Prema narodnom predanju tako raširenom među fizičarima, dogodilo se ovako: 1926. godine jedan teoretski fizičar po imenu govorio je na naučnom seminaru na Univerzitetu u Cirihu. Govorio je o čudnim novim idejama koje lebde u vazduhu, da se objekti u mikrokosmosu često ponašaju više kao talasi nego kao čestice. Tada je starija učiteljica zatražila riječ i rekla: „Schrödingeru, zar ne vidiš da su sve ovo gluposti? Ili svi ne znamo da su valovi - oni su valovi, da bi se opisali talasnim jednačinama?" Schrödinger je ovo shvatio kao ličnu pritužbu i krenuo je da razvije talasnu jednačinu koja bi opisala čestice u okviru kvantne mehanike - i s tim se zadatkom snašao briljantno.
Ovdje treba dati objašnjenje. U našem svakodnevnom svijetu energija se prenosi na dva načina: materijom kada se kreće s mjesta na mjesto (na primjer, pokretnom lokomotivom ili vjetrom) - čestice su uključene u ovaj prijenos energije - ili valovima (npr. radio talasi, koji se prenose snažnim predajnicima i hvataju antenama naših televizora). Odnosno, u makrokosmosu u kojem ti i ja živimo, svi nosioci energije su striktno podijeljeni na dvije vrste - korpuskularne (sastoje se od materijalnih čestica) ili talasne. U ovom slučaju se opisuje bilo koji talas poseban tip jednačine - talasne jednačine. Bez izuzetka, svi talasi - okeanski talasi, seizmički talasi stena, radio talasi iz udaljenih galaksija - opisuju se istom vrstom talasnih jednačina. Ovo objašnjenje je potrebno kako bi bilo jasno da ako želimo da predstavimo fenomene subatomskog svijeta u smislu valova distribucije vjerovatnoće (vidi Kvantna mehanika), ovi valovi također moraju biti opisani odgovarajućom talasnom jednačinom.
Schrödinger je klasičnu diferencijalnu jednačinu valne funkcije primijenio na koncept valova vjerovatnoće i dobio poznatu jednačinu koja nosi njegovo ime. Baš kao što uobičajena jednačina valne funkcije opisuje širenje, na primjer, talasanja po površini vode, Schrödingerova jednačina opisuje širenje vala vjerovatnoće da će se čestica pronaći u set lopta svemir. Vrhovi ovog talasa (tačke maksimalne vjerovatnoće) pokazuju gdje se čestica najvjerovatnije nalazi u svemiru. Iako se Schrödingerova jednačina odnosi na regiju višu matematiku, toliko je važno za razumijevanje moderne fizike da ću je ipak ovdje predstaviti - u najjednostavnijem obliku (tzv. "jednodimenzionalna stacionarna Schrödingerova jednačina"). Gore navedeno valna funkcija distribucija vjerovatnoće, označena grčkim slovom ("psi"), je rješenje za sljedeće diferencijalna jednadžba(u redu je ako ne razumete; glavna stvar je verovati da ova jednadžba pokazuje da se verovatnoća ponaša kao talas):
gdje je udaljenost, je Plankova konstanta, i, i su masa, ukupna energija i potencijalna energija čestice, respektivno.
Slika kvantnih događaja koju nam daje Schrödingerova jednačina je da se elektroni i druge elementarne čestice ponašaju poput valova na površini oceana. Tokom vremena, vrh talasa (koji odgovara mestu gde je najverovatnije da će se elektron nalaziti) pomera se u prostoru u skladu sa jednačinom koja opisuje ovaj talas. To jest, ono što smo tradicionalno smatrali česticom u kvantnom svijetu ponaša se slično talasu.
Kada je Schrödinger prvi put objavio svoje rezultate, oluja je izbila u svijetu teorijske fizike u šoljici čaja. Činjenica je da se praktično u isto vrijeme pojavio rad Schrödingerovog savremenika, Werner Heisenberg (vidi Heisenbergov princip nesigurnosti), u kojem je autor iznio koncept "matrične mehanike", gdje su isti problemi kvantne mehanike su riješeni u drugom, složenijem sa matematičke tačke gledišta u matričnom obliku. Uzbunu je izazvala činjenica da su se naučnici jednostavno bojali da su dva podjednako uvjerljiva pristupa opisu mikrosvijeta u suprotnosti. Uzbuđenje je bilo uzaludno. Sam Schrödinger je iste godine dokazao potpunu ekvivalenciju dviju teorija – to jest, matrična jednačina slijedi iz valne jednačine, i obrnuto; rezultati su identični. Danas se koristi većina Schrödingerove verzije (ponekad se njegova teorija naziva "talasna mehanika"), budući da je njegova jednadžba manje glomazna i lakša za podučavanje.
Međutim, nije tako lako zamisliti i prihvatiti da se nešto poput elektrona ponaša kao talas. V Svakodnevni život suočeni smo ili sa česticom ili sa talasom. Lopta je čestica, zvuk je talas, i to je to. U svijetu kvantne mehanike stvari nisu tako jednostavne. Zapravo – a eksperimenti su to ubrzo pokazali – u kvantnom svijetu entiteti se razlikuju od objekata na koje smo navikli i imaju drugačija svojstva. Svetlost, koju smo nekada smatrali talasom, ponekad se ponaša kao čestica (koja se zove foton), a čestice poput elektrona i protona mogu se ponašati kao talasi (vidi Princip komplementarnosti).
Ovaj problem se obično naziva dualnom ili dualnom valno-čestičnom prirodom kvantnih čestica i inherentan je, očigledno, svim objektima subatomskog svijeta (vidi Bellovu teoremu). Moramo shvatiti da su u mikrokosmosu naše svakodnevne intuitivne ideje o tome kakve oblike materija može poprimiti i kako se može ponašati jednostavno neprimjenjive. Sama činjenica da koristimo talasnu jednačinu da opišemo kretanje onoga što smo nekada smatrali česticama je upečatljiv dokaz za to. Kao što je navedeno u Uvodu, u tome nema posebne kontradikcije. Na kraju krajeva, nemamo uvjerljiv razlog vjerovati da ono što opažamo u makrokosmosu treba precizno reproducirati na nivou mikrokosmosa. Ipak, dualna priroda elementarnih čestica ostaje za mnoge ljude jedan od najnerazumljivijih i najuznemirujućih aspekata kvantne mehanike, i ne bi bilo pretjerano reći da su sve nevolje počele s Erwinom Schrödingerom.
Encyclopedia Jamesa Trefila Priroda nauke. 200 zakona univerzuma".
