Naći opće rješenje homogenog sistema. Šta je homogeni sistem linearnih jednačina

Matrični podaci

Pronađite: 1) aA - bB,

Odluka: 1) Nalazimo sekvencijalno, koristeći pravila za množenje matrice brojem i sabiranje matrica ..

2. Pronađite A*B ako

Odluka: Koristite pravilo množenja matrice

odgovor:

3. Za datu matricu pronađite minor M 31 i izračunajte determinantu.

Odluka: Minor M 31 je determinanta matrice koja se dobija iz A

nakon brisanja reda 3 i kolone 1. Pronađite

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Transformirajmo matricu A bez promjene njene determinante (napravimo nule u redu 1)





-3, -, -4

-10			-15
-20			-25
-4			-5

Sada izračunavamo determinantu matrice A proširenjem duž reda 1

Odgovor: M 31 = 0, detA = 0

Riješite Gaussovom metodom i Cramerovom metodom.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Odluka: Hajde da proverimo

Možete koristiti Cramerovu metodu

Sistemsko rješenje: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Primjenjujemo Gaussovu metodu.

Proširenu matricu sistema svodimo na trouglasti oblik.

Radi lakšeg izračunavanja, mijenjamo redove:

Pomnožite 2. red sa (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) i dodajte trećem:



	1 / 2		7 / 2

Pomnožite 1. red sa (k = -2 / 2 = -1 ) i dodajte drugom:

Sada se originalni sistem može napisati kao:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Iz 2. reda izražavamo

Od 1. reda izražavamo

Rješenje je isto.

Odgovor: (2; -5; 3)

Naći zajednička odluka sistemi i FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Odluka: Primijenite Gaussov metod. Proširenu matricu sistema svodimo na trouglasti oblik.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3


x 1	x2	x 3	x4	x5

Pomnožite 1. red sa (-11). Pomnožite 2. red sa (13). Dodajmo 2. red na 1.:


-2	-2	-3

Pomnožite 2. red sa (-5). Pomnožite 3. red sa (11). Dodajmo 3. red u 2.:

Pomnožite treći red sa (-7). Pomnožite 4. red sa (5). Dodajmo 4. red u 3.:

Druga jednadžba je linearna kombinacija ostalih

Pronađite rang matrice.

	-18	-24	-18	-27

x 1	x2	x 3	x4	x5

Označeni minor ima najviši red (od mogućih minora) i nije nula (jednak je proizvodu elemenata na recipročnoj dijagonali), pa je rang(A) = 2.

Ovaj minor je osnovni. Uključuje koeficijente za nepoznate x 1, x 2, što znači da su nepoznati x 1, x 2 zavisni (osnovni), a x 3, x 4, x 5 su slobodni.

Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

Metodom eliminacije nepoznatih nalazimo zajednička odluka:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Mi nalazimo fundamentalni sistem rješenja (FSR), koja se sastoji od (n-r) rješenja. U našem slučaju, n=5, r=2, dakle, osnovni sistem rješenja sastoji se od 3 rješenja, a ova rješenja moraju biti linearno nezavisna.

Da bi redovi bili linearno nezavisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata redova bude jednak broju redova, tj. 3.

Dovoljno je dati slobodne nepoznanice x 3 ,x 4 ,x 5 vrijednosti iz redova determinante 3. reda različite od nule i izračunati x 1 ,x 2 .

Najjednostavnija determinanta koja nije nula je matrica identiteta.

Ali ovdje je zgodnije uzeti

Pronalazimo koristeći opće rješenje:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I FSR odluka: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II FSR odluka: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III FSR odluka: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Dato je: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 - 4i. Pronađite: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Odluka: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Odgovor: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i

Homogeni sistemi linearnih algebarskih jednačina

U okviru časova Gaussova metoda i Nekompatibilni sistemi/sistemi sa zajedničkim rješenjem smatrali smo heterogeni sistemi linearne jednačine , gdje besplatni član(koji je obično na desnoj strani) najmanje jedan jednačina je bila različita od nule.
A sada, nakon dobrog zagrevanja sa matrični rang, nastavićemo sa poliranjem tehnike elementarne transformacije na homogeni sistem linearnih jednačina.
Prema prvim paragrafima, materijal može izgledati dosadno i obično, ali ovaj utisak je varljiv. Uz daljnji razvoj tehnika, bit će mnogo novih informacija, pa vas molimo da ne zanemarite primjere u ovom članku.

