Linearna jednačina se zove homogena ako je njegov presjek nula, a inače nehomogen. Sistem koji se sastoji od homogenih jednačina naziva se homogenim i ima opšti oblik:
Očigledno, svaki homogeni sistem je konzistentan i ima nulto (trivijalno) rješenje. Dakle, za homogene sisteme linearne jednačinečesto se mora tražiti odgovor na pitanje postojanja nenultih rješenja. Odgovor na ovo pitanje može se formulisati kao sljedeća teorema.
Teorema . Homogeni sistem linearnih jednadžbi ima rješenje različito od nule ako i samo ako je njegov rang manji od broja nepoznatih .
Dokaz: Pretpostavimo da sistem čiji je rang jednak ima rješenje različito od nule. Očigledno, ne prelazi . U slučaju da sistem ima jedinstveno rješenje. Pošto sistem homogenih linearnih jednadžbi uvek ima nulto rešenje, upravo nulto rešenje će biti ovo jedinstveno rešenje. Dakle, rješenja različita od nule moguća su samo za .
Zaključak 1 : Homogeni sistem jednačina, u kojem je broj jednačina manji od broja nepoznatih, uvijek ima rješenje različito od nule.
Dokaz: Ako sistem jednačina ima , tada rang sistema ne prelazi broj jednačina, tj. . Dakle, uslov je zadovoljen i, prema tome, sistem ima rešenje različito od nule.
Posljedica 2 : Homogeni sistem jednačina sa nepoznatim ima rešenje različito od nule ako i samo ako je njegova determinanta nula.
Dokaz: Pretpostavimo sistem linearnih homogenih jednačina čija matrica sa determinantom ima rješenje različito od nule. Tada, prema dokazanoj teoremi, , što znači da je matrica degenerirana, tj. .
Kronecker-Capelli teorema: SLE je konzistentan ako i samo ako je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice ovog sistema. Sistem ur-th se naziva kompatibilnim ako ima barem jedno rješenje.Homogeni sistem linearnih algebarskih jednadžbi.
Sistem od m linearnih jednačina sa n varijabli naziva se sistem linearnih homogenih jednačina ako su svi slobodni članovi jednaki 0. Sistem linearnih homogenih jednačina je uvijek kompatibilan, jer uvijek ima barem nulto rješenje. Sistem linearnih homogenih jednačina ima rješenje različito od nule ako i samo ako je rang njegove matrice koeficijenata kod varijabli manji od broja varijabli, tj. za rang A (n. Bilo koja linearna kombinacija
rješenja sistema linija. homogena ur-ii je također rješenje za ovaj sistem.
Sistem linearno nezavisnih rješenja e1, e2,…,ek naziva se fundamentalnim ako je svako rješenje sistema linearna kombinacija rješenja. Teorema: ako je rang r matrice koeficijenata na varijablama sistema linearnih homogenih jednadžbi manji od broja varijabli n, tada se svaki fundamentalni sistem rješenja sistema sastoji od n-r rješenja. Dakle zajednička odluka lin sistemi. single ur-th ima oblik: c1e1+c2e2+…+ckek, gdje je e1, e2,…, ek bilo koji fundamentalni sistem rješenja, c1, c2,…,ck su proizvoljni brojevi i k=n-r. Opšte rješenje sistema od m linearnih jednačina sa n varijabli jednako je zbiru
opšte rešenje sistema koji mu odgovara je homogeno. linearne jednačine i proizvoljno partikularno rješenje ovog sistema.
7. Linearni prostori. Podprostori. Osnova, dimenzija. Linearna školjka. Linearni prostor se zove n-dimenzionalan, ako sadrži sistem linearno nezavisnih vektora, a bilo koji sistem sa više vektora je linearno zavisan. Broj je pozvan dimenzija (broj mjerenja) linearni prostor i označen je sa . Drugim riječima, dimenzija prostora je maksimalan broj linearno nezavisni vektori ovog prostora. Ako takav broj postoji, onda se za prostor kaže da je konačno dimenzionalan. Ako za bilo koji prirodni broj n u prostoru postoji sistem koji se sastoji od linearno nezavisnih vektora, onda se takav prostor naziva beskonačno-dimenzionalnim (pisati: ). U nastavku, osim ako nije drugačije navedeno, razmatrat će se prostori konačnih dimenzija.
