U ovom članku ćemo analizirati tako važnu radnju s decimalnim razlomcima kao što je podjela. Prvo formulišemo opšti principi, zatim ćemo analizirati kako pravilno podijeliti decimalne razlomke sa stupcem i na druge razlomke i na cijeli brojevi. Zatim ćemo analizirati podjelu običnih razlomaka na decimale i obrnuto, a na kraju ćemo vidjeti kako pravilno podijeliti razlomke koji završavaju na 0, 1, 0, 01, 100, 10, itd.
Ovdje uzimamo samo slučajeve sa pozitivnim razlomcima. Ako ispred razlomka postoji minus, onda da biste postupili s njim, morate proučiti materijal o podjeli racionalnih i realnih brojeva.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Svi decimalni razlomci, i konačni i periodični, samo su poseban oblik pisanja običnih razlomaka. Stoga se za njih primjenjuju isti principi kao i za njihove odgovarajuće obične razlomke. Dakle, cijeli proces dijeljenja decimalnih razlomaka svodimo na njihovu zamjenu običnim, nakon čega slijedi računanje po nama već poznatim metodama. Uzmimo konkretan primjer.
Primjer 1
Podijelite 1,2 sa 0,48.
Rješenje
Decimalne razlomke pišemo u obliku običnih razlomaka. Moći ćemo:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Dakle, trebamo podijeliti 6 5 sa 12 25 . Mi vjerujemo:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
Iz rezultirajućeg nepravilnog razlomka možete odabrati cijeli dio i dobiti mješoviti broj 2 1 2, ili ga možete predstaviti kao decimalni razlomak tako da odgovara originalnim brojevima: 5 2 \u003d 2, 5. Kako to učiniti, već smo pisali ranije.
odgovor: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Primjer 2
Izračunajte koliko će biti 0 , (504) 0 , 56 .
Rješenje
Prvo, trebamo pretvoriti periodični decimalni razlomak u običan.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
Nakon toga ćemo također prevesti konačni decimalni razlomak u drugi oblik: 0, 56 = 56 100. Sada imamo dva broja s kojima će nam biti lako izvršiti potrebne proračune:
0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Imamo rezultat koji također možemo pretvoriti u decimalni. Da biste to učinili, podijelite brojilac sa nazivnikom koristeći metodu stupca:
odgovor: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Ako smo u primjeru dijeljenja susreli neperiodične decimalne razlomke, tada ćemo postupiti malo drugačije. Ne možemo ih dovesti do uobičajenih običnih razlomaka, pa ih prilikom dijeljenja prvo moramo zaokružiti na određenu cifru. Ova radnja se mora izvesti i sa dividendom i sa djeliteljem: mi ćemo također zaokružiti postojeći konačni ili periodični razlomak u interesu tačnosti.
Primjer 3
Pronađite koliko će biti 0, 779 ... / 1, 5602.
Rješenje
Prije svega, oba razlomka zaokružujemo na stotinke. Ovako prelazimo sa beskonačnih razlomaka koji se ne ponavljaju na konačne decimale:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Možemo nastaviti proračune i dobiti približan rezultat: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78100: 156100 = 78100 100156 = 78156 = 12 = 0,5.
Preciznost rezultata zavisiće od stepena zaokruživanja.
odgovor: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Kako podijeliti prirodni broj decimalom i obrnuto
Pristup podjeli u ovom slučaju je gotovo isti: konačne i periodične razlomke zamjenjujemo običnim, a beskonačne neperiodične zaokružujemo. Počnimo s primjerom dijeljenja prirodnim brojem i decimalnim razlomkom.
Primjer 4
Podijelite 2,5 sa 45.
Rješenje
Dovedemo 2, 5 u oblik običnog razlomka: 255 10 \u003d 51 2. Zatim, samo ga trebamo podijeliti prirodnim brojem. Već znamo kako to učiniti:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Ako rezultat prevedemo u decimalni zapis, onda ćemo dobiti 0 , 5 (6) .
odgovor: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Metoda dijeljenja kolonom nije dobra samo za prirodne brojeve. Po analogiji, možemo ga koristiti i za razlomke. U nastavku ćemo navesti redoslijed radnji koje je potrebno izvršiti za to.
Definicija 1
Da biste kolonu decimalnih razlomaka podijelili prirodnim brojevima, morate:
1. Dodajte nekoliko nula decimalnom razlomku na desnoj strani (za dijeljenje možemo dodati bilo koji broj njih koji nam je potreban).
2. Podijelite decimalni razlomak prirodnim brojem koristeći algoritam. Kada se dijeljenje cjelobrojnog dijela razlomka završi, u rezultujući količnik stavljamo zarez i dalje brojimo.
Rezultat takve podjele može biti ili konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak. Zavisi od ostatka: ako je nula, tada će rezultat biti konačan, a ako se ostaci počnu ponavljati, onda će odgovor biti periodični razlomak.
Uzmimo nekoliko zadataka kao primjer i pokušajmo dovršiti ove korake određenim brojevima.
Primjer 5
Izračunaj koliko će biti 65 , 14 4 .
Rješenje
Koristimo metod kolone. Da biste to učinili, dodajte dvije nule razlomku i dobijete decimalni razlomak 65, 1400, koji će biti jednak originalu. Sada pišemo kolonu za dijeljenje sa 4:
Dobiveni broj će biti rezultat dijeljenja cijelog broja koji nam je potreban. Stavljamo zarez, odvajamo ga i nastavljamo:
Dostigli smo nulti ostatak, dakle, proces dijeljenja je završen.
odgovor: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Primjer 6
Podijelite 164,5 sa 27.
Rješenje
Prvo podijelimo razlomljeni dio i dobijemo:
Dobivenu figuru odvajamo zarezom i nastavljamo dijeliti:
Vidimo da su se ostaci počeli periodično ponavljati, a brojevi devet, dva i pet su počeli da se smenjuju u količniku. Tu ćemo se zaustaviti i odgovor napisati kao periodični razlomak 6, 0 (925) .
odgovor: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Takva podjela se može svesti na proces pronalaženja privatnog decimalnog razlomka i prirodnog broja koji je već opisan. Da bismo to učinili, trebamo pomnožiti dividendu i djelitelj sa 10, 100 itd. tako da se djelitelj pretvori u prirodan broj. Zatim izvodimo gornji redoslijed radnji. Ovaj pristup je moguć zbog svojstava dijeljenja i množenja. U doslovnom obliku, napisali smo ih ovako:
a: b = (a 10) : (b 10) , a: b = (a 100) : (b 100) i tako dalje.
Formulirajmo pravilo:
Definicija 2
Da biste jedan konačni decimalni razlomak podijelili s drugim, morate:
1. Pomaknite zarez u dividendi i djelitelju udesno za broj znakova koji je potreban da se djelitelj pretvori u prirodan broj. Ako u dividendi nema dovoljno znakova, dodajemo joj nule na desnoj strani.
2. Nakon toga, dijelimo razlomak kolonom sa rezultirajućim prirodnim brojem.
Pogledajmo konkretan problem.
Primjer 7
Podijelite 7, 287 sa 2, 1.
Rješenje: Da bi djelitelj bio prirodan broj, trebamo pomaknuti zarez za jedan znak udesno. Tako smo prešli na dijeljenje decimalnog razlomka 72, 87 sa 21. Zapišimo dobijene brojeve u kolonu i izračunamo
odgovor: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Primjer 8
Izračunaj 16 , 3 0 , 021 .
