Vrste trouglova. Uglovi trougla

Trougao (sa stanovišta euklidskog prostora) je takav geometrijska figura, koji je formiran od tri segmenta koji povezuju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji. Tri tačke koje su formirale trougao nazivaju se njegovim vrhovima, a segmenti koji spajaju vrhove nazivaju se stranice trougla. Koje vrste trouglova postoje?

Jednaki trouglovi

Postoje tri znaka da su trouglovi jednaki. Koji se trouglovi nazivaju jednaki? To su oni koji:

• dvije stranice i ugao između ovih stranica su jednaki;
• jedna strana i dva susjedna ugla su jednaki;
• sve tri strane su jednake.

Pravokutni trougli imaju sljedeće znakove jednakosti:

• duž oštrog ugla i hipotenuze;
• duž oštrog ugla i noge;
• na dvije noge;
• duž hipotenuze i kraka.

Koje vrste trouglova postoje?

Na osnovu broja jednakih stranica, trokut može biti:

• Equilateral. Ovo je trougao sa tri jednake stranice. Svi uglovi u jednakostraničnom trouglu jednaki su 60 stepeni. Osim toga, centri opisane i upisane kružnice poklapaju se.
• Unequilateral. Trougao koji nema jednake stranice.
• Jednakokraki. Ovo je trokut sa dvije jednake stranice. Dvije identične strane su stranice, a treća strana je osnova. U takvom trokutu simetrala, medijan i visina se poklapaju ako su spušteni na bazu.

Prema veličini uglova, trokut može biti:

1. Tup - kada je jedan od uglova veći od 90 stepeni, odnosno kada je tup.
2. Oštar - ako su sva tri ugla u trouglu oštra, odnosno imaju manje od 90 stepeni.
3. Koji trougao se naziva pravougli trougao? Ovo je onaj koji ima jedan pravi ugao jednak 90 stepeni. Dvije stranice koje formiraju ovaj ugao zvat će se kateta, a hipotenuza će biti strana nasuprot pravog kuta.

Osnovna svojstva trouglova

1. Manji ugao uvijek leži nasuprot manje stranice, a veći ugao uvijek leži nasuprot većoj strani.
2. Jednaki uglovi uvijek leže nasuprot jednakih strana i uvijek leže nasuprot različitim stranama različitim uglovima. Konkretno, u jednakostraničnom trouglu svi uglovi imaju istu vrijednost.
3. U bilo kom trouglu, zbir uglova je 180 stepeni.
4. Vanjski ugao se može dobiti proširenjem jedne od stranica trougla. Veličina vanjskog ugla bit će jednaka zbroju nesusjednih unutrašnji uglovi.
5. Strana trougla je veća od razlike njegove dvije druge strane, ali manja od njihovog zbira.

U prostornoj geometriji Lobačevskog, zbir uglova trougla će uvek biti manji od 180 stepeni. Na sferi ova vrijednost je veća od 180 stepeni. Razlika između 180 stepeni i zbira uglova trougla naziva se defekt.

Prilikom proučavanja matematike učenici počinju da se upoznaju sa različitim vrstama geometrijskih oblika. Danas ćemo govoriti o različitim vrstama trouglova.

Definicija

Geometrijske figure koje se sastoje od tri tačke koje nisu na istoj pravoj nazivaju se trokuti.

Segmenti koji spajaju tačke nazivaju se stranice, a tačke se nazivaju vrhovi. Vrhovi su označeni velikim slovima, na primjer: A, B, C.

Stranice su označene nazivima dviju tačaka od kojih se sastoje - AB, BC, AC. Ukrštajući se, stranice formiraju uglove. Donja strana smatra se osnovom figure.

Rice. 1. Trougao ABC.

Vrste trouglova

Trokuti se klasifikuju po uglovima i stranicama. Svaka vrsta trougla ima svoja svojstva.

Postoje tri vrste trouglova na uglovima:

• oštrougaoni;
• pravokutni;
• tupougla.

Svi uglovi oštrougao trouglovi su oštri, odnosno stepen svakog od njih nije veći od 90 0.

