Vjerujem da je sve generalni nacrt znati za postojanje tako divnog matematičkog alata kao što je Fourierova transformacija. Međutim, iz nekog razloga se tako slabo predaje na univerzitetima da relativno malo ljudi razumije kako ova transformacija funkcionira i kako je treba ispravno koristiti. U međuvremenu, matematika ove transformacije je iznenađujuće lijepa, jednostavna i elegantna. Pozivam sve da nauče nešto više o Fourierovoj transformaciji i povezanoj temi o tome kako analogni signali mogu se efikasno pretvoriti u digitalne za računsku obradu.
Bez korištenja složenih formula i Matlaba, pokušat ću odgovoriti na sljedeća pitanja:
- FT, DTF, DTFT - koje su razlike i kako naizgled potpuno različite formule daju tako konceptualno slične rezultate?
- Kako ispravno interpretirati rezultate brze Fourierove transformacije (FFT).
- Šta učiniti ako vam je dat signal od 179 uzoraka, a FFT zahtijeva ulazni niz dužine jednak stepenu dva
- Zašto se pri pokušaju dobivanja spektra sinusoida pomoću Fouriera, umjesto očekivanog pojedinačnog "štapa", na grafu pojavljuje čudna žvrgola i šta se može učiniti po tom pitanju
- Zašto se analogni filteri postavljaju prije ADC-a i poslije DAC-a?
- Da li je moguće digitalizirati ADC signal sa frekvencijom većom od polovine frekvencije uzorkovanja (školski odgovor je netačan, moguć je tačan odgovor)
- Kako vratiti originalni signal pomoću digitalne sekvence
Polazit ću od pretpostavke da čitatelj razumije što je integral, kompleksni broj (kao i njegov modul i argument), konvoluciju funkcija, plus barem „praktičnu“ ideju o tome što je Diracova delta funkcija je. Ako ne znate, nema problema, pročitajte gornje linkove. Kroz ovaj tekst, pod "proizvodom funkcija" mislit ću na "množenje u tački"
Vjerojatno bismo trebali početi s činjenicom da je uobičajena Fourierova transformacija neka vrsta stvari koja, kao što možete pretpostaviti iz imena, transformira jednu funkciju u drugu, odnosno povezuje svaku funkciju realne varijable x(t) sa svojom spektar ili Fourierova slika y (w):
Ako damo analogije, onda primjer transformacije slične po značenju može biti, na primjer, diferencijacija, pretvaranje funkcije u njen derivat. To jest, Fourierova transformacija je u suštini ista operacija kao i uzimanje derivacije, a često se označava na sličan način crtanjem trokutaste “kape” preko funkcije. Samo za razliku od diferencijacije, koja se može definisati i za realne brojeve, Fourierova transformacija uvek „radi“ sa opštijim kompleksnim brojevima. Zbog toga uvijek postoje problemi s prikazivanjem rezultata ove konverzije, jer kompleksni brojevi određuju ne jedna, već dvije koordinate na grafu koji operira realnim brojevima. Najprikladniji način je, u pravilu, predstaviti kompleksne brojeve u obliku modula i argumenta i nacrtati ih zasebno kao dva odvojena grafa:
Često se poziva graf argumenta kompleksne vrijednosti u ovom slučaju“fazni spektar”, a graf modula – “amplitudski spektar”. Amplitudni spektar je obično od mnogo većeg interesa, pa se stoga "fazni" dio spektra često preskače. U ovom članku ćemo se također fokusirati na „amplitudske“ stvari, ali ne treba zaboraviti na postojanje faznog dijela grafa koji nedostaje. Osim toga, umjesto uobičajenog modula kompleksne vrijednosti, često se iscrtava njegov decimalni logaritam pomnožen sa 10. Rezultat je logaritamski grafikon čije su vrijednosti prikazane u decibelima (dB).
