Równanie liniowe nazywa się jednorodny jeśli jego punkt przecięcia wynosi zero, a niejednorodny w przeciwnym razie. Układ składający się z jednorodnych równań nazywa się jednorodnym i ma ogólna forma:
Oczywiście każdy jednorodny system jest spójny i ma zerowe (trywialne) rozwiązanie. Dlatego dla systemów jednorodnych równania liniowe często trzeba szukać odpowiedzi na pytanie o istnienie rozwiązań niezerowych. Odpowiedź na to pytanie można sformułować w postaci następującego twierdzenia.
Twierdzenie . Jednorodny układ równań liniowych ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy jego ranga jest mniejsza niż liczba niewiadomych .
Dowód: Załóżmy, że system, którego ranga jest równa, ma rozwiązanie niezerowe. Oczywiście nie przekracza . W przypadku, gdy system posiada unikalne rozwiązanie. Ponieważ układ jednorodnych równań liniowych zawsze ma rozwiązanie zerowe, to właśnie rozwiązanie zerowe będzie tym unikalnym rozwiązaniem. Zatem rozwiązania niezerowe są możliwe tylko dla .
Następstwo 1 : Jednorodny układ równań, w którym liczba równań jest mniejsza niż liczba niewiadomych, ma zawsze rozwiązanie niezerowe.
Dowód: Jeżeli układ równań ma , to ranga układu nie przekracza liczby równań , tj. . Zatem warunek jest spełniony, a zatem system ma rozwiązanie niezerowe.
Konsekwencja 2 : Jednorodny układ równań z niewiadomymi ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyznacznikiem jest zero.
Dowód: Załóżmy układ liniowych równań jednorodnych, których macierz z wyznacznikiem ma rozwiązanie niezerowe. Następnie zgodnie z udowodnionym twierdzeniem , co oznacza, że macierz jest zdegenerowana, tj. .
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego: SLE jest zgodny wtedy i tylko wtedy, gdy ranga macierzy systemu jest równa randze rozszerzonej macierzy tego systemu. System ur-th jest nazywany zgodnym, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie.Jednorodny układ liniowych równań algebraicznych.
Układ m równań liniowych z n zmiennymi nazywamy układem liniowych równań jednorodnych, jeśli wszystkie wyrazy wolne są równe 0. Układ liniowych równań jednorodnych jest zawsze zgodny, ponieważ zawsze ma co najmniej zerowe rozwiązanie. Układ liniowych równań jednorodnych ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy rząd jego macierzy współczynników przy zmiennych jest mniejszy niż liczba zmiennych, tj. dla rangi A (rzecz. Dowolna kombinacja liniowa
rozwiązania systemu linii. jednorodny ur-ii jest również rozwiązaniem tego systemu.
Układ liniowo niezależnych rozwiązań e1, e2,…,ek nazywamy fundamentalnym, jeśli każde rozwiązanie układu jest kombinacją liniową rozwiązań. Twierdzenie: jeżeli ranga r macierzy współczynników przy zmiennych układu liniowych równań jednorodnych jest mniejsza niż liczba zmiennych n, to każdy podstawowy układ rozwiązań układu składa się z rozwiązania n-r. Dlatego wspólna decyzja systemy linowe. pojedynczy ur-th ma postać: c1e1+c2e2+…+ckek, gdzie e1, e2,…, ek to dowolny podstawowy układ rozwiązań, c1, c2,…,ck to liczby dowolne, a k=n-r. Ogólne rozwiązanie układu m równań liniowych z n zmiennymi jest równe sumie
ogólne rozwiązanie odpowiadającego mu układu jest jednorodne. równania liniowe i dowolne rozwiązanie szczegółowe tego układu.
