Broj r se naziva rangom matrice A ako:
1) u matrici A postoji minor reda r, različit od nule;
2) svi minori reda (r+1) i više, ako postoje, jednaki su nuli.
Inače, rang matrice je najviši manji poredak osim nule.
Oznake: rangA, r A ili r.
Iz definicije slijedi da je r cijeli broj pozitivan broj. Za nultu matricu, rang se smatra nula.
Svrha usluge. Online kalkulator je dizajniran za pronalaženje matrični rang. U ovom slučaju rješenje se pohranjuje u Word i Excel formatu. vidi primjer rješenja.
Instrukcije. Odaberite dimenziju matrice, kliknite na Next.
Definicija . Neka je data matrica ranga r. Svaki minor matrice koji se razlikuje od nule i ima red r naziva se osnovnim, a redovi i stupci njenih komponenti nazivaju se osnovnim redovima i stupcima.
Prema ovoj definiciji, matrica A može imati nekoliko baznih minora.
Rang matrice identiteta E je n (broj redova).
Primjer 1. Date dvije matrice, 
i njihove maloljetne osobe 
, 
. Koji se od njih može uzeti kao osnovni?
Rješenje. Minor M 1 =0, tako da ne može biti osnova ni za jednu od matrica. Minor M 2 =-9≠0 i ima red 2, što znači da se može uzeti kao osnova matrica A ili / i B, pod uslovom da imaju rang jednak 2. Pošto je detB=0 (kao determinanta sa dva proporcionalna stupca), onda se rangB=2 i M 2 mogu uzeti kao bazni minor matrice B. Rang matrice A je 3, zbog činjenice da je detA=-27≠ 0 i, prema tome, osnovni minor ove matrice mora biti jednak 3, odnosno M 2 nije baza za matricu A. Imajte na umu da matrica A ima jedan bazni minor, jednak determinanti matrice A.
Teorema (o baznom molu).
Bilo koji red (stupac) matrice je linearna kombinacija njenih osnovnih redova (kolona).
Posljedice iz teoreme.
- Svaka (r+1) kolona (red) matrica ranga r je linearno zavisna.
- Ako je rang matrice manji od broja njenih redova (kolona), tada su njeni redovi (kolone) linearno zavisni. Ako je rang A jednak broju njegovih redova (kolona), tada su redovi (kolone) linearno nezavisni.
- Determinanta matrice A jednaka je nuli ako i samo ako su njeni redovi (kolone) linearno zavisni.
- Ako dodate još jedan red (kolona) u red (kolona) matrice, pomnožen bilo kojim brojem osim nule, tada se rang matrice neće promijeniti.
- Ako precrtate red (kolona) u matrici, koja je linearna kombinacija drugih redova (kolona), tada se rang matrice neće promijeniti.
- Rang matrice je jednak maksimalnom broju njenih linearno nezavisnih redova (kolona).
- Maksimalan broj linearno nezavisnih redova je isti kao i maksimalan broj linearno nezavisnih kolona.
Primjer 2. Pronađite rang matrice 
.
Rješenje.
Na osnovu definicije ranga matrice, tražićemo minor najvišeg reda, različit od nule. Prvo transformiramo matricu u više jednostavan pogled. Da biste to učinili, pomnožite prvi red matrice sa (-2) i dodajte ga drugom, a zatim ga pomnožite sa (-1) i dodajte trećem.
Za rad s konceptom ranga matrice trebat će nam informacija iz teme "Algebarski komplementi i minori. Vrste minora i algebarski komplementi." Prije svega, ovo se odnosi na pojam "matrix minor", budući da ćemo rang matrice odrediti upravo kroz minore.
Matrični rang je maksimalni red njegovih minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli.
Ekvivalentne matrice- matrice čiji su rangovi međusobno jednaki.
Hajde da objasnimo detaljnije. Pretpostavimo da među minorima drugog reda postoji barem jedan koji je različit od nule. I svi maloljetnici čiji je red veći od dva jednaki su nuli. Zaključak: rang matrice je 2. Ili, na primjer, među minorima desetog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli. I svi maloljetnici čiji je red veći od 10 jednaki su nuli. Zaključak: rang matrice je 10.
Rang matrice $A$ označava se na sljedeći način: $\rang A$ ili $r(A)$. Pretpostavlja se da je rang nulte matrice $O$ nula, $\rang O=0$. Dozvolite mi da vas podsjetim da za formiranje minora matrice potrebno je precrtati redove i stupce, ali je nemoguće precrtati više redova i stupaca nego što sadrži sama matrica. Na primjer, ako matrica $F$ ima veličinu $5\puta 4$ (tj. sadrži 5 redaka i 4 stupca), tada je maksimalni redoslijed njenih minora četiri. Više neće biti moguće formirati minore petog reda, jer će za njih biti potrebno 5 kolona (a mi imamo samo 4). To znači da rang matrice $F$ ne može biti veći od četiri, tj. $\rang F≤4$.
U opštijem obliku, gore navedeno znači da ako matrica sadrži $m$ redova i $n$ kolona, onda njen rang ne može premašiti najmanji od $m$ i $n$, tj. $\rang A≤\min(m,n)$.
U principu, iz same definicije ranga slijedi način njegovog pronalaženja. Proces pronalaženja ranga matrice, po definiciji, može se shematski predstaviti na sljedeći način:
Dozvolite mi da objasnim ovaj dijagram detaljnije. Počnimo sa rasuđivanjem od samog početka, tj. iz minora prvog reda neke matrice $A$.
- Ako su svi minori prvog reda (tj. elementi matrice $A$) jednaki nuli, onda je $\rang A=0$. Ako među minorima prvog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 1$. Pređimo na provjeru maloljetnika drugog reda.
- Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, onda je $\rang A=1$. Ako među minorima drugog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 2$. Pređimo na provjeru maloljetnika trećeg reda.
- Ako su svi minori trećeg reda jednaki nuli, onda je $\rang A=2$. Ako među minorima trećeg reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 3$. Pređimo na provjeru maloljetnika četvrtog reda.
