Znajdź ogólne rozwiązanie układu jednorodnego. Czym jest jednorodny układ równań liniowych

Dane macierzy

Znajdź: 1) aA - bB,

Rozwiązanie: 1) Znajdujemy sekwencyjnie, stosując zasady mnożenia macierzy przez liczbę i dodawania macierzy..

2. Znajdź A*B, jeśli

Rozwiązanie: Użyj zasady mnożenia macierzy

Odpowiedź:

3. Dla danej macierzy znajdź mniejszą M 31 i oblicz wyznacznik.

Rozwiązanie: Minor M 31 jest wyznacznikiem macierzy otrzymywanej z A

po usunięciu wiersza 3 i kolumny 1. Znajdź

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Przekształćmy macierz A bez zmiany jej wyznacznika (ustawmy zera w wierszu 1)





-3, -, -4

-10			-15
-20			-25
-4			-5

Teraz obliczamy wyznacznik macierzy A przez rozwinięcie wzdłuż wiersza 1

Odpowiedź: M 31 = 0, detA = 0

Rozwiąż za pomocą metody Gaussa i metody Cramera.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Rozwiązanie: Sprawdźmy

Możesz użyć metody Cramera

Rozwiązanie systemowe: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Stosujemy metodę Gaussa.

Rozszerzoną macierz systemu redukujemy do postaci trójkąta.

Dla wygody obliczeń zamieniamy wiersze:

Pomnóż drugi rząd przez (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) i dodaj do trzeciego:



	1 / 2		7 / 2

Pomnóż pierwszy wiersz przez (k = -2 / 2 = -1 ) i dodaj do drugiego:

Teraz oryginalny system można zapisać jako:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Z drugiej linii wyrażamy

Od pierwszej linii wyrażamy

Rozwiązanie jest takie samo.

Odpowiedź: (2; -5; 3)

Znaleźć wspólna decyzja systemy i FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Rozwiązanie: Zastosuj metodę Gaussa. Rozszerzoną macierz systemu redukujemy do postaci trójkąta.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3


x 1	x2	x 3	x4	x5

Pomnóż pierwszy rząd przez (-11). Pomnóż drugi rząd przez (13). Dodajmy drugą linię do pierwszej:


-2	-2	-3

Pomnóż drugi rząd przez (-5). Pomnóż trzeci rząd przez (11). Dodajmy trzecią linię do drugiej:

Pomnóż trzeci rząd przez (-7). Pomnóż czwarty rząd przez (5). Dodajmy czwartą linię do trzeciej:

Drugie równanie to liniowa kombinacja pozostałych

Znajdź rangę macierzy.

	-18	-24	-18	-27

x 1	x2	x 3	x4	x5

Podświetlona mała ma najwyższy rząd (z możliwych mniejszych) i jest niezerowa (jest równa iloczynowi elementów na odwrotnej przekątnej), stąd rang(A) = 2.

Ten drugorzędny jest podstawowy. Zawiera współczynniki dla nieznanego x 1, x 2, co oznacza, że nieznane x 1, x 2 są zależne (podstawowe), a x 3, x 4, x 5 są wolne.

Układ ze współczynnikami tej macierzy jest równoważny z układem oryginalnym i ma postać:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

Metodą eliminacji niewiadomych znajdujemy wspólna decyzja:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Znaleźliśmy system podstawowy rozwiązania (FSR), który składa się z (n-r) rozwiązań. W naszym przypadku n=5, r=2, zatem podstawowy układ rozwiązań składa się z 3 rozwiązań, a rozwiązania te muszą być liniowo niezależne.

Aby wiersze były liniowo niezależne, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy złożonej z elementów wierszy był równy liczbie wierszy, czyli 3.

Wystarczy podać wartości wolnych niewiadomych x 3 ,x 4 ,x 5 z rzędów wyznacznika III rzędu różne od zera i obliczyć x 1 ,x 2 .

Najprostszym niezerowym wyznacznikiem jest macierz tożsamości.

Ale tutaj wygodniej jest wziąć

Znajdujemy za pomocą ogólnego rozwiązania:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4

I decyzja FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ.

II decyzja FSR: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ.

III decyzja FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Biorąc pod uwagę: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Znajdź: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Rozwiązanie: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Odpowiedź: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i

Układy jednorodne liniowych równań algebraicznych

W ramach lekcji Metoda Gaussa I Niekompatybilne systemy/systemy ze wspólnym rozwiązaniem rozważaliśmy systemy heterogeniczne równania liniowe , gdzie Wolny Członek(co zwykle znajduje się po prawej stronie) przynajmniej jeden równań była różna od zera.
A teraz po dobrej rozgrzewce z ranga macierzy, będziemy dalej szlifować technikę przekształcenia elementarne na jednorodny układ równań liniowych.
Zgodnie z pierwszymi akapitami materiał może wydawać się nudny i zwyczajny, ale to wrażenie jest zwodnicze. Oprócz dalszego rozwijania technik, pojawi się wiele nowych informacji, więc postaraj się nie zaniedbywać przykładów w tym artykule.

Czym jest jednorodny układ równań liniowych?

Odpowiedź nasuwa się sama. Układ równań liniowych jest jednorodny, jeśli wyraz wolny każdy równanie systemowe wynosi zero. Na przykład:

Jest całkiem jasne, że jednorodny system jest zawsze spójny czyli zawsze ma rozwiązanie. A przede wszystkim tzw trywialny rozwiązanie . Banalne, dla tych, którzy w ogóle nie rozumieją znaczenia przymiotnika, oznacza bespontovoe. Oczywiście nie akademicko, ale zrozumiale =) ... Po co owijać w bawełnę, dowiedzmy się, czy ten system ma jakieś inne rozwiązania:

Przykład 1

Rozwiązanie: aby rozwiązać system jednorodny należy napisać macierz systemowa i za pomocą elementarnych przekształceń doprowadź go do postaci schodkowej. Zwróć uwagę, że nie ma potrzeby zapisywania tutaj pionowej kreski i kolumny zerowej wolnych członków - ponieważ cokolwiek zrobisz z zerami, pozostaną one zerami:

(1) Pierwszy wiersz został dodany do drugiego wiersza pomnożony przez -2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii pomnożona przez -3.

