Ak zavedieme súradnicový systém v rovine alebo v trojrozmernom priestore, budeme vedieť popísať geometrické tvary a ich vlastnosti pomocou rovníc a nerovníc, to znamená, že budeme môcť použiť metódy algebry. Preto je koncept súradnicového systému veľmi dôležitý.
V tomto článku si ukážeme, ako sa definuje pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v rovine a v trojrozmernom priestore a zistíme, ako sa určujú súradnice bodov. Pre prehľadnosť uvádzame grafické ilustrácie.
Navigácia na stránke.
Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v rovine.
Predstavme si pravouhlý súradnicový systém v rovine.
Za týmto účelom nakreslite na rovinu dve navzájom kolmé čiary a vyberte na každej z nich pozitívny smer, označte ho šípkou a vyberte na každom z nich stupnica(jednotka dĺžky). Označme priesečník týchto priamok písmenom O a uvažujme východiskový bod. Tak sme dostali pravouhlý súradnicový systém v lietadle.
Volá sa každá z priamok so zvoleným počiatkom O, smerom a mierkou súradnicová čiara alebo súradnicová os.
Pravouhlý súradnicový systém v rovine sa zvyčajne označuje Oxy, kde Ox a Oy sú jeho súradnicové osi. Volá sa os Ox os x a os Oy – os y.
Teraz sa dohodneme na obrázku pravouhlého súradnicového systému v rovine.
Typicky sa jednotka merania dĺžky na osiach Ox a Oy volí tak, aby bola rovnaká a vynáša sa od začiatku na každej súradnicovej osi v kladnom smere (označené pomlčkou na súradnicových osiach a jednotka je napísaná vedľa it), os x smeruje doprava a zvislá os smeruje nahor. Všetky ostatné možnosti smeru súradnicových osí sa zredukujú na vyjadrené (os Ox - doprava, os Oy - hore) otočením súradnicového systému pod určitým uhlom vzhľadom na počiatok a pohľadom naň z druhej strany. lietadla (ak je to potrebné).
Pravouhlý súradnicový systém sa často nazýva karteziánsky, pretože ho prvýkrát v rovine zaviedol René Descartes. Ešte bežnejšie je, že pravouhlý súradnicový systém sa nazýva pravouhlý karteziánsky súradnicový systém a dáva to všetko dohromady.
Pravouhlý súradnicový systém v trojrozmernom priestore.
Obdobným spôsobom je v trojrozmernom euklidovskom priestore zasadený pravouhlý súradnicový systém Oxyz, len nie dve, ale tri navzájom kolmé priamky. Inými slovami, k súradnicovým osám Ox a Oy sa pridá súradnicová os Oz, ktorá je tzv. os aplikovať.
V závislosti od smeru súradnicových osí sa rozlišujú pravé a ľavé pravouhlé súradnicové systémy v trojrozmernom priestore.
Ak sa pozeráme z kladného smeru osi Oz a najkratšia rotácia z kladného smeru osi Ox do kladného smeru osi Oy nastáva proti smeru hodinových ručičiek, potom sa súradnicový systém nazýva správne.
Ak sa pozeráme z kladného smeru osi Oz a najkratšia rotácia z kladného smeru osi Ox do kladného smeru osi Oy nastáva v smere hodinových ručičiek, potom sa súradnicový systém nazýva vľavo.
Súradnice bodu v kartézskom súradnicovom systéme v rovine.
Najprv zvážte súradnicovú čiaru Ox a zoberte na nej nejaký bod M.
Každé reálne číslo zodpovedá jednému bodu M na tejto súradnicovej čiare. Napríklad bod umiestnený na súradnicovej čiare vo vzdialenosti od začiatku v kladnom smere zodpovedá číslu a číslo -3 zodpovedá bodu umiestnenému vo vzdialenosti 3 od začiatku v zápornom smere. Číslo 0 zodpovedá počiatočnému bodu.
Na druhej strane každý bod M na súradnici Ox zodpovedá reálnemu číslu. Toto reálne číslo je nula, ak sa bod M zhoduje s počiatkom (bod O). Toto reálne číslo je kladné a rovná sa dĺžke segmentu OM na danej mierke, ak je bod M odstránený z počiatku v kladnom smere. Toto reálne číslo je záporné a rovná sa dĺžke segmentu OM so znamienkom mínus, ak je bod M odstránený z počiatku v zápornom smere.
Číslo sa volá koordinovať body M na súradnicovej čiare.
Teraz uvažujme rovinu so zavedeným pravouhlým karteziánskym súradnicovým systémom. Označme ľubovoľný bod M na tejto rovine.
Nech je priemet bodu M na priamku Ox a nech je priemet bodu M na súradnicovú priamku Oy (ak je to potrebné, pozri článok). To znamená, že ak cez bod M vedieme priamky kolmé na súradnicové osi Ox a Oy, potom priesečníky týchto priamok s priamkami Ox a Oy sú body resp.
