Druga vrlo česta grupa metoda za skalarizaciju problema vektorskog matematičkog programiranja je konvolucija kriterija.
Postoji veliki broj različite vrste bundle Teoretski, svi su zasnovani na pristupu koji se odnosi na koncept funkcije korisnosti donosioca odluka.
Ovaj pristup pretpostavlja da donosilac odluke uvijek ima funkciju korisnosti, bez obzira da li je donosilac odluke može eksplicitno specificirati (tj. dati njen matematički opis). Ova funkcija preslikava kriterijske vektore u realnu liniju tako da veća vrijednost na toj liniji odgovara poželjnijem kriterijskom vektoru. Smisao različitih konvolucija je da se dobije jedan „koeficijent kvaliteta“ (kompozitni kriterijum) iz više kriterijuma, čime se približno modeluje nepoznata (nije eksplicitno navedena) funkcija korisnosti donosioca odluke. Najpopularnija konvolucija je metoda ponderirane sume s procjenom težine bodova. U ovom slučaju specificira se vektor težinskih koeficijenata kriterija koji karakterizira relativnu važnost određenog kriterija:
A = (ak ,k = 1~K). (64)
Ponderski koeficijenti se obično koriste u normaliziranom obliku i zadovoljavaju jednakost:
X ak = 1, ak > 0, Vk e K, (65)
one. pretpostavlja se da su težinski koeficijenti nenegativni. Svaki kriterijum se množi sa sopstvenim težinskim koeficijentom, a zatim se svi ponderisani kriterijumi sumiraju i formiraju ponderisanu ciljnu funkciju, čija se vrednost tumači kao „faktor kvaliteta“ rezultirajućeg rešenja. Rezultirajuća skalarizirana funkcija je maksimizirana preko izvodljivog domena ograničenja.
Ovo rezultira problemom matematičkog programiranja s jednim kriterijem (skalarnim):
F0 = max X af (X). (66)
Kao rezultat rješavanja ovog problema dobija se optimalna tačka X0.
Glavna prednost ove konvolucije je da je povezana sa klasičnim dovoljnim i neophodni uslovi optimalnost prema Paretu (Carlinova teorema).
Carlinova teorema 1.
U problemu konveksne višekriterijumske optimizacije, tačka X0 e S je Pareto optimalna ako postoji vektor težinskih koeficijenata A0 = (a° > 0, k = 1,K), za koji vrijedi sljedeća relacija:
X«Of0(X0) = maxX«0h (X). (67)
Carlinova teorema 2.
Ako je u problemu konveksne višekriterijumske optimizacije tačka X0 e S Pareto-optimalna, tada postoji vektor težinskih koeficijenata A0 = (a° > 0, k = 1,K), za koji vrijedi sljedeća relacija:
X«0f^X°) = maxX«0fk (X). (68)
“h (X) =ma„xXakJkk=1 40eS k =1
Prema ovim teoremama, ova konvolucija se može koristiti za dobijanje Pareto-optimalnih tačaka.
Primjer ove konvolucije je konačna ocjena pouzdanosti Kromonov banke, dobijena kao aditivna konvolucija određenog broja koeficijenata.
Prednost ove metode je u tome što, prema Karlinovoj teoremi, generiše Pareto-optimalne tačke. Međutim, ima niz fundamentalnih nedostataka. Prvo, implicitna funkcija korisnosti donosioca odluke je tipično nelinearna, tako da će "prave" težine kriterija (tj. one težine kod kojih se gradijent ponderirane ciljne funkcije poklapa u smjeru s gradijentom funkcije korisnosti) varirati od tačke do tačke. ., tako da možemo govoriti samo o lokalnoj odgovarajuće vage Osim toga, često donosilac odluka uopće ne može postaviti težinske koeficijente. Drugo, gubitak kvaliteta prema jednom od kriterija nije uvijek nadoknađen povećanjem kvaliteta prema drugom. Dakle, dobijeno rješenje, optimalno u smislu jednog sumarnog kriterija, može se okarakterizirati niskim kvalitetom prema nizu određenih kriterija i stoga biti apsolutno neprihvatljivo. Treće, rezultirajuće rješenje je često nestabilno, tj. mali priraštaji težinskih koeficijenata odgovaraju velikim prirastima ciljnih funkcija. Četvrto, konvolucija kriterijuma različite fizičke prirode ne dozvoljava nam da tumačimo vrednost ponderisane ciljne funkcije. Peto, značajne poteškoće mogu nastati u slučaju jake korelacije između kriterijuma.
