Osnovne definicije

Definicija. Zbir članova je beskonačan numerički niz naziva se brojevnim nizom.

U ovom slučaju, brojeve ćemo zvati članovima niza, a un - zajedničkim pojmom serije.

Definicija. Zbirke, n = 1, 2, ... nazivaju se privatni (djelimični) sumi niza.

Dakle, moguće je razmotriti nizove parcijalnih suma serija S1, S2, …, Sn, …

Definicija. Niz se naziva konvergentnim ako se niz njegovih parcijalnih suma konvergira. Zbir konvergentnog niza je granica niza njegovih parcijalnih suma.

Definicija. Ako se niz parcijalnih suma niza razilazi, tj. nema ograničenja ili ima beskonačnu granicu, tada se niz naziva divergentnim i ne pripisuje mu se zbir.

Svojstva reda

1) Konvergencija ili divergencija niza neće biti narušena ako promijenite, odbacite ili dodate konačan broj članova niza.

2) Razmotrimo dva niza i, gdje je C konstantan broj.

Teorema. Ako se niz konvergira i njegov zbir je jednak S, tada i niz konvergira i njegov zbir je jednak CS. (C 0)

3) Razmotrimo dva reda i. Zbir ili razlika ovih nizova će se zvati nizom u kojem se elementi dobijaju kao rezultat sabiranja (oduzimanja) originalnih elemenata sa istim brojevima.

Teorema. Ako su red i konvergiraju i njihovi sumi jednaki S i, respektivno, tada i niz konvergira i njegov zbir je jednak S +.

Razlika dva konvergentna reda će također biti konvergentni niz.

Zbir konvergentnog i divergentnog niza je divergentan niz.

Nemoguće je dati opštu tvrdnju o zbiru dva divergentna niza.

Prilikom proučavanja nizova uglavnom rješavaju dva problema: proučavanje konvergencije i pronalaženje zbira niza.

Cauchy kriterij.

(neophodni i dovoljni uslovi za konvergenciju niza)

Da bi niz bio konvergentan, potrebno je i dovoljno da za bilo koji postoji broj N takav da za n > N i bilo koji p > 0, gdje je p cijeli broj, vrijedi nejednakost:

Dokaz. (potreba)

Neka onda za bilo koji broj postoji broj N takav da je nejednakost

je ispunjeno kada je n>N. Za n>N i bilo koji cijeli broj p>0 nejednakost također vrijedi. Uzimajući u obzir obje nejednakosti, dobijamo:

Potreba je dokazana. Nećemo razmatrati dokaz dovoljnosti.

Formulirajmo Cauchyjev kriterij za seriju.

Da bi niz bio konvergentan, potrebno je i dovoljno da za bilo koji postoji broj N takav da za n>N i bilo koje p>0 vrijedi nejednakost

Međutim, u praksi direktno korištenje Cauchyjevog kriterija nije baš zgodno. Stoga se u pravilu koriste jednostavniji testovi konvergencije:

1) Ako se red konvergira, tada je neophodno da zajednički član ne teži nuli. Međutim, ovaj uslov nije dovoljan. Možemo samo reći da ako zajednički pojam ne teži nuli, onda se serija definitivno razilazi. Na primjer, takozvani harmonijski niz je divergentan, iako njegov zajednički pojam teži nuli.

Niz brojeva je niz koji se razmatra zajedno sa drugim nizom (naziva se i niz parcijalnih suma). Slični koncepti se koriste u matematičkoj i kompleksnoj analizi.

Zbir niza brojeva može se lako izračunati u Excelu pomoću funkcije SERIES.SUM. Pogledajmo primjer kako to funkcionira ovu funkciju, a zatim ćemo izgraditi graf funkcija. Naučimo kako koristiti niz brojeva u praksi prilikom izračunavanja rasta kapitala. Ali prvo, malo teorije.

Zbir brojeva

Brojevne serije se mogu posmatrati kao sistem aproksimacija brojeva. Da biste ga označili, koristite formulu:

Evo početnog niza brojeva u nizu i pravila zbrajanja:

• ∑ - matematički znak iznosi;
• a i - opšti argument;
• i je varijabla, pravilo za promjenu svakog sljedećeg argumenta;
• ∞ je predznak beskonačnosti, “granica” do koje se vrši sumiranje.