Šta je homogeni sistem linearnih jednačina?

Odgovor se nameće sam od sebe. Sistem linearnih jednačina je homogen ako je slobodni član svima sistemska jednačina je nula. Na primjer:

To je sasvim jasno homogeni sistem je uvek konzistentan, odnosno uvijek ima rješenje. I, prije svega, tzv trivijalan odluka . Trivijalno, za one koji uopće ne razumiju značenje pridjeva, znači bespontovo. Ne akademski, naravno, ali razumljivo =) ... Zašto se tucati, hajde da saznamo ima li ovaj sistem još neko rješenje:

Primjer 1

Odluka: za rješavanje homogenog sistema potrebno je napisati sistemska matrica i uz pomoć elementarnih transformacija dovesti ga u stepenasti oblik. Imajte na umu da ovdje nema potrebe zapisivati vertikalnu traku i nulti stupac slobodnih članova - jer šta god da radite sa nulama, one će ostati nula:

(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa -2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa -3.

(2) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa -1.

Deljenje trećeg reda sa 3 nema mnogo smisla.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se ekvivalentan homogeni sistem , i, primjenom obrnutih poteza Gaussove metode, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.

Odgovori:

Hajde da formulišemo očigledan kriterijum: homogeni sistem linearnih jednačina ima jedino trivijalno rešenje, ako rang sistemske matrice(u ovaj slučaj 3) jednak je broju varijabli (u ovom slučaju 3 kom.).

Zagrevamo i podešavamo naš radio na talas elementarnih transformacija:

Primjer 2

Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina

Iz članka Kako pronaći rang matrice? prisjećamo se racionalne metode slučajnog smanjenja brojeva matrice. U suprotnom ćete morati da mesate krupnu i često griznu ribu. Primjer zadatka na kraju lekcije.

Nule su dobre i zgodne, ali u praksi je slučaj mnogo češći kada se redovi matrice sistema linearno zavisna. I tada je pojava generalnog rješenja neizbježna:

Primjer 3

Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina

Odluka: pišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je u stepenasti oblik. Prva akcija je usmjerena ne samo na dobivanje jedne vrijednosti, već i na smanjenje brojeva u prvom stupcu:

(1) Treći red je dodat prvom redu, pomnožen sa -1. Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa -2. Gore lijevo sam dobio jedinicu sa "minusom", koja je često mnogo pogodnija za daljnje transformacije.

(2) Prva dva reda su ista, jedan od njih je uklonjen. Iskreno, nije prilagodio rješenje - dogodilo se. Ako izvršite transformacije u predlošku, onda linearna zavisnost linije bi se pojavile malo kasnije.

(3) Trećem redu dodajte drugi red, pomnožen sa 3.

(4) Predznak prvog reda je promijenjen.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se ekvivalentni sistem:

Algoritam radi potpuno isto kao za heterogeni sistemi. Varijable "sjede na stepenicama" su glavne, varijabla koja nije dobila "korake" je besplatna.

Osnovne varijable izražavamo u terminima slobodne varijable:

Odgovori: zajednička odluka:

Trivijalno rješenje je uključeno u opšta formula, i nema potrebe da ga pišete posebno.

Provjera se također vrši uobičajeni obrazac: rezultirajuće opšte rješenje se mora zamijeniti u lijevu stranu svake jednačine sistema i treba dobiti legalnu nulu za sve zamjene.

Ovo bi se moglo tiho okončati, ali rješenje homogenog sistema jednačina često mora biti predstavljeno u vektorskom obliku preko fundamentalni sistem odlučivanja. Molimo vas da privremeno zaboravite analitička geometrija, pošto ćemo sada govoriti o vektorima u opštem algebarskom smislu, o čemu sam malo otvorio u članku matrični rang. Terminologiju nije potrebno zasjeniti, sve je prilično jednostavno.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) je nesumnjivo najvažnija tema kursa linearne algebre. Ogroman broj zadataka iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ovi faktori objašnjavaju razlog za kreiranje ovog članka. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete

odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednadžbi,
proučavati teoriju odabrane metode,
riješite svoj sistem linearnih jednačina, detaljno razmotrivši rješenja tipičnih primjera i zadataka.

Kratak opis materijala članka.

Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo neke oznake.

