Dnes sa pozrieme na to, aké veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ako vyzerá graf nepriamej úmernosti a ako sa vám to všetko môže hodiť nielen na hodinách matematiky, ale aj mimo školských múrov.
Také rôzne proporcie
Proporcionalita vymenovať dve veličiny, ktoré sú na sebe navzájom závislé.
Závislosť môže byť priama a reverzná. Preto vzťah medzi veličinami opisuje priamu a nepriamu úmernosť.
Priama úmernosť- ide o taký vzťah medzi dvoma veličinami, pri ktorom zvýšenie alebo zníženie jednej z nich vedie k zvýšeniu alebo zníženiu druhej. Tie. ich postoj sa nemení.
Napríklad, čím viac úsilia vynaložíte na prípravu na skúšky, tým vyššie budú vaše známky. Alebo čím viac vecí si so sebou na túru beriete, tým ťažšie je nosiť batoh. Tie. množstvo úsilia vynaloženého na prípravu na skúšky je priamo úmerné získaným známkam. A počet vecí zbalených v batohu je priamo úmerný jeho hmotnosti.
Inverzná úmernosť- to funkčná závislosť, pri ktorej niekoľkonásobné zníženie alebo zvýšenie nezávislej hodnoty (nazýva sa to argument) spôsobí proporcionálne (t. j. o rovnakú hodnotu) zvýšenie alebo zníženie závislej hodnoty (nazýva sa to funkcia).
Ukážme si to na jednoduchom príklade. Chcete kúpiť jablká na trhu. Jablká na pulte a množstvo peňazí vo vašej peňaženke sú nepriamo úmerné. Tie. čím viac jabĺk kúpite, tým menej peňazí vám zostane.
Funkcia a jej graf
Funkciu inverznej úmernosti možno opísať ako y = k/x. V ktorom X≠ 0 a k≠ 0.
Táto funkcia má nasledujúce vlastnosti:
- Jeho doménou definície je množina všetkých reálnych čísel okrem X = 0. D(r): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Rozsah sú všetky reálne čísla okrem r= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Nemá žiadne maximálne ani minimálne hodnoty.
- Je nepárny a jeho graf je symetrický podľa pôvodu.
- Neperiodické.
- Jeho graf nepretína súradnicové osi.
- Nemá žiadne nuly.
- Ak k> 0 (to znamená, že argument rastie), funkcia klesá proporcionálne na každom z jej intervalov. Ak k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Ako argument narastá ( k> 0) záporné hodnoty funkcie sú v intervale (-∞; 0) a kladné hodnoty sú v intervale (0; +∞). Keď argument klesá ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Graf funkcie inverznej úmernosti sa nazýva hyperbola. Znázornené takto:
Inverzne proporcionálne problémy
Aby to bolo jasnejšie, pozrime sa na niekoľko úloh. Nie sú príliš komplikované a ich riešenie vám pomôže predstaviť si, čo je to inverzná úmernosť a ako môžu byť tieto znalosti užitočné vo vašom každodennom živote.
Úloha číslo 1. Auto sa pohybuje rýchlosťou 60 km/h. Do cieľa mu trvalo 6 hodín. Ako dlho mu bude trvať, kým prejde rovnakú vzdialenosť, ak sa bude pohybovať dvojnásobnou rýchlosťou?
Môžeme začať napísaním vzorca, ktorý popisuje vzťah času, vzdialenosti a rýchlosti: t = S/V. Súhlasím, veľmi nám to pripomína funkciu nepriamej úmernosti. A naznačuje, že čas, ktorý auto strávi na ceste, a rýchlosť, ktorou sa pohybuje, sú nepriamo úmerné.
Aby sme to overili, nájdime V 2, ktorý je podľa stavu 2-krát vyšší: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Potom vypočítame vzdialenosť pomocou vzorca S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz nie je ťažké zistiť čas t 2, ktorý sa od nás požaduje podľa stavu problému: t 2 = 360/120 = 3 hodiny.
Ako vidíte, čas jazdy a rýchlosť sú skutočne nepriamo úmerné: s rýchlosťou 2-krát vyššou ako pôvodná, auto strávi na ceste 2-krát menej času.
Riešenie tohto problému môže byť napísané aj ako pomer. Prečo vytvárame takýto diagram:
↓ 60 km/h – 6 h
↓120 km/h – x h
Šípky označujú inverzný vzťah. Navrhujú to aj pri zostavovaní pomeru pravá strana záznamy musia byť obrátené: 60/120 = x/6. Kde získame x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 hodiny.
Úloha číslo 2. Dielňa zamestnáva 6 pracovníkov, ktorí zvládnu dané množstvo práce za 4 hodiny. Ak sa počet pracovníkov zníži na polovicu, ako dlho bude trvať, kým zostávajúci pracovníci dokončia rovnaký objem práce?
Do formulára napíšeme podmienky problému vizuálna schéma:
↓ 6 pracovníkov – 4 hodiny
↓ 3 pracovníci - x h
Zapíšme si to ako podiel: 6/3 = x/4. A dostaneme x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 hodín. Ak je pracovníkov 2-krát menej, zvyšok strávi 2-krát viac času na dokončenie celej práce.
Úloha číslo 3. Do bazéna vedú dve rúry. Prostredníctvom jedného potrubia vstupuje voda rýchlosťou 2 l / s a naplní bazén za 45 minút. Cez ďalšie potrubie sa bazén napustí za 75 minút. Ako rýchlo vstupuje voda do bazéna cez toto potrubie?
Na začiatok uvedieme všetky nám dané veličiny podľa stavu problému na rovnaké merné jednotky. Na tento účel vyjadrujeme rýchlosť plnenia bazéna v litroch za minútu: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.
Keďže z podmienky vyplýva, že bazén sa cez druhé potrubie napúšťa pomalšie, znamená to, že rýchlosť prítoku vody je nižšia. Na tvári obrátenej úmernosti. Vyjadrime nám neznámu rýchlosť pomocou x a zostavme nasledujúcu schému:
↓ 120 l/min - 45 min
↓ x l/min – 75 min
A potom urobíme pomer: 120 / x \u003d 75/45, odkiaľ x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.
V úlohe je rýchlosť napúšťania bazéna vyjadrená v litroch za sekundu, prinesme našu odpoveď do rovnakého tvaru: 72/60 = 1,2 l/s.
Úloha číslo 4. Vizitky sa tlačia v malej súkromnej tlačiarni. Zamestnanec tlačiarne pracuje rýchlosťou 42 vizitiek za hodinu a pracuje na plný úväzok - 8 hodín. Ak by pracoval rýchlejšie a vytlačil 48 vizitiek za hodinu, o koľko skôr by mohol ísť domov?
Ideme osvedčeným spôsobom a zostavíme schému podľa stavu problému, pričom požadovanú hodnotu označíme ako x:
↓ 42 vizitiek/h – 8 h
↓ 48 vizitiek/h – xh
Pred nami je nepriamo úmerný vzťah: koľkokrát viac vizitiek vytlačí zamestnanec tlačiarne za hodinu, toľko času mu zaberie dokončenie tej istej úlohy. Keď to vieme, môžeme nastaviť pomer:
42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 hodín.
Po dokončení práce za 7 hodín by tak zamestnanec tlačiarne mohol ísť domov o hodinu skôr.
