Uvjet okomitosti vektora
Vektori su okomiti ako i samo ako su njihovi skalarni proizvod jednaka je nuli.
Dana su dva vektora a (xa; ya) i b (xb; yb). Ovi vektori će biti okomiti ako je xaxb + yayb = 0.
Vektori su paralelni ako je njihov unakrsni proizvod nula
Jednačina prave na ravni. Glavni zadaci na pravoj liniji u avionu.
Bilo koja prava linija na ravni može se specificirati jednačinom prvog reda Ax + By + C = 0, a konstante A, B nisu jednake nuli istovremeno, tj. A2 + B2 0. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina ravno. Ovisno o vrijednostima konstante A, B i C mogući su sljedeći posebni slučajevi: - C = 0, A 0, B 0 - prava prolazi kroz početak - A = 0, B 0, C 0 (Po
C = 0) - prava je paralelna sa Ox- B = 0 osi, A 0, C 0 (Ax + C = 0) - prava je paralelna sa Oy- B = C = 0 osi, A 0 - prava linija se poklapa sa osom Oy A = C = 0, B 0 - prava linija se poklapa sa osom Ox. Jednačina prave linije se može predstaviti u razne forme zavisno od datih početnih uslova.
Ako je barem jedan od koeficijenata A, B, C ur-i Ax + Vu + C = 0 jednako je 0, ur-e
pozvao nepotpuna. Po obliku jednačine prave linije može se suditi o njenom položaju
ploxoti OHU. Mogući slučajevi:
1 S = 0 L: Ax + By = 0 t. O (0,0) zadovoljava ovu jednačinu znači prava linija
prolazi kroz ishodište
2 A = 0 L: Vy + C = 0 - normalna vr n = (0, B) je odavde okomito na osu OH
slijedi da je prava paralelna sa OX osom
3 B = 0 L: Ay + C = 0 0 - nominalni v-p n = (A, 0) je okomito na osu OY odavde
sledi da je prava paralelna sa OU osom
4 A = 0, S = 0 L: By = 0 (y = 0 (L = OX
5 B = 0, C = 0 L: Ax = 0 (x = 0 (L = OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - ne prolazi kroz ishodište i seče
obe ose.
Jednačina duž prolazeći kroz dvije date tačke i: 
Ugao između ravnina.
Izračunavanje determinanti
Izračunavanje determinanti zasniva se na njihovim poznatim svojstvima, koja se odnose na determinante svih redova. Ova svojstva su:
1. Ako preuredite dva reda (ili dvije kolone) determinante, tada će determinanta promijeniti predznak.
2. Ako su odgovarajući elementi dva stupca (ili dva reda) determinante jednaki ili proporcionalni, onda je determinanta nula.
3. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako zamijenite redove i kolone, zadržavajući njihov redoslijed.
4. Ako svi elementi bilo kog reda (ili kolone) imaju zajednički faktor, onda se on može izvaditi iz predznaka determinante.
5. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog reda (ili kolone), pomnoženi istim brojem, dodaju elementima jednog reda (ili kolone).
Matrix i dey-iya iznad njih
Matrix- matematički objekat napisan u obliku pravokutne tablice brojeva (ili prstenastih elemenata) i koji omogućava algebarske operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje, itd.) između njega i drugih sličnih objekata. Tipično, matrice su predstavljene dvodimenzionalnim (pravokutnim) tablicama. Ponekad se razmatraju višedimenzionalne ili nepravokutne matrice.
Obično je matrica označena velikim slovom latinice i zatvorena zagradama "(...)" (postoji i izbor sa uglastim zagradama "[...]" ili dvostrukim pravim linijama "|| ... ||").
Brojevi koji čine matricu (elementi matrice) često se označavaju istim slovom kao i sama matrica, ali malim slovima (na primjer, a11 je element matrice A).
Svaki element matrice ima 2 indeksa (aij) - prvi "i" označava broj reda u kojem se element nalazi, a drugi "j" je broj kolone. Kažu "matrica dimenzija", što znači da u matrici postoji m redova i n kolona. Uvek u jednoj matrici,
Matrične operacije
Neka su aij elementi matrice A, a bij elementi matrice B.