Osnova n-dimenzionalnog linearnog prostora je uređeni skup linearno nezavisnih vektora ( baznih vektora).
Teorema 8.1 o proširenju vektora u smislu baze. Ako je baza n-dimenzionalnog linearnog prostora, onda se bilo koji vektor može predstaviti kao linearna kombinacija baznih vektora:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
i, štaviše, na jedinstven način, tj. koeficijenti su jednoznačno određeni. Drugim riječima, bilo koji vektor prostora može se proširiti u osnovi i, štaviše, na jedinstven način.
Zaista, dimenzija prostora je . Sistem vektora je linearno nezavisan (ovo je osnova). Nakon spajanja na osnovu bilo kojeg vektora , dobivamo linearno zavisni sistem(pošto se ovaj sistem sastoji od vektora u n-dimenzionalnom prostoru). Svojstvom 7 linearno zavisnih i linearno nezavisnih vektora dobijamo zaključak teoreme.
Gaussova metoda ima brojne nedostatke: nemoguće je znati da li je sistem konzistentan ili ne dok se ne izvedu sve transformacije potrebne u Gausovoj metodi; Gaussova metoda nije prikladna za sisteme sa slovnim koeficijentima.
Razmotrite druge metode za rješavanje sistema linearnih jednačina. Ove metode koriste koncept ranga matrice i svode rješenje bilo kojeg zajedničkog sistema na rješenje sistema na koji se primjenjuje Cramerovo pravilo.
Primjer 1 Naći opšte rešenje sledećeg sistema linearnih jednačina koristeći osnovni sistem rešenja redukovanog homogenog sistema i određeno rešenje nehomogenog sistema.
1. Pravimo matricu A i proširena matrica sistema (1)
2. Istražite sistem (1) za kompatibilnost. Da bismo to učinili, nalazimo rangove matrica A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ako se ispostavi da , onda sistem (1) nekompatibilno. Ako to dobijemo , onda je ovaj sistem konzistentan i mi ćemo ga riješiti. (Studija konzistentnosti je zasnovana na Kronecker-Capelli teoremi).
a. Mi nalazimo rA.
Naći rA, razmatraćemo sukcesivno nenulte minore prvog, drugog itd. reda matrice A i maloljetnici koji ih okružuju.
M1=1≠0 (1 se uzima iz gornjeg lijevog ugla matrice A).
Bordering M1 drugi red i drugi stupac ove matrice. 
. Nastavljamo do granice M1 drugi red i treci stupac..gif" width="37" height="20 src=">. Sada graničimo nenulti mol M2′ drugi red.
Imamo: 
(jer su prve dvije kolone iste)
(jer su drugi i treći red proporcionalni).
Vidimo to rA=2, i osnovni je minor matrice A.
b. Mi nalazimo .
Dovoljno osnovni mol M2′ matrice A granica sa kolonom slobodnih članova i svim redovima (imamo samo zadnji red).
. Iz ovoga proizilazi da M3′′ ostaje osnovni minor matrice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Jer M2′- bazni minor matrice A sistemi (2) , onda je ovaj sistem ekvivalentan sistemu (3) , koji se sastoji od prve dvije jednačine sistema (2) (za M2′ nalazi se u prva dva reda matrice A).
(3)
Pošto je osnovni mol https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
U ovom sistemu, dvije slobodne nepoznate ( x2 i x4 ). Dakle FSR sistemi (4) sastoji se od dva rješenja. Da bismo ih pronašli, dodjeljujemo slobodne nepoznanice (4) vrijednosti na prvom mjestu x2=1 , x4=0 , i onda - x2=0 , x4=1 .
At x2=1 , x4=0 dobijamo:
.
Ovaj sistem već ima jedina stvar rješenje (može se naći Cramerovim pravilom ili bilo kojom drugom metodom). Oduzimanjem prve jednačine od druge jednačine dobijamo:
Njena odluka će biti x1= -1 , x3=0 . S obzirom na vrijednosti x2 i x4 , koji smo dali, dobijamo prvi fundamentalno rešenje sistemi (2) : .
Sada stavljamo (4) x2=0 , x4=1 . Dobijamo:
.
Ovaj sistem rješavamo korištenjem Cramerove teoreme:
.
Dobijamo drugo fundamentalno rješenje sistema (2) : .