Zatim se razmatraju metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo, hajde da se fokusiramo na Cramerovu metodu, drugo, pokazaćemo matričnu metodu za rešavanje ovakvih sistema jednačina, i treće, analiziraćemo Gaussov metod (metoda sukcesivnog eliminisanja nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.

Nakon toga prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšti pogled, u kojem se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema degenerisana. Formuliramo Kronecker-Capelli teorem, koji nam omogućava da uspostavimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rješenja sistema (u slučaju njihove kompatibilnosti) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Obavezno se zadržite na strukturi opšteg rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebarskih jednačina. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema rešenja i pokažemo kako se opšte rešenje SLAE piše pomoću vektora fundamentalnog sistema rešenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

U zaključku razmatramo sisteme jednačina koji se svode na linearne, kao i različite probleme u čijem rješavanju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, koncepti, oznake.

Razmotrićemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable, - koeficijenti (neke realne ili kompleksni brojevi), - slobodni članovi (također realni ili kompleksni brojevi).

Ovaj oblik SLAE se zove koordinata.

AT matrični oblik ovaj sistem jednačina ima oblik ,
gdje - glavna matrica sistema, - matrica-kolona nepoznatih varijabli, - matrica-kolona slobodnih članova.

Ako matrici A kao (n + 1)-ti stupac dodamo matricu-kolona slobodnih termina, onda dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih članova odvojen je okomitom linijom od ostalih kolona, tj.

Rješavanjem sistema linearnih algebarskih jednačina naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli, koji pretvara sve jednadžbe sistema u identitete. Matrična jednadžba za date vrijednosti nepoznatih varijabli također se pretvara u identitet.

Ako sistem jednačina ima barem jedno rješenje, onda se zove joint.

Ako sistem jednačina nema rješenja, onda se zove nekompatibilno.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran; ako postoji više od jednog rješenja, onda - neizvjesno.

Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli , tada se sistem poziva homogena, inače - heterogena.

Rješenje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.

Ako je broj sistemskih jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada ćemo takve SLAE zvati osnovno. Takvi sistemi jednačina imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sistema sve nepoznate varijable su jednake nuli.

Počeli smo proučavati takve SLAE u srednja škola. Kada smo ih rješavali, uzeli smo jednu jednačinu, izrazili jednu nepoznatu varijablu kroz druge i zamijenili je u preostale jednačine, zatim uzeli sljedeću jednačinu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednačine, itd. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, jer su one u suštini modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednačina su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih sredimo.

Rješavanje sistema linearnih jednačina Cramerovom metodom.

Trebamo riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina

u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema je različita od nule, tj.

Neka je determinanta glavne matrice sistema, i su determinante matrica koje se dobivaju iz A zamjenom 1., 2., …, n-ti kolonu odnosno kolonu slobodnih članova:

Uz takvu notaciju, nepoznate varijable se izračunavaju po formulama Cramerove metode kao . Ovako se Cramerovom metodom pronalazi rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi.

Primjer.

Cramer metoda .

Odluka.

Glavna matrica sistema ima oblik . Izračunajte njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje koje se može naći Cramerovom metodom.

Sastavite i izračunajte potrebne determinante (determinanta se dobije zamjenom prvog stupca u matrici A sa stupcem slobodnih članova, determinanta - zamjenom drugog stupca sa stupcem slobodnih članova, - zamjenom treće kolone matrice A stupcem slobodnih članova ):

Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula :

odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj sistemskih jednačina veći od tri.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je različita od nule.

Budući da je , tada je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica . Ako oba dijela jednakosti pomnožimo sa lijevo, onda ćemo dobiti formulu za pronalaženje matrice stupaca nepoznatih varijabli. Tako smo dobili rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom.

Primjer.

Riješi sistem linearnih jednačina matrična metoda.

Odluka.

Prepišimo sistem jednačina u matričnom obliku:

As

tada se SLAE može riješiti matričnom metodom. Via inverzna matrica rješenje za ovaj sistem može se naći kao .