(2) Drugi wiersz został dodany do trzeciego wiersza, pomnożony przez -1.

Dzielenie trzeciego rzędu przez 3 nie ma większego sensu.

W wyniku elementarnych przekształceń otrzymuje się równoważny układ jednorodny , a stosując ruch wsteczny metody Gaussa, łatwo jest zweryfikować, czy rozwiązanie jest unikatowe.

Odpowiedź:

Sformułujmy oczywiste kryterium: jednorodny układ równań liniowych ma tylko banalne rozwiązanie, Jeśli ranking macierzy systemowej(w ta sprawa 3) jest równa liczbie zmiennych (w tym przypadku 3 szt.).

Rozgrzewamy i dostrajamy nasze radio do fali elementarnych przemian:

Przykład 2

Rozwiąż jednorodny układ równań liniowych

Z artykułu Jak znaleźć rangę macierzy? przypominamy racjonalną metodę przypadkowego zmniejszania liczb macierzy. W przeciwnym razie będziesz musiał zarżnąć duże i często gryzące ryby. Przykład zadania na koniec lekcji.

Zera są dobre i wygodne, ale w praktyce sprawa jest znacznie częstsza, gdy wiersze macierzy układu liniowo zależne. A potem pojawienie się ogólnego rozwiązania jest nieuniknione:

Przykład 3

Rozwiąż jednorodny układ równań liniowych

Rozwiązanie: piszemy macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci schodkowej. Pierwsza akcja ma na celu nie tylko uzyskanie pojedynczej wartości, ale także zmniejszenie liczb w pierwszej kolumnie:

(1) Trzeci rząd został dodany do pierwszego rzędu pomnożony przez -1. Trzecia linia została dodana do drugiej linii pomnożona przez -2. W lewym górnym rogu dostałem jednostkę z „minusem”, co często jest znacznie wygodniejsze do dalszych przekształceń.

(2) Pierwsze dwie linie są takie same, jedna z nich została usunięta. Szczerze mówiąc, nie dostosował rozwiązania - tak się stało. Jeśli wykonujesz przekształcenia w szablonie, to zależność liniowa linie pojawiłyby się nieco później.

(3) Do trzeciego wiersza dodaj drugi wiersz pomnożony przez 3.

(4) Zmieniono znak pierwszej linii.

W wyniku elementarnych przekształceń otrzymuje się układ równoważny:

Algorytm działa dokładnie tak samo jak for systemy heterogeniczne. Zmienne „siedzące na stopniach” są głównymi, zmienna, która nie dostała „schodów” jest darmowa.

Podstawowe zmienne wyrażamy w postaci zmiennej swobodnej:

Odpowiedź: wspólna decyzja:

Trywialne rozwiązanie zawarte jest w ogólna formuła i nie ma potrzeby pisania tego osobno.

Przeprowadzana jest również kontrola zwykły wzór: otrzymane rozwiązanie ogólne należy podstawić po lewej stronie każdego równania układu i dla wszystkich podstawień uzyskać legalne zero.

Można to spokojnie zakończyć, ale rozwiązanie jednorodnego układu równań często wymaga przedstawienia w formie wektorowej przez fundamentalny system decyzyjny. Proszę chwilowo o tym zapomnieć geometria analityczna, ponieważ teraz porozmawiamy o wektorach w ogólnym sensie algebraicznym, o którym nieco otworzyłem w artykule o ranga macierzy. Terminologia nie jest konieczna do cieniowania, wszystko jest dość proste.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (SLAE) jest niewątpliwie najważniejszym tematem kursu algebry liniowej. Ogromna liczba problemów ze wszystkich dziedzin matematyki sprowadza się do rozwiązywania układów równań liniowych. Te czynniki wyjaśniają powód powstania tego artykułu. Materiał artykułu jest dobrany i ustrukturyzowany tak, aby z jego pomocą można było

wybrać optymalną metodę rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych,
studiować teorię wybranej metody,
rozwiąż swój układ równań liniowych, po szczegółowym rozważeniu rozwiązań typowych przykładów i problemów.

Krótki opis materiału artykułu.

Najpierw podajemy wszystkie niezbędne definicje, pojęcia i wprowadzamy pewną notację.

Następnie rozważymy metody rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych i które mają jednoznaczne rozwiązanie. Najpierw skupmy się na metodzie Cramera, po drugie pokażemy macierzową metodę rozwiązywania takich układów równań, a po trzecie przeanalizujemy metodę Gaussa (metodę sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych). Aby skonsolidować teorię, na pewno rozwiążemy kilka SLAE na różne sposoby.

Następnie przechodzimy do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych ogólny widok, w którym liczba równań nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych lub główna macierz układu jest zdegenerowana. Formułujemy twierdzenie Kroneckera-Capelliego, które pozwala nam ustalić zgodność SLAE. Przeanalizujmy rozwiązanie systemów (w przypadku ich kompatybilności) z wykorzystaniem pojęcia bazy minorowej macierzy. Rozważymy również metodę Gaussa i szczegółowo opiszemy rozwiązania przykładów.

Pamiętaj, aby zastanowić się nad strukturą ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych. Podajmy pojęcie fundamentalnego układu rozwiązań i pokażmy, jak za pomocą wektorów fundamentalnego układu rozwiązań napisane jest ogólne rozwiązanie SLAE. Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na kilka przykładów.