Pravougaona trougao sadrži pravi ugao. Druga dva ugla će uvek biti oštra, jer će inače zbir uglova trougla premašiti 180 stepeni, a to je nemoguće. Strana koja je suprotna pravi ugao, naziva se hipotenuza, a druga dva kraka. Hipotenuza je uvijek veća od kateta.

Tupo trokut sadrži tup ugao. Odnosno, ugao veći od 90 stepeni. Druga dva ugla u takvom trouglu će biti oštra.

Rice. 2. Vrste trouglova na uglovima.

Pitagorin trougao je pravougaonik čije su stranice 3, 4, 5.

Štaviše, veća strana je hipotenuza.

Takvi trouglovi se često koriste za izradu jednostavni zadaci u geometriji. Stoga, zapamtite: ako su dvije strane trougla jednake 3, onda će treća definitivno biti 5. Ovo će pojednostaviti proračune.

Vrste trouglova na stranama:

• equilateral;
• jednakokraki;
• svestran.

Equilateral trougao je trougao u kojem su sve strane jednake. Svi uglovi takvog trougla jednaki su 60 0, odnosno uvijek je oštar.

Jednakokraki trougao - trougao sa samo dvije jednake strane. Ove strane se nazivaju bočne, a treća baza. Osim toga, uglovi u osnovi jednakokračnog trougla su jednaki i uvijek oštri.

Svestran ili proizvoljan trougao je trougao u kojem sve dužine i svi uglovi nisu međusobno jednaki.

Ako problem ne sadrži nikakva pojašnjenja o figuri, onda je općenito prihvaćeno da govorimo o proizvoljnom trokutu.

Rice. 3. Vrste trouglova na stranicama.

Zbir svih uglova trougla, bez obzira na njegovu vrstu, je 1800.

Nasuprot većeg ugla je veća strana. A takođe, dužina bilo koje strane je uvek manja od zbira njene druge dve strane. Ova svojstva su potvrđena teoremom o nejednakosti trougla.

Postoji koncept zlatnog trougla. Ovo je jednakokraki trokut u kojem su dvije stranice proporcionalne osnovici i jednake određeni broj. U takvoj slici uglovi su proporcionalni omjeru 2:2:1.

zadatak:

Postoji li trougao čije su stranice 6 cm, 3 cm, 4 cm?

Rješenje:

Za rješavanje ovog zadatka potrebno je koristiti nejednakost a

Šta smo naučili?

Od ovog materijala Iz predmeta matematika 5. razreda naučili smo da se trouglovi dijele prema stranicama i veličini uglova. Trokuti imaju određena svojstva koja se mogu koristiti za rješavanje problema.

Nauka o geometriji nam govori šta su trougao, kvadrat i kocka. IN savremeni svet u školama ga uče svi bez izuzetka. Takođe, nauka koja direktno proučava šta je trougao i koja svojstva ima je trigonometrija. Ona detaljno istražuje sve pojave vezane za podatke.O tome šta je trougao danas ćemo govoriti u našem članku. Njihove vrste će biti opisane u nastavku, kao i neke teoreme povezane s njima.

Šta je trougao? Definicija

Ovo je ravan poligon. Ima tri ugla, kao što je jasno iz njegovog imena. Takođe ima tri stranice i tri vrha, prvi od njih su segmenti, drugi su tačke. Znajući čemu su jednaka dva ugla, treći možete pronaći oduzimanjem zbroja prva dva od broja 180.

Koje vrste trouglova postoje?

Mogu se klasifikovati prema različitim kriterijumima.

Prije svega, dijele se na oštrougaone, tupokutne i pravokutne. Prvi imaju oštre uglove, odnosno one koji su manji od 90 stepeni. Kod tupih uglova jedan od uglova je tup, odnosno onaj koji je veći od 90 stepeni, druga dva su oštra. Oštri trouglovi takođe uključuju jednakostranične trouglove. Takvi trouglovi imaju sve stranice i uglove jednake. Svi su jednaki 60 stepeni, to se lako može izračunati tako što se zbir svih uglova (180) podeli sa tri.

Pravokutni trokut

Nemoguće je ne govoriti o tome šta je pravougli trougao.