Linearne operacije:
Množenje matrice A brojem λ (oznaka: λA) sastoji se od konstruisanja matrice B čiji se elementi dobijaju množenjem svakog elementa matrice A ovim brojem, odnosno svaki element matrice B jednak je
Sabiranje matrica A + B je operacija pronalaženja matrice C čiji su svi elementi jednaki parnom zbroju svih odgovarajućih elemenata matrice A i B, odnosno svaki element matrice C jednak je
Oduzimanje matrica A - B definira se slično kao sabiranje, to je operacija nalaženja matrice C čiji elementi
Sabiranje i oduzimanje dozvoljeno je samo za matrice iste veličine.
Postoji nulta matrica Θ takva da njeno dodavanje drugoj matrici A ne mijenja A, tj.
Svi elementi nulte matrice su jednaki nuli.
Nelinearne operacije:
Množenje matrice (oznaka: AB, rjeđe sa predznakom množenja) je operacija izračunavanja matrice C čiji su elementi jednaki zbroju proizvoda elemenata u odgovarajućem redu prvog faktora i stupcu od drugi Cj = ∑ aikbkj k
Prvi faktor treba da ima onoliko kolona koliko ima redova u drugom. Ako matrica A ima dimenziju, B -, tada je dimenzija njihovog proizvoda AB = C. Množenje matrice nije komutativno.
Množenje matrice je asocijativno. Samo kvadratne matrice se mogu podići na stepen.
Transponiranje matrice (simbol: AT) - operacija u kojoj se matrica reflektuje u odnosu na glavnu dijagonalu, tj.
Ako je A matrica veličine, onda je AT matrica veličine
Derivat složena funkcija
Kompleksna funkcija ima oblik: F (x) = f (g (x)), tj. je funkcija funkcije. Na primjer, y = sin2x, y = ln (x2 + 2x), itd.
Ako je u tački x funkcija g (x) izvod g "(x), a u tački u = g (x) funkcija f (u) ima izvod f" (u), tada je izvod kompozitna funkcija f (g (x)) u tački x postoji i jednaka je f "(u) g" (x).
Izvod implicitne funkcije
U mnogim problemima, funkcija y (x) je data na implicitan način. Na primjer, za funkcije ispod
nemoguće je dobiti zavisnost y (x) u eksplicitnom obliku.
Algoritam za izračunavanje derivacije y "(x) implicitne funkcije je sljedeći:
Prvo, trebate razlikovati obje strane jednadžbe u odnosu na x, pod pretpostavkom da je y diferencijabilna funkcija od x i koristeći pravilo za izračunavanje izvoda kompleksne funkcije;
Riješi rezultirajuću jednačinu za izvod y "(x).
Pogledajmo nekoliko primjera za ilustraciju.
Razlikujte funkciju y (x) datu jednadžbom.
Razlikujemo obje strane jednadžbe s obzirom na varijablu x:
što dovodi do rezultata
Lapitalovo pravilo
L'Hôpitalovo pravilo. Neka f-cija f (x) i g (x) imaju u env. t-ku x0 pr-ny f 'i g', isključujući mogućnost ovog t-ku x0. Neka je lim (x®Dx) = lim (x®Dx) g (x) = 0 tako da f (x) / g (x) daje 0/0 za x®x0. lim (x®x0) f '(x) / g' (x) $ (4) kada se poklapa sa granicom omjera funkcije lim (x®x0) f (x) / g (x) = lim (x ®x0) f '(x) / g' (x) (5)
44
.1 (Kriterijum za monotonost funkcije s derivacijom na intervalu) Neka je funkcija 
kontinuirano uključeno
(a, b), i ima derivaciju f "(x) u svakoj tački. Zatim
1) f raste na (a, b) ako i samo ako
2) smanjuje se za (a, b) ako i samo ako
2. (Dostatan uslov za strogu monotonost funkcije s derivacijom na intervalu) Neka je funkcija 
je kontinuiran na (a, b), i ima izvod f "(x) u svakoj tački. Tada
1) ako je tada f striktno rastuće na (a, b);
2) ako tada f striktno opada na (a, b).
Uopšteno govoreći, obrnuto nije tačno. Izvod striktno monotone funkcije može nestati. Međutim, skup tačaka u kojima derivacija nije nula mora biti gust na intervalu (a, b). Tačnije, odvija se.