Neki od gore navedenih nedostataka se mogu ispraviti. Dakle, u slučaju različite fizičke (ekonomske) prirode kriterijuma, moguća je njihova normalizacija i naknadna konvolucija normalizovanih kriterijuma. Da bi se eliminisale neprihvatljivo niske vrijednosti pojedinačnih kriterija, mogu se postaviti dodatna ograničenja na ove kriterije.
Drugi način rješavanja ovog nedostatka - neprihvatljivo niske vrijednosti pojedinačnih kriterija s dobrom vrijednošću ukupnog kriterija - je korištenje konvolucija ne aditivnog, već multiplikativnog tipa:
F0 = max P (af (X)) Pk. (69)
Međutim, ova konvolucija nije široko korištena zbog činjenice da postoje slične, ali više obećavajuće vrste konvolucija.
Dakle, postoji konvolucija oblika: (70)
minF0 =X| f(X)V
fk Ova konvolucija se najčešće koristi za p = 2, što se tumači kao minimiziranje sume kvadrata relativnih odstupanja funkcionala od njihovih ostvarljivih optimalnih vrijednosti. Ova tačka, u slučaju ekvivalencije kriterijuma, pokazuje rešenje najbliže nedostižnoj „idealnoj“ tački (u kojoj svi kriterijumi poprimaju svoju maksimalnu vrednost). Međutim, ova konvolucija ima i sljedeći zajednički nedostatak: „dobra“ vrijednost zbirnog kriterija postiže se po cijenu niskih vrijednosti nekih privatnih kriterija.
U višekriterijskim problemima, kada iz početne formulacije nije moguće identificirati kriterij koji prevladava po važnosti nad ostalima - glavni kriterij, vrlo često se kriteriji umjetno kombinuju kroz funkciju agregacije, sa parametrima - težinskim koeficijentima koji se dodeljuju svakom kriteriju prema na njegovu relativnu važnost. Ovaj pristup se često naziva skalarizacija ili konvolucija vektorskog kriterijuma. I rezultirajuća parametrizovana funkcija, koja svodi originalni višekriterijumski problem na problem sa jednim kriterijumom, je generalizovani, agregirani, globalni kriterijum ili superkriterijum. Najrasprostranjeniji tip generalizovanog kriterijuma je linearna konvolucija, kada je globalni kriterijum predstavljen kao zbir (ponekad proizvod) parcijalnih kriterijuma pomnoženih odgovarajućim težinskim koeficijentima.
Prilikom korištenja ove metode javljaju se određene poteškoće pravi izbor težinskih koeficijenata, interpretacija dobijenih rezultata je problematična. Razmotrenu metodu formiranja generalizovanog kriterijuma ima smisla koristiti samo u slučajevima kada je zbir pojedinačnih funkcija kriterijuma od interesa. U opštem slučaju, postoji jednostavno zamena nekih nesigurnosti drugim, prikrivenim matematičkim proračunima.
Postoje i slučajevi u kojima je prilično problematično dodijeliti svakom kriteriju određeni težinski koeficijent koji odgovara njegovoj važnosti u odnosu na ostale. Zatim se pribjegava konvoluciji kriterija gdje težinski koeficijenti ne odražavaju relativnu važnost kriterija, već, mijenjajući se u određenim granicama, na taj način doprinose lokalizaciji tačaka u Pareto skupu. Istovremeno se još više povećava uloga donosioca odluka, jer pri odabiru težinskih koeficijenata vodi se uglavnom vlastitim iskustvom i intuicijom, što od njega također zahtijeva određene kvalifikacije.