Takva figura ima jedan ugao jednak 90 stepeni (ravno), odnosno dvije njegove strane su okomite. Preostala dva ugla su oštra. Oni mogu biti jednaki, tada će biti jednakokraki. Pitagorina teorema se odnosi na pravougli trokut. Koristeći ga, možete pronaći treću stranu, poznavajući prve dvije. Prema ovoj teoremi, ako kvadratu jedne noge dodate kvadrat druge, možete dobiti kvadrat hipotenuze. Kvadrat kateta se može izračunati oduzimanjem kvadrata poznatog kateta od kvadrata hipotenuze. Govoreći o tome šta je trougao, možemo se prisjetiti i jednakokračnog trougla. Ovo je onaj u kojem su dvije stranice jednake, a dva ugla su također jednaka.

Šta su krak i hipotenuza?

Noga je jedna od stranica trougla koja formira ugao od 90 stepeni. Hipotenuza je preostala strana koja se nalazi nasuprot pravog ugla. Možete spustiti okomicu s nje na nogu. Omjer susjedne strane prema hipotenuzi naziva se kosinus, a suprotna strana se naziva sinus.

- koje su njegove karakteristike?

Pravougaona je. Njegovi kraci su tri i četiri, a hipotenuza pet. Ako vidite da su katete datog trougla jednake tri i četiri, možete biti sigurni da će hipotenuza biti jednaka pet. Također, koristeći ovaj princip, možete lako odrediti da će krak biti jednak tri ako je drugi jednak četiri, a hipotenuza jednaka pet. Da biste dokazali ovu tvrdnju, možete primijeniti Pitagorinu teoremu. Ako su dva kraka jednaka 3 i 4, tada je 9 + 16 = 25, korijen od 25 je 5, odnosno hipotenuza je jednaka 5. Egipatski trokut je također pravougaoni trokut čije su stranice jednake 6, 8 i 10; 9, 12 i 15 i drugi brojevi sa omjerom 3:4:5.

Šta bi drugo mogao biti trougao?

Trokuti također mogu biti upisani ili opisani. Figura oko koje je opisana kružnica naziva se upisana; svi njeni vrhovi su tačke koje leže na kružnici. Opisani trougao je onaj u koji je upisana kružnica. Sve njegove strane dolaze u dodir s njim u određenim tačkama.

Kako se nalazi?

Površina bilo koje figure se mjeri u kvadratnim jedinicama (kvadratni metri, kvadratni milimetri, kvadratni centimetri, kvadratni decimetri, itd.) Ova vrijednost se može izračunati na različite načine, ovisno o vrsti trokuta. Područje bilo koje figure s uglovima može se pronaći množenjem njene strane okomicom koja je na nju spuštena iz suprotnog ugla i dijeljenjem ove figure s dva. Ovu vrijednost možete pronaći i množenjem dvije strane. Zatim pomnožite ovaj broj sa sinusom ugla koji se nalazi između ovih stranica i podijelite ovaj rezultat sa dva. Poznavajući sve strane trougla, ali ne znajući njegove uglove, možete pronaći površinu na drugi način. Da biste to učinili, morate pronaći polovicu perimetra. Zatim naizmjenično oduzimajte različite strane od ovog broja i pomnožite rezultirajuće četiri vrijednosti. Zatim pronađite iz broja koji je izašao. Površina upisanog trokuta može se naći množenjem svih stranica i dijeljenjem rezultirajućeg broja s onim opisanim oko njega, pomnoženim sa četiri.

Površina opisanog trokuta nalazi se na ovaj način: polovinu perimetra množimo polumjerom kruga koji je u njega upisan. Ako se tada njegova površina može pronaći na sljedeći način: kvadratirajte stranu, pomnožite rezultirajuću cifru s korijenom od tri, a zatim podijelite ovaj broj sa četiri. Na sličan način možete izračunati visinu trokuta u kojem su sve strane jednake; da biste to učinili, trebate jednu od njih pomnožiti s korijenom od tri, a zatim ovaj broj podijeliti s dva.

