Tablična definicija znaka disjunkcije je sljedeća:
Primjer disjunktivne izjave: "Roman Sergejevič Ivanov je učitelj, ili Roman Sergejevič Ivanov je diplomirani student."
Strogo disjunktivne izjave.
Strogo disjunktivni iskazi su oni koji potvrđuju postojanje tačno jedne od dvije situacije opisane u A i B. Takvi iskazi se najčešće izvode pomoću rečenica sa spojem "ili ..., ili ..." ("ili ..., ili ...”). Stroga disjunkcija je označena simbolom V* (čita se "ili... ili...").
Tablična definicija znaka stroge disjunkcije je sljedeća:
Primjer striktno disjunktivne izjave: "Ili je napolju sunčano, ili pada kiša."
Svojstva
Razmotrite nekoliko svojstava kartezijanskog proizvoda:
1. Ako A,B su konačni skupovi, onda A× B- konačno. I obrnuto, ako je jedan od skupova množitelja beskonačan, onda je rezultat njihovog proizvoda beskonačan skup.
2. Broj elemenata u kartezijanskom proizvodu jednak je proizvodu brojeva elemenata skupova množenja (ako su, naravno, konačni): | A× B|=|A|⋅|B| .
3. A np ≠(A n) str- u prvom slučaju, preporučljivo je uzeti u obzir rezultat kartezijanskog proizvoda kao matricu dimenzija 1× np, u drugom - kao matrica veličina n× str .
4. Komutativni zakon nije ispunjen, jer parovi elemenata rezultata kartezijanskog proizvoda su poredani: A× B≠B× A .
5. Zakon o udruživanju nije ispunjen: ( A× B)× C≠A×( B× C) .
6. Postoji distributivnost u odnosu na osnovne operacije na skupovima: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}
11. Koncept iskaza. Elementarni i složeni iskazi.
izjava je izjava ili deklarativna rečenica za koju se može reći da je istinita (T-1) ili netačna (L-0), ali ne oboje u isto vrijeme.
Na primjer, "Danas pada kiša“, završio je Ivanov laboratorijski rad br. 2 iz fizike.
Ako imamo nekoliko početnih iskaza, onda od njih koristeći logičke unije ili čestice možemo formirati nove iskaze čija istinitost zavisi samo od istinitih vrednosti originalnih iskaza i od specifičnih veznika i čestica koje učestvuju u izgradnji nove izjave. Riječi i izrazi "i", "ili", "ne", "ako...onda", "dakle", "ako i samo onda" su primjeri takvih veznika. Originalne izjave se zovu jednostavno , i nove izjave konstruirane od njih uz pomoć određenih logičkih sindikata - sastavni . Naravno, riječ "jednostavno" nema nikakve veze sa suštinom ili strukturom originalnih izjava, koje same po sebi mogu biti prilično složene. U ovom kontekstu, riječ "jednostavno" je sinonim za riječ "original". Važno je da istinite vrijednosti jednostavnih propozicija treba da budu poznate ili date; u svakom slučaju, o njima se ni na koji način ne raspravlja.
Iako izjava poput "Danas nije četvrtak" nije sastavljena od dva različita jednostavna iskaza, zbog uniformnosti konstrukcije se takođe tretira kao složena, budući da je njena istinitost određena istinitošću druge tvrdnje "Danas je četvrtak "
Primjer 2 Sljedeće izjave se tretiraju kao složene izjave:
Čitao sam Moskovsky Komsomolets i čitao sam Kommersant.
Ako je to rekao, onda je to istina.
Sunce nije zvezda.
Ako je sunčano i temperatura pređe 25 0 , stižem vozom ili autom
Prosti iskazi uključeni u složene iskaze sami po sebi mogu biti potpuno proizvoljni. Konkretno, oni sami mogu biti kompozitni. Osnovni tipovi složenih iskaza opisani u nastavku definirani su neovisno o jednostavnim iskazima koji ih formiraju.
12. Operacije nad izjavama.
1. operacija negacije.