3. (Kriterijum za strogu monotonost funkcije s derivacijom na intervalu) Neka a derivacija f"(x) je definirana svuda na intervalu. Tada f striktno raste na intervalu (a, b) ako i samo ako su ispunjena sljedeća dva uslova:
Tačkasti proizvod vektora. Ugao između vektora. Uslov da vektori budu paralelni ili okomiti.
Skalarni proizvod vektora je proizvod njihovih dužina kosinusom ugla između njih:
Na potpuno isti način, kao u planimetriji, dokazuju se sljedeće tvrdnje:
Skalarni proizvod dva vektora različita od nule jednak je nuli ako i samo ako su ti vektori okomiti.
Skalarni kvadrat vektora, odnosno njegov skalarni proizvod sam po sebi, jednak je kvadratu njegove dužine.
Skalarni proizvod dva vektora i dat njihovim koordinatama može se izračunati po formuli
Vektori su okomiti ako i samo ako je njihov dot proizvod jednak nuli. Primjer. Zadana su dva vektora i. Ovi vektori će biti okomiti ako je izraz x1x2 + y1y2 = 0. Ugao između vektora koji nisu nula je ugao između pravih linija za koje su ovi vektori vodilice. Ugao između bilo kojeg vektora i nultog vektora se po definiciji smatra jednakim nuli. Ako je ugao između vektora 90 °, onda se takvi vektori nazivaju okomiti. Ugao između vektora će biti označen na sljedeći način:
ohm. Za ovo prvo uvodimo koncept segmenta.
Definicija 1
Segment je dio prave linije koji je omeđen točkama s obje strane.
Definicija 2
Krajevi segmenta će se zvati tačke koje ga ograničavaju.
Da bismo uveli definiciju vektora, jedan od krajeva segmenta će se zvati početkom.
Definicija 3
Vektor (usmjereni segment) će se zvati segment za koji je naznačeno koja je granična tačka njegov početak, a koja kraj.
Oznaka: \ overline (AB) - vektor AB, koji počinje u tački A i završava se u tački B.
Inače, jedno malo slovo: \ overline (a) (slika 1).
Definicija 4
Svaka tačka koja pripada ravni će se zvati nulti vektor.
Oznaka: \ overline (0).
Sada direktno uvodimo definiciju kolinearnih vektora.
Uvest ćemo i definiciju dot proizvoda, koja će nam kasnije trebati.
Definicija 6
Skalarni proizvod dva data vektora je skalar (ili broj) koji je jednak proizvodu dužina ova dva vektora sa kosinusom ugla između ovih vektora.
Matematički, to bi moglo izgledati ovako:
\ nadcrt (α) \ nadcrt (β) = | \ nadcrt (α) || \ nadcrt (β) | cos∠ (\ nadcrt (α), \ nadcrt (β))
Tačkasti proizvod se također može pronaći koristeći koordinate vektora kako slijedi
\ nadcrt (α) \ nadcrt (β) = α_1 β_1 + α_2 β_2 + α_3 β_3
Znak okomitosti kroz proporcionalnost
Teorema 1
Da bi vektori različiti od nule bili okomiti jedan na drugi, neophodno je i dovoljno da njihov skalarni proizvod ovih vektora bude jednak nuli.
Dokaz.
Neophodnost: Neka su nam dati vektori \ overline (α) i \ overline (β), koji imaju koordinate (α_1, α_2, α_3) i (β_1, β_2, β_3), respektivno, i oni su okomiti jedni na druge. Tada trebamo dokazati sljedeću jednakost
Pošto su vektori \ overline (α) i \ overline (β) okomiti, ugao između njih je 90 ^ 0. Nađite tačkasti proizvod ovih vektora koristeći formulu iz definicije 6.
\ overline (α) \ cdot \ overline (β) = | \ overline (α) || \ overline (β) | cos90 ^ \ circ = | \ overline (α) || \ overline (β) | \ cdot 0 = 0
Dovoljnost: Neka je jednakost istinita \ nadcrt (α) \ cdot \ nadcrt (β) = 0... Dokažimo da će vektori \ overline (α) i \ overline (β) biti okomiti jedan na drugi.
Prema definiciji 6, jednakost
| \ nadcrt (α) || \ nadcrt (β) | cos∠ (\ nadcrt (α), \ nadcrt (β)) = 0
Cos∠ (\ nadcrt (α), \ nadcrt (β)) = 0
∠ (\ nadcrt (α), \ nadcrt (β)) = 90 ^ \ krug
Stoga će vektori \ overline (α) i \ overline (β) biti okomiti jedan na drugi.