Teoreme vezane za trokut

Glavne teoreme koje su povezane s ovom figurom su Pitagorina teorema opisana gore i kosinus. Drugi (od sinusa) je da ako bilo koju stranu podijelite sa sinusom ugla nasuprot njoj, možete dobiti polumjer kružnice koja je opisana oko nje, pomnožen sa dva. Treći (kosinusi) je da ako od zbira kvadrata dviju strana oduzmemo njihov proizvod, pomnožen sa dva i kosinus ugla koji se nalazi između njih, onda ćemo dobiti kvadrat treće strane.

Dali trougao - šta je to?

Mnogi, kada se suoče s ovim konceptom, isprva misle da je to neka vrsta definicije u geometriji, ali to uopće nije tako. Dalijev trokut je zajednički naziv za tri mjesta koja su usko povezana sa životom slavnog umjetnika. Njegovi „vrhunci“ su kuća u kojoj je živeo Salvador Dali, dvorac koji je poklonio svojoj supruzi, kao i muzej nadrealističkih slika. Možete puno naučiti tokom obilaska ovih mjesta. zanimljivosti o ovom jedinstvenom kreativnom umjetniku poznatom u cijelom svijetu.

Trokut - definicija i opći pojmovi

Trokut je jednostavan mnogokut koji se sastoji od tri strane i ima isti broj uglova. Njegove ravni su ograničene sa 3 tačke i 3 segmenta koji povezuju ove tačke u paru.

Svi vrhovi bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegovu raznolikost, označeni su velikim latiničnim slovima, a njegove stranice su prikazane odgovarajućim oznakama suprotnih vrhova, ali ne velikim slovima, ali mali. Tako, na primjer, trokut sa vrhovima označenim A, B i C ima stranice a, b, c.

Ako uzmemo u obzir trokut u Euklidskom prostoru, onda je to geometrijska figura koja se formira pomoću tri segmenta koji povezuju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji.

Pažljivo pogledajte gornju sliku. Na njemu su tačke A, B i C vrhovi ovog trougla, a njegovi segmenti se nazivaju stranicama trougla. Svaki vrh ovog poligona formira uglove unutar njega.

Vrste trouglova

Prema veličini uglova trokuta, oni se dijele na takve vrste kao što su: Pravokutni;
Acute angular;
Tupo.

U pravougaone trokute spadaju oni koji imaju jedan pravi ugao, a druga dva oštre.

Oštri trouglovi su oni kod kojih su svi uglovi oštri.

A ako trokut ima jedan tup ugao, a druga dva oštra ugla, onda je takav trokut klasifikovan kao tup.

Svako od vas savršeno dobro razumije da nemaju svi trouglovi jednake stranice. A prema dužini njegovih stranica, trokuti se mogu podijeliti na:

Isosceles;
Equilateral;
Svestran.

Zadatak: Crtanje različite vrste trouglovi. Definišite ih. Kakvu razliku vidite između njih?

Osnovna svojstva trouglova

Iako se ovi jednostavni poligoni mogu razlikovati jedan od drugog po veličini svojih uglova ili stranica, svaki trokut ima osnovna svojstva koja su karakteristična za ovu figuru.

U bilo kom trouglu:

Ukupan zbir svih njegovih uglova je 180º.
Ako pripada jednakostranici, onda je svaki od njegovih uglova 60º.
Jednakostranični trougao ima jednake i jednake uglove.
Što je manja stranica mnogougla, manji je ugao nasuprot njemu, i obrnuto, veći je ugao nasuprot većoj strani.
Ako su stranice jednake, onda su nasuprot njima jednakih uglova, i obrnuto.
Ako uzmemo trokut i produžimo njegovu stranu, na kraju ćemo dobiti spoljni ugao. Jednaka je zbiru unutrašnjih uglova.
U bilo kojem trokutu, njegova stranica, bez obzira koju odaberete, i dalje će biti manja od zbroja druge 2 stranice, ali više od njihove razlike:

1. a< b + c, a >b–c;
2. b< a + c, b >a–c;
3. c< a + b, c >a–b.