James Trefil je profesor fizike na Univerzitetu George Mason (SAD), jedan od najpoznatijih zapadnih autora popularnih naučnih knjiga.
| Komentari: 0 |
Max Planck - jedan od osnivača kvantne mehanike - došao je do ideje kvantiziranja energije, pokušavajući teorijski objasniti proces interakcije između nedavno otkrivenih elektromagnetnih talasa i atoma i na taj način riješiti problem zračenja crnog tijela. Shvatio je da se za objašnjenje posmatranog spektra emisije atoma mora uzeti zdravo za gotovo da atomi emituju i apsorbuju energiju u porcijama (koje je naučnik nazvao kvanti) i samo na različitim frekvencijama talasa.
Apsolutno crno tijelo, potpuno apsorbirajući elektromagnetno zračenje bilo koje frekvencije, kada se zagrije, emituje energiju u obliku valova ravnomjerno raspoređenih po cijelom frekvencijskom spektru.
Riječ "kvant" dolazi od latinskog quantum ("koliko, koliko") i engleskog quantum ("količina, dio, kvant"). Odavno je bilo uobičajeno da se nauka o kretanju materije zove "mehanika". Prema tome, termin "kvantna mehanika" označava nauku o kretanju materije u delovima (ili, modernim naučnim jezikom, nauku o kretanju materije koja kvantuje). Termin "kvant" skovao je njemački fizičar Max Planck kako bi opisao interakciju svjetlosti s atomima.
Jedna od činjenica subatomskog svijeta je da njegovi objekti - kao što su elektroni ili fotoni - uopće nisu poput uobičajenih objekata makrokosmosa. Oni se ne ponašaju kao čestice, i ne kao valovi, već kao potpuno posebne formacije, koje pokazuju i valna i korpuskularna svojstva, ovisno o okolnostima. Jedno je deklarisati, a sasvim drugo povezati talasne i korpuskularne aspekte ponašanja kvantnih čestica, opisujući ih tačnom jednačinom. Upravo je to učinjeno u de Broglievoj vezi.
U svakodnevnom životu postoje dva načina prijenosa energije u svemiru - putem čestica ili valova. U svakodnevnom životu nema vidljivih kontradikcija između dva mehanizma prijenosa energije. Dakle, košarkaška lopta je čestica, a zvuk je talas, i sve je jasno. Međutim, stvari u kvantnoj mehanici nisu tako jednostavne. Čak i iz najjednostavnijih eksperimenata sa kvantnim objektima, ubrzo postaje jasno da principi i zakoni makrokosmosa koji su nam poznati ne funkcionišu u mikrokosmosu. Svjetlost, koju smo nekada smatrali valom, ponekad se ponaša kao da se sastoji od struje čestica (fotona), a elementarne čestice, poput elektrona ili čak masivnog protona, često pokazuju svojstva vala.
Najviše od svega, Ajnštajn je protestovao protiv potrebe da se pojave mikrosvijeta opisuju u terminima vjerovatnoća i valnih funkcija, a ne iz uobičajenog položaja koordinata i brzina čestica. To je on mislio pod "kockom". Prepoznao je da je opisivanje kretanja elektrona u smislu njihovih brzina i koordinata u suprotnosti s principom nesigurnosti. Ali, tvrdio je Ajnštajn, moraju postojati neke druge varijable ili parametri, uzimajući u obzir koje će se kvantno-mehanička slika mikrosvijeta vratiti na put integriteta i determinizma. Odnosno, insistirao je, nama se samo čini da se Bog s nama igra na kockice, jer ne razumijemo sve. Tako je bio prvi koji je formulisao hipotezu o skrivenoj varijabli u jednadžbi kvantne mehanike. Sastoji se u tome što elektroni u stvari imaju fiksne koordinate i brzinu, poput njutnovskih bilijarskih loptica, a princip nesigurnosti i probabilistički pristup njihovom određivanju u okviru kvantne mehanike rezultat su nepotpunosti same teorije, tj. zašto im to ne dozvoljava sigurno definirati.
Julia Zotova
Naučićete: Koje tehnologije se nazivaju kvantnim i zašto. Koja je prednost kvantnih tehnologija u odnosu na klasične. Šta kvantni kompjuter može, a šta ne može. Kako fizičari prave kvantni kompjuter. Kada će biti kreiran.
Francuski fizičar Pierre Simon Laplace postavio je važno pitanje, da li je sve na svijetu unaprijed određeno prethodnim stanjem svijeta ili uzrok može uzrokovati nekoliko posljedica. Kako se pretpostavlja po filozofskoj tradiciji, sam Laplace u svojoj knjizi „Prezentacija sistema svijeta“ nije postavljao nikakva pitanja, već je dao gotov odgovor da je sve na svijetu unaprijed određeno, međutim, kako često što se događa u filozofiji, slika svijeta koju je predložio Laplace nije uvjerila sve i stoga je njegov odgovor podstakao raspravu oko ovog pitanja koja traje do danas. Unatoč mišljenju nekih filozofa da je kvantna mehanika riješila ovo pitanje u korist probabilističkog pristupa, ipak se o Laplaceovoj teoriji potpune predodređenosti, ili kako se drugačije naziva, o teoriji Laplaceovog determinizma, raspravlja i danas.
Gordey Lesovik
Prije nekog vremena, grupa koautora i ja počeli smo izvoditi drugi zakon termodinamike sa stanovišta kvantne mehanike. Na primjer, u jednoj od njegovih formulacija, koja kaže da se entropija zatvorenog sistema ne smanjuje, obično raste, a ponekad ostaje konstantna ako je sistem energetski izolovan. Koristeći dobro poznate rezultate kvantne teorije informacija, izveli smo neke uslove pod kojima je ova tvrdnja tačna. Neočekivano se pokazalo da se ovi uslovi ne poklapaju sa uslovom energetske izolacije sistema.
Profesor fizike Jim Al-Khalili istražuje najtačnije i jedan od najzbunjujućih naučne teorije- kvantna fizika. Početkom 20. veka naučnici su prodrli u skrivene dubine materije, u subatomske blokovi svijet oko nas. Otkrili su fenomene koji su se razlikovali od svega što su ranije vidjeli. Svijet u kojem sve može biti na više mjesta u isto vrijeme, gdje stvarnost zaista postoji samo kada je posmatramo. Albert Ajnštajn se opirao samo ideji da je suština prirode zasnovana na slučaju. Kvantna fizika implicira da subatomske čestice mogu biti u interakciji veća brzina svetlost, a to je u suprotnosti sa njegovom teorijom relativnosti.
№1 Stacionarna Schrödingerova jednačina ima oblik. Ova jednačina je napisana za….
U opštem slučaju, stacionarna Schrödingerova jednačina ima oblik
, gdje je potencijalna energija mikročestice. Za jednodimenzionalni slučaj. Osim toga, čestica se ne može nalaziti unutar potencijalne kutije, a izvan kutije, jer zidovi su mu beskrajno visoki. Stoga je ova Schrödingerova jednačina napisana za česticu u jednodimenzionalnoj kutiji sa beskonačno visokim zidovima.