Rješenje
Moraćemo da pomerimo zarez na tri cifre. Za ovo nema dovoljno cifara u djelitelju, što znači da trebate koristiti dodatne nule. Mislimo da će krajnji rezultat biti:
Vidimo periodično ponavljanje ostataka 4 , 19 , 1 , 10 , 16 , 13 . Količnik se ponavlja 1, 9, 0, 4, 7 i 5. Tada je naš rezultat periodična decimala 776 , (190476) .
odgovor: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Metoda koju smo mi opisali omogućava vam da učinite suprotno, odnosno podijelite prirodni broj konačnim decimalnim razlomkom. Da vidimo kako se to radi.
Primjer 9
Izračunaj koliko će biti 3 5 , 4 .
Rješenje
Očigledno je da ćemo morati da pomerimo zarez udesno za jedan znak. Nakon toga možemo početi dijeliti 30, 0 sa 54. Zapišimo podatke u kolonu i izračunajmo rezultat:
Ponavljanje ostatka daje nam broj 0 , (5) , koji je periodična decimala.
odgovor: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Kako podijeliti decimale sa 1000, 100, 10 itd.
Prema već proučenim pravilima za dijeljenje običnih razlomaka, dijeljenje razlomka na desetice, stotine, hiljade je slično množenju sa 1/1000, 1/100, 1/10, itd. Ispada da se izvrši dijeljenje, u ovaj slučaj samo pomjerite zarez na pravi iznos cifre. Ako u broju nema dovoljno vrijednosti za prijenos, potrebno je dodati potreban broj nula.
Primjer 10
Dakle, 56, 21: 10 = 5, 621 i 0, 32: 100 000 = 0, 0000032.
U slučaju beskonačnih decimala, radimo isto.
Primjer 11
Na primjer, 3 , (56) : 1000 = 0 , 003 (56) i 593 , 374 ... : 100 = 5 , 93374 ... .
Kako podijeliti decimale sa 0,001, 0,01, 0,1 itd.
Koristeći isto pravilo, također možemo podijeliti razlomke sa naznačene vrednosti. Ova radnja će biti slična množenju sa 1000 , 100 , 10 respektivno. Da bismo to učinili, pomjerimo zarez na jednu, dvije ili tri znamenke, ovisno o uvjetima problema, i dodamo nule ako u broju nema dovoljno cifara.
Primjer 12
Na primjer, 5, 739: 0, 1 = 57, 39 i 0, 21: 0, 00001 = 21 000.
Ovo pravilo vrijedi i za beskonačne decimale. Savjetujemo vam samo da pazite na period razlomka koji se dobije u odgovoru.
Dakle, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , jer nakon što smo pomaknuli zarez u decimalnom zapisu 7 , 5716716716 ... dvije cifre udesno, dobili smo 757 , 167167 ... .
Ako u primjeru imamo neperiodične razlomke, onda je sve jednostavnije: 394 , 38283 ... : 0 , 001 = 394382 , 83 ... .
Kako podijeliti mješoviti broj ili običan razlomak decimalom i obrnuto
Ovu radnju također svodimo na operacije s običnim razlomcima. Da biste to učinili, morate zamijeniti decimalni brojevi odgovarajuće obične razlomke, a mješoviti broj zapišite kao nepravilan razlomak.
Ako neperiodični razlomak podijelimo običnim ili mješovitim brojem, trebamo učiniti suprotno, zamijenivši običan razlomak ili mješoviti broj sa odgovarajućim decimalnim razlomkom.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Razlomak je jedan ili više dijelova cjeline, koji se obično uzimaju kao jedinica (1). Kao i kod prirodnih brojeva, možete izvoditi sve osnovne aritmetičke operacije s razlomcima (sabiranje, oduzimanje, dijeljenje, množenje), za to morate znati karakteristike rada s razlomcima i razlikovati njihove vrste. Postoji nekoliko vrsta razlomaka: decimalni i obični ili jednostavni. Svaka vrsta razlomaka ima svoje specifičnosti, ali kada jednom temeljito shvatite kako se s njima nositi, moći ćete rješavati sve primjere s razlomcima, jer ćete znati osnovne principe za izvođenje aritmetičkih računanja s razlomcima. Pogledajmo primjere kako podijeliti razlomak cijelim brojem koristeći različite vrste razlomci.
Kako podijeliti razlomak prirodnim brojem?Obični ili prosti razlomci nazivaju se razlomci koji su zapisani kao takav omjer brojeva u kojem je na vrhu razlomka naznačena dividenda (brojnik), a ispod je djelitelj (imenik) razlomka. Kako podijeliti takav razlomak cijelim brojem? Pogledajmo primjer! Recimo da trebamo 8/12 podijeliti sa 2.
Da bismo to učinili, moramo izvršiti niz radnji:
Dakle, ako se suočimo sa zadatkom dijeljenja razlomka cijelim brojem, shema rješenja će izgledati otprilike ovako: 
Slično, možete podijeliti bilo koji obični (prosti) razlomak cijelim brojem.
Kako podijeliti decimalu cijelim brojem?
Decimalni razlomak je razlomak koji se dobije dijeljenjem jedinice na deset, hiljadu i tako dalje. Aritmetičke operacije sa decimalnim razlomcima su prilično jednostavni.
Razmotrimo primjer kako podijeliti razlomak cijelim brojem. Recimo da trebamo podijeliti decimalni razlomak 0,925 prirodnim brojem 5.
Sumirajući, fokusirat ćemo se na dvije glavne točke koje su važne pri izvođenju operacije dijeljenja decimalnih razlomaka cijelim brojem: - da se decimalni razlomak podijeli prirodnim brojem, koristi se podjela u stupac;
- zarez se stavlja u privatno kada je dijeljenje cjelobrojnog dijela dividende završeno.
Razmotrite primjere dijeljenja decimala u ovom svjetlu.
Primjer.
Podijelite decimalu 1,2 sa decimalom 0,48.
Rješenje.
odgovor:
1,2:0,48=2,5 .
Primjer.
Podijelite periodičnu decimalu 0.(504) sa decimalom 0.56.
Rješenje.
Prevedemo periodični decimalni razlomak u običan:. Također prevodimo konačni decimalni razlomak 0,56 u običan, imamo 0,56 = 56/100. Sada možemo prijeći s dijeljenja originalnih decimala na dijeljenje običnih razlomaka i završiti proračune: .
Prevedemo rezultujući obični razlomak u decimalni razlomak tako što podijelimo brojilac sa nazivnikom u stupcu:
odgovor:
0,(504):0,56=0,(900) .
Princip dijeljenja beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka razlikuje se od principa dijeljenja konačnih i periodičnih decimalnih razlomaka, jer se decimalni razlomci koji se ne ponavljaju ne mogu pretvoriti u obične razlomke. Podjela beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka svodi se na dijeljenje konačnih decimalnih razlomaka, za koje se provodi zaokruživanje brojeva do određenog nivoa. Štaviše, ako je jedan od brojeva s kojima se vrši dijeljenje konačan ili periodični decimalni razlomak, tada se također zaokružuje na istu znamenku kao i neperiodični decimalni razlomak.
Primjer.
Podijelite beskonačnu neponavljajuću decimalu 0,779... sa završnom decimalom 1,5602.
Rješenje.
Prvo morate zaokružiti decimalne razlomke kako biste prešli od dijeljenja beskonačnog neponavljajućeg decimalnog razlomka na dijeljenje konačnih decimalnih razlomaka. Možemo zaokružiti na stotinke: 0,779…≈0,78 i 1,5602≈1,56. Dakle, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .
odgovor:
0,779…:1,5602≈0,5 .
Dijeljenje prirodnog broja decimalnim razlomkom i obrnuto
Suština pristupa dijeljenju prirodnog broja decimalnim razlomkom i dijeljenju decimalnog razlomka prirodnim brojem ne razlikuje se od suštine dijeljenja decimalnih razlomaka. To jest, konačni i periodični razlomci se zamjenjuju običnim razlomcima, a beskonačni neperiodični razlomci se zaokružuju.
Za ilustraciju, razmotrite primjer dijeljenja decimalnog razlomka prirodnim brojem.
Primjer.
Podijelite decimalni razlomak 25,5 prirodnim brojem 45.
Rješenje.
Zamjenom decimalnog razlomka 25,5 običnim razlomkom 255/10=51/2, dijeljenje se svodi na dijeljenje običnog razlomka prirodnim brojem: . Rezultirajući razlomak u decimalnom zapisu je 0,5(6) .
odgovor:
25,5:45=0,5(6) .
Podjela decimalnog razlomka prirodnim brojem kolonom
Dijeljenje konačnih decimalnih razlomaka prirodnim brojevima prikladno se izvodi kolonom po analogiji s dijeljenjem kolonom prirodnih brojeva. Evo pravila podjele.
To podijeliti decimalu prirodnim brojem kolonom, potrebno:
- dodajte nekoliko cifara desno u djeljivi decimalni razlomak 0, (tokom dijeljenja, ako je potrebno, možete dodati bilo koji broj nula, ali ove nule možda neće biti potrebne);
- izvršite dijeljenje stupcem decimalnog razlomka prirodnim brojem prema svim pravilima za dijeljenje stupcem prirodnih brojeva, ali kada je dijeljenje cijelog broja decimalnog razlomka završeno, tada u privatnom trebate stavite zarez i nastavite dijeljenje.
Recimo odmah da se kao rezultat dijeljenja konačnog decimalnog razlomka prirodnim brojem može dobiti ili konačni decimalni razlomak ili beskonačan periodični decimalni razlomak. Zaista, nakon dijeljenja svih decimalnih mjesta djeljivog razlomka koji nije 0, možemo dobiti ili ostatak 0, i dobićemo konačni decimalni razlomak, ili će se ostatak početi periodično ponavljati, i dobićemo periodičnu decimalnu frakcija.
Pozabavimo se svim zamršenostima dijeljenja decimalnih razlomaka na prirodne brojeve kolonom prilikom rješavanja primjera.
Primjer.
Podijelite decimalu 65,14 sa 4.
Rješenje.
Izvršimo dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem po stupcu. Dodajmo par nula desno u zapisu razlomka 65,14, dok dobijemo decimalni razlomak jednak njemu 65,1400 (vidi jednake i nejednake decimalne razlomke). Sada možete početi dijeliti cijeli broj decimalnog razlomka 65,1400 prirodnim brojem 4 u stupcu: 
Time se završava dijeljenje cijelog broja decimalnog razlomka. Ovdje privatno trebate staviti decimalni zarez i nastaviti dijeljenje: 
Došli smo do ostatka od 0, u ovoj fazi se podjela po koloni završava. Kao rezultat, imamo 65,14:4=16,285.
odgovor:
65,14:4=16,285 .
Primjer.
Podijelite 164,5 sa 27.
Rješenje.
Podijelimo decimalni razlomak prirodnim brojem kolonom. Nakon podjele cijelog broja, dobijamo sljedeću sliku: 
Sada stavljamo zarez privatno i nastavljamo podjelu stupcem: 
Sada se jasno vidi da su se ostaci od 25, 7 i 16 počeli ponavljati, dok se brojevi 9, 2 i 5 ponavljaju u količniku. Dakle, dijeljenje decimale 164,5 sa 27 daje nam periodičnu decimalu 6,0(925) .
odgovor:
164,5:27=6,0(925) .
Podjela decimalnih razlomaka po stupcu
Podjela decimalnog razlomka decimalnim razlomkom može se svesti na dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem kolonom. Da biste to učinili, djelilac i djelitelj moraju se pomnožiti sa takvim brojem 10, ili 100, ili 1000, itd., tako da djelitelj postane prirodan broj, a zatim podijeliti prirodnim brojem sa stupcem. To možemo učiniti zahvaljujući svojstvima dijeljenja i množenja, budući da a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) i tako dalje.
Drugim riječima, podijeliti završnu decimalu sa završnom decimalom, potrebno je:
- u deljeniku i djelitelju pomaknite zarez udesno za onoliko znakova koliko ima nakon decimalne zareze u djelitelju, ako u isto vrijeme nema dovoljno znakova u dividendi za pomicanje zareza, onda morate dodati potreban iznos nule na desnoj strani;
- nakon toga izvršite dijeljenje kolonom decimalnog razlomka prirodnim brojem.
Razmotrite, prilikom rješavanja primjera, primjenu ovog pravila za dijeljenje decimalnim razlomkom.
Primjer.
Izvršite deljenje kolone 7.287 sa 2.1.
Rješenje.
Pomaknimo zarez u ovim decimalnim razlomcima za jednu cifru udesno, to će nam omogućiti da prijeđemo od dijeljenja decimalnog razlomka 7,287 sa decimalnim razlomkom 2,1 do dijeljenja decimalnog razlomka 72,87 prirodnim brojem 21. Podijelimo kolonom: 
odgovor:
7,287:2,1=3,47 .
Primjer.
Podijelite decimalu 16,3 sa decimalom 0,021.
Rješenje.
Pomjerite zarez u dividendi i djelitelju udesno za 3 cifre. Očigledno, nema dovoljno cifara u djelitelju da nosi zarez, pa dodajmo potreban broj nula na desno. Sada podijelimo stupac razlomka 16300,0 prirodnim brojem 21: 
Od ovog trenutka počinju da se ponavljaju ostaci 4, 19, 1, 10, 16 i 13, što znači da će se ponavljati i brojevi 1, 9, 0, 4, 7 i 6 u količniku. Kao rezultat, dobijamo periodični decimalni razlomak 776,(190476) .
odgovor:
16,3:0,021=776,(190476) .
Imajte na umu da vam glasovno pravilo omogućava da prirodni broj podijelite konačnim decimalnim razlomkom u koloni.
Primjer.
Podijelite prirodni broj 3 decimalnim razlomkom 5.4.
Rješenje.
Nakon pomjeranja zareza za 1 cifru udesno, dolazimo do dijeljenja broja 30,0 sa 54. Podijelimo kolonom: 
.
Ovo pravilo se može primijeniti i kod dijeljenja beskonačnih decimalnih razlomaka sa 10, 100, .... Na primjer, 3,(56):1000=0,003(56) i 593,374…:100=5,93374… .
Dijeljenje decimala sa 0,1, 0,01, 0,001, itd.
Budući da je 0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100, itd., iz pravila dijeljenja običnim razlomkom slijedi da dijeljenje decimalnog razlomka sa 0,1, 0,01, 0,001 itd. to je kao da datu decimalu pomnožite sa 10, 100, 1000, itd. respektivno.
Drugim riječima, da biste podijelili decimalni razlomak sa 0,1, 0,01, ... potrebno je pomaknuti zarez udesno za 1, 2, 3, ... znamenke, a ako nema dovoljno cifara u decimalnom razlomku da pomaknite zarez, onda trebate dodati traženi broj na desne nule.
Na primjer, 5.739:0.1=57.39 i 0.21:0.00001=21.000 .
Isto pravilo se može primijeniti kada se beskonačne decimale dijele sa 0,1, 0,01, 0,001 itd. U ovom slučaju treba biti vrlo oprezan s dijeljenjem periodičnih razlomaka, kako ne biste pogriješili s periodom razlomka, koji se dobije kao rezultat dijeljenja. Na primjer, 7,5(716):0,01=757,(167) , pošto nakon pomjeranja zareza u zapisu decimalnog razlomka 7,5716716716 ... dvije cifre udesno, imamo zapis 757,167167 ... . Uz beskonačne neperiodične decimale, sve je jednostavnije: 394,38283…:0,001=394382,83… .
Dijeljenje razlomka ili mješovitog broja decimalom i obrnuto
Podjela običnog razlomka ili mješovitog broja konačnim ili periodičnim decimalnim razlomkom, kao i dijeljenje konačnog ili periodičnog decimalnog razlomka običnim razlomkom ili mješovitim brojem, svodi se na dijeljenje običnih razlomaka. Da biste to učinili, decimalni razlomci se zamjenjuju odgovarajućim običnim razlomcima, a mješoviti broj je predstavljen kao nepravilan razlomak.
Kada se beskonačan neperiodični decimalni razlomak dijeli običnim razlomkom ili mješovitim brojem i obrnuto, treba prijeći na dijeljenje decimalnih razlomaka, zamjenjujući obični razlomak ili mješoviti broj odgovarajućim decimalnim razlomkom.
Bibliografija.
- Matematika: studije. za 5 ćelija. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. 6. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izd., Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
- algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.
U ovom vodiču ćemo pogledati svaku od ovih operacija jednu po jednu.
Sadržaj lekcijeDodavanje decimala
Kao što znamo, decimalni dio ima cijeli broj i razlomak. Prilikom zbrajanja decimala, cijeli broj i razlomak se zbrajaju odvojeno.
Na primjer, dodajmo decimale 3.2 i 5.3. Pogodnije je dodati decimalne razlomke u kolonu.
Prvo upisujemo ova dva razlomka u kolonu, pri čemu cjelobrojni dijelovi moraju biti ispod cijelih, a razlomci ispod razlomaka. U školi se ovaj uslov zove "zarez ispod zareza".
Zapišimo razlomke u stupac tako da je zarez ispod zareza:
Počinjemo sabirati razlomke: 2 + 3 \u003d 5. Zapisujemo pet u razlomku našeg odgovora:
Sada sabiramo cjelobrojne dijelove: 3 + 5 = 8. Zapisujemo osam u cjelobrojni dio našeg odgovora:
Sada odvajamo cijeli broj od razlomka zarezom. Da bismo to učinili, opet slijedimo pravilo "zarez ispod zareza":
Dobio odgovor 8.5. Dakle, izraz 3,2 + 5,3 jednak je 8,5
Zapravo, nije sve tako jednostavno kao što se čini na prvi pogled. I ovdje postoje zamke o kojima ćemo sada govoriti.
Mjesta u decimalama
Decimale, kao i obični brojevi, imaju svoje cifre. Ovo su deseta mesta, stota mesta, hiljaditi mesta. U ovom slučaju cifre počinju nakon decimalnog zareza.
Prva cifra iza decimalnog zareza je odgovorna za desetine, druga cifra iza decimale za stotinke, treća cifra iza decimalne zapete za hiljaditi.
Cifre u decimalnim razlomcima pohranjuju neke korisne informacije. Konkretno, oni izvještavaju koliko je desetina, stotih i hiljaditih dionica u decimali.
Na primjer, uzmite u obzir decimalu 0,345
Pozicija na kojoj se nalazi trojka se zove deseto mjesto
Pozicija na kojoj se nalazi četvorka se zove stotinke mesto
Pozicija na kojoj se nalazi petorka se zove hiljaditih delova
Pogledajmo ovu cifru. Vidimo da je u kategoriji desetina trojka. Ovo sugerira da postoje tri desetine u decimalnom razlomku 0,345.
Ako zbrojimo razlomke, onda dobijemo originalni decimalni razlomak 0,345
Vidi se da smo u početku dobili odgovor, ali smo ga pretvorili u decimalni razlomak i dobili 0,345.
Prilikom sabiranja decimalnih razlomaka poštuju se isti principi i pravila kao i kod sabiranja običnih brojeva. Sabiranje decimalnih razlomaka se odvija po ciframa: desetine se dodaju desetinkama, stotinke stotim, hiljaditi i hiljadinim.
Stoga je kod zbrajanja decimalnih razlomaka potrebno slijediti pravilo "zarez ispod zareza". Zarez ispod zareza daje isti redoslijed kojim se desetine dodaju desetinkama, stotinke stotinke, hiljadinke i hiljadinke.
Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza 1,5 + 3,4
Prije svega, dodajemo razlomke 5 + 4 = 9. Zapisujemo devet u razlomljeni dio našeg odgovora:
Sada sabiramo cjelobrojne dijelove 1 + 3 = 4. Zapisujemo četiri u cjelobrojni dio našeg odgovora:
Sada odvajamo cijeli broj od razlomka zarezom. Da bismo to učinili, opet poštujemo pravilo "zarez ispod zareza":
Dobio odgovor 4.9. Dakle, vrijednost izraza 1,5 + 3,4 je 4,9
Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza: 3,51 + 1,22
Ovaj izraz zapisujemo u kolonu, poštujući pravilo "zarez ispod zareza"
Prije svega, dodajte razlomak, odnosno stotinke 1+2=3. Trojku upisujemo u stoti dio našeg odgovora:
Sada dodajte desetine 5+2=7. Zapisujemo sedam u desetom dijelu našeg odgovora:
Sada dodajte cijele dijelove 3+1=4. Zapisujemo četiri u cijeli dio našeg odgovora:
Odvajamo cijeli broj od razlomaka zarezom, poštujući pravilo "zarez ispod zareza":
Dobio odgovor 4,73. Dakle, vrijednost izraza 3,51 + 1,22 je 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Kao i kod običnih brojeva, kada se zbrajaju decimalni razlomci, . U ovom slučaju, jedna cifra se upisuje u odgovor, a ostatak se prenosi na sljedeću cifru.
Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza 2,65 + 3,27
Zapisujemo ovaj izraz u kolonu:
Dodajte stotinke 5+7=12. Broj 12 neće stati u stoti dio našeg odgovora. Stoga u stotom dijelu upisujemo broj 2 i prenosimo jedinicu na sljedeći bit:
Sada saberemo desetine 6+2=8 plus jedinicu koju smo dobili iz prethodne operacije, dobijemo 9. U desetinu našeg odgovora upisujemo broj 9:
Sada dodajte cijele dijelove 2+3=5. Zapisujemo broj 5 u celobrojni deo našeg odgovora:
Dobio odgovor 5,92. Dakle, vrijednost izraza 2,65 + 3,27 je 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza 9,5 + 2,8
Upišite ovaj izraz u kolonu
Zbrajamo razlomke 5 + 8 = 13. Broj 13 neće stati u razlomak našeg odgovora, pa prvo zapišemo broj 3, a jedinicu prenosimo na sljedeću cifru, odnosno u cijeli broj dio:
Sada dodajemo cijele dijelove 9+2=11 plus jedinicu koju smo dobili iz prethodne operacije, dobijamo 12. Zapisujemo broj 12 u cjelobrojni dio našeg odgovora:
Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:
Dobio odgovor 12.3. Dakle, vrijednost izraza 9,5 + 2,8 je 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
Prilikom sabiranja decimalnih razlomaka, broj cifara iza decimalnog zareza u oba razlomka mora biti isti. Ako nema dovoljno znamenki, tada se ova mjesta u razlomku popunjavaju nulama.
Primjer 5. Pronađite vrijednost izraza: 12,725 + 1,7
Pre nego što zapišemo ovaj izraz u kolonu, učinimo da broj cifara iza decimalne tačke u oba razlomka bude isti. Decimalni razlomak 12,725 ima tri znamenke iza decimalne zareze, dok razlomak 1,7 ima samo jednu. Dakle, u razlomku 1,7 na kraju trebate dodati dvije nule. Tada dobijamo razlomak 1.700. Sada možete napisati ovaj izraz u stupac i početi računati:
Dodajte hiljadite od 5+0=5. Zapisujemo broj 5 u hiljaditom dijelu našeg odgovora:
Dodajte stotinke 2+0=2. Zapisujemo broj 2 u stoti dio našeg odgovora:
Dodajte desetine 7+7=14. Broj 14 neće stati u desetinu našeg odgovora. Stoga prvo zapisujemo broj 4 i prenosimo jedinicu na sljedeći bit:
Sada dodajemo cijele dijelove 12+1=13 plus jedinicu koju smo dobili iz prethodne operacije, dobijamo 14. Upisujemo broj 14 u cijeli broj našeg odgovora:
Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:
Dobio odgovor 14,425. Dakle, vrijednost izraza 12,725+1,700 je 14,425
12,725+ 1,700 = 14,425
Oduzimanje decimala
Prilikom oduzimanja decimalnih razlomaka morate se pridržavati istih pravila kao i kod sabiranja: „zarez ispod zareza“ i „jednak broj znamenki iza decimalnog zareza“.
Primjer 1 Naći vrijednost izraza 2.5 − 2.2
Ovaj izraz zapisujemo u kolonu, poštujući pravilo “zarez ispod zareza”:
Računamo razlomak 5−2=3. Zapisujemo broj 3 u desetom dijelu našeg odgovora:
Izračunajte cijeli broj 2−2=0. Zapisujemo nulu u cijelom dijelu našeg odgovora:
Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:
Dobili smo odgovor 0,3. Dakle, vrijednost izraza 2,5 − 2,2 jednaka je 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
Primjer 2 Naći vrijednost izraza 7.353 - 3.1
U ovom izrazu različit iznos cifre iza decimalnog zareza. U razlomku 7.353 nalaze se tri cifre iza decimalnog zareza, a u razlomku 3.1 samo jedna. To znači da se u razlomku 3.1 moraju dodati dvije nule na kraju kako bi broj cifara u oba razlomka bio isti. Onda dobijemo 3,100.
Sada možete napisati ovaj izraz u kolonu i izračunati ga:
Dobio odgovor 4,253. Dakle, vrijednost izraza 7,353 − 3,1 je 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Kao i kod običnih brojeva, ponekad ćete morati posuditi jedan iz susjednog bita ako oduzimanje postane nemoguće.
Primjer 3 Naći vrijednost izraza 3.46 − 2.39
Oduzmite stotinke 6−9. Od broja 6 nemojte oduzimati broj 9. Dakle, morate uzeti jedinicu od susjedne cifre. Pozajmivši jednu od susjedne cifre, broj 6 se pretvara u broj 16. Sada možemo izračunati stoti dio 16−9=7. Zapisujemo sedam u stotom dijelu našeg odgovora:
Sada oduzmite desetine. Kako smo uzeli jednu jedinicu u kategoriji desetinki, brojka koja se tu nalazila se smanjila za jednu jedinicu. Drugim riječima, deseto mjesto sada nije broj 4, već broj 3. Izračunajmo desetine od 3−3=0. U desetom dijelu našeg odgovora pišemo nulu:
Sada oduzmite cjelobrojne dijelove 3−2=1. Jedinicu upisujemo u cijeli broj našeg odgovora:
Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:
Dobio odgovor 1.07. Dakle, vrijednost izraza 3,46−2,39 jednaka je 1,07
3,46−2,39=1,07
Primjer 4. Naći vrijednost izraza 3−1.2
Ovaj primjer oduzima decimalni broj od cijelog broja. Zapišimo ovaj izraz u stupac tako da cijeli broj decimalnog razlomka 1,23 bude ispod broja 3
Sada učinimo da broj cifara iza decimalnog zareza bude isti. Da biste to učinili, nakon broja 3 stavite zarez i dodajte jednu nulu:
Sada oduzmite desetine: 0−2. Ne oduzimajte od nule broj 2. Dakle, morate uzeti jedinicu od susjedne cifre. Pozajmivši jedan od susedne cifre, 0 se pretvara u broj 10. Sada možete izračunati desetine od 10−2=8. Zapisujemo osmicu u desetom dijelu našeg odgovora:
Sada oduzmite cijele dijelove. Ranije se broj 3 nalazio u cijelom broju, ali smo od njega posudili jednu jedinicu. Kao rezultat, pretvorio se u broj 2. Stoga oduzimamo 1 od 2. 2−1=1. Jedinicu upisujemo u cijeli broj našeg odgovora:
Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:
Dobio odgovor 1.8. Dakle, vrijednost izraza 3−1.2 je 1.8
Decimalno množenje
Množenje decimala je jednostavno, pa čak i zabavno. Da biste pomnožili decimale, morate ih pomnožiti kao obične brojeve, zanemarujući zareze.
Nakon što dobijete odgovor, potrebno je odvojiti cijeli broj od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka, zatim prebrojati isti broj znamenki desno u odgovoru i staviti zarez.
Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza 2,5 × 1,5
Ove decimalne razlomke množimo kao obične brojeve, zanemarujući zareze. Da biste zanemarili zareze, možete privremeno zamisliti da su potpuno odsutni:
Dobili smo 375. U ovom broju potrebno je cijeli dio od razlomka odvojiti zarezom. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomcima od 2,5 i 1,5. U prvom razlomku je jedna cifra iza decimalnog zareza, u drugom razlomku takođe jedna. Ukupno dva broja.
Vraćamo se na broj 375 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Moramo izbrojati dvije cifre s desne strane i staviti zarez:
Dobio odgovor 3,75. Dakle, vrijednost izraza 2,5 × 1,5 je 3,75
2,5 x 1,5 = 3,75
Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza 12,85 × 2,7
Pomnožimo ove decimale, zanemarujući zareze:
Dobili smo 34695. U ovom broju trebate odvojiti cijeli broj od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izračunati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 12,85 i 2,7. U razlomku 12,85 su dvije cifre iza decimalnog zareza, u razlomku 2,7 je jedna cifra - ukupno tri cifre.
Vraćamo se na broj 34695 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Moramo izbrojati tri cifre s desne strane i staviti zarez:
Dobio odgovor 34,695. Dakle, vrijednost izraza 12,85 × 2,7 je 34,695
12,85 x 2,7 = 34,695
Množenje decimale redovnim brojem
Ponekad postoje situacije kada trebate pomnožiti decimalni razlomak sa regularnim brojem.
Da biste pomnožili decimalni i običan broj, morate ih pomnožiti, bez obzira na zarez u decimali. Nakon što dobijete odgovor, potrebno je odvojiti cijeli broj od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki nakon decimalnog zareza u decimalnom razlomku, a zatim u odgovoru izbrojati isti broj znamenki desno i staviti zarez.
Na primjer, pomnožite 2,54 sa 2
Pomnožimo decimalni razlomak 2,54 sa uobičajenim brojem 2, zanemarujući zarez:
Dobili smo broj 508. U ovom broju trebate odvojiti cijeli broj od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomku 2,54. Razlomak 2,54 ima dvije cifre iza decimalnog zareza.
Vraćamo se na broj 508 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Moramo izbrojati dvije cifre s desne strane i staviti zarez:
Dobio odgovor 5.08. Dakle, vrijednost izraza 2,54 × 2 je 5,08
2,54 x 2 = 5,08
Množenje decimala sa 10, 100, 1000
Množenje decimala sa 10, 100 ili 1000 vrši se na isti način kao i množenje decimala redovnim brojevima. Potrebno je izvršiti množenje, zanemarujući zarez u decimalnom razlomku, a zatim u odgovoru odvojiti cijeli broj od razlomka, računajući isti broj cifara na desnoj strani koliko je bilo cifara iza decimalnog zareza u decimalnom dijelu frakcija.
Na primjer, pomnožite 2,88 sa 10
Pomnožimo decimalni razlomak 2,88 sa 10, zanemarujući zarez u decimalnom razlomku:
Dobili smo 2880. U ovom broju trebate odvojiti cijeli dio od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomku 2,88. Vidimo da u razlomku 2,88 postoje dvije cifre iza decimalnog zareza.
Vraćamo se na broj 2880 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Moramo izbrojati dvije cifre s desne strane i staviti zarez:
Dobio odgovor 28.80. Odbacujemo zadnju nulu - dobijamo 28,8. Dakle, vrijednost izraza 2,88 × 10 je 28,8
2,88 x 10 = 28,8
Postoji drugi način množenja decimalnih razlomaka sa 10, 100, 1000. Ova metoda je mnogo jednostavnija i praktičnija. Sastoji se od činjenice da se zarez u decimalnom razlomku pomiče udesno za onoliko cifara koliko ima nula u množitelju.
Na primjer, riješimo prethodni primjer 2,88×10 na ovaj način. Bez davanja ikakvih proračuna, odmah gledamo faktor 10. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima jednu nulu. Sada u razlomku 2,88 pomjerimo decimalni zarez udesno za jednu cifru, dobijemo 28,8.
2,88 x 10 = 28,8
Pokušajmo pomnožiti 2,88 sa 100. Odmah gledamo faktor 100. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima dvije nule. Sada u razlomku 2,88 pomjerimo decimalni zarez udesno za dvije cifre, dobijemo 288
2,88 x 100 = 288
Pokušajmo pomnožiti 2,88 sa 1000. Odmah gledamo faktor 1000. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima tri nule. Sada u razlomku 2,88 pomičemo decimalni zarez udesno za tri znamenke. Treće znamenke nema, pa dodajemo još jednu nulu. Kao rezultat, dobijamo 2880.
2,88 x 1000 = 2880
Množenje decimala sa 0,1 0,01 i 0,001
Množenje decimala sa 0,1, 0,01 i 0,001 radi na isti način kao i množenje decimale sa decimalom. Potrebno je pomnožiti razlomke kao obične brojeve, a u odgovor staviti zarez, računajući onoliko cifara na desnoj strani koliko ima cifara iza decimalnog zareza u oba razlomka.
Na primjer, pomnožite 3,25 sa 0,1
Ove razlomke množimo kao obične brojeve, zanemarujući zareze:
Dobili smo 325. U ovom broju trebate odvojiti cijeli dio od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izračunati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 3,25 i 0,1. U razlomku 3,25 nalaze se dvije cifre iza decimalnog zareza, u razlomku 0,1 je jedna cifra. Ukupno tri broja.
Vraćamo se na broj 325 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati tri cifre na desnoj strani i staviti zarez. Nakon brojanja tri cifre, nalazimo da su brojevi gotovi. U ovom slučaju morate dodati jednu nulu i staviti zarez:
Dobili smo odgovor 0,325. Dakle, vrijednost izraza 3,25 × 0,1 je 0,325
3,25 x 0,1 = 0,325
Postoji drugi način za množenje decimala sa 0,1, 0,01 i 0,001. Ova metoda je mnogo lakša i praktičnija. Sastoji se u tome da se zarez u decimalnom razlomku pomiče ulijevo za onoliko cifara koliko ima nula u množitelju.
Na primjer, riješimo prethodni primjer 3,25 × 0,1 na ovaj način. Bez davanja ikakvih proračuna, odmah gledamo faktor 0,1. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima jednu nulu. Sada u razlomku 3,25 pomičemo decimalni zarez ulijevo za jednu cifru. Pomerajući zarez za jednu cifru ulevo, vidimo da nema više cifara ispred tri. U ovom slučaju dodajte jednu nulu i stavite zarez. Kao rezultat, dobijamo 0,325
3,25 x 0,1 = 0,325
Pokušajmo pomnožiti 3,25 sa 0,01. Odmah pogledajte množitelj od 0,01. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima dvije nule. Sada u razlomku 3,25 pomjerimo zarez ulijevo za dvije cifre, dobijemo 0,0325
3,25 x 0,01 = 0,0325
Pokušajmo pomnožiti 3,25 sa 0,001. Odmah pogledajte množitelj od 0,001. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima tri nule. Sada u razlomku 3,25 pomjerimo decimalni zarez ulijevo za tri cifre, dobijemo 0,00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
Nemojte brkati množenje decimala sa 0,1, 0,001 i 0,001 sa množenjem sa 10, 100, 1000. Uobičajena greška većina ljudi.
Kada se množi sa 10, 100, 1000, zarez se pomera udesno za onoliko cifara koliko ima nula u množitelju.
A kada se množi sa 0,1, 0,01 i 0,001, zarez se pomera ulevo za onoliko cifara koliko ima nula u množitelju.
Ako je u početku teško zapamtiti, možete koristiti prvu metodu, u kojoj se množenje izvodi kao kod običnih brojeva. U odgovoru ćete morati odvojiti cijeli broj od razlomka tako što ćete izbrojati onoliko cifara na desnoj strani koliko ima cifara iza decimalne točke u oba razlomka.
Deljenje manjeg broja većim. Napredni nivo.
U jednoj od prethodnih lekcija rekli smo da se dijeljenjem manjeg broja većim dobije razlomak u čijem je brojiocu dividenda, a u nazivniku djelitelj.
Na primjer, da biste podijelili jednu jabuku na dvije, morate u brojilac napisati 1 (jedna jabuka), a u nazivnik 2 (dva prijatelja). Rezultat je razlomak. Tako će svaki prijatelj dobiti jabuku. Drugim riječima, pola jabuke. Razlomak je odgovor na problem kako podijeliti jednu jabuku između dvije
Ispostavilo se da ovaj problem možete dalje riješiti ako podijelite 1 sa 2. Uostalom, razlomak u bilo kojem razlomku znači dijeljenje, što znači da je i ovo dijeljenje dozvoljeno u razlomku. Ali kako? Navikli smo na činjenicu da je dividenda uvijek veća od djelitelja. A ovdje je, naprotiv, dividenda manja od djelitelja.
Sve će postati jasno ako se sjetimo da razlomak znači drobljenje, dijeljenje, dijeljenje. To znači da se jedinica može podijeliti na onoliko dijelova koliko želite, a ne samo na dva dijela.
Prilikom dijeljenja manjeg broja većim dobiva se decimalni razlomak u kojem će cijeli broj biti 0 (nula). Razlomak može biti bilo šta.
Dakle, podijelimo 1 sa 2. Rešimo ovaj primjer uglom:
Ne može se samo tako podijeliti na dvoje. Ako postavite pitanje "koliko je dvojaka u jednom" , tada će odgovor biti 0. Stoga, privatno pišemo 0 i stavljamo zarez:
Sada, kao i obično, množimo količnik sa djeliteljem da izvučemo ostatak:
Došao je trenutak kada se jedinica može podijeliti na dva dijela. Da biste to učinili, dodajte još jednu nulu desno od primljene:
Dobili smo 10. Podijelimo 10 sa 2, dobijemo 5. Zapisujemo pet u razlomak našeg odgovora:
Sada izvlačimo posljednji ostatak da završimo proračun. Pomnožimo 5 sa 2, dobićemo 10
Dobili smo odgovor 0,5. Dakle, razlomak je 0,5
Pola jabuke se također može napisati pomoću decimalnog razlomka 0,5. Ako zbrojimo ove dvije polovine (0,5 i 0,5), opet ćemo dobiti originalnu jednu cijelu jabuku: 
Ovu tačku možemo razumjeti i ako zamislimo kako je 1 cm podijeljen na dva dijela. Ako 1 centimetar podijelite na 2 dijela, dobit ćete 0,5 cm
Primjer 2 Naći vrijednost izraza 4:5
Koliko je petica u četiri? Ne sve. Pišemo privatno 0 i stavljamo zarez:
Pomnožimo 0 sa 5, dobijemo 0. Zapisujemo nulu ispod četiri. Odmah oduzmite ovu nulu od dividende:
Sada počnimo da delimo (delimo) četiri na 5 delova. Da bismo to učinili, desno od 4, dodamo nulu i podijelimo 40 sa 5, dobijemo 8. Osam pišemo privatno.
Završavamo primjer množenjem 8 sa 5 i dobijemo 40:
Dobili smo odgovor 0,8. Dakle, vrijednost izraza 4:5 je 0,8
Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza 5: 125
Koliko je brojeva 125 u pet? Ne sve. Privatno pišemo 0 i stavljamo zarez:
Pomnožimo 0 sa 5, dobijemo 0. Zapišemo 0 ispod pet. Odmah oduzmite od pet 0
Sada počnimo dijeliti (dijeliti) pet na 125 dijelova. Da bismo to učinili, desno od ove petice pišemo nulu:
Podijelite 50 sa 125. Koliko je brojeva 125 u 50? Ne sve. Dakle, u količnik ponovo upisujemo 0
Pomnožimo 0 sa 125, dobijemo 0. Ovu nulu zapišemo ispod 50. Odmah oduzmite 0 od 50
Sada dijelimo broj 50 na 125 dijelova. Da bismo to učinili, desno od 50 pišemo još jednu nulu:
Podijelite 500 sa 125. Koliko je brojeva 125 u broju 500. U broju 500 postoje četiri broja 125. Četiri pišemo privatno:
Završavamo primjer množenjem 4 sa 125 i dobijemo 500
Dobili smo odgovor 0,04. Dakle, vrijednost izraza 5:125 je 0,04
Dijeljenje brojeva bez ostatka
Dakle, stavimo zarez u kvocijent iza jedinice, čime pokazujemo da je podjela cijelih dijelova završena i prelazimo na razlomak:
Ostatku 4 dodajte nulu
Sada podijelimo 40 sa 5, dobijemo 8. Pišemo osam privatno:
40−40=0. Primljeno 0 u ostatku. Dakle, podjela je u potpunosti završena. Dijeljenjem 9 sa 5 dobije se decimala 1,8:
9: 5 = 1,8
Primjer 2. Podijelite 84 sa 5 bez ostatka
Prvo podijelimo 84 sa 5 kao i obično s ostatkom:
Privatno primljeno 16 i još 4 na saldu. Sada dijelimo ovaj ostatak sa 5. Stavljamo zarez u privatno i dodajemo 0 ostatku 4
Sada podijelimo 40 sa 5, dobijemo 8. Zapisujemo osam u količniku nakon decimalnog zareza:
i dovršite primjer provjerom da li još uvijek postoji ostatak:
Deljenje decimale redovnim brojem
Decimalni razlomak, kao što znamo, sastoji se od cijelog broja i razlomka. Kada dijelite decimalni razlomak redovnim brojem, prije svega trebate:
- podijeliti cijeli broj decimalnog razlomka ovim brojem;
- nakon što se cijeli broj podijeli, potrebno je odmah staviti zarez u privatni dio i nastaviti računanje, kao kod običnog dijeljenja.
Na primjer, podijelimo 4,8 sa 2
Zapišimo ovaj primjer kao ugao:
Sada podijelimo cijeli dio sa 2. Četiri podijeljeno sa dva je dva. Napišemo dvojku privatno i odmah stavimo zarez:
Sada pomnožimo količnik sa djeliteljem i vidimo postoji li ostatak od dijeljenja:
4−4=0. Ostatak je nula. Još ne pišemo nulu, jer rješenje nije završeno. Zatim nastavljamo računati, kao kod običnog dijeljenja. Skinite 8 i podijelite sa 2
8: 2 = 4. Zapisujemo četiri u količnik i odmah ga množimo sa djeliteljem:
Dobio odgovor 2.4. Vrijednost izraza 4,8: 2 je 2,4
Primjer 2 Naći vrijednost izraza 8,43:3
Podijelimo 8 sa 3, dobijemo 2. Odmah stavite zarez iza dva:
Sada množimo količnik sa djeliteljem 2 × 3 = 6. Zapisujemo šest ispod osmice i nalazimo ostatak:
Podijelimo 24 sa 3, dobijemo 8. Osam pišemo privatno. Odmah ga množimo sa djeliteljem da nađemo ostatak dijeljenja:
24−24=0. Ostatak je nula. Nula još nije snimljena. Uzmite posljednja tri dividende i podijelite sa 3, dobićemo 1. Odmah pomnožite 1 sa 3 da dovršite ovaj primjer:
Dobio odgovor 2,81. Dakle, vrijednost izraza 8,43:3 jednaka je 2,81
Dijeljenje decimale sa decimalom
Da biste podijelili decimalni razlomak na decimalni razlomak, u dividendi i u djelitelju, pomaknite zarez udesno za isti broj cifara nakon decimalnog zareza u djelitelju, a zatim podijelite redovnim brojem.
Na primjer, podijelite 5,95 sa 1,7
Zapišimo ovaj izraz kao ugao
Sada, u dividendi i u djelitelju, pomičemo zarez udesno za isti broj cifara koliko ih ima nakon decimalnog zareza u djelitelju. Delitelj ima jednu cifru iza decimalnog zareza. Dakle, moramo pomaknuti zarez udesno za jednu cifru u dividendi i u djelitelju. Prijenos:
Nakon pomjeranja decimalnog zareza udesno za jednu cifru, decimalni razlomak 5,95 pretvorio se u razlomak 59,5. A decimalni razlomak 1,7, nakon pomjeranja decimalne točke udesno za jednu znamenku, pretvorio se u uobičajeni broj 17. I već znamo kako podijeliti decimalni razlomak uobičajenim brojem. Daljnji proračun nije težak:
Zarez se pomiče udesno radi lakšeg dijeljenja. To je dozvoljeno zbog činjenice da se pri množenju ili dijeljenju dividende i djelitelja istim brojem, količnik ne mijenja. Šta to znači?
Ovo je jedan od zanimljive karakteristike divizije. To se zove privatno vlasništvo. Razmotrimo izraz 9: 3 = 3. Ako se u ovom izrazu dividenda i djelitelj pomnože ili podijele istim brojem, tada se količnik 3 neće promijeniti.
Pomnožimo dividendu i djelitelj sa 2 i vidimo šta će se dogoditi:
(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3
Kao što se može vidjeti iz primjera, količnik se nije promijenio.
Ista stvar se dešava kada nosimo zarez u deljeniku i u deljeniku. U prethodnom primjeru, gdje smo podijelili 5,91 sa 1,7, pomaknuli smo zarez za jednu cifru udesno u dividendi i djelitelju. Nakon pomjeranja zareza, razlomak 5,91 je pretvoren u razlomak 59,1, a razlomak 1,7 je pretvoren u uobičajeni broj 17.
Zapravo, unutar ovog procesa se dogodilo množenje sa 10. Evo kako je to izgledalo:
5,91 × 10 = 59,1
Dakle, broj cifara iza decimalnog zareza u djelitelju zavisi od toga čime će se pomnožiti dividenda i djelitelj. Drugim riječima, broj cifara iza decimalnog zareza u djelitelju će odrediti za koliko cifara u dividendi i u djelitelju će zarez biti pomaknut udesno.
Decimalno dijeljenje sa 10, 100, 1000
Dijeljenje decimale sa 10, 100 ili 1000 vrši se na isti način kao . Na primjer, podijelimo 2,1 sa 10. Riješimo ovaj primjer uglom:
Ali postoji i drugi način. Lakši je. Suština ove metode je da se zarez u dividendi pomjeri ulijevo za onoliko cifara koliko ima nula u djelitelju.
Riješimo prethodni primjer na ovaj način. 2,1: 10. Gledamo u razdjelnik. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da postoji jedna nula. Dakle, u djeljivom 2.1, trebate pomaknuti zarez ulijevo za jednu cifru. Pomaknemo zarez ulijevo za jednu cifru i vidimo da nema više cifara. U ovom slučaju dodajemo još jednu nulu ispred broja. Kao rezultat, dobijamo 0,21
Pokušajmo podijeliti 2,1 sa 100. U broju 100 postoje dvije nule. Dakle, u deljivom 2.1, morate pomeriti zarez ulevo za dve cifre:
2,1: 100 = 0,021
Pokušajmo podijeliti 2,1 sa 1000. U broju 1000 postoje tri nule. Dakle, u deljivom 2.1, morate pomeriti zarez ulevo za tri cifre:
2,1: 1000 = 0,0021
Decimalno dijeljenje sa 0,1, 0,01 i 0,001
Dijeljenje decimale sa 0,1, 0,01 i 0,001 vrši se na isti način kao . U dividendi i u djelitelju morate pomaknuti zarez udesno za onoliko cifara koliko ih ima nakon decimalne točke u djelitelju.
Na primjer, podijelimo 6,3 sa 0,1. Prije svega, pomjerimo zareze u dividendi i u djelitelju udesno za isti broj cifara koliko ih ima nakon decimalne točke u djelitelju. Delitelj ima jednu cifru iza decimalnog zareza. Dakle, pomjerimo zareze u dividendi i u djelitelju udesno za jednu cifru.
Nakon pomjeranja decimalnog zareza udesno za jednu cifru, decimalni razlomak 6,3 pretvara se u uobičajeni broj 63, a decimalni razlomak 0,1, nakon pomjeranja decimalnog zareza udesno za jednu znamenku, pretvara se u jedan. A dijeljenje 63 sa 1 je vrlo jednostavno:
Dakle, vrijednost izraza 6,3:0,1 jednaka je 63
Ali postoji i drugi način. Lakši je. Suština ove metode je da se zarez u dividendi prenosi udesno za onoliko cifara koliko ima nula u djelitelju.
Riješimo prethodni primjer na ovaj način. 6.3:0.1. Pogledajmo razdjelnik. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da postoji jedna nula. Dakle, u djeljivom 6.3, trebate pomjeriti zarez udesno za jednu cifru. Pomaknemo zarez udesno za jednu cifru i dobijemo 63
Pokušajmo podijeliti 6,3 sa 0,01. Delitelj 0,01 ima dvije nule. Dakle, u deljivom 6.3, morate pomeriti zarez udesno za dve cifre. Ali u dividendi postoji samo jedna znamenka iza decimalnog zareza. U ovom slučaju, na kraju se mora dodati još jedna nula. Kao rezultat, dobijamo 630
Pokušajmo podijeliti 6,3 sa 0,001. Delitelj 0,001 ima tri nule. Dakle, u deljivom 6.3, morate pomeriti zarez udesno za tri cifre:
6,3: 0,001 = 6300
Zadaci za samostalno rješavanje
Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj Vkontakte grupi i počnite primati obavijesti o novim lekcijama
Prije ili kasnije, sva djeca u školi počinju učiti razlomke: njihovo zbrajanje, dijeljenje, množenje i sve moguće radnje koje je moguće izvesti samo s razlomcima. Kako bi djetetu pružili odgovarajuću pomoć, sami roditelji ne bi trebali zaboraviti kako se cijeli brojevi dijele na razlomke, inače mu nećete moći ni na koji način pomoći, već ga samo zbuniti. Ako trebate zapamtiti ovu akciju, ali ne možete sve informacije u svojoj glavi spojiti u jedno pravilo, onda će vam ovaj članak pomoći: naučit ćete kako podijeliti broj razlomkom i vidjeti ilustrativne primjere.
Kako podijeliti broj na razlomak
Zapišite svoj primjer na nacrtu tako da možete pisati bilješke i mrlje. Zapamtite da je cijeli broj upisan između ćelija, tačno na njihovom sjecištu, i razlomački brojevi - svaki u svojoj ćeliji.
- AT ovu metodu potrebno je razlomak okrenuti naopako, odnosno upisati imenilac u brojilac, a brojilac u imenilac.
- Znak dijeljenja se mora promijeniti u množenje.
- Sada samo trebate izvršiti množenje prema već proučenim pravilima: brojilac se množi cijelim brojem, a nazivnik se ne dodiruje.
Naravno, kao rezultat takve akcije, dobit ćete vrlo veliki broj u brojiocu. Nemoguće je ostaviti djelić u ovom stanju - nastavnik jednostavno neće prihvatiti ovaj odgovor. Smanjite razlomak tako što ćete brojilac podijeliti imenilac. Rezultirajući cijeli broj napišite lijevo od razlomka u sredini ćelija, a ostatak će biti novi brojnik. Imenilac ostaje nepromijenjen.
Ovaj algoritam je prilično jednostavan, čak i za dijete. Nakon što ga završi pet ili šest puta, beba će zapamtiti postupak i moći će ga primijeniti na bilo koje frakcije.
Kako podijeliti broj decimalom
Postoje i druge vrste razlomaka - decimale. Podjela na njih odvija se prema potpuno drugačijem algoritmu. Ako ste suočeni s takvim primjerom, slijedite upute:
- Prvo, pretvorite oba broja u decimale. To je lako učiniti: vaš djelitelj je već predstavljen kao razlomak, a djeljivi prirodni broj odvajate zarezom, dobivajući decimalni razlomak. To jest, ako je dividenda bila broj 5, dobićete razlomak od 5,0. Morate razdvojiti broj za onoliko cifara koliko stoji iza decimalnog zareza i djelitelja.
- Nakon toga, oba decimalna razlomka morate učiniti prirodnim brojevima. U početku će vam ovo možda biti malo zbunjujuće, ali ovo je najviše brz način divizije, što će vam oduzeti nekoliko sekundi, nakon nekoliko treninga. Razlomak od 5,0 će postati broj 50, a razlomak od 6,23 će biti 623.
- Uradite podjelu. Ako se pokazalo da su brojevi veliki ili će se dijeljenje dogoditi s ostatkom, izvršite to u stupcu. Tako da možete jasno vidjeti sve radnje ovaj primjer. Ne morate posebno stavljati zarez, jer će se sam pojaviti u procesu podjele u kolonu.
Ova vrsta dijeljenja u početku izgleda previše zbunjujuće, budući da je potrebno da dividendu i djelitelj pretvorite u razlomak, a zatim natrag u prirodne brojeve. Ali nakon kratkog treninga, odmah ćete početi vidjeti one brojeve koje samo trebate podijeliti jedan s drugim.
Zapamtite da sposobnost pravilnog dijeljenja razlomaka i cijelih brojeva na njih može biti korisna više puta u životu, stoga dijete treba savršeno poznavati ova pravila i jednostavne principe kako u starijim razredima ne bi postali kamen spoticanja zbog kojeg dijete ne može odlučivati o složenijim zadacima.