Negacija izjave A ( glasi „ne A"," to nije tačno A"), što je tačno kada A lažno i lažno kada A- tačno.
Negativne izjave A I pozvao suprotno.
2. rad u vezi.
konjunkcija izjave A I IN naziva se izjava A B(čitaj " A I IN”), čija se prava značenja određuju ako i samo ako obje izjave A I IN tačno.
Konjunkcija iskaza naziva se logički proizvod i često se označava AB.
Neka izjava A– “u martu temperatura vazduha od 0 S do + 7 C» i govoreći IN- "U Vitebsku pada kiša." Onda A Bće biti ovako: „u martu temperatura vazduha od 0 S do + 7 C a u Vitebsku pada kiša." Ova veznica će biti istinita ako postoje izjave A I IN tačno. Ako se ispostavi da je temperatura bila niža 0 S ili u Vitebsku tada nije bilo kiše A Bće biti lažno.
3 . rad disjunkcije.
disjunkcija izjave A I IN naziva se izjava A B (A ili IN), što je tačno ako i samo ako je barem jedan od iskaza tačan i netačan - kada su oba iskaza netačna.
Disjunkcija propozicija se takođe naziva logičkom sumom A+B.
Izjava " 4<5 ili 4=5 ' istina je. Od izjave " 4<5 "tačno je, a izjava" 4=5 ' je onda lažno A B je istinita izjava 4 5 ».
4 . operacija implikacije.
implikacija izjave A I IN naziva se izjava A B("ako A, onda IN", "od A trebalo bi IN”), čija je vrijednost lažna ako i samo ako A istina, i IN false.
U implikaciji A B izjava A pozvao fondacija, ili slanje i izjavu IN – posljedica, ili zaključak.
13. Tabele istinitosti iskaza.
Tabela istinitosti je tablica koja uspostavlja korespondenciju između svih mogućih skupova logičkih varijabli uključenih u logičku funkciju i vrijednosti funkcije.
Tablice istine se koriste za:
Izračunavanje istinitosti složenih izjava;
Uspostavljanje ekvivalencije iskaza;
Definicije tautologija.
Utvrđivanje istinitosti složenih izjava.
Primjer 1 Utvrdite istinitost tvrdnje C
Rješenje. Sastav složenog iskaza uključuje 3 jednostavne izjave: A, B, C. Kolone u tabeli su ispunjene vrijednostima (0, 1). Naznačene su sve moguće situacije. Proste rečenice su odvojene od složenih dvostrukom okomitom linijom.
Prilikom sastavljanja tabele, morate paziti da se ne zbuni redosled radnji; popunjavajući kolone treba se kretati “iznutra prema van”, tj. od elementarnih formula do sve složenijih; posljednja kolona za popunjavanje sadrži vrijednosti originalne formule.
| A | IN | WITH | A+ | · SA | ||
Tabela pokazuje da je ova izjava istinita samo ako je A=0, B=1, C=1. U svim ostalim slučajevima je lažna.
14. Ekvivalentne formule.
Dvije formule A I IN nazivaju se ekvivalentnim ako uzimaju iste logičke vrijednosti za bilo koji skup vrijednosti elementarnih propozicija uključenih u formulu.
Ekvivalencija je označena znakom "". Za transformaciju formula u ekvivalentne, važnu ulogu imaju osnovne ekvivalencije koje izražavaju neke logičke operacije u terminima drugih, ekvivalencije koje izražavaju osnovne zakone algebre logike.
Za bilo koje formule A, IN, WITH ekvivalencije su validne.
I. Osnovne ekvivalencije
zakon idempotencije
1-tačno
0-false
Zakon kontradikcije
Zakon isključene sredine
zakon apsorpcije
formule za razdvajanje
zakon o vezivanju
II. Ekvivalencije koje izražavaju neke logičke operacije u terminima drugih.
de Morganov zakon
III. Ekvivalencije koje izražavaju osnovne zakone algebre logike.
komutativno pravo
asocijativno pravo
distributivno pravo
15. Formule propozicionalne logike.
Vrste formula u klasičnoj propozicionoj logici- u propozicionoj logici razlikuju se sljedeće vrste formula:
1. Zakoni(identično istinite formule) - formule koje za bilo koju interpretaciju propozicionih varijabli poprimaju vrijednost "tačno";
2. kontradikcije(identično lažne formule) - formule koje za bilo koju interpretaciju propozicionih varijabli poprimaju vrijednost "lažno";
3. Zadovoljive formule- one koje poprimaju značenje "tačno" za najmanje jedan skup istinitih vrijednosti propozicionih varijabli uključenih u njih.