Linearni harmonijski oscilator
ü Čestice u jednodimenzionalnoj kutiji potencijala sa beskonačno visokim zidovima
Čestice u trodimenzionalnoj kutiji potencijala sa beskonačno visokim zidovima
Elektron u atomu vodika
Uspostaviti korespondenciju između kvantnomehaničkih problema i Schrödingerovih jednačina za njih.
Opšti oblik stacionarna jednačina Schrödinger je:
Potencijalna energija čestice
Laplace operater. Za istovremeni slučaj
Izraz za potencijalnu energiju harmonijskog oscilatora, odnosno čestice koja vrši jednodimenzionalno kretanje pod dejstvom kvazielastične sile, ima oblik U =.
Vrijednost potencijalne energije elektrona u potencijalnoj kutiji sa beskonačno visokim zidovima je U = 0. Elektron u atomu sličnom vodoniku ima potencijalnu energiju. Za atom vodonika, Z = 1.
Dakle, za elektron u jednodimenzionalnoj potencijalnoj kutiji, Schrödingerov ur-e ima oblik:
Uz pomoć valne funkcije, koja je rješenje Schrödingerove jednadžbe, moguće je odrediti….
Opcije odgovora: (Molimo unesite najmanje dvije opcije odgovora)
Prosječne vrijednosti fizičkih veličina koje karakteriziraju česticu
Vjerovatnoća da se čestica nalazi u određenom području prostora
Putanja čestice
Lokacija čestica
Količina ima značenje gustine verovatnoće (verovatnoće po jedinici zapremine), odnosno određuje verovatnoću da se čestica nađe na odgovarajućem mestu u prostoru.Tada je verovatnoća W da detektuje česticu u određenom delu prostora
Schrödingerova jednadžba (specifične situacije)
Br. 1 Vlastite funkcije elektrona u jednodimenzionalnoj potencijalnoj kutiji sa beskonačno visokim zidovima imaju oblik 
gdje je širina kutije, kvantni broj koji ima značenje broja nivo energije... Ako je broj čvorova funkcije na segmentu i, tada jednak ...
Broj čvorova, tj. broj tačaka u kojima talasna funkcija na segmentu nestaje relacijom je povezan sa brojem nivoa energije. Onda 
, a pod uslovom je ovaj odnos jednak 1,5. Rješavajući rezultirajuću jednačinu za, dobijamo to
Nuklearne reakcije.
№1 V nuklearna reakcija slovo označava česticu...
Iz zakona održanja masenog broja i broja naboja slijedi da je naboj čestice nula, a maseni broj jednako 1. Dakle, slovo označava neutron.
ü Neutron
Positron
Elektron
Grafikon u semilogaritamskoj skali prikazuje ovisnost promjene broja jezgara radioaktivnih izotopa o vremenu. radioaktivnog raspada u jednakima ... (zaokružiti odgovor na cijele cijele brojeve)
Broj radioaktivnih jezgara se mijenja s vremenom prema zakonu - početni broj jezgara, - konstanta radioaktivnog raspada.
ln 
.Dakle, 
=0,07
Zakoni očuvanja u nuklearnim reakcijama.
Reakcija ne može ići zbog kršenja zakona o konzervaciji...
U svim fundamentalnim interakcijama ispunjeni su zakoni održanja: energija, impuls, ugaoni moment (spin) i sva naelektrisanja (električna, barionska i leptonska). Ovi zakoni očuvanja ne samo da ograničavaju posljedice različitih interakcija, već određuju i sve mogućnosti tih posljedica. Za odabir tačnog odgovora potrebno je provjeriti koji je zakon održanja zabranjen, a koji je dopustio datu reakciju međukonverzije elementarnih čestica. Prema zakonu održanja leptonskog naboja u zatvorenom sistemu za bilo koji proces, razlika između broja leptona i antileptona je očuvana. Dogovorili smo se da računamo za leptone:. leptonski naboj i za antileptone:. leptonski naboj. Za sve ostale elementarne čestice, naelektrisanja leptona su nula. Reakcija se ne može nastaviti zbog kršenja zakona održanja leptonskog naboja, jer
ü Leptonsko punjenje
Barionski napad
Spin ugaoni moment
Reakcija ne može ići zbog kršenja zakona o konzervaciji...
U svim fundamentalnim interakcijama ispunjeni su zakoni održanja: energija, količina gibanja, ugaoni moment (spin) i svi naboji (električni Q, barionski B i lepton L.) Ovi zakoni održanja ne samo da ograničavaju posljedice različitih interakcija, već i određuju sve mogućnosti ovih posledica. Prema zakonu održanja barionskog naboja B, za sve procese koji uključuju barione i antibarione, ukupni barionski naboj je očuvan. Barionima (nukleonima n, p i hiperonima) je dodijeljen barionski naboj
B = -1, a sve ostale čestice imaju barionski naboj-B = 0. Reakcija se ne može nastaviti zbog kršenja zakona barionskog naboja B, jer (+1) + (+ 1)
Varijante odgovora: leptonski naboj, spin ugaoni moment, električni naboj. Q = 0, antiproton (
Opća Schrödingerova jednačina. Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja
Statistička interpretacija de Broljevih valova (vidi § 216) i Heisenbergova relacija nesigurnosti (vidi 5 215) dovela je do zaključka da jednačina kretanja u kvantnoj mehanici, koja opisuje kretanje mikročestica u različitim polja sila, mora postojati jednadžba iz koje se eksperimentalno promatra valna svojstvačestice. Glavna jednadžba mora biti jednačina za valovnu funkciju Ψ (x, y, z, t), budući da je to ona, ili, preciznije, veličina | Ψ | 2, određuje vjerovatnoću zadržavanja čestice u trenutku t u zapremini dV, odnosno u području sa koordinatama x i x + dx, y i y + dy, z i z + dz. Kako tražena jednačina mora uzeti u obzir valna svojstva čestica, onda to mora biti valna jednačina, slična jednadžbi koja opisuje elektromagnetne valove.
Osnovnu jednačinu nerelativističke kvantne mehanike formulisao je 1926. E. Schrödinger. Schrödingerova jednadžba, kao i sve osnovne jednadžbe fizike (na primjer, Newtonove jednadžbe u klasičnoj mehanici i Maxwellove jednadžbe za elektromagnetno polje) se ne izvodi, već se postulira. Ispravnost ove jednačine potvrđuje slaganje sa iskustvom rezultata dobijenih uz njenu pomoć, što joj, pak, daje karakter zakona prirode. Schrödingerova jednadžba ima oblik
gdje je h = h / (2π), m je masa čestice, ∆ je Laplaceov operator ( 
),
i - imaginarna jedinica, U (x, y, z, t) - potencijalna funkcija čestice u polju sila u kojem se kreće, Ψ (x, y, z, t ) - željena valna funkcija čestice.
Jednačina (217.1) važi za bilo koju česticu (sa spinom jednakim 0; videti § 225) koja se kreće malom (u poređenju sa brzinom svetlosti) brzinom, tj. brzinom υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные
mora biti kontinuirana; 3) funkcija |Ψ | 2 mora biti integrabilan; u najjednostavnijim slučajevima ovaj uslov se svodi na uslov za normalizaciju verovatnoće (216.3).
Da bismo došli do Schrödingerove jednačine, razmotrimo česticu koja se slobodno kreće, koja je, prema de Broglieovoj ideji, povezana sa ravnim talasom. Radi jednostavnosti, razmotrite jednodimenzionalni slučaj. Jednačina za ravan talas koji se širi duž x ose ima oblik (vidi § 154)
Ili u složenoj notaciji 
... Posljedično, de Broglieov ravni talas ima oblik
(217.2)
(uzeto je u obzir da je ω = E / h, k = p / h). U kvantnoj mehanici, eksponent se uzima sa predznakom minus, ali pošto samo |Ψ | 2, onda je ovo (vidi (217.2)) nevažno. Onda
,
; (217.3)
Koristeći odnos između energije E i impulsa p (E = p 2 / (2m)) i zamjenom izraza (217.3), dobijamo diferencijalnu jednačinu
što se poklapa sa jednačinom (217.1) za slučaj U = 0 (smatrali smo slobodnu česticu).
Ako se čestica kreće u polju sile koje karakterizira potencijalna energija U, tada je ukupna energija E zbir kinetičke i potencijalne energije. Provodeći slično razmišljanje koristeći odnos između E i p (za ovaj slučaj, p 2 / (2m) = E -U), idemo na diferencijalnu jednadžbu koja se poklapa sa (217.1).
Gornje rezonovanje ne treba uzeti kao izvođenje Schrödingerove jednačine. Oni samo objašnjavaju kako možete doći do ove jednačine. Dokaz ispravnosti Schrödingerove jednadžbe je slaganje sa iskustvom zaključaka do kojih ona vodi.
Jednačina (217.1) je opća Schrödingerova jednačina. Naziva se i vremenski zavisna Schrödingerova jednačina. Za mnoge fizičke pojave koje se dešavaju u mikrosvijetu, jednadžba (217.1) se može pojednostaviti eliminacijom ovisnosti Ψ o vremenu, drugim riječima, pronaći Schrödingerovu jednačinu za stacionarna stanja - stanje s fiksnim vrijednostima energije. Ovo je moguće ako je polje sile u kojem se čestica kreće stacionarno, tj. funkcija U = U (x, y, z ) ne zavisi eksplicitno od vremena i ima značenje potencijalne energije. U ovom slučaju, rješenje Schrödingerove jednadžbe može se predstaviti kao proizvod dvije funkcije, od kojih je jedna funkcija samo koordinata, druga samo vremena, a vremenska ovisnost je izražena faktorom
,
gdje je E - ukupna energija čestice, konstantna u slučaju stacionarnog polja. Zamjenom (217.4) u (217.1) dobijamo
odakle, nakon dijeljenja sa zajedničkim faktorom e - i (E / h) t i odgovarajućim transformacijama, dolazimo do jednadžbe koja definira funkciju ψ:
(217.5)
Jednačina (217.5) se zove Schrödingerova jednačina za stacionarna stanja.
Ova jednadžba uključuje ukupnu energiju E čestice kao parametar. U teoriji diferencijalnih jednadžbi dokazano je da takve jednačine imaju beskonačan broj rješenja od kojih se nametanjem graničnih uvjeta biraju rješenja koja imaju fizičko značenje. Za Schrödingerovu jednačinu takvi uvjeti su uvjeti pravilnosti valnih funkcija: valne funkcije moraju biti konačne, jednovrijedne i kontinuirane zajedno sa svojim prvim derivatima. Dakle, samo rješenja koja su izražena regularnim funkcijama ψ . Ali redovna rješenja se ne odvijaju ni za jednu vrijednost parametra E, već samo za određeni skup njih, tipičan za dati problem. Ove energetske vrijednosti se nazivaju svojstvene vrijednosti. Rješenja, koja odgovaraju njihovim vlastitim energetskim vrijednostima, nazivaju se vlastitim funkcijama. Svojstvene vrijednosti E mogu formirati i kontinuirane i diskretne serije. U prvom slučaju se govori o kontinuiranom, ili kontinuiranom, spektru, u drugom o diskretnom spektru.
Predavanje 5. SCHROEDINGEROVA JEDNAČINA.
Probabilističko značenje de Broljevih talasa. Talasna funkcija.
De Broglieovi talasi imaju specifičnu kvantnu prirodu koja nema analogije sa talasima u klasičnoj fizici. Ovo nisu elektromagnetski valovi, jer njihovo širenje u svemiru nije povezano sa širenjem bilo kojeg elektromagnetnog polja. Pitanje o prirodi talasa može se formulisati kao pitanje o fizičkom značenju amplitude ovih talasa. Umjesto amplitude, pogodnije je odabrati intenzitet valova proporcionalan kvadratu modula amplitude.
Iz eksperimenata na difrakciji elektrona proizilazi da ovi eksperimenti otkrivaju nejednaku distribuciju snopa elektrona koji se reflektira u različitim smjerovima. Sa tačke gledišta talasa, prisustvo maksimuma u broju elektrona u nekim pravcima znači da ti pravci odgovaraju najvećem intenzitetu de Broljevih talasa. Intenzitet talasa u datoj tački u prostoru određuje gustinu verovatnoće da elektroni udare u ovu tačku u 1 sekundi.
Ovo je poslužilo kao osnova za neku vrstu statističke, probabilističke interpretacije de Broljevih talasa.
Kvadrat modula amplitude de Broljevih talasa u datoj tački je mera verovatnoće da se čestica detektuje u toj tački.
Da bismo opisali distribuciju vjerovatnoće pronalaska čestice u datom trenutku vremena u nekoj tački prostora, uvodimo funkciju koja je funkcija vremena i koordinata, označena grčkim slovom ψ i pozvao valna funkcija ili jednostavno psi funkcija.
Po definiciji, vjerovatnoća da čestica ima koordinate unutar x, x + dx.
Ako 
, tada je vjerovatnoća da se čestica nalazi u zapremini dxdydz.
Stoga je vjerovatnoća da se čestica nalazi u elementu volumena dV proporcionalna kvadratu modula psi funkcije i volumenskog elementa dV.
Fizičko značenje nije sama funkcija ψ, već kvadrat njenog modula, gdje je ψ * kompleks funkcije konjugiran sa ψ. Količina ima smisla gustina vjerovatnoće, tj. definiše vjerovatnoća da se čestica nađe u datoj tački u prostoru... Drugim riječima, određuje intenzitet de Broljevih valova. Valna funkcija je glavna karakteristika stanja mikro objekata (elementarne čestice, atomi, molekuli).
Nestacionarna Schrödingerova jednačina.
