Mješoviti razlomci se mogu oduzimati baš kao i prosti razlomci. Da biste oduzeli mješovite brojeve razlomaka, morate znati nekoliko pravila oduzimanja. Istražimo ova pravila na primjerima.
Oduzimanje mješovitih razlomaka sa istim nazivnikom.
Razmotrimo primjer s uvjetom da su reducirani cijeli broj i razlomak veći od oduzetog cijelog i razlomka, respektivno. Pod ovim uslovima, odbitak se odvija odvojeno. Oduzmite cijeli dio od cijelog dijela, a razlomak od razlomka.
Razmotrimo primjer:
Oduzmite mješovite razlomke \ (5 \ frac (3) (7) \) i \ (1 \ frac (1) (7) \).
\ (5 \ frac (3) (7) -1 \ frac (1) (7) = (5-1) + (\ frac (3) (7) - \ frac (1) (7)) = 4 \ frac (2) (7) \)
Tačnost oduzimanja se provjerava sabiranjem. Provjerimo oduzimanje:
\ (4 \ frac (2) (7) +1 \ frac (1) (7) = (4 + 1) + (\ frac (2) (7) + \ frac (1) (7)) = 5 \ frac (3) (7) \)
Razmotrimo primjer s uvjetom kada je razlomački dio smanjenog manji, odnosno razlomački dio oduzetog. U ovom slučaju pozajmljujemo jedan od cjeline u opadajućem.
Razmotrimo primjer:
Izvršite oduzimanje mješovitih razlomaka \ (6 \ frac (1) (4) \) i \ (3 \ frac (3) (4) \).
Smanjeni \ (6 \ frac (1) (4) \) ima razlomak manji od razlomka oduzetog \ (3 \ frac (3) (4) \). To jest, \ (\ frac (1) (4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)
\ (\ započeti (poravnati) & 6 \ frac (1) (4) -3 \ frac (3) (4) = (6 + \ frac (1) (4)) - 3 \ frac (3) (4) = (5 + \ boja (crvena) (1) + \ frac (1) (4)) - 3 \ frac (3) (4) = (5 + \ boja (crvena) (\ frac (4) (4) ) + \ frac (1) (4)) - 3 \ frac (3) (4) = (5 + \ frac (5) (4)) - 3 \ frac (3) (4) = \\\\ & = 5 \ frac (5) (4) -3 \ frac (3) (4) = 2 \ frac (2) (4) = 2 \ frac (1) (4) \\\\ \ kraj (poravnati) \ )
Sljedeći primjer:
\ (7 \ frac (8) (19) -3 = 4 \ frac (8) (19) \)
Oduzimanje mješovitog razlomka od cijelog broja.
Primjer: \ (3-1 \ frac (2) (5) \)
Redukovano 3 nema razlomak, pa ga ne možemo odmah oduzeti. Pozajmimo jedan od celog dela broja 3, a zatim izvršimo oduzimanje. Jedinicu ćemo napisati kao \ (3 = 2 + 1 = 2 + \ frac (5) (5) = 2 \ frac (5) (5) \)
\ (3-1 \ frac (2) (5) = (2 + \ boja (crvena) (1)) - 1 \ frac (2) (5) = (2 + \ boja (crvena) (\ frac (5) ) (5))) - 1 \ frac (2) (5) = 2 \ frac (5) (5) -1 \ frac (2) (5) = 1 \ frac (3) (5) \)
Oduzimanje mješovitih razlomaka s različitim nazivnicima.
Razmotrimo primjer s uvjetom ako se razlomci smanjuju i oduzimaju s različitim nazivnicima. Morate dovesti do zajedničkog nazivnika, a zatim izvršiti oduzimanje.
Oduzmite dva mješovita razlomka s različitim nazivnicima \ (2 \ frac (2) (3) \) i \ (1 \ frac (1) (4) \).
Zajednički imenilac je 12.
\ (2 \ frac (2) (3) -1 \ frac (1) (4) = 2 \ frac (2 \ puta \ boja (crvena) (4)) (3 \ puta \ boja (crvena) (4) ) -1 \ frac (1 \ puta \ boja (crvena) (3)) (4 \ puta \ boja (crvena) (3)) = 2 \ frac (8) (12) -1 \ frac (3) (12 ) = 1 \ frac (5) (12) \)
Pitanja na temu:
Kako oduzeti mješovite razlomke? Kako riješiti miješane razlomke?
Odgovor: morate odlučiti kojem tipu izraz pripada i prema vrsti izraza primijeniti algoritam rješenja. Od cijelog dijela oduzmite cjelinu, od razlomaka oduzmite razlomak.
Kako od celog broja oduzeti razlomak? Kako od celog broja oduzeti razlomak?