Napravimo inverznu matricu koristeći matricu algebarskih komplemenata elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje izračunati - matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na matrici-koloni slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak):

odgovor:

ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem u pronalaženju rješenja sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnim metodom je složenost nalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice red veći od trećeg.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da treba da nađemo rešenje za sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih varijabli
determinanta glavne matrice koja se razlikuje od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se u sukcesivnom isključenju nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim x 2 se isključuje iz svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok se ne pojavi samo nepoznata varijabla x n ostaje u posljednjoj jednačini. Takav proces transformacije jednadžbi sistema za uzastopno eliminisanje nepoznatih varijabli naziva se direktna Gaussova metoda. Nakon što je napredovanje Gaussove metode završeno, x n se nalazi iz posljednje jednačine, x n-1 se izračunava iz pretposljednje jednačine koristeći ovu vrijednost, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednačine. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa posljednje jednadžbe sistema na prvu naziva se reverzna Gaussova metoda.

Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Nepoznatu varijablu x 1 izuzimamo iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da biste to uradili, dodajte prvu jednačinu pomnoženu sa drugoj jednačini sistema, dodajte prvu pomnoženu sa trećoj jednačini, i tako dalje, dodajte prvu pomnoženu sa n-toj jednačini. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje , a .

Do istog rezultata bismo došli ako bismo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema, koji je označen na slici

Da biste to uradili, dodajte drugu jednačinu pomnoženu sa trećoj jednačini sistema, dodajte drugu pomnoženu sa četvrtoj jednačini, i tako dalje, dodajte drugu pomnoženu sa n-toj jednačini. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje , a . Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, postupajući na sličan način sa dijelom sistema označenim na slici

Dakle, nastavljamo direktni tok Gaussove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnutim tokom Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prva jednačina.

Primjer.

Riješi sistem linearnih jednačina Gausova metoda.

Odluka.

Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, oba dijela druge i treće jednačine dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i sa, respektivno:

Sada eliminišemo x 2 iz treće jednačine dodavanjem levom i desni delovi lijeva i desna strana druge jednadžbe, pomnožene sa:

Na ovome je završen kurs naprijed Gaussove metode, počinjemo obrnuti kurs.

Iz posljednje jednadžbe rezultujućeg sistema jednačina nalazimo x 3:

Iz druge jednačine dobijamo .

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time završavamo obrnuti tok Gaussove metode.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

U opštem slučaju, broj jednačina sistema p ne poklapa se sa brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava se također odnosi na sisteme jednačina čija je glavna matrica kvadratna i degenerirana.

Kronecker-Capelli teorema.

Prije pronalaženja rješenja za sistem linearnih jednačina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Daje se odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekompatibilan Kronecker–Capelli teorem:
da bi sistem p jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n) bio kompatibilan potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširena matrica, odnosno Rank(A)=Rank(T) .

Razmotrimo kao primjer primjenu Kronecker-Cappellijeve teoreme za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.

Primjer.

Saznajte da li sistem linearnih jednačina ima rješenja.

Odluka.

. Koristimo se metodom graničenja maloljetnika. Minor drugog reda različito od nule. Idemo preko maloletnika trećeg reda koji ga okružuju:

Pošto su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je dva.

Zauzvrat, rang proširene matrice je jednako tri, pošto je minor trećeg reda

različito od nule.

dakle, Rang(A) , dakle, prema Kronecker-Capellijevoj teoremi, možemo zaključiti da je originalni sistem linearnih jednačina nekonzistentan.

odgovor:

Ne postoji sistem rješenja.

Dakle, naučili smo da utvrdimo nekonzistentnost sistema koristeći Kronecker-Capelli teorem.

Ali kako pronaći rješenje SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?

Da bismo to učinili, potreban nam je koncept baznog minora matrice i teorema o rangu matrice.

Zove se minor najvišeg reda matrice A, osim nule osnovni.

Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A može postojati nekoliko osnovnih minora; uvijek postoji jedan osnovni minor.

Na primjer, razmotrite matricu .

Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.

Sljedeći minori drugog reda su osnovni, jer su različiti od nule

Maloljetnici nisu osnovne, jer su jednake nuli.

Teorema o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p po n r, tada se svi elementi redova (i stupaca) matrice koji ne čine odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata redova (i stupaca) ) koji čine osnovni mol.

Šta nam daje teorema o rangu matrice?

Ako smo Kronecker-Capellijevom teoremom utvrdili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji osnovni minor glavne matrice sistema (njegov red je jednak r), a iz sistema isključujemo sve jednačine koje ne odgovaraju formiraju izabrani osnovni mol. Ovako dobijena SLAE bit će ekvivalentna originalnoj, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednačina).