7. Przestrzenie liniowe. Podprzestrzenie. Podstawa, wymiar. Powłoka liniowa. Przestrzeń liniowa nazywa się n-wymiarowy, jeśli zawiera układ liniowo niezależnych wektorów, a każdy układ większej liczby wektorów jest liniowo zależny. Numer nazywa się wymiar (liczba wymiarów) przestrzeń liniowa i jest oznaczona przez . Innymi słowy, wymiar przestrzeni to maksymalny numer liniowo niezależne wektory tej przestrzeni. Jeśli taka liczba istnieje, to mówi się, że przestrzeń jest skończenie wymiarowa. Jeśli w ogóle Liczba naturalna n w przestrzeni istnieje układ składający się z liniowo niezależnych wektorów, wtedy taką przestrzeń nazywamy nieskończenie wymiarową (zapisz: ). Poniżej, o ile nie zaznaczono inaczej, będą brane pod uwagę przestrzenie skończenie wymiarowe.
Podstawą n-wymiarowej przestrzeni liniowej jest uporządkowany zbiór liniowo niezależnych wektorów ( wektory bazowe).
Twierdzenie 8.1 o rozwinięciu wektora w bazie. Jeżeli jest bazą n-wymiarowej przestrzeni liniowej, to dowolny wektor można przedstawić jako liniową kombinację wektorów bazowych:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
a ponadto w unikalny sposób, tj. współczynniki są jednoznacznie określone. Innymi słowy, każdy wektor przestrzenny może być rozszerzony w sposób podstawowy, a ponadto w unikalny sposób.
Rzeczywiście, wymiar przestrzeni to . Układ wektorów jest liniowo niezależny (to jest podstawa). Po dołączeniu do bazy dowolnego wektora otrzymujemy liniowo system zależny(ponieważ ten system składa się z wektorów w przestrzeni n-wymiarowej). Na podstawie własności 7 liniowo zależnych i liniowo niezależnych wektorów otrzymujemy wniosek z twierdzenia.
Metoda Gaussa ma wiele wad: nie można stwierdzić, czy system jest spójny, czy nie, dopóki nie zostaną przeprowadzone wszystkie przekształcenia konieczne w metodzie Gaussa; metoda Gaussa nie jest odpowiednia dla systemów ze współczynnikami literowymi.
Rozważ inne metody rozwiązywania układów równań liniowych. Metody te wykorzystują pojęcie rzędu macierzy i redukują rozwiązanie dowolnego układu łącznego do rozwiązania układu, do którego stosuje się reguła Cramera.
Przykład 1 Znajdź ogólne rozwiązanie następującego układu równań liniowych, korzystając z podstawowego układu rozwiązań zredukowanego układu jednorodnego i szczególnego rozwiązania układu niejednorodnego.
1. Tworzymy macierz A oraz rozszerzona macierz systemu (1)
2. Poznaj system (1) dla kompatybilności. Aby to zrobić, znajdujemy szeregi matryc A oraz https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jeśli się okaże, że to system (1) niekompatybilny. Jeśli to zrozumiemy , to ten system jest spójny i my go rozwiążemy. (Badanie spójności jest oparte na twierdzeniu Kroneckera-Capelliego).
a. Znaleźliśmy rA.
Znaleźć rA, rozważymy kolejno niezerowe elementy drugorzędne pierwszego, drugiego itd. rzędów macierzy A i otaczających ich nieletnich.
M1=1≠0 (1 jest pobierany z lewego górnego rogu macierzy ALE).
Graniczy M1 drugi wiersz i druga kolumna tej macierzy. 
. Kontynuujemy granicę M1 druga linia i trzecia kolumna..gif" width = "37" height = "20 src = ">. Teraz obramujemy niezerową mniejszą М2′ drugie zamówienie.
Mamy: 
(ponieważ dwie pierwsze kolumny są takie same)
(ponieważ druga i trzecia linia są proporcjonalne).
Widzimy to rA=2, i jest bazą minor macierzy A.
b. Znaleźliśmy .
Wystarczająco podstawowy małoletni М2′ matryce A granica z kolumną wolnych członków i wszystkimi liniami (mamy tylko ostatnią linię).
. Wynika z tego, że М3′′ pozostaje podstawą drobnej matrycy https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Dlatego М2′- podstawa minor macierzy A systemy (2) , to ten system jest równoważny systemowi (3) , składający się z dwóch pierwszych równań układu (2) (dla М2′ znajduje się w pierwszych dwóch wierszach macierzy A).