Záver
Zdá sa nám, že tieto problémy s inverznou proporcionalitou sú skutočne jednoduché. Dúfame, že ich tak považujete aj vy. A čo je najdôležitejšie, znalosť nepriamo úmernej závislosti veličín sa vám naozaj môže hodiť viackrát.
Nielen na hodinách matematiky a na skúškach. Ale aj vtedy, keď sa chystáte na výlet, nakupovať, rozhodnúť sa zarobiť si cez prázdniny atď.
Povedzte nám v komentároch, aké príklady inverznej a priamej úmernosti si okolo seba všímate. Nech je to hra. Uvidíte, aké to bude vzrušujúce. Nezabudnite zdieľať tento článok v sociálnych sieťach aby mohli hrať aj vaši kamaráti a spolužiaci.
blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.
Doplnil: Chepkasov Rodion
žiak 6. triedy "B".
MBOU "Stredná škola č. 53"
Barnaul
Hlava: Bulykina O.G.
učiteľ matematiky
MBOU "Stredná škola č. 53"
Barnaul
Úvod. jeden
Vzťahy a proporcie. 3
Priame a spätné proporcionálne závislosti. 4
Aplikácia priamej a nepriamej úmernosti 6
závislosti pri riešení rôznych problémov.
Záver. jedenásť
Literatúra. 12
Úvod.
Slovo proporcia pochádza z latinského slova proporcia, čo vo všeobecnosti znamená úmernosť, rovnomernosť častí (určitý pomer častí k sebe). V staroveku pytagorejci veľmi uznávali doktrínu proporcií. S proporciami spájali myšlienky o poriadku a kráse v prírode, o spoluhláskových akordoch v hudbe a harmónii vo vesmíre. Niektoré typy proporcií nazývali hudobné alebo harmonické.
Už v dávnych dobách človek zistil, že všetky javy v prírode sú navzájom prepojené, že všetko je v neustálom pohybe, mení sa a keď je vyjadrené v číslach, odhaľuje úžasné vzorce.
Pytagoriáni a ich nasledovníci hľadali číselné vyjadrenie pre všetko, čo na svete existuje. Našli; čo matematické pomery sú základom hudby (pomer dĺžky struny k výške tónu, vzťah medzi intervalmi, pomer zvukov v akordoch, ktoré dávajú harmonický zvuk). Pythagorejci sa pokúsili matematicky zdôvodniť myšlienku jednoty sveta, tvrdili, že základ vesmíru je symetrický geometrické tvary. Pytagoriáni hľadali matematické opodstatnenie krásy.
Po pytagorejcoch stredoveký učenec Augustín nazval krásu „numerickou rovnosťou“. Scholastický filozof Bonaventúra napísal: "Neexistuje krása a potešenie bez proporcionality, zatiaľ čo proporcionalita existuje predovšetkým v číslach. Je potrebné, aby všetko bolo vypočítateľné." Leonardo da Vinci o použití proporcie v umení napísal vo svojom pojednaní o maľbe: „Maliar stelesňuje vo forme proporcie tie isté zákony číhajúce v prírode, ktoré vedec pozná vo forme číselného zákona.“
Proporcie sa používali pri riešení rôznych problémov tak v staroveku, ako aj v stredoveku. Niektoré typy problémov sa teraz dajú ľahko a rýchlo vyriešiť pomocou proporcií. Proporcie a proporcionalita sa používali a využívajú nielen v matematike, ale aj v architektúre a umení. Proporcionalita v architektúre a umení znamená zachovanie určitých proporcií medzi veľkosťami. rôzne časti budovy, postavy, sochy alebo iné umelecké diela. Proporcionalita je v takýchto prípadoch podmienkou správnej a peknej konštrukcie a obrazu
Vo svojej práci som sa snažil zvážiť využitie priamych a nepriamych úmerných závislostí v rôznych oblastiach okolitého života, vysledovať súvislosť s akademických predmetov cez úlohy.
Vzťahy a proporcie.
Volá sa podiel dvoch čísel postoj títo čísla.
Ukazuje postoj, koľkokrát je prvé číslo väčšie ako druhé, alebo aká časť je prvé číslo z druhého.
Úloha.
Do predajne bolo privezených 2,4 tony hrušiek a 3,6 tony jabĺk. Akú časť dovážaného ovocia tvoria hrušky?
Riešenie . Zistite, koľko ovocia sa celkovo prinieslo: 2,4 + 3,6 = 6 (t). Aby sme zistili, akú časť prineseného ovocia tvoria hrušky, urobíme pomer 2,4:6 =. Odpoveď možno zapísať aj ako desatinné číslo alebo v percentách: = 0,4 = 40 %.
vzájomne inverzné volal čísla, ktorých súčin sa rovnajú 1. Preto vzťah sa nazýva inverzný vzťah.
Zvážte dva rovnaké pomery: 4,5:3 a 6:4. Dajme medzi ne znamienko rovnosti a získame pomer: 4,5:3=6:4.
Proporcia je rovnosť dvoch vzťahov: a : b =c :d alebo = 
, kde a a d sú extrémne pomery, c a b stredné pojmy(všetky pomery sú nenulové).
Základná vlastnosť proporcie:
v správnom pomere sa súčin extrémnych členov rovná súčinu stredných členov.
Aplikovaním komutatívnej vlastnosti násobenia dostaneme, že v správnom pomere môžete zameniť extrémne členy alebo stredné členy. Výsledné proporcie budú tiež správne.
Pomocou základnej vlastnosti proporcie možno nájsť jej neznámy člen, ak sú známe všetky ostatné členy.
Aby sme našli neznámy extrémny člen podielu, je potrebné vynásobiť stredné členy a vydeliť známym extrémnym členom. x : b = c : d , x = 
Ak chcete nájsť neznámy stredný člen podielu, musíte vynásobiť extrémne členy a vydeliť známym stredným členom. a : b = x : d , x = 
.
Priame a nepriame úmery.
Hodnoty dvoch rôznych veličín môžu navzájom závisieť. Takže plocha štvorca závisí od dĺžky jeho strany a naopak - dĺžka strany štvorca závisí od jeho plochy.
Dve množstvá sa považujú za úmerné, ak sa zvyšujú
(zníženie) jedného z nich niekoľkonásobne, druhé sa zvyšuje (zníži) o rovnakú sumu.
Ak sú dve množstvá priamo úmerné, potom sú pomery zodpovedajúcich hodnôt týchto veličín rovnaké.
Príklad priama úmerná úmernosť .
Na čerpacej stanici 2 litre benzínu vážia 1,6 kg. Koľko budú vážiť 5 litrov benzínu?
Riešenie:
Hmotnosť petroleja je úmerná jeho objemu.
2l - 1,6 kg
5l - x kg
2:5=1,6:x,
x \u003d 5 * 1,6 x \u003d 4
Odpoveď: 4 kg.
Tu zostáva pomer hmotnosti k objemu nezmenený.
Dve veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ak keď sa jedna z nich niekoľkokrát zvýši (zníži), druhá sa o rovnakú hodnotu zníži (zväčší).
Ak sú množstvá nepriamo úmerné, potom sa pomer hodnôt jednej veličiny rovná inverznému pomeru zodpovedajúcich hodnôt druhej veličiny.