Vježbajte

U tabeli su prikazana već poznata dva ugla trougla. Znajući ukupan iznos od svih uglova pronađite koliko je jednak treći ugao trokuta i unesite to u tabelu:

1. Koliko stepeni ima treći ugao?
2. Kojoj vrsti trougla pripada?

Testovi za ekvivalentnost trouglova

Potpisujem

II sign

III sign

Visina, simetrala i medijana trougla

Visina trougla - okomice povučene iz vrha figure na njegovu suprotnu stranu naziva se visina trokuta. Sve visine trougla seku se u jednoj tački. Tačka preseka sve 3 visine trougla je njegov ortocentar.

Segment povučen iz datog vrha i povezuje ga na sredini suprotne strane je medijan. Medijane, kao i visine trougla, imaju jednu zajedničku tačku preseka, takozvano težište trougla ili težište.

Simetrala trougla je segment koji povezuje vrh ugla i tačku na suprotnoj strani, a takođe deli ovaj ugao na pola. Sve simetrale trougla sijeku se u jednoj tački, koja se naziva središte kružnice upisane u trokut.

Segment koji spaja sredine 2 strane trougla naziva se srednja linija.

Istorijska referenca

Figura kao što je trougao bila je poznata još u antičko doba. Ova figura i njena svojstva spominju se na egipatskim papirusima prije četiri hiljade godina. Nešto kasnije, zahvaljujući Pitagorinoj teoremi i Heronovoj formuli, proučavanje svojstava trokuta prešlo se na više visoki nivo, ali ipak, ovo se dogodilo prije više od dvije hiljade godina.

U XV – 16. vijeka Počeli su provoditi mnoga istraživanja o svojstvima trokuta, a kao rezultat toga nastala je takva znanost kao što je planimetrija, koja se zvala "Geometrija novog trougla".

Ruski naučnik N. I. Lobačevski dao je ogroman doprinos poznavanju svojstava trouglova. Njegovi radovi su kasnije našli primenu u matematici, fizici i kibernetici.

Zahvaljujući poznavanju svojstava trouglova, nastala je takva nauka kao što je trigonometrija. Pokazalo se da je to bilo potrebno za osobu u njegovim praktičnim potrebama, jer je njegova upotreba jednostavno neophodna pri sastavljanju karata, mjerenja područja, pa čak i pri dizajniranju različitih mehanizama.

Koji je najpoznatiji trougao koji poznajete? Ovo je naravno Bermudski trougao! Ovo ime dobila je 50-ih godina zbog geografskog položaja tačaka (vrhova trokuta), unutar kojih su, prema postojećoj teoriji, nastale anomalije povezane s njim. Vrhovi Bermudskog trougla su Bermuda, Florida i Portoriko.

Zadatak: O čemu su teorije Bermudski trokut da li si čuo?

Da li ste znali da u teoriji Lobačevskog, kada se sabiraju uglovi trougla, njihov zbir uvijek ima rezultat manji od 180º. U Rimanovoj geometriji, zbir svih uglova trougla je veći od 180º, a u Euklidovim radovima jednak je 180 stepeni.

Zadaća

Riješite križaljku na zadatu temu

Pitanja za ukrštenicu:

1. Kako se zove okomica koja je povučena iz vrha trougla na pravu liniju koja se nalazi na suprotnoj strani?
2. Kako, jednom riječju, možete nazvati zbir dužina stranica trougla?
3. Imenuj trougao čije su dvije stranice jednake?
4. Imenuj trougao čiji je ugao jednak 90°?
5. Kako se zove najveća stranica trougla?
6. Kako se zove stranica jednakokračnog trougla?
7. U svakom trouglu ih uvijek ima tri.
8. Kako se zove trougao u kojem je jedan od uglova veći od 90°?
9. Naziv segmenta koji povezuje vrh naše figure sa sredinom suprotne strane?
10. U jednostavnom poligonu ABC, veliko slovo A je...?
11. Kako se zove segment koji dijeli ugao trougla na pola?

Pitanja na temu trouglova:

1. Definišite ga.
2. Koliko visina ima?
3. Koliko simetrala ima trougao?
4. Koliki je zbir njegovih uglova?
5. Koje vrste ovog jednostavnog poligona poznajete?
6. Imenujte tačke trouglova koje se nazivaju izuzetnim.
7. Kojim uređajem možete izmjeriti ugao?
8. Ako kazaljke na satu pokazuju 21 sat. Koji ugao čine kazaljke na satu?
9. Pod kojim uglom se osoba okreće ako dobije komandu “lijevo”, “kružno”?
10. Koje druge definicije koje poznajete povezane su sa figurom koja ima tri ugla i tri strane?