(3)
Ponieważ podstawowym nieletnim jest https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
W tym systemie dwie wolne niewiadome ( x2 I x4 ). Dlatego FSR systemy (4) składa się z dwóch rozwiązań. Aby je znaleźć, przypisujemy wolne niewiadome do (4) wartości na pierwszym miejscu x2=1 , x4=0 , i wtedy - x2=0 , x4=1 .
Na x2=1 , x4=0 otrzymujemy:
.
Ten system ma już Jedyną rzeczą rozwiązanie (można je znaleźć zgodnie z regułą Cramera lub dowolną inną metodą). Odejmując pierwsze równanie od drugiego, otrzymujemy:
Jej decyzja będzie x1= -1 , x3=0 . Biorąc pod uwagę wartości x2 I x4 , które podaliśmy, otrzymujemy jako pierwsi podstawowe rozwiązanie systemy (2) : .
Teraz wstawiamy (4) x2=0 , x4=1 . Otrzymujemy:
.
Rozwiązujemy ten system za pomocą twierdzenia Cramera:
.
Otrzymujemy drugie podstawowe rozwiązanie systemu (2) : .
Rozwiązania β1 , β2 i makijaż FSR systemy (2) . Wtedy jego ogólnym rozwiązaniem będzie
γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Tutaj C1 , C2 są arbitralnymi stałymi.
4. Znajdź jeden prywatny rozwiązanie niejednorodny system(1) . Jak w akapicie 3 zamiast systemu (1) rozważ równoważny system (5) , składający się z dwóch pierwszych równań układu (1) .
(5)
Wolne niewiadome przenosimy na prawą stronę x2 I x4.
(6)
Dajmy darmowe niewiadome x2 I x4 dowolne wartości, na przykład x2=2 , x4=1 i podłącz je do (6) . Zdobądźmy system
Ten system ma unikalne rozwiązanie (ponieważ jego wyznacznik М2′0). Rozwiązując go (za pomocą twierdzenia Cramera lub metody Gaussa) otrzymujemy x1=3 , x3=3 . Biorąc pod uwagę wartości wolnych niewiadomych x2 I x4 , dostajemy szczególne rozwiązanie układu niejednorodnego(1)α1=(3,2,3,1).
5. Teraz pozostaje napisać rozwiązanie ogólne α układu niejednorodnego(1) : jest równy sumie prywatna decyzja ten system i ogólne rozwiązanie jego zredukowanego układu jednorodnego (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
To znaczy: 
(7)
6. Badanie. Aby sprawdzić, czy poprawnie rozwiązałeś system (1) Potrzebujemy ogólnego rozwiązania (7) zastąpić w (1) . Jeśli każde równanie staje się tożsamością ( C1 I C2 powinny zostać zniszczone), to rozwiązanie zostanie znalezione poprawnie.
Zastąpimy (7) na przykład tylko w ostatnim równaniu układu (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Otrzymujemy: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Gdzie -1=-1. Mamy tożsamość. Robimy to ze wszystkimi innymi równaniami systemu (1) .
Komentarz. Weryfikacja jest zwykle dość uciążliwa. Możemy polecić następującą „weryfikację częściową”: w całościowym rozwiązaniu systemu (1) przypisać pewne wartości do dowolnych stałych i podstawić powstałe konkretne rozwiązanie tylko do odrzuconych równań (tj. do tych równań z (1) które nie są zawarte w (5) ). Jeśli zdobędziesz tożsamości, to prawdopodobnie, rozwiązanie systemu (1) znalezione poprawnie (ale takie sprawdzenie nie daje pełnej gwarancji poprawności!). Na przykład, jeśli w (7) wkładać C2=- 1 , C1=1, to otrzymujemy: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Podstawiając do ostatniego równania układu (1), otrzymujemy: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tj. –1=–1. Mamy tożsamość.