Greške i kontradikcije koje ljudi prave prilikom dodjeljivanja pondera kriterija su više puta zabilježene. Prilično temeljna recenzija razne metode dodjela težina dovodi do zaključka da ne postoje ispravne metode za rješavanje ovog problema. Takvo ljudsko ponašanje pri rješavanju višekriterijskih problema je repetitivno i stabilno.
Postoje eksperimentalni rezultati iz kojih proizilazi da osoba dodjeljuje pondere kriterijuma sa značajnim greškama u odnosu na objektivno poznate, da su dodeljene težine u suprotnosti sa njegovim direktnim procenama alternativa, itd. Iako je rasprava o mogućnosti korištenja pondera u metodama odlučivanja još uvijek u toku, dobiveni podaci su već dovoljni da se ova operacija smatra prilično složenom za donosioce odluka.
Sumirajući rečeno, možemo izvući sljedeći zaključak. Metoda konvolucije se najčešće koristila i koristi se, ali ima nepremostive nedostatke:
- - gubitak kvaliteta prema jednom kriteriju nije uvijek nadoknađen povećanjem po drugom. “Optimalno” rješenje za konvoluciju može se okarakterizirati niskim kvalitetom pojedinih kriterija i stoga će biti neprihvatljivo;
- - nije uvijek moguće postaviti težine kriterija. Često se zna samo uporedivi značaj kriterijuma, ponekad nema informacija o važnosti;
- - rezultat snažno zavisi od preferencija donosioca odluka, koji najčešće dodeljuje pondere na osnovu intuitivne ideje o komparativnoj važnosti kriterijuma;
- - vrijednost funkcije cilja dobijena konvolucijom nema fizičko značenje;
- - višestruka izvođenja algoritma konvolucije mogu proizvesti samo nekoliko različitih Pareto tačaka (ili iste) čak iu slučaju kada u stvarnosti ima mnogo tih tačaka;
- - ovaj pristup nije u stanju da generiše prava Pareto-optimalna rješenja u uslovima nekonveksnih prostora pretraživanja, što predstavlja ozbiljnu prepreku u rješavanju mnogih praktičnih problema.
Dakle, da bi se riješio bilo koji višekriterijumski problem, potrebno je uzeti u obzir informacije o relativnoj važnosti pojedinih kriterija.
U nekim višekriterijumskim problemima, pojedini kriterijumi su striktno poređani po važnosti tako da bi povećanje važnijeg kriterijuma trebalo postići na račun gubitaka u svim ostalim manje važnim kriterijumima. Ali u većini slučajeva dolazi do situacije kada nije moguće istaknuti glavni ili organizirati kriterije po važnosti. Tada često pribjegavaju urušavanju kriterija u generalizirani kriterij. Upotreba ovakvog pristupa formiranju Pareto skupa, kao i metoda sukcesivnih ustupaka i identifikacije glavnog posebnog kriterija, povezana je s nizom poteškoća koje se javljaju, zbog čega se postavlja pitanje uputnosti korištenja takvih pristupe i potrebu za razvojem metoda koje su oslobođene svojih nedostataka.
osim toga, karakteristična karakteristika Ono što objedinjuje 3 razmatrana pristupa je da se u svakom od njih problem optimizacije više kriterijuma svodi na jedan ili više problema optimizacije po jednom kriterijumu.
Dakle, suština problema koji se rješava, njegova karakteristična karakteristika- istovremeno razmatranje više kriterijuma. I same metode moraju raditi više puta kako bi generirale mnogo Pareto bodova kako bi se dalje procijenilo rješenje, značajno povećavajući potrošene računske resurse.