Predmeti > Matematika > Matematika 7. razred

Možda najosnovnija, jednostavna i najzanimljivija figura u geometriji je trokut. Znam srednja škola proučavaju se njegova osnovna svojstva, ali je ponekad znanje o ovoj temi nepotpuno. Vrste trouglova u početku određuju njihova svojstva. Ali ovaj pogled ostaje pomiješan. Stoga, pogledajmo sada ovu temu malo detaljnije.

Vrste trouglova zavise od stepena mere uglova. Ove figure su oštre, pravokutne i tupe. Ako svi uglovi ne prelaze 90 stepeni, tada se broj može sa sigurnošću nazvati akutnim. Ako je barem jedan ugao trokuta 90 stepeni, onda imate posla s pravokutnom podvrstom. Prema tome, u svim ostalim slučajevima razmatrani se naziva tupouglom.

Postoje mnogi problemi za podtipove sa oštrim uglom. Prepoznatljiva karakteristika je unutrašnja lokacija presječnih točaka simetrala, medijana i visina. U drugim slučajevima, ovaj uslov možda neće biti ispunjen. Nije teško odrediti vrstu figure trougla. Dovoljno je znati, na primjer, kosinus svakog ugla. Ako ima bilo kakvih vrijednosti manje od nule, što znači da je trokut u svakom slučaju tupokut. U slučaju indikatora nule, figura ima pravi ugao. Sve pozitivne vrijednosti garantovano će vam reći da gledate u ugaoni pogled.

Ne može se ne spomenuti pravilan trougao. Ovo je najviše savršen pogled, gdje se sve točke presjeka medijana, simetrala i visina poklapaju. Središte upisane i opisane kružnice također leži na istom mjestu. Da biste riješili probleme, morate znati samo jednu stranu, pošto su vam uglovi u početku dati, a druge dvije strane su poznate. To jest, cifra je određena samo jednim parametrom. Oni postoje glavna karakteristika- jednakost dviju stranica i uglova pri osnovici.

Ponekad se postavlja pitanje da li trougao sa datim stranicama postoji. Ono što zaista pitate je da li navedeni opis odgovara glavnoj vrsti. Na primjer, ako je zbroj dviju strana manji od treće, onda u stvarnosti takva brojka uopće ne postoji. Ako zadatak traži od vas da pronađete kosinuse uglova trokuta sa stranicama 3,5,9, onda se očigledno može objasniti bez složenih matematičkih tehnika. Pretpostavimo da želite doći od tačke A do tačke B. Udaljenost u pravoj liniji je 9 kilometara. Međutim, sjetili ste se da morate otići do tačke C u prodavnici. Udaljenost od A do C je 3 kilometra, a od C do B je 5. Tako ispada da ćete pri kretanju kroz radnju hodati jedan kilometar manje. Ali pošto se tačka C ne nalazi na pravoj AB, moraćete da pređete dodatnu udaljenost. Ovdje postoji kontradikcija. Ovo je, naravno, uslovno objašnjenje. Matematika zna više od jednog načina da se dokaže da se sve vrste trouglova povinuju osnovnom identitetu. Kaže da je zbir dviju strana veći od dužine treće.

Bilo koja vrsta ima sljedeća svojstva:

1) Zbir svih uglova je 180 stepeni.

2) Uvek postoji ortocentar - tačka preseka sve tri visine.

3) Sve tri medijane povučene iz vrhova unutrašnjih uglova seku se na jednom mestu.

4) Krug se može nacrtati oko bilo kojeg trougla. Također možete upisati krug tako da ima samo tri dodirne točke i da se ne proteže dalje od vanjskih strana.

Sada ste upoznati sa glavnim svojstvima koja imaju različite vrste trouglovi. U budućnosti je važno razumjeti sa čime se suočavate kada rješavate problem.

Povratak