Podsumowując, rozważamy układy równań, które sprowadza się do liniowych, a także różne problemy, w rozwiązaniu których powstają SLAE.

Nawigacja po stronach.

Definicje, pojęcia, oznaczenia.

Rozważymy układy p liniowych równań algebraicznych z n nieznanymi zmiennymi (p może być równe n ) postaci

Nieznane zmienne, - współczynniki (niektóre rzeczywiste lub Liczby zespolone), - wolne składowe (również liczby rzeczywiste lub zespolone).

Ta forma SLAE nazywa się koordynować.

W forma macierzowa ten układ równań ma postać ,
gdzie - macierz główna układu, - macierz-kolumna nieznanych zmiennych, - macierz-kolumna wolnych elementów.

Jeżeli do macierzy A jako (n+1)-tej kolumny dodamy macierz-kolumnę wyrazów wolnych, to otrzymamy tzw. rozszerzona macierz układy równań liniowych. Zwykle macierz rozszerzona jest oznaczona literą T, a kolumna wolnych elementów jest oddzielona pionową linią od pozostałych kolumn, czyli

Rozwiązując układ liniowych równań algebraicznych nazwany zbiorem wartości nieznanych zmiennych, który zamienia wszystkie równania układu w tożsamości. Równanie macierzowe dla podanych wartości nieznanych zmiennych również zamienia się w tożsamość.

Jeśli układ równań ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się to połączenie.

Jeśli układ równań nie ma rozwiązań, to nazywa się niekompatybilny.

Jeśli SLAE ma unikalne rozwiązanie, nazywa się to niektórzy; jeśli istnieje więcej niż jedno rozwiązanie, to - niepewny.

Jeśli wyrazy wolne wszystkich równań układu są równe zeru , wtedy system nazywa się jednorodny, Inaczej - heterogeniczny.

Rozwiązywanie układów elementarnych liniowych równań algebraicznych.

Jeżeli liczba równań systemowych jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik jej głównej macierzy nie jest równy zero, to takie SLAE będziemy nazywać podstawowy. Takie układy równań mają unikalne rozwiązanie, aw przypadku układu jednorodnego wszystkie nieznane zmienne są równe zeru.

Zaczęliśmy badać takie SLAE w Liceum. Rozwiązując je, wzięliśmy jedno równanie, wyraziliśmy jedną nieznaną zmienną w kategoriach innych i wstawiliśmy ją do pozostałych równań, następnie wzięliśmy następne równanie, wyraziliśmy kolejną nieznaną zmienną i zastąpiliśmy ją innymi równaniami i tak dalej. Albo użyli metody dodawania, to znaczy dodali dwa lub więcej równań, aby wyeliminować niektóre nieznane zmienne. Nie będziemy się rozwodzić nad tymi metodami szczegółowo, ponieważ są one zasadniczo modyfikacjami metody Gaussa.

Głównymi metodami rozwiązywania elementarnych układów równań liniowych są metoda Cramera, metoda macierzowa i metoda Gaussa. Rozwiążmy je.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera.

Rozwiążmy układ liniowych równań algebraicznych

w którym liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik głównej macierzy układu jest różny od zera, czyli .

Niech będzie wyznacznikiem głównej macierzy układu, a są wyznacznikami macierzy otrzymywanych z A przez zastąpienie 1., 2., …, nth kolumna odpowiednio do kolumny wolnych członków:

Przy takim zapisie nieznane zmienne są obliczane ze wzorów metody Cramera jako . W ten sposób metoda Cramera znajduje rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych.

Przykład.

Metoda Cramera .

Rozwiązanie.

Główna macierz systemu ma postać . Oblicz jego wyznacznik (w razie potrzeby zobacz artykuł):

Ponieważ wyznacznik głównej macierzy systemu jest niezerowy, system posiada unikalne rozwiązanie, które można znaleźć metodą Cramera.

Skomponuj i oblicz niezbędne wyznaczniki (wyznacznik otrzymujemy zastępując pierwszą kolumnę w macierzy A kolumną wolnych prętów, wyznacznik - zastępując drugą kolumnę kolumną wolnych prętów, - zastępując trzecią kolumnę macierzy A kolumną wolnych prętów ):

Znajdowanie nieznanych zmiennych za pomocą formuł :

Odpowiedź:

Główną wadą metody Cramera (jeśli można ją nazwać wadą) jest złożoność obliczania wyznaczników, gdy liczba równań układu jest większa niż trzy.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową (przy użyciu macierzy odwrotnej).

Niech układ liniowych równań algebraicznych będzie podany w postaci macierzowej , gdzie macierz A ma wymiar n na n, a jej wyznacznik jest niezerowy.

Ponieważ , wtedy macierz A jest odwracalna, czyli istnieje macierz odwrotna . Jeśli pomnożymy obie części równości przez po lewej stronie, to otrzymamy wzór na znalezienie macierzy kolumnowej nieznanych zmiennych. Więc otrzymaliśmy rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą macierzową.

Przykład.

Rozwiąż układ równań liniowych metoda macierzowa.

Rozwiązanie.

Przepiszmy układ równań w postaci macierzowej:

Dlatego

wtedy SLAE można rozwiązać metodą macierzową. Przez odwrotna macierz rozwiązanie tego systemu można znaleźć jako .

Zbudujmy macierz odwrotną używając macierzy dopełnień algebraicznych elementów macierzy A (w razie potrzeby zobacz artykuł):

Pozostaje do obliczenia - macierz nieznanych zmiennych przez pomnożenie macierzy odwrotnej na macierzowej kolumnie wolnych członków (jeśli to konieczne, zobacz artykuł):

Odpowiedź:

lub w innym zapisie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Głównym problemem w znajdowaniu rozwiązań układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową jest złożoność znajdowania macierzy odwrotnej, zwłaszcza dla macierze kwadratowe zamówienie wyższe niż trzecie.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.

