Dualizam čestica-val u kvantnoj fizici opisuje stanje čestice pomoću valne funkcije ($ \ psi (\ strelica preko desnog puta (r), t) $ - psi-funkcija).
Definicija 1
Talasna funkcija je funkcija koja se koristi u kvantnoj mehanici. Opisuje stanje sistema koji ima dimenzije u prostoru. To je vektor stanja.
Ova funkcija je složena i formalno ima valna svojstva. Kretanje bilo koje čestice mikrosvijeta određeno je vjerojatnosnim zakonima. Distribucija vjerovatnoće se otkriva prilikom provođenja veliki broj zapažanja (mjerenja) ili veliki brojčestice. Rezultirajuća raspodjela je slična raspodjeli intenziteta valova. Odnosno, na mjestima maksimalnog intenziteta, maksimalni iznosčestice.
Skup argumenata valne funkcije određuje njenu reprezentaciju. Dakle, koordinatni prikaz je moguć: $ \ psi (\ preko desnoj strelici (r), t) $, impulsnoj reprezentaciji: $ \ psi "(\ preko desnoj strelici (p), t) $, itd.
U kvantnoj fizici cilj nije precizno predvidjeti događaj, već procijeniti vjerovatnoću događaja. Poznavajući vrijednost vjerovatnoće, pronalaze se prosječne vrijednosti fizičkih veličina. Talasna funkcija vam omogućava da pronađete slične vjerovatnoće.
Dakle, vjerovatnoća prisustva mikročestice u zapremini dV u trenutku t može se definirati kao:
gdje je $ \ psi ^ * $ kompleksna konjugirana funkcija sa funkcijom $ \ psi. $ Gustoća vjerovatnoće (vjerovatnoća po jedinici volumena) je:
Vjerovatnoća je veličina koja se može promatrati eksperimentalno. Istovremeno, valna funkcija nije dostupna za promatranje, jer je složena (u klasičnoj fizici, parametri koji karakteriziraju stanje čestice dostupni su za promatranje).
Uvjet normalizacije za $ \ psi $ - funkcije
Valna funkcija je određena do proizvoljnog konstantnog faktora. Ova činjenica ne utiče na stanje čestice koje opisuje $ \ psi $ - funkcija. Međutim, valna funkcija je odabrana na takav način da zadovoljava uvjet normalizacije:
gdje se integral uzima po cijelom prostoru ili po području u kojem valna funkcija nije jednaka nuli. Uslov normalizacije (2) znači da je čestica pouzdano prisutna u cijelom području gdje je $ \ psi \ ne 0 $. Valna funkcija koja ispunjava uvjet normalizacije naziva se normalizirana. Ako je $ (\ lijevo | \ psi \ desno |) ^ 2 = 0 $, onda ovaj uvjet znači da vjerovatno nema čestica u istraživanom području.
Normalizacija oblika (2) je moguća za diskretni spektar svojstvenih vrijednosti.
Uslov normalizacije možda neće biti izvodljiv. Dakle, ako je funkcija $ \ psi $ - ravan de Broglieov talas i vjerovatnoća pronalaženja čestice je ista za sve tačke u prostoru. Ovi slučajevi se smatraju kao savršen model, u kojem je čestica prisutna u velikom, ali ograničenom području prostora.
Princip superpozicije talasne funkcije
Ovaj princip je jedan od osnovnih postulata kvantne teorije. Njegovo značenje je sljedeće: ako su za neki sistem moguća stanja opisana valnim funkcijama $ \ psi_1 \ (\ rm i) \ $ $ \ psi_2 $, tada za ovaj sistem postoji stanje:
gdje su $ C_ (1 \) i \ C_2 $ konstantni koeficijenti. Princip superpozicije je empirijski potvrđen.
Možemo govoriti o dodavanju bilo kojeg broja kvantnih stanja:
gdje je $ (\ lijevo | C_n \ desno |) ^ 2 $ vjerovatnoća da se sistem nađe u stanju opisanom talasnom funkcijom $ \ psi_n. $ Za valne funkcije koje ispunjavaju uvjet normalizacije (2), sljedeći uvjet je zadovoljan:
Stacionarna stanja
U kvantnoj teoriji posebnu ulogu igra stacionarna stanja(stanja u kojima se svi posmatrani fizički parametri ne mijenjaju tokom vremena). (Sama valna funkcija u principu nije vidljiva). U stacionarnom stanju, $ \ psi $ - funkcija ima oblik:
gdje je $ \ omega = \ frac (E) (\ hbar) $, $ \ psi \ lijevo (\ overrightarrow (r) \ desno) $ ne ovisi o vremenu, $ E $ je energija čestice. U obliku (3) valne funkcije, gustina vjerovatnoće ($ P $) je vremenska konstanta:
Od fizička svojstva stacionarna stanja prate matematičke zahtjeve za talasnu funkciju $ \ psi \ lijevo (\ preko desno strelica (r) \ desno) \ do \ (\ psi (x, y, z)) $.