P príkladnepriamo úmerný vzťah.
Oba obdĺžniky majú rovnakú plochu. Dĺžka prvého obdĺžnika je 3,6 m a šírka 2,4 m. Dĺžka druhého obdĺžnika je 4,8 m. Nájdite šírku druhého obdĺžnika.
Riešenie:
1 obdĺžnik 3,6 m 2,4 m
2 obdĺžnik 4,8 m x m
3,6 m x m
4,8 m 2,4 m
x \u003d 3,6 * 2,4 \u003d 1,8 m
Odpoveď: 1,8 m.
Ako vidíte, problémy s proporcionálnymi množstvami možno vyriešiť pomocou proporcií.
Nie každé dve veličiny sú priamo úmerné alebo nepriamo úmerné. Napríklad výška dieťaťa sa zvyšuje so zvyšujúcim sa vekom, ale tieto hodnoty nie sú úmerné, pretože keď sa vek zdvojnásobí, výška dieťaťa sa nezdvojnásobí.
Praktické využitie priama a nepriama úmernosť.
Úloha č.1
V školská knižnica 210 učebníc matematiky, čo je 15 % z celkového knižničného fondu. Koľko kníh je v knižnici?
Riešenie:
Celkom učebníc - ? - sto percent
Matematici – 210 – 15 %
15 % z 210 účtov
X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 učebníc
100% x účet. 15
Odpoveď: 1400 učebníc.
Úloha č. 2
Cyklista prejde 75 km za 3 hodiny. Ako dlho potrvá cyklistovi prejsť 125 km rovnakou rýchlosťou?
Riešenie:
3 h – 75 km
H - 125 km
Čas a vzdialenosť sú priamo úmerné, takže
3: x = 75: 125,
x= 
,
x=5.
Odpoveď: 5 hodín.
Úloha č. 3
8 identické potrubia naplňte bazén za 25 minút. Koľko minút bude trvať 10 takýchto rúr na naplnenie bazéna?
Riešenie:
8 rúr - 25 minút
10 rúr - ? minút
Počet rúrok je nepriamo úmerný času, tzv
8:10 = x:25,
x = 
x = 20
Odpoveď: 20 minút.
Úloha č. 4
Tím 8 pracovníkov dokončí úlohu za 15 dní. Koľko pracovníkov dokáže dokončiť úlohu za 10 dní pri rovnakej produktivite?
Riešenie:
8 pracovných - 15 dní
Práca - 10 dní
Počet pracovníkov je nepriamo úmerný počtu dní, tzv
x: 8 = 15: 10,
x= 
,
x=12.
Odpoveď: 12 pracovníkov.
Úloha číslo 5
Z 5,6 kg paradajok sa získajú 2 litre omáčky. Koľko litrov omáčky možno získať z 54 kg paradajok?
Riešenie:
5,6 kg - 2 l
54 kg - ? l
Počet kilogramov paradajok je teda priamo úmerný množstvu získanej omáčky
5,6: 54 = 2: x,
x = 
,
x = 19.
Odpoveď: 19 l.
Úloha číslo 6
Na vykurovanie budovy školy sa uhlie zbieralo 180 dní pri spotrebnej miere
0,6 tony uhlia denne. Koľko dní vydrží táto rezerva, ak sa jej denne spotrebuje 0,5 tony?
Riešenie:
Počet dní
Miera spotreby
Počet dní je nepriamo úmerný miere spotreby uhlia, tzv
180: x = 0,5: 0,6,
x \u003d 180 * 0,6: 0,5,
x = 216.
Odpoveď: 216 dní.
Úloha číslo 7
V Železná ruda 7 dielov železa predstavuje 3 diely nečistôt. Koľko ton nečistôt je v rude, ktorá obsahuje 73,5 tony železa?
Riešenie:
Počet kusov
Hmotnosť
železo
73,5
nečistoty
Počet dielov je priamo úmerný hmotnosti, tzv
7: 73,5 = 3: x.
x \u003d 73,5 * 3: 7,
x = 31,5.
Odpoveď: 31,5 tony
Úloha číslo 8
Auto najazdilo 500 km, pričom spotrebovalo 35 litrov benzínu. Koľko litrov benzínu potrebujete na prejdenie 420 km?
Riešenie:
Vzdialenosť, km
Benzín, l
Vzdialenosť je priamo úmerná spotrebe benzínu, tzv
500 : 35 = 420 : x,
x \u003d 35 * 420: 500,
x = 29,4.
Odpoveď: 29,4 litra
Úloha číslo 9
Za 2 hodiny sme ulovili 12 karasov. Koľko kaprov sa uloví za 3 hodiny?
Riešenie:
Počet karasov nezávisí od času. Tieto množstvá nie sú priamo úmerné ani nepriamo úmerné.
Odpoveď: Neexistuje žiadna odpoveď.
Úloha číslo 10
Ťažobný podnik potrebuje kúpiť 5 nových strojov za určité množstvo peňazí za cenu 12 000 rubľov za jeden. Koľko z týchto áut môže spoločnosť kúpiť, ak cena za jedno auto bude 15 000 rubľov?
Riešenie:
Počet áut, ks.
Cena, tisíc rubľov
Počet áut je nepriamo úmerný nákladom, tzv
5:x=15:12,
x= 5*12:15,
x=4.
Odpoveď: 4 autá.
Úloha číslo 11
V meste N na námestí P je obchod, ktorého majiteľ je taký prísny, že za meškanie za 1 meškanie denne strháva zo mzdy 70 rubľov. Dve dievčatá Yulia a Natasha pracujú v jednom oddelení. ich mzda závisí od počtu pracovných dní. Júlia dostala 4100 rubľov za 20 dní a Natasha mala dostať viac za 21 dní, no meškala 3 dni po sebe. Koľko rubľov dostane Natasha?
Riešenie:
Pracovný deň
Plat, rub.
Julia
4100
Nataša
Mzda je teda priamo úmerná počtu pracovných dní
20: 21 = 4100: x,
x= 4305.
4305 rub. Natasha by mala.
4305 - 3 * 70 = 4095 (rub.)
Odpoveď: Natasha dostane 4095 rubľov.
Úloha číslo 12
Vzdialenosť medzi dvoma mestami na mape je 6 cm. Nájdite vzdialenosť medzi týmito mestami na zemi, ak je mierka mapy 1: 250 000.
Riešenie:
Označme vzdialenosť medzi mestami na zemi cez x (v centimetroch) a nájdime pomer dĺžky segmentu na mape k vzdialenosti na zemi, ktorá sa bude rovnať mierke mapy: 6: x \ u003d 1: 250 000,
x \u003d 6 * 250 000,
x = 1500000.
1500000 cm = 15 km
Odpoveď: 15 km.
Úloha číslo 13
4000 g roztoku obsahuje 80 g soli. Aká je koncentrácia soli v tomto roztoku?
Riešenie:
Hmotnosť, g
Koncentrácia, %
Riešenie
4000
Soľ
4 000 : 80 = 100 : x,
x = 
,
x = 2.
Odpoveď: Koncentrácia soli je 2%.
Úloha číslo 14
Banka poskytuje úver vo výške 10% ročne. Dostali ste pôžičku 50 000 rubľov. Koľko musíte vrátiť banke za rok?
