T. Kosyakova,
Škola br. 80, Krasnodar

Rješavanje kvadratnih i razlomaka racionalnih jednačina koje sadrže parametre

Lekcija 4

Tema lekcije:

Svrha lekcije: razviti sposobnost rješavanja frakcionih racionalnih jednačina koje sadrže parametre.

Vrsta lekcije: uvođenje novog materijala.

1. (Usmeno) Riješite jednačine:

Primjer 1. Riješite jednačinu

Rješenje.

Pronađimo nevažeće vrijednosti a:

Odgovori. Ako Ako a = – 19 , onda nema korijena.

Primjer 2. Riješite jednačinu

Rješenje.

Pronađimo nevažeće vrijednosti parametara a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Odgovori. Ako a = 5 a № 5 , To x=10– a .

Primjer 3. Na kojim vrijednostima parametara b jednačina Ima:

a) dva korena; b) jedini korijen?

Rješenje.

1) Pronađite nevažeće vrijednosti parametara b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 ili b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 ili b = – 2.

2) Riješite jednačinu x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

A)

Isključujući nevažeće vrijednosti parametara b , nalazimo da jednačina ima dva korijena ako b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ali ovo je nevažeća vrijednost parametra b ; Ako b 2 –1=0 , tj. b=1 ili.

Odgovor: a) ako b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , zatim dva korijena; b) ako b=1 ili b=–1 , tada jedini korijen.

Samostalan rad

Opcija 1

Riješite jednačine:

Opcija 2

Riješite jednačine:

Odgovori

U 1. i ako a=3 , tada nema korijena; Ako b) ako ako a № 2 , onda nema korijena.

U 2. Ako a=2 , tada nema korijena; Ako a=0 , tada nema korijena; Ako
b) ako a=– 1 , tada jednačina postaje besmislena; ako nema korijena;
Ako

Domaći zadatak.

Riješite jednačine:

Odgovori: a) Ako a № –2 , To x= a ; Ako a=–2 , onda nema rješenja; b) ako a № –2 , To x=2; Ako a=–2 , onda nema rješenja; c) ako a=–2 , To x– bilo koji broj osim 3 ; Ako a № –2 , To x=2; d) ako a=–8 , tada nema korijena; Ako a=2 , tada nema korijena; Ako

Lekcija 5

Tema lekcije:"Rješavanje frakcionih racionalnih jednadžbi koje sadrže parametre."

Ciljevi lekcije:

obuka u rješavanju jednačina sa nestandardnim uslovima;
svjesno usvajanje od strane učenika algebarskih pojmova i veza među njima.

Vrsta lekcije: sistematizacija i generalizacija.

Provjera domaćeg.

Primjer 1. Riješite jednačinu

a) u odnosu na x; b) u odnosu na y.

Rješenje.

a) Pronađite nevažeće vrijednosti y: y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y,

y=0– nevažeća vrijednost parametra y.

Ako y№ 0 , To x=y–2; Ako y=0, tada jednačina postaje besmislena.

b) Pronađite nevažeće vrijednosti parametara x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– nevažeća vrijednost parametra x; y(2+x–y)=0, y=0 ili y=2+x;

y=0 ne zadovoljava uslov y(y–x)№ 0 .

Odgovor: a) ako y=0, tada jednačina postaje besmislena; Ako y№ 0 , To x=y–2; b) ako x=0 x№ 0 , To y=2+x .

Primjer 2. Za koje su cjelobrojne vrijednosti parametra a korijeni jednadžbe pripadaju intervalu

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Ako a № 0 ili a № – 1 , To

odgovor: 5 .

Primjer 3. Pronađi relativno x cjelobrojna rješenja jednadžbe

Odgovori. Ako y=0, onda jednačina nema smisla; Ako y=–1, To x– bilo koji cijeli broj osim nule; Ako y№ 0, y№ – 1, onda nema rješenja.

Primjer 4. Riješite jednačinu sa parametrima a I b .