Odgovor: trebate uzeti jedinicu iz cijelog broja i zapisati ovu jedinicu kao razlomak
\ (4 = 3 + 1 = 3 + \ frac (7) (7) = 3 \ frac (7) (7) \),
a zatim oduzmite cjelinu od cjeline, oduzmite razlomak od razlomka. primjer:
\ (4-2 \ frac (3) (7) = (3 + \ boja (crvena) (1)) - 2 \ frac (3) (7) = (3 + \ boja (crvena) (\ frac (7) ) (7))) - 2 \ frac (3) (7) = 3 \ frac (7) (7) -2 \ frac (3) (7) = 1 \ frac (4) (7) \)
Primjer #1:
Oduzmite tačan razlomak od jedan: a) \ (1- \ frac (8) (33) \) b) \ (1- \ frac (6) (7) \)
Rješenje:
a) Jedinicu predstavljamo kao razlomak sa nazivnikom 33. Dobijamo \ (1 = \ frac (33) (33) \)
\ (1- \ frac (8) (33) = \ frac (33) (33) - \ frac (8) (33) = \ frac (25) (33) \)
b) Jedinicu predstavljamo kao razlomak sa nazivnikom 7. Dobijamo \ (1 = \ frac (7) (7) \)
\ (1- \ frac (6) (7) = \ frac (7) (7) - \ frac (6) (7) = \ frac (7-6) (7) = \ frac (1) (7) \)
Primjer #2:
Oduzmite mješoviti razlomak od cijelog broja: a) \ (21-10 \ frac (4) (5) \) b) \ (2-1 \ frac (1) (3) \)
Rješenje:
a) Pozajmimo 21 jedinicu iz cijelog broja i zapišemo ga ovako \ (21 = 20 + 1 = 20 + \ frac (5) (5) = 20 \ frac (5) (5) \)
\ (21-10 \ frac (4) (5) = (20 + 1) -10 \ frac (4) (5) = (20 + \ frac (5) (5)) - 10 \ frac (4) ( 5) = 20 \ frac (5) (5) -10 \ frac (4) (5) = 10 \ frac (1) (5) \\\\\)
b) Pozajmimo jedinicu od cijelog broja 2 i zapišemo je ovako \ (2 = 1 + 1 = 1 + \ frac (3) (3) = 1 \ frac (3) (3) \)
\ (2-1 \ frac (1) (3) = (1 + 1) -1 \ frac (1) (3) = (1 + \ frac (3) (3)) - 1 \ frac (1) ( 3) = 1 \ frac (3) (3) -1 \ frac (1) (3) = \ frac (2) (3) \\\\\)
Primjer br. 3:
Oduzmite cijeli broj od mješovitog razlomka: a) \ (15 \ frac (6) (17) -4 \) b) \ (23 \ frac (1) (2) -12 \)
a) \ (15 \ frac (6) (17) -4 = 11 \ frac (6) (17) \)
b) \ (23 \ frac (1) (2) -12 = 11 \ frac (1) (2) \)
Primjer br. 4:
Oduzmite tačan razlomak od mješovitog razlomka: a) \ (1 \ frac (4) (5) - \ frac (4) (5) \)
\ (1 \ frac (4) (5) - \ frac (4) (5) = 1 \\\\\)
Primjer br. 5:
Izračunaj \ (5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (3) (8) \)
\ (\ početak (poravnati) & 5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (3) (8) = 5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (3 \ puta \ boja (crvena) ( 2)) (8 \ puta \ boja (crvena) (2)) = 5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (6) (16) = (5 + \ frac (5) (16)) - 3 \ frac (6) (16) = (4 + \ boja (crvena) (1) + \ frac (5) (16)) - 3 \ frac (6) (16) = \\\\ & = ( 4 + \ boja (crvena) (\ frac (16) (16)) + \ frac (5) (16)) - 3 \ frac (6) (16) = (4 + \ boja (crvena) (\ frac ( 21 ) (16))) - 3 \ frac (3) (8) = 4 \ frac (21) (16) -3 \ frac (6) (16) = 1 \ frac (15) (16) \\\ \ \ kraj (poravnaj) \)
Sadržaj lekcijeSabiranje razlomaka sa istim nazivnikom
Postoje dvije vrste sabiranja razlomaka:
- Sabiranje razlomaka sa istim nazivnikom
- Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima
Prvo, proučimo sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, dodajte njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromijenjen. Na primjer, dodajte razlomke i. Dodajte brojioce i ostavite imenilac nepromijenjen:
Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pice, dobijate pizze:
Primjer 2. Dodajte razlomke i.
Odgovor je netačan razlomak. Ako dođe kraj problema, uobičajeno je da se riješite netočnih razlomaka. Da biste se riješili pogrešnog razlomka, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem slučaju, cijeli dio se lako razlikuje - dva podijeljena sa dva jednako je jednom:
Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu picu:
Primjer 3... Dodajte razlomke i.
Ponovo zbrojite brojioce i ostavite imenilac nepromijenjen:
Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate picu:
Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza 
Ovaj primjer je riješen na isti način kao i prethodni. Brojioci se moraju zbrojiti, a nazivnik mora ostati nepromijenjen:
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizze, a pizzi dodate pizze, dobijate 1 celu i više pizze.
Kao što vidite, nema ništa teško u zbrajanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:
- Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, potrebno je sabrati njihove brojioce, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;
Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima
Sada ćemo naučiti kako sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Kada se zbrajaju razlomci, nazivnici tih razlomaka trebaju biti isti. Ali oni nisu uvijek isti.