Riešenie:
50 000 rubľov.
100%
x trieť.
50 000: x = 100: 10,
x= 50000*10:100,
x=5000.
5000 rubľov. je 10 %.
50 000 + 5 000 = 55 000 (rubľov)
Odpoveď: za rok sa banke vráti 55 000 rubľov.
Záver.
Ako môžeme vidieť z vyššie uvedených príkladov, priame a nepriame úmerné vzťahy sú použiteľné v rôznych oblastiach života:
ekonomika,
obchod,
vo výrobe a priemysle,
varenie,
Stavebníctvo a architektúra.
šport,
chov zvierat,
topografia,
fyzici,
Chémia atď.
V ruštine existujú aj príslovia a príslovia, ktoré vytvárajú priame a inverzné vzťahy:
Ako to príde, tak to bude reagovať.
Čím vyšší je peň, tým vyšší je tieň.
Čím viac ľudí, tým menej kyslíka.
A pripravený, áno hlúpo.
Matematika je jednou z najstarších vied, vznikla na základe potrieb a potrieb ľudstva. Prešli históriou formácie od r Staroveké Grécko, stále zostáva relevantné a potrebné v Každodenný život nejaký človek. Koncept priamej a nepriamej úmernosti je známy už od staroveku, pretože práve zákony proporcie hýbali architektmi pri akejkoľvek stavbe alebo tvorbe akejkoľvek sochy.
Znalosť proporcií je široko využívaná vo všetkých sférach ľudského života a činnosti - nezaobíde sa bez nich pri maľovaní obrazov (krajiny, zátišia, portréty a pod.), sú rozšírené aj medzi architektmi a inžiniermi - vo všeobecnosti je to ťažké predstaviť si stvorenie čohokoľvek bez použitia vedomostí o proporciách a ich vzťahu.
Literatúra.
Matematika-6, NY Vilenkin a ďalší.
Algebra -7, G.V. Dorofeev a ďalší.
Matematika-9, GIA-9, editoval F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov
Matematika-6, didaktické materiály, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov
Úlohy z matematiky pre 4. až 5. ročník, I. V. Baranová a kol., M. "Osvietenie" 1988
Zbierka úloh a príkladov z matematiky ročník 5-6, N.A. Tereshin,
T.N. Tereshina, M. "Akvárium" 1997
Príklad
1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 atď.Faktor proporcionality
Konštantný pomer úmerných veličín je tzv koeficient proporcionality. Koeficient proporcionality ukazuje, koľko jednotiek jednej veličiny pripadá na jednotku druhej.
Priama úmernosť
Priama úmernosť- funkčná závislosť, pri ktorej nejaká veličina závisí od inej veličiny tak, že ich pomer zostáva konštantný. Inými slovami, tieto premenné sa menia úmerne, rovnakým dielom, to znamená, že ak sa argument zmenil dvakrát v akomkoľvek smere, potom sa funkcia tiež zmení dvakrát v rovnakom smere.
Matematicky je priama úmernosť napísaná ako vzorec:
f(X) = aX,a = const
Inverzná úmernosť
Obrátený pomer- ide o funkčnú závislosť, pri ktorej zvýšenie nezávislej hodnoty (argumentu) spôsobí úmerný pokles závislej hodnoty (funkcie).
Matematicky je inverzná úmernosť napísaná ako vzorec:
Vlastnosti funkcie:
Zdroje
Nadácia Wikimedia. 2010.
Základné ciele:
- zaviesť pojem priamej a nepriamo úmernej závislosti veličín;
- naučiť, ako riešiť problémy pomocou týchto závislostí;
- podporovať rozvoj zručností pri riešení problémov;
- upevniť zručnosť riešenia rovníc pomocou proporcií;
- opakujte kroky s obyčajným a desatinné miesta;
- rozvíjať logické myslenieštudentov.
POČAS VYUČOVANIA
ja Sebaurčenie k činnosti(čas organizácie)
- Chlapci! Dnes sa v lekcii zoznámime s problémami vyriešenými pomocou proporcií.
II. Aktualizácia vedomostí a odstránenie ťažkostí v činnostiach
2.1. ústna práca (3 min)
- Nájdite význam výrazov a zistite slovo zašifrované v odpovediach.
14 - s; 0,1 - a; 7 - 1; 0,2 - a; 17 - palcov; 25 - až
- Vyšlo slovo - sila. Výborne!
- Motto našej dnešnej hodiny: Sila je vo vedomostiach! Hľadám – tak sa učím!
- Z výsledných čísel urobte pomernú časť. (14:7=0,2:0,1 atď.)
2.2. Zvážte vzťah medzi známymi veličinami (7 min)
- dráha, ktorú auto prejde konštantnou rýchlosťou, a čas jeho pohybu: S = v t( so zvýšením rýchlosti (času) sa dráha zvyšuje;
- rýchlosť auta a čas strávený na ceste: v=S:t(s predĺžením času na prejdenie cesty sa rýchlosť znižuje);
–
cena tovaru zakúpeného za jednu cenu a jeho množstvo:
C \u003d a n (so zvýšením (znížením) ceny sa náklady na nákup zvyšujú (klesajú);
- cena produktu a jeho množstvo: a \u003d C: n (so zvýšením množstva sa cena znižuje)
- plocha obdĺžnika a jeho dĺžka (šírka): S = a · b (s rastúcou dĺžkou (šírkou) sa plocha zväčšuje;
- dĺžka a šírka obdĺžnika: a = S: b (so zväčšením dĺžky sa šírka zmenšuje;
- počet pracovníkov vykonávajúcich určitú prácu s rovnakou produktivitou práce a čas potrebný na dokončenie tejto práce: t \u003d A: n (s nárastom počtu pracovníkov sa čas strávený vykonávaním práce znižuje), atď.
Získali sme závislosti, v ktorých pri niekoľkonásobnom zvýšení jednej hodnoty sa iná okamžite zvýši o rovnakú hodnotu (príklady znázornené šípkami) a závislosti, v ktorých pri niekoľkonásobnom zvýšení jednej hodnoty druhá hodnota klesne o rovnaký počet krát.
Takéto vzťahy sa nazývajú priame a nepriame úmery.
Priamo úmerná závislosť- závislosť, pri ktorej pri niekoľkonásobnom zvýšení (znížení) jednej hodnoty sa druhá hodnota zvýši (zníži) o rovnakú hodnotu.
Inverzne proporcionálny vzťah- závislosť, pri ktorej pri niekoľkonásobnom zvýšení (znížení) jednej hodnoty druhá hodnota o rovnakú hodnotu klesá (rastie).
III. Vyhlásenie učebnej úlohy
Aký je problém, ktorému čelíme? (Naučte sa rozlišovať medzi rovnými čiarami a reverzné závislosti)
- Toto - účel naša lekcia. Teraz formulujte tému lekciu. (Priama a nepriama úmernosť).
- Výborne! Napíšte si do zošitov tému hodiny. (Učiteľ napíše tému na tabuľu.)
IV. „Objavovanie“ nových poznatkov(10 min)
Poďme analyzovať problémy číslo 199.
1. Tlačiareň vytlačí 27 strán za 4,5 minúty. Ako dlho bude trvať tlač 300 strán?
27 strán - 4,5 min.
300 strán - x?