Ako a№ –b , To

Odgovori. Ako a= 0 ili b= 0 , tada jednačina postaje besmislena; Ako a№ 0, b№ 0, a=–b , To x– bilo koji broj osim nule; Ako a№ 0, b№ 0, a№ –b, To x=–a, x=–b .

Primjer 5. Dokažite da je za bilo koju vrijednost parametra n različitu od nule jednadžba ima jedan korijen jednak – n .

Rješenje.

tj. x=–n, što je trebalo dokazati.

Domaći zadatak.

1. Nađite cjelobrojna rješenja jednadžbe

2. Na kojim vrijednostima parametara c jednačina Ima:
a) dva korena; b) jedini korijen?

3. Pronađite sve cjelobrojne korijene jednadžbe Ako a O N .

4. Riješite jednačinu 3xy – 5x + 5y = 7: a) relativno y; b) relativno x .

1. Jednačinu zadovoljavaju bilo koje cjelobrojne jednake vrijednosti x i y osim nule.
2. a) Kada
b) na ili
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Ako tada nema korijena; Ako
b) ako tada nema korijena; Ako

Test

Opcija 1

1. Odredite vrstu jednačine 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 kada: a) c=–3; b) c=2 ; V) c=4 .

2. Riješite jednačine: a) x 2 –bx=0 ; b) cx 2 –6x+1=0; V)

3. Riješite jednačinu 3x–xy–2y=1:

a) relativno x ;
b) relativno y .

nx 2 – 26x + n = 0, znajući da parametar n prihvata samo cjelobrojne vrijednosti.

5. Za koje vrijednosti b radi jednačina Ima:

a) dva korena;
b) jedini korijen?

Opcija 2

1. Odredite vrstu jednačine 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 kada: a) c=–4 ; b) c=7 ; V) c=1 .

2. Riješite jednačine: a) y 2 +cy=0 ; b) ny 2 –8y+2=0 ; V)

3. Riješite jednačinu 6x–xy+2y=5:

a) relativno x ;
b) relativno y .

4. Pronađite cjelobrojne korijene jednadžbe nx 2 –22x+2n=0 , znajući da parametar n prihvata samo cjelobrojne vrijednosti.

5. Za koje vrijednosti parametra a radi jednačina Ima:

a) dva korena;
b) jedini korijen?

Odgovori

U 1. 1. a) Linearna jednačina;
b) nepotpuna kvadratna jednačina; c) kvadratna jednačina.
2. a) Ako b=0, To x=0; Ako b№ 0, To x=0, x=b;
b) Ako cO (9;+Ґ ), tada nema korijena;
c) ako a=–4 , tada jednačina postaje besmislena; Ako a№ –4 , To x=– a .
3. a) Ako y=3, tada nema korijena; Ako);
b) a=–3, a=1.

Dodatni zadaci

Riješite jednačine:

Književnost

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametrima od samog početka. – Tutor, br. 2/1991, str. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Potrebni uslovi u problemima sa parametrima. – Kvant, br. 11/1991, str. 44–49.
3. Dorofejev G.V., Zatakavaj V.V. Rješavanje problema koji sadrže parametre. Dio 2. – M., Perspektiva, 1990, str. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Pet stotina četrnaest problema sa parametrima. – Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Problemi sa parametrima. – M., Prosveta, 1986.

Rješavanje razlomaka racionalnih jednačina

Referentni vodič

Racionalne jednadžbe su jednadžbe u kojima su i lijeva i desna strana racionalni izrazi.

(Zapamtite: racionalni izrazi su cjelobrojni i razlomci bez radikala, uključujući operacije sabiranja, oduzimanja, množenja ili dijeljenja - na primjer: 6x; (m – n)2; x/3y, itd.)

Frakcijske racionalne jednadžbe se obično svode na oblik:

Gdje P(x) I Q(x) su polinomi.