Kao rezultat, nakon odbacivanja prekomjernih jednačina sistema moguća su dva slučaja.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda će ona biti definitivna i jedino rješenje se može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

Odluka.

Rang glavne matrice sistema je jednako dva, pošto je minor drugog reda različito od nule. Prošireni matrični rang je takođe jednako dva, pošto je jedini minor trećeg reda jednak nuli

a minor drugog reda razmatranog iznad je različit od nule. Na osnovu Kronecker-Capelli teoreme, može se tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jednačina, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kao base minor uzimamo . Formira se koeficijentima prve i druge jednačine:

Treća jednačina sistema ne učestvuje u formiranju baznog minora, pa je isključujemo iz sistema zasnovanog na teoremi o rangu matrice:

Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jednačina. Hajde da to riješimo Cramerovom metodom:

odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ako je broj jednačina r u rezultujućoj SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n, onda ostavljamo članove koji čine osnovni minor u lijevim dijelovima jednačina, a preostale članove prenosimo u desne dijelove jednačina sistem sa suprotnim predznakom.

Nepoznate varijable (ima ih r) koje ostaju na lijevoj strani jednadžbe nazivaju se main.

Nepoznate varijable (ima ih n - r) koje su završile na desnoj strani se pozivaju besplatno.

Sada pretpostavljamo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene u terminima slobodnih nepoznatih varijabli na jedinstven način. Njihov izraz se može naći rješavanjem rezultirajuće SLAE Cramer metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Uzmimo primjer.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih algebarskih jednadžbi .

Odluka.

Odrediti rang glavne matrice sistema metodom graničnih maloljetnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao minor prvog reda koji nije nula. Počnimo tražiti minor drugog reda različit od nule koji okružuje ovaj minor:

Tako smo pronašli nenulti minor drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda:

Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je takođe jednak tri, odnosno sistem je konzistentan.

Pronađeni minor trećeg reda različit od nule će se uzeti kao osnovni.

Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor:

Članove koji učestvuju u osnovnom molu ostavljamo na lijevoj strani jednadžbe sistema, a ostale sa suprotnim predznacima prenosimo na desnu stranu:

Dajemo slobodne nepoznate varijable x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno uzimamo , gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE poprima oblik

Dobijeni elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi rješavamo Cramerovom metodom:

Dakle, .

U odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.

odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Sažmite.

Da bismo riješili sistem linearnih algebarskih jednadžbi opšteg oblika, prvo ćemo saznati njegovu kompatibilnost koristeći Kronecker-Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo da je sistem nekonzistentan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo osnovni minor i odbacujemo jednadžbe sistema koje ne učestvuju u formiranju odabranog osnovnog minora.

Ako je red baznog minora jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje, koje se može pronaći bilo kojom metodom koja nam je poznata.

Ako je red osnovnog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani jednadžbi sistema ostavljamo članove sa glavnim nepoznatim varijablama, preostale članove prenosimo na desne strane i dodjeljujemo proizvoljne vrijednosti na slobodne nepoznate varijable. Iz rezultirajućeg sistema linearnih jednačina nalazimo glavne nepoznanice varijable metoda Cramer, matrična metoda ili Gaussova metoda.

Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Koristeći Gaussovu metodu, može se riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina bilo koje vrste bez njihovog preliminarnog ispitivanja kompatibilnosti. Proces uzastopnog isključivanja nepoznatih varijabli omogućava da se izvede zaključak i o kompatibilnosti i o nekonzistentnosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućava ga i pronalaženje.

Sa stanovišta računskog rada, Gaussova metoda je poželjnija.

Pazi Detaljan opis i analizirane primjere u članku Gausova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Zapisivanje opšteg rešenja homogenih i nehomogenih linearnih algebarskih sistema korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.

U ovom dijelu ćemo se fokusirati na zajedničke homogene i nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednačina koje imaju beskonačan broj rješenja.

Hajdemo prvo da se pozabavimo homogenim sistemima.

Fundamentalni sistem odlučivanja Homogeni sistem p linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno nezavisnih rješenja ovog sistema, gdje je r red baznog minora glavne matrice sistema.

Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su matrice stupaca dimenzije n sa 1 ) , onda je opšte rešenje ovog homogenog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema rešenja sa proizvoljnim konstantnim koeficijentima S 1 , S 2 , …, S (n-r), odnosno .