Teorema je dokazana.
Primjer 1
Dokazati da su vektori sa koordinatama (1, -5,2) i (2,1,3 / 2) okomiti.
Dokaz.
Pronađite tačkasti proizvod za ove vektore pomoću formule date gore
\ overline (α) \ cdot \ overline (β) = 1 \ cdot 2 + (- 5) \ cdot 1 + 2 \ cdot \ frac (3) (2) = 2 \ cdot 5 + 3 = 0
Dakle, prema teoremi 1, ovi vektori su okomiti.
Pronalaženje vektora okomitog na dva data vektora kroz unakrsni proizvod
Hajde da prvo predstavimo koncept vektorskog proizvoda.
Definicija 7
Vektorski proizvod dva vektora je vektor koji će biti okomit na oba data vektora, a njegova dužina će biti jednaka proizvodu dužina ovih vektora sa sinusom ugla između ovih vektora i ovog vektora sa dva početna ima istu orijentaciju kao Kartezijanski koordinatni sistem.
Oznaka: \ nadcrt (α) x \ nadcrt (β) x.
Da bismo pronašli unakrsni proizvod, koristit ćemo formulu
\ overline (α) x \ overline (β) = \ početak (vmatrix) \ overline (i) & \ overline (j) & \ overline (k) \\ α_1 & α_2 & α_3 \\ β_1 & β_2 & β_3 \ end (vmatrix) x
Pošto je vektor vektorskog proizvoda dva vektora okomit na oba ova vektora, to će biti vektor pretraživanja. To jest, da biste pronašli vektor okomit na dva vektora, samo trebate pronaći njihov križni proizvod.
Primjer 2
Pronađite vektor okomit na vektore sa koordinatama \ overline (α) = (1,2,3) i \ overline (β) = (- 1,0,3)
Pronađite unakrsni proizvod ovih vektora.
\ nadcrt (α) x \ nadcrt (β) = \ početak (vmatrix) \ nadcrt (i) & \ nadcrt (j) & \ nadcrt (k) \\ 1 & 2 & 3 \\ - 1 & 0 & 3 \ kraj (vmatrix) = (6- 0) \ nadcrt (i) - (3 + 3) \ nadcrt (j) + (0 + 2) \ nadcrt (k) = 6 \ nadcrt (i) -6 \ nadcrt (j ) +2 \ overline (k) = (6,6,2) x
Instrukcije
Ako je originalni vektor na crtežu prikazan u pravougaonom dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu i okomicu na njega treba izgraditi na istom mestu, poći od definicije okomitosti vektora na ravni. Navodi da ugao između takvog para usmjerenih linija mora biti 90°. Takvi vektori mogu biti beskonačni. Stoga, nacrtajte bilo koji povoljna lokacija ravan okomita na originalni vektor, stavite segment na nju, jednaka dužini dati uređeni par tačaka i označiti jedan od njegovih krajeva kao početak okomitog vektora. Učinite to kutomjerom i ravnalom.
Ako je originalni vektor zadan dvodimenzionalnim koordinatama ā = (X₁; Y₁), polazite od činjenice da bi skalarni proizvod para okomitih vektora trebao biti jednak nuli. To znači da za željeni vektor ō = (X₂, Y₂) morate odabrati takve koordinate na kojima će biti ispunjena jednakost (ā, ō) = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ = 0. To se može učiniti na sljedeći način: odaberite bilo koju vrijednost različitu od nule za X₂ koordinatu i izračunajte Y₂ koordinate po formuli Y₂ = - (X₁ * X₂) / Y₁. Na primjer, za vektor ā = (15; 5) postojat će vektor ō, sa apscisom, jednako jedan, i ordinata jednaka - (15 * 1) / 5 = -3, tj. ō = (1; -3).