Przykład 2 Znajdź ogólne rozwiązanie układu równań liniowych (1) , wyrażając główne niewiadome w kategoriach wolnych.
Rozwiązanie. Jak w Przykład 1 skomponować macierze A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> tych macierzy. Teraz zostawiamy tylko te równania układu (1) , których współczynniki są zawarte w tej podstawowej podrzędnej (tzn. mamy dwa pierwsze równania) i rozważamy układ z nich złożony, który jest równoważny układowi (1).
Przenieśmy wolne niewiadome na prawą stronę tych równań.
system (9) rozwiązujemy metodą Gaussa, uznając właściwe części za wolne człony.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Opcja 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Opcja 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Opcja 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opcja 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Będziemy dalej szlifować technikę przekształcenia elementarne na jednorodny układ równań liniowych.
Zgodnie z pierwszymi akapitami materiał może wydawać się nudny i zwyczajny, ale to wrażenie jest zwodnicze. Oprócz dalszego rozwoju technik pojawi się wiele nowych informacji, dlatego proszę nie zaniedbywać przykładów w tym artykule.
Czym jest jednorodny układ równań liniowych?
Odpowiedź nasuwa się sama. Układ równań liniowych jest jednorodny, jeśli wyraz wolny każdy równanie systemowe wynosi zero. Na przykład:
Jest całkiem jasne, że jednorodny system jest zawsze spójny czyli zawsze ma rozwiązanie. A przede wszystkim tzw trywialny rozwiązanie 
. Banalne, dla tych, którzy w ogóle nie rozumieją znaczenia przymiotnika, oznacza bespontovoe. Oczywiście nie akademicko, ale zrozumiale =) ... Po co owijać w bawełnę, dowiedzmy się, czy ten system ma jakieś inne rozwiązania:
Przykład 1
Rozwiązanie: aby rozwiązać system jednorodny należy napisać macierz systemowa i za pomocą elementarnych przekształceń doprowadź go do postaci schodkowej. Zwróć uwagę, że nie ma potrzeby zapisywania tutaj pionowej kreski i kolumny zerowej wolnych członków - ponieważ cokolwiek zrobisz z zerami, pozostaną one zerami: 
(1) Pierwszy wiersz został dodany do drugiego wiersza pomnożony przez -2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii pomnożona przez -3.
(2) Drugi wiersz został dodany do trzeciego wiersza, pomnożony przez -1.
Dzielenie trzeciego rzędu przez 3 nie ma większego sensu.
W wyniku elementarnych przekształceń otrzymuje się równoważny układ jednorodny 
, a stosując ruch wsteczny metody Gaussa, łatwo jest zweryfikować, czy rozwiązanie jest unikatowe.
Odpowiedź: 
Sformułujmy oczywiste kryterium: jednorodny układ równań liniowych ma tylko banalne rozwiązanie, Jeśli ranking macierzy systemowej(w ta sprawa 3) jest równa liczbie zmiennych (w tym przypadku 3 szt.).
Rozgrzewamy i dostrajamy nasze radio do fali elementarnych przemian:
Przykład 2
Rozwiąż jednorodny układ równań liniowych 
Aby ostatecznie naprawić algorytm, przeanalizujmy ostatnie zadanie:
Przykład 7
Rozwiąż układ jednorodny, napisz odpowiedź w postaci wektorowej. 
Rozwiązanie: piszemy macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci schodkowej: 
(1) Zmieniono znak pierwszej linii. Jeszcze raz zwracam uwagę na wielokrotnie spotykaną technikę, która pozwala znacznie uprościć następującą czynność.
(1) Pierwsza linia została dodana do drugiej i trzeciej linii. Pierwsza linia pomnożona przez 2 została dodana do czwartej linii.
(3) Ostatnie trzy linie są proporcjonalne, dwie z nich zostały usunięte.
W efekcie uzyskuje się standardową macierz schodkową, a rozwiązanie jest kontynuowane po torze radełkowanym:
– podstawowe zmienne;
są wolnymi zmiennymi.