Drugi pravac za rješavanje problema višekriterijumske analize je napuštanje više kriterija svođenjem na jedan. Najjednostavniji pristup, kada se jedan kriterij smatra glavnim i samo ga naređuje, a ostali se koriste samo ako dvije alternative imaju iste vrijednosti glavnog kriterija (ako su vrijednosti i glavnog i glavnog kriterija drugi najvažniji kriterijum su isti, koristite treći itd.), samo u retkim slučajevima se ispostavlja zadovoljavajućim. Obično je nemoguće identifikovati najvažnije među kriterijumima. Metode koje uzimaju u obzir sve vrijednosti vektora kriterija rade bolje. Takvi kompozitni kriterijumi se obično nazivaju konvolucijama.
Pogledajmo glavne načine urušavanja kriterija. Zbir kriterija je aditivna konvolucija. Množenje vrijednosti kriterija ponderskim koeficijentima omogućit će vam da im date različite stupnjeve važnosti - što je veća težina kriterija, to će veći utjecaj imati na konačni rezultat odabira.
Proizvod kriterija je multiplikativna konvolucija. U ovom slučaju, slično uvođenju pondera u aditivnoj konvoluciji, prije množenja kriterija, moguće ih je podići na stepen koji je veći, što je veći značaj koji se pridaje kriteriju. Očigledno, multiplikativna konvolucija je opravdana ako su kriteriji nenegativni - u suprotnom će nam pravilo „minus po minus daje plus” odigrati lošu šalu, praveći „dobru” vrijednost konvolucije od dva očito loša kriterija. Međutim, ako samo jedan od kriterija ima negativne vrijednosti, ova vrsta paradoksa ne nastaje, pa možemo koristiti multiplikativnu konvoluciju. Također morate uzeti u obzir da ako je jedan od kriterija jednak nuli, tada je i multiplikativna konvolucija jednaka nuli, ali za aditivnu konvoluciju ovo pravilo nije zadovoljeno. Općenito, u multiplikativnoj konvoluciji, u odnosu na aditivnu konvoluciju, veći utjecaj imaju oni kriteriji koji imaju niske vrijednosti za dati objekt.
Aditivna konvolucija je najpogodnija za kriterije koji predstavljaju vrijednosti koje su homogene po značenju i bliske po mjerilu, koje su u našoj klasifikaciji prediktivni kriteriji. Na primjer, kombiniranje " matematičko očekivanje profit prema lognormalnoj raspodjeli" i "matematičko očekivanje profita prema empirijska distribucija“, prirodno je uzeti njihov zbir kao kriterijum. S druge strane, da bi se urušile takve klase kriterija kao što su “očekivanje profita” i “vjerovatnoća profita” (za bilo koju od distribucija), bolje je koristiti multiplikativnu konvoluciju. U ovom slučaju koristimo korisno svojstvo proizvod - ako je predviđena vjerovatnoća profita blizu nule, onda će i zbirni kriterij težiti nuli. Međutim, u primjeni djela postoji ekstra suptilnost– ako je očekivana dobit negativna, onda množenjem sa manjom vjerovatnoćom dobijamo vrijednost bližu nuli, a samim tim i veću. Međutim, to ne stvara poteškoće ako se jednostavno ne uzmu u obzir kombinacije sa negativnim očekivanim profitom.
Osim aditivne i multiplikativne, postoji i selektivna konvolucija, kada se za svaki element originalnog skupa kao vrijednost konvolucije uzima najmanja (ili najveća) vrijednost iz cijelog skupa kriterija. U poglavlju 5, predložili smo tehniku minimaks konvolucije za funkcije korisnosti. Slični principi se mogu koristiti za urušavanje kriterija.
Prilikom izračunavanja konvolucije, ne zaboravite da se kriteriji mogu mjeriti u različitim jedinicama i imati različite skale. Postoji nekoliko načina da ih svedete na jednu mjeru. Dakle, možete oduzeti njihove prosječne vrijednosti od vrijednosti kriterija i podijeliti sa standardnim devijacijama (metoda normalizacije) ili oduzeti minimalne (minimalne za dati uzorak ili minimalne fundamentalno dostižne) vrijednosti, a zatim podijeliti s razlikom između maksimalnih i minimalne vrijednosti (u ovom slučaju, vrijednosti kriterija će biti u rasponu od nule do jedan). Prva od predloženih metoda je prikladnija za konstruiranje aditivne konvolucije, druga je pogodnija za multiplikativnu konvoluciju.