Nech číslo zodpovedá bodu na osi súradníc Ox a číslo bodu na osi Oy.
Každému bodu M roviny v danom pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme zodpovedá jedinečná usporiadaná dvojica reálnych čísel, tzv. súradnice bodu M v lietadle. Súradnica je tzv úsečka bodu M, A - súradnica bodu M.
Platí aj opačné tvrdenie: každá usporiadaná dvojica reálnych čísel zodpovedá bodu M v rovine v danom súradnicovom systéme.
Súradnice bodu v pravouhlom súradnicovom systéme v trojrozmernom priestore.
Ukážme si, ako sa určujú súradnice bodu M v pravouhlom súradnicovom systéme definovanom v trojrozmernom priestore.
Nech a sú projekcie bodu M na súradnicové osi Ox, Oy a Oz. Nech tieto body na súradnicových osiach Ox, Oy a Oz zodpovedajú reálnym číslam a.
V priestore, v ktorom možno polohu bodu definovať ako jeho priemet na pevné čiary pretínajúce sa v jednom bode, nazývanom počiatok. Tieto projekcie sa nazývajú bodové súradnice a priame čiary sa nazývajú súradnicové osi.
Vo všeobecnom prípade je v rovine kartézsky súradnicový systém (afinný súradnicový systém) špecifikovaný bodom O (počiatok) a usporiadanou dvojicou vektorov e 1 a e 2 (základné vektory), ktoré sú k nemu pripojené, ktoré neležia. na tej istej linke. Priamky prechádzajúce počiatkom v smere základných vektorov sa nazývajú súradnicové osi daného karteziánskeho súradnicového systému. Prvá, určená vektorom e 1, sa nazýva súradnicová os (alebo os Ox), druhá je súradnicová os (alebo os Oy). Samotný karteziánsky súradnicový systém sa označuje Oe 1 e 2 alebo Oxy. Kartézske súradnice bodu M (obrázok 1) v karteziánskom súradnicovom systéme Oe 1 e 2 sa nazývajú usporiadaná dvojica čísel (x, y), čo sú koeficienty rozšírenia vektora OM pozdĺž bázy (e 1, e 2), to znamená, že x a y sú také, že OM = xe1 + ue2. Číslo x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).
Ak sú do roviny zavedené dva karteziánske súradnicové systémy Oe 1 e 2 a 0'e' 1 e' 2 tak, že základné vektory (e' 1, e' 2) sú vyjadrené prostredníctvom vektorov báz (e 1, e 2) podľa vzorcov
e’ 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e’ 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2
a bod O' má súradnice (x 0, y 0) v karteziánskom súradnicovom systéme Oe 1 e 2, potom súradnice (x, y) bodu M v karteziánskom súradnicovom systéme Oe 1 e2 a súradnice (x' , y') toho istého bodu v karteziánskom súradnicovom systéme O'e 1 e' 2 súvisia vzťahmi
x = a 11 x’ + a 21 y’ + x 0, y = a 12 x’+ a 22 y’+ y 0.
Kartézsky súradnicový systém sa nazýva pravouhlý, ak základňa (e 1, e 2) je ortonormálna, to znamená, že vektory e 1 a e 2 sú navzájom kolmé a majú dĺžky rovný jednej(vektory e 1 a e 2 sa v tomto prípade nazývajú vektory). V pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme sú súradnice x a y bodu M hodnotami ortogonálnych priemetov bodu M na osiach Ox a Oy. V pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme Oxy je vzdialenosť medzi bodmi M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2) rovná √(x 2 - x 1) 2 + (y 2 -y 1 ) 2
Vzorce na prechod z jedného pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému Oxy do iného pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému O'x'y', ktorého začiatok O' kartézskeho súradnicového systému Oxy je O'(x0, y0), majú tvar
x = x’cosα - y’sinα + x 0, y = x’sin α + y’cosα + y 0
x = x'cosα + y'sinα + x 0, y = x'sinα - y'cosα + y 0.
V prvom prípade je systém O'x'y' vytvorený rotáciou základných vektorov e 1 ; e 2 uhlom α a následným prenosom počiatku súradníc O do bodu O’ (obrázok 2),
a v druhom prípade - otočením základných vektorov e 1, e 2 o uhol α, následným odrazom osi obsahujúcej vektor e 2 vzhľadom na priamku nesúcu vektor e 1 a prenesením počiatku O do bodu O “ (Obrázok 3).
Niekedy sa používajú šikmé karteziánske súradnicové systémy, ktoré sa od pravouhlého líšia tým, že uhol medzi jednotkovými bázovými vektormi nie je správny.