Njutnove jednadžbe u klasičnoj mehanici omogućavaju makroskopskim tijelima da riješe glavni problem mehanike - s obzirom na sile koje djeluju na tijelo (ili sistem tijela) i početne uslove, pronađu koordinate tijela i njegovu brzinu za bilo koji trenutak vremena, tj opisati kretanje tijela u prostoru i vremenu.
Prilikom formulisanja sličnog problema u kvantnoj mehanici, potrebno je uzeti u obzir ograničenja mogućnosti primjene klasičnih koncepata koordinata i impulsa na mikročestice. Budući da je stanje mikročestice u prostoru u datom trenutku vremena određeno talasnom funkcijom, odnosno vjerovatnoćom da se čestica nađe u tački x, y, z u trenutku t, osnovna jednadžba kvantne mehanike je jednadžba za psi funkciju.
Ovu jednačinu je 1926. dobio Schrödinger. Kao i Newtonove jednačine kretanja, Schrödingerova jednačina je postulirana, a ne izvedena. Ispravnost ove jednačine dokazuje činjenica da se zaključci dobijeni uz njenu pomoć dobro slažu sa eksperimentima.
Schrödingerova jednadžba ima oblik
,
ovdje je m masa čestice, i je imaginarna jedinica, je Laplaceov operator, rezultat čijeg djelovanja na neku funkciju
.
U (x, y, z, t) - u okviru naših problema, potencijalna energija čestice koja se kreće u polju sila. Iz Schrödingerove jednadžbe slijedi da je oblik psi-funkcije određen funkcijom U, tj. konačno, priroda sila koje djeluju na česticu.
Schrödingerova jednačina je dopunjena važnim uvjetima koji su nametnuti psi funkciji. Postoje tri uslova:
1) funkcija ψ mora biti konačna, kontinuirana i jednoznačna;
2) derivati 
mora biti kontinuiran
3) funkcija mora biti integrabilna, tj. integralni
mora biti konačan. U najjednostavnijim slučajevima, treći uslov se svodi na uslov normalizacije
To znači da je prisustvo čestice bilo gdje u svemiru pouzdan događaj i njegova vjerovatnoća bi trebala biti jednaka jedinici. Prva dva uslova su uobičajeni zahtjevi koji se postavljaju na željeno rješenje diferencijalne jednadžbe.
Hajde da objasnimo kako se može doći do Schrödingerove jednačine. Radi jednostavnosti, ograničavamo se na jednodimenzionalni slučaj. Zamislite česticu koja se slobodno kreće (U = 0).
Uporedimo ga, prema de Broljovoj zamisli, ravnim talasom
Zamijenite i i prepišite
.
Diferenciramo ovaj izraz jednom u odnosu na t, a drugi put dva puta u odnosu na x, dobijamo
Energija i impuls slobodne čestice povezani su relacijom
Zamjenjujući u ovaj odnos izraze za E i p 2
Posljednji izraz se poklapa sa Schrödingerovom jednačinom za U = 0.
U slučaju čestice koja se kreće u polju sile koje karakteriše potencijalna energija U, energija E i impuls p povezani su relacijom
Gornje obrazloženje nema dokaznu vrijednost i ne može se smatrati izvođenjem Schrödingerove jednačine. Njihova svrha je da objasne kako možete doći do uspostavljanja ove jednačine.
| | | sljedeće predavanje ==> | |
Iz statističke interpretacije de Broglieovih talasa (vidi § i Heisenbergovu relaciju nesigurnosti (vidi § 215)) slijedi da jednačina kretanja u kvantnoj mehanici koja opisuje kretanje mikročestica u različitim poljima sile treba da bude jednačina iz koje se promatranje slijedila bi - eksperimentalno data valna svojstva čestica.
Glavna jednačina treba da bude jednačina za talasnu funkciju, jer ona, tačnije, veličina | F | 2, određuje verovatnoću da će čestica ostati u tom trenutku t u zapremini dV, u području sa koordinatama i X+ dx, y + dy,
z i Pošto tražena jednačina mora uzeti u obzir valna svojstva čestica, mora biti talasna jednačina, slično kao jednačina koja opisuje elektromagnetne talase. Osnovna jednačina nerelativistička kvantna mehanika koju je 1926. godine formulirao E. Schrödinger. Schrödingerova jednadžba, kao i sve osnovne jednadžbe fizike (na primjer, Newtonove jednadžbe u klasičnoj mehanici i Maxwellove jednačine za elektromagnetno polje), nije izvedena, već postulirana. Ispravnost ove jednačine potvrđuje slaganje sa eksperimentom rezultata dobijenih uz nju, što joj, pak, daje karakter zakona prirode. Jednačina
Schrödinger ima formu
|
Imaginarna jedinica y, z, t) -
Potencijalna funkcija čestice u polju sila u kojem se kreće; z, t) -željena valna funkcija
Jednačina vrijedi za bilo koju česticu (sa spinom jednakim 0; vidjeti § 225) koja se kreće malom (u poređenju sa brzinom svjetlosti) brzinom, odnosno brzinom v With. Ona je dopunjena uslovima nametnutim talasnoj funkciji: 1) talasna funkcija mora biti konačna, jednoznačna i kontinuirana (videti § 216);
2) derivati -, -, -, must-
dx du
da budemo kontinuirani; 3) funkcija |F |2 mora biti integrabilna; u najjednostavnijim slučajevima ovaj uslov se svodi na
Uslov normalizacije (216.3).
Da bismo došli do Schrödingerove jednačine, razmotrimo česticu koja se slobodno kreće, koja je, prema de Broglieu, povezana.Radi jednostavnosti, razmotrimo jednodimenzionalni slučaj. Jednačina ravnog talasa koji se širi duž ose X, ima oblik (vidi § 154) t) = A cos - ili u kompleksnoj notaciji t) - Posljedično, de Broglieov ravni talas ima oblik
(217.2)
(uzima se u obzir da - = -). U kvantnom th
Eksponent se uzima sa znakom "-", pošto samo | F | 2 ima fizičko značenje, ovo je beznačajno. Onda
 |
Korištenje odnosa između energije E i zamah = -) i zamjena
izrazom (217.3), dobijamo diferencijalnu jednačinu
što se poklapa sa jednačinom za slučaj U- Oh (smatrali smo slobodnu česticu).
Ako se čestica kreće u polju sile koje karakteriše potencijalna energija U, zatim ukupna energija E sastoji se od kinetičke i potencijalne energije. Provodeći slično razmišljanje i korištenje odnosa između ("za
Slučaj = EU), dolazimo do diferencijalne jednadžbe koja se poklapa sa (217.1).
Gornje obrazloženje ne treba uzeti kao derivaciju Schrödingerove jednačine. Oni samo objašnjavaju kako možete doći do ove jednačine. Dokaz ispravnosti Schrödingerove jednadžbe je slaganje sa iskustvom zaključaka do kojih ona vodi.