2. V krabičke je 48 balení čaju po 250 g. Koľko balení po 150g vyjde z tohto čaju?
48 balení - 250 g.
X? - 150 g.
3. Auto najazdilo 310 km, pričom minulo 25 litrov benzínu. Ako ďaleko prejde auto na plnú nádrž 40 litrov?
310 km - 25 l
X? – 40 l
4. Jedno z ozubených kolies spojky má 32 zubov a druhé 40. Koľko otáčok vykoná druhý prevodový stupeň, kým prvý vykoná 215 otáčok?
32 zubov - 315 ot./min
40 zubov - x?
Na zostavenie pomeru je potrebný jeden smer šípok, preto sa v obrátenom pomere jeden pomer nahradí opačným.
Pri tabuli žiaci zistia hodnotu veličín, v teréne žiaci riešia jednu úlohu podľa vlastného výberu.
– Formulovať pravidlo na riešenie problémov s priamou a nepriamou úmernosťou.
Na tabuli sa objaví tabuľka:
V. Primárna konsolidácia vo vonkajšej reči(10 min)
Úlohy na listoch:
- Z 21 kg bavlníkových semien sa získalo 5,1 kg oleja. Koľko oleja sa získa zo 7 kg bavlníkových semien?
- Kvôli výstavbe štadióna 5 buldozérov vyčistilo miesto za 210 minút. Ako dlho by trvalo 7 buldozérov vyčistiť túto oblasť?
VI. Samostatná práca s autotestom podľa normy(5 minút)
Úlohy č. 225 plnia dvaja žiaci samostatne na skryté dosky a zvyšok v zošitoch. Potom skontrolujú prácu podľa algoritmu a porovnajú ju s riešením na tabuli. Chyby sú opravené, ich príčiny sú objasnené. Ak je úloha dokončená, vpravo, potom vedľa študentov umiestnite znamienko „+“.
Študenti, ktorí robia chyby v samostatnej práci, môžu využiť konzultantov.
VII. Zaradenie do systému vedomostí a opakovanie№ 271, № 270.
Pri tabuli pracuje šesť ľudí. Po 3-4 minútach žiaci, ktorí pracovali pri tabuli, prezentujú svoje riešenia a ostatní kontrolujú úlohy a zapájajú sa do ich diskusie.
VIII. Reflexia aktivity (výsledok hodiny)
- Čo nové ste sa naučili na lekcii?
- Čo si opakoval?
Aký je algoritmus na riešenie problémov proporcií?
Dosiahli sme svoj cieľ?
- Ako hodnotíte svoju prácu?
§ 129. Predbežné objasnenia.
Človek sa neustále zaoberá najrôznejšími veličinami. Zamestnanec a robotník sa snažia dostať do služby, do práce v určitom čase, chodec sa ponáhľa na určité miesto najkratšou cestou, topič parný ohrev obavy, že teplota v kotle pomaly stúpa, obchodný manažér robí plány na zlacnenie výroby atď.
Takýchto príkladov by sa dalo uviesť ľubovoľné množstvo. Čas, vzdialenosť, teplota, náklady – to všetko sú rôzne veličiny. V prvej a druhej časti tejto knihy sme sa zoznámili s niektorými obzvlášť bežnými veličinami: plocha, objem, hmotnosť. S mnohými veličinami sa stretávame pri štúdiu fyziky a iných vied.
Predstavte si, že ste vo vlaku. Z času na čas sa pozriete na hodinky a všimnete si, ako dlho ste už na ceste. Hovoríte napríklad, že od odchodu vášho vlaku uplynulo 2, 3, 5, 10, 15 hodín atď.. Tieto čísla označujú rôzne časové úseky; nazývajú sa hodnotami tejto veličiny (čas). Alebo sa pozriete z okna a budete sledovať cestné stĺpy na vzdialenosť, ktorú váš vlak prejde. Pred vami blikajú čísla 110, 111, 112, 113, 114 km. Tieto čísla označujú rôzne vzdialenosti, ktoré vlak prešiel od miesta odchodu. Nazývajú sa aj hodnoty, tentoraz s inou hodnotou (cesta alebo vzdialenosť medzi dvoma bodmi). Jedna hodnota, napríklad čas, vzdialenosť, teplota, teda môže nadobudnúť ľubovoľnú rôzne významy.
Venujte pozornosť tomu, že človek takmer nikdy nezvažuje iba jednu hodnotu, ale vždy ju spája s niektorými inými hodnotami. Musí sa súčasne zaoberať dvomi, tromi a viacerými veličinami. Predstavte si, že potrebujete prísť do školy o deviatej. Pozriete sa na hodinky a uvidíte, že máte 20 minút. Potom sa rýchlo rozhodnete, či pôjdete električkou, alebo stihnete prejsť do školy pešo. Po premýšľaní sa rozhodnete kráčať. Všimnite si, že v čase, keď ste premýšľali, ste riešili nejaký problém. Táto úloha sa stala jednoduchou a známou, keďže takéto problémy riešite každý deň. V ňom ste rýchlo porovnali viacero hodnôt. Boli ste to vy, kto sa pozrel na hodiny, čo znamená, že ste vzali do úvahy čas, potom ste si v duchu predstavili vzdialenosť z domu do školy; nakoniec ste porovnali dve veličiny: rýchlosť vášho kroku a rýchlosť električky a dospeli ste k záveru, že za daný čas (20 minút) stihnete prejsť. Odtiaľto jednoduchý príklad vidíte, že v našej praxi sú niektoré veličiny vzájomne prepojené, teda navzájom závislé
V dvanástej kapitole sa hovorilo o pomere homogénnych veličín. Napríklad, ak je jeden segment 12 m a druhý 4 m, potom bude pomer týchto segmentov 12: 4.
Povedali sme, že je to pomer dvoch homogénnych veličín. Inými slovami, je to pomer dvoch čísel jedno meno.
Teraz, keď sme sa bližšie zoznámili s veličinami a zaviedli sme pojem hodnoty veličiny, môžeme definíciu vzťahu uviesť novým spôsobom. V skutočnosti, keď sme zvažovali dva segmenty 12 m a 4 m, hovorili sme o jednej hodnote - dĺžke a 12 m a 4 m - to boli len dva rôzne významy túto hodnotu.
Preto v budúcnosti, keď začneme hovoriť o pomere, budeme brať do úvahy dve hodnoty jednej z niektorých veličín a pomer jednej hodnoty množstva k inej hodnote toho istého množstva sa bude nazývať kvocient delenia. prvá hodnota druhou.
§ 130. Množstvá sú priamo úmerné.
Zvážte problém, ktorého stav zahŕňa dve veličiny: vzdialenosť a čas.
Úloha 1. Teleso sa pohybuje po priamke a rovnomerne prejde 12 cm za sekundu Určte dráhu, ktorú teleso prejde za 2, 3, 4, ..., 10 sekúnd.
Urobme si tabuľku, pomocou ktorej by bolo možné sledovať zmenu času a vzdialenosti.