Rješenja β1 , β2 i make up FSR sistemi (2) . Tada će njegovo generalno rješenje biti
γ= C1 β1+S2β2=S1(-1, 1, 0, 0)+S2(5, 0, 4, 1)=(-S1+5S2, S1, 4S2, S2)
Evo C1 , C2 su proizvoljne konstante.
4. Pronađite jedan privatni rješenje heterogeni sistem(1) . Kao u paragrafu 3 , umjesto sistema (1) razmotrite ekvivalentni sistem (5) , koji se sastoji od prve dvije jednačine sistema (1) .
(5)
Prenosimo slobodne nepoznanice na desne strane x2 i x4.
(6)
Dajmo besplatne nepoznate x2 i x4 proizvoljne vrijednosti, npr. x2=2 , x4=1 i priključite ih (6) . Hajde da uzmemo sistem
Ovaj sistem ima jedinstveno rješenje (jer je njegova determinanta M2′0). Rješavajući ga (pomoću Cramerove teoreme ili Gaussove metode), dobijamo x1=3 , x3=3 . S obzirom na vrijednosti slobodnih nepoznanica x2 i x4 , dobijamo posebno rješenje nehomogenog sistema(1)α1=(3,2,3,1).
5. Sada ostaje napisati opšte rešenje α nehomogenog sistema(1) : jednako je zbiru privatna odluka ovaj sistem i opšte rešenje njegovog redukovanog homogenog sistema (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑S1+5S2, S1, 4S2, S2).
Ovo znači: 
(7)
6. Ispitivanje. Da provjerite da li ste ispravno riješili sistem (1) , potrebno nam je generalno rješenje (7) zamena u (1) . Ako svaka jednadžba postane identitet ( C1 i C2 treba uništiti), tada je rješenje pronađeno ispravno.
Zamenićemo (7) na primjer, samo u posljednjoj jednadžbi sistema (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Dobijamo: (3–S1+5S2)+(2+S1)+(3+4S2)–9(1+S2)=–1
(S1–S1)+(5S2+4S2–9S2)+(3+2+3–9)=–1
Gdje je -1=-1. Imamo identitet. To radimo sa svim ostalim jednačinama sistema (1) .
Komentar. Verifikacija je obično prilično glomazna. Možemo preporučiti sljedeću "djelimičnu provjeru": u cjelokupnom rješenju sistema (1) dodijelite neke vrijednosti proizvoljnim konstantama i zamijenite rezultirajuće određeno rješenje samo u odbačene jednadžbe (tj. u one jednačine iz (1) koji nisu uključeni u (5) ). Ako dobijete identitete, onda najvjerovatnije, rješenje sistema (1) pronađeno ispravno (ali takva provjera ne daje potpunu garanciju ispravnosti!). Na primjer, ako je u (7) staviti C2=- 1 , C1=1, tada dobijamo: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Zamjenom u posljednju jednačinu sistema (1) imamo: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tj. –1=–1. Imamo identitet.
Primjer 2 Naći opće rješenje za sistem linearnih jednačina (1) , izražavajući glavne nepoznanice u terminima slobodnih.
Rješenje. Kao u primjer 1, sastaviti matrice A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ovih matrica. Sada ostavljamo samo one jednadžbe sistema (1) , čiji su koeficijenti uključeni u ovaj osnovni minor (tj. imamo prve dvije jednačine) i razmatramo sistem koji se sastoji od njih, a koji je ekvivalentan sistemu (1).
Prenesimo slobodne nepoznanice na desnu stranu ovih jednačina.
sistem (9) rješavamo Gaussovom metodom, smatrajući prave dijelove slobodnim članovima.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Opcija 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Opcija 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Opcija 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opcija 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Nastavit ćemo sa poliranjem tehnike elementarne transformacije na homogeni sistem linearnih jednačina.
Prema prvim paragrafima, materijal može izgledati dosadno i obično, ali ovaj utisak je varljiv. Uz daljnji razvoj tehnika, bit će mnogo novih informacija, pa vas molimo da ne zanemarite primjere u ovom članku.
Šta je homogeni sistem linearnih jednačina?