Za trodimenzionalni i bilo koji drugi ortogonalni koordinatni sistem važi isti neophodan i dovoljan uslov da vektori budu okomiti - njihov skalarni proizvod mora biti jednak nuli. Stoga, ako je originalni usmjereni segment određen koordinatama ā = (X₁, Y₁, Z₁), odaberite za uređeni par tačaka ō = (X₂, Y₂, Z₂) tako da je uvjet (ā, ō) = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂ = 0. Najlakši način je dodijeliti X₂ i Y₂ pojedinačne vrijednosti i izračunati Z₂ iz pojednostavljene jednakosti Z₂ = -1 * (X₁ * 1 + Y₁ * 1) / Z₁ = - (X₁ = - + Y₁) / Z₁. Na primjer, za vektor ā = (3,5,4) ovo će poprimiti sljedeći oblik: (ā, ō) = 3 * X₂ + 5 * Y₂ + 4 * Z₂ = 0. Zatim uzmite apscisu i ordinatu od okomiti vektor kao jedinica, au ovom slučaju će biti - (3 + 5) / 4 = -2.
Izvori:
- nađi vektor ako je okomit
Okomite se nazivaju vektor, ugao između kojih je 90º. Okomiti vektori se crtaju pomoću alata za crtanje. Ako znate njihove koordinate, možete provjeriti ili pronaći okomitost vektora pomoću analitičkih metoda.
Trebaće ti
- - kutomjer;
- - kompasi;
- - vladar.
Instrukcije
Postavite ga na početnu tačku vektora. Nacrtajte krug proizvoljnog radijusa. Zatim nacrtajte dva sa centrima u tačkama gde je prvi krug presekao liniju na kojoj leži vektor. Polumjeri ovih kružnica moraju biti jednaki jedan drugom i veći od prve konstruirane kružnice. U tačkama preseka kružnica nacrtajte pravu koja će biti okomita na originalni vektor u tački njegovog porekla, i na nju stavite vektor okomit na dati.
Naći vektor okomit na zapreminu čije su koordinate i jednake (x; y). Da biste to učinili, pronađite par brojeva (x1; y1) koji bi zadovoljio jednakost x x1 + y y1 = 0. U ovom slučaju, vektor sa koordinatama (x1; y1) će biti okomit na vektor sa koordinatama (x; y).
Ovaj članak otkriva značenje okomitosti dva vektora na ravni u trodimenzionalnom prostoru i pronalaženje koordinata vektora okomitog na jedan ili cijeli par vektora. Tema je primjenjiva na probleme koji se odnose na jednačine pravih i ravni.
Razmotrićemo neophodan i dovoljan uslov za okomitost dva vektora, rešiti ga metodom nalaženja vektora okomitog na dati, dotaknuti se situacije za pronalaženje vektora koji je okomit na dva vektora.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Neophodan i dovoljan uslov da dva vektora budu okomiti
Primijenimo pravilo o okomitim vektorima u ravni i u trodimenzionalnom prostoru.
Definicija 1
Pod uslovom da je vrednost ugla između dva vektora različita od nule jednaka 90° (π 2 radijana) naziva se okomito.
Šta to znači i u kojim situacijama trebate znati o njihovoj okomitosti?
Uspostavljanje okomitosti moguće je kroz crtež. Prilikom crtanja vektora na ravni od postavljene tačke možete geometrijski izmjeriti ugao između njih. Okomitost vektora, čak i ako je uspostavljena, nije sasvim tačna. Najčešće vam ovi zadaci ne dozvoljavaju da to učinite pomoću kutomjera, pa je ova metoda primjenjiva samo u slučaju kada se ništa drugo ne zna o vektorima.
Većina slučajeva dokazivanja okomitosti dva vektora različita od nule u ravni ili u prostoru radi se pomoću neophodan i dovoljan uslov za okomitost dva vektora.
Teorema 1
Skalarni proizvod dva različita od nule vektora a → i b → jednak nuli da bi se zadovoljila jednakost a →, b → = 0 je dovoljan za njihovu okomitost.
Dokaz 1
Neka su dati vektori a → i b → okomiti, tada ćemo izvršiti dokaz jednakosti a ⇀, b → = 0.
Iz definicije prof tačkasti proizvod vektora znamo da je jednako proizvod dužina datih vektora sa kosinusom ugla između njih. Po uslovu, a → i b → su okomiti, pa je prema definiciji ugao između njih 90°. Tada imamo a →, b → = a → b → cos (a →, b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0.
Drugi dio dokaza
Pod uslovom da je a ⇀, b → = 0, dokazati okomitost a → i b →.
