§ 125. Pojem pomeru.
Proporcia je rovnosť dvoch vzťahov. Tu sú príklady rovnosti nazývanej proporcie:
Poznámka. Názvy množstiev v pomeroch nie sú uvedené.
Podiely sa zvyčajne čítajú takto: 2 označuje 1 (jeden), ako 10 označuje 5 (prvý podiel). Môžete to čítať rôzne, napríklad: 2 je toľkokrát viac ako 1, koľkokrát je 10 viac ako 5. Tretí podiel môžeme čítať takto: - 0,5 je toľkokrát menej ako 2, koľkokrát 0,75 je menej ako 3.
Čísla zahrnuté v pomere sa nazývajú členov podielu... Podiel teda tvoria štyria členovia. Prvý a posledný člen, teda členy na okrajoch, sa nazývajú extrémna, a členovia proporcie v strede sa nazývajú priemerčlenov. To znamená, že v prvom pomere budú čísla 2 a 5 extrémne členy a čísla 1 a 10 budú stredné členy.
§ 126. Hlavná vlastnosť pomeru.
Zvážte pomer:
Vynásobme oddelene jeho extrémne a stredné pojmy. Súčin extrému 6 4 = 24, súčin priemeru 3 8 = 24.
Zvážte iný pomer: 10 : 5 = 12 : 6. Vynásobte aj tu extrémny a stredný výraz.
Súčin extrému 10 6 = 60, súčin priemeru 5 12 = 60.
Hlavná vlastnosť proporcie: súčin krajných členov podielu sa rovná súčinu jeho priemerných členov.
V všeobecný pohľad hlavná vlastnosť proporcie je napísaná takto: ad = bc .
Pozrime sa na to v niekoľkých pomeroch:
1) 12: 4 = 30: 10.
Tento pomer je správny, pretože vzťahy, z ktorých sa skladá, sú rovnaké. Zároveň, ak vezmeme súčin krajných členov podielu (12 10) a súčin jeho priemerných členov (4 30), uvidíme, že sú si navzájom rovné, t.j.
12 10 = 4 30.
2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6
Pomer je správny, ako možno ľahko vidieť zjednodušením prvého a druhého vzťahu. Hlavná vlastnosť proporcie bude mať formu:
1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20
Ľahko sa presvedčíme, že ak napíšeme rovnosť, v ktorej na ľavej strane je súčin nejakých dvoch čísel a na pravej strane súčin dvoch ďalších čísel, tak z týchto štyroch čísel môžeme podiel.
Predpokladajme, že máme rovnosť, ktorá obsahuje štyri čísla, vynásobené v pároch:
tieto štyri čísla môžu byť členmi podielu, ktorý sa dá ľahko napísať, ak sa prvý súčin berie ako súčin extrémnych pojmov a druhý súčin priemerov. Zverejnenú rovnosť možno dosiahnuť napríklad nasledujúcim pomerom:
Vo všeobecnosti z rovnosti ad = bc môžete získať nasledujúce proporcie:
Vykonajte nasledujúce cvičenie sami. Po súčine dvoch párov čísel napíšte pomer zodpovedajúci každej rovnosti:
a) 16 = 23;
b) 2 15 = b 5.
§ 127. Výpočet neznámych pomerov.
Hlavná vlastnosť proporcie vám umožňuje vypočítať ktorýkoľvek z podmienok proporcie, ak nie je známy. Zoberme si pomer:
X : 4 = 15: 3.
Jeden extrémny výraz je v tomto pomere neznámy. Vieme, že v akomkoľvek pomere sa súčin extrémnych členov rovná súčinu stredných členov. Na základe toho môžeme napísať:
X 3 = 4 15.
Po vynásobení 4 x 15 môžeme túto rovnosť prepísať takto:
X 3 = 60.
Zvážte túto rovnosť. V ňom je prvý faktor neznámy, druhý faktor je známy a produkt je známy. Vieme, že na nájdenie neznámeho faktora stačí rozdeliť produkt iným (známym) faktorom. Potom sa ukáže:
X = 60:3, príp X = 20.
Skontrolujeme nájdený výsledok dosadením čísla 20 namiesto X v tomto pomere:
Pomer je správny.
Zamyslime sa nad tým, aké akcie sme museli vykonať, aby sme vypočítali neznámy extrémny člen podielu. Zo štyroch pojmov pomeru nám bol neznámy iba jeden extrém; boli známe dva stredné a druhý extrém. Aby sme našli extrémny člen podielu, najprv sme vynásobili stredné členy (4 a 15) a potom rozdelili nájdený produkt známym extrémnym členom. Teraz ukážeme, že akcie by sa nezmenili, keby želaný extrémny termín podielu nebol na prvom, ale až na poslednom mieste. Zoberme si pomer:
70: 10 = 21: X .
Zapíšme si hlavnú vlastnosť podielu: 70 X = 10 21.
Vynásobením čísel 10 a 21 prepíšeme rovnosť do tohto tvaru:
70 X = 210.
Tu je jeden faktor neznámy, na jeho výpočet stačí rozdeliť súčin (210) iným faktorom (70),
X = 210: 70; X = 3.
Takže to môžeme povedať každý extrémny člen podielu sa rovná súčinu priemerov delených druhým extrémom.
Teraz prejdeme k výpočtu neznámeho stredného členu. Zoberme si pomer:
30: X = 27: 9.
Napíšme hlavnú vlastnosť proporcie:
30 9 = X 27.
Vypočítajme súčin 30 krát 9 a usporiadajme časti poslednej rovnosti:
X 27 = 270.
Poďme nájsť neznámy faktor:
X = 270:27, príp X = 10.
Skontrolujeme substitúciou:
30: 10 = 27: 9. Pomer je správny.
Zoberme si iný pomer:
12: b = X : 8. Napíšme hlavnú vlastnosť podielu:
12 . 8 = 6 X ... Vynásobením 12 a 8 a preskupením častí rovnosti dostaneme:
6 X = 96. Nájdite neznámy faktor:
X = 96:6, príp X = 16.
Touto cestou, každý stredný člen podielu sa rovná súčinu extrému vydelenému druhým priemerom.
Nájdite neznámych členov nasledujúce proporcie:
1) a : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = X : 5;
2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: X .
Posledné dve pravidlá možno zhrnúť takto:
1) Ak pomer vyzerá takto:
x: a = b: c , potom
2) Ak pomer vyzerá takto:
a: x = b: c , potom
§ 128. Zjednodušenie pomeru a preskupenia jeho členov.
V tejto časti odvodíme pravidlá na zjednodušenie pomeru v prípade, že obsahuje veľké čísla alebo zlomkové výrazy. Medzi transformácie, ktoré neporušujú pomer, patria:
1. Súčasné zvýšenie alebo zníženie oboch členov akéhokoľvek vzťahu v rovnaké číslo raz.
PRÍKLAD 40:10 = 60:15.
