Praktyczne zadania z matematycznej logiki zdań i operacji na nich. Logika zdań: teoria i zastosowania

Wśród możliwych wartości prawdy zmiennej językowej Prawda przyciągają dwie wartości Specjalna uwaga, czyli zbiór pusty i przedział jednostkowy , które odpowiadają najmniejszemu i największemu elementowi (w odniesieniu do włączenia) sieci podzbiorów rozmytych przedziału . Znaczenie tych wartości logicznych wynika z faktu, że można je interpretować jako wartości logiczne nieokreślony I nieznany odpowiednio. Dla wygody te wartości prawdy będziemy oznaczać symbolami i , rozumiejąc to i są określane przez wyrażenia

Wartości nieznany I nieokreślony, interpretowane jako stopnie przynależności, są również używane w reprezentacji zbiorów rozmytych typu 1. W tym przypadku istnieją trzy możliwości wyrażenia stopnia przynależności punktu w: 1) liczbie z przedziału ; 2) ( nieokreślony); 3) (nieznany).

Rozważmy prosty przykład. Zostawiać

Weź rozmyty podzbiór zbioru formularza

W tym przypadku stopień przynależności elementu do zbioru wynosi nieznany, a stopień członkostwa to nieokreślony. W bardziej ogólnym przypadku może to być

gdzie rozumie się, że stopień przynależności elementu do zbioru jest częściowo nieznany, a element jest interpretowany w następujący sposób:

. (6.56)

Ważne jest, aby jasno zrozumieć różnicę między a. Kiedy mówimy, że stopień przynależności punktu do zbioru wynosi , mamy na myśli, że funkcja przynależności niezdefiniowane w pkt. Załóżmy na przykład, że jest to zbiór liczb rzeczywistych i jest funkcją zdefiniowaną na zbiorze liczb całkowitych oraz , jeśli - parzyste i , jeśli - nieparzyste. Wtedy stopień przynależności liczby do zbioru wynosi , a nie 0. Z drugiej strony, gdyby został określony na zbiorze liczb rzeczywistych i wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą parzystą, to stopień przynależności liczby do zbioru byłoby równe 0.

Ponieważ możemy obliczyć wartości prawdziwości zdań I, lub I nie biorąc pod uwagę wartości prawdziwości językowej stwierdzeń i , łatwo jest obliczyć wartości , , , kiedy . Załóżmy na przykład, że

, (6.57)

. (6.58)

Stosując zasadę uogólnienia, jak w (6.25), otrzymujemy

, (6.59)

Po uproszczeniu (6.59) sprowadza się do wyrażenia

. (6.61)

Innymi słowy, wartość logiczna twierdzenia I, gdzie , jest rozmytym podzbiorem przedziału , którego stopień przynależności do punktu jest równy (funkcja przynależności ) w przedziale .

Ryż. 6.4. Nieznana jest koniunkcja i alternatywa wartości logicznych zdania z wartością logiczną ().

Podobnie stwierdzamy, że wartość logiczna stwierdzenia lub wyrażony jako

. (6.62)

Należy zauważyć, że wyrażenia (6.61) i (6.62) są łatwe do uzyskania przy użyciu procedury graficznej opisanej powyżej (patrz (6.38) i poniżej). Przykład ilustrujący to pokazano na ryc. 6.4.

Wracając do sprawy, znajdujemy

(6.63)

i podobnie dla .

Pouczające jest prześledzenie, co dzieje się z powyższymi relacjami, gdy zastosujemy je do konkretnego przypadku logiki dwuwartościowej, tj. do przypadku, gdy zbiór uniwersalny ma postać

lub w bardziej znanej formie

gdzie oznacza? prawda, ale - fałszywe. Ponieważ istnieje , możemy zidentyfikować wartość logiczną nieznany ze znaczeniem prawda lub fałszywe, tj.

Wynikowa logika ma cztery wartości logiczne, i jest uogólnieniem logiki dwuwartościowej w rozumieniu Uwaga 6.5.