Matematički zahtjevi za talasnu funkciju za stacionarna stanja
$ \ psi \ lijevo (\ overrightarrow (r) \ desno) $ - funkcija mora biti u svim tačkama:
- kontinuirano,
- nedvosmisleno
- je konačan.
Ako potencijalna energija ima površinu diskontinuiteta, tada na takvim površinama funkcija $ \ psi \ lijevo (\ preko desno strelica (r) \ desno) $ i njen prvi izvod moraju ostati kontinuirani. U području prostora u kojem potencijalna energija postaje beskonačna, $ \ psi \ lijevo (\ preko desno strelica (r) \ desno) $ treba biti nula. Kontinuitet funkcije $ \ psi \ lijevo (\ preko desnoj strelici (r) \ desno) $ zahtijeva da na bilo kojoj granici ovog područja $ \ psi \ lijevo (\ nadstrešnica (r) \ desno) = 0 $. Uslov kontinuiteta nameće se na parcijalne izvode valne funkcije ($ \ frac (\ parcijalni \ psi) (\ parcijalni x), \ \ frac (\ parcijalni \ psi) (\ parcijalni y), \ frac (\ parcijalni \ psi) (\ parcijalni z) $).
Primjer 1
vježba: Za određenu česticu data je valna funkcija oblika: $ \ psi = \ frac (A) (r) e ^ (- (r) / (a)) $, gdje je $ r $ udaljenost od čestice do centra sile (slika 1), $ a = const $. Primijeniti uvjet normalizacije, pronaći faktor normalizacije A.
Slika 1.
Rješenje:
Zapišimo uvjet normalizacije za naš slučaj u obliku:
\ [\ int ((\ lijevo | \ psi \ desno |) ^ 2dV = \ int (\ psi \ psi ^ * dV = 1 \ lijevo (1,1 \ desno))) \]
gdje je $ dV = 4 \ pi r ^ 2dr $ (vidi sliku 1. Iz uslova je jasno da problem ima sfernu simetriju). Iz uslova problema imamo:
\ [\ psi = \ frac (A) (r) e ^ (- (r) / (a)) \ to \ psi ^ * = \ frac (A) (r) e ^ (- (r) / (a )) \ lijevo (1,2 \ desno). \]
Zamijenite $ dV $ i valne funkcije (1.2) u uvjet normalizacije:
\ [\ int \ limits ^ (\ infty) _0 (\ frac (A ^ 2) (r ^ 2) e ^ (- (2r) / (a)) 4 \ pi r ^ 2dr = 1 \ lijevo (1.3 \ desno).) \]
Integrirajmo na lijevoj strani:
\ [\ int \ limits ^ (\ infty) _0 (\ frac (A ^ 2) (r ^ 2) e ^ (- (2r) / (a)) 4 \ pi r ^ 2dr = 2 \ pi A ^ 2a = 1 \ lijevo (1,4 \ desno).) \]
Iz formule (1.4) izražavamo traženi koeficijent:
odgovor:$ A = \ sqrt (\ frac (1) (2 \ pi a)).
Primjer 2
vježba: Koja je najvjerovatnija udaljenost ($ r_B $) elektrona od jezgra ako se valna funkcija koja opisuje osnovno stanje elektrona u atomu vodika može definirati kao: $ \ psi = Ae ^ (- (r) / (a)) $, gdje je $ r $ udaljenost od elektrona do jezgra, $ a $ je prvi Borov radijus?
Rješenje:
Koristimo formulu koja određuje vjerovatnoću prisustva mikročestice u volumenu $ dV $ u trenutku $ t $:
gdje je $ dV = 4 \ pi r ^ 2dr. \ $ Dakle, imamo:
U ovom slučaju možemo napisati $ p = \ frac (dP) (dr) $ kao:
Da bismo odredili najvjerovatnije udaljenosti, izjednačavamo derivaciju $ \ frac (dp) (dr) $ sa nulom:
\ [(\ lijevo. \ frac (dp) (dr) \ desno |) _ (r = r_B) = 8 \ pi rA ^ 2e ^ (- (2r) / (a)) + 4 \ pi r ^ 2A ^ 2e ^ (- (2r) / (a)) \ lijevo (- \ frac (2) (a) \ desno) = 8 \ pi rA ^ 2e ^ (- (2r) / (a)) \ lijevo (1- \ frac (r) (a) \ desno) = 0 (2.4) \]
Pošto rješenje $ 8 \ pi rA ^ 2e ^ (- (2r_B) / (a)) = 0 \ \ (\ rm for) \ \ r_B \ do \ infty $ ne funkcionira za nas, onda je eliminirano:
3. ELEMENTI KVANTNE MEHANIKE
3.1 Talasna funkcija
Svaka mikročestica je posebna vrsta formacije koja kombinuje svojstva čestica i talasa. Razlika između mikročestice i talasa je u tome što se detektuje kao nedeljiva celina. Na primjer, niko nije posmatrao polje elektrona. Istovremeno, val se može podijeliti na dijelove, a zatim percipirati svaki dio zasebno.