Osnovni zakoni klasične propozicionalne logike:
1. Zakon o identitetu: ;
2. Zakon kontradikcije:
;
3. Zakon isključene sredine: ;
4. Zakoni komutativnosti i: , ;
5. Zakoni distributivnosti su relativni za , i obrnuto: , ;
6. Zakon uklanjanja pravog pojma veznika: ;
7. Zakon uklanjanja lažnog člana disjunkcije: ;
8. Zakon kontrapozicije: ;
9. Zakoni međusobne ekspresivnosti propozicionih veziva: , , , , , .
Procedura rješivosti- metoda koja omogućava svakoj formuli da utvrdi da li je to zakon, kontradikcija ili izvodljiva formula. Najčešći postupak rješivosti je metoda tablice istinitosti. Međutim, on nije jedini. Efikasna metoda rješivosti je metoda normalne forme za propozicione logičke formule. normalna forma propoziciona logička formula je oblik koji ne sadrži znak implikacije "". Postoje konjunktivni i disjunktivni normalni oblici. Konjunktivni oblik sadrži samo znakove veznika "". Ako formula svedena na konjunktivni normalni oblik sadrži podformulu oblika , tada je cijela formula u ovom slučaju kontradikcija. Disjunktivni oblik sadrži samo znakove disjunkcije "". Ako formula svedena na disjunktivni normalni oblik sadrži podformulu oblika , tada je cijela formula u ovom slučaju zakon. U svim ostalim slučajevima, formula je zadovoljavajuća formula.
16. Predikati i operacije nad njima. Kvantifikatori.
Poziva se rečenica koja sadrži jednu ili više varijabli i koja je za određene vrijednosti varijabli iskaz propozicioni oblik ili predikat.
U zavisnosti od broja varijabli uključenih u prijedlog, razlikuju se jednostruke, dvostruke, trostruke itd. predikati označeni redom: A( X), IN( X, at), FROM( X, at, z).
Ako je dat neki predikat, tada su mu pridružena dva skupa:
1. Skup (domen) definicije X, koji se sastoji od svih vrijednosti varijabli, kada se zamijene u predikat, potonji se pretvara u izjavu. Kada se specificira predikat, obično se specificira njegov opseg.
2. Skup istine T, koji se sastoji od svih tih vrijednosti varijabli, kada se zamjene u predikat, dobije se istinit iskaz.
Skup istinitosti predikata je uvijek podskup njegovog domena, tj.
Možete izvesti iste operacije na predikatima kao i na naredbama.
1. Poricanje predikat A( X) definiran na skupu X naziva se predikat istinit za one vrijednosti za koje je predikat A( X) pretvara u lažnu izjavu, i obrnuto.
Iz ove definicije slijedi da su predikati A( X) i B( X) nisu negacije jedna na drugu ako postoji barem jedna vrijednost za koju predikati A( X) i B( X) pretvaraju se u propozicije sa istim vrijednostima istine.
Skup istinitosti predikata je dopuna skupu istine predikata A( X). Označimo sa T A skup istinitosti predikata A( X), a kroz T - skup istinitosti predikata . Onda .
2. konjunkcija predikati A( X) i B( XX) IN( X X X, pod kojim se oba predikata pretvaraju u istinite iskaze.
Skup istinitosti konjunkcije predikata je presjek skupova istinitosti predikata A( X) IN( X). Ako označimo skup istinitosti predikata A(x) sa T A, a skup istine predikata B(x) sa T B i skup istinitosti predikata A(x) B(x) sa , tada 
3. disjunkcija predikati A( X) i B( X) definisan na skupu X naziva se predikat A( X) IN( X), što se pretvara u pravi prijedlog za te i samo te vrijednosti X X, pod kojim se barem jedan od predikata pretvorio u istinit iskaz.