Ponieważ uniwersalny zbiór wartości prawdziwościowych składa się tylko z dwóch elementów, wskazane jest konstruowanie tablic prawdziwościowych dla operacji, a w tej czterowartościowej logice bezpośrednio, tj. bez użycia ogólne formuły(6,25), (6,29) i (6,31). Stosując zatem zasadę uogólnienia do operacji, od razu otrzymujemy

skąd koniecznie wynika, że

Po drodze dochodzimy do zwykłej definicji spójnika ⟹ w logice dwuwartościowej w postaci następującej tabeli prawdy:

Jak pokazuje powyższy przykład, pojęcie wartości logicznej nieznany w połączeniu z zasadą uogólnienia pomaga zrozumieć niektóre pojęcia i relacje zwykłych logik dwuwartościowych i trójwartościowych. Logiki te oczywiście można uznać za zdegenerowane przypadki logiki rozmytej, w których wartość logiczna nieznany to cały przedział jednostki, a nie zestaw 0 + 1.

W odniesieniu do pojęć i relacji między nimi można wyrażać różne sądy. Językową formą sądów są zdania oznajmujące. Zdania używane w matematyce można pisać zarówno w formie słownej, jak i symbolicznej. Oferty mogą zawierać prawdziwe lub fałszywe informacje.

powiedzenie to dowolne zdanie oznajmujące, które może być prawdziwe lub fałszywe.

Przykład. Poniższe zdania są stwierdzeniami:

1) Wszyscy studenci Moskiewskiego Państwowego Uniwersytetu Pedagogicznego są doskonałymi studentami (fałszywe stwierdzenie),

2) Na Półwyspie Kolskim żyją krokodyle (fałszywe stwierdzenie),

3) Przekątne prostokąta są równe (prawdziwe stwierdzenie),

4) Równanie nie ma prawdziwych pierwiastków (prawdziwe stwierdzenie),

5) Liczba 21 jest parzysta (fałszywe stwierdzenie).

Poniższe zdania nie są stwierdzeniami:

Jaka będzie jutro pogoda?

x- Liczba naturalna,

745 + 231 – 64.

Oświadczenia są zwykle oznaczane wielkimi literami alfabetu łacińskiego: A, B, C, ...,Z.

„Prawda” i „fałsz” są nazywane wartości prawdy stwierdzenia . Każda teza jest albo prawdziwa, albo fałszywa, nie może być obydwoma jednocześnie.

Nagranie [ ALE ] = 1 oznacza, że ​​stwierdzenie ALE – prawda .

Nagranie [ ALE ] = 0 oznacza, że ​​stwierdzenie ALE – fałszywe .

Wyrok
nie jest stwierdzeniem, ponieważ nie można o nim powiedzieć, czy jest prawdziwe, czy fałszywe. Zastępując określone wartości zmiennej x zamienia się w twierdzenie: prawda lub fałsz.

Przykład. Jeśli
, następnie
jest fałszywym stwierdzeniem, a jeśli
, następnie
- prawdziwe oświadczenie.

Wyrok
nazywa się orzec lub forma zdaniowa. Generuje wiele oświadczeń o tej samej formie.

Orzec Wywoływane jest zdanie z jedną lub kilkoma zmiennymi, które za każdym razem, gdy ich wartości są podstawiane za zmienne, zamienia się w instrukcję.

W zależności od liczby zmiennych zawartych we wniosku rozróżnia się pojedyncze, podwójne, potrójne itp. predykaty, które są oznaczone przez: itp.

Przykład. 1)
jest predykatem jednomiejscowym,

2) „Bezpośredni” x prostopadle do linii w' jest predykatem dwumiejscowym.

Zmienne mogą być również zawarte niejawnie w predykatach. W zdaniach: „Liczba jest parzysta”, „przecinają się dwie linie”, nie ma zmiennych, ale są implikowane: „Liczba x- parzysty”, „dwie proste linie x I w przecinać."

Określając predykat, określ go domena – zbiór, z którego wybierane są wartości zmiennych zawartych w predykacie.