Šta znači pojam opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (oroslau)?

Značenje je jednostavno: formula postavlja sve moguća rješenja originalni SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti S 1 , S 2 , …, C (n-r) , prema formuli dobijamo jedno od rješenja originalne homogene SLAE.

Dakle, ako pronađemo fundamentalni sistem rješenja, onda možemo postaviti sva rješenja ovog homogenog SLAE kao .

Pokažimo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rješenja za homogenu SLAE.

Biramo osnovni minor originalnog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednačine iz sistema i prenosimo na desnu stranu jednačina sistema suprotnih predznaka sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable. Damo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0,…,0 i izračunajmo glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sistema linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, Cramerovom metodom. Tako će se dobiti X (1) – prvo rješenje fundamentalnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznanice, onda ćemo dobiti X (2) . itd. Ako slobodnim nepoznatim varijablama damo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznate, onda ćemo dobiti X (n-r) . Tako će se konstruisati osnovni sistem rešenja homogene SLAE i njegovo opšte rešenje se može zapisati u obliku .

Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, opšte rešenje je predstavljeno kao

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Pronađite osnovni sistem rješenja i opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi .

Odluka.

Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednačina je uvek jednak rangu proširene matrice. Nađimo rang glavne matrice metodom rubnih minora. Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Nađite granični minor koji nije nula drugog reda:

Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji se graniče s njim u potrazi za nenultom jedinicom:

Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice dva. Uzmimo osnovni mol. Radi jasnoće, bilježimo elemente sistema koji ga čine:

Treća jednačina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju osnovnog mola, stoga se može isključiti:

Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:

Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja originalnog homogenog sistema linearnih jednačina. Osnovni sistem rješenja ovog SLAE sastoji se od dva rješenja, pošto originalni SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a red njegovog osnovnog minora je dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 = 1, x 4 = 0, zatim pronađemo glavne nepoznanice iz sistema jednadžbi
.

Sistem m linearne jednačine c n nepoznato se zove sistem linearnih homogenih jednadžbe ako su svi slobodni članovi jednaki nuli. Takav sistem izgleda ovako:

gdje i ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - dati brojevi; x i- nepoznato.

Linearni sistem homogene jednačine uvijek kompatibilan, jer r(A) = r(). Uvijek ima najmanje nulu ( trivijalan) rješenje (0; 0; ...; 0).

Razmotrimo pod kojim uslovima homogeni sistemi imaju rješenja različita od nule.

Teorema 1. Sistem linearnih homogenih jednadžbi ima rješenja različita od nule ako i samo ako je rang njegove glavne matrice r manje nepoznatih n, tj. r < n.

□ jedan). Neka sistem linearnih homogenih jednačina ima rješenje različito od nule. Pošto rang ne može premašiti veličinu matrice, očigledno je da r ≤ n. Neka bude r = n. Zatim jedan od maloljetnika veličine n n različito od nule. Dakle, odgovarajući sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rešenje: , , . Dakle, nema drugih rješenja osim trivijalnih. Dakle, ako postoji netrivijalno rješenje, onda r < n.

2). Neka bude r < n. Tada je homogeni sistem, budući da je konzistentan, neodređen. Dakle, ima beskonačan broj rješenja, tj. također ima rješenja različita od nule. ■

Razmislite o homogenom sistemu n linearne jednačine c n nepoznato:

(2)

Teorema 2. homogeni sistem n linearne jednačine c n nepoznanica (2) ima rješenja različita od nule ako i samo ako je njena determinanta jednaka nuli: = 0.

□ Ako sistem (2) ima rješenje različito od nule, tada je = 0. Za at , sistem ima samo jedinstveno nulto rješenje. Ako je = 0, onda rang r glavna matrica sistema je manja od broja nepoznatih, tj. r < n. I, prema tome, sistem ima beskonačan broj rješenja, tj. također ima rješenja različita od nule. ■

Označimo rješenje sistema (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n kao niz .

Rješenja sistema linearnih homogenih jednačina imaju sljedeća svojstva:

1. Ako je niz je rješenje za sistem (1), tada je niz također rješenje za sistem (1).

2. Ako su linije i - rješenja sistema (1), zatim za bilo koje vrijednosti sa 1 i sa 2 njihova linearna kombinacija je također rješenje za sistem (1).