Załóżmy, że musimy znaleźć rozwiązanie układu n równań liniowych z n nieznanymi zmiennymi
wyznacznik głównej macierzy której jest różny od zera.

Istota metody Gaussa polega na sukcesywnym wykluczaniu nieznanych zmiennych: najpierw x 1 jest wykluczane ze wszystkich równań układu, począwszy od drugiego, następnie x 2 jest wykluczane ze wszystkich równań, począwszy od trzeciego, i tak dalej, aż do samej nieznanej zmiennej xn pozostaje w ostatnim równaniu. Taki proces przekształcania równań układu dla sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych nazywa się bezpośrednia metoda Gaussa. Po zakończeniu biegu do przodu metodą Gaussa, x n znajduje się z ostatniego równania, x n-1 jest obliczane z przedostatniego równania przy użyciu tej wartości, i tak dalej, x 1 znajduje się z pierwszego równania. Proces obliczania nieznanych zmiennych przy przechodzeniu od ostatniego równania układu do pierwszego nazywa się odwrotna metoda Gaussa.

Opiszmy krótko algorytm eliminowania nieznanych zmiennych.

Założymy, że , ponieważ zawsze możemy to osiągnąć, przestawiając równania układu. Wykluczamy nieznaną zmienną x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego. Aby to zrobić, dodaj pierwsze równanie pomnożone przez do drugiego równania układu, pierwsze pomnożone przez do trzeciego równania i tak dalej, dodaj pierwsze pomnożone przez do n-tego równania. Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie .

Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy w pierwszym równaniu układu wyrazili x 1 w postaci innych nieznanych zmiennych i wstawili otrzymane wyrażenie do wszystkich innych równań. W ten sposób zmienna x 1 jest wykluczona ze wszystkich równań, począwszy od drugiego.

Dalej postępujemy podobnie, ale tylko z częścią powstałego systemu, która jest zaznaczona na rysunku

Aby to zrobić, dodaj drugie równanie pomnożone przez do trzeciego równania układu, drugie pomnożone przez do czwartego i tak dalej, dodaj drugie pomnożone przez do n-tego równania. Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie . W ten sposób zmienna x 2 jest wykluczona ze wszystkich równań, począwszy od trzeciego.

Następnie przystępujemy do eliminacji niewiadomego x 3, zachowując się podobnie z częścią układu zaznaczoną na rysunku

Kontynuujemy więc bezpośredni przebieg metody Gaussa, aż układ przybierze formę

Od tego momentu zaczynamy odwrotny przebieg metody Gaussa: obliczamy xn z ostatniego równania jako , korzystając z otrzymanej wartości xn znajdujemy x n-1 z przedostatniego równania, i tak dalej znajdujemy x 1 z równania pierwsze równanie.

Przykład.

Rozwiąż układ równań liniowych Metoda Gaussa.

Rozwiązanie.

Wykluczmy nieznaną zmienną x 1 z drugiego i trzeciego równania układu. W tym celu do obu części równania drugiego i trzeciego dodajemy odpowiednie części równania pierwszego, pomnożone odpowiednio przez i przez:

Teraz eliminujemy x 2 z trzeciego równania, dodając po jego lewej stronie i właściwe części lewa i prawa strona drugiego równania pomnożona przez:

Na tym kończy się kurs do przodu metody Gaussa, zaczynamy kurs odwrotny.

Z ostatniego równania powstałego układu równań znajdujemy x 3:

Z drugiego równania otrzymujemy .

Z pierwszego równania znajdujemy pozostałą nieznaną zmienną i to dopełnia odwrotny przebieg metody Gaussa.

Odpowiedź:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych postaci ogólnej.

W ogólnym przypadku liczba równań układu p nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych n:

Takie SLAE mogą nie mieć rozwiązań, mieć jedno rozwiązanie lub mieć nieskończenie wiele rozwiązań. To stwierdzenie dotyczy również układów równań, których główna macierz jest kwadratowa i zdegenerowana.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.

Przed znalezieniem rozwiązania układu równań liniowych konieczne jest ustalenie jego zgodności. Odpowiedź na pytanie, kiedy SLAE jest zgodny, a kiedy nie, daje Twierdzenie Kroneckera-Capellego:
aby układ p równań z n niewiadomymi (p może być równy n) był zgodny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy głównej układu był równy randze macierz rozszerzona, czyli Ranga(A)=Rank(T) .

Rozważmy jako przykład zastosowanie twierdzenia Kroneckera-Cappelli do wyznaczania zgodności układu równań liniowych.

Przykład.

Dowiedz się, czy układ równań liniowych ma rozwiązania.

Rozwiązanie.

. Skorzystajmy z metody graniczenia nieletnich. Nieletni drugiego rzędu różne od zera. Przyjrzyjmy się otaczającym go nieletnim trzeciego rzędu:

Ponieważ wszystkie graniczące nieletnie trzeciorzędne są równe zeru, ranga głównej macierzy wynosi dwa.

Z kolei ranga rozszerzonej macierzy jest równy trzy, ponieważ młodszy trzeciego rzędu

różne od zera.

W ten sposób, Rang(A) , zatem zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capelliego możemy stwierdzić, że pierwotny układ równań liniowych jest niespójny.

Odpowiedź:

Nie ma systemu rozwiązań.

Tak więc nauczyliśmy się ustalać niespójność systemu za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego.

Ale jak znaleźć rozwiązanie SLAE, jeśli ustalono jego kompatybilność?

Aby to zrobić, potrzebujemy pojęcia bazy minorowej macierzy i twierdzenia o rzędzie macierzy.