Przykład. Nierówność
można rozpatrywać w wielu liczby naturalne, ale możemy założyć, że wartość zmiennej jest wybierana ze zbioru liczb rzeczywistych. W pierwszym przypadku dziedzina definicji nierówności
będzie zbiór liczb naturalnych, aw drugim - zbiór liczb rzeczywistych.

pojedynczy orzeczenie , podane na planie x, nazywamy zdaniem ze zmienną, które zamienia się w instrukcję, gdy podstawimy do niej zmienną ze zbioru x.

Wiele prawd Predykat jednomiejscowy to zbiór tych wartości zmiennej z jej dziedziny definicji, po podstawieniu których predykat zamienia się w stwierdzenie prawdziwe.

Przykład. Zbiór prawdy orzecznika
, podany na zbiorze liczb rzeczywistych, będzie przedział
. Zbiór prawdy orzeczeń
, zdefiniowany na zbiorze nieujemnych liczb całkowitych, składa się z jednej liczby 2.

Wiele prawd orzeczenie dwumiejscowe
składa się ze wszystkich takich par
podstawiając je do tego predykatu, otrzymujemy stwierdzenie prawdziwe.

Przykład. Para
należy do zbioru prawdy orzecznika
, dlatego
jest prawdziwym stwierdzeniem, a para
nie należy, ponieważ
- fałszywe stwierdzenie.

Instrukcje i predykaty mogą być zarówno proste, jak i złożone (złożone). Złożony zdania są tworzone z prostych za pomocą spójniki logiczne - słowa " I », « lub », « Jeśli następnie … », « wtedy i tylko wtedy gdy... » . Z cząsteczką « nie » lub zwroty " to nieprawda, że » możliwe od ta propozycja zdobądź nowy. Propozycje, które nie są złożone, nazywane są podstawowy .

Przykłady. Zdania złożone:

Liczba 42 jest parzysta i podzielna przez 7. Składa się z dwóch zdań elementarnych: liczba 42 jest parzysta, liczba 42 jest podzielna przez 7 i składa się z logicznego spójnika „ I ».

Numer x większy lub równy 5. Utworzony z dwóch zdań elementarnych: Liczba x większa niż 5 i liczba x jest równy 5 i składa się z logicznego spójnika " lub ».

Liczba 42 nie jest podzielna przez 5. Utworzona ze zdania: Liczba 42 jest podzielna przez 5 za pomocą cząstki " nie ».

Wartość prawdy elementarnego zdania określa się na podstawie jego treści na podstawie znanej wiedzy. Aby określić wartość logiczną zdania złożonego, trzeba znać znaczenie spójników logicznych, z którymi jest ono utworzone z elementarnych, oraz umieć zidentyfikować logiczną strukturę tego zdania.

Przykład. Ujawnijmy logiczną strukturę zdania: „Jeśli kąty są pionowe, to są równe”. Składa się z dwóch podstawowych zdań: ALE- Pionowe kąty W- kąty są równe. Są one łączone w jedno zdanie złożone za pomocą spójnika logicznego „ Jeśli następnie...”. To zdanie złożone ma strukturę logiczną (formę): „ jeśli A to W».

Wyrażenie „dla każdego x„lub” dla wszystkich x„lub „dla każdego x" nazywa się ogólny kwantyfikator i oznaczone
.

za pomocą ogólnego kwantyfikatora, oznaczanego przez:
i brzmi: „Za każdą wartość x od wielu x występuje
».

Wyrażenie „istnieje x' lub 'dla niektórych x„lub „jest takie x" nazywa się kwantyfikator egzystencjalny i oznaczone
.

Zdanie wywodzące się ze zdania lub orzeczenia
za pomocą kwantyfikatora egzystencjalnego, oznaczanego przez:
i brzmi: „Dla niektórych x od wielu x występuje
" lub "Istnieje (jest) taka wartość x od x, który ma miejsce
».

Kwantyfikatory ogólności i istnienia są używane nie tylko w wyrażeniach matematycznych, ale także w mowie potocznej.

Przykład. Poniższe stwierdzenia zawierają ogólny kwantyfikator:

a) Wszystkie boki kwadratu są równe; b) Każda liczba całkowita jest rzeczywista; c) W dowolnym trójkącie mediany przecinają się w jednym punkcie; d) Wszyscy uczniowie posiadają książeczkę wyników.

Poniższe stwierdzenia zawierają kwantyfikator egzystencjalny:

a) Istnieją liczby będące wielokrotnością 5; b) Jest taka liczba naturalna , Co
; c) Kandydaci na studia magisterskie o profilu sportowym w niektórych grupach studenckich; d) Przynajmniej jeden kąt w trójkącie jest ostry.

oświadczenie
jest prawda
– tożsamość, tj. przyjmuje prawdziwe wartości, gdy zostaną do niego podstawione dowolne wartości zmiennej.

Przykład. oświadczenie
prawda.

oświadczenie
fałszywe , jeśli dla jakiejś wartości zmiennej x orzec

Przykład. oświadczenie
fałszywe, ponieważ w
orzec
staje się fałszywym stwierdzeniem.

oświadczenie
jest prawda wtedy i tylko wtedy, gdy orzeczenie
nie jest identycznie fałszywy, tj. dla pewnej wartości zmiennej x orzec

Przykład. oświadczenie
prawda, ponieważ w
orzec
zamienia się w prawdziwe stwierdzenie.

oświadczenie
fałszywe jeśli orzeczenie
jest sprzecznością, tj. identycznie fałszywe.

Przykład. oświadczenie
fałszywe, ponieważ orzec
jest identycznie fałszywy.

Niech oferta ALE - oświadczenie. Jeśli przed orzeczeniem tego zdania umieścić cząstkę ” nie lub przed całym zdaniem umieść słowa „ to nieprawda, że ”, otrzymuje się nowe zdanie, które nazywa się odmowa podane i oznaczone:  ALE lub (czytać: " nie ALE" lub " to nieprawda, że ALE »).

Przykład. Jeśli oświadczenie ALE: "Kąty pionowe są równe", to negacja tego stwierdzenia  ALE: "Kąty pionowe nie są równe." Pierwsze z tych stwierdzeń jest prawdziwe, a drugie fałszywe.

Aby zbudować negację stwierdzeń za pomocą kwantyfikatorów, potrzebujesz:

zastąpić kwantyfikator ogólny kwantyfikatorem egzystencjalnym lub odwrotnie;

zastąp stwierdzenie negacją (wstaw cząstkę „ nie»).

Na języku symbole matematyczne będzie napisane w ten sposób.

Przykład 1. Ustal prawdziwość stwierdzenia · С Decyzja. Zdanie złożone składa się z 3 prostych zdań: A, B, C.

Kolumny w tabeli wypełnione są wartościami (0, 1). Wszystkie są wskazane możliwe sytuacje. Zdania proste są oddzielone od zdań złożonych podwójną pionową linią. Podczas kompilacji tabeli należy uważać, aby nie pomylić kolejności działań; wypełniając kolumny należy poruszać się „od środka na zewnątrz”, czyli od formuł elementarnych do formuł coraz bardziej skomplikowanych; ostatnia kolumna do wypełnienia zawiera wartości oryginalnej formuły.

Tabela pokazuje, że to stwierdzenie jest prawdziwe tylko wtedy, gdy A=0, B=1, C=1. We wszystkich innych przypadkach jest fałszywy.

Możesz również znaleźć interesujące informacje w naukowej wyszukiwarce Otvety.Online. Skorzystaj z formularza wyszukiwania:

Więcej na temat 1. Ustalenie prawdziwości złożonych stwierdzeń.:

1. 29. Problem rozstrzygalności w algebrze zdań (AB). Algorytmy sprawdzania wzorów algebry zdań na identyczną prawdę: kompilacja tablicy prawdy, wykonywanie przekształceń równoważnych (analiza CNF), algorytm redukcji, algorytm Quine'a. Zalety i wady tych metod.
2. Pytanie 6. Rachunek zdań. Aksjomaty. reguła wnioskowania. Wyjście. Identyczna prawda wyprowadzonych formuł (dowód). Spójność rachunku zdań. Twierdzenie o zupełności rachunku zdań. Problem rozwiązywalności. Rachunek oświadczeń. Problem rozstrzygania

Pojęcie „oświadczenia” jest podstawowe. W logice zdanie to zdanie oznajmujące, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe. Każde stwierdzenie jest prawdziwe lub fałszywe, a żadne stwierdzenie nie jest zarówno prawdziwe, jak i fałszywe.

Przykłady stwierdzeń: jest liczba parzysta, „1 to liczba pierwsza”. Wartość logiczna dwóch pierwszych stwierdzeń to „prawda”, wartość logiczna dwóch ostatnich

Zdania pytające i wykrzykniki nie są stwierdzeniami. Definicje nie są stwierdzeniami. Na przykład definicja „liczba całkowita jest wywoływana, nawet jeśli jest podzielna przez 2” nie jest stwierdzeniem. Jednak zdanie oznajmujące „jeśli liczba całkowita jest podzielna przez 2, to jest parzyste” jest zdaniem i to prawdziwym. W logice zdań abstrahuje się od semantycznej treści zdania, poprzestając na rozważaniu go ze stanowiska, że ​​jest albo prawdziwe, albo fałszywe.

W dalszej części zrozumiemy znaczenie zdania jako jego wartości logicznej („prawda” lub „fałsz”). Oświadczenia będą oznaczane wielkimi literami łacińskimi, a ich znaczenie, tj. „prawda” lub „fałsz” - odpowiednio literami I i L.

Logika zdań bada połączenia, które są całkowicie zdeterminowane przez sposób, w jaki niektóre zdania są zbudowane z innych, zwanych zdaniami elementarnymi. W tym przypadku zdania elementarne traktowane są jako całość, nierozkładalna na części, których wewnętrzna struktura nas nie zainteresuje.

Operacje logiczne na wyciągach.

Od elementarnych propozycji za pomocą operacje logiczne możesz uzyskać nowe, bardziej złożone zestawienia. Wartość prawdziwości instrukcji złożonej zależy od prawdziwości instrukcji składających się na instrukcję złożoną. Zależność ta wynika z poniższych definicji i znajduje odzwierciedlenie w tabelach prawdy. Lewe kolumny tych tabel zawierają wszystkie możliwe rozkłady wartości logicznych dla stwierdzeń, które bezpośrednio składają się na rozważane złożenie złożone. W prawej kolumnie wpisz prawdziwe wartości wyrażenia złożonego zgodnie z rozkładami w każdym wierszu.

Niech A i B będą arbitralnymi stwierdzeniami, co do których nie zakładamy, że ich wartości prawdziwości są znane. Negacja zdania A jest nowym zdaniem, które jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy A jest fałszywe. Negacja A jest oznaczona i czytana jako „nie A” lub „to nieprawda, że ​​A”. Operacja negacji jest całkowicie zdeterminowana przez tabelę prawdy

Przykład. Stwierdzenie „nie jest prawdą, że 5 jest liczbą parzystą”, które ma znaczenie AND, jest zaprzeczeniem fałszywego stwierdzenia „5 jest liczbą parzystą”.

Za pomocą operacji koniunkcji dwa zdania są łączone w jedno zdanie złożone, oznaczone jako A D B. Z definicji, zdanie A D B jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania są prawdziwe. Zdania A i B nazywane są odpowiednio pierwszym i drugim członem spójnika A DB. Rekord „AD B” czyta się jako „L i B”. Tabela prawdy dla spójnika ma postać

Przykład. Stwierdzenie „7 jest liczbą pierwszą, a 6 jest liczbą nieparzystą” jest fałszywe, jako połączenie dwóch zdań, z których jedno jest fałszywe.

Rozłączenie dwóch zdań A i B to zdanie oznaczone przez , które jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno ze zdań A i B jest prawdziwe.