- Ako su svi minori četvrtog reda jednaki nuli, onda je $\rang A=3$. Ako među minorima četvrtog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 4$. Prelazimo na provjeru maloljetnika petog reda i tako dalje.
Šta nas čeka na kraju ove procedure? Moguće je da među minorima k-tog reda bude barem jedan koji je različit od nule, a svi minori (k+1) reda će biti jednaki nuli. To znači da je k maksimalni red minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tj. rang će biti jednak k. Situacija može biti drugačija: među minorima k-tog reda bit će barem jedan koji nije jednak nuli, ali više neće biti moguće formirati minore (k+1) reda. U ovom slučaju, rang matrice je također jednak k. Ukratko, poredak poslednjeg sastavljenog minora različitog od nule biće jednak rangu matrice.
Pređimo na primjere u kojima će proces pronalaženja ranga matrice, po definiciji, biti jasno ilustrovan. Dozvolite mi da još jednom naglasim da ćemo u primjerima ove teme početi da pronalazimo rang matrica koristeći samo definiciju ranga. Ostale metode (izračunavanje ranga matrice metodom graničnih minora, izračunavanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija) razmatraju se u sljedećim temama.
Inače, postupak za pronalaženje ranga uopšte nije potrebno pokretati sa maloletnicima najmanjeg reda, kao što je to učinjeno u primerima br. 1 i br. 2. Odmah možete prijeći na maloljetnike višeg reda (vidi primjer br. 3).
Primjer br. 1
Pronađite rang matrice $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(niz) \desno)$.
Ova matrica ima veličinu $3\puta 5$, tj. sadrži tri reda i pet kolona. Od brojeva 3 i 5, minimum je 3, stoga rang matrice $A$ nije veći od 3, tj. $\rang A≤ 3$. I ova nejednakost je očigledna, jer više nećemo moći formirati minore četvrtog reda - za njih su potrebna 4 reda, a mi imamo samo 3. Prijeđimo direktno na proces pronalaženja ranga date matrice.
Među minorima prvog reda (tj. među elementima matrice $A$) postoje oni različiti od nule. Na primjer, 5, -3, 2, 7. Generalno, ne zanima nas ukupan broj elemenata koji nisu nula. Postoji barem jedan element koji nije nula - i to je dovoljno. Pošto među minorima prvog reda postoji barem jedan manji od nule, zaključujemo da je $\rang A≥ 1$ i prelazimo na provjeru minora drugog reda.
Počnimo s istraživanjem maloljetnika drugog reda. Na primjer, na sjecištu redova br. 1, br. 2 i kolona br. 1, br. 4 nalaze se elementi sljedećeg minora: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(niz) \desno|$. Za ovu determinantu svi elementi druge kolone jednaki su nuli, pa je i sama determinanta jednaka nuli, tj. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (vidi svojstvo br. 3 u temi svojstava determinanti). Ili možete jednostavno izračunati ovu determinantu koristeći formulu br. 1 iz odjeljka o izračunavanju determinanti drugog i trećeg reda:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$
Pokazalo se da je prvi minor drugog reda koji smo testirali jednak nuli. Šta to znači? O potrebi dalje provjere maloljetnika drugog reda. Ili će se ispostaviti da su svi nula (i tada će rang biti jednak 1), ili će među njima biti barem jedan minor koji se razlikuje od nule. Pokušajmo napraviti bolji izbor tako što ćemo napisati minor drugog reda, čiji se elementi nalaze na sjecištu redova br. 1, br. 2 i kolona br. 1 i br. 5: $\left|\begin( array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|$. Nađimo vrijednost ovog minora drugog reda:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$
Ovaj minor nije jednak nuli. Zaključak: među minorima drugog reda postoji barem jedan različit od nule. Stoga je $\rang A≥ 2$. Moramo preći na proučavanje maloljetnika trećeg reda.
Ako odaberemo kolonu br. 2 ili kolonu br. 4 da formiramo minore trećeg reda, tada će takvi minori biti jednaki nuli (pošto će sadržavati nultu kolonu). Ostaje provjeriti samo jedan minor trećeg reda, čiji se elementi nalaze na raskrsnici kolona br. 1, br. 3, br. 5 i redova br. 1, br. 2, br. Zapišimo ovaj minor i pronađemo njegovu vrijednost:
$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$
Dakle, svi minori trećeg reda su jednaki nuli. Posljednji minor različit od nule koji smo sastavili bio je drugog reda. Zaključak: maksimalni red minora, među kojima postoji barem jedan različit od nule, je 2. Dakle, $\rang A=2$.
Odgovori: $\rang A=2$.
Primjer br. 2
Pronađite rang matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(niz) \desno)$.
Imamo kvadratnu matricu četvrtog reda. Odmah da primetimo da rang ove matrice ne prelazi 4, tj. $\rang A≤ 4$. Počnimo sa pronalaženjem ranga matrice.
Među minorima prvog reda (tj. među elementima matrice $A$) postoji barem jedan koji nije jednak nuli, dakle $\rang A≥ 1$. Pređimo na provjeru maloljetnika drugog reda. Na primjer, na sjecištu redova br. 2, br. 3 i kolona br. 1 i br. 2 dobijamo sljedeći minor drugog reda: $\left| \begin(niz) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(niz) \right|$. Izračunajmo:
$$\left| \begin(niz) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(niz) \right|=0-10=-10. $$
Među minorima drugog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tako da je $\rang A≥ 2$.
Pređimo na maloljetnike trećeg reda. Nađimo, na primjer, minor čiji se elementi nalaze na sjecištu redova br. 1, br. 3, br. 4 i kolona br. 1, br. 2, br.
$$\lijevo | \begin(niz) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(niz) \right|=105-105=0. $$
Kako se pokazalo da je ovaj minor trećeg reda jednak nuli, potrebno je istražiti još jedan minor trećeg reda. Ili će svi biti jednaki nuli (tada će rang biti jednak 2), ili će među njima biti barem jedan koji nije jednak nuli (tada ćemo početi proučavati maloljetnike četvrtog reda). Razmotrimo minor trećeg reda, čiji se elementi nalaze na preseku redova br. 2, br. 3, br. 4 i kolona br. 2, br. 3, br. 4:
$$\left| \begin(niz) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(niz) \right|=-28. $$
Među minorima trećeg reda postoji barem jedan različit od nule, dakle $\rang A≥ 3$. Pređimo na provjeru maloljetnika četvrtog reda.