Tabuľka nám dáva možnosť porovnať tieto dva rady hodnôt. Vidíme z toho, že keď sa hodnoty prvej veličiny (času) postupne zvýšia 2, 3, ..., 10-krát, potom sa hodnoty druhej veličiny (vzdialenosti) tiež zvýšia o 2, 3, ..., 10 krát. Keď sa teda hodnoty jednej veličiny zvýšia niekoľkokrát, hodnoty inej veličiny sa zvýšia o rovnakú hodnotu, a keď sa hodnoty jednej veličiny niekoľkokrát znížia, hodnoty druhej veličiny sa znížia o rovnaké množstvo.
Uvažujme teraz o probléme, ktorý zahŕňa dve takéto veličiny: množstvo hmoty a jej cenu.
Úloha 2. 15 m látky stojí 120 rubľov. Vypočítajte cenu tejto tkaniny pre niekoľko ďalších množstiev metrov uvedených v tabuľke.
Z tejto tabuľky vidíme, ako postupne rastie hodnota komodity v závislosti od nárastu jej množstva. Napriek tomu, že sa v tomto probléme objavujú úplne iné veličiny (v prvom probléme - čas a vzdialenosť a tu - množstvo tovaru a jeho náklady), predsa len možno nájsť v správaní týchto veličín veľkú podobnosť.
V hornom riadku tabuľky sú totiž čísla označujúce počet metrov látky, pod každým je napísané číslo vyjadrujúce náklady na zodpovedajúce množstvo tovaru. Už letmý pohľad na túto tabuľku ukazuje, že čísla v hornom aj dolnom riadku sa zvyšujú; pri bližšom skúmaní tabuľky a pri porovnaní jednotlivých stĺpcov sa ukazuje, že vo všetkých prípadoch sa hodnoty druhej veličiny zvýšia o rovnaký faktor ako hodnoty prvej veličiny, teda ak hodnota prvej veličiny sa zvýšila povedzme 10-krát, potom sa hodnota druhej hodnoty tiež zvýšila 10-krát.
Ak naskenujeme tabuľku sprava doľava, zistíme to uvedené hodnoty hodnoty sa znížia rovnaké číslo raz. V tomto zmysle existuje bezpodmienečná podobnosť medzi prvou a druhou úlohou.
Dvojice veličín, s ktorými sme sa stretli v prvej a druhej úlohe, sa nazývajú priamo úmerné.
Ak sú teda dve veličiny prepojené tak, že s niekoľkonásobným zvýšením (poklesom) hodnoty jednej z nich sa o rovnakú hodnotu zvýši (zníži) hodnota druhej, potom sa takéto veličiny nazývajú priamo úmerné.
O takých veličinách hovoria aj to, že sú navzájom prepojené priamo úmernou závislosťou.
V prírode a v živote okolo nás je takýchto množstiev veľa. Tu je niekoľko príkladov:
1. čas práca (deň, dva dni, tri dni atď.) a zárobky dostávali v tomto čase za dennú mzdu.
2. Objem akýkoľvek predmet vyrobený z homogénneho materiálu a hmotnosť táto položka.
§ 131. Vlastnosť priamoúmerných veličín.
Zoberme si problém, ktorý zahŕňa nasledujúce dve veličiny: pracovný čas a zárobky. Ak je denný zárobok 20 rubľov, potom zárobok za 2 dni bude 40 rubľov atď. Najvýhodnejšie je urobiť tabuľku, v ktorej určitý počet dni budú zodpovedať určitému zárobku.
Pri pohľade na túto tabuľku vidíme, že obe veličiny nadobudli 10 rôznych hodnôt. Každá hodnota prvej hodnoty zodpovedá určitej hodnote druhej hodnoty, napríklad 40 rubľov zodpovedá 2 dňom; 5 dní zodpovedá 100 rubľov. V tabuľke sú tieto čísla zapísané pod sebou.
Už vieme, že ak sú dve veličiny priamo úmerné, tak každá z nich sa v procese svojej zmeny zväčší o rovnakú hodnotu, ako sa zväčší druhá. Okamžite z toho vyplýva: ak vezmeme pomer akýchkoľvek dvoch hodnôt prvého množstva, potom sa bude rovnať pomeru dvoch zodpovedajúcich hodnôt druhého množstva. Naozaj:
Prečo sa to deje? Ale pretože tieto hodnoty sú priamo úmerné, to znamená, že keď sa jedna z nich (čas) zvýšila 3-krát, potom sa druhá (zárobky) zvýšila 3-krát.
Dospeli sme teda k nasledovnému záveru: ak vezmeme akékoľvek dve hodnoty prvej veľkosti a vydelíme ich jednu druhou a potom vydelíme jednu druhou zodpovedajúcou hodnotou druhej veľkosti, potom v oboch prípadoch dostaneme jedno a to isté číslo, teda rovnaký vzťah. To znamená, že dva vzťahy, ktoré sme napísali vyššie, môžeme spojiť znakom rovnosti, t.j.
Niet pochýb o tom, že ak by sme nebrali tieto vzťahy, ale iné, a v nesprávnom poradí, ale v opačnom smere, získali by sme aj rovnosť vzťahov. Skutočne zvážime hodnoty našich množstiev zľava doprava a vezmeme tretiu a deviatu hodnotu:
60:180 = 1 / 3 .
Takže môžeme napísať:
Z toho vyplýva nasledujúci záver: ak sú dve veličiny priamo úmerné, potom sa pomer dvoch ľubovoľne prijatých hodnôt prvej veličiny rovná pomeru dvoch zodpovedajúcich hodnôt druhej veličiny.
§ 132. Vzorec priamej úmernosti.
Urobme si tabuľku nákladov na rôzne množstvá sladkostí, ak 1 kg z nich stojí 10,4 rubľov.
Teraz to urobme takto. Vezmime ľubovoľné číslo druhého radu a vydelíme ho zodpovedajúcim číslom prvého radu. Napríklad:
Vidíte, že v kvociente sa získava stále to isté číslo. Preto je pre danú dvojicu priamo úmerných veličín podiel delenia ľubovoľnej hodnoty jednej veličiny zodpovedajúcou hodnotou inej veličiny konštantné číslo (teda nemení sa). V našom príklade je tento kvocient 10,4. Toto konštantné číslo sa nazýva faktor proporcionality. V tento prípad vyjadruje cenu mernej jednotky, teda jedného kilogramu tovaru.
Ako nájsť alebo vypočítať faktor proporcionality? Aby ste to dosiahli, musíte vziať akúkoľvek hodnotu jednej veličiny a vydeliť ju zodpovedajúcou hodnotou inej.
Označme túto ľubovoľnú hodnotu jednej veličiny písmenom pri , a zodpovedajúca hodnota inej veličiny - písm X , potom koeficient proporcionality (označujeme ho TO) nájdite delením:
V tejto rovnosti pri - deliteľný X - rozdeľovač a TO- podiel, a keďže podľa vlastnosti delenia sa dividenda rovná deliteľovi vynásobenému podielom, môžeme napísať:
y= K X
Výsledná rovnosť je tzv vzorec priamej úmernosti. Pomocou tohto vzorca môžeme vypočítať ľubovoľný počet hodnôt jednej z priamo úmerných veličín, ak poznáme zodpovedajúce hodnoty druhej veličiny a koeficient úmernosti.
Príklad. Z fyziky vieme, že váha R akéhokoľvek telesa sa rovná jeho špecifickej hmotnosti d vynásobený objemom tohto telesa V, t.j. R = d V.