Po trojnásobnom zvýšení oboch členov prvého vzťahu dostaneme:
120:30 = 60: 15.
Pomer nebol porušený.
Znížením oboch členov druhého vzťahu 5-krát dostaneme:
Opäť sme dostali správny pomer.
2. Súčasné zvýšenie alebo zníženie oboch predchádzajúcich alebo oboch nasledujúcich členov rovnakým počtom krát.
Príklad. 16:8 = 40:20.
Zdvojnásobme predchádzajúce podmienky oboch vzťahov:
Dostali sme správny pomer.
Znížme 4-násobok nasledujúcich podmienok oboch vzťahov:
Pomer nebol porušený.
Dva získané závery možno stručne skonštatovať takto: Podiel nebude porušený, ak súčasne zvýšime alebo znížime o rovnaký počet ľubovoľný extrémny člen podielu a akýkoľvek priemer.
Napríklad po štvornásobnom znížení 1. extrému a 2. stredného členu pomeru 16: 8 = 40:20 dostaneme:
3. Súčasné zvýšenie alebo zníženie všetkých členov podielu rovnakým počtom krát. Príklad. 36:12 = 60:20. Zdvojnásobme všetky štyri čísla:
Pomer nebol porušený. Znížime všetky štyri čísla 4-krát:
Pomer je správny.
Uvedené transformácie umožňujú po prvé zjednodušiť proporcie a po druhé ich oslobodiť od zlomkových výrazov. Tu je niekoľko príkladov.
1) Nech existuje pomer:
200: 25 = 56: X .
V nej sú členmi prvého vzťahu pomerne veľké čísla a ak by sme chceli nájsť hodnotu X , potom by sme museli vykonať výpočty na týchto číslach; ale vieme, že pomer nebude porušený, ak sa oba pojmy vzťahu vydelia rovnakým číslom. Vydeľme každú z nich 25. Podiel bude mať tvar:
8:1 = 56: X .
Získali sme tak pohodlnejší podiel, z ktorého X možno nájsť v mysli:
2) Vezmite pomer:
2: 1 / 2 = 20: 5.
V tomto pomere je zlomkový výraz (1/2), z ktorého sa môžete zbaviť. Aby ste to dosiahli, budete musieť tento výraz vynásobiť, napríklad 2. Nemáme však právo zvyšovať priemerný termín podielu; s ním musí byť zvýšený jeden z krajných členov; potom pomer nebude porušený (na základe prvých dvoch bodov). Zvýšme prvý z extrémnych výrazov
(2 2): (2 1/2) = 20:5 alebo 4:1 = 20:5.
Zvýšme druhý extrémny člen:
2: (2 1/2) = 20: (2 5) alebo 2: 1 = 20: 10.
Zvážte ďalšie tri príklady na uvoľnenie podielu od zlomkových výrazov.
Príklad 1,1 / 4: 3/8 = 20:30.
Priveďme zlomky k spoločnému menovateľovi:
2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.
Vynásobením oboch členov prvého vzťahu číslom 8 dostaneme:
Príklad 2. 12: 15/14 = 16: 10/7. Priveďme zlomky k spoločnému menovateľovi:
12: 15 / 14 = 16: 20 / 14
Oba nasledujúce členy vynásobíme 14, dostaneme: 12:15 = 16:20.
Príklad 3,1 / 2: 1/48 = 20: 5/6.
Vynásobte všetky pomery číslom 48:
24: 1 = 960: 40.
Pri riešení problémov, v ktorých existujú určité proporcie, je často potrebné zmeniť usporiadanie podmienok pomeru na rôzne účely. Zvážte, ktoré obmeny sú legálne, to znamená, že neporušujú proporcie. Zoberme si pomer:
3: 5 = 12: 20. (1)
Preusporiadaním extrémnych výrazov v ňom dostaneme:
20: 5 = 12:3. (2)
Teraz preusporiadame stredné výrazy:
3:12 = 5: 20. (3)
Usporiadajme extrémne aj stredné výrazy súčasne:
20: 12 = 5: 3. (4)
Všetky tieto proporcie sú správne. Teraz dajme prvý vzťah na miesto druhého a druhý na miesto prvého. Pomer sa ukáže:
12: 20 = 3: 5. (5)
V tomto pomere urobíme rovnaké permutácie, aké sme robili predtým, to znamená, že najprv preusporiadame extrémne členy, potom stredné a nakoniec súčasne extrémne aj stredné. Ukážu sa ďalšie tri proporcie, ktoré budú tiež spravodlivé:
5: 20 = 3: 12. (6)
12: 3 = 20: 5. (7)
5: 3 = 20: 12. (8)
Takže z jedného daného pomeru preskupením môžete získať ďalších 7 proporcií, čo je spolu s týmto 8 pomerov.
Je obzvlášť ľahké objaviť platnosť všetkých týchto proporcií, keď písmenový zápis... 8 pomerov získaných vyššie má tvar:
a: b = c: d; c: d = a: b;
d: b = c: a; b: d = a: c;
a: c = b: d; c: a = d: b;
d: c = b: a; b: a = d: c.
Je ľahké vidieť, že v každom z týchto pomerov má hlavná vlastnosť podobu:
ad = bc.
Tieto permutácie teda neporušujú spravodlivosť pomeru a v prípade potreby ich možno použiť.
Doplňte pomer. V tomto článku sa s vami chcem porozprávať o proporciách. Pochopiť, čo je to proporcia, vedieť sa nalíčiť je veľmi dôležité, naozaj šetrí. Zdá sa, že je to malé a bezvýznamné „písmeno“ vo veľkej abecede matematiky, ale bez neho je matematika odsúdená na to, aby bola chromá a defektná.Najprv vám dovoľte pripomenúť, čo je to pomer. Toto je rovnosť vo forme:
čo je to isté (toto iný tvar záznamy).
Príklad:
Hovorí sa, že jedna je dvom, rovnako ako štyri je osem. To znamená, že ide o rovnosť dvoch vzťahov (v tento príklad vzťahy sú číselné).
Základné pravidlo proporcie:
a: b = c: d
súčin extrémnych pojmov sa rovná súčinu prostriedkov
to jest
a ∙ d = b ∙ c
* Ak nejaké množstvo v pomere nie je známe, vždy sa dá nájsť.
Ak vezmeme do úvahy formu záznamu formulára:
potom môžete použiť ďalšie pravidlo, nazýva sa to „pravidlo kríža“: na uhlopriečke je napísaná rovnosť súčinov prvkov (čísel alebo výrazov).
a ∙ d = b ∙ c
Ako vidíte, výsledok je rovnaký.
Ak sú známe tri prvky podielu, potomštvrtú vždy nájdeme.
Toto je podstata výhod a potrebyproporcie pri riešení problémov.
Zoberme si všetky možnosti, kde neznáma hodnota x je na „ľubovoľnom mieste“ podielu, kde a, b, c sú čísla:
Hodnota na diagonále od x sa zapíše do menovateľa zlomku a známe hodnoty na uhlopriečke sa zapíšu do čitateľa ako súčin. Nie je potrebné sa to učiť naspamäť, všetko si správne vypočítate, ak ste sa naučili základné pravidlo proporcie.