Bilo koji minor četvrtog reda nalazi se na presjeku četiri reda i četiri stupca matrice $A$. Drugim riječima, minor četvrtog reda je determinanta matrice $A$, budući da ova matrica sadrži 4 reda i 4 stupca. Determinanta ove matrice je izračunata u primjeru br. 2 teme "Smanjenje redoslijeda determinante. Dekomponiranje determinante u red (kolona)", pa uzmimo samo gotov rezultat:
$$\left| \begin(niz) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (niz)\right|=86. $$
Dakle, minor četvrtog reda nije jednak nuli. Ne možemo više formirati maloljetnike petog reda. Zaključak: najviši red minora, među kojima postoji barem jedan različit od nule, je 4. Rezultat: $\rang A=4$.
Odgovori: $\rang A=4$.
Primjer br. 3
Pronađite rang matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( niz) \desno)$.
Odmah primijetimo da ova matrica sadrži 3 reda i 4 stupca, tako da je $\rang A≤ 3$. U prethodnim primjerima smo započeli proces pronalaženja ranga razmatranjem maloljetnika najmanjeg (prvog) reda. Ovdje ćemo pokušati odmah provjeriti maloljetnike najvišeg mogućeg reda. Za matricu $A$ ovo su minori trećeg reda. Razmotrimo minor trećeg reda, čiji elementi leže na preseku redova br. 1, br. 2, br. 3 i kolona br. 2, br. 3, br. 4:
$$\left| \begin(niz) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(niz) \right|=-8-60-20=-88. $$
Dakle, najviši red minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli, je 3. Dakle, rang matrice je 3, tj. $\rang A=3$.
Odgovori: $\rang A=3$.
Općenito, pronalaženje ranga matrice po definiciji je, u općenitom slučaju, prilično radno intenzivan zadatak. Na primjer, relativno mala matrica veličine $5\puta 4$ ima 60 minora drugog reda. Čak i ako je njih 59 jednako nuli, onda se 60. minor može pokazati da nije nula. Tada ćete morati proučavati maloljetnike trećeg reda, kojih ova matrica ima 40 komada. Obično pokušavaju da koriste manje glomazne metode, kao što je metoda obrubljivanja minora ili metoda ekvivalentnih transformacija.
Definicija. Matrix rang je maksimalni broj linearno nezavisnih redova koji se smatraju vektorima.
Teorema 1 o rangu matrice. Matrix rang naziva se maksimalni red različitog od nule minor matrice.
Već smo razgovarali o pojmu minor u lekciji o determinantama, a sada ćemo ga generalizovati. Uzmimo određeni broj redova i određeni broj stupaca u matrici, a ovo "koliko" treba biti manje od broja redova i stupaca matrice, a za redove i stupce ovo "koliko" treba biti isti broj. Zatim će na presjeku koliko redova i koliko stupaca biti matrica nižeg reda od naše originalne matrice. Determinanta je matrica i bit će minor k-tog reda ako se spomenuti “neki” (broj redova i stupaca) označi sa k.
Definicija. manji ( r+1)-ti red, u okviru kojeg se nalazi izabrani maloljetnik r-ti red se naziva graničnim za dati minor.
Dvije najčešće korištene metode su pronalaženje ranga matrice. Ovo način graničenja maloljetnika I metoda elementarnih transformacija(Gaussova metoda).
Kada se koristi metoda graničnih minora, koristi se sljedeća teorema.
Teorema 2 o rangu matrice. Ako se minor može sastaviti od matričnih elemenata r reda, nije jednak nuli, tada je rang matrice jednak r.
Kada se koristi metoda elementarne transformacije, koristi se sljedeće svojstvo:
Ako se kroz elementarne transformacije dobije trapezoidna matrica koja je ekvivalentna izvornoj, tada rang ove matrice je broj linija u njemu osim linija koje se u potpunosti sastoje od nula.
Određivanje ranga matrice metodom obrubljivanja minora
Granični minor se naziva minor višeg reda u odnosu na dati, ako ovaj manji red višeg reda sadrži dati minor.
Na primjer, s obzirom na matricu
Uzmimo maloljetnika
Granični maloljetnici će biti:
Algoritam za pronalaženje ranga matrice sljedeći.
1. Naći minore drugog reda koji nisu jednaki nuli. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada će rang matrice biti jednako jedan (r =1 ).
2. Ako postoji barem jedan minor drugog reda koji nije jednak nuli, tada sastavljamo granične minore trećeg reda. Ako su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak dva ( r =2 ).
3. Ako barem jedan od graničnih minora trećeg reda nije jednak nuli, tada sastavljamo granične minore. Ako su svi granični minori četvrtog reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak tri ( r =2 ).
4. Nastavite na ovaj način sve dok veličina matrice dozvoljava.
Primjer 1. Pronađite rang matrice
.
Rješenje. Minor drugog reda 
.
Hajde da ga graničimo. Biće četiri granična maloletnika:
,
,
Dakle, svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang ove matrice jednak dva ( r =2 ).
Primjer 2. Pronađite rang matrice
Rješenje. Rang ove matrice je jednak 1, pošto su svi minori drugog reda ove matrice jednaki nuli (u ovom slučaju, kao iu slučajevima graničnih minora u dva sljedeća primjera, dragi studenti su pozvani da provjere za sami, možda koristeći pravila za izračunavanje determinanti), a među minorima prvog reda, odnosno među elementima matrice, postoje oni različiti od nule.
Primjer 3. Pronađite rang matrice
Rješenje. Minor drugog reda ove matrice je, a svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli. Dakle, rang ove matrice je dva.
Primjer 4. Pronađite rang matrice
Rješenje. Rang ove matrice je 3, pošto je jedini minor trećeg reda ove matrice 3.
Određivanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija (Gaussova metoda)
Već u primjeru 1 jasno je da zadatak određivanja ranga matrice metodom graničnih minora zahtijeva izračunavanje veliki broj odrednice. Međutim, postoji način da se količina izračunavanja svede na minimum. Ova metoda se zasniva na korištenju elementarnih matričnih transformacija i naziva se i Gaussova metoda.
Sljedeće operacije se shvataju kao elementarne matrične transformacije:
1) množenje bilo kog reda ili kolone matrice brojem koji nije nula;
2) dodavanje elemenata bilo kog reda ili kolone matrice odgovarajućih elemenata drugog reda ili kolone, pomnoženih istim brojem;
3) zamena dva reda ili kolone matrice;
4) uklanjanje „nultih” redova, odnosno onih čiji su svi elementi jednaki nuli;
5) brisanje svih proporcionalnih linija osim jedne.
Teorema. Tokom elementarne transformacije, rang matrice se ne mijenja. Drugim riječima, ako koristimo elementarne transformacije iz matrice A otišao na matricu B, To .
Također ćemo razmotriti važnu praktičnu primjenu teme: sistemsko istraživanje linearne jednačine za zajedništvo.
Koji je rang matrice?
Šaljivi epigraf članka sadrži veliki udio istina. Riječ „čin“ obično povezujemo s nekom vrstom hijerarhije, najčešće s karijernom ljestvicom. Što više osoba ima znanja, iskustva, sposobnosti, veza itd. – što je veća njegova pozicija i raspon mogućnosti. U smislu mladih, rang se odnosi na opšti stepen „strmosti“.
I naša matematička braća žive po istim principima. Uzmimo nekoliko nasumičnih u šetnju nulte matrice:
Hajde da razmislimo o tome, ako je u matrici sve nule, o kom rangu onda možemo govoriti? Svima je poznat neformalni izraz “totalna nula”. U društvu matrica sve je potpuno isto:
Rang nulte matricebilo koja veličina je jednaka nuli.
Bilješka : Nulta matrica je označena grčkim slovom "theta"
Kako bih bolje razumio rang matrice, u nastavku ću koristiti materijale kao pomoć analitička geometrija. Uzmite u obzir nulu vektor naš trodimenzionalni prostor, koji ne postavlja određeni pravac i beskoristan je za izgradnju afine osnove. Sa algebarske tačke gledišta, koordinate dati vektor snimljeno u matrica“jedan po tri” i logično (u naznačenom geometrijskom smislu) pretpostavimo da je rang ove matrice nula.
Pogledajmo sada nekoliko ne-nula vektori stupaca I vektori reda:
Svaka instanca ima najmanje jedan element različit od nule, i to je nešto!
Rang svakog vektora reda koji nije nula (vektor kolone) je jednak jedan
I uopšteno govoreći - ako je u matrici proizvoljne veličine postoji barem jedan element koji nije nula, a zatim njegov rang ne manje jedinice.
Algebarski vektori redova i vektori stupaca su u određenoj mjeri apstraktni, pa se vratimo opet geometrijskoj asocijaciji. Ne-nula vektor postavlja vrlo određen pravac u prostoru i pogodan je za gradnju osnovu, stoga će se rang matrice smatrati jednakim jedan.
Teorijske informacije : u linearnoj algebri, vektor je element vektorskog prostora (definiran kroz 8 aksioma), koji, posebno, može predstavljati uređen red (ili stupac) realnih brojeva s operacijama zbrajanja i množenja realnim brojem definiranim za njih. Sa više detaljne informacije o vektorima možete pronaći u članku Linearne transformacije.
linearno zavisna(izražene jedna kroz drugu). Sa geometrijske tačke gledišta, drugi red sadrži koordinate kolinearnog vektora 
, što nije nimalo unaprijedilo stvar u izgradnji trodimenzionalne osnove, što je u tom smislu suvišno. Dakle, rang ove matrice je također jednak jedan.
Prepišimo koordinate vektora u stupce ( transponovati matricu):
Šta se promijenilo u pogledu ranga? Ništa. Kolone su proporcionalne, što znači da je rang jednak jedan. Usput, imajte na umu da su sve tri linije također proporcionalne. Mogu se identifikovati sa koordinatama tri kolinearni vektori ravni, od kojih samo jedan korisno za izgradnju "ravne" osnove. I ovo je potpuno u skladu sa našim geometrijskog smisla rang.
Važna izjava slijedi iz gornjeg primjera:
Rang matrice u redovima jednak je rangu matrice u kolonama. Ovo sam već malo spomenuo u lekciji o efektivnosti metode za izračunavanje determinante.
Bilješka : linearna ovisnost redova podrazumijeva linearnu ovisnost stupaca (i obrnuto). Ali da bih uštedio vrijeme, i to iz navike, gotovo uvijek ću govoriti o linearnoj zavisnosti žica.
Nastavimo trenirati našeg voljenog ljubimca. Dodajmo koordinate drugog kolinearnog vektora matrici u trećem redu 
:
Da li nam je pomogao u izgradnji trodimenzionalne osnove? Naravno da ne. Sva tri vektora hodaju naprijed-nazad po istoj stazi, a rang matrice je jednak jedan. Možete uzeti koliko god želite kolinearnih vektora, recimo, 100, staviti njihove koordinate u matricu "sto puta tri", a rang takvog nebodera i dalje će ostati jedan.
Hajde da se upoznamo sa matricom čiji su redovi linearno nezavisna. Par nekolinearnih vektora je pogodan za konstruisanje trodimenzionalne baze. Rang ove matrice je dva.
Koji je rang matrice? Čini se da linije nisu proporcionalne... tako da su, u teoriji, tri. Međutim, rang ove matrice je takođe dva. Dodao sam prva dva reda i napisao rezultat na dnu, tj. linearno izraženo treći red kroz prva dva. Geometrijski, redovi matrice odgovaraju koordinatama tri komplanarni vektori, a među ovo troje je i par ne-kolinearnih drugova.