Zmienne podstawowe wyrażamy w postaci zmiennych swobodnych. Z drugiego równania:
- podstawnik w pierwszym równaniu:
Więc ogólne rozwiązanie to:
Ponieważ w rozważanym przykładzie występują trzy zmienne wolne, system podstawowy zawiera trzy wektory.
Podstawmy trójkę wartości 
do rozwiązania ogólnego i otrzymaj wektor, którego współrzędne spełniają każde równanie układu jednorodnego. I znowu powtarzam, że bardzo pożądane jest sprawdzenie każdego otrzymanego wektora - nie zajmie to tyle czasu, ale zaoszczędzi sto procent błędów.
Dla potrójnej wartości 
znajdź wektor
I wreszcie dla trójki 
otrzymujemy trzeci wektor:
Odpowiedź: , gdzie
Osoby chcące uniknąć wartości ułamkowych mogą rozważyć trojaczki 
i uzyskaj odpowiedź w równoważnej formie:
Mówiąc o ułamkach. Spójrzmy na macierz uzyskaną w zadaniu 
i zadaj pytanie - czy można uprościć dalsze rozwiązanie? Przecież tutaj najpierw wyraziliśmy zmienną podstawową w postaci ułamków, potem zmienną podstawową w postaci ułamków i muszę powiedzieć, że proces ten nie był najłatwiejszy i nie najprzyjemniejszy.
Drugie rozwiązanie:
Chodzi o to, aby spróbować wybierz inne podstawowe zmienne. Spójrzmy na macierz i zwróćmy uwagę na dwie w trzeciej kolumnie. Dlaczego więc nie uzyskać zera na górze? Zróbmy jeszcze jedną elementarną transformację:
Zostawiać m 0 jest zbiorem rozwiązań jednorodnego układu (4) równań liniowych.
Definicja 6.12. Wektory od 1 ,od 2 , …, z, które są rozwiązaniami jednorodnego układu równań liniowych, nazywamy podstawowy zestaw rozwiązań(skrót FNR) jeśli
1) wektory od 1 ,od 2 , …, z liniowo niezależne (to znaczy żadna z nich nie może być wyrażona w kategoriach pozostałych);
2) dowolne inne rozwiązanie jednorodnego układu równań liniowych można wyrazić w postaci rozwiązań od 1 ,od 2 , …, z.
Zauważ, że jeśli od 1 ,od 2 , …, z to jakieś f.n.r., to przez wyrażenie k 1× od 1 + k 2× od 2 + … + kp× z potrafi opisać cały zestaw m 0 rozwiązań do systemu (4), więc nazywa się ogólny widok rozwiązania systemowego (4).
Twierdzenie 6.6. Każdy nieokreślony jednorodny układ równań liniowych ma fundamentalny zbiór rozwiązań.
Sposób na znalezienie podstawowego zestawu rozwiązań jest następujący:
Znajdź ogólne rozwiązanie jednorodnego układu równań liniowych;
Zbudować ( n – r) poszczególnych rozwiązań tego układu, podczas gdy wartości wolnych niewiadomych muszą się formować macierz jednostkowa;
Napisz ogólną formę rozwiązania zawartego w m 0 .
Przykład 6.5. Znajdź podstawowy zestaw rozwiązań następującego systemu:
Rozwiązanie. Znajdźmy ogólne rozwiązanie tego systemu.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Ten system ma pięć niewiadomych ( n= 5), z czego istnieją dwie główne niewiadome ( r= 2), trzy wolne niewiadome ( n – r), czyli podstawowy zbiór rozwiązań zawiera trzy wektory rozwiązań. Zbudujmy je. Mamy x 1 i x 3 - główne niewiadome, x 2 , x 4 , x 5 - wolne niewiadome
Wartości wolnych niewiadomych x 2 , x 4 , x 5 tworzą macierz tożsamości mi trzecie zamówienie. Mam te wektory od 1 ,od 2 , od 3 formularz f.n.r. ten system. Wtedy zbiór rozwiązań tego jednorodnego układu będzie m 0 = {k 1× od 1 + k 2× od 2 + k 3× od 3 , k 1 , k 2 , k 3 R).
Znajdźmy teraz warunki istnienia niezerowych rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych, czyli warunki istnienia fundamentalnego zbioru rozwiązań.
Jednorodny układ równań liniowych ma rozwiązania niezerowe, czyli jest nieokreślony, jeśli
1) ranga głównej macierzy układu jest mniejsza niż liczba niewiadomych;
2) w jednorodnym układzie równań liniowych liczba równań jest mniejsza od liczby niewiadomych;
3) jeżeli w jednorodnym układzie równań liniowych liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, a wyznacznik macierzy głównej jest równy zero (tj. | A| = 0).
Przykład 6.6. Przy jakiej wartości parametru a jednorodny układ równań liniowych 
ma rozwiązania niezerowe?
Rozwiązanie. Skomponujmy główną macierz tego układu i znajdźmy jego wyznacznik: = = 1×(–1) 1+1 × = – ale– 4. Wyznacznik tej macierzy jest równy zero, gdy a = –4.
Odpowiedź: –4.
7. Arytmetyka n-wymiarowa przestrzeń wektorowa
Podstawowe koncepcje
W poprzednich rozdziałach napotkaliśmy już koncepcję zbioru liczb rzeczywistych znajdujących się w pewien porządek. Jest to macierz wierszy (lub macierz kolumn) i rozwiązanie układu równań liniowych z n nieznany. Te informacje można podsumować.
Definicja 7.1. n-wymiarowy wektor arytmetyczny nazywa się uporządkowanym zbiorem n liczby rzeczywiste.
Oznacza ale= (a 1 , a 2 , …, a n), gdzie i R, i = 1, 2, …, n to ogólny widok wektora. Numer n nazywa się wymiar wektor, a liczby a i nazwał go współrzędne.
Na przykład: ale= (1, –8, 7, 4, ) jest wektorem pięciowymiarowym.
Wszystko gotowe n wektory -wymiarowe są zwykle oznaczane jako R n.
Definicja 7.2. Dwa wektory ale= (a 1 , a 2 , …, a n) I b= (b 1 , b 2 , …, b n) o tym samym wymiarze równy wtedy i tylko wtedy, gdy ich odpowiednie współrzędne są równe, tj. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Definicja 7.3.suma dwa n-wymiarowe wektory ale= (a 1 , a 2 , …, a n) I b= (b 1 , b 2 , …, b n) nazywa się wektorem a + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+b n).
Definicja 7.4. Praca prawdziwy numer k na wektor ale= (a 1 , a 2 , …, a n) nazywa się wektorem k× ale = (k×a 1 , k×a 2 , …, k×a n)
Definicja 7.5. Wektor o= (0, 0, …, 0) nazywa się zero(lub wektor zerowy).
Łatwo sprawdzić, czy akcje (operacje) dodawania wektorów i mnożenia ich przez liczbę rzeczywistą mają następujące właściwości: a, b, C Î R n, " k, jaОR:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ C) = (a + b) + C;
3) a + o = a;
4) a+ (–a) = o;
5) 1× a = a, 1 R;
6) k×( ja× a) = ja×( k× a) = (ja× k)× a;
7) (k + ja)× a = k× a + ja× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Definicja 7.6. Wiele R n z operacjami dodawania wektorów i mnożenia ich przez podaną na nim liczbę rzeczywistą nazywa się arytmetyczna n-wymiarowa przestrzeń wektorowa.
Przykład 1 . Znajdź ogólne rozwiązanie i podstawowy system rozwiązań dla systemuRozwiązanie znajdź za pomocą kalkulatora. Algorytm rozwiązania jest taki sam jak dla układów liniowych równań niejednorodnych.
Operując tylko wierszami, znajdujemy rząd macierzy, podstawowy minor; deklarujemy zależne i wolne niewiadome i znajdujemy ogólne rozwiązanie.
Pierwsza i druga linia są proporcjonalne, jedna z nich zostanie usunięta:
.