Imajte na umu da ne mnogo negativni brojevi logaritamski grafikon (-20 dB ili manje) u ovom slučaju odgovara skoro nuli brojevima na „normalnom“ grafikonu. Stoga, dugi i široki "repovi" različitih spektra na takvim grafovima, kada se prikazuju u "običnim" koordinatama, u pravilu praktički nestaju. Pogodnost tako čudnog na prvi pogled predstavljanja proizlazi iz činjenice da se Fourierove slike različitih funkcija često moraju međusobno množiti. Sa takvim množenjem Fourierovih slika kompleksnih vrijednosti, dodaju se njihovi fazni spektri, a amplitudski spektri se množe. Prvo je lako izvesti, dok je drugo relativno teško. Međutim, logaritmi amplitude se zbrajaju prilikom množenja amplituda, tako da se logaritamski grafovi amplitude mogu, kao i fazni grafovi, jednostavno dodati po tačkama. Osim toga, u praktičnim problemima često je prikladnije raditi ne s "amplitudom" signala, već s njegovom "snagom" (kvadratom amplitude). Na logaritamskoj skali, oba grafikona (amplituda i snaga) izgledaju identično i razlikuju se samo po koeficijentu - sve vrijednosti na grafu snage su tačno dvostruko veće nego na skali amplitude. U skladu s tim, da biste nacrtali distribuciju snage po frekvenciji (u decibelima), ne možete ništa kvadrirati, već izračunati decimalni logaritam i pomnožiti ga sa 20.
Je li ti dosadno? Samo pričekajte još malo, uskoro ćemo završiti s dosadnim dijelom članka koji objašnjava kako interpretirati grafove :). Ali prije toga, postoji jedna vrlo važna stvar koju treba razumjeti: iako su svi gornji dijagrami spektra nacrtani za neke ograničene raspone vrijednosti (posebno, pozitivni brojevi), svi ovi grafovi zapravo nastavljaju na plus i minus beskonačnost. Grafikoni jednostavno prikazuju neki „najznačajniji“ dio grafikona, koji se obično ogleda za negativne vrijednosti parametra i često se periodično ponavlja s određenim korakom kada se gleda na većoj skali.
Nakon što smo odlučili šta je nacrtano na grafovima, vratimo se na samu Fourierovu transformaciju i njena svojstva. Ima ih nekoliko Različiti putevi kako odrediti ovu transformaciju, koja se razlikuje u malim detaljima (različite normalizacije). Na primjer, na našim univerzitetima iz nekog razloga često koriste normalizaciju Fourierove transformacije, koja definira spektar u smislu kutne frekvencije (radijana u sekundi). Koristit ću prikladniju zapadnjačku formulaciju koja definira spektar u terminima uobičajene frekvencije (herca). Direktna i inverzna Fourierova transformacija u ovom slučaju određene su formulama s lijeve strane, a neka svojstva ove transformacije koja će nam trebati određena su listom od sedam tačaka s desne strane:
Prvo od ovih svojstava je linearnost. Ako uzmemo neku linearnu kombinaciju funkcija, onda će Fourierova transformacija ove kombinacije biti ista linearna kombinacija Fourierovih slika ovih funkcija. Ovo svojstvo vam omogućava da smanjite složene funkcije a njihova Fourierova transformacija u jednostavnije. Na primjer, Fourierova transformacija sinusoidalne funkcije s frekvencijom f i amplitudom a je kombinacija dvije delta funkcije smještene u točkama f i -f i sa koeficijentom a/2:
Ako uzmemo funkciju koja se sastoji od sume skupa sinusoida različitih frekvencija, tada će se prema svojstvu linearnosti Fourierova transformacija ove funkcije sastojati od odgovarajućeg skupa delta funkcija. Ovo nam omogućava da damo naivnu, ali vizuelnu interpretaciju spektra prema principu „ako u spektru funkcije frekvencija f odgovara amplitudi a, onda se originalna funkcija može predstaviti kao zbir sinusoida, od kojih će jedna biti sinusoida sa frekvencijom f i amplitudom 2a.” Strogo govoreći, ova interpretacija je netačna, jer su delta funkcija i tačka na grafu potpuno različite stvari, ali kao što ćemo kasnije vidjeti, za diskretne Fourierove transformacije to neće biti tako daleko od istine.