Drugi pristup konstruisanju konvolucije kriterijuma je pronalaženje udaljenosti od datog elementa do nekog „idealnog“. U tu svrhu se vrijednosti kriterija svode na interval (0,1), a pretpostavlja se da idealna opcija ima sve pojedinačne kriterije ocjene (tj. postiže sve maksimume moguće vrijednosti kriterijumi istovremeno). Za svaki element originalnog skupa j koji se evaluira, izračunavamo vrijednost konvolucije R koristeći formulu
Za sprovođenje dole opisanih studija koristili smo aditivnu konvoluciju sa dovođenjem kriterijuma na jednu skalu množenjem sa faktorima korekcije. Ovo je najjednostavniji i najgrublji metod, ali je najprikladniji kada se izvodi raznovrsno statističko istraživanje, jer daje lako uporedive rezultate. Za praktičan rad, poželjno je koristiti naprednije metode konvolucije i normalizacije, slične onima koje su gore opisane, ili druge koje ovdje nisu spomenute.
Iz prezentacija
Evo x - alternativa od mnogih Pareto
fi(x) – evaluacija alternative x By i -ti kriterijum
Ci – koeficijenti relativne važnosti kriterijuma
Korištenje linearne konvolucije
Ovo su zadaci koji se odnose na kriterijuma
ukupna šteta ili dobit,
prihod,
novčane ili vremenske troškove
po godinama planiranja ili po fazama
životni ciklus ekonomski informacioni sistemi itd.,
one. gde je to dozvoljeno niska vrijednost jedne određene karakteristike rezultata kompenzira se visokom vrijednošću druge
Kvadratna konvolucija
Prilikom rješavanja praktičnih problema donosilac odluke, po pravilu, rangira kriterije u skladu sa svojim preferencijama. U ovom slučaju se koristi integralni kriterij razne vrste bundle
, – linearna konvolucija
,
Evo x– alternativa iz skupa W;
f i (x) – evaluacija alternative x po i-tom kriterijumu;
c i su težinski koeficijenti sa kojima su evaluacije alternativa uključene u integralni kriterijum. c i – koeficijenti značajnosti, odnosno koeficijenti relativne važnosti kriterijuma.
Odds sa i može se naći, na primjer, iz posebno organiziranog ispita: m stručnjaci moraju urediti (rangirati) kriterije po važnosti: sami dodijelite rang 1 važan kriterijum itd. Neka je r ij rang koji je j-ti stručnjak dodijelio i-tom kriteriju. Da bismo dobili numeričku procjenu, uvodimo novi koeficijent
.
Zatim koeficijent značajnosti i-tog kriterijuma sa stanovišta j-tog stručnjaka:
Generalizirane koeficijente dobijamo usrednjavanjem stručnih procjena.
Neka je onda g j kompetencija j-tog stručnjaka
.
Drugi metod za dodeljivanje faktora relativne važnosti zasniva se na uključivanju preferencija u skup kriterijuma. To je kako slijedi.
Neka je moguće kvantitativno izraziti odnose preferencije između kriterija: kriterij f i poželjnije od kriterijuma f j V h jednom: . Tada su koeficijenti relativne važnosti ovih kriterijuma međusobno povezani linearnom jednačinom C i =hC j. Ovo slijedi iz teoreme:
Th. Ako je , onda C i =hC j , C i >0, åC i =1.
Rješavanje sistema linearne jednačine, dobijamo tražene koeficijente.
Primjer. Neka se opcije za određeni sistem procjenjuju prema četiri kriterija na skali od pet stupnjeva. Vrijednosti kriterija f i (x) date su u tabeli 13.
Neka se to zna f 2~ f 3 , .
Rješenje. Napravimo sistem linearnih jednačina za određivanje koeficijenata C i:
C 1=1,5C 2; C 2 =C 3 ; C 3 =C 4 ; C 1 +C 2 +C 3 +C 4=1;
Iz toga slijedi C 1 =3/8; C 2 =2/8; C 3 =2/8; C 4 =1/8.