Zmienne zależne - x 2, x 3, x 5, wolne - x 1, x 4. Z pierwszego równania 10x 5 = 0 znajdujemy x 5 = 0, a następnie
; .
Ogólne rozwiązanie wygląda tak:
Znajdujemy podstawowy system rozwiązań, który składa się z (n-r) rozwiązań. W naszym przypadku n=5, r=3, zatem podstawowy układ rozwiązań składa się z dwóch rozwiązań, a rozwiązania te muszą być liniowo niezależne. Aby wiersze były liniowo niezależne, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy złożonej z elementów wierszy był równy liczbie wierszy, czyli 2. Wystarczy podać wolne niewiadome x 1 i x 4 wartości z rzędów wyznacznika drugiego rzędu, który jest różny od zera, i obliczają x 2 , x 3 , x 5 . Najprostszym niezerowym wyznacznikiem jest .
Więc pierwsze rozwiązanie to:
, drugi - 
.
Te dwie decyzje stanowią podstawowy system decyzyjny. Zwróć uwagę, że system podstawowy nie jest unikalny (wyznaczniki inne niż zero mogą składać się z dowolnej liczby).
Przykład 2 . Znajdź rozwiązanie ogólne i podstawowy system rozwiązań systemu 
Rozwiązanie.
,
z tego wynika, że ranga macierzy wynosi 3 i jest równa liczbie niewiadomych. Oznacza to, że system nie ma wolnych niewiadomych, a co za tym idzie posiada unikalne rozwiązanie – trywialne.
Zadanie . Poznaj i rozwiąż układ równań liniowych.
Przykład 4
Zadanie . Znajdź ogólne i szczegółowe rozwiązania dla każdego systemu.
Rozwiązanie. Piszemy główną macierz systemu:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Matrycę doprowadzamy do trójkątnej formy. Będziemy pracować tylko z wierszami, ponieważ pomnożenie wiersza macierzy przez liczbę niezerową i dodanie go do innego wiersza dla układu oznacza pomnożenie równania przez tę samą liczbę i dodanie go do innego równania, co nie zmienia rozwiązania systemu.
Pomnóż drugi rząd przez (-5). Dodajmy drugą linię do pierwszej:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Pomnóż drugi rząd przez (6). Pomnóż trzeci rząd przez (-1). Dodajmy trzecią linię do drugiej:
Znajdź rangę macierzy.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Podświetlona mała ma najwyższy rząd (z możliwych mniejszych) i jest niezerowa (jest równa iloczynowi elementów na odwrotnej przekątnej), stąd rang(A) = 2.
Ten drugorzędny jest podstawowy. Zawiera współczynniki dla nieznanego x 1, x 2, co oznacza, że nieznane x 1, x 2 są zależne (podstawowe), a x 3, x 4, x 5 są wolne.
Przekształcamy macierz, pozostawiając po lewej stronie tylko podstawowy minor.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x2 | x4 | x 3 | x5 |
Układ ze współczynnikami tej macierzy jest równoważny z układem oryginalnym i ma postać:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Metodą eliminacji niewiadomych znajdujemy nietrywialne rozwiązanie:
Otrzymaliśmy relacje wyrażające zmienne zależne x 1 ,x 2 poprzez swobodne x 3 ,x 4 ,x 5 , czyli znaleźliśmy wspólna decyzja:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Znajdujemy podstawowy system rozwiązań, który składa się z (n-r) rozwiązań.
W naszym przypadku n=5, r=2, zatem podstawowy układ rozwiązań składa się z 3 rozwiązań, a rozwiązania te muszą być liniowo niezależne.
Aby wiersze były liniowo niezależne, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy złożonej z elementów wierszy był równy liczbie wierszy, czyli 3.
Wystarczy podać wartości wolnych niewiadomych x 3 ,x 4 ,x 5 z rzędów wyznacznika III rzędu różne od zera i obliczyć x 1 ,x 2 .
Najprostszym niezerowym wyznacznikiem jest macierz tożsamości.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Zadanie . Znajdź podstawowy zestaw rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych.