U ovom članku ćemo se detaljno zadržati na jednom od primarnih koncepata geometrije - konceptu prave linije na ravni. Prvo, definirajmo osnovne pojmove i oznake. Zatim ćemo razgovarati o relativnom položaju prave i tačke, kao i dve prave na ravni, i predstaviti potrebne aksiome. U zaključku ćemo razmotriti načine definiranja prave linije na ravni i pružiti grafičke ilustracije.
Navigacija po stranici.
Prava linija na ravni je koncept.
Prije nego što date koncept prave linije na ravni, trebali biste jasno razumjeti šta je to ravnina. Koncept aviona omogućava vam da dobijete, na primjer, ravnu površinu na stolu ili zidu kod kuće. Treba, međutim, imati na umu da su dimenzije stola ograničene, a ravan se proteže izvan ovih granica do beskonačnosti (kao da imamo proizvoljno veliki sto).
Ako uzmemo dobro naoštrenu olovku i dodirnemo njenim vrhom površinu „stola“, dobićemo sliku tačke. Ovako dobijamo reprezentacija tačke na ravni.
Sada možete preći na koncept prave linije na ravni.
Stavite list čistog papira na površinu stola (na ravan). Da bismo nacrtali pravu liniju, potrebno je uzeti ravnalo i nacrtati liniju olovkom koliko nam to dozvoljava veličina ravnala i lista papira koji koristimo. Treba napomenuti da ćemo na ovaj način dobiti samo dio linije. Možemo samo zamisliti čitavu pravu liniju koja se proteže u beskonačnost.
Relativni položaj prave linije i tačke.
Trebalo bi početi od aksioma: na svakoj pravoj i u svakoj ravni postoje tačke.
Tačke se obično označavaju velikim latiničnim slovima, na primjer, tačke A i F. Zauzvrat, ravne linije su označene malim latiničnim slovima, na primjer, ravne linije a i d.
Moguće dvije opcije relativnu poziciju prava linija i tačke na ravni: ili tačka leži na pravoj (u ovom slučaju se takođe kaže da prava prolazi kroz tačku), ili tačka ne leži na pravoj (takođe se kaže da tačka ne pripada pravoj ili prava ne prolazi kroz tačku).
Da biste označili da tačka pripada određenoj liniji, koristite simbol “”. Na primjer, ako tačka A leži na pravoj a, onda možemo napisati . Ako tačka A ne pripada pravoj a, napišite .
Tačna je sljedeća tvrdnja: kroz bilo koje dvije tačke prolazi samo jedna prava linija.
Ova izjava je aksiom i treba je prihvatiti kao činjenicu. Osim toga, ovo je sasvim očito: označavamo dvije točke na papiru, nanosimo ravnalo na njih i crtamo ravnu liniju. Prava linija koja prolazi kroz dvije date tačke (na primjer, kroz tačke A i B) može se označiti sa ova dva slova (u našem slučaju prava AB ili BA).
Treba shvatiti da na pravoj liniji definisanoj na ravni postoji beskonačno mnogo različitih tačaka, a sve te tačke leže u istoj ravni. Ova tvrdnja je utvrđena aksiomom: ako dvije tačke prave leže u određenoj ravni, onda sve tačke ove prave leže u ovoj ravni.
Zove se skup svih tačaka koje se nalaze između dve tačke date na pravoj, zajedno sa tim tačkama pravi segment ili jednostavno segment. Tačke koje ograničavaju segment nazivaju se krajevi segmenta. Segment je označen sa dva slova koja odgovaraju krajnjim tačkama segmenta. Na primjer, neka su tačke A i B krajevi segmenta, tada se ovaj segment može označiti AB ili BA. Imajte na umu da se ova oznaka za segment poklapa sa oznakom za ravnu liniju. Da biste izbjegli zabunu, preporučujemo da oznaci dodate riječ “segment” ili “ravno”.
Da bi se ukratko zabilježilo da li određena tačka pripada ili ne pripada određenom segmentu, koriste se isti simboli i. Da biste pokazali da određeni segment leži ili ne leži na liniji, koristite simbole i, respektivno. Na primjer, ako segment AB pripada liniji a, možete ukratko napisati .