U tabeli 13 prikazuje vrijednosti integralnog kriterija “ Linearna konvolucija ».
Tabela 13
Procjena opcija na osnovu kriterija
| f 1 f 2 f 3 f 4 |  |
|
| X1 X2 X3 X4 X5 X6 | 2 5 4 5 5 3 4 3 3 2 5 5 4 3 4 4 3 4 4 4 4 3 3 4 | 3/8*2+2/8*5+2/8*4+1/8*5=29/8 32/8 28/8 30/8 29/8 28/8 |
Po ovom kriterijumu najbolja alternativa – X 2 .
Problemi u kojima su ispunjeni uvjeti za korištenje linearne konvolucije često se susreću u praksi. To su zadaci koji se odnose na kriterijume ukupne štete ili dobiti, prihoda, novčanih ili vremenskih troškova po planskim godinama ili po fazama životnog ciklusa ekonomskih informacionih sistema itd., tj. pri čemu se pretpostavlja da je niska vrijednost jedne određene karakteristike rezultata kompenzirana visokom vrijednošću druge.
Konvolucija može biti ne samo linearno, ali i kvadratni:
,
konvolucija reda t:
,
Magnituda t, stoji u eksponentu, odražava dozvoljeni stepen kompenzacija malih vrijednosti nekih ekvivalentnih kriterija sa velikim vrijednostima drugih. Što je veća vrijednost t,što je veći stepen moguće kompenzacije.
Na primjer, na , tj. kada nikakva kompenzacija nije prihvatljiva i potrebno je izjednačavanje vrijednosti svih kriterija (jednako „povlačenje“ vrijednosti svih kriterija na njihov najbolji nivo), integralni kriterij poprima oblik
.
Ako t→0, tj. Ako je potrebno osigurati približno jednake razine vrijednosti pojedinih parcijalnih kriterija, tada integralni kriterij ima oblik
–
multiplikativna funkcija.
At t=1 imamo linearnu konvoluciju, sa t=2 – kvadratni
U problemima planiranja udara „na usko grlo“ dopušteno je povećanje jednog od kriterija kompenzirati proizvoljno velikim smanjenjem ostalih, tj. , onda se integralni kriterijum može koristiti u obliku
.
Koristeći konvoluciju kao integralni kriterij, odaberite kao najbolju alternativu alternativu za koju ima F(x). maksimalna vrijednost .
Komentar. Funkcije cilja uključene u integralni kriterij imaju različite dimenzije i izražene su na različitim skalama. Stoga je potrebno prvo sve ocjene izraziti na jednoj homogenoj skali. Preporučljivo je koristiti za ovo sljedeći termin
,
gdje je f i * (x) – evaluacija alternative x prema i-tom kriterijumu u "nativnoj" skali, f i max I f i min – maksimalne i minimalne vrijednosti alternativa prema i-th kriterijum. Rezultirajuće procjene pripadaju segmentu i razlomke su, što nije uvijek pogodno za proračune. Stoga je moguće, množenjem svih procjena prema odgovarajućim kriterijima najmanjim zajedničkim višekratnikom, preći na cjelobrojnu skalu. Pomjeranje skale za vrijednost zajedničku za svaki kriterij omogućit će vam da se riješite negativnih ocjena.
Opcija 8.19 Metode rješavanja MKZ s ekvivalentnim kriterijima
Metoda urušavanja kriterija uključuje transformaciju skupa postojećih privatnih kriterija u jedan superkriterijum.
One. dobijamo novi superkriterijum F, koji je funkcija pojedinih kriterijuma. Općenito, funkcija se naziva konvolucija parcijalnih kriterija.
Glavne faze koagulacije uključuju:
1. Obrazloženje za prihvatljivost konvolucije
Kada opravdavamo dopuštenost konvolucije, prvo moramo potvrditi da kriteriji koje urušavamo moraju biti homogeni. Razlikuju se sljedeće grupe indikatora učinka:
Indikatori učinka;
Indikatori intenziteta resursa;
Pokazatelji efikasnosti.
Kriterijumi koje urušavamo moraju pripadati istoj grupi ne možemo urušiti kriterijume koji se, na primer, odnose na indikatore efikasnosti, a drugi na indikatore učinka. One. Za svaku grupu, sažimanje privatnih kriterijuma treba da se izvede zasebno. Ako se ovo načelo prekrši, smisao kriterija se gubi.
2. Normalizacija kriterijuma
Raspravljali smo o pravilima za normalizaciju kriterijuma ranije u prethodnom odeljku.
3. Razmatranje prioriteta kriterijuma
Uzimanje u obzir prioriteta se obično daje nekim vektorima težinskih koeficijenata, koji odražavaju važnost određenog kriterijuma za problem koji se rešava.
4. Konstrukcija funkcije konvolucije
Za sažimanje kriterija koriste se sljedeće osnovne vrste funkcija:
Funkcije aditivne konvolucije;
Multiplicative;
Agregirano, a mogu postojati i druge opcije za konvolucije.
Aditivna konvolucija
Aditivna konvolucija kriterijuma može se smatrati implementacijom principa pravične naknade za apsolutne vrednosti normalizovanih privatnih kriterijuma. U ovom slučaju, superkriterijum se obično konstruiše kao ponderisani zbir parcijalnih kriterijuma
(2.9)
Težinski koeficijenti se biraju tako da je njihov zbir jednak jedinici. U metodi uniformne optimizacije, koja je poseban slučaj aditivne konvolucije, težinski koeficijenti se uzimaju jednaki jedan drugom 
. Ponekad se drugi pristup određivanju težinskih koeficijenata pokaže prikladnijim, oni se određuju u skladu sa sljedećom tablicom:
tabela 2.1.
Tabela relativne važnosti kriterijuma
Multiplikativna konvolucija
Multiplikativna konvolucija zasniva se na principu pravične naknade za relativne promjene privatnih kriterija. U ovom slučaju, superkriterijum ima oblik: 
, proizvod određenih kriterijuma, od kojih je svaki podignut na stepen. U ovom slučaju, zbir težinskih koeficijenata mora biti jednak jedan, a svaki od težinskih koeficijenata mora biti nenegativan.
Pri korištenju multiplikativnih kriterija nije potrebna normalizacija parcijalnih kriterija i to je njihova prednost.
Izbor između aditivnih i multiplikativnih kriterija određen je važnosti uzimanja u obzir apsolutnih ili relativnih promjena vrijednosti pojedinih kriterija.
Agregacija privatnih kriterijuma takođe koristi različite opcije agregacije. Konkretno, ako je kompenzacija vrijednosti nekih pokazatelja učinka od strane drugih neprihvatljiva, tada se koriste funkcije agregacije obrasca:
Za svaki pojedini kriterij pronalazi se njegova normalizirana vrijednost i množi sa težinskim koeficijentom. Zatim se od svih dobijenih vrijednosti bira maksimalna ili minimalna vrijednost.
Ako prvih m indikatora treba povećati, a ostatak - smanjiti, tada koristite funkciju agregacije oblika:
(2.11)
Brojioci sadrže proizvod onih kriterija čiju vrijednost trebamo maksimizirati, a nazivnik sadrži proizvod onih kriterija čiju vrijednost trebamo minimizirati. I stoga dobijamo novi kriterijum koji ćemo morati da maksimiziramo.
Metode kolapsa kriterija se široko koriste u rješavanju problema višekriterijumske optimizacije. Međutim, oni imaju i probleme i nedostatke. Posebno je teško opravdati izbor metode za urušavanje kriterijuma, a dobijeni rezultat često zavisi od izbora metode. Još jedan nedostatak je teškoća opravdavanja izbora težinskih koeficijenata, često se u to uključuju stručnjaci, provode se ankete, a zatim se obrađuju rezultati, ali to zahtijeva puno vremena i utroška drugih resursa. Drugi problem je vezan za činjenicu da ove metode po pravilu omogućavaju kompenzaciju malih vrijednosti nekih kriterija velikim vrijednostima drugih, što je često neprihvatljivo za konkretna rješenja.