Skup istinitosti disjunkcije predikata je unija skupova istinitosti predikata koji ga formiraju, tj. .
4.implikacija predikati A( X) i B( X) definisan na skupu X naziva se predikat A( X) IN( X), što je netačno za one i samo one vrijednosti varijable za koje prvi predikat postaje istinit, a drugi lažan.
Skup istinitosti implikacije predikata je unija skupa istinitosti predikata B( X) sa dodatkom skupa istinitosti predikata A( X), tj.
5. Ekvivalencija predikati A( X) i B( X) definiran na skupu X naziva se predikat koji se pretvara u istinit iskaz za sve one i samo one vrijednosti varijable za koje se oba predikata pretvaraju u istinite iskaze ili u lažne iskaze.
Skup istinitosti ekvivalenta predikata je presjek skupa istinitosti predikata sa skupom istinitosti predikata.
Operacije kvantifikatora nad predikatima
Predikat se može prevesti u iskaz metodom supstitucije i metodom „viseći kvantifikator“.
O brojevima 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 možete reći: a) sve dati brojevi su prosti; b) neki od datih brojeva su parni.
Budući da se za ove rečenice može reći da su istinite ili netačne, rezultirajuće rečenice su prijedlozi.
Ako iz rečenice “a” uklonimo riječ “svi”, a iz rečenice “b” riječ “neki”, dobićemo sljedeće predikate: “dati brojevi su prosti”, “dati brojevi su neparni”.
Riječi "svi" i "neki" nazivaju se kvantifikatorima. Riječ "kvantifikator" je latinskog porijekla i znači "koliko", odnosno kvantifikator pokazuje koliko (svih ili nekih) objekata se spominje u određenoj rečenici.
Postoje dvije glavne vrste kvantifikatora: opći kvantifikator i egzistencijalni kvantifikator.
Uslovi zovu se "bilo koji", "bilo koji", "svako". – univerzalni kvantifikator. Određeno .
Neka A( X) je određeni predikat dat na skupu X. Pod izrazom A( X) shvatićemo da je izjava tačna kada A( X) je istinit za svaki element skupa X, a netačan u suprotnom.
U primjeru 1 za R1 domen definicije: , skup vrijednosti - . Za R2 domen definicije: , skup vrijednosti: .
U mnogim slučajevima zgodno je koristiti grafički prikaz binarne relacije. Izvodi se na dva načina: uz pomoć tačaka na ravni i uz pomoć strelica.
U prvom slučaju, dvije međusobno okomite linije su odabrane kao horizontalna i vertikalna osa. Na horizontalnoj osi položite elemente seta A i nacrtajte okomitu liniju kroz svaku tačku. Na vertikalnoj osi položite elemente kompleta B povucite horizontalnu liniju kroz svaku tačku. Točke sjecišta horizontalnih i vertikalnih linija prikazuju elemente direktnog proizvoda
18. Metode za postavljanje binarnih relacija.
Bilo koji podskup kartezijanskog proizvoda A × B naziva se binarna relacija definirana na paru skupova A i B (na latinskom "bis" znači "dvaput"). U opštem slučaju, po analogiji sa binarnim relacijama, n-arne relacije se takođe mogu posmatrati kao uređene sekvence od n elemenata uzetih iz jednog od n skupova.
Za označavanje binarne relacije koristi se simbol R. Pošto je R podskup skupa A×B, možemo napisati R⊆A×. Ako je potrebno naznačiti da (a, b) ∈ R, tj. da postoji relacija R između elemenata a ∈ A i b ∈ B, onda napišite aRb.