Všeobecný kartézsky súradnicový systém (afinný súradnicový systém) v priestore je definovaný podobne: je určený bod O - počiatok súradníc a usporiadaná trojica vektorov е 1 , е 2 , е 3 (bázové vektory), ktoré sú k nemu pripojené a neležia. v rovnakej rovine. Rovnako ako v prípade roviny sú určené súradnicové osi - súradnicová os (Ox os), ordinátová os (Oy os) a aplikačná os (Oz os) (obrázok 4).
Kartézsky súradnicový systém v priestore sa označuje Oe 1 e 2 e 3 (alebo Oxyz). Roviny prechádzajúce dvojicami súradnicových osí sa nazývajú súradnicové roviny. Kartézsky súradnicový systém v priestore sa nazýva pravotočivý, ak rotácia od osi Ox k osi Oy je vykonaná v smere opačnom k pohybu v smere hodinových ručičiek pri pohľade na rovinu Oxy z nejakého bodu na kladnej poloosi Oz , karteziánsky súradnicový systém sa nazýva ľavotočivý. Ak základné vektory e 1, e 2, e 3 majú dĺžku rovnú jednej a sú párovo kolmé, potom sa karteziánsky súradnicový systém nazýva pravouhlý. Poloha jedného pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému v priestore voči inému pravouhlému karteziánskemu súradnicovému systému s rovnakou orientáciou je určená tromi Eulerovými uhlami.
Kartézsky súradnicový systém je pomenovaný po R. Descartesovi, hoci v jeho diele „Geometria“ (1637) sa uvažovalo o šikmom súradnicovom systéme, v ktorom súradnice bodov mohli byť iba kladné. Vo vydaní z rokov 1659-61 bola ku geometrii pripojená práca holandského matematika I. Guddeho, v ktorej boli po prvýkrát povolené kladné aj záporné hodnoty súradníc. Priestorový karteziánsky súradnicový systém zaviedol francúzsky matematik F. Lahire (1679). Začiatkom 18. storočia sa ustálilo označenie x, y, z pre karteziánske súradnice.
Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie
FSBEI HPE "Mari" štátna univerzita»
Katedra pedagogiky
abstraktné
Disciplína: metódy vyučovania matematiky
na tému: "karteziánsky súradnicový systém"
Dokončené:
Viktorová O.K.
Skontrolované:
Ph.D. ped. vedy, profesor
Borodina M.V.
Yoshkar-Ola
2015
- René Descartes. Životopis……………………………………………………………………….. 3
- Descartov príspevok k rozvoju matematiky ako vedy………………………….6
- Možný spôsobštúdium karteziánskeho súradnicového systému na príklade legendy o jeho objave………………………………………………………………8
- Záver……………………………………………………………………………………… 15
- Zoznam referencií………………………………………………………………..16
- Životopis
René Descartes francúzsky filozof, matematik, mechanik, fyzik a fyziológ, tvorca analytickej geometrie a moderného algebraického symbolizmu, autor metódy radikálnych pochybností vo filozofii, mechanizmu vo fyzike, predchodca reflexológie.
Descartes pochádzal zo starého, ale chudobného šľachtického rodu de Cartes, odtiaľ vzniklo jeho latinizované meno Cartesius a filozofický smer, kartezianizmus; a bol najmladším (tretím) synom v rodine. Narodil sa 31. marca 1596 v Lae vo Francúzsku. Jeho matka zomrela, keď mal 1 rok. Descartov otec bol sudcom v meste Rennes a zriedka sa objavoval v Lae; Chlapca vychovávala jeho stará mama z matkinej strany. Ako dieťa sa Rene vyznačovala krehkým zdravím a neuveriteľnou zvedavosťou.
Základné vzdelanie Descartes študoval na jezuitskom kolégiu La Flèche, kde bol jeho učiteľom Jean François. Na vysokej škole sa Descartes stretol s Marinom Mersennom (vtedy študentom, neskôr kňazom), budúcim koordinátorom vedecký život Francúzsko. Náboženská výchova len posilnila skeptický postoj mladého Descarta k vtedajším filozofickým autoritám. Neskôr sformuloval svoju metódu poznávania: deduktívne (matematické) uvažovanie nad výsledkami reprodukovateľných experimentov.
V roku 1612 Descartes zmaturoval, nejaký čas študoval právo v Poitiers, potom odišiel do Paríža, kde niekoľko rokov striedal neprítomný život a štúdium matematiky. Potom vstúpil vojenská služba(1617) najskôr v revolučnom Holandsku (v tých rokoch spojenec Francúzska), potom v Nemecku, kde sa zúčastnil krátkej bitky o Prahu (tridsaťročná vojna). V Holandsku sa v roku 1618 Descartes stretol s vynikajúcim fyzikom a prírodným filozofom Isaacom Beckmannom, ktorý mal významný vplyv na jeho formovanie ako vedca. Descartes strávil niekoľko rokov v Paríži, kde sa venoval vedeckej práci, kde okrem iného objavil princíp virtuálnych rýchlostí, ktorý v tom čase ešte nikto nebol pripravený oceniť.