Uzmimo za primjer sljedeći problem:
Prije pretvaranja ovih kriterija u 1, moramo ih dovesti u uniformno stanje. One. u ovom slučaju, trebamo maksimizirati f2→ f2" = -f2. I onda dobijamo: . Nakon toga, sumiramo parcijalne kriterije u jedan, i možemo dalje rješavati problem na uobičajen način.
Takođe je potrebno uzeti u obzir ponderske koeficijente, a njihov zbir mora biti = 1, a svaki od težinskih koeficijenata mora biti nenegativna vrijednost. Ponderski koeficijenti su raspoređeni prema važnosti samih ovih kriterija. IN u ovom slučaju, težinski koeficijenti će biti raspoređeni na sljedeći način: 0,5; 0,2; 0.3.
Nakon izračunavanja zajedno sa težinskim koeficijentima, dobijamo ciljnu funkciju sljedećeg oblika: ili.
Otvaranje e-knjiga Excel i, što se tiče rješavanja problema sa jednim kriterijem, definiramo ćelije za varijable. Da biste to učinili, unesite potpis "Varijable" u ćeliju A3 i unesite vrijednosti varijabli u susjedne tri ćelije B2, C2 i D2. To mogu biti proizvoljni brojevi, kao što su jedinice ili nule, i dalje će se optimizirati. U našem slučaju to su jedinice.
Sl.2.11. Definiranje varijabli, ciljeva i ograničenja
U četvrtom redu postavljamo funkciju cilja. U A4 upisujemo potpis “Target”, au B4, C4, D4 naše vrijednosti.
U ćeliju F6, F7 i F8 unesite formule "=B6*$B$3+C6*$C$3+D6*$D$3", "=B7*$B$3+C7*$C$3+D7*$D$3 “, “=B8*$B$3+C8*$C$3+D8*$D$3” respektivno.
Nakon otvaranja prozora “Traži rješenje”, postavite kursor u polje “Optimiziraj funkciju cilja” i povežite ćeliju “F4”. $F$4 će se pojaviti u prozoru. Zbog činjenice da se ciljna funkcija maksimizira, morate provjeriti da li je kvadratić ispod polja nasuprot natpisa „Maksimalno“.
Zatim postavite kursor u polje „Promjena varijabilnih ćelija“ i zaokružite ćelije s varijablama B3, C3 i D3, naglašavajući ćelije s varijablama. $B$3:$D$3 će se pojaviti u polju.
Na dnu prozora nalazi se polje „Ograničenja“. Dodajte sva potrebna ograničenja, “F6” “” “F6”, “F7:F8” “≤” i “G7:G8”.
Uvodimo dodatno ograničenje i dobijamo sljedeću formulu “B3:D3”, “”, “0”.
Sl.2.12. Opcije pretraživanja rješenja
Zatim odaberite metodu rješenja "Traženje rješenja za linearne probleme pomoću simpleks metode." Da biste započeli proračune, kliknite na dugme „Pronađi rešenje“. Pojavljuje se poruka da je rješenje pronađeno. Odaberite “Save solution found” i “OK” i vidimo rezultat.
Sl.2.13. Konačni rezultat odluke korištenjem metode urušavanja kriterija
Postojeće metode su uglavnom dizajnirane da uporede date alternative i izaberu najbolju. Vrlo često su kriteriji po kojima se procjenjuju alternative kontradiktorni; različite metode i skale ocenjivanja.
Sa matematičke tačke gledišta ne postoji savršen način ili metoda za rješavanje problema višekriterijumske optimizacije. Međutim, ove metode pomažu u pripremi svih informacija potrebnih za donošenje odluke na način da pomognu donosiocima odluka da što preciznije shvate situaciju i donesu odluku na najinformiranijoj osnovi.