Najwyższego rzędu minor macierzy A, inny niż zero, nazywa się podstawowy.

Z definicji bazy minor wynika, że jej kolejność jest równa randze macierzy. Dla niezerowej macierzy A może być kilka podstawowych drugorzędnych; zawsze jest jedna podstawowa drugorzędna.

Rozważmy na przykład macierz .

Wszystkie podrzędne trzeciego rzędu tej macierzy są równe zeru, ponieważ elementy trzeciego rzędu tej macierzy są sumą odpowiednich elementów pierwszego i drugiego rzędu.

Następujące drugorzędne drugorzędne są podstawowe, ponieważ są niezerowe

Małoletni nie są podstawowe, ponieważ są równe zeru.

Twierdzenie o rangach macierzy.

Jeżeli rang macierzy rzędu p przez n wynosi r, to wszystkie elementy wierszy (i kolumn) macierzy, które nie tworzą wybranej bazy pomocniczej, są wyrażane liniowo w kategoriach odpowiadających im elementów wierszy (i kolumn ), które stanowią podstawę małoletnią.

Co daje nam twierdzenie o rangach macierzy?

Jeżeli za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego ustaliliśmy zgodność układu, to wybieramy dowolną podrzędną podrzędną macierzy głównej układu (jej rząd jest równy r) i wyłączamy z układu wszystkie równania, które nie z wybranego podstawowego nieletniego. Otrzymany w ten sposób SLAE będzie równoważny z pierwotnym, ponieważ odrzucone równania są nadal nadmiarowe (zgodnie z twierdzeniem o rangach macierzy są to liniowa kombinacja pozostałych równań).

W rezultacie, po odrzuceniu nadmiernych równań układu, możliwe są dwa przypadki.

Jeżeli liczba równań r w otrzymanym układzie jest równa liczbie nieznanych zmiennych, to będzie ona określona i jedyne rozwiązanie można znaleźć metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Przykład.

Rozwiązanie.

Ranga głównej macierzy systemu jest równy dwóm, ponieważ młodszy drugiego rzędu różne od zera. Rozszerzona ranga macierzy jest również równa dwóm, ponieważ jedyny mniejszy trzeciego rzędu jest równy zero

a molowy drugiego rzędu rozważanego powyżej jest różny od zera. Na podstawie twierdzenia Kroneckera-Capelliego można stwierdzić zgodność pierwotnego układu równań liniowych, ponieważ Rank(A)=Rank(T)=2 .

Jako podstawę małoletnią przyjmujemy . Tworzą go współczynniki pierwszego i drugiego równania:

Trzecie równanie układu nie bierze udziału w tworzeniu podstawowego minora, więc wyłączamy je z układu opartego na twierdzeniu o rangach macierzy:

W ten sposób otrzymaliśmy elementarny układ liniowych równań algebraicznych. Rozwiążmy to metodą Cramera:

Odpowiedź:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jeżeli liczba równań r w otrzymanym SLAE jest mniejsza niż liczba nieznanych zmiennych n, to wyrazy tworzące podstawową część mniejszą pozostawiamy w lewej części równań, a pozostałe wyrazy przenosimy do prawych części równań system z przeciwnym znakiem.

Nieznane zmienne (jest ich r) pozostałe po lewej stronie równań nazywamy Główny.

Nieznane zmienne (jest ich n - r), które znalazły się po prawej stronie, nazywają się wolny.

Teraz zakładamy, że wolne nieznane zmienne mogą przyjmować dowolne wartości, podczas gdy r główne nieznane zmienne będą wyrażone w postaci wolnych nieznanych zmiennych w unikalny sposób. Ich ekspresję można znaleźć, rozwiązując wynikowy SLAE metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Weźmy przykład.

Przykład.

Rozwiąż układ liniowych równań algebraicznych .

Rozwiązanie.

Znajdź rangę głównej macierzy systemu metodą graniczących nieletnich. Przyjmijmy 1 1 = 1 jako niezerową liczbę drugorzędną pierwszego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego drugorzędnego małoletniego otaczającego go:

Więc znaleźliśmy niezerową molową drugiego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego granicznego małoletniego trzeciego rzędu:

Tak więc ranga głównej matrycy wynosi trzy. Ranga rozszerzonej macierzy jest również równa trzy, czyli system jest spójny.

Znaleziony niezerowy minor trzeciego rzędu będzie traktowany jako podstawowy.

Dla jasności pokazujemy elementy, które tworzą podstawę drobną:

Po lewej stronie równań układu zostawiamy wyrazy uczestniczące w podstawowym minorowym, a resztę o przeciwnych znakach przenosimy na prawą stronę:

Podajemy wolne nieznane zmienne x 2 i x 5 dowolne wartości, czyli bierzemy , gdzie są arbitralne liczby. W tym przypadku SLAE przyjmuje formę

Otrzymany układ elementarny liniowych równań algebraicznych rozwiązujemy metodą Cramera:

W konsekwencji, .

W odpowiedzi nie zapomnij wskazać wolnych nieznanych zmiennych.

Odpowiedź:

Gdzie są dowolne liczby.

Podsumować.

Aby rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej, najpierw dowiadujemy się o jego zgodności za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego. Jeżeli ranga macierzy głównej nie jest równa randze macierzy rozszerzonej, to dochodzimy do wniosku, że system jest niespójny.

Jeżeli rząd macierzy głównej jest równy rządowi macierzy rozszerzonej, wówczas wybieramy podstawową podrzędną i odrzucamy równania układu, które nie uczestniczą w tworzeniu wybranej podstawowej podrzędnej.

Jeżeli rząd bazy minor jest równy liczbie nieznanych zmiennych, to SLAE ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć dowolną znaną nam metodą.