Drugo svojstvo Fourierove transformacije je nezavisnost amplitudnog spektra od vremenskog pomaka signala. Ako funkciju pomjerimo lijevo ili desno duž x-ose, tada će se promijeniti samo njen fazni spektar.
Treće svojstvo je da rastezanje (komprimiranje) originalne funkcije duž vremenske ose (x) proporcionalno komprimuje (proteže) njenu Fourierovu sliku duž frekvencijske skale (w). Konkretno, spektar signala konačnog trajanja je uvijek beskonačno širok i, obrnuto, spektar konačne širine uvijek odgovara signalu neograničenog trajanja.
Četvrto i peto svojstvo su možda najkorisnije od svih. Oni omogućavaju da se konvolucija funkcija svede na tačkasto množenje njihovih Fourierovih slika, i obrnuto - tačkasto množenje funkcija na konvoluciju njihovih Fourierovih slika. Malo dalje ću pokazati koliko je ovo zgodno.
Šesto svojstvo govori o simetriji Fourierovih slika. Konkretno, iz ovog svojstva slijedi da je u Fourier-ovoj transformaciji funkcije realne vrijednosti (tj. bilo kojeg "stvarnog" signala), amplitudski spektar uvijek ravnomjerna funkcija, a fazni spektar (ako se dovede u raspon -pi...pi) je neparan. Iz tog razloga se negativni dio spektra gotovo nikada ne iscrtava na grafovima spektra - za signale realne vrijednosti ne daje nikakve nove informacije (ali, ponavljam, nije ni nula).
Konačno, posljednje, sedmo svojstvo, kaže da Fourierova transformacija čuva “energiju” signala. Ima smisla samo za signale konačnog trajanja, čija je energija konačna, i sugerira da se spektar takvih signala u beskonačnosti brzo približava nuli. Upravo zbog ovog svojstva grafovi spektra obično prikazuju samo "glavni" dio signala, koji nosi lavovski dio energije - ostatak grafikona jednostavno teži nuli (ali, opet, nije nula).
Naoružani sa ovih 7 svojstava, pogledajmo matematiku "digitalizacije" signala koja vam omogućava da konvertujete kontinuirani signal u niz brojeva. Da bismo to učinili, moramo uzeti funkciju poznatu kao "Diracov češalj":
Diracov češalj je jednostavno periodični niz delta funkcija s koeficijentom jedinice, počevši od nule i nastavljajući s korakom T. Za digitalizaciju signala, T se bira što manji broj, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:
Umjesto kontinuirane funkcije, nakon takvog množenja dobija se niz delta impulsa određene visine. Štoviše, prema svojstvu 5 Fourierove transformacije, spektar rezultirajućeg diskretnog signala je konvolucija originalnog spektra s odgovarajućim Diracovim češljem. Lako je shvatiti da se, na osnovu svojstava konvolucije, spektar originalnog signala „kopira“ beskonačan broj puta duž ose frekvencije sa korakom od 1/T, a zatim se sabira.