U stvari, dokaz je suprotan od prethodnog. Poznato je da su a → i b → različite od nule, pa iz jednakosti a ⇀, b → = a → b → cos (a →, b →) ^ nalazimo kosinus. Tada dobijamo cos (a →, b →) ^ = (a →, b →) a → b → = 0 a → b → = 0. Pošto je kosinus nula, možemo zaključiti da je ugao a →, b → ^ vektora a → i b → 90°. Po definiciji, ovo je neophodno i dovoljno svojstvo.
Uslov okomitosti na koordinatnoj ravni
Poglavlje tačkasti proizvod u koordinatama pokazuje nejednakost (a →, b →) = ax bx + ay by, koja vrijedi za vektore sa koordinatama a → = (ax, ay) i b → = (bx, by), na ravni i (a →, b → ) = ax bx + ay by za vektore a → = (ax, ay, az) i b → = (bx, by, bz) u prostoru. Neophodan i dovoljan uslov za okomitost dva vektora u koordinatnoj ravni ima oblik a x b x + a y b y = 0, za trodimenzionalni prostor a x b x + a y b y + a z b z = 0.
Primijenimo to u praksi i razmotrimo na primjerima.
Primjer 1
Provjerite svojstvo okomitosti dva vektora a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Rješenje
Da biste riješili ovaj problem, morate pronaći tačkasti proizvod. Ako će po uslovu biti jednako nuli, onda su oni okomiti.
(a →, b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0. Uslov je ispunjen, što znači da su dati vektori okomiti na ravan.
odgovor: da, dati vektori a → i b → su okomiti.
Primjer 2
Dati su koordinatni vektori i →, j →, k →. Provjerite da li vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → mogu biti okomiti.
Rješenje
Da biste zapamtili kako se određuju koordinate vektora, morate pročitati članak o tome vektorske koordinate u pravougaoni sistem koordinate. Tako dobijamo da dati vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → imaju odgovarajuće koordinate (1, - 1, 0) i (1, 2, 2). Zamijenite numeričke vrijednosti i dobijete: i → + 2 j → + 2 k →, i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1.
Izraz nije jednak nuli, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, što znači da su vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → nisu okomite jer uslov nije ispunjen.
odgovor: ne, vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → nisu okomiti.
Primjer 3
Dati vektori a → = (1, 0, - 2) i b → = (λ, 5, 1). Odrediti vrijednost λ pri kojoj su ovi vektori okomiti.
Rješenje
Koristimo uslov okomitosti dva vektora u prostoru u kvadratni oblik, onda dobijamo
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
odgovor: vektori su okomiti na λ = 2.
Postoje slučajevi kada je pitanje okomitosti nemoguće čak i pod neophodnim i dovoljnim uslovom. S obzirom na poznate podatke o tri strane trougla na dva vektora, moguće je pronaći ugao između vektora i provjeri.
Primjer 4
Dat je trougao A B C sa stranicama A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Provjeri okomitost vektora A B → i A C →.
Rješenje
Ako su vektori A B → i A C → okomiti, trougao A B C se smatra pravougaonim. Zatim primjenjujemo Pitagorinu teoremu, gdje je B C hipotenuza trougla. Jednakost B C 2 = A B 2 + A C 2 mora biti tačna. Iz toga slijedi da je 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. To znači da su A B i A C kraci trougla A B C, dakle, A B → i A C → su okomiti.
Važno je naučiti kako pronaći koordinate vektora okomitog na dati. To je moguće i na ravni i u prostoru, pod uslovom da su vektori okomiti.
Pronalaženje vektora okomitog na datu u ravni.
Vektor različit od nule a → može imati beskonačan broj okomitih vektora na ravni. Ovo ćemo prikazati na koordinatnoj liniji.
Dat je vektor različit od nule a →, koji leži na pravoj a. Tada zadani b → koji se nalazi na bilo kojoj pravoj pravoj okomitoj na pravu a postaje okomit i a →. Ako je vektor i → okomit na vektor j → ili bilo koji od vektora λ j → za λ jednak bilo kojem realnom broju osim nule, tada pronalaženje koordinata vektora b → okomito na a → = (ax, ay) svodi na beskonačan skup rješenja. Ali potrebno je pronaći koordinate vektora okomitog na a → = (a x, a y). Za to je potrebno zapisati uslov okomitosti vektora u obliku a x b x + a y b y = 0. Imamo b x i b y, koje su tražene koordinate okomitog vektora. Kada je a x ≠ 0, vrijednost b y je različita od nule, a b x se izračunava iz nejednakosti a x b x + a y b y = 0 ⇔ b x = - a y b y a x. Za a x = 0 i a y ≠ 0, dodijelite b x bilo koju vrijednost osim nule i pronađite b y iz izraza b y = - a x b x a y.