Treba se zadržati i na slučaju kada tri različite tačke pripadaju istoj pravoj. U ovom slučaju, jedna i samo jedna tačka leži između druge dvije. Ova izjava je još jedan aksiom. Neka tačke A, B i C leže na istoj pravoj, a tačka B leži između tačaka A i C. Tada možemo reći da su tačke A i C na suprotnim stranama tačke B. Takođe možemo reći da tačke B i C leže na istoj strani tačke A, a tačke A i B leže na istoj strani tačke C.
Da bismo upotpunili sliku, napominjemo da bilo koja tačka na pravoj dijeli ovu liniju na dva dijela - dva greda. Za ovaj slučaj je dat aksiom: proizvoljna tačka O, koja pripada pravoj, deli ovu pravu na dve zrake, a bilo koje dve tačke jednog zraka leže na istoj strani tačke O, a bilo koje dve tačke različitih zraka leže na suprotnim stranama tačke O.
Relativni položaj linija na ravni.
Sada odgovorimo na pitanje: "Kako se dvije prave mogu nalaziti na ravni jedna u odnosu na drugu?"
Prvo, dvije prave linije na avionu mogu podudaraju.
Ovo je moguće kada linije imaju najmanje dvije zajedničke tačke. Zaista, na osnovu aksioma navedenog u prethodnom paragrafu, postoji samo jedna prava linija koja prolazi kroz dvije tačke. Drugim riječima, ako dvije prave prolaze kroz dvije date tačke, one se poklapaju.
Drugo, dvije prave linije na avionu mogu krst.
U ovom slučaju, prave imaju jednu zajedničku tačku, koja se zove tačka preseka pravih. Presjek linija je označen simbolom "", na primjer, unos znači da se linije a i b sijeku u tački M. Prave koje se seku dovode nas do koncepta ugla između linija koje se seku. Zasebno, vrijedi razmotriti lokaciju pravih linija na ravni kada je ugao između njih devedeset stepeni. U ovom slučaju, linije se pozivaju okomito(preporučujemo članak okomite linije, okomitost linija). Ako je pravac a okomit na pravu b, onda možete koristiti kratka napomena.
Treće, dvije prave na ravni mogu biti paralelne.
Prava linija na ravni sa praktična tačka zgodno je razmatrati zajedno sa vektorima. Posebno značenje imaju vektore različite od nule koji leže na datoj pravoj ili na bilo kojoj od paralelnih pravih, nazivaju se usmjeravajući vektori prave linije. Članak Usmjeravajući vektor prave linije na ravni daje primjere usmjeravajućih vektora i prikazuje mogućnosti njihove upotrebe u rješavanju zadataka.
Također treba obratiti pažnju na vektore koji nisu nula koji leže na bilo kojoj od pravih okomitih na ovu. Takvi vektori se nazivaju vektori normalne linije. Upotreba vektora normalne linije opisana je u članku Vektor normalne linije na ravni.
Kada se na ravni daju tri ili više pravih, tada nastaje skup razne opcije njihov relativni položaj. Sve prave mogu biti paralelne, inače se neke ili sve sijeku. U ovom slučaju, sve prave se mogu sijeći u jednoj tački (pogledajte članak o hrpi linija), ili mogu imati različite točke ukrštanja.
Nećemo se detaljnije zadržavati na tome, već ćemo bez dokaza iznijeti nekoliko izvanrednih i vrlo često korištenih činjenica:
- ako su dvije prave paralelne s trećom linijom, onda su paralelne jedna s drugom;
- ako su dvije prave okomite na treću pravu, onda su paralelne jedna s drugom;
- Ako određena prava na ravni siječe jednu od dvije paralelne prave, tada siječe i drugu pravu.
Metode za definisanje prave linije na ravni.
Sada ćemo navesti glavne načine na koje možete definirati određenu pravu liniju na ravni. Ovo znanje je veoma korisno sa praktične tačke gledišta, jer se na njemu zasniva rešenje mnogih primera i problema.
Prvo, prava linija se može definirati specificiranjem dvije tačke na ravni.
Zaista, iz aksioma o kojem se govori u prvom paragrafu ovog članka, znamo da prava prolazi kroz dvije tačke i samo jednu.
Ako su koordinate dvije divergentne tačke naznačene u pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni, tada je moguće zapisati jednačinu prave koja prolazi kroz dvije date tačke.
Drugo, prava se može specificirati specificiranjem tačke kroz koju prolazi i prave sa kojom je paralelna. Ova metoda je fer, jer kroz datu tačku na ravni prolazi jedna ravna linija paralelna datoj pravoj liniji. Dokaz ove činjenice izveden je na časovima geometrije u srednjoj školi.
Ako je na ovaj način određena ravna linija u odnosu na uneseni pravougaonik Kartezijanski sistem koordinate, odnosno sposobnost kreiranja njegove jednačine. O tome je zapisano u članskoj jednačini prave koja prolazi kroz datu tačku paralelno sa datom pravom.
Treće, prava linija se može odrediti specificiranjem tačke kroz koju prolazi i njenog vektora pravca.
Ako je prava linija data u pravougaonom koordinatnom sistemu na ovaj način, onda je lako konstruisati njenu kanonsku jednačinu prave na ravni i parametarske jednačine prave na ravni.
Četvrti način da odredite liniju je da označite tačku kroz koju ona prolazi i pravu na koju je okomita. Zaista, kroz dati poen ravni postoji samo jedna prava okomita na datu pravu. Ostavimo ovu činjenicu bez dokaza.
Konačno, prava u ravni se može specificirati specificiranjem tačke kroz koju prolazi i vektora normale prave.
Ako su poznate koordinate tačke koja leži na datoj pravoj i koordinate vektora normale prave, onda je moguće zapisati opštu jednačinu prave.
Bibliografija.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7 – 9. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Prvi tom: elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.
Autorska prava cleverstudents
Sva prava zadržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio www.site, uključujući unutrašnji materijali I vanjski dizajn, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodne pismene dozvole vlasnika autorskih prava.
Razmotrićemo svaku od tema, a na kraju će biti testovi o temama.
Poenta u matematici
Šta je poenta u matematici? Matematička tačka nema dimenzije i označava se velikim slovima: A, B, C, D, F, itd.
Na slici možete vidjeti sliku tačaka A, B, C, D, F, E, M, T, S.
Segment iz matematike
Šta je segment u matematici? Na časovima matematike možete čuti sljedeće objašnjenje: matematički segment ima dužinu i krajeve. Segment u matematici je skup svih tačaka koje leže na pravoj liniji između krajeva segmenta. Krajevi segmenta su dvije granične točke.
Na slici vidimo sljedeće: segmente ,,,, i , kao i dvije tačke B i S.
Direktno u matematici
Šta je prava linija u matematici? Definicija prave linije u matematici je da prava linija nema krajeva i može se nastaviti u oba smjera neograničeno. Prava se u matematici označava sa bilo koje dvije tačke na pravoj. Da biste učeniku objasnili koncept prave linije, možete reći da je prava odsječak koji nema dva kraja.
Na slici su prikazane dvije prave linije: CD i EF.
Greda u matematici
Šta je zraka? Definicija zraka u matematici: zraka je dio prave koja ima početak i nema kraj. Naziv zraka sadrži dva slova, na primjer, DC. Štaviše, prvo slovo uvijek označava početnu tačku grede, tako da se slova ne mogu zamijeniti.
Na slici su prikazani zraci: DC, KC, EF, MT, MS. Grede KC i KD su jedna greda, jer imaju zajedničko poreklo.
Brojevna linija u matematici
Definicija brojevne prave u matematici: prava čije tačke označavaju brojeve naziva se brojevna prava.
Slika prikazuje brojevnu liniju, kao i OD i ED zrake
Tačka i prava linija su osnovne geometrijske figure na ravni.
Drevni grčki naučnik Euklid je rekao: “tačka” je nešto što nema dijelova.” Riječ “točka” u prijevodu s latinskog znači rezultat trenutnog dodira, injekcije. Tačka je osnova za konstruisanje bilo koje geometrijske figure.
Prava linija ili jednostavno prava je linija duž koje je razmak između dvije tačke najkraći. Prava linija je beskonačna i nemoguće je prikazati cijelu pravu liniju i izmjeriti je.
Tačke se označavaju velikim latiničnim slovima A, B, C, D, E itd., a prave istim slovima, ali malim slovima a, b, c, d, e itd. Prava linija se može označiti i sa dva slova koja odgovaraju tačkama koje leže na njoj. Na primjer, prava linija a može biti označena AB.
Možemo reći da tačke AB leže na pravoj a ili da pripadaju pravoj a. I možemo reći da prava a prolazi kroz tačke A i B.
Najjednostavniji geometrijski likovi na ravni su segment, zraka, izlomljena linija.
Segment je dio prave koji se sastoji od svih tačaka ove prave, ograničen sa dvije odabrane tačke. Ove tačke su krajevi segmenta. Segment je označen označavanjem njegovih krajeva.
Zraka ili poluprava je dio prave koji se sastoji od svih tačaka ove prave koje leže na jednoj strani date tačke. Ova tačka se naziva početna tačka poluprave ili početak zraka. Greda ima početnu tačku, ali nema kraj.
Poluprave ili zrake su označene sa dva mala latinična slova: početno i bilo koje drugo slovo koje odgovara tački koja pripada polupravi. U ovom slučaju, početna tačka se stavlja na prvo mjesto.
Ispada da je prava linija beskonačna: nema ni početak ni kraj; zraka ima samo početak, ali nema kraj, ali segment ima početak i kraj. Stoga možemo mjeriti samo segment.
Nekoliko segmenata koji su uzastopno povezani jedan s drugim tako da segmenti (susjedni) koji imaju jednu zajedničku tačku nisu smješteni na istoj pravoj liniji predstavljaju izlomljenu liniju.
Prekinuta linija može biti zatvorena ili otvorena. Ako se kraj posljednjeg segmenta poklapa s početkom prvog, imamo zatvorenu izlomljenu liniju; ako ne, to je otvorena linija.
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
Tačka je apstraktni objekat koji nema mjerne karakteristike: bez visine, bez dužine, bez radijusa. U okviru zadatka važna je samo njegova lokacija
Tačka se označava brojem ili velikim (velikim) latiničnim slovom. Nekoliko tačaka - različiti brojevi ili različitim slovima tako da se mogu razlikovati
tačka A, tačka B, tačka C
A B Ctačka 1, tačka 2, tačka 3
1 2 3Možete nacrtati tri tačke „A“ na komadu papira i pozvati dete da povuče liniju kroz dve tačke „A“. Ali kako razumjeti kroz koje? A A A
Prava je skup tačaka. Meri se samo dužina. Nema širinu ni debljinu
Označeno malim (malim) latiničnim slovima
linija a, linija b, linija c
a b cLinija može biti
- zatvoren ako su njegov početak i kraj u istoj tački,
- otvoren ako njegov početak i kraj nisu povezani
zatvorene linije
otvorene linije
Izašli ste iz stana, kupili hljeb u prodavnici i vratili se u stan. Koju si liniju dobila? Tako je, zatvoreno. Vratili ste se na svoju početnu tačku. Izašli ste iz stana, kupili hleb u prodavnici, ušli u ulaz i počeli da razgovarate sa komšijom. Koju si liniju dobila? Otvori. Niste se vratili na svoju početnu tačku. Izašli ste iz stana i kupili hljeb u prodavnici. Koju si liniju dobila? Otvori. Niste se vratili na svoju početnu tačku.- samopresecanje
- bez samoukrštanja
linije koje se same sijeku
linije bez samopresecanja
- ravno
- slomljena
- krivo
prave linije
isprekidane linije
zakrivljene linije
Prava linija je linija koja nije kriva, nema ni početak ni kraj, može se nastaviti beskonačno u oba smjera
Čak i kada je vidljivo mala površina ravnu liniju, pretpostavlja se da se nastavlja neograničeno u oba smjera
Označeno malim (malim) latiničnim slovom. Ili dva velika (velika) latinična slova - tačke koje leže na pravoj liniji
prava linija a
aprava AB
B ADirektno može biti
- seku ako imaju zajedničku tačku. Dvije prave se mogu sjeći samo u jednoj tački.
- okomito ako se sijeku pod pravim uglom (90°).
- Paralele, ako se ne seku, nemaju zajedničku tačku.
paralelne linije
linije koje se seku
okomite linije
Zraka je dio prave linije koja ima početak ali nema kraj; može se nastaviti beskonačno u samo jednom smjeru
Zraka svjetlosti na slici ima svoju početnu tačku kao sunce.
Ned
Tačka dijeli pravu liniju na dva dijela - dvije zrake A A
Greda je označena malim (malim) latiničnim slovom. Ili dva velika (velika) latinična slova, pri čemu je prvo tačka iz koje zraka počinje, a drugo tačka koja leži na zraku
ray a
agreda AB
B AZrake se poklapaju ako
- nalazi se na istoj liniji,
- početi u jednom trenutku
- usmerena u jednom pravcu
zraci AB i AC se poklapaju
zrake CB i CA se poklapaju
C B ASegment je dio prave koji je ograničen sa dvije tačke, odnosno ima i početak i kraj, što znači da se njegova dužina može izmjeriti. Dužina segmenta je rastojanje između njegove početne i krajnje tačke
Kroz jednu tačku možete nacrtati bilo koji broj linija, uključujući prave
Kroz dvije tačke - neograničen broj krivina, ali samo jedna prava linija
krive linije koje prolaze kroz dvije tačke
B Aprava AB
B AKomad je “odsječen” od prave linije i segment je ostao. Iz gornjeg primjera možete vidjeti da je njegova dužina najkraća udaljenost između dvije tačke. ✂ B A ✂
Segment se označava sa dva velika (velika) latinična slova, pri čemu je prvo tačka u kojoj segment počinje, a drugo tačka na kojoj se segment završava
segment AB
B AProblem: gdje je prava, zraka, segment, kriva?
Izlomljena linija je linija koja se sastoji od uzastopno povezanih segmenata koji nisu pod uglom od 180°
Dugačak segment je „razbijen“ na nekoliko kratkih
Karike izlomljene linije (slično karikama lanca) su segmenti koji čine izlomljenu liniju. Susjedne veze su veze u kojima je kraj jedne veze početak druge. Susjedne veze ne bi trebale ležati na istoj pravoj liniji.
Vrhovi izlomljene linije (slično vrhovima planina) su tačka od koje počinje izlomljena linija, tačke u kojima se spajaju segmenti koji čine izlomljenu liniju i tačka u kojoj se izlomljena linija završava.
Izlomljena linija se označava navođenjem svih njenih vrhova.
izlomljena linija ABCDE
vrh polilinije A, vrh polilinije B, vrh polilinije C, vrh polilinije D, vrh polilinije E
prekinuta veza AB, prekinuta veza BC, prekinuta veza CD, pokvarena veza DE
veza AB i veza BC su susjedni
link BC i link CD su susjedni
link CD i link DE su susjedni
A B C D E 64 62 127 52Dužina izlomljene linije je zbir dužina njenih karika: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305
zadatak: koja je izlomljena linija duža, A koji ima više vrhova? Prvi red ima sve karike iste dužine, odnosno 13 cm. Druga linija ima sve karike iste dužine, odnosno 49 cm. Treća linija ima sve karike iste dužine, odnosno 41 cm.
Poligon je zatvorena poligonalna linija
Stranice poligona (izrazi će vam pomoći da zapamtite: „idi u sva četiri pravca“, „trči prema kući“, „na koju stranu stola ćeš sjesti?“) su veze isprekidane linije. Susjedne strane poligona su susjedne veze isprekidane linije.
Vrhovi poligona su vrhovi izlomljene linije. Susedni vrhovi su krajnje tačke jedne strane poligona.
Poligon se označava navođenjem svih njegovih vrhova.
zatvorena polilinija bez samopresecanja, ABCDEF
poligon ABCDEF
vrh poligona A, vrh poligona B, vrh poligona C, vrh poligona D, vrh poligona E, vrh poligona F
vrh A i vrh B su susjedni
vrh B i vrh C su susjedni
vrh C i vrh D su susjedni
vrh D i vrh E su susjedni
vrh E i vrh F su susjedni
vrh F i vrh A su susjedni
strana poligona AB, strana poligona BC, strana poligona CD, strana poligona DE, strana poligona EF
strana AB i strana BC su susjedne
strana BC i strana CD su susjedne
CD strana i DE strana su susjedne
strana DE i strana EF su susjedne
strana EF i strana FA su susjedne
A B C D E F 120 60 58 122 98 141Opseg poligona je dužina izlomljene linije: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599
Poligon sa tri vrha naziva se trougao, sa četiri - četvorougao, sa pet - petougao itd.
Uprkos činjenici da je geometrija jedna od egzaktnih nauka, naučnici ne mogu jednoznačno definisati pojam „prava linija“. U samom opšti pogled možemo dati sljedeću definiciju: "Prava linija je prava duž koje je putanja jednaka udaljenosti između dvije tačke."
Šta je prava linija u matematici? Definicija prave linije u matematici je da prava linija nema krajeva i može se nastaviti u oba smjera neograničeno.
Osnovni pojmovi geometrije uključuju tačku, pravu i ravan; oni su dati bez definicije, ali definicije drugih geometrijski oblici su dati kroz ove koncepte. Ravan, kao i prava linija, je primarni koncept koji nema definiciju. Ova tvrdnja je utvrđena sljedećim aksiomom: ako dvije tačke prave leže u određenoj ravni, onda sve tačke ove prave leže u ovoj ravni. A sama tvrdnja koja se dokazuje zove se teorema. Formulacija teoreme se obično sastoji od dva dijela.
Problem: gdje je prava, zraka, segment, kriva? Vrhovi izlomljene linije (slično vrhovima planina) su tačke od kojih počinje izlomljena linija, tačke u kojima se spajaju segmenti koji čine izlomljenu liniju, tačka u kojoj se izlomljena linija završava. Problem: koja je izlomljena linija duža, a koja ima više vrhova? Susjedne strane poligona su susjedne veze isprekidane linije. Vrhovi poligona su vrhovi izlomljene linije. Susedni vrhovi su krajnje tačke jedne strane poligona.
Na časovima matematike možete čuti sljedeće objašnjenje: matematički segment ima dužinu i krajeve. Segment u matematici je skup svih tačaka koje leže na pravoj liniji između krajeva segmenta.
U budućnosti će postojati definicije za različite figure osim dvije - tačke i prave linije. To znači da ponekad ravnu liniju možemo označiti sa dva velika latinična slova, na primjer, ravna linija \(AB\), jer se kroz ove dvije tačke ne može povući nijedna prava linija. Simbolično pišemo segment \(AB\).
Šta je poenta u matematici?
Teorema: Srednja linija trougla je paralelna sa jednom od njegovih stranica i jednaka je polovini te stranice. C. Visina pravouglog trougla povučena iz vrha pravi ugao, dijeli trokut na dva slična pravokutna trougla, od kojih je svaki sličan datom trokutu. C. Upisani ugao sastavljen polukrugom je pravi ugao. Ovdje su osnovne definicije, teoreme i svojstva figura na ravni.
Vektor sa koordinatama tačke naziva se normalni vektor, okomit je na pravu.
U sistematskom prikazu geometrije, prava linija se obično uzima kao jedan od početnih pojmova, koji je samo posredno određen aksiomima geometrije.
4. Dvije divergentne prave na ravni se ili seku u jednoj tački ili su paralelne. Zraka je dio prave linije ograničen s jedne strane. Segment se, poput prave linije, označava sa jednim slovom ili dva. U potonjem slučaju, ova slova označavaju krajeve segmenta.