Da biste riješili takve jednačine, pomnožite obje strane jednadžbe sa Q(x), što može dovesti do pojave stranih korijena. Stoga je prilikom rješavanja razlomaka racionalnih jednadžbi potrebno provjeriti pronađene korijene.

Racionalna jednačina se naziva cjelina, ili algebarska, ako se ne dijeli izrazom koji sadrži varijablu.

Primjeri cijele racionalne jednadžbe:

5x – 10 = 3 (10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Ako u racionalnoj jednačini postoji podjela izrazom koji sadrži varijablu (x), tada se jednačina naziva razlomkom racionalnom.

Primjer razlomke racionalne jednadžbe:

15
x + - = 5x – 17
x

Frakcijske racionalne jednadžbe se obično rješavaju na sljedeći način:

1) naći zajednički imenilac razlomaka i pomnožiti obe strane jednačine sa njim;

2) riješiti rezultirajuću cijelu jednačinu;

3) isključi iz korijena one koji svode zajednički imenilac razlomaka na nulu.

Primjeri rješavanja cjelobrojnih i razlomaka racionalnih jednadžbi.

Primjer 1. Riješimo cijelu jednačinu

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Rješenje:

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika. Ovo je 6. Podijelite 6 sa imeniocem i pomnožite rezultirajući rezultat sa brojnikom svakog razlomka. Dobijamo jednačinu koja je ekvivalentna ovoj:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Jer na lijevoj i desnoj strani isti imenilac, može se izostaviti. Tada dobijamo jednostavniju jednačinu:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Rješavamo to otvaranjem zagrada i kombinovanjem sličnih pojmova:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Primjer je riješen.

Primjer 2. Riješite razlomku racionalnu jednačinu

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Pronalaženje zajedničkog nazivnika. Ovo je x(x – 5). dakle:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Sada se ponovo oslobađamo nazivnika, pošto je isti za sve izraze. Smanjujemo slične članove, izjednačavamo jednačinu sa nulom i dobijamo kvadratnu jednačinu:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

Nakon što smo riješili kvadratnu jednačinu, nalazimo njene korijene: –2 i 5.

Provjerimo da li su ovi brojevi korijeni izvorne jednadžbe.

Kod x = –2, zajednički imenilac x(x – 5) ne nestaje. To znači da je –2 korijen originalne jednadžbe.

Kod x = 5, zajednički nazivnik ide na nulu, a dva od tri izraza postaju besmislena. To znači da broj 5 nije korijen originalne jednadžbe.

Odgovor: x = –2

Više primjera

Primjer 1.

x 1 =6, x 2 = - 2.2.

Odgovor: -2,2;6.

Primjer 2.

Ciljevi lekcije:

edukativni:

• formiranje koncepta frakcionih racionalnih jednačina;
• razmotriti različite načine rješavanja frakcionih racionalnih jednačina;
• razmotriti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina, uključujući uslov da je razlomak jednak nuli;
• podučavati rješavanje frakcionih racionalnih jednačina korištenjem algoritma;
• provjeravanje nivoa savladanosti teme izvođenjem testa.

razvojni:

• razvijanje sposobnosti pravilnog operisanja stečenim znanjem i logičkog mišljenja;
• razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, poređenje i generalizacija;
• razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, a ne zaustavljanje na tome;
• razvoj kritičkog mišljenja;
• razvoj istraživačkih vještina.

Obrazovanje:

• podsticanje kognitivnog interesa za predmet;
• negovanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema;
• negovanje volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Zdravo momci! Na tabli su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednačine? Koji nisu i zašto?

Jednačine u kojima su lijeva i desna strana frakcioni racionalni izrazi nazivaju se razlomačnim racionalnim jednadžbama. Šta mislite da ćemo danas učiti na času? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvorite svoje bilježnice i zapišite temu lekcije “Rješavanje razlomaka racionalnih jednačina”.

2. Ažuriranje znanja. Frontalna anketa, usmeni rad sa razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji trebamo proučiti nova tema. Odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Šta je jednačina? ( Jednakost sa varijablom ili varijablama.)
2. Kako se zove jednačina broj 1? ( Linearno.) Rješenje linearne jednačine. (Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednačine, sve brojeve u desnu. Navedite slične termine. Pronađite nepoznati faktor).
3. Kako se zove jednačina broj 3? ( Square.) Metode rješavanja kvadratnih jednačina. ( Izolacija potpunog kvadrata pomoću formula koristeći Vietin teorem i njegove posljedice.)
4. Šta je proporcija? ( Jednakost dva omjera.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je proporcija tačna, onda je proizvod njegovih ekstremnih članova jednak proizvodu srednjih članova.)
5. Koja svojstva se koriste pri rješavanju jednačina? ( 1. Ako pomjerite član u jednačini iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, dobićete jednačinu ekvivalentnu datoj. 2. Ako se obje strane jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula, dobićete jednačinu koja je ekvivalentna datoj.)
6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a imenilac nije nula..)

3. Objašnjenje novog materijala.

Rešite jednačinu br. 2 u svojim sveskama i na tabli.

Odgovori: 10.

Koju razlomku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Rešite jednačinu br. 4 u svojim sveskama i na tabli.

Odgovori: 1,5.

Koju razlomačku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednačine sa nazivnikom? (br. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovori: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednačinu broj 7 koristeći jednu od sljedećih metoda.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Odgovori: 0;5;-2.			Odgovori: 5;-2.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto su u jednom slučaju tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove racionalne jednadžbe?

Studenti se do sada nisu susreli s konceptom stranog korijena; zaista im je vrlo teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako niko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, onda nastavnik postavlja sugestivna pitanja.

• Po čemu se jednačine br. 2 i 4 razlikuju od jednačina br. 5,6,7? ( U jednačinama br. 2 i 4 nalaze se brojevi u nazivniku, br. 5-7 su izrazi sa promjenljivom.)
• Šta je korijen jednačine? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje istinita.)
• Kako saznati da li je broj korijen jednadžbe? ( Provjeri.)

Prilikom testiranja neki učenici primjećuju da moraju podijeliti sa nulom. Oni zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način rješavanja frakcionih racionalnih jednačina koji nam omogućava da eliminišemo ovu grešku? Da, ova metoda se zasniva na uslovu da je razlomak jednak nuli.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Ako je x=5, onda je x(x-5)=0, što znači da je 5 vanjski korijen.

Ako je x=-2, onda je x(x-5)≠0.

Odgovori: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje razlomaka racionalnih jednačina. Djeca sama formulišu algoritam.

Algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina:

1. Pomerite sve na lijevu stranu.
2. Smanjite razlomke na zajednički nazivnik.
3. Napravite sistem: razlomak je jednak nuli kada je brojilac jednak nuli, a imenilac nije jednak nuli.
4. Riješite jednačinu.
5. Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.
6. Zapišite odgovor.

Diskusija: kako formalizirati rješenje ako koristite osnovno svojstvo proporcije i množite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom. (Dodajte rješenju: isključite iz njegovih korijena one koji čine da zajednički imenilac nestane).

4. Početno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici biraju kako će sami riješiti jednačinu ovisno o vrsti jednačine. Zadaci iz udžbenika „Algebra 8“, Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600(b,c,i); br. 601(a,e,g). Nastavnik prati izvršenje zadatka, odgovara na sva pitanja koja se pojave i pruža pomoć učenicima sa slabim učinkom. Samotestiranje: odgovori su zapisani na tabli.

b) 2 – strani koren. Odgovor: 3.

c) 2 – strani koren. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1;1.5.

5. Postavljanje domaće zadaće.

1. Pročitajte pasus 25 iz udžbenika, analizirajte primjere 1-3.
2. Naučite algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina.
3. Rešiti u sveskama br. 600 (a, d, e); br. 601(g,h).
4. Pokušajte riješiti broj 696(a) (opcionalno).