Teraz hlavná otázka spojené s názvom článku. Kedy pomer šetrí a kde sa používa? Napríklad:
1. V prvom rade sú to záujmové úlohy. Zvažovali sme ich v článkoch „“ a „“.
2. Mnohé vzorce sú uvedené vo forme pomerov:
> sínusová veta
> pomer prvkov v trojuholníku
> tangentová veta
> Thalesova veta a iné.
3. V úlohách o geometrii podmienka často určuje pomer strán (iných prvkov) alebo plôch, napríklad 1: 2, 2: 3 a iné.
4. Konverzia jednotiek merania a podiel sa používa na prevod jednotiek v jednej miere a na konverziu z jednej miery na druhú:
- hodiny až minúty (a naopak).
- jednotky objemu, plochy.
- dĺžky, napríklad míle až kilometre (a naopak).
- stupne k radiánom (a naopak).
tu sa človek nezaobíde bez zostavenia proporcie.
Kľúčovým bodom je, že musíte správne nadviazať korešpondenciu, pozrime sa na jednoduché príklady:
Je potrebné určiť číslo, ktoré je 35% zo 700.
V úlohách na percentá sa hodnota, s ktorou porovnávame, berie ako 100 %. Neznáme číslo bude označené ako x. Nastavíme korešpondenciu:
Dá sa povedať, že sedemstotridsaťpäť zodpovedá 100 percentám.
X zodpovedá 35 percentám. znamená,
700 – 100%
x – 35 %
riešime
odpoveď: 245
Preložme 50 minút na hodiny.
Vieme, že jedna hodina sa rovná 60 minútam. Označme korešpondenciu -x hodín je 50 minút. Prostriedky
1 – 60
x - 50
Rozhodujeme sa:
To znamená, že 50 minút je päť šestín hodiny.
Odpoveď: 5/6
Nikolaj Petrovič išiel 3 kilometre. Koľko to bude míľ (nezabudnite, že 1 míľa je 1,6 km)?
Je známe, že 1 míľa je 1,6 kilometra. Počet míľ, ktoré Nikolaj Petrovič precestoval, sa berie ako x. Môžeme nadviazať korešpondenciu:
Jedna míľa sa rovná 1,6 kilometru.
X míľ sú tri kilometre.
1 – 1,6
x - 3
Odpoveď: 1 875 míľ
Viete, že existujú vzorce na prevod stupňov na radiány (a naopak). Nezapisujem si ich, nakoľko považujem za zbytočné učiť sa ich naspamäť a tak si mnohé informácie musíte uchovať v pamäti. Vždy môžete previesť stupne na radiány (a naopak), ak použijete pomer.
Preveďme 65 stupňov na radiánovú mieru.
Hlavná vec na zapamätanie je, že 180 stupňov sú radiány Pi.
Požadovanú hodnotu označme ako x. Zakladáme korešpondenciu.
Stoosemdesiat stupňov zodpovedá Pi radiánom.
Šesťdesiatpäť stupňov je x radiánov. študijný článok na túto tému na blogu. Materiál v ňom je prezentovaný trochu inak, ale princíp je rovnaký. Týmto skončím. Určite bude ešte niečo zaujímavé, nenechajte si to ujsť!
Ak si spomínate na samotnú definíciu matematiky, potom obsahuje tieto slová: matematika študuje kvantitatívne VZŤAHY (VZŤAHY- tu je kľúčové slovo). Ako vidíte, samotná definícia matematiky je úmerná. Vo všeobecnosti matematika bez proporcií nie je matematika!!!
Všetko najlepšie!
S pozdravom Alexander
P.S: Bol by som vďačný, keby ste nám o stránke povedali na sociálnych sieťach.
Riešenie problému pomocou pomeru je zredukované na vytvorenie neznámej hodnoty Xčlenom tohto podielu. Potom pomocou hlavnej vlastnosti pomeru získať lineárna rovnica a vyriešiť to.
Predbežné zručnosti Obsah lekcieAko vyriešiť problém pomocou pomeru
Zvážte najjednoduchší príklad... Trom skupinám je potrebné vyplatiť štipendium vo výške 1 600 rubľov. V prvej skupine je 20 žiakov. To znamená, že prvej skupine sa vyplatí 1600 × 20, to znamená 32 000 rubľov.
V druhej skupine je 17 ľudí. To znamená, že druhej skupine sa vyplatí 1600 × 17, to znamená 27 200 tisíc rubľov.
No a štipendium vyplatíme tretej skupine. Je v nej 15 ľudí. Musia minúť 1600 × 15, to znamená 24 000 rubľov.
V dôsledku toho máme nasledujúce riešenie:
Pre takéto úlohy je možné riešenie napísať pomocou proporcií.
Podľa definície je pomer rovnosť dvoch pomerov. Napríklad rovnosť je pomer. Tento podiel možno čítať takto:
a tak odkazuje b, ako c odkazuje d
Podobne môžete korelovať štipendium a študentov, takže každý dostane 1 600 rubľov.
Zapíšme si teda prvý pomer, konkrétne pomer tisíc šesťsto rubľov na osobu:
Zistili sme, že na zaplatenie 20 študentov po 1600 rubľov potrebujeme 32 tisíc rubľov. Takže druhý pomer bude pomer tridsaťdva tisíc ku dvadsiatim študentom:
Teraz spojme výsledné vzťahy so znamienkom rovnosti:
Dostali sme pomer. Dá sa čítať nasledovne:
Tisícšesťsto rubľov sa vzťahuje na jedného študenta ako tridsaťdvatisíc rubľov na dvadsať študentov.
Pochopte 1600 rubľov každý. Ak vykonáte delenie na obe strany rovnosti 
, potom zistíme, že jeden študent, rovnako ako dvadsať študentov, dostane 1600 rubľov.
Teraz si predstavte, že suma peňazí potrebná na vyplatenie štipendia dvadsiatim študentom bola neznáma. Povedzme, že by otázka znela takto: v skupina 20 študentov a každému je potrebné zaplatiť 1600 rubľov. Koľko rubľov je potrebných na vyplatenie štipendia?
V tomto prípade pomer by nadobudol formu. To znamená, že suma peňazí potrebná na vyplatenie štipendia sa stala neznámym členom pomeru. Tento podiel možno čítať takto:
Tisícšesťsto rubľov sa vzťahuje na jedného študenta ako neznáme číslo rubľov odkazuje na dvadsať študentov
Teraz použijeme hlavnú vlastnosť proporcie. Hovorí, že súčin extrémnych pomerov sa rovná súčinu prostriedkov:
Vynásobením členov „krížového“ pomeru dostaneme rovnosť 1600 × 20 = 1 × X... Výpočtom oboch strán rovnosti dostaneme 32 000 = X alebo X= 32 000. Inými slovami, nájdeme hodnotu neznámej veličiny, ktorú sme hľadali.
