Kako pronaći recipročnu vrijednost broja. Recipročni brojevi, pronalaženje recipročne vrijednosti broja

Hajde da damo definiciju i damo primere recipročnih brojeva. Pogledajmo kako pronaći inverz od prirodnog broja i inverz od običnog razlomka. Osim toga, zapisujemo i dokazujemo nejednakost koja odražava svojstvo zbira recipročnih brojeva.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Recipročni brojevi. Definicija

Definicija. Recipročni brojevi

Recipročni brojevi su brojevi čiji je proizvod jednak jedan.

Ako je a · b = 1, onda možemo reći da je broj a inverzan broju b, kao što je broj b inverzan broju a.

Najjednostavniji primjer recipročnih brojeva su dvije jedinice. Zaista, 1 · 1 = 1, stoga su a = 1 i b = 1 međusobno inverzni brojevi. Drugi primjer su brojevi 3 i 1 3, - 2 3 i - 3 2, 6 13 i 13 6, log 3 17 i log 17 3. Proizvod bilo kojeg para brojeva iznad je jednak jedan. Ako ovaj uslov nije ispunjen, kao na primjer za brojeve 2 i 2 3, tada brojevi nisu međusobno inverzni.

Definicija recipročnih brojeva vrijedi za bilo koji broj – prirodan, cijeli, realan i kompleksan.

Kako pronaći inverz od datog broja

Hajde da razmotrimo opšti slučaj. Ako je originalni broj jednak a, tada će njegov inverzni broj biti zapisan kao 1 a, ili a - 1. Zaista, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Za prirodne brojeve i obične frakcije pronalaženje recipročnog broja je prilično jednostavno. Moglo bi se čak reći da je to očigledno. Ako pronađete broj koji je inverzan od iracionalnog ili kompleksnog broja, morat ćete napraviti niz izračuna.

Razmotrimo najčešće slučajeve pronalaženja recipročnog broja u praksi.

Recipročna vrijednost običnog razlomka

Očigledno, recipročna vrijednost običnog razlomka a b je razlomak b a. Dakle, da biste pronašli inverz od razlomka, jednostavno trebate preokrenuti razlomak. To jest, zamijenite brojilac i imenilac.

Prema ovom pravilu, recipročnu vrijednost bilo kojeg običnog razlomka možete napisati gotovo odmah. Dakle, za razlomak 28 57 recipročni broj će biti razlomak 57 28, a za razlomak 789 256 - broj 256 789.

Recipročan prirodni broj

Možete pronaći inverz bilo kojeg prirodnog broja na isti način kao i inverz razlomka. Dovoljno je prirodni broj a predstaviti u obliku običnog razlomka a 1. Tada će njegov inverzni broj biti broj 1 a. Za prirodni broj 3 njegova recipročna vrijednost je razlomak 1 3, za broj 666 recipročna vrijednost je 1 666, i tako dalje.

Posebnu pažnju treba obratiti na jedan, jer je to jedini broj čija je recipročna vrijednost jednaka samom sebi.

Ne postoje drugi parovi recipročnih brojeva u kojima su obje komponente jednake.

Recipročna vrijednost mješovitog broja

Mješoviti broj izgleda kao a b c. Da biste pronašli njegov inverzni broj, trebate predstaviti mješoviti broj kao nepravilan razlomak, a zatim odabrati inverzni broj za rezultirajući razlomak.

Na primjer, pronađimo recipročni broj za 7 2 5. Prvo, zamislimo 7 2 5 kao nepravilan razlomak: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

Za nepravilan razlomak 37 5, recipročna vrijednost je 5 37.

Recipročno od decimale

Decimala se takođe može predstaviti kao razlomak. Pronalaženje inverza decimalni brojevi se svode na predstavljanje decimale kao razlomak i pronalaženje njene recipročne vrednosti.

Na primjer, postoji razlomak 5, 128. Nađimo njegov inverzni broj. Prvo, pretvorite decimalni razlomak u običan razlomak: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Za dobijeni razlomak, recipročni broj će biti razlomak 125 641.