Vezmite päť ingotov železa rôznych veľkostí; vediac špecifická hmotnosťželezo (7,8), môžeme vypočítať hmotnosti týchto polotovarov pomocou vzorca:
R = 7,8 V.
Porovnanie tohto vzorca so vzorcom pri = TO X , to vidíme y= R, x = V a koeficient proporcionality TO= 7,8. Vzorec je rovnaký, iba písmená sú iné.
Pomocou tohto vzorca urobme tabuľku: objem prvého polotovaru nech je 8 metrov kubických. cm, potom je jeho hmotnosť 7,8 8 \u003d 62,4 (g). Objem 2. prírezu je 27 metrov kubických. cm. Jeho hmotnosť je 7,8 27 \u003d 210,6 (g). Tabuľka bude vyzerať takto:
Čísla, ktoré chýbajú v tejto tabuľke, vypočítajte sami pomocou vzorca R= d V.
§ 133. Iné spôsoby riešenia úloh s priamo úmernými veličinami.
V predchádzajúcom odseku sme riešili problém, ktorého podmienka zahŕňala priamo úmerné veličiny. Na tento účel sme predtým odvodili vzorec priamej úmernosti a potom sme tento vzorec použili. Teraz si ukážeme dva ďalšie spôsoby riešenia podobných problémov.
Urobme si problém podľa číselných údajov uvedených v tabuľke predchádzajúceho odseku.
Úloha. Blank s objemom 8 metrov kubických. cm váži 62,4 g Koľko bude vážiť prírez s objemom 64 metrov kubických? cm?
Riešenie. Hmotnosť železa, ako viete, je úmerná jeho objemu. Ak 8 cu. cm váži 62,4 g, potom 1 cu. cm bude vážiť 8x menej, t.j.
62,4 : 8 = 7,8 (g).
Prírez s objemom 64 metrov kubických. cm bude vážiť 64-krát viac ako polotovar s objemom 1 cu. cm, t.j.
7,8 64 = 499,2 (g).
Náš problém sme vyriešili zredukovaním na jednotu. Význam tohto názvu je odôvodnený tým, že na jeho vyriešenie sme v prvej otázke museli nájsť hmotnosť jednotky objemu.
2. Spôsob proporcie. Vyriešme rovnaký problém pomocou proporčnej metódy.
Keďže hmotnosť železa a jeho objem sú priamo úmerné veličiny, pomer dvoch hodnôt jednej veličiny (objemu) sa rovná pomeru dvoch zodpovedajúcich hodnôt inej veličiny (hmotnosti), t.j.
(list R označili sme neznámu hmotnosť polotovaru). Odtiaľ:
(G).
Problém je vyriešený metódou proporcií. To znamená, že na jeho vyriešenie bola časť tvorená číslami zahrnutými v podmienke.
§ 134. Množstvá sú nepriamo úmerné.
Zvážte nasledujúci problém: „Päť murárov môže pridať tehlové steny doma za 168 dní. Určte, za koľko dní by 10, 8, 6 atď. murári mohli vykonávať rovnakú prácu.
Ak by 5 murárov zložilo múry domu za 168 dní, tak by to (pri rovnakej produktivite práce) 10 murárov zvládlo dvakrát rýchlejšie, keďže v priemere 10 ľudí urobí dvakrát toľko práce ako 5 ľudí.
Urobme si tabuľku, podľa ktorej by bolo možné sledovať zmenu počtu pracovných hodín a pracovných hodín.
Ak chcete napríklad zistiť, koľko dní to potrebuje 6 pracovníkov, musíte najskôr vypočítať, koľko dní to potrebuje jeden pracovník (168 5 = 840) a potom šesť pracovníkov (840: 6 = 140). Pri pohľade na túto tabuľku vidíme, že obe veličiny nadobudli šesť rôznych hodnôt. Každá hodnota prvej veličiny zodpovedá určitejšie; hodnota druhej hodnoty, napríklad 10 zodpovedá 84, číslo 8 - číslo 105 atď.
Ak vezmeme do úvahy hodnoty oboch hodnôt zľava doprava, uvidíme, že hodnoty hornej hodnoty sa zvyšujú a hodnoty dolnej hodnoty klesajú. Na zvýšenie a zníženie sa vzťahuje nasledujúci zákon: hodnoty počtu pracovníkov sa zvyšujú toľkokrát, koľkokrát klesajú hodnoty stráveného pracovného času. Ešte jednoduchšie možno túto myšlienku vyjadriť takto: čím viac pracovníkov je zamestnaných v akomkoľvek podniku, tým menej času potrebujú na dokončenie určitú prácu. Dve veličiny, s ktorými sme sa stretli v tomto probléme, sa nazývajú nepriamo úmerné.
Ak sú teda dve veličiny prepojené tak, že s niekoľkonásobným zvýšením (poklesom) hodnoty jednej z nich sa o rovnakú hodnotu zníži (zvýši) hodnota druhej, potom sa takéto veličiny nazývajú nepriamo úmerné.
Takých vecí je v živote veľa. Uveďme si príklady.
1. Ak za 150 rubľov. musíte si kúpiť niekoľko kilogramov sladkostí, potom bude počet sladkostí závisieť od ceny jedného kilogramu. Čím vyššia cena, tým menej tovaru sa dá za tieto peniaze kúpiť; to vidno z tabuľky:
S niekoľkonásobným zvýšením ceny sladkostí sa o rovnakú sumu zníži počet kilogramov sladkostí, ktoré sa dajú kúpiť za 150 rubľov. V tomto prípade sú tieto dve veličiny (váha produktu a jeho cena) nepriamo úmerné.
2. Ak je vzdialenosť medzi dvoma mestami 1 200 km, potom sa dá prejsť v rôzne časy v závislosti od rýchlosti pohybu. existuje rôzne cesty doprava: pešo, na koni, na bicykli, loďou, autom, vlakom, lietadlom. Čím nižšia je rýchlosť, tým viac času trvá pohyb. Toto je možné vidieť z tabuľky:
S niekoľkonásobným zvýšením rýchlosti sa čas pohybu zníži o rovnakú hodnotu. Za daných podmienok sú teda rýchlosť a čas nepriamo úmerné.
§ 135. Vlastnosť nepriamo úmerných veličín.
Zoberme si druhý príklad, o ktorom sme uvažovali v predchádzajúcom odseku. Tam sme riešili dve veličiny – rýchlosť pohybu a čas. Ak vezmeme do úvahy hodnoty týchto veličín zľava doprava v tabuľke, uvidíme, že hodnoty prvej veličiny (rýchlosti) sa zvyšujú a hodnoty druhej (času) klesajú a rýchlosť sa zvyšuje rovnakým faktorom, ako sa znižuje čas. Je ľahké pochopiť, že ak napíšete pomer akýchkoľvek hodnôt jednej veličiny, nebude sa rovnať pomeru zodpovedajúcich hodnôt inej veličiny. V skutočnosti, ak vezmeme pomer štvrtej hodnoty hornej hodnoty k siedmej hodnote (40: 80), nebude sa rovnať pomeru štvrtej a siedmej hodnoty spodnej hodnoty (30: 15 ). Dá sa to napísať takto:
40:80 sa nerovná 30:15 alebo 40:80 =/= 30:15.
Ale ak namiesto jedného z týchto pomerov vezmeme opak, potom dostaneme rovnosť, t.j. z týchto pomerov bude možné vytvoriť pomer. Napríklad:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Na základe vyššie uvedeného môžeme vyvodiť nasledujúci záver: ak sú dve veličiny nepriamo úmerné, potom sa pomer dvoch ľubovoľne prijatých hodnôt jednej veličiny rovná inverznému pomeru zodpovedajúcich hodnôt druhej veličiny.
§ 136. Vzorec obrátenej úmernosti.
Zvážte problém: „Je tu 6 kusov hodvábnej látky rôzne veľkosti a rôzne odrody. Všetky kusy sú za rovnakú cenu. V jednom kuse 100 m látky za cenu 20 rubľov. na meter. Koľko metrov je v každom zo zostávajúcich piatich kusov, ak meter látky v týchto kusoch stojí 25, 40, 50, 80, 100 rubľov? Na vyriešenie tohto problému vytvoríme tabuľku:
Musíme vyplniť prázdne bunky v hornom riadku tejto tabuľky. Skúsme najprv určiť, koľko metrov je v druhom kuse. Dá sa to urobiť nasledujúcim spôsobom. Zo stavu problému je známe, že cena všetkých kusov je rovnaká. Náklady na prvý kus je ľahké určiť: má 100 m a každý meter stojí 20 rubľov, čo znamená, že v prvom kuse hodvábu za 2 000 rubľov. Keďže druhý kus hodvábu obsahuje rovnaký počet rubľov, potom sa delí 2 000 rubľov. pri cene jedného metra, teda pri 25, zistíme hodnotu druhého kusu: 2 000 : 25 = 80 (m). Rovnakým spôsobom zistíme veľkosť všetkých ostatných kusov. Tabuľka bude vyzerať takto:
Je ľahké vidieť, že medzi počtom metrov a cenou existuje inverzný vzťah.
Ak si potrebné výpočty urobíte sami, všimnete si, že zakaždým musíte deliť číslo 2 000 cenou 1 m. Naopak, ak teraz začnete násobiť veľkosť kusu v metroch cenou 1 m, vždy dostane číslo 2 000. a dalo sa to očakávať, keďže každý kus stojí 2 000 rubľov.
Z toho môžeme vyvodiť nasledujúci záver: pre danú dvojicu nepriamo úmerných veličín je súčin akejkoľvek hodnoty jednej veličiny so zodpovedajúcou hodnotou inej veličiny konštantné číslo (teda nemeniace sa).
V našom probléme je tento súčin rovný 2 000. Skontrolujte, či v predchádzajúcom probléme, ktorý hovoril o rýchlosti pohybu a čase potrebnom na presun z jedného mesta do druhého, bolo pre daný problém tiež konštantné číslo (1 200).
Ak vezmeme do úvahy všetko, čo bolo povedané, je ľahké odvodiť vzorec inverznej úmernosti. Označte nejakú hodnotu jednej veličiny písmenom X , a zodpovedajúca hodnota inej hodnoty - písmeno pri . Potom na základe vyššie uvedenej práce X na pri sa musí rovnať nejakej konštantnej hodnote, ktorú označujeme písmenom TO, t.j.
x y = TO.
V tejto rovnosti X - multiplikátor, pri - multiplikátor a K- práca. Podľa vlastnosti násobenia sa multiplikátor rovná súčinu deleného násobiteľom. znamená,
Toto je vzorec inverznej proporcionality. Pomocou neho môžeme vypočítať ľubovoľný počet hodnôt jednej z nepriamo úmerných veličín, pričom poznáme hodnoty druhej a konštantné číslo TO.
Zamyslite sa nad ďalším problémom: „Autor jednej eseje vypočítal, že keby bola jeho kniha v bežnom formáte, mala by 96 strán, ale keby bola vreckového, mala by 300 strán. Skúsil rôzne varianty, začal s 96 stranami a potom dostal 2 500 písmen na stranu. Potom vzal počet strán uvedený v tabuľke nižšie a znova vypočítal, koľko písmen bude na stránke.
Skúsme si spočítať, koľko písmen bude na jednej strane, ak má kniha 100 strán.
V celej knihe je 240 000 písmen, keďže 2 500 96 = 240 000.
Berúc do úvahy túto skutočnosť, používame vzorec inverznej úmernosti ( pri - počet písmen na stranu X - počet strán):
V našom príklade TO= 240 000, teda
Na stránke je teda 2 400 písmen.
Podobne sa dozvieme, že ak má kniha 120 strán, počet písmen na strane bude:
Naša tabuľka bude vyzerať takto:
Doplňte zvyšok buniek sami.
§ 137. Iné spôsoby riešenia úloh s nepriamo úmernými veličinami.
V predchádzajúcom odseku sme riešili problémy, ktoré obsahovali nepriamo úmerné veličiny. Predtým sme odvodili vzorec inverznej úmernosti a potom sme tento vzorec použili. Teraz si ukážeme dva ďalšie spôsoby riešenia takýchto problémov.
1. Metóda redukcie na jednotu.
Úloha. 5 sústružníkov zvládne nejakú prácu za 16 dní. Za koľko dní zvládne túto prácu 8 sústružníkov?
Riešenie. Medzi počtom sústružníkov a pracovným časom existuje inverzný vzťah. Ak prácu vykoná 5 sústružníkov za 16 dní, tak na to bude jeden človek potrebovať 5x viac času, t.j.
5 sústružníkov vykoná prácu za 16 dní,
1 sústružník to zvládne za 16 5 = 80 dní.
Problém sa pýta, za koľko dní dokončí prácu 8 sústružníkov. Je zrejmé, že prácu urobia 8-krát rýchlejšie ako 1 sústružník, t.j
80 : 8 = 10 (dni).
Toto je riešenie problému metódou redukcie na jednotu. Tu bolo v prvom rade potrebné určiť čas na výkon práce jedným pracovníkom.
2. Spôsob proporcie. Vyriešme ten istý problém druhým spôsobom.
Keďže medzi počtom robotníkov a pracovným časom existuje inverzný vzťah, môžeme napísať: trvanie práce 5 sústružníkov nový počet sústružníkov (8) trvanie práce 8 sústružníkov predchádzajúci počet sústružníkov (5 ) Označme požadované trvanie práce písmenom X a nahradiť v pomere vyjadrenom slovami, potrebné čísla:
Rovnaký problém je vyriešený metódou proporcií. Aby sme to vyriešili, museli sme urobiť pomernú časť čísel zahrnutých v podmienke problému.
Poznámka. V predchádzajúcich odsekoch sme sa zaoberali otázkou priamej a nepriamej úmernosti. Príroda a život nám dáva mnoho príkladov priamej a nepriamej úmernosti veličín. Treba si však uvedomiť, že tieto dva typy závislosti sú len tie najjednoduchšie. Spolu s nimi existujú aj ďalšie, zložitejšie vzťahy medzi veličinami. Okrem toho by sme si nemali myslieť, že ak sa akékoľvek dve veličiny zvýšia súčasne, potom medzi nimi nevyhnutne existuje priama úmernosť. To ani zďaleka nie je pravda. Napríklad cestovné za železnice sa zvyšuje so vzdialenosťou: čím ďalej ideme, tým viac platíme, ale to neznamená, že platba je úmerná vzdialenosti.