Odgovor se nameće sam od sebe. Sistem linearnih jednačina je homogen ako je slobodni član svima sistemska jednačina je nula. Na primjer:
To je sasvim jasno homogeni sistem je uvek konzistentan, odnosno uvijek ima rješenje. I, prije svega, tzv trivijalan rješenje 
. Trivijalno, za one koji uopće ne razumiju značenje pridjeva, znači bespontovo. Ne akademski, naravno, ali razumljivo =) ... Zašto se tucati, hajde da saznamo ima li ovaj sistem još neko rješenje:
Primjer 1
Rješenje: za rješavanje homogenog sistema potrebno je napisati sistemska matrica i uz pomoć elementarnih transformacija dovesti ga u stepenasti oblik. Imajte na umu da ovdje nema potrebe zapisivati vertikalnu traku i nulti stupac slobodnih članova - jer šta god da radite sa nulama, one će ostati nula: 
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa -2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa -3.
(2) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa -1.
Deljenje trećeg reda sa 3 nema mnogo smisla.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se ekvivalentan homogeni sistem 
, i, primjenom obrnutih poteza Gaussove metode, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.
Odgovori: 
Hajde da formulišemo očigledan kriterijum: homogeni sistem linearnih jednačina ima jedino trivijalno rešenje, ako rang sistemske matrice(v ovaj slučaj 3) jednak je broju varijabli (u ovom slučaju 3 kom.).
Zagrevamo i podešavamo naš radio na talas elementarnih transformacija:
Primjer 2
Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina 
Da konačno popravimo algoritam, analizirajmo završni zadatak:
Primjer 7
Riješite homogeni sistem, napišite odgovor u vektorskom obliku. 
Rješenje: pišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je u stepenasti oblik: 
(1) Predznak prvog reda je promijenjen. Još jednom skrećem pažnju na tehniku koja se ponavlja, koja vam omogućava da značajno pojednostavite sljedeću radnju.
(1) Prvi red je dodat 2. i 3. redu. Prvi red pomnožen sa 2 dodan je četvrtom redu.
(3) Zadnja tri reda su proporcionalna, dva su uklonjena.
Kao rezultat, dobija se standardna matrica koraka, a rješenje se nastavlja duž nazubljene staze:
– osnovne varijable;
su slobodne varijable.
Osnovne varijable izražavamo u terminima slobodnih varijabli. Iz 2. jednačine:
- zamjena u 1. jednačini:
Dakle, generalno rješenje je:
Budući da postoje tri slobodne varijable u primjeru koji se razmatra, osnovni sistem sadrži tri vektora.
Zamijenimo trostruku vrijednosti 
u opšte rešenje i dobijemo vektor čije koordinate zadovoljavaju svaku jednačinu homogenog sistema. I opet, ponavljam da je vrlo poželjno provjeriti svaki primljeni vektor - neće trebati toliko vremena, ali će uštedjeti sto posto od grešaka.
Za trostruku vrijednost 
pronađite vektor
I na kraju za trostruku 
dobijamo treći vektor:
Odgovori: , gdje
Oni koji žele izbjeći razlomke mogu uzeti u obzir trojke 
i dobijete odgovor u ekvivalentnom obliku:
Govoreći o razlomcima. Pogledajmo matricu dobijenu u zadatku 
i postaviti pitanje - da li je moguće pojednostaviti dalje rješenje? Uostalom, ovdje smo prvo izrazili osnovnu varijablu u terminima razlomaka, zatim osnovnu varijablu u terminima razlomaka, i, moram reći, ovaj proces nije bio najlakši i ne najprijatniji.
Drugo rješenje:
Ideja je pokušati izaberite druge osnovne varijable. Pogledajmo matricu i uočimo dva u trećoj koloni. Pa zašto ne dobiti nulu na vrhu? Napravimo još jednu elementarnu transformaciju:
Neka M 0 je skup rješenja homogenog sistema (4) linearnih jednačina.
Definicija 6.12. Vektori With 1 ,With 2 , …, sa str, koji su rješenja homogenog sistema linearnih jednačina, nazivaju se fundamentalni set rješenja(skraćeno FNR) ako
1) vektori With 1 ,With 2 , …, sa str linearno nezavisne (to jest, nijedna od njih se ne može izraziti u terminima drugih);
2) bilo koje drugo rješenje homogenog sistema linearnih jednačina može se izraziti kroz rješenja With 1 ,With 2 , …, sa str.
Imajte na umu da ako With 1 ,With 2 , …, sa str je neki f.n.r., onda po izrazu k 1× With 1 + k 2× With 2 + … + kp× sa str može opisati cijeli skup M 0 rješenja sistema (4), tako se zove opšti pogled na sistemsko rešenje (4).
Teorema 6.6. Svaki neodređeni homogeni sistem linearnih jednačina ima osnovni skup rješenja.
Način da se pronađe osnovni skup rješenja je sljedeći:
Naći opšte rešenje homogenog sistema linearnih jednačina;
Izgraditi ( n – r) pojedinih rješenja ovog sistema, dok se vrijednosti slobodnih nepoznanica moraju formirati matrica identiteta;
Napišite opći oblik rješenja uključenog u M 0 .
Primjer 6.5. Pronađite osnovni skup rješenja sljedećeg sistema:
Rješenje. Hajde da nađemo opšte rešenje ovog sistema.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Ovaj sistem ima pet nepoznatih ( n= 5), od kojih postoje dvije glavne nepoznanice ( r= 2), tri slobodne nepoznate ( n – r), odnosno osnovni skup rješenja sadrži tri vektora rješenja. Hajde da ih izgradimo. Imamo x 1 i x 3 - glavne nepoznanice, x 2 , x 4 , x 5 - slobodne nepoznanice
Vrijednosti slobodnih nepoznanica x 2 , x 4 , x 5 formiraju matricu identiteta E trećeg reda. Imam te vektore With 1 ,With 2 , With 3 obrazac f.n.r. ovaj sistem. Tada će skup rješenja ovog homogenog sistema biti M 0 = {k 1× With 1 + k 2× With 2 + k 3× With 3 , k 1 , k 2 , k 3 O R).
Hajde sada da saznamo uslove za postojanje nenultih rešenja homogenog sistema linearnih jednačina, drugim rečima, uslove za postojanje fundamentalnog skupa rešenja.
Homogeni sistem linearnih jednadžbi ima rješenja različita od nule, odnosno neodređen je ako
1) rang glavne matrice sistema je manji od broja nepoznatih;
2) u homogenom sistemu linearnih jednačina broj jednačina je manji od broja nepoznatih;
3) ako je u homogenom sistemu linearnih jednadžbi broj jednačina jednak broju nepoznanica, a determinanta glavne matrice jednaka nuli (tj. | A| = 0).
Primjer 6.6. Na kojoj vrijednosti parametra a homogeni sistem linearnih jednačina 
ima rješenja različita od nule?
Rješenje. Sastavimo glavnu matricu ovog sistema i pronađemo njenu determinantu: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. Determinanta ove matrice je jednaka nuli kada a = –4.
Odgovori: –4.
7. Aritmetika n-dimenzionalni vektorski prostor
Osnovni koncepti
U prethodnim odjeljcima već smo se susreli s konceptom skupa realnih brojeva koji se nalaze u određeni red. Ovo je matrica reda (ili matrica stupaca) i rješenje sistema linearnih jednačina sa n nepoznato. Ove informacije se mogu sažeti.
Definicija 7.1. n-dimenzionalni aritmetički vektor naziva se uređenim skupom n realni brojevi.
Sredstva a= (a 1, a 2, …, a n), gdje je a i O R, i = 1, 2, …, n je opšti pogled na vektor. Broj n pozvao dimenzija vektor, i brojevi a i nazvao ga koordinate.
Na primjer: a= (1, –8, 7, 4, ) je petodimenzionalni vektor.
Sve je spremno n-dimenzionalni vektori se obično označavaju kao R n.
Definicija 7.2. Dva vektora a= (a 1, a 2, …, a n) i b= (b 1 , b 2 , …, b n) iste dimenzije jednaka ako i samo ako su njihove odgovarajuće koordinate jednake, tj. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Definicija 7.3.suma dva n-dimenzionalni vektori a= (a 1, a 2, …, a n) i b= (b 1 , b 2 , …, b n) naziva se vektor a + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+b n).
Definicija 7.4. rad pravi broj k po vektoru a= (a 1, a 2, …, a n) naziva se vektor k× a = (k×a 1 , k×a 2 , …, k×a n)
Definicija 7.5. Vector O= (0, 0, …, 0) se poziva nula(ili nul-vektor).
Lako je provjeriti da radnje (operacije) sabiranja vektora i njihovog množenja realnim brojem imaju sljedeća svojstva: a, b, c Î R n, " k, l ILI:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1× a = a, 1 O R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Definicija 7.6. Gomila R n sa operacijama sabiranja vektora i njihovog množenja realnim brojem datim na njemu se zove aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor.
Primjer 1. Naći opće rješenje i neki fundamentalni sistem rješenja za sistemRješenje pronađite pomoću kalkulatora. Algoritam rješenja je isti kao i za sisteme linearnih nehomogenih jednačina.
Radeći samo sa redovima, nalazimo rang matrice, osnovni minor; proglašavamo zavisne i slobodne nepoznanice i pronalazimo opšte rešenje.
Prvi i drugi red su proporcionalni, jedan od njih će biti obrisan:
.
Zavisne varijable - x 2, x 3, x 5, slobodne - x 1, x 4. Iz prve jednačine 10x 5 = 0 nalazimo x 5 = 0, dakle
; .
Opšte rješenje izgleda ovako:
Pronalazimo osnovni sistem rješenja, koji se sastoji od (n-r) rješenja. U našem slučaju, n=5, r=3, dakle, osnovni sistem rješenja sastoji se od dva rješenja, a ta rješenja moraju biti linearno nezavisna. Da bi redovi bili linearno nezavisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata redova bude jednak broju redova, odnosno 2. Dovoljno je dati slobodne nepoznate x 1 i x 4 vrijednosti iz redova determinante drugog reda, koja se razlikuje od nule, i izračunajte x 2 , x 3 , x 5 . Najjednostavnija determinanta koja nije nula je .
Dakle, prvo rješenje je:
, drugi - 
.
Ove dvije odluke čine temeljni sistem odlučivanja. Imajte na umu da osnovni sistem nije jedinstven (odrednice koje nisu nule mogu se sastaviti koliko god želite).
Primjer 2. Naći opšte rešenje i osnovni sistem rešenja sistema 
Rješenje.
,
slijedi da je rang matrice 3 i jednak broju nepoznanica. To znači da sistem nema slobodnih nepoznanica, pa stoga ima jedinstveno rješenje - trivijalno.
Vježba . Istražite i riješite sistem linearnih jednačina.
Primjer 4
Vježba . Pronađite opšta i posebna rješenja za svaki sistem.
Rješenje. Pišemo glavnu matricu sistema:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Dovodimo matricu u trouglasti oblik. Radit ćemo samo sa redovima, jer množenje reda matrice brojem različit od nule i dodavanje u drugi red za sistem znači množenje jednačine istim brojem i dodavanje drugoj jednačini, što ne mijenja rješenje sistema.
Pomnožite 2. red sa (-5). Dodajmo 2. red na 1.:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Pomnožite 2. red sa (6). Pomnožite treći red sa (-1). Dodajmo 3. red u 2.:
Pronađite rang matrice.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Označeni minor ima najviši red (od mogućih minora) i nije nula (jednak je proizvodu elemenata na recipročnoj dijagonali), pa je rang(A) = 2.
Ovaj minor je osnovni. Uključuje koeficijente za nepoznate x 1, x 2, što znači da su nepoznati x 1, x 2 zavisni (osnovni), a x 3, x 4, x 5 su slobodni.
Transformišemo matricu, ostavljajući samo osnovni mol sa leve strane.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x2 | x4 | x 3 | x5 |
Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Metodom eliminacije nepoznatih nalazimo netrivijalno rešenje:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1 ,x 2 kroz slobodne x 3 ,x 4 ,x 5 , tj. zajednička odluka:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Pronalazimo osnovni sistem rješenja, koji se sastoji od (n-r) rješenja.
U našem slučaju, n=5, r=2, dakle, osnovni sistem rješenja sastoji se od 3 rješenja, a ova rješenja moraju biti linearno nezavisna.
Da bi redovi bili linearno nezavisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata redova bude jednak broju redova, tj. 3.
Dovoljno je dati slobodne nepoznanice x 3 ,x 4 ,x 5 vrijednosti iz redova determinante 3. reda različite od nule i izračunati x 1 ,x 2 .
Najjednostavnija determinanta koja nije nula je matrica identiteta.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Zadatak. Pronađite osnovni skup rješenja homogenog sistema linearnih jednačina.