Razlika između mikročestice u kvantnoj mehanici i obične mikročestice leži u činjenici da ona nema istovremeno određene vrijednosti koordinata i impulsa, pa pojam putanje za mikročesticu gubi smisao.
Distribucija vjerovatnoće pronalaženja čestice u datom trenutku vremena u određenom području prostora biće opisana talasnom funkcijom
(x,
y,
z
,
t) (psi funkcija). Vjerovatnoća dPčinjenica da se čestica nalazi u elementu zapremine dV proporcionalno 
i element volumena dV:
dP=
dV.
Fizičko značenje nije sama funkcija 
, a kvadrat njegovog modula je gustina vjerovatnoće. Određuje vjerovatnoću da će čestica ostati u datoj tački u prostoru.
Talasna funkcija
je glavna karakteristika stanja mikro-objekata (mikro-čestica). Uz njegovu pomoć, u kvantnoj mehanici, mogu se izračunati prosječne vrijednosti fizičkih veličina koje karakteriziraju dati objekt u stanju opisanom valovnom funkcijom 
.
3.2. Princip nesigurnosti
U klasičnoj mehanici, stanje čestice je određeno koordinatama, impulsom, energijom itd. Ovo su dinamičke varijable. Mikročestica se ne može opisati takvim dinamičkim varijablama. Posebnost mikročestica je da se sve varijable ne mjere sa određenim vrijednostima. Na primjer, čestica ne može imati u isto vrijeme tačne vrijednosti koordinate X i komponente zamaha R X... Neizvjesnost vrijednosti X i R X zadovoljava omjer:
(3.1)
- manja je nesigurnost koordinate Δ X, veća je nesigurnost momenta Δ R X, i obrnuto.
Relacija (3.1) se zove Heisenbergova relacija nesigurnosti i dobijena je 1927. godine.
Količine Δ X i Δ R X nazivaju se kanonski konjugiranim. Isti kanonski konjugirani su Δ at i Δ R at, itd.
Heisenbergov princip nesigurnosti kaže: proizvod nesigurnosti vrijednosti dvije konjugirane varijable ne može biti za red veličine manji od Planckove konstante ħ.
Energija i vrijeme su, dakle, kanonski konjugirani 
... To znači da je određivanje energije sa tačnošću Δ E treba da traje vremenski interval:
Δ t ~ ħ/ Δ E.
Odredite vrijednost koordinate X slobodno leteća mikročestica, postavljajući prorez na svom putu širine Δ X smješten okomito na smjer kretanja čestice. Prije nego što čestica prođe kroz prorez, njena komponenta impulsa je R X ima precizno značenje, R X= 0 (prorez je okomit na vektor momenta), tako da je nesigurnost momenta nula, Δ R X= 0, ali koordinata Xčestica je potpuno nedefinisana (slika 3.1).
V 
u trenutku kada čestica prođe kroz prorez, pozicija se mijenja. Umjesto potpune neizvjesnosti, koordinate X pojavljuje se nesigurnost Δ X, a nesigurnost momenta se pojavljuje Δ R X .
Zaista, zbog difrakcije, postoji određena vjerovatnoća da će se čestica kretati unutar kuta 2 φ , gdje φ - ugao koji odgovara prvom difrakcionom minimumu (zanemarujemo maksimume višeg reda, jer je njihov intenzitet mali u poređenju sa intenzitetom centralnog maksimuma).
Tako se pojavljuje neizvjesnost:
Δ R X =R grijeh φ ,
ali grijeh φ = λ / Δ X To je uslov za prvi minimum. Onda
Δ R X ~pλ /Δ X,
Δ XΔ R X ~pλ= 2πħ ≥ħ/ 2.
Relacija nesigurnosti pokazuje u kojoj meri se mogu koristiti koncepti klasične mehanike u odnosu na mikročestice, a posebno sa kojim stepenom tačnosti se može govoriti o putanji mikročestica.
Kretanje duž putanje karakteriziraju određene vrijednosti brzine čestice i njenih koordinata u svakom trenutku vremena. Zamjena u odnosu nesigurnosti umjesto R X izraz zamaha 
, imamo:
–
što je veća masa čestice, što je manja nesigurnost njenih koordinata i brzine, to su pojmovi putanje tačnije primjenjivi na nju.
Na primjer, za mikročesticu veličine 1 · 10 -6 m, nesigurnosti Δh i Δ 
prevazilaze tačnost mjerenja ovih veličina, a kretanje čestice je neodvojivo od kretanja duž putanje.
Neizvjesnost je fundamentalna tvrdnja kvantne mehanike. To, na primjer, omogućava da se objasni činjenica da elektron ne pada na jezgro atoma. Ako bi elektron pao na tačkasto jezgro, njegove koordinate i zamah bi poprimili određene (nulte) vrijednosti, što je nespojivo s principom nesigurnosti. Ovaj princip zahtijeva da nesigurnost elektronske koordinate Δ r i nesigurnost impulsa Δ R zadovoljan odnosom
Δ rΔ str ≥ ħ/ 2,
i značenje r= 0 je nemoguće.
Energija elektrona u atomu bit će minimalna pri r= 0 i R= 0, stoga, da bismo procijenili najmanju moguću energiju, stavljamo Δ r ≈ r, Δ str ≈ str... Zatim Δ rΔ str ≥ ħ/ 2, i za najmanju vrijednost neizvjesnosti imamo:
zanima nas samo redosled količina koje su uključene u ovaj odnos, tako da se faktor može odbaciti. U ovom slučaju imamo 
, odavde p = ħ /r... Energija elektrona u atomu vodika
(3.2)
Nađi r pri čemu energija E je minimalan. Diferenciramo (3.2) i izjednačimo derivaciju sa nulom:
,
u ovom izrazu smo izbacili numeričke faktore. Odavde 
- radijus atoma (poluprečnik prve Borove orbite). Za energiju imamo
Možda mislite da bi uz pomoć mikroskopa bilo moguće odrediti položaj čestice i na taj način poništiti princip nesigurnosti. Međutim, mikroskop će vam omogućiti da odredite položaj čestice u njoj najbolji slucaj tačno prema talasnoj dužini upotrijebljene svjetlosti, tj. Δ x ≈ λ, ali pošto Δ R= 0, zatim Δ RΔ X= 0 i princip nesigurnosti nije ispunjen ?! je li tako?
Koristimo svjetlost, a svjetlost se, prema kvantnoj teoriji, sastoji od fotona sa impulsom p =k/λ ... Da bi se detektovala čestica, barem jedan od fotona svjetlosnog snopa mora biti raspršen ili apsorbiran njome. Posljedično, impuls će se prenijeti na česticu, barem dostižući h/λ ... Dakle, u trenutku posmatranja čestice sa koordinatnom nesigurnošću Δ x ≈ λ impulsna nesigurnost bi trebala biti Δ p ≥h/λ .
Množenjem ovih nesigurnosti dobijamo:
–
princip nesigurnosti je ispunjen.
Proces interakcije uređaja sa predmetom koji se proučava naziva se mjerenje. Ovaj proces se odvija u prostoru i vremenu. Postoji bitna razlika između interakcije instrumenta sa makro i mikro objektima. Interakcija uređaja sa makro-objektom je interakcija dva makro-objekta, što je prilično precizno opisano zakonima klasične fizike. U ovom slučaju može se pretpostaviti da uređaj nema nikakvog uticaja na merni objekat, ili je taj efekat mali. Kada uređaj stupi u interakciju s mikro-objektima, nastaje drugačija situacija. Proces fiksiranja određene pozicije mikročestice dovodi do promjene njenog impulsa, koji se ne može učiniti jednakim nuli:
Δ R X ≥ ħ/ Δ X.
Stoga se učinak uređaja na mikročesticu ne može smatrati malim i beznačajnim, uređaj mijenja stanje mikro-objekta - kao rezultat mjerenja specificiraju se samo određene klasične karakteristike čestice (moment, itd.). u granicama ograničenim odnosom nesigurnosti.
3.3 Schrödingerova jednadžba
Godine 1926. Schrödinger je dobio svoju čuvenu jednačinu. Ovo je osnovna jednadžba kvantne mehanike, osnovna pretpostavka na kojoj se temelji sva kvantna mehanika. Sve posljedice koje proizlaze iz ove jednačine su u skladu s iskustvom - to je njegova potvrda.
Vjerovatna (statistička) interpretacija de Broglieovih valova i relacija nesigurnosti ukazuju na to da jednačina kretanja u kvantnoj mehanici treba da bude takva da bi omogućila objašnjenje eksperimentalno posmatranih valnih svojstava čestica. Položaj čestice u prostoru u datom trenutku određuje se u kvantnoj mehanici specificiranjem valne funkcije
(x,
y,
z,
t), odnosno kvadrat modula ove veličine. 
Je vjerovatnoća pronalaska čestice u tački x,
y,
z trenutno t.
Osnovna jednadžba kvantne mehanike mora biti jednačina za funkciju
(x,
y,
z,
t). Nadalje, ova jednadžba mora biti valna jednačina, iz koje eksperimenti na difrakciji mikročestica, potvrđujući njihovu valovnu prirodu, moraju dobiti svoje objašnjenje.
Schrödingerova jednadžba je sljedeća:
.
(3.3)
gdje m- masa čestica,
i- imaginarna jedinica,
- Laplace operater, 
,U Je operator potencijalne energije čestice.
Oblik Ψ-funkcije je određen funkcijom U, tj. priroda sila koje djeluju na česticu. Ako je polje sile stacionarno, tada rješenje jednadžbe ima oblik:
,
(3.4)
gdje E- ukupna energija čestice, ostaje konstantna za svako stanje, E =konst.
Jednačina (3.4) se zove Schrödingerova jednačina za stacionarna stanja. Može se napisati i kao:
.
Ova jednačina je primenljiva na nerelativističke sisteme pod uslovom da se distribucija verovatnoće ne menja tokom vremena, tj. kada funkcioniše ψ imaju oblik stajaćih talasa.
Schrödingerova jednačina se može dobiti na sljedeći način.
Razmotrimo jednodimenzionalni slučaj - česticu koja se slobodno kreće duž ose X... Odgovara ravnom de Broljevom talasu:
,
ali 
,
Zbog toga 
... Ovaj izraz razlikujemo po t:
.
Nađimo sada drugi izvod psi-funkcije u odnosu na koordinatu
,
U nerelativističkoj klasičnoj mehanici, energija i zamah su povezani odnosom: 
gdje E
– kinetička energija... Čestica se kreće slobodno, njena potencijalna energija U= 0 i puna E = E k... Dakle
,
Je Schrödingerova jednadžba za slobodnu česticu.
Ako se čestica kreće u polju sila, onda E- svu energiju (i kinetičku i potencijalnu), dakle:
,
onda dobijamo 
, ili 
,
i na kraju
Ovo je Schrödingerova jednadžba.
Gornje rezonovanje nije izvođenje Schrödingerove jednačine, već primjer kako se ova jednačina može uspostaviti. Postulirana je ista Schrödingerova jednačina.
U izrazu
lijeva strana označava Hamiltonov operator 
- Hamiltonijan je zbir operatora 
i U... Hamiltonijan je energetski operator. U nastavku ćemo detaljno govoriti o operatorima fizičkih veličina. (Operator izražava neku akciju pod funkcijom ψ
, koji stoji ispod operatora). Imajući ovo na umu, imamo:
.
Fizičko značenje nije samo po sebi ψ -funkcija, i kvadrat njenog modula, koji određuje gustinu vjerovatnoće pronalaska čestice na datom mjestu u prostoru. Kvantna mehanika ima statistički smisao. Ne dozvoljava vam da odredite lokaciju čestice u prostoru ili putanju duž koje se čestica kreće. Funkcija psi daje samo vjerovatnoću s kojom se čestica može detektovati u datoj tački u prostoru. U tom smislu, psi funkcija mora zadovoljiti sljedeće uvjete:
Mora biti nedvosmislen, kontinuiran i konačan, jer određuje stanje čestice;
Mora imati kontinuirani i konačan izvod;
Funkcija I ψ I 2 mora biti integrabilan, tj. integralni
mora biti konačan, jer određuje vjerovatnoću detekcije čestice.
Integral
,
Ovo je uslov normalizacije. To znači da je vjerovatnoća da se čestica nalazi u bilo kojoj tački prostora jednaka jedinici.
Eksperimentalna potvrda ideje Louisa de Brogliea o univerzalnosti dualizma val-čestica, ograničenoj primjeni klasične mehanike na mikro-objekte, diktiranom odnosom nesigurnosti, kao i kontradiktornosti brojnih eksperimenata s teorijama korištenim u početak 20. stoljeća doveo je do nove etape u razvoju kvantne fizike – stvaranja kvantne mehanike koja opisuje zakone kretanja i interakcije mikročestica uzimajući u obzir njihova valna svojstva. Njegovo stvaranje i razvoj pokriva period od 1900. (formulacija kvantne hipoteze od strane Plancka) do 1920-ih godina i vezuje se, prije svega, za radove austrijskog fizičara E. Schrödingera, njemačkog fizičara W. Heisenberga i engleskog fizičar P. Dirac.