Načini specificiranja binarnih odnosa:
1. Ovo je upotreba pravila prema kojem su naznačeni svi elementi uključeni u ovu relaciju. Umjesto pravila, možete navesti elemente date relacije direktnim nabrajanjem;
2. Tabelarni, u obliku grafikona i pomoću sekcija. Osnova tabelarne metode je pravougaoni koordinatni sistem, gde su elementi jednog skupa iscrtani duž jedne ose, a elementi drugog skupa duž druge. Presijeci koordinata formiraju tačke koje označavaju elemente kartezijanskog proizvoda.
Na (slika 1.16) je prikazana koordinatna mreža za skupove. Točke preseka tri vertikalne sa šest horizontalnih odgovaraju elementima skupa A×B. Krugovi na mreži označavaju elemente relacije aRb, pri čemu a ∈ A i b ∈ B, R označava relaciju “podijeli”.
Binarne relacije su date dvodimenzionalnim koordinatnim sistemima. Očigledno, svi elementi kartezijanskog proizvoda tri skupa mogu se na sličan način predstaviti u trodimenzionalnom koordinatnom sistemu, četiri skupa u četvorodimenzionalnom sistemu, itd.;
3. Metoda specificiranja relacija pomoću sekcija se rjeđe koristi, pa je nećemo razmatrati.
19. Refleksivnost binarne relacije. Primjer.
U matematici, binarna relacija na skupu se naziva refleksivna ako je svaki element ovog skupa u odnosu na sebe.
Svojstvo refleksivnosti za date relacije matricom karakteriše činjenica da su svi dijagonalni elementi matrice jednaki 1; za date relacije grafom, svaki element ima petlju - luk (x, x).
Ako ovaj uslov nije zadovoljen ni za jedan element skupa, tada se relacija naziva antirefleksivnom.
Ako je antirefleksivna relacija data matricom, tada su svi dijagonalni elementi nula. Kada je takva relacija data grafom, svaki vrh nema petlju - ne postoje lukovi oblika (x, x).
Formalno, antirefleksivnost odnosa se definiše kao: .
Ako uslov refleksivnosti nije zadovoljen za sve elemente skupa, kaže se da je relacija nerefleksivna.
©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne tvrdi autorstvo, ali omogućava besplatno korištenje.
Datum kreiranja stranice: 2016-04-12
1.1 . Koje od sljedećih rečenica su izjave?
a) Moskva je glavni grad Rusije.
b) Student Fizičko-matematičkog fakulteta Pedagoškog zavoda.
c) Trougao ABC je sličan trouglu A "B" C.
d) Mjesec je Marsov satelit.
e) Kiseonik je gas.
g) Kaša je ukusno jelo.
h) Matematika je zanimljiv predmet.
i) Picassove slike su previše apstraktne.
j) Gvožđe je teže od olova.
l) Živele muze!
m) Trougao se naziva jednakostraničan ako su mu stranice jednake.
m) Ako su svi uglovi u trouglu jednaki, onda je on jednakostraničan.
o) Danas je loše vrijeme.
o) U romanu A. S. Puškina "Evgenije Onjegin" 136.245 pisama.
p) Reka Angara se uliva u Bajkalsko jezero.
Rješenje. b) Ova rečenica nije izjava jer ne govori ništa o učeniku.
c) Rečenica nije izjava: ne možemo utvrditi da li je istinita ili netačna, jer ne znamo o kakvim je trouglovima riječ.
g) Rečenica nije izjava, jer je koncept "ukusnog jela" previše nejasan.
o) Rečenica je izjava, ali je potrebno mnogo vremena da se sazna njena istinitost.
1.2. Navedite koje su tvrdnje u prethodnom zadatku tačne, a koje netačne.
1.3. Formulirajte negativnosti sljedećih izjava; naznačiti istinite vrijednosti ovih izjava i njihove negacije:
a) Volga se uliva u Kaspijsko more.
b) Broj 28 nije djeljiv brojem 7.
e) Svi prosti brojevi su neparni.