Potom ešte niekoľko rokov účasti vo vojne (obliehanie La Rochelle). Po návrate do Francúzska sa ukázalo, že Descartovo voľnomyšlienkárstvo sa stalo známym jezuitom a obvinili ho z kacírstva. Preto sa Descartes presťahoval do Holandska (1628), kde strávil 20 rokov v osamelých vedeckých štúdiách.
Vedie rozsiahlu korešpondenciu s najlepšími vedcami v Európe (prostredníctvom verného Mersenna) a študuje rôzne vedy, od medicíny po meteorológiu. Nakoniec v roku 1634 dokončil svoju prvú programovú knihu s názvom „Svet“ (Le Monde), ktorá pozostávala z dvoch častí: „Pojednanie o svetle“ a „Pojednanie o človeku“. Ale moment zverejnenia bol nešťastný: o rok skôr inkvizícia takmer umučila Galilea. Preto sa Descartes rozhodol počas svojho života toto dielo nevydať. O Galileovom odsúdení napísal Mersennovi:
„To ma tak zasiahlo, že som sa rozhodol spáliť všetky svoje papiere, alebo ich aspoň nikomu neukázať; lebo som si nevedel predstaviť, že by on, Talian, ktorý sa tešil priazni aj pápeža, mohol byť odsúdený za to, že nepochybne chcel dokázať pohyb Zeme... Priznám sa, ak by pohyb Zem je lož, potom sú všetky základy mojej filozofie klamstvom, pretože jednoznačne vedú k rovnakému záveru.“
Čoskoro sa však jedna po druhej objavia ďalšie Descartove knihy:
„Rozprava o metóde...“ (1637)
"Úvahy o prvej filozofii..." (1641)
"Princípy filozofie" (1644)
Descartove hlavné tézy sú formulované v „Princípoch filozofie“:
"Boh stvoril svet a zákony prírody a potom vesmír pôsobí ako nezávislý mechanizmus."
„Na svete nie je nič okrem pohybu hmoty rôzne druhy. Hmota pozostáva z elementárnych častíc, ktorých lokálna interakcia vytvára všetky prírodné javy.
„Matematika mocná a univerzálna metóda poznanie prírody, vzor pre iné vedy“.
Kardinál Richelieu reagoval priaznivo na Descartove diela a povolil ich vydanie vo Francúzsku, no holandskí protestantskí teológovia ich prekliali (1642); Bez podpory princa z Orange by to mal vedec ťažké.
V roku 1649 Descartes, vyčerpaný dlhoročným prenasledovaním za voľnomyšlienkárstvo, podľahol presviedčaniu švédskej kráľovnej Kristíny (s ktorou si dlhé roky aktívne písal) a presťahoval sa do Štokholmu. Takmer okamžite po presťahovaní vážne prechladol a čoskoro zomrel. Predpokladanou príčinou smrti bol zápal pľúc. Existuje aj hypotéza o jeho otrave, keďže príznaky Descartovej choroby boli podobné tým, ktoré vznikli pri akútnej otrave arzénom. Túto hypotézu predložil Ikey Pease, nemecký vedec, a potom ju podporil Theodor Ebert. Dôvodom otravy bol podľa tejto verzie strach katolíckych agentov, že by Descartovo voľnomyšlienkárstvo mohlo prekážať v ich úsilí obrátiť kráľovnú Kristínu na katolicizmus (k tejto konverzii skutočne došlo v roku 1654).
Ku koncu Descartovho života sa postoj cirkvi k jeho učeniu stal ostro nepriateľským. Čoskoro po jeho smrti boli hlavné diela Descartesa zaradené do notoricky známeho „Indexu“ a Ľudovít XIV. vzdelávacie inštitúcie Francúzsko.
- Descartov príspevok k rozvoju matematiky ako vedy
V roku 1637 vyšlo hlavné Descartovo filozofické a matematické dielo „Rozprava o metóde“ (celý názov: „Rozprava o metóde, ktorá vám umožňuje nasmerovať vašu myseľ a nájsť pravdu vo vedách“).
Táto kniha predstavuje analytickú geometriu a v jej aplikáciách mnohé výsledky v algebre, geometrii a optike (vrátane správna formulácia zákon lomu svetla) a oveľa viac.
Za zmienku stojí najmä matematická symbolika Viety, ktorú prepracoval a ktorá bola od toho momentu blízka moderne. Koeficienty označil ako a, b, c..., a neznáme ako x, y, z. Berie sa prirodzený exponent moderný vzhľad(zlomkové a negatívne vznikli vďaka Newtonovi). Nad radikálnym výrazom sa objaví čiara. Rovnice sú zredukované na kanonickú formu (nula na pravej strane).
Descartes nazval symbolickú algebru „univerzálna matematika“ a napísal, že by mala vysvetľovať „všetko, čo sa týka poriadku a miery“.
Vytvorenie analytickej geometrie umožnilo previesť štúdium geometrických vlastností kriviek a telies do algebraického jazyka, to znamená analyzovať rovnicu krivky v určitom súradnicovom systéme. Tento preklad mal tú nevýhodu, že teraz bolo potrebné starostlivo určiť skutočné geometrické vlastnosti, ktoré nezávisia od súradnicového systému (invarianty). Výhody novej metódy však boli mimoriadne veľké a Descartes ich demonštroval v tej istej knihe, pričom objavil mnohé ustanovenia, ktoré starovekí i súčasní matematici nepoznali.
Dodatok „Geometria“ poskytuje metódy riešenia algebraických rovníc (vrátane geometrických a mechanických) a klasifikáciu algebraických kriviek. Nový spôsob definovanie krivky pomocou rovnice bolo rozhodujúcim krokom ku konceptu funkcie. Descartes formuluje presné „pravidlo znakov“ na určenie počtu kladných koreňov rovnice, hoci to nedokazuje.
Descartes študoval algebraické funkcie (polynómy), ako aj množstvo „mechanických“ funkcií (špirály, cykloidy). Pre transcendentálne funkcie, podľa Descarta, všeobecná metóda výskum neexistuje.
Komplexné čísla Descartes ich ešte nepovažoval za rovnocenné so skutočnými, ale sformuloval (hoci nepreukázal) základnú vetu algebry: celkový počet skutočné a zložité korene polynómu sa rovná jeho stupňu. Descartes tradične označil negatívne korene za falošné, no spojil ich s pozitívnymi pod pojmom reálne čísla, čím ich oddelil od imaginárnych (komplexných). Tento pojem vstúpil do matematiky. Descartes však vykazoval určitú nejednotnosť: koeficienty a, b, c... boli pre neho považované za pozitívne a prípad neznámeho znamienka bol špeciálne označený elipsou vľavo.
Všetky nezáporné reálne čísla, nevynímajúc iracionálne, považuje Descartes za rovnocenné; sú definované ako pomer dĺžky určitého segmentu k dĺžkovému štandardu. Neskôr Newton a Euler prijali podobnú definíciu čísla. Descartes ešte neoddeľuje algebru od geometrie, hoci mení ich priority; riešenie rovnice chápe ako zostrojenie úsečky s dĺžkou rovnajúcou sa koreňu rovnice. Tento anachronizmus čoskoro zavrhli jeho študenti, predovšetkým anglickí, pre ktorých sú geometrické konštrukcie čisto pomocným zariadením.
Kniha „Metóda“ okamžite urobila z Descarta uznávanú autoritu v matematike a optike. Je pozoruhodné, že bol vydaný vo francúzštine a nie v latinčine. Aplikácia „Geometria“ bola však okamžite preložená do latinčiny a bola niekoľkokrát publikovaná samostatne, z komentárov sa stala referenčná kniha európski vedci. V prácach matematikov druhej polovice 17. storočia sa odráža silný vplyv Descarta.
- Možná metóda štúdia karteziánskeho súradnicového systému na príklade legendy o jeho objave
Existuje niekoľko legiend o vynáleze súradnicového systému, ktorý nesie meno Descartes.
Jedného dňa René Descartes ležal celý deň v posteli a o niečom premýšľal a okolo bzučala mucha a nedovolila mu sústrediť sa. Začal premýšľať o tom, ako matematicky opísať polohu muchy v akomkoľvek danom čase, aby ju dokázal zraziť bez toho, aby chýbal. A... prišiel s karteziánskymi súradnicami, jednou z nich najväčšie vynálezy v dejinách ľudstva. Nasledujme cestu otvárania súradnicového systému podľa tejto legendy na obrázkoch.
Otváracia doba: 1637.
Scéna: „kancelária“ Rene Descartesa.
Obrázok zobrazuje približne tri steny kancelárie:
stena s dverami
Profilová rovina
podlaha - horizontálna rovina
stena s okenné otvory
Čelná rovina;
Venujte pozornosť!Každé dve roviny sa pretínajú v priamke
linky.
- Na čelnú rovinu pristane mucha
- Predpokladajme, že
René Descartes sa pozerá
predná rovina v
kolmo na ňu
smer.
Vidíme tú muchu
je zapnutá
čelná rovina.
Ale ako presne určiť
jej postavenie?
- Eureka!
Musíte vziať dve navzájom kolmé číselné rady. Priesečník priamok označujeme ako O - počiatok súradnicového systému. Jednu z čiar nazvime os X, druhú os Y.
Na našom obrázku vzdialenosť medzi dielikmi na číselných osách
rovná sa jednému.
Pozor! Môžete vybrať počiatok a smer osí
spôsobom, ktorý je vhodný pre konkrétnu úlohu.
- Poďme určiť presnú polohu „spoluautora“ - muchy.
Nakreslime dve priame čiary cez bod, kde sa nachádza mucha:
- Rovnobežne s osou X Priama čiara pretína os Y v bode s číslicou
hodnota rovná 4. Nazvime túto hodnotu súradnicou „y“ našej
- Rovnobežne s osou Y Priamka pretína os X v bode s číslicou
hodnota rovná (-2). Nazvime túto hodnotu súradnicou "x" nášho objektu.
Je zvykom písať súradnice objektu, zvyčajne bodu, v tvare (x, y). Pre našu mušku môžeme povedať, že sa nachádza v bode so súradnicami (-2, 4).
Problém presného určenia polohy mušky je vyriešený!
Novinkou myšlienky je, že poloha bodu alebo predmetu na
Rovina je definovaná pomocou dvoch pretínajúcich sa osí.
To isté možno urobiť na určenie polohy letu
strop.
Určte polohu chrobáka a motýľa v rovine súradníc.
Všetky tieto príklady demonštrujú výhody súradnicovej metódy určenia polohy muchy, chrobáka a motýľa v rovine pomocou Descartovho súradnicového systému. Ako môžeme určiť súradnice toho istého hmyzu, ak lietajú, pretože v tomto prípade nelezú po povrchu steny alebo stropu.
Na meranie polohy objektov v priestore na začiatku 19. storočia
pribudla os Z, ktorá smeruje kolmo na os X a Y.
Na obrázku je os Z nasmerovaná nahor.
Predstavte si, že mačka Amur sedí na konári stromu.
Ak mačka spadla na vodorovnú rovinu - rovinu XOY, bod
jeho pád mal súradnice (X1, Y1). Mačka sedí vo výške Z1 od vodorovnej roviny. Takže pozícia amurskej mačky vo vesmíre
možno opísať tromi súradnicami (X1, Y1 Z1), nachádza sa na niekt
výška nad zemou.
Súradnice môžu mať rôzne číselné hodnoty, vrátane
nula, to znamená, že objekt sa nachádza na nejakej súradnicovej osi.
Ak majú všetky tri súradnice nulové hodnoty, objekt je v počiatku súradnicového systému.
Ďalej určme súradnice rôznych objektov
kreslenie.
Papagáj je v bode so súradnicami(0, 0, Z1).
Bobor naľavo je (X1 0 0) . Bobor vpravo - (0 Y1 0) .
Myš - (X1 Y1 0) . Amur mačka - (X1 Y1 Z1).
Odpovedzte na otázku:
"Kde by mal tento chameleón sedieť?"
- Záver
Kartézsky súradnicový systém posunul vedu matematiky a priviedol ju do úplného konca nová úroveň. Geometria sa začala rozvíjať rýchlejšie. Táto práca skúma súradnicový systém na úrovni 5. – 6. ročníka, aby deti zaujali a hlavne pochopili, ako so súradnicovým systémom pracovať. Samozrejme, v budúcnosti bude štúdium karteziánskeho súradnicového systému hlbšie. Vo vyšších ročníkoch sa budeme baviť o trojrozmernom priestore. O konštrukcii trojrozmerných útvarov atď. Štúdium karteziánskeho súradnicového systému je jedným z najviac dôležité aspekty matematika ako veda a každý učiteľ musí sprostredkovať svoje vedomosti každému žiakovi, aby sa tieto vedomosti učili pre život.
- Zoznam použitej literatúry
- Lyubimov N.A. Filozofia Descartesa. Petrohrad, 1886
- Lyat-ker Ya.A. Descartes. M., 1975
- Fischer K. Descartes: jeho život, spisy a učenie. Petrohrad, 1994
- Mamardashvili M.K. Kartézske odrazy. M., 1995
- Použité stránky: https://ru.wikipedia.org
Na určenie polohy bodu v priestore použijeme karteziánske pravouhlé súradnice (obr. 2).
Kartézsky pravouhlý súradnicový systém v priestore tvoria tri vzájomne kolmé súradnicové osi OX, OY, OZ. Súradnicové osi sa pretínajú v bode O, ktorý sa nazýva počiatok, na každej osi je zvolený kladný smer označený šípkami a jednotka merania pre segmenty na osiach. Jednotky merania sú zvyčajne (nie nevyhnutne) rovnaké pre všetky osi. Os OX sa nazýva os úsečky (alebo jednoducho úsečka), os OY je súradnicová os a os OZ je aplikačná os.
Poloha bodu A v priestore je určená tromi súradnicami x, y a z. Súradnica x sa rovná dĺžke segmentu OB, súradnica y je dĺžka segmentu OC, súradnica z je dĺžka segmentu OD vo vybraných meracích jednotkách. Segmenty OB, OC a OD sú definované rovinami nakreslenými z bodu rovnobežného s rovinami YOZ, XOZ a XOY.