Kao što možete vidjeti, linearna zavisnost u razmatranoj matrici nije očito, a danas ćemo naučiti kako to iznijeti na vidjelo.
Mislim da mnogi ljudi mogu pogoditi koji je rang matrice!
Razmotrimo matricu čiji su redovi linearno nezavisna. Vektorska forma afine osnove, a rang ove matrice je tri.
Kao što znate, svaki četvrti, peti, deseti vektor trodimenzionalnog prostora biće linearno izražen u terminima baznih vektora. Stoga, ako dodate bilo koji broj redova matrici, tada će biti njen rang i dalje će biti jednako tri.
Slično rezonovanje može se izvesti za matrice većih veličina (naravno, bez ikakvog geometrijskog značenja).
Definicija : rang matrice je maksimalni iznos linearno nezavisnim redovima. Ili: Rang matrice je maksimalni broj linearno nezavisnih stupaca. Da, njihov broj je uvijek isti.
Važna praktična smjernica također slijedi iz navedenog: rang matrice ne prelazi njenu minimalnu dimenziju. Na primjer, u matrici 
četiri reda i pet kolona. Minimalna dimenzija je četiri, stoga rang ove matrice sigurno neće preći 4.
Oznake: u svjetskoj teoriji i praksi ne postoji općeprihvaćeni standard za određivanje ranga matrice; najčešće se može naći: - kako kažu, Englez piše jedno, Nijemac drugo. Stoga, na osnovu poznatog vica o američkom i ruskom paklu, označimo rang matrice domaćom riječju. Na primjer: . A ako je matrica "neimenovana", kojih ima mnogo, onda možete jednostavno napisati .
Kako pronaći rang matrice koristeći minore?
Da je moja baka imala petu kolonu u svojoj matrici, onda bi morala izračunati još jedan minor 4. reda („plava“, „malina“ + 5. kolona).
Zaključak: maksimalni poredak nenulte minor je tri, što znači .
Možda nisu svi u potpunosti shvatili ovu frazu: minor 4. reda jednak je nuli, ali među manjinama 3. reda bio je jedan različit od nule - dakle, maksimalni red ne-nula minor i jednako tri.
Postavlja se pitanje, zašto odmah ne izračunati determinantu? Pa, prvo, u većini zadataka matrica nije kvadratna, a drugo, čak i ako dobijete vrijednost različitu od nule, zadatak će najvjerovatnije biti odbijen, jer obično uključuje standardno rješenje odozdo prema gore. A u razmatranom primjeru, nulta determinanta 4. reda nam omogućava da izjavimo da je rang matrice samo manji od četiri.
Moram priznati da sam na problem koji sam analizirao sam smislio kako bih što bolje objasnio način graničenja maloljetnika. U stvarnoj praksi sve je jednostavnije:
Primjer 2
Pronađite rang matrice koristeći metodu minora ruba 
Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.
Kada algoritam radi najbrže? Vratimo se na istu matricu četiri po četiri. 
. Očigledno, rješenje će biti najkraće u slučaju “dobrog” korner maloljetnici:
I, ako , onda , inače – .
Razmišljanje nije nimalo hipotetičko - ima mnogo primjera gdje je cijela stvar ograničena samo na ugaone minore.
Međutim, u nekim slučajevima je druga metoda učinkovitija i poželjnija:
Kako pronaći rang matrice koristeći Gaussovu metodu?
Paragraf je namenjen čitaocima koji su već upoznati Gaussova metoda i manje-više ga se dočepali.
Sa tehničke tačke gledišta, metoda nije nova:
1) koristeći elementarne transformacije, matricu svodimo na stepenasti oblik;
2) rang matrice je jednak broju redova.
To je apsolutno jasno korištenje Gaussove metode ne mijenja rang matrice, a suština je ovdje krajnje jednostavna: prema algoritmu, tokom elementarnih transformacija, svi nepotrebni proporcionalni (linearno zavisni) redovi se identificiraju i uklanjaju, što rezultira "suhim ostatkom" - maksimalnim brojem linearno nezavisnih redova.
Transformirajmo staru poznatu matricu sa koordinatama tri kolinearna vektora: 
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu.
(2) Nulte linije se uklanjaju.
Dakle, ostaje jedan red, dakle . Nepotrebno je reći da je ovo mnogo brže od izračunavanja devet nula minora 2. reda i tek onda izvođenja zaključka.
Podsećam vas na to samo po sebi algebarska matrica ništa se ne može promijeniti, a transformacije se vrše samo u svrhu određivanja ranga! Usput, hajde da se još jednom zadržimo na pitanju, zašto ne? Izvorna matrica 
nosi informacije koje su fundamentalno različite od informacija matrice i reda. U nekim matematički modeli(bez pretjerivanja) razlika u jednom broju može biti pitanje života i smrti. ...Zapamćeno školski nastavnici matematičari osnovnih i srednjih razreda koji su nemilosrdno smanjivali ocjenu za 1-2 boda za najmanju nepreciznost ili odstupanje od algoritma. I bilo je strašno razočaravajuće kada je umjesto naizgled zagarantovanog "A" ispalo "dobro" ili još gore. Razumijevanje je došlo mnogo kasnije - kako drugačije povjeriti satelite, nuklearne bojeve glave i elektrane osobi? Ali ne brinite, ja ne radim u ovim oblastima =)
Pređimo na sadržajnije zadatke, gdje ćemo se, između ostalog, upoznati sa važnim računskim tehnikama Gaussova metoda:
Primjer 3
Pronađite rang matrice koristeći elementarne transformacije 
Rješenje: data je matrica "četiri puta pet", što znači da njen rang sigurno nije veći od 4.
U prvom stupcu nema 1 ili –1, stoga su potrebne dodatne radnje da bi se dobila barem jedna jedinica. Tokom postojanja sajta, više puta su mi postavljali pitanje: „Da li je moguće preurediti kolone tokom elementarnih transformacija?“ Evo, preuredili smo prvu i drugu kolonu i sve je u redu! U većini zadataka gdje se koristi Gaussova metoda, kolone se zaista mogu preurediti. ALI NIJE POTREBNO. A poenta nije čak ni u mogućoj zabuni sa varijablama, poenta je u klasičnom kursu studija višu matematiku ovu akciju se tradicionalno ne smatra, pa će se na takav naklon gledati VRLO krivo (ili čak prisiliti da sve ponovi).