1.4. Odredi koji su iskazi u sljedećim parovima međusobno negacije, a koji nisu (objasni zašto):
a) 2< 0, 2 > 0. -
b) 6< 9, 6 9.
c) “Trougao ABC je pravougli”, “Trougao ABC je tupougli”.
d) „Prirodni broj n paran", "Prirodni broj nčudno."
e) “Funkcija f neparan", "Funkcija fčak."
f) "Svi prosti brojevi su neparni", "Svi prosti brojevi su parni".
g) “Svi prosti brojevi su neparni”, “Postoji paran prost broj”.
h) “Čovjek poznaje sve vrste životinja koje žive na Zemlji”, “Na Zemlji postoji vrsta životinja koja čovjeku nije poznata.”
i) "Postoje iracionalni brojevi", "Svi brojevi su racionalni".
Rješenje. a) Propozicija "2 > 0" nije negacija "propozicije "2< 0», потому что требование не быть меньше 0 оставляет две возможности: быть равным 0 и быть больше 0. Таким образом, отрицанием высказывания «2 < 0» является высказывание «2 0».
1.5. Napišite sljedeće tvrdnje bez negativnog predznaka:
ali) 
; u) 
;
b) 
; G) 
.
1.6.
a) Lenjingrad se nalazi na Nevi i 2 + 3 = 5.
b) 7 je prost broj, a 9 je prost broj.
c) 7 je prost broj ili 9 je prost broj.
d) Broj 2 je paran ili je ovaj broj prost.
e) 2 3, 2 3, 2 2 4, 2 2 4.
f) 2 2 = 4 ili polarni medvedi žive u Africi.
g) 2 2 = 4, i 2 2 5, i 2 2 4.
Rješenje. a) Budući da su oba jednostavna iskaza na koje se primjenjuje operacija veznika istinita, prema tome, na osnovu definicije ove operacije, njihova konjunkcija je istinit iskaz.
1.7. Odredite istinite vrijednosti izjava A, B, C, D i E ako:
- istinite izjave
- su lažni.
Rješenje. c) Disjunkcija propozicija je istinita samo ako je barem jedan od sastavnih iskaza (članova disjunkcije) koji su uključeni u disjunkciju istinit. U našem slučaju, drugi sastavni iskaz "2 2 = 5" je netačan, a disjunkcija ova dva iskaza je tačna. Dakle, prva konstitutivna izjava WITH tačno.
1.8. Formulirajte i zapišite u obliku veznika ili disjunkcije uslov istinitosti svake rečenice ( ali I b- realni brojevi):
ali) 
G) 
g) 
b) 
e) 
h) 
u) 
e) 
i) 
Rješenje. d) Razlomak je jednak nuli samo u slučaju kada je brojilac jednak nuli, a imenilac nije jednak nuli, tj. ali = 0) & (b 0).
1.9. Odredite istinite vrijednosti sljedećih izjava:
a) Ako je 12 deljivo sa 6, onda je 12 deljivo sa 3.
b) Ako je 11 deljivo sa 6, onda je 11 deljivo sa 3.
c) Ako je 15 deljivo sa 6, onda je 15 deljivo sa 3.
d) Ako je 15 deljivo sa 3, onda je 15 deljivo sa 6.
e) Ako se Saratov nalazi na Nevi, tada polarni medvjedi žive u Africi.
f) 12 je deljivo sa 6 ako i samo ako je 12 deljivo sa 3.
g) 11 je deljivo sa 6 ako i samo ako je 11 deljivo sa 3.
h) 15 je deljivo sa 6 ako i samo ako je 15 deljivo sa 3.
i) 15 je deljivo sa 5 ako i samo ako je 15 deljivo sa 4.
j) Telesna masa m ima potencijalnu energiju mgh ako i samo ako je na svojoj visini h iznad površine zemlje.
Rješenje. a) Budući da je premisa iskaza "12 je deljivo sa 6" tačna, a posljedična izjava "12 je deljivo sa 3" tačna, tada je tačna i složena izjava zasnovana na definiciji implikacije.
g) Iz definicije ekvivalencije vidimo da je iskaz oblika 
istina ako su logičke vrijednosti propozicija R I Q podudaranje, a u suprotnom lažno. U ovom primjeru, obje izjave na koje se primjenjuje veznik "ako i samo tada" su netačne. Stoga je čitav složeni prijedlog istinit.