Pogledajmo još jedan primjer.

Primjer. Pronalaženje recipročne vrijednosti decimale

Nađimo recipročni broj za periodični decimalni razlomak 2, (18).

Pretvaranje decimalnog razlomka u običan razlomak:

2, 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Nakon prijevoda, možemo lako napisati recipročni broj za razlomak 24 11. Ovaj broj će očigledno biti 11 24.

Za beskonačan i neperiodičan decimalni razlomak, recipročni broj se zapisuje kao razlomak s jedinicom u brojniku i samim razlomkom u nazivniku. Na primjer, za beskonačni razlomak 3, 6025635789. . . recipročni broj će biti 1 3, 6025635789. . . .

Slično, za iracionalne brojeve koji odgovaraju neperiodnim beskonačnim razlomcima, recipročni brojevi se zapisuju u obliku frakcijskih izraza.

Na primjer, recipročna vrijednost za π + 3 3 80 će biti 80 π + 3 3, a za broj 8 + e 2 + e recipročna vrijednost će biti razlomak 1 8 + e 2 + e.

Recipročni brojevi s korijenima

Ako se tip dva broja razlikuje od a i 1 a, onda nije uvijek lako odrediti da li su brojevi recipročni. Ovo posebno vrijedi za brojeve koji imaju predznak korijena u svojoj notaciji, jer je uobičajeno da se korijena u nazivniku riješimo.

Okrenimo se praksi.

Odgovorimo na pitanje: da li su brojevi 4 - 2 3 i 1 + 3 2 recipročni?

Da bismo saznali da li su brojevi recipročni, izračunajmo njihov proizvod.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Proizvod je jednak jedan, što znači da su brojevi recipročni.

Pogledajmo još jedan primjer.

Primjer. Recipročni brojevi s korijenima

Zapišite recipročnu vrijednost 5 3 + 1.

Možemo odmah napisati da je recipročni broj jednak razlomku 1 5 3 + 1. Međutim, kao što smo već rekli, uobičajeno je da se riješimo korijena u nazivniku. Da biste to učinili, pomnožite brojilac i nazivnik sa 25 3 - 5 3 + 1. Dobijamo:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Recipročni brojevi sa stepenom

Recimo da postoji broj jednak nekom stepenu broja a. Drugim riječima, broj a podignut na stepen n. Recipročna vrijednost broja a n je broj a - n. Hajde da to proverimo. Zaista: a n · a - n = a n 1 · 1 a n = 1 .

Primjer. Recipročni brojevi sa stepenom

Nađimo recipročni broj za 5 - 3 + 4.

Prema gore napisanom, traženi broj je 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Recipročni brojevi sa logaritmima

Za logaritam broja prema bazi b, inverzni je broj jednako logaritmu brojevi b do baze a.

log a b i log b a su međusobno inverzni brojevi.

Hajde da to proverimo. Iz svojstava logaritma proizilazi da je log a b = 1 log b a, što znači log a b · log b a.

Primjer. Recipročni brojevi sa logaritmima

Pronađite recipročnu vrijednost log 3 5 - 2 3 .

Recipročna vrijednost logaritma od 3 do baze 3 5 - 2 je logaritam od 3 5 - 2 do baze 3.

Inverz od kompleksnog broja

Kao što je ranije navedeno, definicija recipročnih brojeva vrijedi ne samo za realne, već i za kompleksne brojeve.

Kompleksni brojevi se obično predstavljaju u algebarskom obliku z = x + i y. Recipročna vrijednost datog broja je razlomak

1 x + i y . Radi praktičnosti, možete skratiti ovaj izraz množenjem brojnika i nazivnika sa x - i y.

Primjer. Inverz od kompleksnog broja

Neka postoji kompleksni broj z = 4 + i. Hajde da nađemo obrnuto.

Recipročna vrijednost z = 4 + i bit će jednaka 1 4 + i.