Unos znači: sažeto prirodni brojevi od 1 do "plus beskonačnost". Pošto je i = 1, izračunavanje sume počinje od jedan. Ako bi ovdje postojao drugi broj (na primjer, 2, 3), onda bismo počeli sa zbrajanjem od njega (od 2, 3).

U skladu sa varijablom i, niz se može napisati prošireno:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (do “plus beskonačnost”).

Definicija zbira niza brojeva data je kroz “djelimične sume”. U matematici se označavaju kao Sn. Zapišimo naš niz brojeva u obliku parcijalnih suma:

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4

Zbir niza brojeva je granica parcijalnih suma S n . Ako je granica konačna, govorimo o „konvergentnom“ nizu. Beskonačno - o "divergentnom".

Prvo, pronađimo zbir niza brojeva:

Sada napravimo tablicu vrijednosti članova serije u Excelu:

Opći prvi argument uzimamo iz formule: i=3.

Pronalazimo sve sljedeće vrijednosti i koristeći formulu: =B4+$B$1. Postavite kursor u donji desni ugao ćelije B5 i pomnožite formulu.

Nađimo vrijednosti. Učinite ćeliju C4 aktivnom i unesite formulu: =SUM(2*B4+1). Kopirajte ćeliju C4 u navedeni raspon.

Vrijednost zbira argumenata dobiva se pomoću funkcije: =SUM(C4:C11). Kombinacija prečaca ALT+“+” (plus na tastaturi).



Funkcija ROW.SUM u Excelu

Da biste pronašli zbir niza brojeva u Excelu, koristite matematičku funkciju SERIES.SUM. Program koristi sljedeću formulu:

Argumenti funkcije:

• x – vrijednost varijable;
• n – stepen za prvi argument;
• m je korak za koji se stepen povećava za svaki sljedeći član;
• a su koeficijenti za odgovarajuće potencije x.

Važni uslovi za rad funkcije:

• svi argumenti su obavezni (odnosno, svi moraju biti popunjeni);
• svi argumenti su NUMERIČKE vrijednosti;
• vektor koeficijenata ima fiksnu dužinu (granica „beskonačnosti“ neće raditi);
• broj “koeficijenata” = broj argumenata.

Izračunavanje zbira niza u Excelu

Ista funkcija SERIES.SUM radi sa nizom potenciranja (jedna od varijanti funkcionalnog niza). Za razliku od numeričkih, njihovi argumenti su funkcije.

Funkcionalne serije se često koriste u finansijskoj i ekonomskoj sferi. Moglo bi se reći da je ovo područje njihove primjene.

Na primjer, deponovali su određeni iznos novca (a) u banci na određeni period (n). Imamo godišnju isplatu od x posto. Za izračunavanje akumuliranog iznosa na kraju prvog perioda koristi se formula:

S 1 = a (1 + x).

Na kraju drugog i narednih perioda, oblik izraza je sljedeći:

S 2 = a (1 + x) 2 ;

S 3 = a (1 + x) 2, itd.

Da biste pronašli ukupan broj:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Djelomične sume u Excelu mogu se pronaći pomoću funkcije BS().

Početni parametri za zadatak obuke: Koristeći standard matematička funkcija

, hajde da pronađemo akumulirani iznos na kraju mandata. Da bismo to učinili, u ćeliji D2 koristimo formulu: =B2*DEGREE(1+B3;4) Sada ćemo u ćeliji D3 riješiti isti problem pomoću ugrađenog Excel funkcije

: =BS(B3;B1;;-B2)

Rezultati su isti, kao što i treba da bude.

1. Kako popuniti argumente BS() funkcije:
2. “Stopa” je kamatna stopa po kojoj se depozit vrši. Pošto je format postotka postavljen u ćeliji B3, jednostavno smo naveli vezu do ove ćelije u polju za argumente. Ako je naveden broj, onda bi on bio zapisan kao stoti dio (20/100).
3. “Nper” je broj perioda za otplatu kamata. U našem primjeru – 4 godine.
4. “Ps” - “sadašnja vrijednost”, iznos depozita. Budući da se na neko vrijeme rastajemo od ovog novca, parametar označavamo znakom "-".

Dakle, BS funkcija nam je pomogla da pronađemo zbir funkcionalnog niza.

Excel ima i druge ugrađene funkcije za pronalaženje različitih parametara. Obično su to funkcije za rad sa investicionim projektima, vrijednosne papire i plaćanja amortizacije.

Iscrtavanje funkcija zbira niza brojeva

Napravimo graf funkcije koji odražava rast kapitala. Da bismo to učinili, moramo izgraditi graf funkcije koji je zbir konstruisanog niza. Kao primjer, uzmimo iste podatke o depozitu:

Prvi red prikazuje akumulirani iznos nakon jedne godine. U drugom - u dva. I tako dalje.

Kreirajmo još jednu kolonu u kojoj ćemo prikazati profit:

Kao što smo mislili - u traci formule.

Na osnovu dobijenih podataka konstruisaćemo graf funkcija.

Odaberimo 2 raspona: A5:A9 i C5:C9. Idite na karticu "Insert" - alat "Dijagrami". Odaberite prvi grafikon:

Učinimo problem još više “primijenjenim”. U primjeru smo koristili složenu kamatu. Obračunavaju se na iznos obračunat u prethodnom periodu.

Uzmimo jednostavne kamate za poređenje. Jednostavna formula kamate u Excelu: =$B$2*(1+A6*B6)

Dodajmo dobijene vrijednosti na grafikon „Rast kapitala“.

Očigledno je kakve će zaključke izvući investitor.

Matematička formula za parcijalni zbir funkcionalnog niza (sa jednostavnom kamatom): S n = a (1 + x*n), gdje je a početni iznos depozita, x kamata, n period.

Da bi izračunaj zbir niza, samo trebate dodati elemente reda određeni broj puta. na primjer:

U gornjem primjeru, to je učinjeno vrlo jednostavno, budući da se moralo sabrati konačan broj puta. Ali šta ako je gornja granica zbrajanja beskonačnost? Na primjer, ako trebamo pronaći zbir sljedećeg niza:

Po analogiji sa prethodnim primjerom, ovaj iznos možemo napisati ovako:

Ali šta dalje?! U ovoj fazi potrebno je uvesti koncept djelomični zbir serije. dakle, djelomični zbir serije(označeno S n) je zbir prvih n članova niza. One. u našem slučaju:

Tada zbir originalnog niza može biti izračunati kao limit djelomični iznos:

Dakle, za izračunavanje sume niza, potrebno je nekako pronaći izraz za parcijalni zbir niza (S n ). U našem konkretnom slučaju, serija se smanjuje geometrijska progresija sa imeniocem 1/3. Kao što znate, zbir prvih n elemenata geometrijske progresije izračunava se po formuli:

ovdje je b 1 prvi element geometrijske progresije (u našem slučaju je 1), a q je imenilac progresije (u našem slučaju 1/3). Dakle, parcijalni zbir S n za naš niz je jednak:

Tada je zbir našeg niza (S) prema gore datoj definiciji jednak:

Gore navedeni primjeri su prilično jednostavni. Obično je izračunavanje zbira niza mnogo teže i najveća poteškoća leži u pronalaženju parcijalnog zbira niza. Istaknuto ispod online kalkulator, zasnovan na Wolfram Alpha sistemu, omogućava vam da izračunate zbir prilično složenih serija. Štaviše, ako kalkulator nije mogao pronaći zbir niza, vjerovatno je da je niz divergentan (u tom slučaju kalkulator prikazuje poruku poput „suma divergira“), tj. Ovaj kalkulator također indirektno pomaže da se dobije predodžbu o konvergenciji redova.

Da biste pronašli zbir vašeg niza, morate navesti varijablu serije, donju i gornju granicu zbrajanja, kao i izraz za n-ti član niza (tj. stvarni izraz za sam niz) .

Brojne serije. Konvergencija i divergencija brojevnih nizova. D'Alembertov test konvergencije. Naizmjenične serije. Apsolutna i uslovna konvergencija redova. Funkcionalne serije. Power series. Raspadanje elementarne funkcije u seriji Maclaurin.

Smjernice na temu 1.4:

Serija brojeva:

Brojevni niz je zbir oblika

gdje su brojevi u 1, u 2, u 3, n n, koji se nazivaju članovima niza, formiraju beskonačan niz; pojam un se naziva zajedničkim pojmom serije.

. . . . . . . . .

sastavljene od prvih članova niza (27.1) nazivaju se parcijalni sumi ovog niza.

Svaki red može biti povezan sa nizom parcijalnih suma S 1, S 2, S 3. Ako je, uz beskonačno povećanje broja n, djelomični zbir niza S n teži krajnjim granicama S, tada se niz naziva konvergentan, a broj S- zbir konvergentnog niza, tj.

Ovaj unos je ekvivalentan

Ako je djelomični iznos S n serija (27.1) sa neograničenim povećanjem n nema konačnu granicu (posebno, teži + ¥ ili - ¥), tada se takav niz naziva divergentan

Ako se niz konvergira, tada vrijednost S n za dovoljno veliko n je približan izraz za sumu niza S.

Razlika r n = S - S n naziva se ostatak serije. Ako se niz konvergira, tada njegov ostatak teži nuli, tj. r n = 0, i obrnuto, ako ostatak teži nuli, tada red konvergira.

Serija oblika se zove geometrijske serije.

pozvao harmonic.

Ako N®¥, onda S n®¥, tj. harmonijski niz se razilazi.

Primjer 1. Napišite niz na osnovu datog zajedničkog pojma:

1) stavljajući n = 1, n = 2, n = 3, imamo beskonačan niz brojeva: , , , Sabirajući njegove članove, dobijamo niz

2) Na isti način dobijamo seriju

3) Davanje n vrijednosti 1, 2, 3, i uzimajući u obzir da je 1! = 1, 2! = 1 × 2,3! = 1 × 2 × 3, dobijamo seriju

Primjer 2. Pronađite n-ti član niza prema njegovim datim prvim brojevima:

1) ; 2) ; 3) .

Primjer 3. Pronađite zbir članova niza:

2) .

1) Pronađite parcijalne sume članova niza:

; ;

… .

Zapišimo redoslijed parcijalnih suma: …, , … .

Uobičajeni termin ovog niza je . dakle,

.

Niz parcijalnih suma ima granicu jednaku . Dakle, serija konvergira i njen zbir je jednak .

2) Beskonačno se smanjuje geometrijska progresija, u kojem je a 1 = , q= . Koristeći formulu, dobijamo: To znači da red konvergira i da je njegov zbir jednak 1.

Konvergencija i divergencija brojevnih nizova. Znak konvergencije d'Alembert :

Neophodan znak konvergencije niza. Niz može konvergirati samo ako je njegov zajednički pojam u n sa neograničenim povećanjem broja n teži nuli:

Ako , tada se niz divergira - to je dovoljan znak rastvorljivosti serije.

Dovoljni znaci konvergencije niza sa pozitivnim članovima.

Znak za poređenje serija sa pozitivnim pojmovima. Niz koji se proučava konvergira ako njegovi članovi ne prelaze odgovarajuće članove drugog, očigledno konvergentnog niza; niz koji se proučava se divergira ako njegovi članovi premašuju odgovarajuće članove drugog očigledno divergentnog niza.

Prilikom proučavanja nizova za konvergenciju i rastvorljivost na osnovu ovog kriterijuma, često se koristi geometrijski niz

koji konvergira na |q|

,

biti divergentan.

Prilikom proučavanja nizova koristi se i generalizirani harmonijski niz

.

Ako str= 1, onda se ovaj niz pretvara u harmonijski niz, koji je divergentan.

Ako str< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При str> 1 imamo geometrijski niz u kojem | q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при str> 1 i divergira na str£1.

D'Alambertov znak. Ako za seriju sa pozitivnim terminima

(u n >0)

uslov je zadovoljen, tada red konvergira na l l > 1.

D'Alembertov znak ne daje odgovor ako l= 1. U ovom slučaju, druge tehnike se koriste za proučavanje serije.

Naizmjenične serije.

Apsolutna i uslovna konvergencija redova:

Brojne serije

u 1 + u 2 + u 3 + u n

naziva se naizmjeničnim ako među njegovim članovima ima i pozitivnih i negativnih brojeva.

Brojevni niz se naziva naizmjeničnim ako bilo koja dva susjedna člana imaju suprotne predznake. Ova serija je poseban slučaj naizmjenične serije.

Test konvergencije za naizmjenične serije znakova. Ako se članovi naizmjeničnog niza monotono smanjuju u apsolutna vrijednost i zajednički član u n teži nuli kao n® , tada red konvergira.

Za niz se kaže da je apsolutno konvergentan ako i niz konvergira. Ako niz konvergira apsolutno, onda je konvergentan (u uobičajenom smislu). Obrnuta izjava nije tačna. Niz se naziva uslovno konvergentnim ako on sam konvergira, a niz sastavljen od modula njegovih članova divergira. Primjer 4. Ispitati konvergenciju niza .

Primijenimo Leibnizov dovoljan test za naizmjenične serije. Dobili smo jer . Stoga se ova serija konvergira. Primjer 5. Ispitati konvergenciju niza .

Pokušajmo primijeniti Leibnizov kriterij: Može se vidjeti da modul zajedničkog člana ne teži nuli kada n → ∞. Stoga se ova serija razlikuje. Primjer 6. Odredite da li je niz apsolutno konvergentan, uslovno konvergentan ili divergentan.

Primjenjujući d'Alembertov test na niz sastavljen od modula odgovarajućih pojmova, nalazimo Stoga se ova serija apsolutno konvergira.

Primjer 7. Ispitati konvergenciju nizova koji se mijenjaju predznakom (apsolutne ili uslovne):

1) Članovi ove serije monotono smanjuju apsolutnu vrijednost I . Prema tome, prema Leibnizovom kriteriju, niz konvergira. Hajde da saznamo da li se ovaj niz konvergira apsolutno ili uslovno.

2) Članovi ove serije monotono smanjuju apsolutnu vrijednost: , Ali

.

Funkcionalni redovi:

Redovni niz brojeva sastoji se od brojeva:

Svi članovi serije - Ovo brojevi.

Funkcionalna serija se sastoji od funkcije:

U opštem terminu niza pored polinoma, faktorijala itd. svakako slovo "x" je uključeno. Na primjer, to izgleda ovako: . Poput niza brojeva, bilo koji funkcionalni niz može se napisati u proširenom obliku:

Kao što vidite, svi članovi funkcionalne serije jesu funkcije.

Najpopularnija vrsta funkcionalnih serija je power series.

Serija snage:

Power series nazvan nizom forme

,

gdje su brojevi a 0, a 1, a 2, a n nazivaju se koeficijenti serije, a pojam a n x n- običan član serije.

Područje konvergencije power series naziva se skup svih vrijednosti x, za koje se ovaj niz konvergira.

Broj R naziva se radijus konvergencije reda ako je na | x| serija konvergira.

Primjer 8. Zadana serija

Istražite njegovu konvergenciju u tačkama x= 1 i X= 3, x= -2.

Kada je x = 1, ovaj niz se pretvara u niz brojeva

.

Hajde da istražimo konvergenciju ovog niza koristeći D'Alembertov kriterijum. Imamo

one. serija konvergira.

Za x = 3 dobijamo seriju

Što divergira jer nužni kriterij za konvergenciju niza nije zadovoljen

Za x = -2 dobijamo

Riječ je o naizmjeničnom nizu, koji, prema Leibnizovom kriteriju, konvergira.

Dakle, u tačkama x= 1 i X= -2. niz konvergira, i to u tački x= 3 divergira.

Proširenje elementarnih funkcija u Maclaurinovom nizu:

Blizu Taylora za funkciju f(x) naziva se nizom stepena oblika