Imajte na umu da ako je originalni spektar imao konačnu širinu i koristili smo dovoljno visoku frekvenciju uzorkovanja, tada se kopije originalnog spektra neće preklapati, pa se stoga neće zbrajati jedna s drugom. Lako je shvatiti da će iz takvog "srušenog" spektra biti lako vratiti originalni - bit će dovoljno jednostavno uzeti komponentu spektra u području nule, "odsjeći" dodatne kopije koje idu u beskonačnost. Najjednostavniji način da to učinite je da pomnožite spektar sa pravokutnom funkcijom jednakom T u rasponu -1/2T...1/2T i nulom izvan ovog raspona. Takva Fourierova transformacija odgovara funkciji sinc(Tx) i prema svojstvu 4, takvo množenje je ekvivalentno konvoluciji originalnog niza delta funkcija s funkcijom sinc(Tx)
Odnosno, koristeći Fourierovu transformaciju, imamo način da lako rekonstruišemo originalni signal iz vremenski uzorkovanog, pod uslovom da koristimo frekvenciju uzorkovanja koja je najmanje dva puta (zbog prisustva negativnih frekvencija u spektru) veća od maksimalne frekvencije prisutne u originalnom signalu. Ovaj rezultat je široko poznat i naziva se “Kotelnikov/Shannon-Nyquist teorem”. Međutim, kako je sada lako primijetiti (razumijevajući dokaz), ovaj rezultat, suprotno raširenoj zabludi, određuje dovoljno, ali ne neophodno uslov za vraćanje originalnog signala. Sve što trebamo je osigurati da se dio spektra koji nas zanima nakon uzorkovanja signala ne preklapa jedan s drugim, a ako je signal dovoljno uskopojasan (ima malu „širinu“ različitog od nule dijela spektra), onda se ovaj rezultat često može postići na frekvenciji uzorkovanja mnogo nižoj od dvostruke maksimalne frekvencije signala. Ova tehnika se naziva „poduzorkovanje“ (poduzorkovanje, propusno uzorkovanje) i prilično se koristi u obradi svih vrsta radio signala. Na primjer, ako uzmemo FM radio koji radi u frekvencijskom opsegu od 88 do 108 MHz, onda za njegovu digitalizaciju možemo koristiti ADC sa frekvencijom od samo 43,5 MHz umjesto 216 MHz koje pretpostavlja Kotelnikova teorema. U ovom slučaju, međutim, trebat će vam visokokvalitetan ADC i dobar filter.
Dozvolite mi da napomenem da je “dupliciranje” visokih frekvencija sa frekvencijama nižeg reda (aliasing) neposredno svojstvo uzorkovanja signala koje nepovratno “kvari” rezultat. Stoga, ako signal u principu može sadržavati frekvencije visokog reda (to jest, gotovo uvijek), analogni filter se postavlja ispred ADC-a, "odsijecajući" sve nepotrebno direktno u originalnom signalu (pošto nakon uzorkovanja biće prekasno za ovo). Karakteristike ovih filtera, kao analognih uređaja, nisu idealne, pa ipak dolazi do nekih „oštećenja“ signala, a u praksi proizilazi da su najviše frekvencije u spektru, po pravilu, nepouzdane. Da bi se smanjio ovaj problem, signal se često preduzorkuje, postavljajući ulazni analogni filter na niži propusni opseg i koristeći samo donji dio teoretski dostupnog frekvencijskog opsega ADC-a.
Druga uobičajena zabluda, inače, je kada se signal na DAC izlazu crta u "koracima". “Koraci” odgovaraju konvoluciji uzorkovanog signalnog niza s pravokutnom funkcijom širine T i visine 1:
Spektar signala sa ovom transformacijom se množi sa Fourierovom slikom ove pravokutne funkcije, a za sličnu pravokutnu funkciju opet je sinc(w), „rastegnuta“ što je veća, što je manja širina odgovarajućeg pravokutnika. Spektar uzorkovanog signala sa takvim "DAC-om" se množi tačku po tačku ovim spektrom. U ovom slučaju, nepotrebne visoke frekvencije sa “dodatnim kopijama” spektra nisu potpuno odsječene, već je gornji dio “korisnog” dijela spektra, naprotiv, oslabljen.
U praksi to, naravno, niko ne radi. Postoji mnogo različitih pristupa konstruisanju DAC-a, ali čak iu najbližim DAC-ovima ponderisanog tipa, pravougaoni impulsi u DAC-u, naprotiv, biraju se da budu što kraći (približavaju se stvarnom nizu delta funkcija) kako bi kako bi se izbjeglo pretjerano potiskivanje korisnog dijela spektra. “Dodatne” frekvencije u rezultirajućem širokopojasnom signalu gotovo uvijek se poništavaju prolaskom signala kroz analogni niskopropusni filter, tako da nema “digitalnih koraka” ni “unutar” pretvarača, a posebno na njegovom izlazu.
Međutim, vratimo se na Fourierovu transformaciju. Gore opisana Fourierova transformacija primijenjena na prethodno uzorkovanu signalnu sekvencu naziva se Fourierova transformacija diskretnog vremena (DTFT). Spektar dobiven takvom transformacijom je uvijek 1/T-periodičan, stoga je DTFT spektar u potpunosti određen svojim vrijednostima na segmentu)