Druga tačka se tiče brojeva. Dok donosite odluku, korisno je koristiti sljedeće pravilo: elementarne transformacije trebale bi, ako je moguće, smanjiti brojeve matrice. Na kraju krajeva, mnogo je lakše raditi sa jedan, dva, tri nego, na primer, sa 23, 45 i 97. A prva akcija je usmerena ne samo na dobijanje jedan u prvoj koloni, već i na eliminisanje brojeva 7 i 11.
Prvo kompletno rješenje, pa komentari: 
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –3. I na hrpu: 1. red je dodat 4. redu, pomnožen sa –1.
(2) Zadnja tri reda su proporcionalna. 3. i 4. red su uklonjeni, drugi red je pomeren na prvo mesto.
(3) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –3.
Matrica svedena na ešalonski oblik ima dva reda.
Odgovori:
Sada je vaš red da mučite matricu četiri po četiri:
Primjer 4
Pronađite rang matrice koristeći Gaussovu metodu 
Podsećam te na to Gaussova metoda ne podrazumijeva nedvosmislenu rigidnost, a vaša odluka će se najvjerovatnije razlikovati od moje odluke. Kratak primjer zadatka na kraju lekcije.
Koju metodu treba da koristim da pronađem rang matrice?
U praksi se često uopće ne navodi koji metod treba koristiti za pronalaženje ranga. U takvoj situaciji treba analizirati uslov - za neke matrice je racionalnije rješavati kroz minore, dok je za druge mnogo isplativije primijeniti elementarne transformacije:
Primjer 5
Pronađite rang matrice 
Rješenje: prva metoda nekako odmah nestane =)
Malo više, savjetovao sam da se ne diraju stupci matrice, ali kada postoji nulti stupac, ili proporcionalni/poklapajući stupci, onda se ipak isplati amputirati: 
(1) Peti stupac je nula, uklonite ga iz matrice. Dakle, rang matrice nije veći od četiri. Prvi red je pomnožen sa –1. Ovo je još jedna prepoznatljiva karakteristika Gaussove metode, koja sljedeću akciju pretvara u ugodnu šetnju:
(2) Svim redovima, počevši od drugog, dodat je prvi red.
(3) Prvi red je pomnožen sa –1, treći red je podeljen sa 2, četvrti red je podeljen sa 3. Drugi red je dodat petom redu, pomnožen sa –1.
(4) Treći red je dodat petom redu, pomnožen sa –2.
(5) Zadnja dva reda su proporcionalna, peti se briše.
Rezultat su 4 reda.
Odgovori:
Standardna petospratnica za samostalno učenje:
Primjer 6
Pronađite rang matrice
Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Treba napomenuti da se izraz „rang matrice“ ne viđa tako često u praksi, a u većini problema možete i bez njega. Ali postoji jedan zadatak gdje je koncept koji je u pitanju glavni glumac, a da zaključimo članak osvrnut ćemo se na ovu praktičnu primjenu:
Kako proučavati sistem linearnih jednačina za konzistentnost?
Često, pored rješenja sistemi linearnih jednačina prema uslovu, prvo je potrebno ispitati ga na kompatibilnost, odnosno dokazati da bilo koje rješenje uopće postoji. Ključnu ulogu u takvoj verifikaciji imaju Kronecker-Capelli teorem, koji ću formulisati u potrebna forma:
Ako rang sistemske matrice jednak rangu prošireni matrični sistem, tada je sistem konzistentan, a ako se ovaj broj poklapa sa brojem nepoznatih, onda je rješenje jedinstveno.
Dakle, za proučavanje kompatibilnosti sistema potrebno je provjeriti jednakost 
, Gdje - sistemska matrica(zapamtite terminologiju iz lekcije Gaussova metoda), A - proširena sistemska matrica(tj. matrica sa koeficijentima varijabli + kolona slobodnih termina).
Neka je A matrica veličina m\puta n i k je prirodni broj, ne prelazi m i n: k\leqslant\min\(m;n\). Manji k-ti red matrica A je determinanta matrice k-tog reda koju čine elementi na presjeku proizvoljno odabranih k redova i k stupaca matrice A. Prilikom označavanja minora označit ćemo brojeve odabranih redova kao gornje indekse, a brojeve odabranih stupaca kao niže indekse, slažući ih u rastućem redoslijedu.
Primjer 3.4. Napišite minore različitog reda matrice
A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.
Rješenje. Matrica A ima dimenzije 3\x4. Ima: 12 maloljetnika 1. reda, na primjer, maloljetnika M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 maloljetnici 2. reda, npr. M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 maloljetnici 3. reda, npr.
M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.
U matrici A dimenzija m\puta n, minor r-tog reda naziva se osnovni, ako je različit od nule i svi minori (r+1)-ro reda su jednaki nuli ili uopšte ne postoje.
Matrix rang naziva se red baznog mola. U nultoj matrici nema baznog mola. Prema tome, rang nulte matrice je, po definiciji, jednak nuli. Rang matrice A je označen sa \operatorname(rg)A.
Primjer 3.5. Pronađite sve bazne mole i rang matrice
A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.
Rješenje. Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer ove determinante imaju nula treći red. Dakle, samo minor drugog reda koji se nalazi u prva dva reda matrice može biti osnovni. Prolazeći kroz 6 mogućih minora, biramo različitu od nule
M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.
Svaki od ovih pet maloljetnika je osnovni. Dakle, rang matrice je 2.
Napomene 3.2
1. Ako su svi minori k-tog reda u matrici jednaki nuli, tada su i minori višeg reda jednaki nuli. Zaista, širenjem minora (k+1)-ro reda na bilo koji red, dobijamo zbir proizvoda elemenata ovog reda po minorima k-tog reda, a oni su jednaki nuli.