Jednačina (217.1) je opšta Schrödingerova jednačina. Takođe se zove po Schrödingerovoj jednadžbi ovisnoj o vremenu. Za mnoge fizičke pojave koje se dešavaju u mikrosvijetu, jednadžba (217.1) se može pojednostaviti eliminacijom vremenske zavisnosti, drugim riječima, da bi se pronašla Schrödingerova jednačina za stacionarna stanja - stanja sa fiksnim energetskim vrijednostima. To je moguće ako je polje sile u kojem se čestica kreće stacionarno, odnosno funkcija U = z) ne zavisi eksplicitno od vremena i ima značenje potencijalne energije.
U ovom slučaju, rješenje Schrödingerove jednadžbe može se predstaviti kao proizvod dvije funkcije, od kojih je jedna funkcija samo koordinata, druga samo vremena, a vremenska ovisnost je
Pojede ga faktor e "= e, tako da
(217.4)
gdje E je ukupna energija čestice, koja je konstantna u slučaju stacionarnog polja. Zamjenom (217.4) u (217.1) dobijamo
Otuda, nakon dijeljenja sa zajedničkim faktorom e odgovarajućih transformacija
Po definiciji, dolazimo do jednadžbe koja definira funkciju
Jednačina urav-
Schrödingerova jednačina za stacionarna stanja. Ova jednadžba sadrži ukupnu energiju kao parametar Ečestice. U teoriji diferencijalnih jednadžbi dokazano je da takve jednadžbe imaju bezbroj rješenja, od kojih se nametanjem graničnih uvjeta biraju rješenja koja imaju fizičku
Za Schrödingerovu jednačinu takvi uslovi su uslovi pravilnosti valnih funkcija: valne funkcije moraju biti konačne, jednovrijedne i kontinuirane zajedno sa svojim prvim derivatima.
Dakle, samo takva rješenja koja su izražena regularnim funkcijama imaju stvarno fizičko značenje, ali regularna rješenja se ne odvijaju ni za jednu vrijednost parametra E, ali samo sa određenim skupom njih, tipičnim za dati zadatak. Ove energetske vrijednosti su pozvani vlastiti. Rješenja koja odgovaraju vlastitim vrijednostima energije nazivaju se vlastite funkcije. Svojstvene vrijednosti E mogu formirati kontinuirane i diskretne serije. U prvom slučaju govore o kontinuirano, ili kontinuirani, spektar, u drugom - oko diskretni spektar.
§ 218. Princip kauzalnosti u kvantnoj mehanici
Često se iz odnosa neizvjesnosti zaključuje da je neprimjenjiv.
princip uzročnosti fenomena koji se dešavaju u mikrokosmosu. U ovom slučaju, oni se zasnivaju na sljedećim razmatranjima. U klasičnoj mehanici, prema princip kauzalnosti - princip klasičnog determinizma, on poznato stanje sistema u određenom trenutku (potpuno određeno vrijednostima koordinata i impulsa svih čestica sistema) i sila koje se na njega primjenjuju, može se apsolutno točno postaviti njegovo stanje u svakom narednom trenutku. Shodno tome, klasična fizika se zasniva na sledećem shvatanju kauzalnosti: stanje mehaničkog sistema u početnom trenutku vremena sa poznatim zakonom interakcije čestica je uzrok, a njegovo trenutno stanje je posledica.
S druge strane, mikroobjekti ne mogu istovremeno imati određenu koordinatu i određenu odgovarajuću projekciju momenta [date su relacijom nesigurnosti, pa se zaključuje da u početnom trenutku vremena stanje sistema nije precizno odlučan. Ako stanje sistema nije određeno u početnom trenutku vremena, onda se kasnija stanja ne mogu predvidjeti, odnosno narušava se princip kauzalnosti.
Međutim, nije uočeno kršenje principa uzročnosti primijenjenog na mikro-objekte, jer u kvantnoj mehanici koncept stanja mikro-objekta dobiva potpuno drugačije značenje nego u klasičnoj mehanici. U kvantnoj mehanici, stanje mikro-objekta je u potpunosti određeno talasnom funkcijom čiji je kvadrat modula
2 specificira gustinu vjerovatnoće pronalaženja čestice u tački sa koordinatama x, y, z.
Zauzvrat, valna funkcija zadovoljava jednačinu
Schrödinger koji sadrži prvi vremenski izvod funkcije Φ. Ovo takođe znači da dodeljivanje funkcije (za trenutak vremena određuje njenu vrednost u narednim trenucima. Prema tome, u kvantnoj mehanici, početno stanje je uzrok, a stanje F u narednom trenutku je posledica. Ovo je oblik principa kauzalnosti u kvantnoj mehanici, odnosno specificiranje funkcije unaprijed određuje njene vrijednosti za sve naredne trenutke. Dakle, stanje sistema mikročestica, definisano u kvantnoj mehanici, nedvosmisleno slijedi iz prethodnog stanja, kako to zahtijeva princip uzročnosti...
§219. Slobodno kretanje čestica
Slobodna čestica - čestica koja se kreće u odsustvu spoljašnjih polja. Pošto je slobodan (neka se kreće duž ose X) sile ne djeluju, tada potencijalna energija čestice U (x) = const i može se uzeti jednakim nuli. Tada se ukupna energija čestice poklapa sa njenom kinetičkom energijom. U ovom slučaju, Schrödingerova jednačina (217.5) za stacionarna stanja ima oblik
(219.1)
Direktnom zamjenom može se osigurati da je određeno rješenje jednačine (219.1) funkcija - gdje A = const and To= const, sa svojstvenom vrijednošću energije
Funkcija = = predstavlja samo koordinatni dio valne funkcije. Dakle, vremenski zavisna valna funkcija, prema (217.4),
(219.3) je ravan monohromatski de Broglieov talas [vidi. (217.2)].
Od Iz izraza (219.2) proizlazi da je zavisnost energije od impulsa
ispostavilo se da je uobičajeno za nerelativističke čestice. Posljedično, energija slobodne čestice može uzeti bilo koje vrijednosti(od talasnog broja To može poprimiti bilo koje pozitivne vrijednosti), odnosno energiju domet slobodna čestica je kontinuirano.
Dakle, slobodna kvantna čestica je opisana ravnim monohromatskim de Broglieovim talasom. Ovo odgovara vremenski nezavisnoj gustoći vjerovatnoće detekcije čestice u datoj tački u prostoru
to jest, svi položaji slobodne čestice u prostoru su jednako vjerovatni.
§ 220. Čestica u jednodimenzionalnoj pravougaonoj "potencijalnoj bušotini" sa beskonačno visokim
"zidovi"
Izvršimo kvalitativnu analizu rješenja Schrödingerove jednadžbe primjenom
Rice. 299
(220.4)
specifično za česticu v jednodimenzionalni pravougaoni „potencijalni bunar“ sa beskonačno visokim „zidovima“. Takav "bunar" opisuje se potencijalnom energijom oblika (radi jednostavnosti, pretpostavljamo da se čestica kreće duž ose X)
gdje je širina "jame", a energija se meri sa njegovog dna (Sl. 299).
Schrödingerova jednačina (217.5) za stacionarna stanja u slučaju jednodimenzionalnog problema može se napisati u obliku
U skladu sa uslovom problema (beskonačno visoki „zidovi“), čestica ne prodire dalje od „bunara“, pa je verovatnoća njene detekcije (a samim tim i talasne funkcije) izvan „bunarića“ jednaka nuli. . Na granicama "jame" (at X- 0 i x = kontinuirana valna funkcija također mora nestati. Prema tome, granični uslovi u ovom slučaju imaju oblik
Unutar "jame" (0 X Schrödingerova jednačina (220.1) se svodi na jednačinu
 |
|||
Opće rješenje diferencijalne jednadžbe (220.3):
Pošto je po (220.2) = 0, onda V= 0.
(220.5)
Stanje (220.2) = 0 se izvršava samo za gdje P- cijeli brojevi, odnosno potrebno je da
Iz izraza (220.4) i (220.6) slijedi da
to jest, stacionarna Schrödingerova jednadžba koja opisuje kretanje čestice u "potencijalnoj bušotini" sa beskonačno visokim "zidovima" je zadovoljena samo za svojstvene vrijednosti koje zavise od cijelog broja P. Dakle, energija čestice u
"Potencijalni bunar" sa beskonačno visokim "zidovima" prihvata samo određene diskretne vrijednosti, one. je kvantizovan.
Kvantovane energetske vrijednosti se nazivaju nivoi energije, i broj P, određivanje nivoa energije čestice naziva se glavni kvantni broj. Dakle, mikročestica u "potencijalnoj bušotini" sa beskonačno visokim "zidovima" može biti samo na određenom energetskom nivou, ili, kako kažu, čestica je u kvantnom
Zamjena u (220,5) vrijednosti To iz (220.6), nalazimo vlastite funkcije:
 |
Integraciona konstanta A nalazimo iz uslova normalizacije (216.3), koji se za ovaj slučaj može zapisati u obliku
V rezultat integracije polu-
A - a vlastite funkcije će izgledati tako
I omjeri vlastitih funkcija (220,8) koji odgovaraju nivoima
energije (220,7) at n = 1,2, 3 su prikazane na sl. 300, a. Na sl. 300, b prikazuje gustinu vjerovatnoće detekcije čestice na različitim udaljenostima od "zidova" bunara, jednaku =
Za n = 1, 2 i 3. Iz slike slijedi da je npr. u kvantnom stanju sa P= 2 čestica ne može biti u sredini „jame“, dok podjednako često može biti u njenom levom i desnom delu. Ovakvo ponašanje čestice ukazuje da je koncept putanja čestica u kvantnoj mehanici nekonzistentan. Iz izraza (220.7) slijedi da je energetski interval između dva
Susedni nivoi su
 |
Na primjer, za elektron s veličinom bunara - 10"1 m (besplatna struja
Prijestolja u metalu) 10 J
To jest, nivoi energije su locirani tako blizu da se spektar može praktično smatrati neprekidnim. Ako su dimenzije bunara srazmerne atomskom m), tada je J eV za elektron, tj. dobiju se eksplicitno diskretne energetske vrijednosti (linijski spektar).
Dakle, primjena Schrödingerove jednadžbe na česticu u "potencijalnoj bušotini" sa beskonačno visokim
“Zidovi” dovode do kvantiziranih energetskih vrijednosti, dok klasična mehanika ne nameće ograničenja za energiju ove čestice.
Štaviše,
Razmatranje ovog problema dovodi do zaključka da čestica “u potencijalnoj bušotini” sa beskonačno visokim “zidovima” ne može imati energiju manju od
Minimum, jednak [vidi. (220,7)].
Prisustvo minimalne energije različite od nule nije slučajno i proizilazi iz relacije nesigurnosti. Neizvjesnost koordinata Ohčestice u "jami" širine Ah = Tada, prema odnosu nesigurnosti, impuls ne može imati tačnu, u ovom slučaju nultu vrijednost. Nesigurnost momenta
Takav raspon vrijednosti
impuls odgovara kinetičkoj energiji
Svi ostali nivoi (br > 1) imaju energiju koja prelazi ovu minimalnu vrijednost.
Od formule (220.9) i (220.7) slijedi da za velike kvantne brojeve
to jest, susjedni nivoi se nalaze usko: što bliže, to više P. Ako P je veoma velika, onda možemo govoriti o gotovo kontinuiranom nizu nivoa i karakteristična karakteristika kvantnih procesa - diskretnost - je izglađena. Ovaj rezultat je poseban slučaj Borov princip korespondencije (1923), prema kojem bi se zakoni kvantne mehanike trebali transformirati u zakone klasične fizike pri velikim vrijednostima kvantnih brojeva.
Više opšte tumačenje principa usklađenosti: svaka nova, općenitija teorija, koja je razvoj klasične, ne odbacuje je u potpunosti, već uključuje klasičnu teoriju, ukazujući na granice njene primjene, au određenim graničnim slučajevima nova teorija prelazi u staru. Dakle, formule za kinematiku i dinamiku specijalne teorije relativnosti prelaze na v sa u formulama Njutnove mehanike. Na primjer, iako da Broglieova hipoteza pripisuje valna svojstva svim tijelima, u onim slučajevima kada govorimo o makroskopskim tijelima, njihova valna svojstva mogu se zanemariti; primijeniti klasičnu Newtonovu mehaniku.
§ 221. Prolazak čestice kroz potencijalnu barijeru.
Efekat tunela
najjednostavnija potencijalna barijera pravougaonog oblika (sl. za jednodimenzionalnu (duž ose kretanja čestica. Za potencijalnu barijeru pravougaonog oblika sa visinom širine / možemo napisati
Pod datim uslovima problema, klasična čestica sa energijom E, ili slobodno pređite preko barijere (na E> U), ili će se odraziti od njega (na E< U) kretaće se u suprotnom smjeru, tj. ona ne može probiti barijeru. Za mikro česticu, čak i sa E> U, postoji vjerovatnoća različita od nule da će se čestica odbiti od barijere i krenuti u suprotnom smjeru. At E takođe postoji verovatnoća različita od nule da će čestica biti u regionu x> one. će probiti barijeru. Ovakvi naizgled paradoksalni zaključci proizilaze direktno iz rješenja Schrödingerove jednadžbe, opisane
412
teče niz kretanje mikročestice u uslovima datog problema.
Jednačina (217.5) za stacionarna stanja za svako od istaknutih na Sl. 301, a region ima
(za oblasti
(za područje
Opća rješenja ovih diferencijalnih jednačina:
Rešenje (221.3) takođe sadrži talase (nakon množenja sa faktorom vremena) koji se šire u oba smera. Međutim, na tom području 3 postoji samo talas koji je prošao kroz barijeru i širi se s leva na desno. Dakle, koeficijent u formuli (221.3) treba uzeti jednak nuli.