1.10. Neka A označava tvrdnju “9 je deljivo sa 3”, a neka B označava izjavu “8 je deljivo sa 3”. Odredite istinite vrijednosti sljedećih izjava:
ali) 
G) 
g) 
do) 
b) 
e) 
h) 
l) 
u) 
e) 
i) 
m) 
Rješenje. f) Imamo 
,
. Dakle
1.11.
a) Ako je 4 paran broj, tada je A.
b) Ako je B, onda je 4 neparan broj.
c) Ako je 4 paran broj, onda je C.
d) Ako je D, onda je 4 neparan broj.
Rješenje. a) Implikacija dva iskaza je lažna izjava samo u jedinstvenom slučaju kada je premisa tačna, a zaključak lažan. U ovom slučaju, premisa „4 je paran broj“ je tačna, a po uslovu je tačna i cijela tvrdnja. Dakle, zaključak A ne može biti lažan, odnosno tvrdnja A je tačna.
1.12. Odredite istinitosti iskaza A, B, C i D u sljedećim rečenicama, od kojih su prve dvije istinite, a posljednje dvije netačne:
ali) 
; b) 
;
u) 
; G) 
.
1.13. Neka A označava tvrdnju "Ovaj trougao je jednakokračan", a neka je B izjava "Ovaj trougao je jednakostraničan". Pročitajte sljedeće izjave:
ali) 
G) 
b) 
e) 
u) 
e) 
Rješenje. f) Ako je trougao jednakokraki, a ne jednakostraničan, onda nije tačno da nije jednakokračan.
1.14. Podijelite sljedeće složene izjave na jednostavne i zapišite ih simbolički, uvodeći slovne oznake za njihove jednostavne komponente:
a) Ako je 18 deljivo sa 2, a nije deljivo sa 3, onda nije deljivo sa 6.
b) Proizvod tri broja jednak je nuli ako i samo ako je jedan od njih jednak nuli.
c) Ako je izvod funkcije u nekoj tački jednak nuli, a drugi izvod ove funkcije u istoj tački negativan, tada je ta tačka tačka maksimuma ove funkcije.
d) Ako u trouglu medijana nije visina i simetrala, onda ovaj trokut nije jednakokračan i nije jednakostraničan.
Rješenje. d) Najjednostavnije komponente iskaza izdvajamo i označavamo na sljedeći način:
O: "U trouglu, medijana je visina";
P: "U trouglu, medijana je simetrala";
C: "Ovaj trougao je jednakokraki";
D: "Ovaj trougao je jednakostraničan."
Tada se ova izjava simbolično piše na sljedeći način:
1.15. Iz data dva iskaza A i B konstruirajte složeni iskaz koristeći operacije negacije, konjunkcije i disjunkcije, što bi bilo:
a) istinito ako i samo ako su oba data iskaza netačna;
b) je netačan ako i samo ako su oba iskaza tačna.
1.16. Iz date tri tvrdnje A, B, C konstruirajte složenu propoziciju koja je istinita kada je bilo koja od datih tvrdnji tačna, i samo tada.
1.17.
Neka izjava 
tačno. Šta se može reći o logičnom značenju izjave?
1.18.
Ako je izjava 
tačno (netačno), šta se onda može reći o logičkom značenju iskaza:
ali) 
; b) 
; u) 
; G) 
?
1.19.
Ako je izjava 
istina i izjava 
lažno, šta se može reći o logičkom značenju izjave 
?
1.20.
Postoje li tri takva iskaza A, B, C, tako da je u isto vrijeme iskaz 
bila je tačna, izjava 
- lažna i izjava 
- lažno?
1.21. Za svaku od naredbi u nastavku odredite da li su pružene informacije dovoljne za utvrđivanje njene logičke vrijednosti. Ako je dovoljno, navedite ovu vrijednost. Ako nije dovoljno, onda pokažite da su obje istinite vrijednosti moguće:
Rješenje. a) Pošto je zaključak implikacije tačan, onda će cijela implikacija biti istinita propozicija, bez obzira na logičko značenje premise.