Súradnica x sa nazýva úsečka bodu A, súradnica y sa nazýva súradnica bodu A a súradnica z sa nazýva aplikácia bodu A.
Symbolicky je to napísané takto:
alebo prepojiť súradnicový záznam s konkrétnym bodom pomocou indexu:
x A , y A , z A ,
Každá os sa považuje za číselnú os, to znamená, že má kladný smer a bodom ležiacim na zápornom lúči sú priradené záporné hodnoty súradníc (vzdialenosť sa berie so znamienkom mínus). Teda ak by napríklad bod B neležal ako na obrázku - na lúči OX, ale na jeho pokračovaní v r. rubová strana od bodu O (na zápornej časti osi OX), potom os x bodu A bude záporná (mínus vzdialenosť OB). Rovnako pre ďalšie dve osi.
Súradnicové osi OX, OY, OZ, znázornené na obr. 2, tvoria pravotočivý súradnicový systém. To znamená, že ak sa pozriete na rovinu YOZ pozdĺž kladného smeru osi OX, pohyb osi OY smerom k osi OZ bude v smere hodinových ručičiek. Túto situáciu možno opísať pomocou pravidla gimlet: ak sa gimlet (skrutka s pravým závitom) otáča v smere od osi OY k osi OZ, potom sa bude pohybovať pozdĺž kladného smeru osi OX.
Vektory jednotkovej dĺžky smerujúce pozdĺž súradnicových osí sa nazývajú súradnicové jednotkové vektory. Zvyčajne sú označené ako 
(obr. 3). Je tam aj označenie 
Jednotkové vektory tvoria základ súradnicového systému.
V prípade pravotočivého súradnicového systému platia nasledujúce vzorce s vektorovými súčinmi jednotkových vektorov:
KARTÉZSKÝ SÚRADNICOVÝ SYSTÉM KARTÉZSKÝ SÚRADNICOVÝ SYSTÉM
KARTÉZICKÝ SÚRADNICOVÝ SYSTÉM, priamočiary súradnicový systém v rovine alebo v priestore (zvyčajne so vzájomne kolmými osami a rovnakými mierkami pozdĺž osí). Pomenovaný po R. Descartesovi (cm. XSTES Rene).
Descartes ako prvý zaviedol súradnicový systém, ktorý sa výrazne líšil od dnes všeobecne uznávaného. Použil šikmý súradnicový systém v rovine, pričom zvažoval krivku vo vzťahu k nejakej priamke s pevným referenčným systémom. Poloha bodov krivky bola špecifikovaná pomocou systému rovnobežných segmentov, naklonených alebo kolmých na pôvodnú priamku. Descartes nezaviedol druhú súradnicovú os a neurčil smer referencie od začiatku súradníc. Až v 18. storočí. vytvorilo sa moderné chápanie súradnicového systému, ktoré dostalo meno Descartes.
***
Na definovanie kartézskeho pravouhlého súradnicového systému sa vyberú vzájomne kolmé priamky, nazývané osi. Axiálny priesečník O nazývaný pôvod. Na každej osi je zadaný kladný smer a je zvolená jednotka mierky. Súradnice bodu P sa považujú za kladné alebo záporné v závislosti od toho, na ktorú poloos pripadá priemet bodu P.
2D súradnicový systém
P na rovine v dvojrozmernom súradnicovom systéme sa vzdialenosti uberané s určitým znamienkom (vyjadrené v mierkových jednotkách) tohto bodu k dvom navzájom kolmým priamkam - súradnicovým osám alebo priemetom vektora polomeru - nazývajú r bodov P na dvoch vzájomne kolmých súradnicových osiach.
V dvojrozmernom súradnicovom systéme sa horizontálna os nazýva os x (os OX), vertikálna os je ordinátnou osou (os OY). Na osi sú zvolené kladné smery OX- vpravo, na osi OY- hore. Súradnice x A r
sa nazývajú úsečka a ordináta bodu. Označenie P(a,b) znamená, že bod P v rovine má úsečku a a ordinátu b.
Trojrozmerný súradnicový systém P Kartézske pravouhlé súradnice bodu (cm. v trojrozmernom priestore sa vzdialenosti uberané s určitým znamienkom (vyjadrené v mierkových jednotkách) tohto bodu k trom vzájomne kolmým súradnicovým rovinám alebo priemetom vektora polomeru nazývajú RADIUS VEKTOR) P r bodov
do troch vzájomne kolmých súradnicových osí. O Prostredníctvom ľubovoľného bodu v priestore OX- počiatok súradníc - narysujú sa tri páry kolmých priamok: os OY(os x), os O(os y), os Z
Na súradnicových osiach je možné špecifikovať jednotkové vektory i, j, k pozdĺž osí OX,OY, OZ resp.