Jeżeli rząd bazy minor jest mniejszy niż liczba nieznanych zmiennych, to po lewej stronie równań układu zostawiamy wyrazy z głównymi nieznanymi zmiennymi, pozostałe wyrazy przenosimy na prawe strony i przypisujemy dowolne wartości do wolnych nieznanych zmiennych. Z otrzymanego układu równań liniowych znajdujemy główne niewiadome zmienne metody Cramer, metoda macierzowa lub metoda Gaussa.

Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.

Metodą Gaussa można rozwiązywać dowolne układy liniowych równań algebraicznych bez ich wstępnego badania zgodności. Proces sukcesywnego wykluczania nieznanych zmiennych umożliwia wnioskowanie zarówno o zgodności, jak i niezgodności SLAE, a jeśli istnieje rozwiązanie, umożliwia jego znalezienie.

Z punktu widzenia prac obliczeniowych preferowana jest metoda Gaussa.

Obejrzyj to szczegółowy opis oraz przeanalizowane przykłady w artykule Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.

Zapis ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych liniowych układów algebraicznych z wykorzystaniem wektorów podstawowego układu rozwiązań.

W tej sekcji skupimy się na połączonych jednorodnych i niejednorodnych układach liniowych równań algebraicznych, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań.

Zajmijmy się najpierw systemami jednorodnymi.

Podstawowy system decyzyjny jednorodnego układu p liniowych równań algebraicznych z n nieznanymi zmiennymi jest zbiorem (n – r) liniowo niezależnych rozwiązań tego układu, gdzie r jest rzędem bazy minorowej głównej macierzy układu.

Jeśli oznaczymy liniowo niezależne rozwiązania jednorodnego SLAE jako X (1) , X (2) , …, X (nr) (X (1) , X (2) , …, X (nr) są macierzami n na 1 ), to ogólne rozwiązanie tego jednorodnego układu jest reprezentowane jako liniowa kombinacja wektorów podstawowego układu rozwiązań z dowolnymi stałymi współczynnikami С 1 , С 2 , …, С (nr) , czyli .

Co oznacza termin rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych (oroslau)?

Znaczenie jest proste: formuła ustawia wszystko możliwe rozwiązania oryginalny SLAE, innymi słowy, przyjmując dowolny zestaw wartości dowolnych stałych С 1 , С 2 , …, С (n-r) , zgodnie ze wzorem otrzymujemy jedno z rozwiązań oryginalnego jednorodnego SLAE.

Tak więc, jeśli znajdziemy fundamentalny układ rozwiązań, to możemy ustawić wszystkie rozwiązania tego jednorodnego SLAE jako .

Pokażmy proces konstruowania fundamentalnego systemu rozwiązań dla jednorodnego SLAE.

Wybieramy podstawowy minor z pierwotnego układu równań liniowych, wyłączamy z układu wszystkie inne równania i przenosimy na prawą stronę równań układu o przeciwnych znakach wszystkie wyrazy zawierające wolne nieznane zmienne. Nadajmy wolnym nieznanym zmiennym wartości 1,0,0,…,0 i obliczmy główne niewiadome, rozwiązując w dowolny sposób otrzymany elementarny układ równań liniowych, na przykład metodą Cramera. W ten sposób otrzymamy X (1) - pierwsze rozwiązanie układu podstawowego. Jeżeli wolnym niewiadomym damy wartości 0,1,0,0,…,0 i obliczymy główne niewiadome, to otrzymamy X (2) . Itp. Jeżeli wolnym nieznanym zmiennym nadamy wartości 0,0,…,0,1 i obliczymy główne niewiadome, to otrzymamy X (n-r) . W ten sposób zostanie skonstruowany podstawowy układ rozwiązań jednorodnego SLAE, a jego rozwiązanie ogólne można zapisać w postaci .

Dla niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych rozwiązanie ogólne przedstawia się jako

Spójrzmy na przykłady.

Przykład.

Znajdź podstawowy układ rozwiązań i rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych .

Rozwiązanie.

Rząd macierzy głównej jednorodnych układów równań liniowych jest zawsze równy rządowi macierzy rozszerzonej. Znajdźmy rangę macierzy głównej metodą marginalizacji nieletnich. Jako niezerową moll pierwszego rzędu, bierzemy element a 1 1 = 9 głównej macierzy układu. Znajdź graniczący niezerowy minor drugiego rzędu:

Znaleziono molowy drugiego rzędu, różny od zera. Przejdźmy przez graniczących z nim nieletnich trzeciego rzędu w poszukiwaniu niezerowego:

Wszystkie graniczące nieletnie trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga macierzy głównej i rozszerzonej wynosi dwa. Weźmy podstawowy nieletni. Dla jasności zwracamy uwagę na elementy systemu, które go tworzą:

Trzecie równanie oryginalnego SLAE nie uczestniczy w tworzeniu podstawowego małoletniego, dlatego można go wykluczyć:

Wyrazy zawierające główne niewiadome zostawiamy po prawej stronie równań, a wyrazy z wolnymi niewiadomymi przenosimy na prawe strony równań:

Skonstruujmy fundamentalny układ rozwiązań pierwotnego jednorodnego układu równań liniowych. Podstawowy system rozwiązań tego SLAE składa się z dwóch rozwiązań, ponieważ oryginalny SLAE zawiera cztery nieznane zmienne, a kolejność jego podstawowej podrzędnej to dwie. Aby znaleźć X (1), nadajemy wolnym nieznanym zmiennym wartości x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, a następnie znajdujemy główne niewiadome z układu równań
.

System m równania liniowe c n nieznany nazywa się układ liniowy jednorodny równania, jeśli wszystkie wolne wyrazy są równe zeru. Taki system wygląda tak:

gdzie i ij (ja = 1, 2, …, m; J = 1, 2, …, n) - podane liczby; x ja- nieznany.