Podobne bolo možné určiť celkovú sumu aj pre zvyšok počtu žiakov – pre 17 a 15. Tieto pomery vyzerali a. Pomocou hlavnej vlastnosti proporcie môžete nájsť hodnotu X
Úloha 2... Autobus prekonal vzdialenosť 100 km za 2 hodiny. Ako dlho prejde autobus 300 km, ak pôjde rovnakou rýchlosťou?
Najprv môžete určiť vzdialenosť, ktorú autobus prejde za jednu hodinu. Potom určite, koľkokrát je táto vzdialenosť obsiahnutá v 300 kilometroch:
100: 2 = 50 km za každú hodinu pohybu
300 km: 50 = 6 hodín
Alebo si môžete vytvoriť pomer „sto kilometrov sa vzťahuje na jednu hodinu ako tristo kilometrov na neznámy počet hodín“:
Pomer množstiev s rovnakým názvom
Ak dôjde k zámene krajných alebo stredných členov podielu, podiel nebude porušený.
Takže v pomere extrémne členy je možné vymeniť. Potom získate pomer 
.
Pomer sa tiež neporuší, ak sa obráti, to znamená, že sa použije inverzný vzťah v oboch častiach.
Otočte pomer ... Potom dostaneme pomer 
... V tomto prípade nie je vzťah narušený. Pomer medzi študentmi sa rovná pomeru medzi sumami peňazí určenými pre týchto študentov. Tento podiel sa často robí v škole, keď sa zostavujú tabuľky na vyriešenie problému.
Tento spôsob písania je veľmi pohodlný, pretože umožňuje previesť stav problému do zrozumiteľnejšej podoby. Poďme vyriešiť problém, v ktorom bolo potrebné určiť, koľko rubľov je potrebných na vyplatenie štipendia dvadsiatim študentom.
Problémový stav zapíšeme takto:
Na základe tejto podmienky vytvoríme tabuľku:
Zostavme pomer pomocou údajov v tabuľke:
Pomocou hlavnej vlastnosti proporcie dostaneme lineárnu rovnicu a nájdeme jej koreň:
Spočiatku sme sa zaoberali pomerom , ktorý je zložený z pomerov veličín rôzneho charakteru. Čitateľmi vzťahov boli sumy peňazí a menovateľmi počet študentov:
Zámenou pozícií krajných členov sme dostali pomer ... Tento podiel sa skladá z pomerov množstiev rovnakej povahy. Prvý vzťah obsahuje počty študentov a druhý obsahuje sumy peňazí:
Ak je pomer zložený z veličín rovnakej povahy, budeme ho nazývať pomer rovnakých množstiev... Napríklad vzťah medzi ovocím, peniazmi, fyzikálnymi veličinami, javmi, činmi.
Pomer sa môže skladať z veličín s rovnakým názvom, ako aj z veličín rôzneho charakteru. Príkladmi toho druhého sú pomer vzdialenosti k času, pomer hodnoty produktu k jeho množstvu a pomer celkovej sumy štipendia k počtu študentov.
Príklad 2... V školskej záhrade sú vysadené borovice a brezy a na každú borovicu pripadajú 2 brezy. Koľko borovíc bolo vysadených v záhrade, ak bolo vysadených 240 brez?
Zistite, koľko borovíc bolo vysadených v záhrade. Aby sme to urobili, urobme pomer. Podmienka hovorí, že na každú borovicu pripadajú 2 brezy. Napíšme vzťah, ktorý ukazuje, že na jednu borovicu pripadajú dve brezy:
Teraz napíšme druhý vzťah ukazujúci, čo je zapnuté X na borovice pripadá 240 briez
Spojíme tieto vzťahy so znamienkom rovnosti, dostaneme nasledujúci pomer:
„2 brezy súvisia s jednou borovicou,
ako súvisí 240 brez s x borovicami “
Pomocou hlavnej vlastnosti proporcie nájdeme hodnotu X
Alebo pomer možno urobiť tak, že najskôr zapíšete podmienku, ako v predchádzajúcom príklade:
Získate rovnaký pomer, ale tentoraz bude zložený z pomerov rovnakých množstiev:
To znamená, že v záhrade bolo vysadených 120 borovíc.
Príklad 3... Z 225 kg rudy sa získalo 34,2 kg medi. Aké je percento medi v rude?
Môžete vydeliť 34,2 číslom 225 a výsledok vyjadriť v percentách:
Alebo tvorí podiel 225 kilogramov rudy ako 100 %, pretože 34,2 kg medi predstavuje neznámy počet percent:
Alebo vytvorte pomer, v ktorom sa vzťah skladá z hodnôt rovnakého mena:
Problémy priamej úmernosti
Pochopenie vzťahov rovnakých veličín vedie k pochopeniu riešenia úloh v priamke a obrátenej úmernosti... Začnime úlohami priamej úmernosti.
Na začiatok si pripomeňme, čo je priama úmernosť. Toto je vzťah medzi dvoma hodnotami, v ktorých zvýšenie jednej z nich znamená zvýšenie druhej o rovnakú hodnotu.
Ak autobus prejde vzdialenosť 50 km za 1 hodinu, potom prejde autobusu vzdialenosť 100 km (rovnakou rýchlosťou) 2 hodiny. Koľkokrát sa vzdialenosť zvýšila, toľkokrát sa predĺžil čas cesty. Ako to ukážete pomocou pomeru?
Jedným z účelov vzťahu je ukázať, koľkokrát je prvá hodnota väčšia ako druhá. To znamená, že pomocou proporcií môžeme ukázať, že vzdialenosť a čas sa zdvojnásobili. Na to použijeme pomer množstiev s rovnakým názvom.
Ukážme, že vzdialenosť sa zdvojnásobila:
Podobne ukážeme, že čas sa zvýšil o rovnakú hodnotu.
"100 kilometrov súvisí s 50 kilometrami ako 2 hodiny súvisia s 1 hodinou"
Ak vykonáme delenie na obe strany rovnosti, zistíme, že vzdialenosť a čas sa zväčšili rovnako mnohokrát.
2 = 2
Úloha 2... Za 3 hodiny sa v mlyne zomlelo 27 ton pšeničná múka... Koľko ton pšeničnej múky dokážete zomlieť za 9 hodín, ak sa tempo práce nezmení?
Riešenie
Doba chodu mlyna a hmotnosť namletej múky sú priamo úmerné. S niekoľkonásobným predĺžením doby prevádzky sa množstvo mletej múky zvýši o rovnaké množstvo. Ukážme to pomocou pomeru.
Problém je daný 3 hodinami. Tieto 3 hodiny sa zvýšili na 9 hodín. Zapíšme si pomer 9 hodín ku 3 hodinám. Tento pomer ukáže, koľkokrát sa predĺžil prevádzkový čas mlyna:
Teraz si zapíšme druhý vzťah. Toto bude postoj X ton pšeničnej múky na 27 ton. Tento pomer ukáže, že množstvo mletej múky sa zvýšilo rovnako ako doba chodu mlyna.