Na području 2
odluka zavisi od odnosa E> U ili E
(za područje
(za oblast 2);
Značenje q i 0, dobijamo rješenja Schrödingerove jednadžbe za tri regije u sljedećem obliku:
(za područje 3).
V posebno za region 1 ukupna valna funkcija, prema (217.4), imat će oblik
 |
U ovom izrazu, prvi član je ravan val tipa (219.3) koji se širi u pozitivnom smjeru ose X(odgovara čestici koja se kreće prema barijeri), a druga - talasu koji se širi u suprotnom smeru, tj. reflektuje se od barijere (odgovara čestici koja se kreće od barijere ulevo).
(za područje 3).
Na području 2
funkcija više ne odgovara ravnim valovima koji se šire u oba smjera, budući da eksponenti nisu imaginarni, već stvarni. Može se pokazati da za poseban slučaj visoke i široke barijere, kada je 1,
Kvalitativna priroda funkcija je ilustrovana na Sl. 301, odakle slijedi da je talas
Funkcija nije jednaka nuli čak ni unutar barijere, već u regiji 3, ako barijera nije jako široka, opet će imati oblik de Broglieovih talasa sa istim impulsom, tj. istom frekvencijom, ali manjom amplitudom. Posljedično, otkrili smo da čestica ima nenultu vjerovatnoću prolaska kroz potencijalnu barijeru konačne širine.
Dakle, kvantna mehanika dovodi do fundamentalno novog specifičnog kvantnog fenomena, koji je dobio ime efekat tunela, usled čega mikro-objekat može „proći” kroz potencijalnu barijeru. kroz Zajedničko rješenje jednadžbi za pravokutnu potencijalnu barijeru daje (pod pretpostavkom da je koeficijent transparentnosti mali u poređenju sa jedinicom)
gdje je konstantni faktor koji se može izjednačiti sa jedinicom; U - visina potencijalne barijere; E - energija čestica; je širina barijere.
Iz izraza (221.7) slijedi da D veoma zavisi od mase Tčestice, širina / barijera i od (U -što je barijera šira, manja je vjerovatnoća da će čestica proći kroz nju.
Za potencijalnu barijeru proizvoljnog oblika (sl. 302), koja zadovoljava uslove tzv. poluklasična aproksimacija(dovoljno gladak oblik krive), imamo
 |
gdje U = U (x).
Sa klasične tačke gledišta, prolazak čestice kroz potencijalnu barijeru na E nemoguće, budući da bi čestica, koja se nalazi u području barijere, morala imati negativnu kinetičku energiju. Efekt tunela je specifičan kvantni efekat.
Prolazak čestice kroz područje u koje, prema zakonima klasične mehanike, ne može prodrijeti, može se objasniti relacijom neizvjesnosti. Nesigurnost momenta Ar na segmentu Ah = je Ap> -. Povezano s ovim širenjem vrijednosti kinetike momenta
302
Češka energija može biti
dovoljno za kompletno
ispostavilo se da je energija čestica veća od potencijalne.
Temelji teorije tunelskih spojeva postavljeni su u radovima L. I. Mandel'shtama
Tuneliranje kroz potencijalnu barijeru leži u osnovi mnogih fenomena fizike čvrstog stanja (na primjer, fenomena u kontaktnom sloju na granici dva poluvodiča), atomske i nuklearne fizike (na primjer, raspad, termonuklearne reakcije).
§ 222. Linearni harmonijski oscilator
U kvantnoj mehanici
Linearni harmonijski oscilator- sistem u jednodimenzionalnom kretanju pod dejstvom kvazielastične sile je model koji se koristi u mnogim problemima klasične i kvantne teorije (videti § 142). Opružna, fizička i matematička klatna su primjeri klasičnih harmonijskih oscilatora.
Potencijalna energija harmonijskog oscilatora [usp. (141.5)] je jednako
Gdje je prirodna frekvencija oscilatora; T - masa čestica.
Zavisnost (222.1) ima oblik parabole (Sl. 303), tj. “Potencijalna rupa” u ovom slučaju je parabolična.
Amplituda malih oscilacija klasičnog oscilatora određena je njegovom ukupnom energijom E(vidi sliku 17).
dingera, uzimajući u obzir izraz (222.1) za potencijalnu energiju. Tada su stacionarna stanja kvantnog oscilatora određena Schrödingerovom jednačinom oblika
= 0, (222.2)
gdje E - ukupna energija oscilatora. U teoriji diferencijalnih jednadžbi
Dokazano je da se jednadžba (222.2) može riješiti samo za vlastite vrijednosti energije
(222.3)
Formula (222.3) pokazuje da energija kvantnog oscilatora može
imati samo diskretne vrijednosti, tj. je kvantizovan. Energija je ograničena odozdo na vrednost različitu od nule, kao za pravougaoni „bunar“ sa beskonačno visokim „zidovima“ (vidi § 220), minimalnom vrednošću energije = su-
minimalna energija - to se zove energija nultih vibracija - tipičan je za kvantne sisteme i direktna je posljedica relacije nesigurnosti.
Prisustvo vibracija nulte tačke znači da čestica ne može biti na dnu “potencijalne bušotine” (bez obzira na oblik bunara). Zaista, "padanje na dno bunara" povezano je sa nestajanjem impulsa čestice, a istovremeno i njenom nesigurnošću. Tada nesigurnost koordinate postaje proizvoljno velika, što je zauzvrat u suprotnosti s prisustvom čestice u
"Potencijalna jama".
Zaključak o prisutnosti energije vibracija nulte tačke kvantnog oscilatora je u suprotnosti sa zaključcima klasične teorije, prema kojoj je najmanja energija koju oscilator može imati jednaka nuli (odgovara čestici koja miruje u ravnotežnom položaju) . Na primjer, prema zaključcima klasične fizike na T= 0, energija vibracionog kretanja atoma kristala treba da nestane. Posljedično, rasipanje svjetlosti uslijed vibracija atoma također bi trebalo nestati. Međutim, eksperiment pokazuje da intenzitet raspršenja svjetlosti sa padom temperature nije nula, već teži određenoj graničnoj vrijednosti, što ukazuje da je pri T 0 vibracije atoma u kristalu ne prestaju. Ovo je potvrda prisustva nulte fluktuacije.
Takođe iz formule (222.3) proizilazi da se energetski nivoi linearnog harmonijskog oscilatora nalaze na jednakim rastojanjima jedan od drugog (vidi sliku 303), naime, rastojanje između susednih energetskih nivoa je jednako minimalnoj vrednosti energije =
Rigorozno rješenje problema kvantnog oscilatora dovodi do još jedne značajne razlike od klasičnog