Pomnožite brojilac i imenilac sa 4 - i i dobijete:

1 4 + i = 4 - i 4 + i 4 - i = 4 - i 4 2 - i 2 = 4 - i 16 - (- 1) = 4 - i 17 .

Pored algebarskog oblika, kompleksni broj se može predstaviti u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku na sljedeći način:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

Shodno tome, inverzni broj će izgledati ovako:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Uvjerimo se u ovo:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Razmotrimo primjere sa predstavljanjem kompleksnih brojeva u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku.

Nađimo inverzni broj za 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

S obzirom da je r = 2 3, φ = π 6, pišemo inverzni broj

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Primjer. Pronađite inverz kompleksnog broja

Koji će broj biti recipročan od 2 · e i · - 2 π 5 .

Odgovor: 1 2 e i 2 π 5

Zbir recipročnih brojeva. Nejednakost

Postoji teorema o zbiru dva međusobno inverzna broja.

Zbir recipročnih brojeva

Zbir dva pozitivna i recipročna broja uvijek je veći ili jednak 2.

Dajemo dokaz teoreme. Kao što je poznato, za bilo koji pozitivni brojevi a i b su aritmetička sredina veća ili jednaka geometrijskoj sredini. Ovo se može napisati kao nejednakost:

a + b 2 ≥ a b

Ako umjesto broja b uzmemo inverzno od a, nejednakost će poprimiti oblik:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Hajde da damo praktični primjer, koji ilustruje ovu nekretninu.

Primjer. Pronađite zbir recipročnih brojeva

Izračunajmo zbir brojeva 2 3 i njegov inverz.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Kao što teorema kaže, rezultirajući broj je veći od dva.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Poziva se par brojeva čiji je proizvod jednak jedan međusobno inverzno.

Primjeri: 5 i 1/5, −6/7 i −7/6, i

Za bilo koji broj a koji nije jednak nuli, postoji inverzno 1/a.

Recipročna vrijednost nule je beskonačnost.

Obrnuti razlomci- to su dva razlomka čiji je proizvod jednak 1. Na primjer, 3/7 i 7/3; 5/8 i 8/5 itd.

vidi takođe

Wikimedia Foundation. 2010.

Pogledajte šta je "obrnuti broj" u drugim rječnicima:

Broj čiji je proizvod na dati broj jednak jedan. Dva takva broja se zovu recipročni. To su npr. 5 i 1/5, 2/3 i 3/2 itd... Veliki enciklopedijski rječnik

recipročan broj- - [A.S. Goldberg. Englesko-ruski energetski rječnik. 2006] Teme energetike uopšte EN inverzni broj recipročni broj ... Vodič za tehnički prevodilac

Broj čiji je proizvod na dati broj jednak jedan. Dva takva broja se zovu recipročni. To su, na primjer, 5 i 1/5, 2/3 i 3/2, itd. * * * OBRATNI BROJ OBRATNI BROJ, broj čiji je proizvod na dati broj jednak ... ... enciklopedijski rječnik

Broj čiji je proizvod sa datim brojem jednak jedan. Dva takva broja se zovu recipročni. To su, na primjer, 5 i a, nije jednako nuli, postoji inverzno... Velika sovjetska enciklopedija

Broj čiji je proizvod datim brojem jednak jedan. Dva takva broja se zovu. međusobno inverzno. To su, na primjer, 5 i 1/5. 2/3 i 3/2 itd... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Broj (značenja). Broj je osnovni koncept u matematici koji se koristi za kvantifikaciju, upoređivanje i numerisanje objekata. Ponovo se pojavio unutra primitivno društvo od potreba... ... Wikipedia

Vidi također: Broj (lingvistika) Broj je apstrakcija koja se koristi za kvantitativno karakteriziranje objekata. Nastao u primitivnom društvu iz potreba brojanja, pojam broja se promijenio i obogatio i pretvorio u najvažniji matematički... Wikipedia

Obrnuto kovitlanje vode tokom strujanja je pseudonaučni mit zasnovan na netačnoj primeni Coriolisovog efekta na kretanje vode u vrtlogu do kojeg dolazi kada se uliva u drainer lavaboa ili kade. Suština mita je da voda... ... Wikipedia

IRACIONALNI BROJ Broj koji se ne može izraziti kao razlomak. Primjeri uključuju T2 i p broj. dakle, iracionalni brojevi to su brojevi sa beskonačnim brojem (neperiodičnih) decimalnih mjesta. (Međutim, suprotno nije tačno.... Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik

Laplaceova transformacija je integralna transformacija koja povezuje funkciju kompleksne varijable (slike) sa funkcijom realne varijable (original). Uz njegovu pomoć proučavaju se svojstva dinamičkih sistema i rješavaju diferencijalne i ... Wikipedia

Knjige

• Klub sretnih žena, Weaver Von. 27 žena iz različitim dijelovima svjetlo, ne poznaju jedno s drugim, s različite sudbine. Nemaju ništa zajedničko, osim jedne stvari - neverovatno su srećni u braku više od 25 godina, jer znaju Tajnu...Kada...

Materijal sa Wikipedije - slobodne enciklopedije

Obrnuti broj(recipročna vrijednost, recipročna vrijednost) na dati broj x je broj čije množenje sa x, daje jedan. Unos prihvaćen: $\backslash frac(1)x$ ili $x^(-1)$. Pozivaju se dva broja čiji je proizvod jednak jedan međusobno inverzno. Recipročni broj ne treba brkati sa inverzna funkcija. Na primjer, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ razlikuje se od vrijednosti funkcije inverzne kosinus - arc kosinus, koji je označen $\backslash cos^(-1)x$ ili $\backslash arccos\; x$.

Obrnuti pravi broj

Forms kompleksni broj	Broj $(z)$	Obrnuto $\backslash lijevo\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash desno)$
Algebarski	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
Trigonometrijski	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Indikativno	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

dokaz:
Za algebarske i trigonometrijske oblike koristimo osnovno svojstvo razlomka, množeći brojilac i imenilac kompleksnim konjugatom:

• Algebarski oblik:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Trigonometrijski oblik:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Demonstrativni oblik:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Stoga je pri pronalaženju inverza kompleksnog broja pogodnije koristiti njegov eksponencijalni oblik.

primjer:

Kompleksni brojevi	Broj $(z)$	Obrnuto $\backslash lijevo\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash desno)$
Algebarski	$1+i\backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
Trigonometrijski	$2\; \backslash lijevo\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash desno)$ ili $2\; \backslash lijevo\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash desno)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ ili $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$
Indikativno	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Inverzna imaginarnoj jedinici

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Dakle, dobijamo

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ ili__ $i^(-1)=-i$

Isto tako za $-i$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ ili __ $-i^(-1)=i$

Napišite recenziju o članku "Obrnuti broj"

Bilješke

vidi takođe

Izvod koji karakteriše reversni broj

Tako pričaju priče, a sve je to potpuno nepravedno, što svako ko želi da pronikne u suštinu stvari lako vidi.
Rusi nisu mogli naći bolju poziciju; ali, naprotiv, u povlačenju su prošli kroz mnoge položaje koji su bili bolji od Borodina. Nisu se složili ni sa jednim od ovih stavova: i zato što Kutuzov nije hteo da prihvati poziciju koju nije on izabrao, i zato što zahtev za narodnom borbom još nije bio dovoljno snažno izražen, i zato što Miloradovič još nije pristupio sa milicijom, a i iz drugih razloga kojih je bezbroj. Činjenica je da su prijašnji položaji bili jači i da Borodinski položaj (onaj na kojem se vodila bitka) ne samo da nije jak, nego iz nekog razloga uopće nije položaj veći od bilo kojeg drugog mjesta u Rusko carstvo, što bi, pri nagađanju, bilo označeno pinom na karti.
Rusi ne samo da nisu učvrstili položaj Borodinskog polja s lijeve strane pod pravim uglom u odnosu na cestu (tj. mjesto gdje se odigrala bitka), nego nikada prije 25. avgusta 1812. godine nisu pomislili da bi bitka mogla zauzeti mjesto na ovom mjestu. O tome svjedoči, prvo, činjenica da ne samo 25. na ovom mjestu nije bilo utvrđenja, nego da započeta 25. nisu ni završena ni 26.; drugo, dokaz je pozicija Reduta Ševardinskog: Reduta Ševardinskog, ispred pozicije na kojoj je bitka odlučena, nema nikakvog smisla. Zašto je ova reduta bila utvrđena jača od svih ostalih punktova? I zašto su, braneći ga 24. do kasno u noć, iscrpljeni svi napori i izgubljeno šest hiljada ljudi? Za posmatranje neprijatelja bila je dovoljna kozačka patrola. Treće, dokaz da položaj na kojem se bitka nije bio predviđen i da reduta Ševardinski nije bila prednja tačka ovog položaja je činjenica da su Barkli de Toli i Bagration do 25. bili uvereni da je reduta Ševardinski levi bok. položaja i da sam Kutuzov u svom izvještaju, napisanom u žaru trenutka nakon bitke, Redutu Ševardinskog naziva levim bokom položaja. Mnogo kasnije, kada su se izveštaji o Borodinskoj bici pisali u javnost, bilo je (verovatno da bi se opravdale greške glavnog komandanta, koji je morao da bude nepogrešiv) izmišljeno nepravedno i čudno svedočenje da je Reduta Ševardinski služio kao prednji stub (dok je bio samo utvrđeni punkt lijevog boka) i kao da bitka kod Borodina prihvaćeno od nas na utvrđenom i unaprijed odabranom položaju, a dogodilo se na potpuno neočekivanom i gotovo neutvrđenom mjestu.
Stvar je, očigledno, bila ovakva: položaj je izabran uz reku Koloču, koja ne prelazi glavni put pod pravim uglom, već pod oštrim uglom, tako da je levi bok bio u Ševardinu, desni kod s. Novy i centar u Borodinu, na ušću reka Koloča i Vo yn. Ova pozicija, pod okriljem reke Koloče, za vojsku čiji je cilj da zaustavi neprijatelja koji se kreće Smolenskim putem ka Moskvi, očigledan je svakome ko pogleda na Borodinsko polje, zaboravljajući kako se bitka odigrala.
Napoleon, koji je otišao u Valuev 24., nije vidio (kako kažu u pričama) položaj Rusa od Utice do Borodina (nije mogao vidjeti ovu poziciju, jer nije postojao) i nije vidio naprijed posta ruske vojske, ali je naletio na rusku pozadinu u poteri na lijevi bok ruskog položaja, do Redute Ševardinski i, neočekivano za Ruse, prebacio trupe kroz Koloču. A Rusi su se, ne stigavši ​​da se upuste u opštu bitku, svojim levim krilom povukli sa položaja koji su nameravali da zauzmu i zauzeli novi položaj, koji nije bio predviđen i nije utvrđen. Prešavši na lijevu stranu Koloče, lijevo od puta, Napoleon je cijelu buduću bitku pomjerio s desna na lijevo (sa ruske strane) i prenio je na polje između Utice, Semenovskog i Borodina (na ovo polje, koje nema ništa povoljnije za poziciju od bilo kojeg drugog polja u Rusiji), a na ovom polju se cijela bitka odigrala 26. U grubom obliku, plan za predloženu bitku i bitku koja se odigrala bit će sljedeći:

Da Napoleon nije otišao uveče 24. za Koloču i nije naredio napad na redutu odmah uveče, već je krenuo u napad sutradan ujutro, onda niko ne bi sumnjao da je reduta Ševardinski bila lijevo krilo našeg položaja; i bitka bi se odigrala kako smo očekivali. U ovom slučaju, vjerovatno bismo još tvrdoglavije branili redutu Ševardinski, svoj levi bok; Napoleon bi bio napadnut u sredini ili desno, a 24. bi se odigrala opšta bitka na utvrđenom i predviđenom položaju. Ali pošto se napad na naš lijevi bok dogodio u večernjim satima, nakon povlačenja naše pozadinske garde, odnosno odmah nakon bitke kod Gridneva, i pošto ruske vojskovođe nisu htjele ili nisu imale vremena započeti opštu bitku iste večeri 24., prva i glavna akcija Borodinskog. Bitka je izgubljena 24. i, očigledno, dovela je do gubitka one vođene 26.
Nakon gubitka Redute Ševardinski, do jutra 25. našli smo se bez položaja na lijevom boku i bili primorani da povijemo lijevo krilo i žurno ga svuda ojačamo.
Ali ne samo da su ruske trupe 26. avgusta stajale samo pod zaštitom slabih, nedovršenih utvrđenja, već je i nedostatak ove situacije bio uvećan činjenicom da ruske vojskovođe nisu priznale potpuno ostvarenu činjenicu (gubitak položaja na lijevog boka i prebacivanja cjelokupnog budućeg bojnog polja s desna na lijevo), ostali su na svom proširenom položaju od sela Novy do Utitsa i kao rezultat toga morali su pomicati svoje trupe tijekom bitke s desna na lijevo. Tako su Rusi tokom cijele bitke imali duplo slabije snage protiv cijele francuske vojske usmjerene na naše lijevo krilo. (Akcije Poniatowskog protiv Utice i Uvarova na francuskom desnom krilu bile su akcije odvojene od toka bitke.)
Dakle, Borodinska bitka se uopće nije dogodila kako je opisuju (pokušavajući sakriti greške naših vojskovođa i kao rezultat toga umanjujući slavu ruske vojske i naroda). Borodinska bitka se nije odigrala na odabranom i utvrđenom položaju sa snagama koje su bile nešto slabije na ruskoj strani, ali su Borodinsku bitku, zbog gubitka Redute Ševardinskog, Rusi prihvatili otvoreno, gotovo neutvrđeno područje sa duplo slabijim snagama protiv Francuza, odnosno u takvim uslovima u kojima je bilo ne samo nezamislivo boriti se deset sati i bitku učiniti neodlučnom, već je bilo nezamislivo zadržati vojsku od potpunog poraza i bekstva tri sati.

Ujutro 25. Pjer je napustio Mozhaisk. Na silasku sa ogromne strme i krivudave planine koja vodi van grada, pored katedrale koja stoji na gori s desne strane, u kojoj se odvijala služba i propovijedalo jevanđelje, Pjer je izašao iz kočije i otišao dalje. stopalo. Iza njega se na planinu spuštao neki konjički puk sa pjevačima ispred. Prema njemu je išao voz zaprežnih kola sa ranjenima u jučerašnjem slučaju. Vozači seljaka, vičući na konje i bičući ih bičevima, trčali su s jedne strane na drugu. Kola, na kojima su ležala i sjedila tri-četiri ranjena vojnika, preskakala su kamenje bačeno u vidu pločnika na strmoj padini. Ranjenici, vezani krpama, bledi, stisnutih usana i namrštenih obrva, držeći se za krevete, skakali su i gurali se u kola. Svi su s gotovo naivnom djetinjom radoznalošću gledali u Pjerov bijeli šešir i zeleni frak.

Recipročni - ili međusobno recipročni - brojevi su par brojeva koji, kada se pomnože, daju 1. U stvari opšti pogled recipročne vrednosti su brojevi. Karakteristično poseban slučaj recipročni brojevi – par. Inverzi su, recimo, brojevi; .

Kako pronaći recipročnu vrijednost broja

Pravilo: potrebno je podijeliti 1 (jedan) datim brojem.

Primjer br. 1.

Dat je broj 8. Njegov inverz je 1:8 ili (druga opcija je poželjnija, jer je ova notacija matematički ispravnija).

Kada tražite recipročni broj za obični razlomak, dijeljenje sa 1 nije baš zgodno, jer snimanje je glomazno. U ovom slučaju, mnogo je lakše učiniti stvari drugačije: razlomak se jednostavno okreće, zamjenjujući brojnik i nazivnik. Ako je dat pravilan razlomak, onda je nakon okretanja rezultujući razlomak nepravilan, tj. onaj iz kojeg se može izolovati cijeli dio. Da li to učiniti ili ne mora se odlučiti od slučaja do slučaja. Dakle, ako tada morate izvršiti neke radnje s rezultirajućim obrnutim razlomkom (na primjer, množenje ili dijeljenje), onda ne biste trebali odabrati cijeli dio. Ako je rezultujući razlomak konačni rezultat, onda je možda poželjno izolirati cijeli dio.

Primjer br. 2.

Dat razlomak. Obrnuto tome: .

Ako trebate pronaći recipročnu vrijednost decimalnog razlomka, trebali biste koristiti prvo pravilo (dijeleći 1 brojem). U ovoj situaciji možete djelovati na jedan od 2 načina. Prvi je da jednostavno podijelite 1 tim brojem u kolonu. Drugi je da formirate razlomak od 1 u brojiocu i decimale u nazivniku, a zatim pomnožite brojilac i nazivnik sa 10, 100 ili drugim brojem koji se sastoji od 1 i onoliko nula koliko je potrebno da se riješite decimalni zarez u nazivniku. Rezultat će biti običan razlomak, što je rezultat. Ako je potrebno, možda ćete ga trebati skratiti, odabrati cijeli dio iz njega ili ga pretvoriti u decimalni oblik.

Primjer br. 3.

Navedeni broj je 0,82. Recipročni broj je: . Sada smanjimo razlomak i odaberimo cijeli dio: .

Kako provjeriti da li su dva broja recipročna

Princip verifikacije se zasniva na određivanju recipročnih brojeva. Odnosno, da biste bili sigurni da su brojevi recipročni jedni drugima, morate ih pomnožiti. Ako je rezultat jedan, tada su brojevi međusobno inverzni.

Primjer br. 4.

S obzirom na brojeve 0,125 i 8. Jesu li recipročni?

Ispitivanje. Potrebno je pronaći proizvod 0,125 i 8. Radi jasnoće, predstavimo ove brojeve u obliku običnih razlomaka: (smanjite 1. razlomak za 125). Zaključak: brojevi 0,125 i 8 su recipročni.

Svojstva recipročnih brojeva

Nekretnina br. 1

Recipročna vrijednost postoji za bilo koji broj osim 0.

Ovo ograničenje je zbog činjenice da ne možete dijeliti sa 0, a kada se odredi recipročni broj za nulu, morat će se premjestiti u nazivnik, tj. zapravo podijeliti s tim.

Nekretnina br. 2

Zbir para recipročnih brojeva uvijek nije manji od 2.

Matematički, ovo svojstvo se može izraziti nejednakošću: .

Nekretnina br. 3

Množenje broja sa dva recipročna broja je ekvivalentno množenju sa jednim. Izrazimo ovo svojstvo matematički: .

Primjer br. 5.

Naći vrijednost izraza: 3,4·0,125·8. Pošto su brojevi 0,125 i 8 recipročni (vidi Primer br. 4), nema potrebe da se 3,4 množi sa 0,125, a zatim sa 8. Dakle, ovdje će odgovor biti 3.4.

Sadržaj:

Recipročne vrijednosti su potrebne pri rješavanju svih vrsta algebarskih jednadžbi. Na primjer, ako trebate podijeliti jedan razlomak s drugim, prvi broj pomnožite recipročnim brojem drugog. Osim toga, recipročni brojevi se koriste pri pronalaženju jednačine prave linije.

Koraci

1 Pronalaženje recipročne vrijednosti razlomka ili cijelog broja

1. 1 Nađite recipročnu vrijednost razlomka tako što ćete je obrnuti."Recipročni broj" je definiran vrlo jednostavno. Da biste ga izračunali, jednostavno izračunajte vrijednost izraza "1 ÷ (izvorni broj)". Za razlomak, recipročna vrijednost razlomka je još jedan razlomak koji se može izračunati jednostavnim „obrnutim“ razlomkom (promjenom mjesta brojnika i nazivnika).
   • Na primjer, recipročna vrijednost razlomka 3/4 je 4 / 3 .
2. 2 Recipročnu vrijednost cijelog broja napišite kao razlomak. I u ovom slučaju, recipročni broj se računa kao 1 ÷ (originalni broj). Za cijeli broj recipročnu vrijednost zapišite kao razlomak; ne morate da radite matematiku i zapišete je kao decimalu.
   • Na primjer, recipročna vrijednost 2 je 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Pronalaženje recipročne vrijednosti mješovitog razlomka

1. 1 Šta se desilo " mješovita frakcija". Mješoviti razlomak je broj napisan kao cijeli broj i jednostavan razlomak, na primjer, 2 4 / 5. Pronalaženje recipročne vrijednosti mješovitog razlomka provodi se u dva koraka, opisana u nastavku.
2. 2 Zapišite mješoviti razlomak kao nepravilan razlomak. Vi, naravno, zapamtite da se jedinica može napisati kao (broj)/(isti broj), a razlomci sa isti imenioci(broj ispod crte) mogu se međusobno dodavati. Evo kako to učiniti za razlomak 2 4 / 5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Obrnite razlomak. Kada se mješoviti razlomak zapiše kao nepravilan razlomak, možemo lako pronaći recipročnu vrijednost jednostavnim zamjenom brojnika i nazivnika.
   • Za gornji primjer, recipročni broj bi bio 14 / 5 - 5 / 14 .

3 Pronalaženje recipročne vrijednosti decimalnog razlomka

1. 1 Ako je moguće, izrazite decimalu kao razlomak. Morate znati da se mnoge decimale mogu lako pretvoriti u prosti razlomci. Na primjer, 0,5 = 1/2 i 0,25 = 1/4. Nakon što napišete broj kao jednostavan razlomak, lako možete pronaći njegovu recipročnu vrijednost jednostavnim okretanjem razlomka.
   • Na primjer, recipročna vrijednost 0,5 je 2 / 1 = 2.
2. 2 Riješite zadatak pomoću dijeljenja. Ako ne možete zapisati decimalu kao razlomak, izračunajte recipročnu vrijednost rješavanjem problema dijeljenjem: 1 ÷ (decimala). Možete koristiti kalkulator da to riješite ili prijeđite na sljedeći korak ako želite izračunati vrijednost ručno.
   • Na primjer, recipročna vrijednost 0,4 se izračunava kao 1 ÷ 0,4.
3. 3 Promijenite izraz da radi s cijelim brojevima. Prvi korak u dijeljenju decimale je pomicanje decimalnog zareza sve dok svi brojevi u izrazu ne budu cijeli brojevi. Budući da pomjerite decimalno mjesto za isti broj mjesta i u dividendi i u djelitelju, dobićete tačan odgovor.
4. 4 Na primjer, uzmete izraz 1 ÷ 0,4 i zapišete ga kao 10 ÷ 4. U ovom slučaju, pomjerili ste decimalno mjesto za jedno mjesto udesno, što je isto kao množenje svakog broja sa deset.
5. 5 Riješite zadatak tako što ćete brojeve podijeliti u kolonu. Dugim dijeljenjem možete izračunati recipročni broj. Ako podijelite 10 sa 4, trebali biste dobiti 2,5, što je recipročno 0,4.

• Vrijednost negativnog recipročnog broja bit će jednaka recipročnom broju pomnoženom sa -1. Na primjer, negativna recipročna vrijednost 3/4 je - 4/3.
• Recipročan broj se ponekad naziva "recipročnim" ili "recipročnim".
• Broj 1 je recipročan jer je 1 ÷ 1 = 1.
• Nula nema recipročnost jer izraz 1 ÷ 0 nema rješenja.

Povratak