Potreba za probabilističkim pristupom opisu mikročestica je najvažnija karakteristična karakteristika kvantna teorija. Da li se de Broljevi talasi mogu tumačiti kao talasi verovatnoće, tj. uzeti u obzir da vjerovatnoća detekcije mikročestice u različitim tačkama u prostoru varira u skladu sa talasnim zakonom? Ova interpretacija de Broljevih talasa je već netačna, makar samo zato što tada verovatnoća detekcije čestice u nekim tačkama u prostoru može biti negativna, što nema smisla.
Kako bi otklonio ove poteškoće, njemački fizičar M. Born 1926. predložio je to prema talasnom zakonu, ne menja se sama verovatnoća,i magnituda,imenovani amplituda vjerovatnoće i označeno. Ova količina se još naziva valna funkcija (ili -funkcija). Amplituda vjerovatnoće može biti složena, a vjerovatnoća W proporcionalno kvadratu njegovog modula:
 |
(4.3.1) |
gdje je, gdje je kompleksna funkcija konjugirana sa Ψ.
Dakle, opis stanja mikro-objekta pomoću valne funkcije ima statistički, vjerovatnoća karakter: kvadrat modula valne funkcije (kvadrat modula amplitude de Broglieovog vala) određuje vjerovatnoću pronalaženja čestice u određenom trenutku u području s koordinatama x i d x, y i d y, z i d z.
Dakle, u kvantnoj mehanici stanje čestice se opisuje na fundamentalno nov način - uz pomoć valne funkcije, koja je glavni nosilac informacija o njihovoj korpuskularnoj i valovnoj
| . | (4.3.2) |
Veličina 
(kvadrat modula Ψ-funkcije) ima smisla gustina vjerovatnoće
, tj. određuje vjerovatnoću pronalaženja čestice po jedinici zapremine u blizini tačke,vlasništvo koordinatex, y, z... Na ovaj način, fizičko značenje nema samu Ψ-funkciju, već kvadrat njenog modula, koji određuje intenzitet de Broljevog talasa
.
Vjerovatnoća pronalaženja čestice u određenom trenutku t u završnoj svesci V, prema teoremi zbrajanja vjerovatnoće, jednako je:
.
Jer je definirana kao vjerovatnoća, tada je potrebno predstaviti talasnu funkciju Ψ tako da se vjerovatnoća pouzdanog događaja pretvori u jedinicu, ako je volumen V uzeti beskonačan volumen čitavog prostora. To znači da za dato stanječestica mora biti negdje u svemiru. Dakle, uslov za normalizaciju verovatnoće:
| (4.3.3) |
gdje se ovaj integral računa na cijelom beskonačnom prostoru, tj. po koordinatama x, y, z od do . Dakle, uslov normalizacije govori o objektivnom postojanju čestice u vremenu i prostoru.
Da bi valna funkcija bila objektivna karakteristika stanja mikročestice, ona mora zadovoljiti niz graničnih uslova. Funkcija Ψ koja karakterizira vjerovatnoću detekcije mikročestice u elementu volumena trebala bi biti:
· Konačna (vjerovatnoća ne može biti veća od jedan);
· Nedvosmisleno (vjerovatnoća ne može biti dvosmislena vrijednost);
· Kontinuirano (vjerovatnoća se ne može naglo promijeniti).
Valna funkcija zadovoljava princip superpozicije: ako sistem može biti u različitim stanjima opisanim valnim funkcijama,, ..., onda može biti u stanju opisanom linearnom kombinacijom ovih funkcija:
gdje ( n= 1, 2, 3 ...) su proizvoljni, uopšteno govoreći, kompleksni brojevi.
Sabiranje valnih funkcija(amplitude vjerovatnoće određene kvadratima modula valnih funkcija) suštinski razlikuje kvantnu teoriju od klasične statističke teorije, u kojem teorema o dodavanju vjerovatnoće vrijedi za nezavisne događaje.
Talasna funkcijaΨ je glavna karakteristika stanja mikro objekata... Na primjer, prosječna udaljenost elektrona od jezgra izračunava se po formuli
,
Borovi postulati
Planetarni model atoma omogućio je objašnjenje rezultata eksperimenata o raspršivanju alfa čestica materije, međutim, pojavile su se fundamentalne poteškoće u potvrđivanju stabilnosti atoma.
Prvi pokušaj konstruiranja kvalitativno nove - kvantne - teorije atoma napravio je 1913. Niels Bohr. Postavio je cilj da poveže empirijske zakone linijskih spektra, Rutherfordov nuklearni model atoma i kvantnu prirodu emisije i apsorpcije svjetlosti u jedinstvenu cjelinu. Bohr je zasnovao svoju teoriju na Rutherfordovom nuklearnom modelu. Predložio je da se elektroni kreću oko jezgra po kružnim orbitama. Kružno kretanje, čak i pri konstantnoj brzini, ima ubrzanje. Takvo ubrzano kretanje naboja je ekvivalentno naizmjenična struja, koji stvara naizmjenično elektromagnetno polje u svemiru. Za stvaranje ovog polja potrebna je energija. Energija polja može se stvoriti zahvaljujući energiji Kulonove interakcije elektrona sa jezgrom. Kao rezultat, elektron se mora kretati spiralno i pasti na jezgro. Međutim, iskustvo pokazuje da su atomi vrlo stabilne formacije. Otuda slijedi da su rezultati klasične elektrodinamike zasnovani na Maxwellovim jednadžbama neprimjenjivi na unutaratomske procese. Potrebno je pronaći nove obrasce. Bohr je svoju teoriju atoma zasnovao na sljedećim postulatima.
Borov prvi postulat
(postulat stacionarnih stanja): u atomu postoje stacionarna (koja se ne mijenjaju tokom vremena) stanja u kojima on ne zrači energiju. Stacionarna stanja atoma odgovaraju stacionarnim orbitama duž kojih se kreću elektroni. Kretanje elektrona u stacionarnim orbitama nije praćeno emisijom elektromagnetnih talasa.
Ovaj postulat je u suprotnosti sa klasičnom teorijom. U stacionarnom stanju atoma, elektron koji se kreće po kružnoj orbiti mora imati diskretne kvantne vrijednosti ugaonog momenta.
Bohrov drugi postulat
(pravilo frekvencije): kada elektron pređe iz jedne stacionarne orbite u drugu, jedan foton sa energijom se emituje (apsorbuje)
jednaka razlika u energijama odgovarajućih stacionarnih stanja (En i Em su, respektivno, energije stacionarnih stanja atoma pre i posle zračenja/apsorpcije).
Prijelaz elektrona iz stacionarne orbite označene brojem m u stacionarnu orbitu s brojem n odgovara prelasku atoma iz stanja sa energijom Em u stanje sa energijom En (slika 4.1). 
Rice. 4.1. Na objašnjenje Borovih postulata
Na En> Em emituje se foton (prelazak atoma iz stanja sa višom energijom u stanje sa nižom energijom, tj. prelazak elektrona iz orbite dalje od jezgra u bližu), kod En< Еm – его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т. е, переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот
kvantne prelaze i određuje linijski spektar atoma.
Borova teorija je briljantno objasnila eksperimentalno posmatrani linijski spektar vodonika.
Uspjesi teorije atoma vodika postignuti su po cijenu napuštanja temeljnih odredbi klasične mehanike, koja je nesumnjivo vrijedila više od 200 godina. Dakle veliki značaj imao direktan eksperimentalni dokaz valjanosti Borovih postulata, posebno prvog - o postojanju stacionarnih stanja. Drugi postulat se može posmatrati kao posledica zakona održanja energije i hipoteze o postojanju fotona.
Njemački fizičari D. Frank i G. Hertz, proučavajući sudar elektrona sa atomima plina metodom potencijala usporavanja (1913), eksperimentalno su potvrdili postojanje stacionarnih stanja i diskretnost vrijednosti atomske energije.
Unatoč nesumnjivom uspjehu Borovog koncepta u odnosu na atom vodika, za koji se pokazalo da je moguće konstruirati kvantitativnu teoriju spektra, nije bilo moguće stvoriti sličnu teoriju za sljedeći atom vodika, helij na osnovu Borove ideje. Borova teorija je omogućila da se izvuku samo kvalitativni (iako vrlo važni) zaključci o atomu helija i složenijim atomima. Pokazalo se da je koncept određenih orbita duž kojih se elektron kreće u Borovom atomu prilično proizvoljan. U stvari, kretanje elektrona u atomu nema mnogo veze sa kretanjem planeta po orbitama.
Trenutno, koristeći kvantnu mehaniku, možete odgovoriti na mnoga pitanja u vezi sa strukturom i svojstvima atoma bilo kojeg elementa.
5. glavne odredbe kvantne mehanike:
Talasna funkcija i njeno fizičko značenje.
Iz sadržaja prethodna dva paragrafa proizilazi da je talasni proces povezan sa mikročesticom, što odgovara njenom kretanju, pa je stoga opisano stanje čestice u kvantnoj mehanici. valna funkcijašto zavisi od koordinata i vremena y (x, y, z, t). Specifičan pogled y-funkcija je određena stanjem čestice, prirodom sila koje na nju djeluju. Ako je polje sile koje djeluje na česticu nepokretno, tj. vremenski nezavisno, dakle y-funkcija se može predstaviti kao proizvod dva faktora, od kojih jedan zavisi od vremena, a drugi od koordinata:
U nastavku ćemo razmatrati samo stacionarna stanja. Y-funkcija je vjerovatnoća karakteristika stanja čestice. Da biste to razjasnili, mentalno odaberite dovoljno mali volumen, unutar kojeg će se vrijednosti y funkcije smatrati istim. Zatim vjerovatnoća nalaženja dWčestice u datom volumenu proporcionalne su tome i zavise od kvadrata modula y-funkcije (kvadrata modula amplitude de Broglieovih valova):
Ovo implicira fizičko značenje valne funkcije:
Kvadrat modula valne funkcije ima značenje gustine vjerovatnoće, tj. određuje vjerovatnoću pronalaženja čestice u jediničnoj zapremini u blizini tačke sa koordinatama x, y, z.
Integrirajući izraz (3.2) po zapremini, određujemo vjerovatnoću pronalaska čestice u ovoj zapremini pod uslovima stacionarnog polja:
Ako je poznato da je čestica unutar zapremine V, zatim integral izraza (3.4) preuzet po zapremini V, to bi trebao biti je jednako jedan:
– uvjet normalizacije za y-funkciju.
Da bi valna funkcija bila objektivna karakteristika stanja mikročestica, mora biti konačan, jednoznačan, kontinuiran, budući da vjerovatnoća ne može biti više od jedan, ne može biti dvosmislena vrijednost i ne može se mijenjati u skokovima. Dakle, stanje mikročestice je u potpunosti određeno talasnom funkcijom. Čestica se može detektovati u bilo kojoj tački u prostoru gde je talasna funkcija različita od nule.
Otkriće valnih svojstava mikročestica pokazalo je da klasična mehanika ne može dati ispravan opis ponašanje takvih čestica. Teorija koja obuhvata sva svojstva elementarnih čestica mora uzeti u obzir ne samo njihova korpuskularna svojstva, već i valna. Iz prethodno razmatranih eksperimenata proizilazi da snop elementarnih čestica ima svojstva ravnog vala koji se širi u smjeru brzine čestice. U slučaju širenja duž ose, ovaj talasni proces se može opisati de Broglievom talasnom jednačinom (7.43.5):
(7.44.1)
gdje je energija, je impuls čestice. Kada se širi u proizvoljnom smjeru:
(7.44.2)
Nazovimo funkciju valna funkcija i saznajmo njeno fizičko značenje upoređujući difrakciju svjetlosnih valova i mikročestica.
U skladu sa konceptima talasa o prirodi svetlosti, intenzitet difrakcionog uzorka je proporcionalan kvadratu amplitude svetlosnog talasa. Prema stavovima teorija fotona, intenzitet je određen brojem fotona koji padaju u datu tačku difrakcionog uzorka. Posljedično, broj fotona u datoj tački na difrakcijskom uzorku je dat kvadratom amplitude svjetlosnog vala, dok za jedan foton kvadrat amplitude određuje vjerovatnoću da foton udari u određenu tačku.
Difrakcijski uzorak koji je uočen za mikročestice takođe karakteriše nejednaka distribucija fluksa mikročestica. Prisustvo maksimuma u uzorku difrakcije sa stanovišta teorije talasa znači da ovi pravci odgovaraju najvećem intenzitetu de Broglieovih talasa. Intenzitet je veći tamo gdje je veći broj čestica. Dakle, difrakcioni obrazac za mikročestice je manifestacija statističke pravilnosti i možemo reći da poznavanje tipa de Broglieovog talasa, tj. Ψ -funkcija, omogućava vam da procenite verovatnoću jednog ili drugog od mogućih procesa.
Dakle, u kvantnoj mehanici stanje mikročestica se opisuje na fundamentalno nov način - uz pomoć valne funkcije, koja je glavni nosilac informacija o njihovoj korpuskularnoj i valna svojstva... Vjerovatnoća pronalaženja čestice u elementu zapremine je
(7.44.3)
Veličina
(7.44.4)
daje smisao gustini vjerovatnoće, tj. određuje vjerovatnoću pronalaženja čestice u jedinici zapremine u blizini set lopta... Dakle, fizičko značenje nije sama funkcija, već kvadrat njenog modula, koji određuje intenzitet de Broglieovih valova. Vjerovatnoća pronalaženja čestice u određenom trenutku u konačnom volumenu, prema teoremi o dodavanju vjerovatnoće, je
(7.44.5)
Pošto čestica postoji, mora se naći negdje u svemiru. Tada je vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka jedan
. (7.44.6)
Izraz (7.44.6) se naziva uslov normalizacije vjerovatnoće. Talasna funkcija koja karakterizira vjerovatnoću otkrivanja djelovanja mikročestice u elementu volumena mora biti konačna (vjerovatnoća ne može biti više od jedan), nedvosmislena (vjerovatnoća ne može biti dvosmislena vrijednost) i kontinuirana (vjerovatnoća se ne može naglo promijeniti).