Primjer 5
Dat je vektor sa koordinatama a → = (- 2, 2). Naći vektor okomit na datu.
Rješenje
Označimo traženi vektor kao b → (b x, b y). Njegove koordinate se mogu naći iz uslova okomitosti vektora a → i b →. Tada dobijamo: (a →, b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0. Dodijelite b y = 1 i zamijenite: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0. Dakle, iz formule dobijamo b x = - 2 - 2 = 1 2. Dakle, vektor b → = (1 2, 1) je vektor okomit na a →.
odgovor: b → = (1 2, 1) .
Ako se postavlja pitanje o trodimenzionalnom prostoru, problem se rješava po istom principu. Za dati vektor a → = (a x, a y, a z), postoji beskonačan skup okomitih vektora. Popravlja ovo na 3D koordinatnu ravan. Zadano a → leži na pravoj a. Ravan okomita na pravu a je označena sa α. U ovom slučaju, bilo koji vektor različit od nule b → iz ravni α je okomit na a →.
Potrebno je pronaći koordinate b → okomito na vektor različit od nule a → = (a x, a y, a z).
Neka je b → dat sa koordinatama b x, b y i b z. Da bismo ih pronašli, potrebno je primijeniti definiciju uvjeta okomitosti dvaju vektora. Jednakost a x b x + a y b y + a z b z = 0 mora vrijediti. Iz uslova a → - nije nula, što znači da jedna od koordinata ima vrijednost različitu od nule. Pretpostavimo da je a x ≠ 0, (a y ≠ 0 ili a z ≠ 0). Dakle, imamo pravo podijeliti ovom koordinatom sve nejednakosti a x b x + a y b y + a z b z = 0, dobićemo izraz b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x. Dodjeljujemo bilo koju vrijednost koordinatama b y i b x, izračunavamo vrijednost b x, na osnovu formule, b x = - a y b y + a z b z a x. Željeni okomiti vektor će imati vrijednost a → = (a x, a y, a z).
Pogledajmo primjer dokaza.
Primjer 6
Dat je vektor sa koordinatama a → = (1, 2, 3). Naći vektor okomit na dati.
Rješenje
Traženi vektor označavamo sa b → = (b x, b y, b z). Na osnovu uslova da su vektori okomiti, proizvod tačke mora biti jednak nuli.
a ⇀, b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Ako je vrijednost b y = 1, b z = 1, tada je b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Iz toga slijedi da su koordinate vektora b → (- 5, 1, 1). Vektor b → je jedan od vektora okomitih na dati.
odgovor: b → = (- 5, 1, 1).
Pronalaženje koordinata vektora okomitog na dva data vektora
Moramo pronaći koordinate vektora u trodimenzionalnom prostoru. Ona je okomita na nekolinearne vektore a → (a x, a y, a z) i b → = (b x, b y, b z). Pod uslovom da su vektori a → i b → kolinearni, biće dovoljno pronaći vektor okomit na a → ili b → u zadatku.
Prilikom rješavanja koristi se koncept vektorskog proizvoda vektora.
Vektorski proizvod vektora a → i b → nazivaju vektor istovremeno okomit na a → i b →. Za rješavanje ovog problema koristi se vektorski proizvod a → × b →. Za trodimenzionalni prostor ima oblik a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Pogledajmo bliže unakrsni proizvod koristeći primjer problema.
Primjer 7
Dati su vektori b → = (0, 2, 3) i a → = (2, 1, 0). Pronađite koordinate bilo kojeg okomitog vektora na podatke u isto vrijeme.
Rješenje
Da biste to riješili, morate pronaći vektorski proizvod vektora. (Potrebno je upućivati na t izračunavanje determinante matrice pronaći vektor). Dobijamo:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
odgovor: (3 , - 6 , 4) - koordinate vektora koji je istovremeno okomit na date a → i b →.
Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter