gdzie każdy?
Zastępując otrzymujemy:
Dla rozkładu ciągłego, podobnie: 
gdzie V- obszar przestrzeni, w której znajdują się ładunki (niezerowa gęstość ładunku), lub całą przestrzeń, - wektor promienia punktu, dla którego obliczamy, - wektor promienia źródła, przebiegający przez wszystkie punkty strefa ^V podczas integracji, dV- element objętości.
Pole elektryczne, w którym intensywność jest taka sama pod względem wielkości i kierunku w dowolnym punkcie przestrzeni, nazywa się jednolite pole elektryczne .
W przybliżeniu jednolita jest pole elektryczne pomiędzy dwiema przeciwnie naładowanymi płaskimi płytami metalowymi. Linie napięcia w jednolitym polu elektrycznym są do siebie równoległe
Z równomiernym rozkładem ładunku elektrycznego Q na powierzchni terenu S gęstość ładunku powierzchniowego jest stała i równa
4. Garnek. elektrostat. pola. Równoważny. powierzchnia Ur-e wyposażyć. powierzchnia
Pole elektrostatyczne to pole elektryczne ładunków, które są stacjonarne w wybranym układzie odniesienia. Główne cechy pole elektrostatyczne to napięcie i potencjał. Potencjał w dowolnym momencie el.stat. pole to wielkość fizyczna określona przez energię potencjalną ładunku dodatniego umieszczonego w tym punkcie.
Różnica potencjałów dwóch punktów jest równa pracy wykonanej przy przenoszeniu jednostkowego ładunku dodatniego z punktu 1 do punktu 2.
Często wygodnie jest przyjąć potencjał nieskończenie odległego punktu w przestrzeni jako potencjał zerowy. Potencjał jest charakterystyką energetyczną pola elektrostatycznego. Jeżeli zerowy poziom energii potencjalnej układu ładunków jest warunkowo wybrany w nieskończoności, to wyrażenie jest pracą siły zewnętrznej, aby przenieść jednostkowy ładunek dodatni z nieskończoności do rozważanego punktu B: 
;
Powierzchnia we wszystkich punktach, których potencjał pola elektrycznego ma te same wartości, nazywana jest powierzchnią ekwipotencjalną.
Pomiędzy dowolnymi dwoma punktami na powierzchni ekwipotencjalnej różnica potencjałów wynosi zero, więc praca sił pola elektrycznego dla dowolnego ruchu ładunku wzdłuż powierzchni ekwipotencjalnej wynosi zero. Oznacza to, że wektor siły Fe w dowolnym punkcie trajektorii ładunku wzdłuż powierzchni ekwipotencjalnej jest prostopadły do wektora prędkości. Dlatego linie pola elektrostatycznego są prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnej.
Jeżeli potencjał jest podany jako funkcja współrzędnych (x, y, z), to równanie ekwipotencjalne powierzchni ma postać:
φ(x, y, z) = const
Powierzchnie ekwipotencjalne pola punktowego ładunku elektrycznego są kulami, w środku których znajduje się ładunek. Powierzchnie ekwipotencjalne jednolitego pola elektrycznego są płaszczyznami prostopadłymi do linii napięcia.
5. Związek między napięciem a potencjałem. Potencjały pól ładunku punktowego i prod. opłata ciało. Garnek. jednolite pole.
Znajdźmy zależność między siłą pola elektrostatycznego, która jest jego charakterystyką mocy, a potencjałem - charakterystyką energii pola.
Praca polegająca na przenoszeniu jednopunktowego ładunku dodatniego z jednego punktu do drugiego wzdłuż osi x, pod warunkiem, że punkty są nieskończenie blisko siebie, jest równa A=Exdxq0. Ta sama praca jest równa A=(1-2)q0=-d Porównując oba wyrażenia, możemy napisać
Ex=-d/dx. Podobnie Ey=-d/dy, Ez=-d/z. Stąd E= Exi+ Eyj+ Ezk, gdzie i, j, k są wektorami jednostkowymi osi współrzędnych x, y, z. Następnie 
tj. natężenie pola E jest równe gradientowi potencjału ze znakiem minus. Znak minus jest określony przez fakt, że wektor natężenia E pola jest skierowany w kierunku malejącego potencjału.
Do graficznego przedstawienia rozkładu potencjału pola elektrostatycznego, podobnie jak w przypadku pola grawitacyjnego, wykorzystuje się powierzchnie ekwipotencjalne - powierzchnie we wszystkich punktach, których potencjał ma taką samą wartość. 
Jeżeli pole jest tworzone przez ładunek punktowy, to jego potencjał, zgodnie z =(1/40)Q/r. W ten sposób, powierzchnie ekwipotencjalne w ta sprawa - koncentryczne kule.
Z drugiej strony linie naprężenia w przypadku ładunku punktowego są promieniowymi liniami prostymi. W konsekwencji linie napięcia w przypadku ładunku punktowego są prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych.
^ Potencjał pola ładunku punktowego Q w jednorodnym izotropowym ośrodku o przenikalności :
Jednorodny potencjał pola:
φ \u003d W p / q \u003d -E x x + C
Wartość potencjału w danym punkcie zależy od wyboru poziom zerowy obliczyć potencjał. Ten poziom jest wybierany arbitralnie.
6. praca sił elektrostatu. pola zgodnie z przeniesieniem opłaty punktowej. Elektrostat cyrkulacyjny i wirnikowy. pola
Podstawowa praca wykonywana przez siłę F podczas przemieszczania punktowego ładunku elektrycznego qpr z jednego punktu pola elektrostatycznego do drugiego na odcinku ścieżki dl jest z definicji równa 
gdzie jest kątem między wektorem siły F a kierunkiem ruchu dl. Jeżeli praca jest wykonywana siłami zewnętrznymi, to dA=0. Całkując ostatnie wyrażenie, otrzymujemy, że praca przeciw siłom pola przy przenoszeniu ładunku testowego qpr z punktu „a” do punktu „b” będzie równa ... 
gdzie jest siła Coulomba działająca na ładunek testowy qpr w każdym punkcie pola o sile E. Następnie praca ... 
Niech ładunek porusza się w polu ładunku q od punktu „a”, oddalony od q w odległości do punktu „b”, oddalony od q na odległość (ryc. 1.12).
Jak widać na rysunku, otrzymujemy 
Jak wspomniano powyżej, praca sił pola elektrostatycznego, wykonywana przeciw siły zewnętrzne, równe co do wielkości i przeciwne w znaku do działania sił zewnętrznych, zatem 
Praca sił elektrostatycznych na dowolnych pętla zamknięta równa się zero. tych. cyrkulacja pola elektrostatycznego wzdłuż dowolnego obwodu wynosi zero. Weź dowolną powierzchnię S na podstawie konturu g.
Według twierdzenia Stokesa: ponieważ dotyczy to dowolnej powierzchni
Istnieje tożsamość: . tych. linie siły pola elektrostatyczne nie krążą w przestrzeni.
7. m Gauss dla pola wektorowego E(r). Rozbieżne. Elektrostat. Pola. Ur-e Poisson dla silnego. Elektrostat. pola
^ Twierdzenie Gaussa- podstawowe twierdzenie elektrodynamiki, które służy do obliczania pól elektrycznych. Wyraża zależność między przepływem natężenia pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię a ładunkiem w objętości ograniczonej przez tę powierzchnię.
Przepływ wektora natężenia pola elektrycznego przez dowolnie wybraną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do ładunku elektrycznego zawartego wewnątrz tej powierzchni. , gdzie W przypadku twierdzenia Gaussa obowiązuje zasada superpozycji, to znaczy strumień wektora naprężeń przez powierzchnię nie zależy od rozkładu ładunku wewnątrz powierzchni.
Twierdzenie Gaussa o wektorze natężenia pola elektrostatycznego można również sformułować w postaci różniczkowej. Rzeczywiście, rozważmy pole punktowego ładunku elektrycznego znajdującego się w punkcie początkowym: 
Wynika to z relacji 
Łatwo sprawdzić, że dla , czyli punktu obserwacyjnego, w którym nie ma ładunku elektrycznego, zależność jest prawdziwa: 
(1.55)
Operacja matematyczna po lewej stronie relacji (1.55) znajduje się specjalna nazwa „rozbieżność pola wektorowego” i specjalna notacja 
równanie Poissona- eliptyczny PDE, który między innymi opisuje pole elektrostatyczne. To równanie wygląda tak:
gdzie Δ to operator Laplace'a lub Laplace'a i F- ważny lub złożona funkcja na jakiejś odmianie.
W 3D Układ kartezjański współrzędne, równanie przyjmuje postać:
W kartezjańskim układzie współrzędnych operator Laplace'a jest zapisany w postaci, a równanie Poissona przyjmuje postać: Jeśli F dąży do zera, to równanie Poissona zamienia się w równanie Laplace'a: 
gdzie Ф jest potencjałem elektrostatycznym, jest objętościową gęstością ładunku i jest przenikalnością próżni.
W obszarze przestrzeni, w którym nie ma gęstości niesparowanych ładunków, mamy: =0, a równanie potencjału zamienia się w równanie Laplace'a:
Pole elektrostatyczne to pole tworzone przez ładunki elektryczne, które są nieruchome w przestrzeni i niezmienne w czasie (w przypadku braku prądów elektrycznych).
Jeśli w przestrzeni istnieje układ naładowanych ciał, to w każdym punkcie tej przestrzeni istnieje siła pola elektrycznego. Wyznacza się ją siłą działającą na ładunek próbny umieszczony w tym polu. Ładunek próbny musi być mały, aby nie wpływać na charakterystykę pola elektrostatycznego.
Na mocy zasady superpozycji potencjał całego zbioru ładunków jest równy sumie potencjałów wytworzonych w danym punkcie pola przez każdy z ładunków z osobna: 
*
Wielkość ta nazywana jest elektrycznym momentem dipolowym układu ładunków.
^ Elektryczny moment dipolowy lub po prostu moment dipolowy układu ładunków q i jest sumą iloczynów wielkości ładunków i ich wektorów promieniowych .
Zwykle moment dipolowy jest oznaczony łacińską literą d lub łacińską literą p.
Moment dipolowy ma ogromne znaczenie w fizyce w badaniu układów neutralnych. Działanie pola elektrycznego na neutralny układ ładunków oraz pole elektryczne wytworzone przez układ neutralny jest zdeterminowane przede wszystkim momentem dipolowym. Dotyczy to w szczególności atomów i cząsteczek.
Układy z ładunkiem neutralnym z niezerowym momentem dipolowym są nazywane dipole.
Nieruchomości: W sumie moment dipolowy określony powyżej zależy od układu odniesienia. Jednak dla układu neutralnego suma wszystkich ładunków wynosi zero, więc zależność od układu odniesienia znika.
Sam dipol składa się z dwóch identycznych całkowita wartość, ale ładunki przeciwne w kierunku + q i -q, które znajdują się w pewnej odległości r od siebie. Moment dipolowy jest wtedy równy w wartości bezwzględnej qr i jest skierowany od ładunku dodatniego do ujemnego. W przypadku ciągłego rozkładu ładunku z gęstością moment dipolowy wyznacza się przez całkowanie 
9. Dipol w zewnętrznym elektrostacie. Pole. Moment sił działających na dipol, pot. Energia dipolowa w polu jednorodnym.
Dipol elektryczny to układ dwóch identycznych rozmiarów ładunków punktowych o przeciwnych nazwach i , których odległość jest znacznie mniejsza niż odległość do punktów, w których wyznaczane jest pole układu. Linia prosta przechodząca przez oba ładunki nazywana jest osią dipola. Zgodnie z zasadą superpozycji potencjał pola w pewnym punkcie A jest równy: .
| Niech punkt A zostanie wybrany tak, aby długość była duża mniej odległości I . W tym przypadku możemy założyć, że ; a wzór na potencjał dipolowy można przepisać:
| gdzie jest kątem między osią dipola a kierunkiem do punktu A, poprowadzonym od dipola. Praca nazywa się dipolowy moment elektryczny lub moment dipolowy. Wektor jest skierowany wzdłuż osi dipola od ładunku ujemnego do dodatniego. Zatem iloczynem we wzorze na jest moment dipolowy i odpowiednio: |
Moment sił działających na dipol w zewnętrznym polu elektrycznym.
Umieśćmy dipol w polu elektrycznym. Niech kierunek dipola tworzy pewien kąt z kierunkiem wektora natężenia. Na ładunek ujemny oddziałuje siła skierowana na pole, na ładunek dodatni oddziałuje siła skierowana wzdłuż pola. Te siły tworzą się kilka sił z momentem obrotowym: W formie wektorowej:
^ Dipol w jednorodnym polu zewnętrznym obraca się pod działaniem momentu obrotowego tak, że siła działająca na dodatni ładunek dipola pokrywa się w kierunku z wektorem i osią dipola. To stanowisko jest zgodne z
10. Dielektryki w elektrostacie. Pole. Wektory polaryzacji i el. Przesunięcia. Diel. Podatny I przenikliwy. Środy. połączenie między nimi.
Dielektryki to substancje, które nie posiadają praktycznie darmowych nośników ładunku. Dlatego nie przewodzą prądu, ładunki nie przenoszą się, ale są spolaryzowane. dielektryki są substancjami o budowie cząsteczkowej, siły wiązania ich ładunków wewnątrz są większe niż siły pola zewnętrznego i są one połączone, zamknięte wewnątrz molekuł, a pole zewnętrzne tylko częściowo się przesuwa, powodując polaryzację.
W obecności zewnętrznego pola elektrostatycznego cząsteczki dielektryczne są odkształcane przez siłę. Ładunek dodatni przemieszcza się w kierunku pola zewnętrznego, a ładunek ujemny w kierunku przeciwnym, tworząc dipol - ładunek związany. W dielektrykach posiadających cząsteczki dipolowe ich momenty elektryczne pod wpływem pola zewnętrznego są częściowo zorientowane w kierunku pola. W przypadku większości dielektryków kierunek wektora polaryzacji pokrywa się z kierunkiem wektora natężenia pola zewnętrznego, a kierunek wektora natężenia spolaryzowanego ładunku jest przeciwny do kierunku wektora natężenia pola zewnętrznego (od + Q do - Q). 
Wektor polaryzacji określone przez sumę geometryczną momentów elektrycznych dipoli na jednostkę objętości. Dla większości dielektryków, gdzie k jest względną podatnością dielektryczną.
Stosowany również w obliczeniach elektrycznych wektor przemieszczenia elektrycznego (indukcji):, gdzie . Wektor zależy zarówno od ładunków swobodnych, jak i związanych.
Stała dielektrycznaśrodowisko ε pokazuje, ile razy siła oddziaływania dwóch ładunków elektrycznych w ośrodku jest mniejsza niż w próżni. Podatność dielektryczna (polaryzowalność) substancje - wielkość fizyczna, miara zdolności substancji do polaryzacji pod wpływem pola elektrycznego. Polaryzowalność jest związana z przenikalnością ε lub: 
, lub.
11. Gaussa t-ma dla pól wektorowych P(r) i D(r) w całce. I pok. Formularze 
Twierdzenie Gaussa dla wektora : strumień wektora polaryzacji przez zamkniętą powierzchnię jest równy nadmiarowi związanego ładunku dielektryka pobranego z przeciwnym znakiem w objętości pokrytej powierzchnią . 
Postać różniczkowa: rozbieżność wektora polaryzacji jest równa gęstości objętościowej nadmiaru związanego ładunku pobranego z przeciwnym znakiem w tym samym punkcie.
Punkty, w których znajdują się źródła pola (od których rozchodzą się linie pola) i odwrotnie, punkty, w których znajdują się zagłębienia pola.
Gęstość; , gdy:
1) - dielektryk jest niejednorodny; 2) - pole jest niejednorodne.
Kiedy jednorodny dielektryk izotropowy jest spolaryzowany, pojawiają się tylko ładunki związane z powierzchnią, podczas gdy ładunki masowe nie.
^ Twierdzenie Gaussa dla wektora D
Przepływ wektora przemieszczenia elektrycznego D przez zamkniętą powierzchnię S jest równy algebraicznej sumie swobodnych ładunków znajdujących się w objętości ograniczonej tą powierzchnią, czyli (1)
Jeśli nie zależy od współrzędnych (ośrodka izotropowego), to
Z równania (1) wynika, że gdy ładunek znajduje się poza objętością ograniczoną zamkniętą powierzchnią S, przepływ wektora D przez powierzchnię S jest równy zeru.
Zastosowanie twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego po lewej stronie (1) i wyrażenie Q poprzez gęstość ładunku objętościowego p otrzymujemy:
Ponieważ objętość jest wybierana arbitralnie, całki są równe:
Forma różnicowa twierdzenie Gaussa-Ostrogradsky'ego (2-78) mówi, że źródłem wektora przemieszczenia elektrycznego są ładunki elektryczne. W tych obszarach przestrzeni, gdzie p=0 nie ma źródeł wektora przemieszczenia elektrycznego, a zatem linie siły nie mają przerw, ponieważ div D=0. Dla mediów o absolutnej przenikalności elektrycznej, która nie zależy od współrzędnych, można napisać:
W przewodnikach metalicznych występują nośniki ładunków swobodnych - elektrony przewodzące (wolne elektrony), które mogą poruszać się po całym przewodniku pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. W przypadku braku pola zewnętrznego pola elektryczne elektrony przewodzące i dodatnie jony metali znoszą się nawzajem. Jeżeli przewodnik metalowy zostanie wprowadzony do zewnętrznego pola elektrostatycznego, to pod działaniem tego pola elektrony przewodzące ulegają redystrybucji w przewodniku w taki sposób, że w dowolnym punkcie wewnątrz przewodnika, pole elektryczne elektronów przewodzących i jonów dodatnich kompensuje pole zewnętrzne.
^ Zjawisko indukcja elektrostatyczna zwany redystrybucją ładunków w przewodniku pod wpływem zewnętrznego pola elektrostatycznego. W tym przypadku na przewodniku powstają ładunki liczbowo równe sobie, ale przeciwne pod względem znaku - ładunki indukowane (indukowane), które znikają, gdy tylko przewodnik zostanie usunięty z pola elektrycznego.
Ponieważ wewnątrz przewodnika E=-grad phi=0, potencjał będzie stały. Nieskompensowane ładunki znajdują się w przewodzie tylko na jego powierzchni.
gdy przewód neutralny zostanie umieszczony w polu zewnętrznym, wolne ładunki zaczną się przemieszczać: dodatnie - wzdłuż pola i ujemne - w kierunku pola. Na jednym końcu przewodnika będzie nadmiar ładunków dodatnich, na drugim - ujemny. Wreszcie wewnątrz przewodnika natężenie pola będzie równe zeru, a linie napięcia na zewnątrz przewodnika będą prostopadłe do jego powierzchni.
^ Pojemność elektryczna przewodu samotnego.
na bal promień R 
Kondensatory.
W przypadku kanałów połączonych równolegle różnica potencjałów jest taka sama, w przypadku kanałów połączonych szeregowo ładunki wszystkich płyt są równe w wartościach bezwzględnych.
14. Energia naładowanego kondensatora. Energia i gęstość energii pola elektrostatycznego.
Jak każdy naładowany przewodnik, kondensator ma energię równą
W = C ()2/2=Q/2=Q2/(2C), (1) gdzie Q to ładunek kondensatora, C to jego pojemność, to różnica potencjałów między płytkami.
Używając wyrażenia (1), możesz znaleźć siłę mechaniczną, z jaką płyty kondensatora przyciągają się nawzajem. W tym celu zakładamy, że odległość x między płytami zmienia się np. o wartość Ax. Wtedy działająca siła wykonuje pracę dA=Fdx ze względu na spadek energii potencjalnej układu
Fdx=-dW, skąd F=dW/dx. (2) 
Różniczkując przy określonej wartości energetycznej, znajdujemy pożądaną siłę: 
gdzie znak minus wskazuje, że siła F jest siłą przyciągającą.
^ Energia pola elektrostatycznego.
Przekształćmy wzór (1), który wyraża energię płaskiego kondensatora przez ładunki i potencjały, używając wyrażenia na pojemność płaskiego kondensatora (C = 0/d) oraz różnicy potencjałów między jego płytkami ( =Ed). Wtedy dostajemy 
gdzie V=Sd to objętość kondensatora. To f-la pokazuje, że energia kondensatora jest wyrażona jako wartość charakteryzująca pole elektrostatyczne - natężenie E.
Objętościowa gęstość energii pola elektrostatycznego(jednostka energii objętość)
w=W/V=0E2/2 = ED/2. (95,8)
Wyrażenie (95,8) jest ważne tylko dla dielektryka izotropowego, dla którego
relacja Р=0Е jest spełniona.
Wzory (1) i (95,7) odnoszą odpowiednio energię kondensatora do ładunku na jego płytkach i do natężenia pola.
Pole elektromagnetyczne - elektrotensor pole magnetyczne.
^ Wektor indukcji magnetycznej.
Indukcja magnetyczna równomiernego pola magnetycznego jest określona przez maksymalny moment obrotowy działający na ramę za pomocą magnesu. za chwilę równy jeden gdy normalna jest prostopadła do kierunku pola.
^ Zasada superpozycji pól magnetycznych : jeśli pole magnetyczne jest tworzone przez kilka przewodników z prądami, wektor indukcji magnetycznej w dowolnym punkcie tego pola jest równy sumie wektorów indukcje magnetyczne utworzone w tym momencie przez każdy prąd osobno:
Siła Lorentza.
Moduł siły Lorentza jest równy iloczynowi modułu pola magnetycznego B(wektora), w którym znajduje się naładowana cząstka, modułu ładunku q tej cząstki, jej prędkości υ i sinusa kąta między kierunki prędkości i wektor pola magnetycznego Ponieważ siła Lorentza jest prostopadła do wektora prędkości cząstki, to nie może zmienić wartości prędkości, a jedynie zmienia jej kierunek, a zatem nie działa.
^ Ruch naładowanych cząstek w polu magnetycznym.
Jeśli naładowana cząsteczka porusza się w polu magnetycznym pole jest prostopadłe do wektora B, wtedy siła Lorentza jest stała w wartości bezwzględnej i normalna do trajektorii cząstki.
^ Elektryczność to uporządkowany ruch naładowanych cząstek w przewodniku. Aby tak się stało, najpierw musi zostać wytworzone pole elektryczne, pod wpływem którego zaczną się poruszać wspomniane wyżej naładowane cząstki.
^ Prawo Ohma-Natężenie prądu w jednorodnej sekcji obwodu jest wprost proporcjonalne do napięcia przyłożonego do sekcji i odwrotnie proporcjonalne opór elektryczny ten teren.
Obecna siła jest skalarną wielkością fizyczną określoną przez stosunek ładunku Δq przechodzącego przekrój poprzeczny dyrygent przez pewien okres czasu Δt, do tego okresu czasu. 
- Aleksandra Nikołajewicza Furs białoruski Uniwersytet stanowy, Aleja Niepodległości, 4, 220030, Mińsk, Republika Białoruś
adnotacja
W manometrze kulombowskim obliczane są potencjały pola dowolnego rozkładu ładunków i prądów. Wykazano, że potencjał wektora jest determinowany nie tylko wartościami gęstości prądu w opóźnionych momentach czasu, ale także prehistorią zmiany gęstości ładunku w przedziale czasowym ograniczonym przez momenty opóźnione i prądowe . Otrzymuje się różne reprezentacje potencjałów Lienarda-Wiecherta w manometrze kulombowskim. Stosuje się je w przypadku ładunku punktowego poruszającego się równomiernie i prostoliniowo.
Biografia autora
Futra Aleksandra Nikołajewicza, Białoruski Uniwersytet Państwowy, Aleja Niepodległości, 4, 220030, Mińsk, Republika Białoruś
doktor nauk fizycznych i matematycznych, profesor nadzwyczajny; Profesor, Katedra Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki, Wydział Fizyki
Literatura
1. L.D. Landau i E.M. Lifshits, Teoria pola. M., 1973.
2. Jackson J. Elektrodynamika klasyczna. M., 1965.
3. M.M. Bredov, V.V. Rumyantsev i I.N. Toptygin, Elektrodynamika klasyczna. M., 1985.
4. Geitler V. Kwantowa teoria promieniowania. M., 1956.
5. V.L. Ginzburg, Fizyka teoretyczna i astrofizyka. Dodatkowe rozdziały. M., 1980.
6. Wundt B.J., Jentschura U.D. Źródła, potencjały i pola w cechowaniu Lorenza i Coulomba: Anulowanie natychmiastowych interakcji dla ruchomych ładunków punktowych // Ann. Fiz. 2012. Cz. 327, nr 4. S. 1217–1230.
7. A. I. Akhiezer i V. B. Berestetskii, Elektrodynamika kwantowa. M., 1969.
Słowa kluczowe
Niezmienniczość cechowania, mierniki Lorentza i Coulomba, potencjały opóźnione, potencjały Lienarda-Wiecherta
- Autorzy zachowują prawa autorskie do pracy i przyznają czasopismu prawo do pierwszego opublikowania pracy na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne. 4.0 Międzynarodowy (CC BY-NC 4.0).
- Autorzy zastrzegają sobie prawo do zawierania odrębnych ustaleń umownych dotyczących niewyłącznej dystrybucji opublikowanej tu wersji pracy (np. umieszczenie jej w repozytorium instytutu, publikacja w książce) z powołaniem się na jej pierwotną publikację w tym dziennik.
- Autorzy mają prawo do publikowania swoich prac w Internecie (na przykład w repozytorium instytutu lub na osobistej stronie internetowej) przed iw trakcie procesu recenzowania tego czasopisma, ponieważ może to prowadzić do owocnej dyskusji i większej liczby linków do ta praca. (Cm.
Równie interesujące i nie mniej ważne jest pole dipolowe, które powstaje w innych okolicznościach. Załóżmy, że mamy ciało o złożonym rozkładzie ładunku, powiedzmy, jak cząsteczka wody (patrz rys. 6.2) i interesuje nas tylko pole z dala od niego. Pokażemy, że można uzyskać stosunkowo proste wyrażenie dla pól, odpowiednie dla odległości znacznie większych niż wymiary ciała.
Możemy spojrzeć na to ciało jako na nagromadzenie ładunków punktowych na pewnym ograniczonym obszarze (ryc. 6.7). (Później, jeśli to konieczne, zamienimy go na .) Niech ładunek zostanie odsunięty od początku wybranego gdzieś w grupie ładunków o odległość . Jaki jest potencjał w punkcie położonym gdzieś przy wyjeździe, w odległości znacznie większej niż największy z ? Potencjał całego naszego klastra wyraża formuła
, (6.21)
gdzie jest odległość od ładunku (długość wektora). Jeżeli odległość od ładunków do (do punktu obserwacji) jest wyjątkowo duża, to każdy z nich można przyjąć jako . Każdy wyraz sumy stanie się równy i będzie można go wyjąć spod znaku sumy. Uzyskaj prosty wynik
, (6.22)
gdzie jest całkowity ładunek ciała. Widzieliśmy więc, że z punktów dostatecznie oddalonych od akumulacji ładunków wydaje się to być tylko ładunkiem punktowym. Ten wynik generalnie nie jest zbyt zaskakujący.
Rysunek 6.7. Obliczanie potencjału w punkcie oddalonym od grupy ładunków.
Ale co, jeśli w grupie jest taka sama liczba ładunków dodatnich i ujemnych? Całkowity ładunek wyniesie wtedy zero. To nie jest taki rzadki przypadek; wiemy, że większość ciał jest neutralna. Cząsteczka wody jest obojętna, ale znajdujące się w niej ładunki bynajmniej nie są umiejscowione w jednym punkcie, więc zbliżając się bliżej, powinniśmy zauważyć pewne oznaki rozdzielenia ładunków. Dla potencjału arbitralnego rozkładu ładunków w ciele neutralnym potrzebujemy przybliżenia lepszego niż podane wzorem (6.22). Równanie (6.21) jest nadal ważne, ale nie można go już zakładać. Potrzebujemy bardziej precyzyjnego wyrażenia. W dobrym przybliżeniu można go uznać za inny niż (jeśli punkt jest bardzo daleko) rzut wektora na wektor (patrz rys. 6.7, ale należy sobie tylko wyobrazić, że jest znacznie dalej niż pokazano). Innymi słowy, jeśli jest wektorem jednostkowym w kierunku , to następne przybliżenie do należy przyjąć jako
Ale nie potrzebujemy , ale ; w naszym przybliżeniu (biorąc pod uwagę ) jest to
(6.24)
Podstawiając to do (6.21), widzimy, że potencjał jest
(6.25)
Wielokropek wskazuje terminy wyższego rzędu w , które zaniedbaliśmy. Podobnie jak te wyrazy, które napisaliśmy, są to kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora w sąsiedztwo w potęgach .
Pierwszy termin uzyskaliśmy już w (6.25); w ciałach neutralnych znika. Drugi człon, podobnie jak dipol, zależy od . Rzeczywiście, jeśli zdefiniujemy
jako wielkość opisująca rozkład ładunków, to drugi człon potencjału (6.25) zamieni się w
tj. tylko do potencjału dipolowego. Wielkość nazywana jest momentem dipolowym rozkładu. Jest to uogólnienie naszej poprzedniej definicji; sprowadza się do niego w szczególnym przypadku opłat punktowych.
W rezultacie odkryliśmy, że wystarczająco daleko od dowolnego zestawu ładunków, potencjał okazuje się dipolem, pod warunkiem, że ten zestaw jest ogólnie neutralny. Maleje jak , a zmienia się jak , a jego wartość zależy od momentu dipolowego rozkładu ładunku. Z tego powodu pola dipolowe są ważne; same pary ładunków punktowych są niezwykle rzadkie.
Na przykład cząsteczka wody ma dość duży moment dipolowy. Wytworzone w tym momencie pole elektryczne jest odpowiedzialne za niektóre ważne właściwości woda. A dla wielu cząsteczek, powiedzmy y, moment dipolowy znika z powodu ich symetrii. W przypadku takich cząsteczek rozkład musi być przeprowadzony jeszcze dokładniej, aż do kolejnych składowych potencjału, malejącego i nazywanego potencjałem kwadrupolowym. Przypadki te rozważymy później.
Ciało znajdujące się w potencjalnym polu sił (polu elektrostatycznym) posiada energię potencjalną, dzięki której praca jest wykonywana przez siły tego pola. Praca sił zachowawczych jest wykonywana z powodu utraty energii potencjalnej. Dlatego pracę sił pola elektrostatycznego można przedstawić jako różnicę w energiach potencjalnych posiadanych przez opłata punktowa Q 0 w punkcie początkowym i końcowym pola ładowania Q: , skąd wynika, że energia potencjalna ładunku q0 w polu opłat Q jest równe 
. Jest zdefiniowany niejednoznacznie i aż do arbitralnej stałej OD. Jeśli przyjmiemy, że gdy ładunek zostanie usunięty do nieskończoności ( r®¥) energia potencjalna znika ( U=0),
następnie OD=0 i energia potencjalna ładunku Q 0 ,
znajduje się w polu ładowania Q w odległości r od niego jest równe 
. Za podobne opłaty Q 0 P> 0 a energia potencjalna ich oddziaływania (odpychania) jest dodatnia dla przeciwnych ładunków Q 0 Q<0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.
Potencjał J w dowolnym punkcie pola elektrostatycznego istnieje wielkość fizyczna określona przez energię potencjalną jednostkowego ładunku dodatniego umieszczonego w tym punkcie. Z czego wynika, że potencjał pola wytworzonego przez ładunek punktowy Q, jest równe . Praca wykonana przez siły pola elektrostatycznego podczas przemieszczania ładunku Q 0 od punktu 1
dokładnie 2
, można przedstawić jako , tj. równy iloczynowi przenoszonego ładunku i różnicy potencjałów w punkcie początkowym i końcowym. Potencjalna różnica dwa punkty 1
I 2
w polu elektrostatycznym zależy od pracy wykonanej przez siły pola podczas przemieszczania jednostkowego ładunku dodatniego z punktu 1
dokładnie 2
. Praca sił pola podczas przesuwania ładunku Q 0 od punktu 1
dokładnie 2
można również zapisać w formie 
. Wyrażenie na różnicę potencjałów: , gdzie całkowanie można przeprowadzić wzdłuż dowolnej linii łączącej punkt początkowy i końcowy, ponieważ działanie sił pola elektrostatycznego nie zależy od trajektorii ruchu.
Jeśli przeniesiesz opłatę Q 0 od dowolnego punktu poza polem, tj. do nieskończoności, gdzie potencjał jest zerowy, to praca sił pola elektrostatycznego A ¥ =Q 0 J gdzie
Potencjał- wielkość fizyczna określona przez pracę przesuwania jednostkowego ładunku dodatniego, gdy jest on usuwany z danego punktu pola do nieskończoności. Ta praca jest liczbowo równa pracy wykonanej przez siły zewnętrzne (przeciw siłom pola elektrostatycznego) przy przeniesieniu jednostkowego ładunku dodatniego z nieskończoności do danego punktu pola. Potencjalna jednostka - wolt(B): 1 V to potencjał takiego punktu w polu, w którym ładunek 1 C ma energię potencjalną 1 J (1 V = 1 J/C).
W przypadku pola elektrostatycznego energia potencjalna służy jako miara oddziaływania ładunków. Niech w kosmosie będzie system opłat punktowych Q i(i = 1, 2, ... ,n). Energia interakcji wszystkich n opłaty są określone przez stosunek
gdzie rij- odległość między odpowiadającymi sobie ładunkami, a sumowanie odbywa się w taki sposób, że interakcja między każdą parą ładunków jest brana pod uwagę raz.
Z tego wynika, że potencjał pola układu ładunków jest równy algebraiczny suma potencjałów pola wszystkich tych ładunków:
Biorąc pod uwagę pole elektryczne wytworzone przez układ ładunków, do wyznaczenia potencjału pola należy zastosować zasadę superpozycji:
Potencjał pola elektrycznego układu ładunków w danym punkcie przestrzeni jest równy algebraicznej sumie potencjałów pól elektrycznych wytworzonych w danym punkcie przestrzeni przez każdy ładunek układu z osobna:
6. Powierzchnie ekwipotencjalne i ich właściwości. Związek między różnicą potencjałów a natężeniem pola elektrostatycznego.
Wyimaginowana powierzchnia, której wszystkie punkty mają ten sam potencjał, nazywana jest powierzchnią ekwipotencjalną. Równanie tej powierzchni
Jeśli pole jest tworzone przez ładunek punktowy, to jego potencjał 
Zatem powierzchnie ekwipotencjalne w tym przypadku są koncentrycznymi kulami. Z drugiej strony linie naprężenia w przypadku ładunku punktowego są promieniowymi liniami prostymi. Dlatego linie napięcia w przypadku ładunku punktowego prostopadły powierzchnie ekwipotencjalne.
Wszystkie punkty powierzchni ekwipotencjalnej mają ten sam potencjał, więc praca przesuwania ładunku po tej powierzchni wynosi zero, tj. siły elektrostatyczne działające na ładunek, zawsze skierowane wzdłuż normalnych do powierzchni ekwipotencjalnych. Dlatego wektor mi jest zawsze normalny do powierzchni ekwipotencjalnych, a zatem linie wektora mi prostopadłe do tych powierzchni.
Wokół każdego ładunku i każdego systemu ładunków znajduje się nieskończona liczba powierzchni ekwipotencjalnych. Jednak są one zwykle przeprowadzane tak, aby różnice potencjałów pomiędzy dowolnymi dwoma sąsiednimi powierzchniami ekwipotencjalnymi były takie same. Wówczas gęstość powierzchni ekwipotencjalnych wyraźnie charakteryzuje natężenie pola w różnych punktach. Tam, gdzie te powierzchnie są gęstsze, siła pola jest większa.
Znając położenie linii natężenia pola elektrostatycznego można więc skonstruować powierzchnie ekwipotencjalne i odwrotnie, ze znanej lokalizacji powierzchni ekwipotencjalnych można określić moduł i kierunek natężenia pola w każdym punkcie pola. pole.
Znajdźmy zależność między natężeniem pola elektrostatycznego, które jest jego funkcja zasilania, i potencjał - charakterystyka energetyczna pola.
Praca relokacyjna pojedynczy punktowy ładunek dodatni z jednego punktu pola do drugiego wzdłuż osi x pod warunkiem, że punkty są nieskończenie blisko siebie i x 2 -x 1 = D x, jest równe Były D x. Ta sama praca jest J 1 -J 2 =dj. Porównując oba wyrażenia, możemy napisać
gdzie symbol pochodnej cząstkowej podkreśla, że różniczkowania dokonuje się tylko względem X. Powtórzenie podobnego rozumowania dla osi w I z, możemy znaleźć wektor mi:
gdzie ja, j, k- wektory jednostkowe osi współrzędnych x, y, z.
Z definicji gradientu wynika, że
czyli napięcie mi pole jest równe gradientowi potencjału ze znakiem minus. Znak minus jest określony przez fakt, że wektor intensywności mi pola skierowane do kierunek w dół potencjał.
Aby przedstawić graficznie rozkład potencjału pola elektrostatycznego, podobnie jak w przypadku pola grawitacyjnego, użyj powierzchnie ekwipotencjalne- powierzchnie, we wszystkich punktach, w których potencjał J ma to samo znaczenie.
Formuła - prawo Coulomba
gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności
q1,q2 opłaty za punkty nieruchome
r odległość między ładunkami
3. Siła pola elektrycznego- wektorowa wielkość fizyczna charakteryzująca pole elektryczne w danym punkcie i liczbowo równa stosunkowi siły działającej na nieruchomy ładunek testowy umieszczony w danym punkcie pola do wartości tego ładunku: .
Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego
[edytować] W jednostkach SI
Dla ładunku punktowego w elektrostatyce prawdziwe jest prawo Coulomba
Natężenie pola elektrycznego o dowolnym rozkładzie ładunku
Zgodnie z zasadą superpozycji dla natężenia pola zbioru źródeł dyskretnych mamy:
gdzie każdy?
4. Zasada superpozycji- jedno z najbardziej ogólnych praw w wielu dziedzinach fizyki. W swojej najprostszej postaci zasada superpozycji mówi:
· wynikiem działania kilku sił zewnętrznych na cząstkę jest suma wektorowa działania tych sił.
Najsłynniejsza zasada superpozycji w elektrostatyce, w której stwierdza, że siła pola elektrostatycznego wytworzonego w danym punkcie przez układ ładunków jest sumą natężeń pól poszczególnych ładunków.
Zasada superpozycji może przyjmować inne sformułowania, które są całkowicie równoważne nad:
· Oddziaływanie między dwiema cząsteczkami nie zmienia się po wprowadzeniu trzeciej cząsteczki, która również oddziałuje z dwiema pierwszymi.
Energia interakcji wszystkich cząstek w układzie wielocząstkowym jest po prostu sumą energii pary interakcji pomiędzy wszystkimi możliwymi parami cząstek. Nie w systemie interakcje wielocząstkowe.
Równania opisujące zachowanie układu wielocząstkowego to liniowy według liczby cząstek.
To właśnie liniowość fundamentalnej teorii w rozważanym obszarze fizyki jest przyczyną pojawienia się w niej zasady superpozycji.
W elektrostatyce zasada superpozycji wynika z faktu, że równania Maxwella w próżni są liniowe. Wynika z tego, że energię potencjalną oddziaływania elektrostatycznego układu ładunków można łatwo obliczyć, obliczając energię potencjalną każdej pary ładunków.
5. Praca pola elektrycznego.
6. potencjał elektrostatyczny jest równy stosunkowi energii potencjalnej oddziaływania ładunku z polem do wartości tego ładunku:
Siła pola elektrostatycznego i potencjał są powiązane zależnością
7. Zasada superpozycji pól elektrostatycznych Siły lub pola od różnych ładunków dodaje się biorąc pod uwagę ich położenie lub kierunek (wektor). Wyraża to zasadę „superpozycji” pola lub potencjałów: potencjał pola kilku ładunków jest równy sumie algebraicznej potencjałów poszczególnych ładunków, φ=φ 1+φ2+…+φn= ∑i nφi. Znak potencjału jest taki sam jak znak ładunku, φ=kq/r.
8. Energia potencjalna ładunku w polu elektrycznym. Kontynuujmy porównanie grawitacyjnego oddziaływania ciał i elektrostatycznego oddziaływania ładunków. masa ciała m w polu grawitacyjnym Ziemi ma energię potencjalną.
Praca grawitacji jest równa zmianie energii potencjalnej, przyjmowanej z przeciwnym znakiem:
A=-(Wp2-Wp1) = mgh.
(Tu i poniżej energię będziemy oznaczać literą W.)
Jak ciało z masy m w polu grawitacyjnym ma energię potencjalną proporcjonalną do masy ciała, ładunek elektryczny w polu elektrostatycznym ma energię potencjalną W p , proporcjonalna do ładunku Q. Praca sił pola elektrostatycznego ALE jest równa zmianie energii potencjalnej ładunku w polu elektrycznym, przyjmowanej z przeciwnym znakiem:
9. Twierdzenie o obiegu wektora natężenia w postaci całkowej: 
W formie różniczkowej: 
10. Związek między potencjałem a napięciem. mi= -grad = -Ñ .
Siła w dowolnym punkcie pola elektrycznego jest równa gradientowi potencjału w tym punkcie, branemu z przeciwnym znakiem. Znak minus wskazuje, że napięcie mi skierowane w kierunku malejącego potencjału
11. Przepływ wektora napięcia. 
Twierdzenie Gaussa w postaci całkowej: gdzie
· 
- przepływ wektora natężenia pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię.
· - całkowity ładunek zawarty w objętości ograniczającej powierzchnię.
· - stała elektryczna.
To wyrażenie jest twierdzeniem Gaussa w postaci integralnej.
W formie różniczkowej: 
Tutaj jest gęstość ładunku nasypowego (w przypadku obecności ośrodka, całkowita gęstość ładunków swobodnych i związanych) oraz jest operatorem nabla.
12. Zastosowanie prawa Gaussa.1. Intensywność wytworzonego pola elektrostatycznego równomiernie naładowana kulista powierzchnia.
Niech kulista powierzchnia o promieniu R (rys. 13.7) przenosi równomiernie rozłożony ładunek q, tj. gęstość ładunku powierzchniowego w dowolnym punkcie kuli będzie taka sama.
a. Naszą kulistą powierzchnię zamykamy w symetrycznej powierzchni S o promieniu r>R. Strumień wektora intensywności przez powierzchnię S będzie równy
Zgodnie z twierdzeniem Gaussa
w konsekwencji
C. Przeciągnijmy przez punkt B, znajdujący się wewnątrz naładowanej powierzchni kuli, sferę S o promieniu r Natężenie pola równomiernie naładowanego nieskończonego włókna prostoliniowego(lub cylinder). Załóżmy, że wydrążona cylindryczna powierzchnia o promieniu R jest naładowana stałą gęstością liniową . Narysujmy współosiową cylindryczną powierzchnię o promieniu Przepływ wektora natężenia pola przez tę powierzchnię Zgodnie z twierdzeniem Gaussa Na podstawie dwóch ostatnich wyrażeń określamy siłę pola wytworzoną przez równomiernie naładowaną nić: Wyrażenie to nie zawiera współrzędnych, dlatego pole elektrostatyczne będzie jednorodne, a jego siła w dowolnym punkcie pola będzie taka sama. 13. DIPOLE ELEKTRYCZNE. Dipole elektryczne- układ dwóch równych wartości bezwzględnych przeciwnych ładunków punktowych (), których odległość jest znacznie mniejsza niż odległość do rozważanych punktów pola. Potencjał pola dipolowego: Natężenie pola dipola na przedłużeniu osi dipola w punkcie ALE:
Ramię dipola- wektor skierowany wzdłuż osi dipola (linia prosta przechodząca przez oba ładunki) od ładunku ujemnego do dodatniego i równa odległości między ładunkami .
Moment elektryczny dipola (moment dipolowy):
.
Natężenie pola dipolowego w dowolnym punkcie (zgodnie z zasadą superpozycji):
gdzie i są mocami pól utworzonych odpowiednio przez ładunki dodatnie i ujemne.
.
Natężenie pola dipola na prostopadłej podniesionej do osi od jego środka w punkcie b:
.