Na primjer, razlomci i mogu se dodati, jer imaju isti imenioci.
Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ovi razlomci imaju različiti imenioci... U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.
Postoji nekoliko načina da se razlomci dovedu u isti nazivnik. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, jer se ostale metode mogu činiti teškim za početnika.
Suština ove metode je da se prvo traži (LCM) za nazivnike oba razlomka. Tada se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor. Uradite isto sa drugim razlomkom - LCM se podijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.
Tada se brojnici i imenioci razlomaka množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci s različitim nazivnicima pretvaraju se u razlomke s istim nazivnicima. I već znamo kako sabirati takve razlomke.
Primjer 1... Dodajte razlomke i
Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je 3, a imenilac drugog razlomka je 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6
LCM (2 i 3) = 6
Sada se vraćamo na razlomke i. Prvo, LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.
Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni faktor. Zapisujemo ga na prvi razlomak. Da biste to učinili, napravite malu kosu liniju iznad razlomka i napišite dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:
Isto radimo sa drugim razlomkom. LCM podijelimo sa nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.
Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni faktor. Zapisujemo ga na drugi razlomak. Opet, nacrtamo malu kosu liniju iznad drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad nje:
Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje da pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka sa vašim dodatnim faktorima:
Pogledajte pažljivo do čega smo došli. Došli smo do zaključka da se razlomci sa različitim nazivnicima pretvaraju u razlomke sa istim imeniocima. I već znamo kako sabirati takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:
Tako se primjer završava. Ispada da dodam.
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu i drugu šestu picu:
Svođenje razlomaka na isti (zajednički) imenilac može se prikazati i pomoću slike. Svodeći razlomke i na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i. Ove dvije frakcije će biti predstavljene istim kriškama pice. Jedina razlika je što će se ovoga puta podijeliti na jednake dijelove (svedene na isti imenilac).
Prva slika prikazuje razlomak (četiri od šest komada), a druga slika prikazuje razlomak (tri od šest komada). Spajanjem ovih delova dobijamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je netačan, pa smo u njemu odabrali cijeli dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu pizzu i drugu šestu pizzu).
Imajte na umu da smo farbali dati primjer previše detaljan. V obrazovne institucije nije uobičajeno pisati tako opširno. Morate biti u mogućnosti da brzo pronađete LCM za oba nazivnika i dodatne faktore uz njih, kao i brzo pomnožite pronađene dodatne faktore sa vašim brojiocima i nazivnicima. Dok smo bili u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:
Ali postoji također stražnja strana medalje. Ako u prvim fazama studiranja matematike ne pravite detaljne bilješke, tada se počinju pojavljivati takva pitanja „Odakle dolazi ta brojka?“ „Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.
Da biste olakšali sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:
- Naći LCM nazivnika razlomaka;
- Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
- Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka vašim dodatnim faktorima;
- Dodajte razlomke koji imaju isti nazivnik;
- Ako se ispostavi da je odgovor netačan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza 
.
Koristimo gornje upute.
Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka
Naći LCM nazivnika oba razlomka. Imenioci razlomaka su brojevi 2, 3 i 4.
Korak 2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak
LCM dijelimo sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobićemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:
Sada dijelimo LCM sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:
Sada dijelimo LCM sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a imenilac trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:
Korak 3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka vašim dodatnim faktorima
Množimo brojioce i nazivnike našim dodatnim faktorima:
Korak 4. Dodajte razlomke sa istim nazivnicima
Došli smo do zaključka da se razlomci sa različitim nazivnicima pretvaraju u razlomke sa istim (zajedničkim) imeniocima. Ostaje dodati ove razlomke. dodajemo:
Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. Ovo je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, on se prenosi u sljedeći red i uvijek morate staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog reda i na početak novog reda. Znak jednakosti u drugom redu ukazuje da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom redu.
Korak 5. Ako se pokaže da je odgovor netačan razlomak, odaberite cijeli dio u njemu
Dobili smo pogrešan razlomak u našem odgovoru. Iz toga moramo odabrati cijeli dio. Istaknite:
Dobio odgovor
Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnikom
Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:
- Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnikom
- Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima
Prvo, proučimo oduzimanje razlomaka sa istim nazivnikom. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi razlomak, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostane isti.
Na primjer, pronađimo vrijednost izraza. Da biste riješili ovaj primjer, oduzmite brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostavite nepromijenjen. Pa uradimo to:
Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze izrežete pice, dobijate pice:
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.
Ponovo oduzmite brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka i ostavite imenilac nepromenjen:
Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze izrežete pice, dobijate pice:
Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza 
Ovaj primjer je riješen na isti način kao i prethodni. Od brojila prvog razlomka potrebno je oduzeti brojioce preostalih razlomaka:
Kao što vidite, nema ništa teško u oduzimanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:
- Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostane nepromijenjen;
- Ako se pokaže da je odgovor netačan razlomak, tada morate odabrati cijeli dio u njemu.
Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima
Na primjer, možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju isti nazivnik. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.
Zajednički imenilac se nalazi po istom principu koji smo koristili pri sabiranju razlomaka sa različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji se zapisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor koji se zapisuje preko drugog razlomka.