2. Rang matrice je jednak najvišem redu minora različitog od nule ove matrice.
3. Ako kvadratna matrica nedegenerisan, onda je njegov rang jednak njegovom redu. Ako je kvadratna matrica singularna, tada je njen rang manji od njenog reda.
4. Oznake se također koriste za rang \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.
5. Blok matrica rang definira se kao rang regularne (numeričke) matrice, tj. bez obzira na njegovu blok strukturu. U ovom slučaju, rang matrice blokova nije manji od ranga njenih blokova: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)A I \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, budući da su svi minori matrice A (ili B ) također i minori blok matrice (A\mid B) .
Teoreme o baznom molu i rangu matrice
Razmotrimo glavne teoreme koje izražavaju svojstva linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti kolona (redova) matrice.
Teorema 3.1 o baznom molu. U proizvoljnoj matrici A, svaka kolona (red) je linearna kombinacija kolona (redova) u kojoj se nalazi bazni minor.
Zaista, bez gubitka općenitosti, pretpostavljamo da se u matrici A veličine m\puta n osnovni minor nalazi u prvih r redova i prvih r stupaca. Uzmite u obzir odrednicu
D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),
koji se dobija tako što se baznom minoru matrice A dodeli odgovarajući sth elementi redove i k-tu kolonu. Imajte na umu da za bilo koje 1\leqslant s\leqslant m a ova determinanta je jednaka nuli. Ako je s\leqslant r ili k\leqslant r , tada determinanta D sadrži dva identična reda ili dva identična stupca. Ako je s>r i k>r, onda je determinanta D jednaka nuli, jer je minor (r+l)-ro reda. Proširujući determinantu duž zadnje linije, dobijamo
a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,
gdje su D_(r+1\,j) algebarski komplementi elemenata posljednjeg reda. Imajte na umu da je D_(r+1\,r+1)\ne0 jer je ovo bazni mol. Zbog toga
a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Gdje \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.
Zapisujući posljednju jednakost za s=1,2,\ldots,m, dobijamo
\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.
one. k-ti stupac (za bilo koju 1\leqslant k\leqslant n) je linearna kombinacija stupaca baznog minora, što smo trebali dokazati.
Osnovna mala teorema služi za dokazivanje sljedećih važnih teorema.
Uslov da determinanta bude nula
Teorema 3.2 (neophodan i dovoljan uslov da determinanta bude nula). Da bi determinanta bila jednaka nuli, potrebno je i dovoljno da jedna njena kolona (jedan od njenih redova) bude linearna kombinacija preostalih kolona (redova).
Zaista, nužnost slijedi iz teoreme o baznom manjem. Ako je determinanta kvadratne matrice reda n jednaka nuli, tada je njen rang manji od n, tj. najmanje jedan stupac nije uključen u bazni mol. Tada je ovaj odabrani stupac, prema teoremi 3.1, linearna kombinacija stupaca u kojima se nalazi bazni minor. Dodavanjem, ako je potrebno, ovoj kombinaciji drugih kolona sa nultim koeficijentima, dobijamo da je odabrani stupac linearna kombinacija preostalih stupaca matrice. Dovoljnost proizlazi iz svojstava determinante. Ako je, na primjer, posljednji stupac A_n determinante \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) linearno izraženo kroz ostalo
A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),
zatim dodavanje u A_n kolonu A_1 pomnoženo sa (-\lambda_1), zatim kolonu A_2 pomnoženo sa (-\lambda_2), itd. stupac A_(n-1) pomnožen sa (-\lambda_(n-1)) dobijamo determinantu \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) sa nultom kolonom koja je jednaka nuli (svojstvo 2 determinante).
Invarijantnost ranga matrice prema elementarnim transformacijama
Teorema 3.3 (o invarijantnosti ranga prema elementarnim transformacijama). Prilikom elementarnih transformacija stupaca (redova) matrice, njen rang se ne mijenja.
Zaista, neka bude. Pretpostavimo da smo kao rezultat jedne elementarne transformacije stupaca matrice A dobili matricu A". Ako je izvršena transformacija tipa I (permutacija dva stupca), onda bilo koji manji (r+l)-ro reda matrice A" ili je jednak odgovarajućem minoru (r+l )-ro reda matrice A, ili se od njega razlikuje po predznaku (svojstvo 3 determinante). Ako je izvršena transformacija tipa II (množenjem stupca brojem \lambda\ne0 ), tada je bilo koji minor (r+l)-ro reda matrice A" ili jednak odgovarajućem minoru (r+l) -ro reda matrice A ili različit od nje množitelj \lambda\ne0 (svojstvo 6 determinante). Ako je izvršena transformacija. III tip(dodajući jednom stupcu drugi stupac pomnožen brojem \Lambda), tada je bilo koji minor (r+1)-tog reda matrice A" jednak ili odgovarajućem minoru (r+1)-tog reda matrice matrica A (svojstvo 9 determinante), ili je jednaka zbroju dva minora (r+l)-ro reda matrice A (svojstvo 8 determinante). Dakle, sa elementarnom transformacijom bilo koje vrste , svi minori (r+l)-ro reda matrice A" jednaki su nuli, pošto su svi minori (r +l)-ro reda matrice A . Dakle, dokazano je da se elementarnim transformacijama stupaca rang matrice ne može povećati. Pošto su transformacije inverzne elementarnim elementarnim, rang matrice se ne može smanjiti tokom elementarnih transformacija kolona, tj. se ne mijenja. Slično, dokazano je da se rang matrice ne mijenja pod elementarnim transformacijama reda.
Zaključak 1. Ako je jedan red (stupac) matrice linearna kombinacija njegovih drugih redova (kolona), tada se ovaj red (kolona) može izbrisati iz matrice bez promjene njegovog ranga.
Zaista, takav niz se može učiniti nula koristeći elementarne transformacije, a nulti niz ne može biti uključen u bazni minor.
Zaključak 2. Ako se matrica svede na najjednostavniji oblik (1.7), onda
\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.
Zaista, matrica najjednostavnijeg oblika (1.7) ima bazni minor r-tog reda.