V závislosti od relatívnu polohu kladné smery súradnicových osí, sú možné pravé a ľavé súradnicové systémy. Spravidla sa používa pravotočivý súradnicový systém. V pravom súradnicovom systéme sa kladné smery vyberajú takto: pozdĺž osi OX- na pozorovateľa; pozdĺž osi OY - doprava; po osi OZ - hore. V pravotočivom súradnicovom systéme je najkratšia rotácia z osi X na os Y proti smeru hodinových ručičiek; ak sa súčasne s takýmto otáčaním pohybujeme v kladnom smere osi (os y), os, potom bude výsledkom pohyb podľa pravidla správnej skrutky.
Označenie P(a,b,c) znamená, že bod P má úsečku a, ordinátu b a aplikáciu c.
Každá trojica čísel (a,b,c) definuje jeden bod P. V dôsledku toho pravouhlý karteziánsky súradnicový systém vytvára korešpondenciu jedna ku jednej medzi množinou bodov v priestore a množinou usporiadaných trojíc reálnych čísel.
Okrem súradnicových osí existujú aj súradnicové roviny. Súradnicové plochy, pre ktoré zostáva jedna zo súradníc konštantná, sú roviny rovnobežné s rovinami súradníc a súradnicové čiary, pozdĺž ktorých sa mení iba jedna súradnica, sú priamky rovnobežné so súradnicovými osami. Súradnicové plochy sa pretínajú pozdĺž súradnicových čiar.
Súradnicová rovina XOY obsahuje osi OX x OY, súradnicová rovina YO(os y), os obsahuje osi OY x O(os y), os, súradnicová rovina XO(os y), os obsahuje osi OX x O(os y), os.
Encyklopedický slovník. 2009 .
Pozrite sa, čo je „KARTÉZSKÝ SÚRADNICOVÝ SYSTÉM“ v iných slovníkoch:
KARTÉZSKÝ SÚRADNICOVÝ SYSTÉM- pravouhlá súradnicová sústava v rovine alebo v priestore, v ktorej sú mierky pozdĺž osí rovnaké a súradnicové osi sú navzájom kolmé. D. s. K. sa označuje písmenami x:, y pre bod v rovine alebo x, y, z pre bod v priestore. (Cm.... ...
KARTÉZICKÝ SÚRADNICOVÝ SYSTÉM, systém zavedený Reneom XSTESOM, v ktorom je poloha bodu určená vzdialenosťou od neho k vzájomne sa pretínajúcim čiaram (osiam). V najjednoduchšej verzii systému sú osi (označené x a y) kolmé.... ... Vedecko-technický encyklopedický slovník
Pravouhlý alebo karteziánsky súradnicový systém je najbežnejším súradnicovým systémom v rovine a v priestore. Obsah 1 Pravouhlý súradnicový systém v rovine ... Wikipedia
Kartézsky súradnicový systém
Priamy súradnicový systém (pozri Súradnice) v rovine alebo v priestore (zvyčajne s rovnakými mierkami pozdĺž osí). Samotný R. Descartes v „Geometrii“ (1637) použil iba súradnicový systém na rovine (vo všeobecnosti šikmej). Často…… Veľká sovietska encyklopédia
Súbor definícií, ktorý implementuje súradnicovú metódu, teda spôsob určenia polohy bodu alebo telesa pomocou čísel alebo iných symbolov. Súbor čísel, ktoré určujú polohu konkrétneho bodu, sa nazýva súradnice tohto bodu. Vo... ... Wikipédii
karteziánsky systém- Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. karteziánsky systém; Kartézsky systém súradníc vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. karteziánsky systém, f; Kartézsky systém... ... Fizikos terminų žodynas
SÚRADNICOVÝ SYSTÉM- súbor podmienok, ktoré určujú polohu bodu na priamke, na rovine, v priestore. Existujú rôzne sférické tvary: karteziánske, šikmé, valcové, sférické, krivočiare atď. Lineárne a uhlové veličiny, ktoré určujú polohu... ... Veľká polytechnická encyklopédia
Ortonormálny priamočiary súradnicový systém v euklidovskom priestore. D.p.s. na rovine je špecifikovaný dvoma navzájom kolmými priamymi súradnicovými osami, na každej z nich je zvolený kladný smer a segment jednotky ... Matematická encyklopédia
Pravouhlý súradnicový systém je priamočiary súradnicový systém so vzájomne kolmými osami v rovine alebo v priestore. Najjednoduchší a teda najčastejšie používaný súradnicový systém. Veľmi jednoducho a priamo zhrnuté pre... ... Wikipédiu
knihy
- Výpočtová dynamika tekutín. Teoretické základy. Učebnica, Valery Alekseevich Pavlovsky, Dmitrij Vladimirovič Nikushchenko. Kniha je venovaná systematickej prezentácii teoretické základy pre nastavenie úloh matematického modelovania prúdy kvapalín a plynov. Osobitná pozornosť venovaný stavebnej problematike...