Razlomci se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci s različitim nazivnicima pretvaraju se u razlomke s istim nazivnicima. Već znamo kako da oduzmemo takve razlomke.
Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza:
Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate dovesti u isti (zajednički) imenilac.
Prvo, nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je 3, a imenilac drugog razlomka je 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12
LCM (3 i 4) = 12
Sada se vratimo na razlomke i
Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Napiši četiri preko prvog razlomka:
Isto radimo sa drugim razlomkom. LCM dijelimo sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Napiši tri preko drugog razlomka:
Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:
Došli smo do zaključka da se razlomci sa različitim nazivnicima pretvaraju u razlomke sa istim imeniocima. Već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:
Dobio odgovor
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako sečete pizze od pice, dobijate pizzu
Ovo detaljna verzija rješenja. U školi bismo ovaj primjer morali riješiti na kraći način. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:
Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i. Ovi razlomci će biti predstavljeni istim kriškama pice, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedene na isti nazivnik):
Prvi crtež prikazuje razlomak (osam od dvanaest komada), a drugi crtež prikazuje razlomak (tri od dvanaest komada). Odsijecajući tri komada od osam komada, dobijamo pet komada od dvanaest. Razlomak i opisuje ovih pet komada.
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza 
Ovi razlomci imaju različite nazivnike, tako da ih prvo morate dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika.
Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.
Imenioci razlomaka su 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30
LCM (10, 3, 5) = 30
Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo sa nazivnikom svakog razlomka.
Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:
Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:
Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a imenilac trećeg razlomka je 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:
Sve je sada spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:
Došli smo do zaključka da se razlomci sa različitim nazivnicima pretvaraju u razlomke sa istim (zajedničkim) imeniocima. Već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer.
Nastavak primjera neće stati u jedan red, pa nastavak prenosimo u sljedeći red. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom redu:
U odgovoru smo dobili tačan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ružno. Trebali smo olakšati. Šta se može učiniti? Možete skratiti ovaj razlomak.
Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojilac i imenilac sa (GCD) brojevima 20 i 30.
Dakle, nalazimo GCD brojeva 20 i 30:
Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka sa pronađenim GCD, odnosno sa 10
Dobio odgovor
Množenje razlomka brojem
Da pomnožite razlomak brojem, potrebno je da pomnožite brojilac ovog razlomka sa ovim brojem, a nazivnik ostane isti.
Primjer 1... Pomnožite razlomak sa 1.
Pomnožite brojilac razlomka sa 1
Snimanje se može shvatiti kao uzimanje pola puta. Na primjer, ako uzmete pizze 1 put, dobićete pizze
Iz zakona množenja znamo da ako se množitelj i faktor obrnu, onda se proizvod neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao, onda će proizvod i dalje biti jednak. Opet radi pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:
Ovaj zapis se može shvatiti kao da uzima polovinu jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovicu, onda ćemo imati picu:
Primjer 2... Pronađite vrijednost izraza
Pomnožite brojilac vašeg razlomka sa 4
Odgovor je netačan razlomak. Odaberimo cijeli dio u njemu:
Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete pizze 4 puta, dobićete dvije cijele pizze.
A ako zamijenimo množitelj i množilac na mjestima, dobićemo izraz. Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pice od četiri cijele pice:
Množenje razlomaka
Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Ako se pokaže da je odgovor netačan razlomak, u njemu morate odabrati cijeli dio.
Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.
Dobili smo odgovor. Poželjno je skratiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačna odluka imati sljedeći oblik:
Izraz se može shvatiti kao uzimanje pice od polovine pice. Recimo da imamo pola pice:
Kako dobiti dvije trećine ove polovine? Prvo morate ovu polovinu podijeliti na tri jednaka dijela:
I uzmi dva od ova tri komada:
Napravićemo pizzu. Zapamtite kako pizza izgleda kada je podijeljena na tri dijela:
Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:
Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pice. Dakle, vrijednost izraza je
Primjer 2... Pronađite vrijednost izraza
Pomnožimo brojilac prvog razlomka sa brojiteljem drugog razlomka, a imenilac prvog razlomka sa imeniocem drugog razlomka:
Odgovor je netačan razlomak. Odaberimo cijeli dio u njemu:
Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza
Pomnožimo brojilac prvog razlomka sa brojiteljem drugog razlomka, a imenilac prvog razlomka sa imeniocem drugog razlomka:
Odgovor je tačan razlomak, ali će biti dobro ako ga smanjite. Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate podijeliti brojnik i nazivnik ovog razlomka najvećim zajednički djelitelj(Gcd) brojevi 105 i 450.
Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:
Sada dijelimo brojilac i nazivnik našeg odgovora na GCD, koji smo sada pronašli, to jest, sa 15
Reprezentacija razlomaka cijelog broja
Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 se može predstaviti kao. Iz ovoga pet neće promijeniti svoju vrijednost, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znate, jednako pet:
Obrnuti brojevi
Sada ćemo upoznati vrlo zanimljiva tema u matematici. Zove se "povratni brojevi".
Definicija. Inverzno od brojaa je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedan.
Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:
Inverzno od broja 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.