Možete provjeriti valjanost ovih svojstava tako što ćete ih direktno zamijeniti u jednadžbe sistema.

Iz formulisanih svojstava proizilazi da je svaka linearna kombinacija rješenja sistema linearnih homogenih jednačina također rješenje ovog sistema.

Sistem linearno nezavisnih rješenja e 1 , e 2 , …, e r pozvao fundamentalno, ako je svako rješenje sistema (1) linearna kombinacija ovih rješenja e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Ako rang r matrica koeficijenata za varijable sistema linearnih homogenih jednadžbi (1) je manja od broja varijabli n, tada se svaki fundamentalni sistem rješenja sistema (1) sastoji od n–r rješenja.

Dakle zajednička odluka sistem linearnih homogenih jednadžbi (1) ima oblik:

gdje e 1 , e 2 , …, e r je bilo koji fundamentalni sistem rješenja sistema (9), sa 1 , sa 2 , …, sa str- proizvoljni brojevi, R = n–r.

Teorema 4. Opće sistemsko rješenje m linearne jednačine c n nepoznanice jednak je zbiru opšteg rešenja odgovarajućeg sistema linearnih homogenih jednačina (1) i proizvoljnog partikularnog rešenja ovog sistema (1).

Primjer. Riješite sistem

Odluka. Za ovaj sistem m = n= 3. Determinanta

prema teoremi 2, sistem ima samo trivijalno rješenje: x = y = z = 0.

Primjer. 1) Pronađite opšta i posebna rješenja sistema

2) Pronađite osnovni sistem rješenja.

Odluka. 1) Za ovaj sistem m = n= 3. Determinanta

prema teoremi 2, sistem ima rješenja različita od nule.

Pošto postoji samo jedna nezavisna jednačina u sistemu

x + y – 4z = 0,

onda iz njega izražavamo x =4z- y. Odakle dobijamo beskonačan skup rješenja: (4 z- y, y, z) je opšte rješenje sistema.

At z= 1, y= -1, dobijamo jedno posebno rešenje: (5, -1, 1). Stavljanje z= 3, y= 2, dobijamo drugo posebno rešenje: (10, 2, 3), itd.

2) U opštem rješenju (4 z- y, y, z) varijable y i z su besplatni, a varijabla X- zavisi od njih. Da bismo pronašli osnovni sistem rješenja, slobodnim varijablama dodjeljujemo vrijednosti: prvo y = 1, z= 0, onda y = 0, z= 1. Dobijamo pojedinačna rješenja (-1, 1, 0), (4, 0, 1), koja čine osnovni sistem rješenja.

Ilustracije:

Rice. 1 Klasifikacija sistema linearnih jednačina

Rice. 2 Proučavanje sistema linearnih jednačina

Prezentacije:

Rješavanje metode SLAE_matrix

Rješenje SLAU_Cramerova metoda

Rješenje SLAE_Gaussova metoda

· Paketi za rješavanje matematičkih zadataka Mathematica: traženje analitičkog i numeričkog rješenja sistema linearnih jednačina

test pitanja:

1. Definirajte linearnu jednačinu

2. Kakav sistem radi m linearne jednadžbe sa n nepoznato?

3. Šta se naziva rješenjem sistema linearnih jednačina?

4. Koji se sistemi nazivaju ekvivalentnim?

5. Koji sistem se naziva nekompatibilnim?

6. Koji sistem se zove zglob?

7. Koji sistem se naziva definisanim?

8. Koji sistem se naziva neodređenim

9. Navedite elementarne transformacije sistema linearnih jednačina

10. Navedite elementarne transformacije matrica

11. Formulirajte teoremu o primjeni elementarnih transformacija na sistem linearnih jednačina

12. Koji se sistemi mogu riješiti matričnom metodom?

13. Koji sistemi se mogu riješiti Cramerovom metodom?

14. Koji sistemi se mogu riješiti Gaussovom metodom?

15. Navedite 3 moguća slučaja koji se javljaju pri rješavanju sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom

16. Opisati matričnu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

17. Opišite Cramerovu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

18. Opišite Gaussovu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

19. Koji se sistemi mogu riješiti korištenjem inverzne matrice?

20. Navedite 3 moguća slučaja koji se javljaju pri rješavanju sistema linearnih jednačina korištenjem Cramerove metode

Književnost:

1. višu matematiku za ekonomiste: Udžbenik za univerzitete / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Fridman. Ed. N.Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2005. - 471 str.