Układ liniowy równania jednorodne zawsze kompatybilny, ponieważ r(A) = r(). Zawsze ma co najmniej zero ( trywialny) roztwór (0; 0; ...; 0).

Zastanówmy się, w jakich warunkach układy jednorodne mają rozwiązania niezerowe.

Twierdzenie 1. Układ liniowych równań jednorodnych ma rozwiązania niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy rząd jego macierzy głównej r mniej niewiadomych n, tj. r < n.

□ jeden). Niech układ liniowych równań jednorodnych ma rozwiązanie niezerowe. Ponieważ ranga nie może przekraczać rozmiaru macierzy, oczywiste jest, że r ≤ n. Zostawiać r = n. Wtedy jeden z nieletnich o rozmiarze n n różne od zera. Dlatego odpowiedni układ równań liniowych ma unikalne rozwiązanie: , , . Nie ma więc innych rozwiązań niż banalne. Jeśli więc istnieje nietrywialne rozwiązanie, to r < n.

2). Zostawiać r < n. Wtedy jednorodny system, będąc spójnym, jest nieokreślony. Stąd ma nieskończoną liczbę rozwiązań, tj. ma również rozwiązania niezerowe. ■

Rozważ jednorodny system n równania liniowe c n nieznany:

(2)

Twierdzenie 2. jednorodny system n równania liniowe c n niewiadome (2) ma rozwiązania niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyznacznik jest równy zero: = 0.

□ Jeśli system (2) ma rozwiązanie niezerowe, to = 0. Dla w , system ma tylko unikalne rozwiązanie zerowe. Jeśli = 0, to ranga r główna macierz systemu jest mniejsza niż liczba niewiadomych, tj. r < n. A zatem system ma nieskończoną liczbę rozwiązań, tj. ma również rozwiązania niezerowe. ■

Oznacz rozwiązanie systemu (1) x 1 = k 1 , x 2 = k 2 , …, x n = k n jako struna .

Rozwiązania układu liniowych równań jednorodnych mają następujące właściwości:

1. Jeśli ciąg jest rozwiązaniem dla systemu (1), to łańcuch jest również rozwiązaniem dla systemu (1).

2. Jeśli linie I - rozwiązania układu (1), to dla dowolnych wartości od 1 i od 2 ich kombinacja liniowa jest również rozwiązaniem układu (1).

Możesz sprawdzić poprawność tych właściwości, bezpośrednio zastępując je równaniami systemu.

Ze sformułowanych właściwości wynika, że każda liniowa kombinacja rozwiązań układu liniowych równań jednorodnych jest również rozwiązaniem tego układu.

System liniowo niezależnych rozwiązań mi 1 , mi 2 , …, e r nazywa się fundamentalny, jeśli każde rozwiązanie układu (1) jest kombinacją liniową tych rozwiązań mi 1 , mi 2 , …, e r.

Twierdzenie 3. Jeśli ranga r macierz współczynników dla zmiennych układu liniowych równań jednorodnych (1) jest mniejsza niż liczba zmiennych n, to każdy podstawowy układ rozwiązań systemu (1) składa się z n–r rozwiązania.

Dlatego wspólna decyzja układ liniowych równań jednorodnych (1) ma postać:

gdzie mi 1 , mi 2 , …, e r jest dowolnym podstawowym układem rozwiązań systemu (9), od 1 , od 2 , …, z- dowolne liczby, r = n–r.

Twierdzenie 4. Ogólne rozwiązanie systemowe m równania liniowe c n niewiadome równa się sumie rozwiązania ogólnego odpowiedniego układu liniowych równań jednorodnych (1) i dowolnego rozwiązania szczegółowego tego układu (1).

Przykład. Rozwiąż system

Rozwiązanie. Dla tego systemu m = n= 3. Wyznacznik

według Twierdzenia 2 system ma tylko trywialne rozwiązanie: x = tak = z = 0.

Przykład. 1) Znajdź ogólne i szczegółowe rozwiązania systemu

2) Znajdź podstawowy system rozwiązań.

Rozwiązanie. 1) Dla tego systemu m = n= 3. Wyznacznik

według Twierdzenia 2, system ma rozwiązania niezerowe.

Ponieważ w systemie jest tylko jedno niezależne równanie

x + tak – 4z = 0,

potem z niego wyrażamy x =4z- tak. Skąd otrzymujemy nieskończony zbiór rozwiązań: (4 z- tak, tak, z) jest ogólnym rozwiązaniem systemu.

Na z= 1, tak= -1, otrzymujemy jedno konkretne rozwiązanie: (5, -1, 1). kładzenie z= 3, tak= 2, otrzymujemy drugie rozwiązanie szczególne: (10, 2, 3) itd.

2) W ogólnym rozwiązaniu (4 z- tak, tak, z) zmienne tak I z są bezpłatne, a zmienna x- zależne od nich. W celu znalezienia podstawowego układu rozwiązań przypisujemy wartości zmiennym wolnym: po pierwsze tak = 1, z= 0, to tak = 0, z= 1. Otrzymujemy poszczególne rozwiązania (-1, 1, 0), (4, 0, 1), które tworzą podstawowy układ rozwiązań.