Možete li pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 5, daje jedan? Ispostavilo se da možeš. Hajde da predstavimo pet kao razlomak:
Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo promijenite mjesta brojioca i nazivnika. Drugim riječima, množimo razlomak sam po sebi, samo obrnuto:
Šta će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobićemo jedan:
To znači da je inverz od 5 broj, jer kada se 5 pomnoži sa, dobija se jedan.
Recipročna vrijednost se također može naći za bilo koji drugi cijeli broj.
Također možete pronaći recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, samo ga okrenite.
Deljenje razlomka brojem
Recimo da imamo pola pice:
Podijelimo ga na dva dijela. Koliko će svako dobiti pizze?
Vidi se da nakon cijepanja polovine pice postoje dvije jednake kriške od kojih svaka čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.
Dijeljenje razlomaka vrši se pomoću recipročnih brojeva. Obrnuti brojevi omogućavaju zamjenu dijeljenja množenjem.
Da biste razlomak podijelili brojem, trebate ovaj razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti djelitelja.
Koristeći ovo pravilo, zapišimo podjelu naše polovice pizze na dva dijela.
Dakle, trebate podijeliti razlomak brojem 2. Ovdje je djeljivi razlomak, a djelitelj je broj 2.
Da biste razlomak podijelili sa 2, trebate ovaj razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti djelitelja 2. Recipročna vrijednost 2 je razlomak. Dakle, morate pomnožiti sa
U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Ovako to zvuči:Recimo Ahilej trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje je bilo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ...rasprave se nastavljaju i sada, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje za ovo pitanje..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.
Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz od veličine do. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korišćenje promenljivih mernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne mjerne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, to izgleda kao dilatacija vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada je Ahilej u ravni sa kornjačom. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.
Ako preokrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskrajno brzo sustići kornjaču“.
Kako možete izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u stalnim vremenskim jedinicama i ne vraćajte se unazad. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:
Za vrijeme u kojem će Ahilej pretrčati hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. U sljedećem vremenskom intervalu, jednakom prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o neprevaziđenosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Još moramo proučiti, preispitati i riješiti ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva aporija Zenona govori o letećoj streli:
Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela stoji na različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da bi se utvrdila činjenica kretanja automobila, potrebne su dvije fotografije, snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali je nemoguće odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u isto vrijeme, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći) . Šta želim da okrenem Posebna pažnja, dakle dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru su različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Srijeda, 4. jula 2018
Razlika između skupa i višeskupa je veoma dobro dokumentovana na Wikipediji. Gledamo.
Kao što vidite, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiset". Takvu logiku apsurda razumna bića nikada neće razumjeti. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, kojima nedostaje inteligencija od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.
Jednom su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta tokom ispitivanja mosta. Ako se most srušio, nesposobni inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Kada bi most mogao da izdrži opterećenje, talentovani inženjer bi izgradio druge mostove.
Koliko god se matematičari krili iza fraze "čur, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.
Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na kasi i dijelimo plate. Dolazi nam matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i rasporedimo na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim sa svake gomile uzimamo po jednu novčanicu i predajemo matematičaru njegov „matematički set plate“. Objasnimo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.
Prije svega, funkcionirat će logika poslanika: "Možete primijeniti na druge, ne možete primijeniti na mene!" Nadalje, počećemo da nas uvjeravamo da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, računajmo platu u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi mahnito prisjećati fizike: postoji na različitim novčićima različit iznos prljavština, kristalna struktura i raspored atoma za svaki novčić je jedinstven...
A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je linija iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovde nije ležala ni blizu.
Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istim terenom. Površina polja je ista, što znači da imamo multiset. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što možete vidjeti, isti skup elemenata je i skup i višestruki skup u isto vrijeme. Kako je to tačno? I ovdje matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.
Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazaću vam, bez ikakvog "zamislivog kao ni jedne celine" ili "nezamislivog kao celine".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i koristimo ga, ali zato su oni šamani da bi svoje potomke naučili svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.
Trebate dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu Suma cifara broja. Ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbir cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi jesu grafički simboli, uz pomoć kojih pišemo brojeve, a na jeziku matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj". Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani - to je elementarno.
Hajde da vidimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Šta treba učiniti da se nađe zbir cifara ovog broja? Prođimo kroz sve korake redom.
1. Zapisujemo broj na komad papira. Šta smo uradili? Konvertovali smo broj u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.
2. Jednu rezultirajuću sliku izrežemo na nekoliko slika koje sadrže odvojene brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.
3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.
4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. To je matematika.
Zbir cifara 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.
Sa stanovišta matematike, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, unutra različiti sistemi računajući, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem 12345, ne želim da se zavaravam, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak gledati pod mikroskopom, to smo već uradili. Da vidimo rezultat.
Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je isto kao da biste dobili potpuno drugačije rezultate pri određivanju površine pravokutnika u metrima i centimetrima.
Nula u svim brojevnim sistemima izgleda isto i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument za činjenicu da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Šta za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dozvoliti, ali za naučnike - ne. Realnost nije sve u brojevima.
Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.
Šta je prava matematika? Ovo je kada rezultat matematičke radnje ne zavisi od veličine broja, korišćene jedinice mere i od toga ko izvodi ovu radnju.
Jao! Zar ovo nije ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje neselektivne svetosti duša tokom uzašašća na nebo! Halo na vrhu i strelica usmjerena prema gore. Koji drugi toalet?
Ženka ... Nimb iznad i strelica dolje je muški.
Ako vam ovakva dizajnerska umjetnost bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Lično se trudim da u osobi koja kaki (jedna slika) vidim minus četiri stepena (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne mislim da je ova devojka budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima stereotip percepcije grafičkih slika. I matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.
Razlomci su obični brojevi i mogu se sabirati i oduzimati. Ali zbog činjenice da je imenilac prisutan u njima, više složena pravila umjesto cijelih brojeva.
Razmotrimo najjednostavniji slučaj kada postoje dva razlomka sa istim nazivnikom. onda:
Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, dodajte njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromijenjen.
Da biste oduzeli razlomke sa istim nazivnikom, oduzmite brojilac drugog od brojnika prvog razlomka i ostavite imenilac nepromenjen.
Unutar svakog izraza imenioci razlomaka su jednaki. Definicijom sabiranja i oduzimanja razlomaka dobijamo:
Kao što vidite, ništa komplikovano: samo zbrojite ili oduzmite brojioce i to je to.
Ali čak i u takvim jednostavnim radnjama ljudi uspijevaju pogriješiti. Ono što se najčešće zaboravlja jeste da se imenilac ne menja. Na primjer, kada se dodaju, oni također počinju da dodaju, a to je u osnovi pogrešno.
Sasvim je lako riješiti se loše navike sabiranja nazivnika. Pokušajte učiniti isto za oduzimanje. Kao rezultat toga, nazivnik će biti nula, a razlomak (odjednom!) će izgubiti svoje značenje.
Zato zapamtite jednom zauvek: imenilac se ne menja tokom sabiranja i oduzimanja!
Također, mnogi griješe kada zbrajaju nekoliko negativnih razlomaka. Postoji zabuna sa znakovima: gdje staviti minus, a gdje staviti plus.
I ovaj problem je vrlo lako riješiti. Dovoljno je zapamtiti da se minus ispred znaka razlomka uvijek može prenijeti na brojilac - i obrnuto. I naravno, ne zaboravite dva jednostavna pravila:
- Plus i minus daju minus;
- Dva negativa čine potvrdno.
Analizirajmo sve ovo na konkretnim primjerima:
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
U prvom slučaju sve je jednostavno, ali u drugom dodajemo minuse brojiocima razlomaka:
Šta učiniti ako su imenioci različiti
Ne možete direktno sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Bar mi je ovaj metod nepoznat. Međutim, originalni razlomci se uvijek mogu prepisati tako da imenioci postanu isti.
Postoji mnogo načina za pretvaranje razlomaka. O tri od njih se govori u lekciji "Svođenje razlomaka na zajednički imenilac", pa se ovdje nećemo zadržavati na njima. Pogledajmo bolje primjere:
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
U prvom slučaju, razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika koristeći "kris-cross" metodu. U drugom ćemo tražiti LCM. Imajte na umu da je 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Posljednji faktori u ovim proširenjima su jednaki, a prvi su međusobno prosti. Dakle, LCM (6; 9) = 2 3 3 = 18.
Šta učiniti ako razlomak ima cijeli broj
Mogu vam ugoditi: različiti imenioci za razlomke još nisu najveće zlo. Mnogo više grešaka se javlja kada je cijeli dio odabran u razlomcima.
Naravno, za takve frakcije postoje sopstveni algoritmi sabiranja i oduzimanja, ali su prilično složeni i zahtijevaju puno proučavanja. Bolje koristiti jednostavna shema ispod:
- Pretvorite sve razlomke koji sadrže cijeli broj u netačne. Dobijamo normalne članove (čak i sa različitim nazivnicima), koji su izračunati prema gore navedenim pravilima;
- Zapravo, izračunajte zbir ili razliku rezultujućih razlomaka. Kao rezultat toga, praktično ćemo pronaći odgovor;
- Ako je ovo sve što je bilo potrebno u zadatku, uradite reverzna transformacija, tj. oslobađamo se pogrešnog razlomka, naglašavajući cijeli dio u njemu.
Pravila za prelazak na nepravilne razlomke i isticanje cijelog dijela detaljno su opisana u lekciji "Šta je brojčani razlomak". Ako se ne sjećate, svakako ponovite. primjeri:
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Ovdje je sve jednostavno. Imenioci unutar svakog izraza su jednaki, tako da ostaje da sve razlomke pretvorimo u netačne i prebrojimo. Imamo:
Da stvari budu jednostavne, preskočio sam neke od očiglednih koraka u posljednjim primjerima.
Mala napomena o dvoje nedavni primjeri, gdje se oduzimaju razlomci s istaknutim cijelim dijelom. Minus ispred drugog razlomka znači da se oduzima cijeli razlomak, a ne samo njegov cijeli razlomak.
Ponovo pročitajte ovu rečenicu, pogledajte primjere - i razmislite o tome. Ovdje početnici prave veliki broj grešaka. Oni vole da daju takve zadatke kontrolni radovi... Također ćete ih mnogo puta susresti u testovima za ovu lekciju, koji će uskoro biti objavljeni.
Sažetak: opća shema proračuna
U zaključku, dat ću opći algoritam koji će vam pomoći da pronađete zbir ili razliku dva ili više razlomaka:
- Ako jedan ili više razlomaka imaju cijeli dio, pretvorite te razlomke u netačne;
- Dovedite sve razlomke u zajednički nazivnik na bilo koji način koji vam odgovara (osim, naravno, ako to nisu uradili autori problema);
- Dobivene brojeve zbrajati ili oduzimati prema pravilima sabiranja i oduzimanja razlomaka sa istim nazivnicima;
- Smanjite rezultat ako je moguće. Ako je razlomak pogrešan, odaberite cijeli dio.
Zapamtite da je bolje odabrati cijeli dio na samom kraju zadatka, neposredno prije snimanja odgovora.
Možete izvoditi razne radnje sa razlomcima, kao što je dodavanje razlomaka. Sabiranje razlomaka može se podijeliti na nekoliko tipova. Svaka vrsta sabiranja razlomaka ima svoja pravila i algoritam radnji. Razmotrimo detaljno svaku vrstu dodatka.
Sabiranje razlomaka sa istim nazivnikom.
Koristeći primjer, hajde da vidimo kako sabirati razlomke sa zajedničkim nazivnikom.
Planinari su išli na pješačenje od tačke A do tačke E. Prvog dana hodali su od tačke A do tačke B ili \ (\ frac (1) (5) \) skroz. Drugog dana su hodali od tačke B do D ili \ (\ frac (2) (5) \) cijelim putem. Koliko su daleko prešli od početka puta do tačke D?
Da biste pronašli udaljenost od tačke A do tačke D, dodajte razlomke \ (\ frac (1) (5) + \ frac (2) (5) \).
Sabiranje razlomaka sa istim nazivnikom znači da morate sabrati brojioce ovih razlomaka, a nazivnik ostaje isti.
\ (\ frac (1) (5) + \ frac (2) (5) = \ frac (1 + 2) (5) = \ frac (3) (5) \)
U doslovnom obliku, zbir razlomaka sa istim nazivnicima će izgledati ovako:
\ (\ bf \ frac (a) (c) + \ frac (b) (c) = \ frac (a + b) (c) \)
Odgovor: turisti su hodali \ (\ frac (3) (5) \) cijelim putem.
Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Razmotrimo primjer:
Dodajte dva razlomka \ (\ frac (3) (4) \) i \ (\ frac (2) (7) \).
Da biste sabrali razlomke s različitim nazivnicima, prvo morate pronaći, a zatim upotrijebite pravilo za sabiranje razlomaka s istim nazivnicima.
Za nazivnike 4 i 7, zajednički imenilac je 28. Prvi razlomak \ (\ frac (3) (4) \) se mora pomnožiti sa 7. Drugi razlomak \ (\ frac (2) (7) \) mora biti pomnoženo sa 4.
\ (\ frac (3) (4) + \ frac (2) (7) = \ frac (3 \ puta \ boja (crvena) (7) + 2 \ puta \ boja (crvena) (4)) (4 \ puta \ boja (crvena) (7)) = \ frac (21 + 8) (28) = \ frac (29) (28) = 1 \ frac (1) (28) \)
U doslovnom obliku, dobijamo sljedeću formulu:
\ (\ bf \ frac (a) (b) + \ frac (c) (d) = \ frac (a \ puta d + c \ puta b) (b \ puta d) \)
Zbrajanje mješovitih brojeva ili mješovitih razlomaka.
Sabiranje se odvija prema zakonu sabiranja.
Za miješane frakcije dodajte cijele dijelove s cijelim i razlomke s razlomcima.
Ako su razlomci mešoviti brojevi imaju iste imenioce, onda zbrajamo brojioce, a imenilac ostaje isti.
Dodajte mješovite brojeve \ (3 \ frac (6) (11) \) i \ (1 \ frac (3) (11) \).
\ (3 \ frac (6) (11) + 1 \ frac (3) (11) = (\ boja (crvena) (3) + \ boja (plava) (\ frac (6) (11))) + ( \ boja (crvena) (1) + \ boja (plava) (\ frac (3) (11))) = (\ boja (crvena) (3) + \ boja (crvena) (1)) + (\ boja ( plava) (\ frac (6) (11)) + \ boja (plava) (\ frac (3) (11))) = \ boja (crvena) (4) + (\ boja (plava) (\ frac (6) + 3) (11))) = \ boja (crvena) (4) + \ boja (plava) (\ frac (9) (11)) = \ boja (crvena) (4) \ boja (plava) (\ frac (9) (11)) \)
Ako razlomci mješovitih brojeva imaju različite nazivnike, tada nalazimo zajednički imenilac.
Dodajte mješovite brojeve \ (7 \ frac (1) (8) \) i \ (2 \ frac (1) (6) \).
Imenilac je drugačiji, tako da morate pronaći zajednički imenilac, jednak je 24. Pomnožite prvi razlomak \ (7 \ frac (1) (8) \) dodatnim faktorom 3, a drugi razlomak \ (2 \ frac (1) (6) \) za 4.
\ (7 \ frac (1) (8) + 2 \ frac (1) (6) = 7 \ frac (1 \ puta \ boja (crvena) (3)) (8 \ puta \ boja (crvena) (3) ) = 2 \ frac (1 \ puta \ boja (crvena) (4)) (6 \ puta \ boja (crvena) (4)) = 7 \ frac (3) (24) + 2 \ frac (4) (24 ) = 9 \ frac (7) (24) \)
Pitanja na temu:
Kako da saberem razlomke?
Odgovor: prvo morate odlučiti kojoj vrsti izraz pripada: razlomci imaju iste imenioce, različite nazivnike ili mješovite razlomke. Ovisno o vrsti izraza, prelazimo na algoritam rješenja.
Kako riješiti razlomke sa različitim nazivnicima?
Odgovor: potrebno je pronaći zajednički imenilac, a zatim po pravilu sabiranja razlomaka sa istim nazivnicima.
Kako riješiti miješane razlomke?
Odgovor: cijele dijelove dodajemo cijelim dijelovima i razlomke s razlomcima.
Primjer #1:
Može li zbir dva rezultirati tačnim razlomkom? Netačan razlomak? Navedite primjere.
\ (\ frac (2) (7) + \ frac (3) (7) = \ frac (2 + 3) (7) = \ frac (5) (7) \)
Razlomak \ (\ frac (5) (7) \) je pravilan razlomak, rezultat je zbira dvaju pravilnih razlomaka \ (\ frac (2) (7) \) i \ (\ frac (3) ( 7) \).
\ (\ frac (2) (5) + \ frac (8) (9) = \ frac (2 \ puta 9 + 8 \ puta 5) (5 \ puta 9) = \ frac (18 + 40) (45) = \ frac (58) (45) \)
Razlomak \ (\ frac (58) (45) \) je nepravilan razlomak, to je zbir tačnih razlomaka \ (\ frac (2) (5) \) i \ (\ frac (8) (9) \).
Odgovor: Odgovor na oba pitanja je da.
Primjer #2:
Dodajte razlomke: a) \ (\ frac (3) (11) + \ frac (5) (11) \) b) \ (\ frac (1) (3) + \ frac (2) (9) \).
a) \ (\ frac (3) (11) + \ frac (5) (11) = \ frac (3 + 5) (11) = \ frac (8) (11) \)
b) \ (\ frac (1) (3) + \ frac (2) (9) = \ frac (1 \ puta \ boja (crvena) (3)) (3 \ puta \ boja (crvena) (3)) + \ frac (2) (9) = \ frac (3) (9) + \ frac (2) (9) = \ frac (5) (9) \)
Primjer br. 3:
Zapiši mješovita frakcija kao suma prirodni broj i tačan razlomak: a) \ (1 \ frac (9) (47) \) b) \ (5 \ frac (1) (3) \)
a) \ (1 \ frac (9) (47) = 1 + \ frac (9) (47) \)
b) \ (5 \ frac (1) (3) = 5 + \ frac (1) (3) \)
Primjer #4:
Izračunajte zbroj: a) \ (8 \ frac (5) (7) + 2 \ frac (1) (7) \) b) \ (2 \ frac (9) (13) + \ frac (2) (13 ) \) c) \ (7 \ frac (2) (5) + 3 \ frac (4) (15) \)
a) \ (8 \ frac (5) (7) + 2 \ frac (1) (7) = (8 + 2) + (\ frac (5) (7) + \ frac (1) (7)) = 10 + \ frac (6) (7) = 10 \ frac (6) (7) \)
b) \ (2 \ frac (9) (13) + \ frac (2) (13) = 2 + (\ frac (9) (13) + \ frac (2) (13)) = 2 \ frac (11) )(trinaest) \)
c) \ (7 \ frac (2) (5) + 3 \ frac (4) (15) = 7 \ frac (2 \ puta 3) (5 \ puta 3) + 3 \ frac (4) (15) = 7 \ frac (6) (15) + 3 \ frac (4) (15) = (7 + 3) + (\ frac (6) (15) + \ frac (4) (15)) = 10 + \ frac (10) (15) = 10 \ frac (10) (15) = 10 \ frac (2) (3) \)
Zadatak broj 1:
Za ručak smo jeli \ (\ frac (8) (11) \) od kolača, a uveče za večeru smo jeli \ (\ frac (3) (11) \). Mislite li da je torta potpuno pojedena ili ne?
Rješenje:
Imenitelj razlomka je 11, što pokazuje na koliko je komada podijeljen kolač. Za vrijeme ručka smo pojeli 8 komada torte od 11. Za večeru smo pojeli 3 komada torte od 11. Dodajte 8 + 3 = 11, pojeli smo komade torte od 11, odnosno cijelu tortu.
\ (\ frac (8) (11) + \ frac (3) (11) = \ frac (11) (11) = 1 \)
Odgovor: pojeli su cijelu tortu.