Zaključak 3. Svaka nesingularna kvadratna matrica je elementarna, drugim riječima, svaka nesingularna kvadratna matrica je ekvivalentna matrici identiteta istog reda.
Zaista, ako je A nesingularna kvadratna matrica n-tog reda, onda \operatorname(rg)A=n(vidi paragraf 3 komentara 3.2). Stoga, dovodeći matricu A u najjednostavniji oblik (1.7) elementarnim transformacijama, dobijamo matricu identiteta \Lambda=E_n , pošto \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(vidi Korol 2). Prema tome, matrica A je ekvivalentna matrici identiteta E_n i može se dobiti iz nje kao rezultat konačnog broja elementarnih transformacija. To znači da je matrica A elementarna.
Teorema 3.4 (o rangu matrice). Rang matrice je jednak maksimalnom broju linearno nezavisnih redova ove matrice.
U stvari, neka \operatorname(rg)A=r. Tada matrica A ima r linearno nezavisnih redova. Ovo su redovi u kojima se nalazi bazni mol. Ako bi bili linearno zavisni, onda bi ovaj minor bio jednak nuli prema teoremi 3.2, a rang matrice A ne bi bio jednak r. Pokažimo da je r - maksimalan broj linearno nezavisni redovi, tj. bilo koji p redovi su linearno zavisni za p>r. Zaista, mi formiramo matricu B iz ovih p redova. Pošto je matrica B dio matrice A, onda \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r To znači da barem jedan red matrice B nije uključen u bazni minor ove matrice. Tada je, prema teoremi o baznom molu, jednaka linearnoj kombinaciji redova u kojima se nalazi bazni minor. Prema tome, redovi matrice B su linearno zavisni. Dakle, matrica A ima najviše r linearno nezavisnih redova. Zaključak 1. Maksimalni broj linearno nezavisnih redova u matrici jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih stupaca: \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T. Ova tvrdnja slijedi iz teoreme 3.4 ako je primijenimo na redove transponovane matrice i uzmemo u obzir da se minori ne mijenjaju tokom transpozicije (svojstvo 1 determinante). Zaključak 2. Tokom elementarnih transformacija redova matrice, linearna zavisnost (ili linearna nezavisnost) bilo kojeg sistema kolona ove matrice je očuvana. U stvari, izaberemo bilo koje k stupaca date matrice A i sačinimo matricu B od njih. Neka se matrica A" dobije kao rezultat elementarnih transformacija redova matrice A, a matrica B" dobije se kao rezultat istih transformacija redova matrice B. Prema teoremi 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Dakle, ako bi stupci matrice B bili linearno nezavisni, tj. k=\ime operatora(rg)B(vidi Korolar 1), tada su i stupci matrice B" linearno nezavisni, jer k=\ime operatera(rg)B". Kad bi stupci matrice B bili linearno zavisni (k>\operatorname(rg)B), tada su stupci matrice B" također linearno zavisni (k>\operatorname(rg)B"). Posljedično, za bilo koje stupce matrice A, linearna ovisnost ili linearna neovisnost je sačuvana pod elementarnim transformacijama reda. Napomene 3.3 1. Na osnovu posledica 1 teoreme 3.4, svojstvo kolona naznačeno u posledicama 2 važi i za svaki sistem redova matrice ako se elementarne transformacije izvode samo na njegovim kolonama. 2. Korolar 3 teoreme 3.3 može se precizirati na sljedeći način: bilo koja nesingularna kvadratna matrica, koristeći elementarne transformacije samo njenih redova (ili samo njenih kolona), može se svesti na matricu identiteta istog reda. U stvari, koristeći samo elementarne transformacije reda, bilo koja matrica A može se svesti na pojednostavljeni oblik \Lambda (slika 1.5) (vidjeti teoremu 1.1). Pošto je matrica A nesingularna (\det(A)\ne0), njeni stupci su linearno nezavisni. To znači da su stupci matrice \Lambda također linearno neovisni (korolar 2 teoreme 3.4). Prema tome, pojednostavljeni oblik \Lambda nesingularne matrice A koincidira sa njenim najjednostavnijim oblikom (slika 1.6) i predstavlja matrica identiteta \Lambda=E (vidi Korolar 3 teoreme 3.3). Dakle, transformacijom samo redova nesingularne matrice, ona se može svesti na matricu identiteta. Slično razmišljanje vrijedi za elementarne transformacije stupaca nesingularne matrice. Teorema 3.5 (o rangu proizvoda matrica).Rang proizvoda i zbir matrica
\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).
Zaista, neka matrice A i B imaju veličine m\ puta p i p\ puta n. Dodijelimo matrici A matricu C=AB\dvotočka\,(A\sredina C). Naravno da \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), pošto je C dio matrice (A\mid C) (vidi paragraf 5 napomena 3.2). Imajte na umu da je svaki stupac C_j, prema operaciji množenja matrice, linearna kombinacija stupaca A_1,A_2,\ldots,A_p matrice A=(A_1~\cdots~A_p):
C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.
Takav stupac se može obrisati iz matrice (A\mid C) bez promjene njegovog ranga (posledica 1 teoreme 3.3). Precrtanjem svih stupaca matrice C dobijamo: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Odavde, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Slično, možemo dokazati da je uslov istovremeno zadovoljen \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, i izvući zaključak o valjanosti teoreme.
Posljedica. Ako A je dakle nesingularna kvadratna matrica \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)B I \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, tj. rang matrice se ne mijenja kada se pomnoži s lijeve ili desne strane nesingularnom kvadratnom matricom.
Teorema 3.6 o rangu zbira matrica. Rang zbira matrica ne prelazi zbir rangova pojmova:
\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.
Zaista, hajde da napravimo matricu (A+B\srednja A\sredina B). Imajte na umu da je svaki stupac matrice A+B linearna kombinacija stupaca matrice A i B. Zbog toga \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Uzimajući u obzir da broj linearno nezavisnih stupaca u matrici (A\mid B) ne prelazi \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, a \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(vidi odeljak 5 napomene 3.2), dobijamo nejednakost koja se dokazuje.