Ilustracje:

Ryż. 1 Klasyfikacja układów równań liniowych

Ryż. 2 Badanie układów równań liniowych

Prezentacje:

Rozwiązywanie metody SLAE_matrix

Rozwiązanie Metoda SLAU_Cramera

Rozwiązanie Metoda SLAE_Gauss

· Pakiety do rozwiązywania problemów matematycznych Matematyka: poszukiwanie analitycznego i numerycznego rozwiązania układów równań liniowych

pytania testowe:

1. Zdefiniuj równanie liniowe

2. Jaki system robi? m równania liniowe z n nieznany?

3. Co nazywa się rozwiązywaniem układów równań liniowych?

4. Jakie systemy nazywamy równoważnymi?

5. Jaki system nazywa się niezgodnym?

6. Jaki system nazywa się stawem?

7. Jaki system nazywamy zdefiniowanym?

8. Jaki system nazywa się nieokreślonym?

9. Wymień elementarne przekształcenia układów równań liniowych

10. Wymień elementarne przekształcenia macierzy

11. Sformułuj twierdzenie o zastosowaniu przekształceń elementarnych do układu równań liniowych

12. Jakie systemy można rozwiązać metodą macierzową?

13. Jakie układy można rozwiązać metodą Cramera?

14. Jakie układy można rozwiązać metodą Gaussa?

15. Wymień 3 możliwe przypadki, które pojawiają się przy rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą Gaussa

16. Opisz macierzową metodę rozwiązywania układów równań liniowych

17. Opisz metodę Cramera rozwiązywania układów równań liniowych

18. Opisz metodę Gaussa do rozwiązywania układów równań liniowych

19. Jakie układy można rozwiązać za pomocą macierzy odwrotnej?

20. Wymień 3 możliwe przypadki, które powstają przy rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą Cramera

Literatura:

1. wyższa matematyka dla ekonomistów: Podręcznik dla uczelni / N.Sh. Kremer, BA Putko, I.M. Trishin, MN Fridman. Wyd. N.Sz. Kremera. - M.: UNITI, 2005. - 471 s.

2. Ogólny kurs matematyki wyższej dla ekonomistów: Podręcznik. / Wyd. W I. Ermakow. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 s.

3. Zbiór problemów z matematyki wyższej dla ekonomistów: Instruktaż/ Pod redakcją V.I. Ermakow. M.: INFRA-M, 2006. - 574 s.

4. V.E. Gmurman, Przewodnik po rozwiązywaniu problemów w teorii prawdopodobieństwa i statystyce magmowej. - M.: Liceum, 2005r. - 400 s.

5. Gmurman. VE Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. - M.: Szkoła Wyższa, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematyka wyższa w ćwiczeniach i zadaniach. Część 1, 2. - M .: Onyks XXI wiek: Świat i edukacja, 2005. - 304 s. Część 1; – 416 pkt. Część 2

7. Matematyka w ekonomii: Podręcznik: Za 2 godziny / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Braiłow, I.G. Shandara. - M.: Finanse i statystyka, 2006.

8. Shipachev V.S. Matematyka wyższa: Podręcznik dla studentów. uczelnie wyższe - M.: Wyższa Szkoła, 2007r. - 479 s.

Podobne informacje.

Jednorodny system jest zawsze spójny i ma trywialne rozwiązanie
. Aby zaistniało rozwiązanie nietrywialne, konieczne jest, aby rząd macierzy była mniejsza niż liczba niewiadomych:

Podstawowy system decyzyjny jednorodny system
nazwijmy układ rozwiązań w postaci wektorów kolumnowych
, które odpowiadają podstawie kanonicznej, tj. podstawa, w której dowolne stałe
są na przemian ustawione na jeden, podczas gdy reszta jest ustawiona na zero.

Wtedy ogólne rozwiązanie układu jednorodnego ma postać:

gdzie
są arbitralnymi stałymi. Innymi słowy, rozwiązanie ogólne jest kombinacją liniową podstawowego układu rozwiązań.

Zatem rozwiązania podstawowe można otrzymać z rozwiązania ogólnego, jeśli wolnym niewiadomym naprzemiennie przypisuje się wartość jedności, zakładając, że wszystkie inne są równe zeru.

Przykład. Znajdźmy rozwiązanie systemu

Akceptujemy , następnie otrzymujemy rozwiązanie w postaci:

Zbudujmy teraz podstawowy system rozwiązań:

Ogólne rozwiązanie można zapisać jako:

Rozwiązania układu jednorodnych równań liniowych mają następujące właściwości:

Innymi słowy, każda liniowa kombinacja rozwiązań w układ jednorodny jest znowu rozwiązaniem.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa

Rozwiązywanie układów równań liniowych interesuje matematyków od kilku stuleci. Pierwsze wyniki uzyskano w XVIII wieku. W 1750 G. Kramer (1704–1752) opublikował swoje prace na temat wyznaczników macierzy kwadratowych i zaproponował algorytm znajdowania macierzy odwrotnej. W 1809 Gauss przedstawił nową metodę rozwiązania znaną jako metoda eliminacji.

Metoda Gaussa, czyli metoda sukcesywnej eliminacji niewiadomych, polega na tym, że za pomocą przekształceń elementarnych układ równań sprowadza się do równorzędnego układu o postaci schodkowej (lub trójkątnej). Takie systemy pozwalają konsekwentnie znajdować wszystkie niewiadome w określonej kolejności.

Załóżmy, że w systemie (1)
(co jest zawsze możliwe).

(1)

Mnożąc kolejno pierwsze równanie przez tzw odpowiednie liczby

a dodając wynik mnożenia z odpowiednimi równaniami układu, otrzymujemy układ równoważny, w którym wszystkie równania, z wyjątkiem pierwszego, nie będą miały niewiadomych x 1

(2)

Teraz mnożymy drugie równanie układu (2) przez odpowiednie liczby, zakładając, że

a dodając go do niższych, eliminujemy zmienną wszystkich równań, zaczynając od trzeciego.

Kontynuując ten proces, po
kroki, które otrzymujemy:

(3)

Jeśli przynajmniej jedna z liczb
nie jest równy zero, to odpowiadająca jej równość jest niespójna i system (1) jest niespójny. I odwrotnie, dla dowolnego wspólnego systemu liczbowego
są równe zeru. Numer to nic innego jak rząd macierzy systemowej (1).