6. Izvršavanje kontrolnog zadatka na proučavanu temu.

Rad se obavlja na komadima papira.

Primjer zadatka:

A) Koje od jednačina su razlomno racionalne?

B) Razlomak je jednak nuli kada je brojilac ______________________, a imenilac _______________________.

P) Da li je broj -3 korijen jednačine broj 6?

D) Riješi jednačinu br. 7.

Kriterijumi ocjenjivanja za zadatak:

• “5” se daje ako je učenik tačno uradio više od 90% zadatka.
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50%-74%
• “2” se daje učeniku koji je uradio manje od 50% zadatka.
• Ocjena 2 se ne daje u časopisu, 3 je opciono.

7. Refleksija.

Na samostalne radne listove napišite:

• 1 – ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva;
• 2 – zanimljivo, ali nejasno;
• 3 – nije zanimljivo, ali razumljivo;
• 4 – nije zanimljivo, nije jasno.

8. Sumiranje lekcije.

Dakle, danas smo se u lekciji upoznali sa frakcionim racionalnim jednadžbama, naučili kako riješiti ove jednadžbe Različiti putevi, testirali svoje znanje uz pomoć treninga samostalan rad. Rezultate svog samostalnog rada naučićete na sledećoj lekciji, a kod kuće ćete imati priliku da učvrstite svoje znanje.

Koja je metoda rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija i racionalnija? Bez obzira na metodu rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, čega treba da se setite? U čemu je "lukavost" razlomaka racionalnih jednačina?

Hvala svima, lekcija je gotova.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima Pogledajmo primjere. Primjeri su jednostavni i ilustrativni. Uz njihovu pomoć, moći ćete razumjeti na najrazumljiviji način.
Na primjer, trebate riješiti jednostavnu jednačinu x/b + c = d.

Jednačina ovog tipa naziva se linearna, jer Imenilac sadrži samo brojeve.

Rješenje se izvodi množenjem obje strane jednačine sa b, tada jednačina dobija oblik x = b*(d – c), tj. nazivnik razlomka na lijevoj strani se poništava.

Na primjer, kako riješiti frakciona jednačina:
x/5+4=9
Obe strane množimo sa 5. Dobijamo:
x+20=45
x=45-20=25

Još jedan primjer kada je nepoznato u nazivniku:

Jednadžbe ovog tipa nazivaju se razlomačno-racionalnim ili jednostavno frakcijskim.

Razlomačku jednačinu riješili bismo tako što bismo se riješili razlomaka, nakon čega se ova jednačina, najčešće, pretvara u linearnu ili kvadratnu jednačinu, koja se može riješiti na uobičajen način. Samo trebate uzeti u obzir sljedeće tačke:

• vrijednost varijable koja pretvara imenilac u 0 ne može biti korijen;
• Ne možete dijeliti ili množiti jednačinu izrazom =0.

Ovdje dolazi do izražaja koncept područja. prihvatljive vrijednosti(ODZ) su takve vrijednosti korijena jednadžbe kod kojih jednačina ima smisla.

Dakle, prilikom rješavanja jednadžbe potrebno je pronaći korijene, a zatim ih provjeriti da li su u skladu s ODZ-om. Oni korijeni koji ne odgovaraju našem ODZ-u su isključeni iz odgovora.

Na primjer, trebate riješiti frakcijsku jednadžbu:

Na osnovu gornjeg pravila, x ne može biti = 0, tj. ODZ in u ovom slučaju: x – bilo koja vrijednost osim nule.

Oslobađamo se imenioca množenjem svih članova jednačine sa x

I rješavamo uobičajenu jednačinu

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Odgovor: x = 1/3

Hajde da rešimo komplikovaniju jednačinu:

ODZ je također prisutan ovdje: x -2.

Prilikom rješavanja ove jednačine nećemo sve pomjeriti na jednu stranu i dovesti razlomke na zajednički nazivnik. Odmah ćemo pomnožiti obje strane jednačine izrazom koji će poništiti sve nazivnike odjednom.

Da biste smanjili nazivnike, trebate lijevu stranu pomnožiti sa x+2, a desnu sa 2. To znači da se obje strane jednačine moraju pomnožiti sa 2(x+2):

Ovo je najčešće množenje razlomaka, o čemu smo već govorili gore.

Napišimo istu jednačinu, ali malo drugačije

Lijeva strana se smanjuje za (x+2), a desna za 2. Nakon redukcije dobijamo uobičajenu linearnu jednačinu:

x = 4 – 2 = 2, što odgovara našem ODZ-u

Odgovor: x = 2.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima nije tako teško kao što se čini. U ovom članku smo to pokazali na primjerima. Ako imate bilo kakvih poteškoća sa kako riješiti jednadžbe s razlomcima, a zatim se odjavite u komentarima.

§ 1 Cjelobrojne i razlomke racionalne jednačine

U ovoj lekciji ćemo pogledati koncepte kao što su racionalna jednačina, racionalni izraz, cijeli izraz, frakcijski izraz. Razmotrimo rješavanje racionalnih jednačina.

Racionalna jednačina je jednačina u kojoj su lijeva i desna strana racionalni izrazi.

Racionalni izrazi su:

Fractional.

Cjelobrojni izraz se sastoji od brojeva, varijabli, cjelobrojnih potencija koristeći operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja brojem koji nije nula.

Na primjer:

IN frakcioni izrazi postoji podjela promjenljivom ili izraz s promjenljivom. Na primjer:

Frakcijski izraz nema smisla za sve vrijednosti varijabli uključenih u njega. Na primjer, izraz

kod x = -9 to nema smisla, jer kod x = -9 imenilac ide na nulu.

To znači da racionalna jednadžba može biti cjelobrojna ili razlomka.

Cijela racionalna jednačina je racionalna jednačina u kojoj su lijeva i desna strana cijeli izrazi.

Na primjer:

Razlomka racionalna jednačina je racionalna jednačina u kojoj su ili lijeva ili desna strana frakcioni izrazi.

Na primjer:

§ 2 Rješenje cijele racionalne jednačine

Razmotrimo rješenje cijele racionalne jednadžbe.

Na primjer:

Pomnožimo obje strane jednačine najmanjim zajedničkim nazivnikom razlomaka koji su u njoj uključeni.

Za ovo:

1. naći zajednički imenilac za imenioce 2, 3, 6. On je jednak 6;

2. pronaći dodatni faktor za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite zajednički imenilac 6 sa svakim nazivnikom

dodatni faktor za razlomak

dodatni faktor za razlomak

3. pomnožiti brojioce razlomaka sa odgovarajućim dodatnim faktorima. Tako dobijamo jednačinu

što je ekvivalentno datoj jednačini

Na lijevoj strani ćemo otvoriti zagrade, desna strana Pomerimo ga ulevo, menjajući predznak pojma kada ga premestimo u suprotan.

Donesimo slične članove polinoma i dobijemo

Vidimo da je jednačina linearna.

Nakon što smo ga riješili, nalazimo da je x = 0,5.

§ 3 Rješenje razlomke racionalne jednačine

Razmotrimo rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe.

Na primjer:

1. Pomnožite obje strane jednačine najmanjim zajedničkim nazivnikom imenilaca racionalnih razlomaka koji su u njoj uključeni.

Nađimo zajednički imenilac za nazivnike x + 7 i x - 1.

Jednako je njihovom proizvodu (x + 7)(x - 1).

2. Nađimo dodatni faktor za svaki racionalni razlomak.

Da biste to učinili, podijelite zajednički imenilac (x + 7)(x - 1) sa svakim imeniocem. Dodatni faktor za razlomke

jednako x - 1,

dodatni faktor za razlomak

jednako x+7.

3. Pomnožite brojioce razlomaka njihovim odgovarajućim dodatnim faktorima.

Dobijamo jednačinu (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), koja je ekvivalentna ovoj jednačini

4. Pomnožite binom binomom s lijeve i desne strane i dobijete sljedeću jednačinu

5. Pomičemo desnu stranu ulijevo, mijenjajući predznak svakog pojma pri prelasku na suprotno:

6. Predstavimo slične članove polinoma:

7. Obje strane se mogu podijeliti sa -1. Dobijamo kvadratnu jednačinu:

8. Nakon što ga riješimo, naći ćemo korijene

Budući da u jednadžbi

lijeva i desna strana su frakcijski izrazi, a u razlomcima, za neke vrijednosti varijabli, nazivnik može postati nula, tada je potrebno provjeriti da li zajednički imenilac ne ide na nulu kada se nađu x1 i x2 .

Kod x = -27, zajednički imenilac (x + 7)(x - 1) ne nestaje; kod x = -1 zajednički imenilac takođe nije nula.

Dakle, oba korijena -27 i -1 su korijeni jednadžbe.

Prilikom rješavanja frakcione racionalne jednadžbe, bolje je odmah naznačiti raspon prihvatljivih vrijednosti. Uklonite one vrijednosti kod kojih zajednički nazivnik ide na nulu.

Razmotrimo još jedan primjer rješavanja razlomačke racionalne jednadžbe.

Na primjer, riješimo jednačinu

Faktoriramo imenilac razlomka na desnoj strani jednačine

Dobijamo jednačinu

Nađimo zajednički imenilac za nazivnike (x - 5), x, x(x - 5).

To će biti izraz x(x - 5).

Sada pronađimo raspon prihvatljivih vrijednosti jednadžbe

Da bismo to učinili, izjednačavamo zajednički imenitelj sa nulom x(x - 5) = 0.

Dobijamo jednačinu, rješavajući koju nalazimo da pri x = 0 ili pri x = 5 zajednički imenilac ide na nulu.

To znači da x = 0 ili x = 5 ne mogu biti korijeni naše jednadžbe.

Sada se mogu pronaći dodatni množitelji.

Dodatni faktor za racionalne razlomke

dodatni faktor za razlomak

će biti (x - 5),

i dodatni faktor razlomka

Brojnike množimo odgovarajućim dodatnim faktorima.

Dobijamo jednačinu x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Otvorimo zagrade s lijeve i desne strane, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Pomjerimo pojmove s desna na lijevo, mijenjajući predznak prenesenih pojmova:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

I nakon donošenja sličnih članova dobijamo kvadratnu jednačinu x2 - 3x - 10 = 0. Nakon što smo je riješili, nalazimo korijene x1 = -2; x2 = 5.

Ali već smo saznali da kod x = 5 zajednički imenilac x(x - 5) ide na nulu. Dakle, korijen naše jednadžbe

će biti x = -2.

§ 4 Kratak sažetak lekcije

Važno je zapamtiti:

Prilikom rješavanja frakcionih racionalnih jednadžbi postupite na sljedeći način:

1. Pronađite zajednički imenilac razlomaka uključenih u jednačinu. Štaviše, ako se imenioci razlomaka mogu rastaviti na faktore, onda ih razdijelite na faktore i zatim pronađite zajednički imenilac.

2. Pomnožite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom: pronađite dodatne faktore, pomnožite brojioce dodatnim faktorima.

3.Riješi rezultirajuću cijelu jednačinu.

4. Eliminišite iz korena one koji čine da zajednički imenilac nestane.

Spisak korišćene literature:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Uredio Telyakovsky S.A. Algebra: udžbenik. za 8. razred. opšte obrazovanje institucije. - M.: Obrazovanje, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8. razred: Iz dva dijela. Dio 1: Udžbenik. za opšte obrazovanje institucije. - M.: Mnemozina.
3. Rurukin A.N. Razvoj nastave iz algebre: 8. razred - M.: VAKO, 2010.
4. Algebra 8. razred: planovi časova prema udžbeniku Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neškova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasjeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Učitelj, 2005.

Povratak