Spojíme tieto vzťahy so znamienkom rovnosti, dostaneme pomer.
Využime hlavnú vlastnosť proporcie a nájdi X
To znamená, že 81 ton pšeničnej múky je možné pomlieť za 9 hodín.
Vo všeobecnosti, ak vezmete dve priamo úmerné množstvá a zvýšite ich rovnakým počtom krát, potom sa pomer novej hodnoty k starej hodnote prvej veličiny bude rovnať pomeru novej hodnoty k starej hodnote. druhé množstvo.
Takže v predchádzajúcom probléme boli staré hodnoty 3 hodiny a 27 ton. Tieto hodnoty sa zvýšili rovnakým počtom krát (trikrát). Nové hodnoty sú 9 hodín a 81 hodín. Potom sa pomer novej hodnoty doby prevádzky mlyna k starej hodnote rovná pomeru novej hodnoty hmotnosti mletej múky k starej hodnote.
Ak vykonáme delenie na obe strany rovnosti, zistíme, že čas chodu mlyna a množstvo pomletej múky sa zvýšili rovnako veľakrát:
3 = 3
Pomer, ktorý tvoria úlohy v priamej úmere, možno opísať výrazom:
Neskôr sa to rovnalo 81.
Úloha 2... Pre 8 kráv v zimný čas dojička denne dodá 80 kg sena, 96 kg okopanín, 120 kg siláže a 12 kg koncentrátov. Stanovte dennú spotrebu týchto krmív pre 18 kráv.
Riešenie
Počet kráv a hmotnosť každého krmiva sú priamo úmerné. Pri niekoľkonásobnom zvýšení počtu kráv sa hmotnosť každého z krmív zvýši o rovnakú hodnotu.
Zostavme si niekoľko pomerov, ktoré vypočítajú hmotnosť každého z krmív pre 18 kráv.
Začnime so senom. Denne sa pripraví 80 kg pre 8 kráv. Potom bude pripravených 18 kráv X kg sena.
Zapíšme si pomer, ktorý ukazuje, koľkokrát sa zvýšil počet kráv:
Teraz si zapíšme pomer, ktorý ukazuje, koľkokrát sa hmotnosť sena zvýšila:
Spojíme tieto vzťahy so znamienkom rovnosti, dostaneme pomer:
Odtiaľto nájdeme X
To znamená, že pre 18 kráv je potrebné pripraviť 180 kg sena. Podobne určujeme hmotnosť okopanín, siláže a koncentrátov.
Pre 8 kráv sa denne pripraví 96 kg okopanín. Potom bude pripravených 18 kráv X kg koreňových plodín. Poskladajme pomer zo vzťahov a potom vypočítajme hodnotu X
Poďme určiť, koľko siláže a koncentrátov je potrebné pripraviť pre 18 kráv:
To znamená, že pre 18 kráv treba denne zozbierať 180 kg sena, 216 kg okopanín, 270 kg siláže a 27 kg koncentrátov.
Problém 3... Hosteska uvarí čerešňový džem a na 3 šálky čerešní dá 2 poháre cukru. Koľko cukru by ste mali dať do 12 šálok čerešní? za 10 pohárov čerešní? na pohár čerešní?
Riešenie
Počet pohárov čerešní a počet pohárov kryštálového cukru sú priamo úmerné. S niekoľkonásobným zvýšením počtu pohárov čerešní sa počet pohárov cukru zvýši o rovnaké číslo.
Zapíšme si pomer, ktorý ukazuje, koľkokrát sa zvýšil počet pohárov čerešní:
Teraz si zapíšme pomer, ktorý ukazuje, koľkokrát sa zvýšil počet pohárov cukru:
Tieto vzťahy spojíme znamienkom rovnosti, získame podiel a nájdeme hodnotu X
To znamená, že na 12 pohárov čerešní musíte dať 8 pohárov cukru.
Určte počet pohárov cukru na 10 pohárov čerešní a pohár čerešní
Problémy s inverznou proporcionalitou
Na vyriešenie problémov s nepriamou úmernosťou môžete opäť použiť pomer zložený z pomerov rovnakých veličín.
Na rozdiel od priamej úmernosti, kde sa hodnoty zvyšujú alebo znižujú v rovnakom smere, v nepriamej úmernosti sa hodnoty menia navzájom nepriamo.
Ak sa jedna hodnota zvýši niekoľkokrát, druhá sa zníži o rovnakú hodnotu. A naopak, ak sa jedna hodnota zníži niekoľkokrát, druhá sa zvýši o rovnakú hodnotu.
Povedzme, že chcete natrieť 8-listový plot
Jeden maliar sám namaľuje všetkých 8 listov
Ak sú 2 maliari, potom každý namaľuje 4 listy.
To samozrejme za predpokladu, že maliari sú medzi sebou čestní a spravodlivo si túto prácu rozdelia medzi dvoch rovnako.
Ak sú 4 maliari, potom každý namaľuje 2 listy
Všímame si, že s niekoľkonásobným nárastom počtu maliarov sa o rovnakú sumu znižuje aj počet listov, ktoré pripadajú na jedného maliara.
Zvýšili sme teda počet maliarov z 1 na 4. Inými slovami, počet maliarov sme zvýšili štvornásobne. Napíšme to pomocou vzťahu:
V dôsledku toho sa počet plotových plechov, ktoré pripadajú na jedného maliara, znížil štvornásobne. Napíšme to pomocou vzťahu:
Spojíme tieto vzťahy so znamienkom rovnosti, dostaneme pomer
"4 maliari sa vzťahujú na 1 maliara ako 8 listov na 2 listy"
Úloha 2... Byty v novostavbe dokončilo 15 robotníkov za 24 dní. Koľko dní by trvalo 18 pracovníkom dokončenie tejto práce?
Riešenie
Počet pracovníkov a počet dní strávených prácou sú nepriamo úmerné. Pri niekoľkonásobnom zvýšení počtu pracovníkov sa o rovnakú sumu zníži aj počet dní potrebných na vykonanie tejto práce.
Zapíšme si pomer 18 robotníkov k 15 robotníkom. Tento pomer ukáže, koľkokrát sa zvýšil počet pracovníkov.
Teraz si zapíšme druhý pomer, ktorý ukazuje, koľkokrát sa počet dní znížil. Keďže počet dní sa zníži z 24 dní na X dní, potom druhý pomer bude pomer starého počtu dní (24 dní) k novému počtu dní ( X dni)
Výsledné vzťahy spojíme so znamienkom rovnosti, dostaneme pomer:
Odtiaľto nájdeme X
Dokončí teda 18 pracovníkov potrebná práca za 20 dní.
Vo všeobecnosti, ak vezmeme dve nepriamo úmerné množstvá a jednu z nich zväčšíme určitý počet krát, potom sa druhý zníži o rovnakú hodnotu. Potom sa pomer novej hodnoty k starej hodnote prvej veličiny bude rovnať pomeru starej hodnoty k novej hodnote druhej veličiny.
Takže v predchádzajúcej úlohe boli staré hodnoty 15 pracovných dní a 24 dní. Počet pracovníkov sa zvýšil z 15 na 18 (čiže sa postupne zvyšoval). V dôsledku toho sa o rovnakú sumu znížil počet dní potrebných na dokončenie práce. Nové hodnoty sú 18 pracovných dní a 20 dní. Potom sa pomer nového počtu pracovníkov k starému počtu rovná pomeru starého počtu dní k novému počtu
Na zostavenie pomeru úloh pre inverznú proporcionalitu môžete použiť vzorec:
Vo vzťahu k našej úlohe budú hodnoty premenných nasledovné:
Potom sa to stalo rovným 20.
Úloha 2... Rýchlosť parníka sa vzťahuje na rýchlosť prúdu rieky 36:5. Parník sa pohyboval po prúde 5 hodín 10 minút. Ako dlho mu bude trvať, kým sa vráti?
Riešenie
Vlastná rýchlosť parníka je 36 km/h. Rýchlosť rieky je 5 km / h. Keďže sa parník pohyboval prúdom ramena, jeho rýchlosť bola 36 + 5 = 41 km/h. Čas cesty bol 5 hodín 10 minút. Pre pohodlie vyjadrime čas v minútach:
5 hodín 10 minút = 300 minút + 10 minút = 310 minút
Keďže na spiatočnej ceste sa parník pohyboval proti prúdu rieky, jeho rýchlosť bola 36 - 5 = 31 km/h.
Rýchlosť parného hrnca a čas jeho pohybu sú nepriamo úmerné hodnoty. S niekoľkonásobným znížením rýchlosti sa čas jeho pohybu zvýši o rovnakú hodnotu.
Zapíšme si pomer, ktorý ukazuje, koľkokrát sa rýchlosť pohybu znížila:
Teraz si zapíšme druhý pomer, ktorý ukazuje, koľkokrát sa čas pohybu zvýšil. Od nového času X bude viac starého času, v čitateli vzťahu napíšeme čas X, a v menovateli starý čas, rovných tristo desať minút
Výsledné vzťahy spojíme znakom rovnosti, dostaneme pomer. Odtiaľ nájdeme hodnotu X
410 minút je 6 hodín a 50 minút. To znamená, že návrat parníka bude trvať 6 hodín a 50 minút.
Problém 3... Na oprave cesty pracovalo 15 ľudí, práce museli stihnúť za 12 dní. Na piaty deň ráno prišlo niekoľko ďalších robotníkov a zvyšok prác bol hotový za 6 dní. Koľko ďalších pracovníkov prišlo?
Riešenie
Od 12 dní odpočítajme 4 odpracované dni. Takže určíme, koľko dní zostáva pracovať pätnástim pracovníkom.
12 dní – 4 dni = 8 dní
Na piaty deň dodatočne dorazil X pracovníkov. Potom bol celkový počet pracovníkov 15 + X .
Počet pracovníkov a počet dní potrebných na dokončenie práce sú nepriamo úmerné. Pri niekoľkonásobnom zvýšení počtu pracovníkov sa počet dní zníži o rovnakú hodnotu.
Zapíšme si pomer, ktorý ukazuje, koľkokrát sa zvýšil počet pracovníkov:
Teraz si zapíšme, koľkokrát sa znížil počet dní potrebných na dokončenie práce:
Spojíme tieto vzťahy so znamienkom rovnosti, dostaneme pomer. Odtiaľ môžeme vypočítať hodnotu X
To znamená, že prišlo ďalších 5 pracovníkov.
Mierka
Mierka je pomer dĺžky segmentu na obrázku k dĺžke zodpovedajúceho segmentu na zemi.
Povedzme, že vzdialenosť z domu do školy je 8 km. Skúsme si nakresliť plánik územia, na ktorom bude vyznačený dom, škola a vzdialenosť medzi nimi. Nemôžeme však na papieri zobraziť vzdialenosť rovnajúcu sa 8 km, pretože je dosť veľká. Potom však môžeme túto vzdialenosť niekoľkokrát zmenšiť, aby sa zmestila na papier.
Kilometre na teréne na našom pláne nech sú vyjadrené v centimetroch. Prepočítaním 8 kilometrov na centimetre dostaneme 800 000 centimetrov.
Zmenšme 800 000 cm stotisíckrát:
800 000 cm: 100 000 cm = 8 cm
8 cm je stotisíckrát znížená vzdialenosť z domu do školy. Teraz môžete jednoducho nakresliť dom a školu na papier, pričom vzdialenosť medzi nimi bude 8 cm.
Týchto 8 cm sa vzťahuje na skutočných 800 000 cm. Zapíšeme to teda pomocou pomeru:
8: 800 000
Jedna z vlastností vzťahu hovorí, že vzťah sa nemení, ak sú jeho členy vynásobené alebo delené rovnakým číslom.
Pre zjednodušenie pomeru 8 : 800 000 možno oba jeho členy vydeliť 8. Potom dostaneme pomer 1 : 100 000. Tento pomer sa bude nazývať mierka. Tento pomer ukazuje, že jeden centimeter na pláne sa vzťahuje na (alebo zodpovedá) sto tisícom centimetrov na zemi.
Preto je na našom obrázku potrebné uviesť, že plán je zostavený v mierke 1: 100 000
1 cm na pláne sa vzťahuje na 100 000 cm na zemi;
2 cm na pláne sa vzťahuje na 200 000 cm na zemi;
3 cm na pláne znamená 300 000 na zemi atď.
Každá mapa alebo plán je označený v akej mierke boli vyrobené. Táto mierka vám umožňuje určiť skutočnú vzdialenosť medzi objektmi.
Náš plán je teda zostavený v mierke 1 : 100 000. Na tomto pláne je vzdialenosť medzi domom a školou 8 cm. Na výpočet skutočnej vzdialenosti medzi domom a školou je potrebné zväčšiť 8 cm o faktor 100 000. Inými slovami, vynásobte 8 cm číslom 100 000
8 cm × 100 000 = 800 000 cm
Ak prepočítame centimetre na kilometre, dostaneme 800 000 cm alebo 8 km.
Povedzme, že medzi domom a školou je strom. Na pláne je vzdialenosť medzi školou a týmto stromom 4 cm.
Potom bude skutočná vzdialenosť medzi domom a stromom 4 cm × 100 000 = 400 000 cm alebo 4 km.
Vzdialenosť od zeme sa dá určiť pomocou pomeru. V našom príklade sa vzdialenosť medzi domom a školou vypočíta pomocou nasledujúceho pomeru:
1 cm na pláne znamená 100 000 cm na zemi, zatiaľ čo 8 cm na pláne znamená x cm na zemi.
Z tohto podielu sa dozvedáme, že hodnota X sa rovná 800 000 cm.
Príklad 2... Na mape je vzdialenosť dvoch miest 8,5 cm Určte skutočnú vzdialenosť medzi mestami, ak je mapa nakreslená v mierke 1 : 1 000 000.
Riešenie
Mierka 1 : 1 000 000 znamená, že 1 cm na mape zodpovedá 1 000 000 cm na zemi. Potom bude zodpovedať 8,5 cm X vidieť na zemi. Urobme pomer 1 ku 1 000 000 ako 8,5 ku X
1 km obsahuje 100 000 cm. Potom bude 8 500 000 cm 
Alebo môžete uvažovať takto. Vzdialenosť na mape a vzdialenosť na zemi sú priamo úmerné. Keď sa vzdialenosť na mape niekoľkokrát zväčší, vzdialenosť na zemi sa zvýši o rovnakú hodnotu. Potom pomer zaberie ďalší pohľad... Prvý vzťah ukáže, koľkokrát je vzdialenosť na zemi väčšia ako vzdialenosť na mape:
Druhý pomer ukáže, že vzdialenosť na zemi je toľkokrát väčšia ako 8,5 cm na mape:
Odtiaľ X rovná sa 8 500 000 cm alebo 85 km.
Problém 3... Dĺžka rieky Neva je 74 km. Aká je jeho dĺžka na mape s mierkou 1 : 2 000 000
Riešenie
Mierka 1 : 2 000 000 znamená, že 1 cm na mape zodpovedá 2 000 000 cm na zemi.
A 74 km je 74 × 100 000 = 7 400 000 cm na zemi. Znížením 7 400 000 na 2 000 000 určíme dĺžku rieky Neva na mape
7 400 000: 2 000 000 = 3,7 cm
To znamená, že na mape s mierkou 1 : 2 000 000 je dĺžka rieky Nevy 3,7 cm.
Napíšme riešenie pomocou pomeru. Prvý vzťah ukáže, koľkokrát je dĺžka na mape menšia ako dĺžka na zemi:
Druhý pomer ukáže, že 74 km (7 400 000 cm) sa znížilo rovnakým faktorom:
Odtiaľto nájdeme X rovných 3,7 cm
Úlohy na samostatné riešenie
Úloha 1. Z 21 kg bavlníkových semien sa získalo 5,1 kg oleja. Koľko oleja sa vyrobí zo 7 kg bavlníkových semien?
Riešenie
Nechaj X kg oleja možno získať zo 7 kg bavlníkových semien. Hmotnosť bavlníkových semien a hmotnosť výsledného oleja sú priamo úmerné. Potom pokles bavlníkových semien z 21 kg na 7 kg povedie k zníženiu získaného oleja o rovnaké množstvo.
odpoveď: 7 kg bavlníkových semien poskytne 1,7 kg oleja.
Problém 2. Na určitom mieste Železničná trať Staré koľajnice 8 m boli nahradené novými 12 m. Koľko nových 12 m koľajníc by bolo potrebných, ak by sa odstránilo 360 starých koľajníc?
Riešenie
Dĺžka úseku, na ktorom sa vymieňajú koľajnice, je 8 × 360 = 2880 m.
Nechaj X na výmenu sú potrebné dvanásťmetrové koľajnice. Nárast dĺžky jednej koľajnice z 8 m na 12 m povedie k zníženiu počtu koľajníc z 360 na X veci. Inými slovami, dĺžka koľajnice a ich počet sú nepriamo úmerné. proporcionálne
odpoveď: Na výmenu starých koľajníc bude potrebných 240 nových.
Úloha 3. 60 % žiakov v triede išlo do kina a zvyšných 12 ľudí na výstavu. Koľko žiakov je v triede?
Riešenie
Ak 60 % študentov išlo do kina a zvyšných 12 ľudí na výstavu, tak 40 % študentov bude mať 12 ľudí, ktorí išli na výstavu. Potom môžete vytvoriť pomer, v ktorom 12 študentov súvisí so 40 % ako všetci Xštudenti patria k 100%
Alebo môžete vytvoriť pomer pozostávajúci z pomerov množstiev s rovnakým názvom. V priamej úmere sa mení počet žiakov a percentuálna zmena. Potom si môžete zapísať, že koľkokrát sa zvýšil počet účastníkov, percento sa zvýšilo o rovnakú sumu
Úloha 5. Chodec strávil na ceste 2,5 hodiny a pohyboval sa rýchlosťou 3,6 km/h. Koľko času strávi chodec na tej istej ceste, ak je jeho rýchlosť 4,5 km/h
Riešenie
Rýchlosť a čas sú nepriamo úmerné. Keď sa rýchlosť niekoľkokrát zvýši, čas pohybu sa zníži o rovnakú hodnotu.
Zapíšme si pomer, ktorý ukazuje, koľkokrát sa rýchlosť chodca zvýšila:
Zapíšme si pomer, ktorý ukazuje, že čas pohybu sa skrátil o rovnakú hodnotu:
Tieto vzťahy spojíme znamienkom rovnosti, získame podiel a nájdeme hodnotu X
Alebo môžete použiť vzťahy rovnakých veličín. Počet vyrobených strojov a percentuálny podiel týchto strojov sú priamo úmerné. S niekoľkonásobným zvýšením počtu strojov sa percento zvyšuje o rovnakú hodnotu. Potom si môžeme zapísať, že 230 strojov je toľkokrát viac ako X stroje, koľkokrát viac ako 115 % ako 100 %
odpoveď: podľa plánu mal závod vyrobiť 200 strojov.
Páčila sa vám lekcia?
Pripojte sa k našej novej skupine Vkontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie
Z hľadiska matematiky je podiel rovnosťou dvoch pomerov. Vzájomná závislosť je charakteristická pre všetky časti podielu, ako aj ich nemenný výsledok. Môžete pochopiť, ako zostaviť pomer, oboznámením sa s vlastnosťami a vzorcom pomeru. Na pochopenie princípu riešenia proporcií bude stačiť zvážiť jeden príklad. Iba priamym rozhodnutím o proporciách sa môžete rýchlo a ľahko naučiť tieto zručnosti. A tento článok pomôže čitateľovi s tým.
Vlastnosti pomeru a vzorec
- Inverzia proporcií. V prípade, že daná rovnosť vyzerá ako 1a: 2b = 3c: 4d, napíšte 2b: 1a = 4d: 3c. (Zatiaľ čo 1a, 2b, 3c a 4d sú základné čísla iné ako 0).
- Krížové násobenie daných pomerných členov. V doslovný výraz vyzerá to takto: 1a: 2b = 3c: 4d a písanie 1a4d = 2b3c bude ekvivalentné. Súčin krajných častí ľubovoľnej proporcie (čísla na okrajoch rovnosti) sa teda vždy rovná súčinu stredných častí (čísla nachádzajúcich sa v strede rovnosti).
- Pri zostavovaní podielu môže prísť vhod aj jeho vlastnosť, akou je preskupenie krajných a stredných členov. Vzorec pre rovnosť 1a: 2b = 3c: 4d možno zobraziť s nasledujúcimi možnosťami:
- 1a: 3c = 2b: 4d (keď sa preusporiadajú stredné členy podielu).
- 4d: 2b = 3c: 1a (pri usporiadaní krajných pomerov).
- Jeho vlastnosť zvyšovania a znižovania dokonale pomáha pri rozhodovaní o pomere. Keď 1a: 2b = 3c: 4d, napíšte:
- (1a + 2b): 2b = (3c + 4d): 4d (rovnosť v rastúcom pomere).
- (1a - 2b): 2b = (3c - 4d): 4d (rovná sa klesajúcemu podielu).
- Pomer môžete doplniť pridávaním a odčítaním. Keď je pomer zapísaný ako 1a: 2b = 3c: 4d, potom:
- (1a + 3c): (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (podiel vytvorený pridaním).
- (1a - 3c): (2b - 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (podiel vytvorený odčítaním).
- Tiež pri riešení podielu obsahujúceho zlomkové alebo veľké čísla môžete oba jeho členy vydeliť alebo vynásobiť rovnakým číslom. Napríklad zložky pomeru 70: 40 = 320: 60 možno zapísať takto: 10 * (7: 4 = 32: 6).
- Riešenie pomeru s percentami vyzerá takto. Napríklad si zapíšu, 30 = 100 %, 12 = x. Teraz by ste mali vynásobiť priemerné pojmy (12 * 100) a vydeliť známym extrémom (30). Odpoveď teda znie: x = 40 %. Podobným spôsobom, ak je to potrebné, môžete vynásobiť známe extrémne pojmy a rozdeliť ich daným priemerným číslom, čím získate požadovaný výsledok.
Ak máte záujem o konkrétny pomerný vzorec, potom v najjednoduchšej a najbežnejšej verzii je pomerom nasledujúca rovnosť (vzorec): a / b = c / d, v ňom a, b, c a d sú nenulové štyri čísla .
Proporcia - rovnosť dvoch vzťahov, teda rovnosť formy a: b = c: d alebo v inom zápise rovnosť
Ak a : b = c : d, potom a a d sa volajú extrémna, a b a c - priemerčlenov proporcie.
Z „proporcie“ sa nedá ujsť, v mnohých úlohách sa bez nej nezaobídete. Existuje len jedna cesta von - vysporiadať sa s týmto postojom a použiť proporciu ako záchrancu života.
Predtým, ako pristúpime k zváženiu proporcionálnych problémov, je dôležité pamätať na základné pravidlo proporcie:
V pomere
súčin extrémnych pojmov sa rovná súčinu prostriedkov
Ak nejaké množstvo v pomere nie je známe, bude ľahké ho nájsť na základe tohto pravidla.
napr.
To znamená, že neznáma hodnota podielu - hodnota zlomku, v menovateli
čo je číslo opačné k neznámej veličine
, v čitateli - súčin zostávajúcich členov podielu
(bez ohľadu na to, kde toto neznáme množstvo stojí
). 
Cieľ 1
Z 21 kg bavlníkových semien sa získalo 5,1 kg oleja. Koľko oleja sa vyrobí zo 7 kg bavlníkových semien?
Riešenie:
Chápeme, že niekoľkonásobné zníženie hmotnosti semena znamená zníženie hmotnosti získaného oleja o rovnaké množstvo. To znamená, že množstvá priamo súvisia.
Doplňme tabuľku: 
Neznáma hodnota - hodnota zlomku, v menovateli ktorého - 21 - hodnota opačná k neznámej v tabuľke, v čitateli - súčin zvyšných členov tabuľky-proporcie.
Dostaneme teda, že zo 7 kg semena vyjde 1,7 kg oleja.
Komu správny vyplňte tabuľku, je dôležité pamätať na pravidlo:
Identické mená musia byť napísané pod sebou. Percentá píšeme pod percentá, kilogramy pod kilogramy atď.
Cieľ 2
Previesť na radiány.
Riešenie:
My to vieme . Doplňme tabuľku:
Cieľ 3
Na kockovanom papieri je znázornený kruh. Aká je plocha kruhu, ak je plocha tieňovaného sektora 27?
Riešenie:
Je jasne vidieť, že netienený sektor zodpovedá uhlu в (napríklad preto, že strany sektora sú tvorené osami dvoch susedných pravých uhlov). A keďže je celý kruh, potom vyplnený sektor predstavuje.
Urobme si tabuľku:
Odkiaľ je oblasť kruhu.
Úloha 4. Po oraní 82 % celého poľa zostáva zorať 9 hektárov. Aká je plocha celého poľa?
Riešenie:
Celé pole je 100%, a keďže 82% je oraných, ostáva orať 100% -82% = 18% poľa.
Vypĺňame tabuľku: 
Odkiaľ dostaneme, že celé pole je (ha).
A ďalšia úloha je s prepadom.
Úloha 5.
Osobný vlak prekonal vzdialenosť medzi oboma mestami rýchlosťou 80 km/h za 3 hodiny. Koľko hodín trvá, kým nákladný vlak prejde rovnakú vzdialenosť rýchlosťou 60 km/h?
Ak tento problém vyriešite rovnakým spôsobom ako predchádzajúci, dostanete nasledovné:
čas potrebný na to, aby nákladný vlak prešiel rovnakú vzdialenosť ako osobný vlak, je hodín. To znamená, že sa ukazuje, že chôdzou nižšou rýchlosťou prekonáva (súčasne) vzdialenosť rýchlejšie ako vlak s vyššou rýchlosťou.
V čom spočíva chyba v uvažovaní?
Doteraz sme zvažovali problémy, kde boli množstvá navzájom priamo úmerné , teda rast rovnakej hodnoty nejakým faktorom, dáva rast druhá veličina s ňou spojená rovnakým faktorom (samozrejme podobne ako s poklesom). A tu máme inú situáciu: rýchlosť osobného vlaku viac rýchlosť nákladného vlaku niekoľkonásobne, ale čas potrebný na prekonanie rovnakej vzdialenosti si vyžaduje osobný vlak menší toľkokrát ako nákladný vlak. Teda hodnoty k sebe navzájom nepriamo úmerné .
Schéma, ktorú sme doteraz používali, je v tomto prípade potrebné mierne upraviť.
Riešenie:
Uvažujeme takto:
Osobný vlak s rýchlosťou 80 km/h išiel 3 hodiny, teda prešiel km. To znamená, že rovnakú vzdialenosť prejde nákladný vlak za hodinu.
To znamená, že ak by sme mali tvoriť pomer, mali sme si predtým vymeniť bunky v pravom stĺpci. Získali by ste: h.
takze pri kreslení pomeru buďte opatrní. Najprv pochopte, s akým druhom závislosti máte čo do činenia – s priamou alebo inverznou.