2. Opšti kurs visoke matematike za ekonomiste: Udžbenik. / Ed. IN AND. Ermakov. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 str.

3. Zbirka zadataka iz visoke matematike za ekonomiste: Tutorial/ Pod uredništvom V.I. Ermakov. M.: INFRA-M, 2006. - 574 str.

4. V. E. Gmurman, Vodič za rješavanje problema u teoriji vjerojatnosti i magmatskoj statistici. - M.: postdiplomske škole, 2005. - 400 str.

5. Gmurman. VE Teorija vjerovatnoće i matematička statistika. - M.: Viša škola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Viša matematika u vježbama i zadacima. Dio 1, 2. - M.: Oniks 21. vijek: Svijet i obrazovanje, 2005. - 304 str. dio 1; – 416 str. Dio 2

7. Matematika u ekonomiji: Udžbenik: Za 2 časa / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. - M.: Finansije i statistika, 2006.

8. Shipachev V.S. Viša matematika: Udžbenik za studente. univerziteti - M.: Viša škola, 2007. - 479 str.

Slične informacije.

Homogeni sistem je uvijek konzistentan i ima trivijalno rješenje
. Da bi postojalo netrivijalno rješenje, potrebno je da rang matrice bio manji od broja nepoznatih:

Fundamentalni sistem odlučivanja homogeni sistem
sistem rješenja nazvati u obliku vektora stupaca
, koji odgovaraju kanonskoj osnovi, tj. bazi u kojoj proizvoljne konstante
su naizmjenično jednaki jedan, dok su ostali postavljeni na nulu.

Tada opšte rešenje homogenog sistema ima oblik:

gdje
su proizvoljne konstante. Drugim rečima, opšte rešenje je linearna kombinacija osnovnog sistema rešenja.

Dakle, osnovna rješenja se mogu dobiti iz općeg rješenja ako se slobodnim nepoznanicama naizmenično daje vrijednost jedinice, uz pretpostavku da su sve ostale jednake nuli.

Primjer. Hajde da nađemo rešenje za sistem

Prihvatamo , tada dobijamo rješenje u obliku:

Konstruirajmo sada fundamentalni sistem rješenja:

Opšte rješenje se može napisati kao:

Rješenja sistema homogenih linearnih jednačina imaju sljedeća svojstva:

Drugim riječima, svaka linearna kombinacija rješenja homogenog sistema je opet rješenje.

Rješenje sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom

Rešavanje sistema linearnih jednačina zanimalo je matematičare već nekoliko vekova. Prvi rezultati dobijeni su u XVIII veku. Godine 1750. G. Kramer (1704–1752) objavio je svoje radove o determinantama kvadratnih matrica i predložio algoritam za pronalaženje inverzne matrice. Godine 1809. Gauss je predstavio novi metod rješenja poznat kao metoda eliminacije.

Gaussova metoda, odnosno metoda sukcesivnog eliminisanja nepoznatih, sastoji se u tome što se uz pomoć elementarnih transformacija sistem jednačina svodi na ekvivalentan sistem stepenastog (ili trouglastog) oblika. Takvi sistemi vam omogućavaju da dosljedno pronađete sve nepoznate u određenom redoslijedu.

Pretpostavimo da je u sistemu (1)
(što je uvek moguće).

(1)

Množenjem prve jednadžbe zauzvrat sa tzv odgovarajući brojevi

i dodavanjem rezultata množenja sa odgovarajućim jednačinama sistema, dobijamo ekvivalentni sistem u kojem sve jednačine, osim prve, neće imati nepoznate X 1

(2)

Sada množimo drugu jednačinu sistema (2) odgovarajućim brojevima, pod pretpostavkom da je to

i dodajući je nižim, eliminišemo varijablu svih jednačina, počevši od treće.

Nastavak ovog procesa, nakon
koraci koje dobijamo:

(3)

Ako je barem jedan od brojeva
nije jednako nuli, onda je odgovarajuća jednakost nekonzistentna i sistem (1) je nekonzistentan. Obrnuto, za bilo koji zajednički brojni sistem
jednaki su nuli. Broj nije ništa drugo do rang sistemske matrice (1).