W związku z tym zdanie A V B jest fałszywe wtedy i tylko wtedy, gdy oba A i B są fałszywe. Zdania A i B nazywane są odpowiednio pierwszym i drugim członem alternatywy A V B. Rekord A V B jest odczytywany jako „A lub B”. Unia „lub” w ta sprawa ma znaczenie niepodzielne, ponieważ zdanie A V B jest prawdziwe, nawet jeśli oba terminy są prawdziwe. Ta alternatywa ma następującą tabelę prawdy:

Przykład. Stwierdzenie „3 Zdanie oznaczone jako fałszywe wtedy i tylko wtedy, gdy A jest prawdziwe, a B jest fałszywe nazywa się implikacją z przesłanką A i wnioskiem B. Zdanie A + B odczytuje się jako „jeśli A, to 5” lub „A implikuje B” lub „Od A następuje B”. Tabela prawdy dla implikacji to:

Zauważ, że może nie być związku przyczynowego między przesłanką a wnioskiem, ale nie może to wpływać na prawdziwość lub fałszywość implikacji. Na przykład zdanie „jeśli 5 jest liczbą pierwszą, to dwusieczna trójkąta równobocznego jest medianą” byłoby prawdziwe, chociaż w zwykłym sensie druga nie wynika z pierwszej. Stwierdzenie „jeśli 2 + 2 = 5, to 6 + 3 = 9” również będzie prawdziwe, ponieważ jego wniosek jest prawdziwy. Na ta definicja jeśli wniosek jest prawdziwy, implikacja będzie prawdziwa niezależnie od wartości prawdziwości przesłanki. Jeśli założenie jest fałszywe, implikacja będzie prawdziwa niezależnie od wartości logicznej wniosku. Okoliczności te są w skrócie sformułowane w następujący sposób: „z czegokolwiek wynika prawda”, „z fałszu wynika wszystko”.

W praktyce językowej często używa się fałszywych i prawdziwych stwierdzeń. Pierwsza ocena odbierana jest jako zaprzeczenie prawdy (nieprawdy). W rzeczywistości stosuje się również inne rodzaje oceny: niepewność, niedowodliwość (udowodnialność), nierozwiązywalność. Argumentując, dla jakiej liczby x to stwierdzenie jest prawdziwe, należy wziąć pod uwagę prawa logiki.

Pojawienie się „logiki wielowartościowej” doprowadziło do użycia nieograniczonej liczby wskaźników prawdy. Sytuacja z elementami prawdy jest zagmatwana, skomplikowana, dlatego ważne jest jej wyjaśnienie.

Zasady teorii

Prawdziwe stwierdzenie to wartość właściwości (cechy), dla której zawsze jest brane pod uwagę pewne działanie. Czym jest prawda? Schemat jest następujący: „Zdanie X ma wartość logiczną Y w przypadku, gdy zdanie Z jest prawdziwe”.

Spójrzmy na przykład. Należy zrozumieć, dla którego z podanych stwierdzeń prawdziwe jest stwierdzenie: „Obiekt a ma znak B”. To stwierdzenie jest fałszywe, ponieważ obiekt ma atrybut B, i fałszywe, ponieważ a nie ma atrybutu B. Termin „fałsz” jest w tym przypadku używany jako zewnętrzna negacja.

Definicja prawdy

Jak ustala się prawdziwe stwierdzenie? Niezależnie od struktury instrukcji X, dopuszczalna jest tylko następująca definicja: „Zdanie X jest prawdziwe, gdy istnieje X, tylko X”.

Definicja ta umożliwia wprowadzenie do języka terminu „prawdziwy”. Określa akt akceptacji zgody lub wypowiedzi z tym, co mówi.

Proste powiedzonka

Zawierają prawdziwe stwierdzenie bez definicji. Możesz ograniczyć się mówiąc „Nie-X” wspólna definicja jeśli to stwierdzenie nie jest prawdziwe. Spójnik „X i Y” jest prawdziwy, jeśli oba X i Y są prawdziwe.

Mówiąc przykład

Jak zrozumieć, dla którego x stwierdzenie jest prawdziwe? Aby odpowiedzieć na to pytanie, używamy wyrażenia: „Cząstka a znajduje się w obszarze przestrzeni b”. Rozważ następujące przypadki dla tego stwierdzenia:

• nie można zaobserwować cząstki;
• można zaobserwować cząstkę.

Druga opcja obejmuje pewne możliwości:

• cząsteczka faktycznie znajduje się w określonym obszarze przestrzeni;
• nie znajduje się w domniemanej części przestrzeni;
• cząsteczka porusza się w taki sposób, że trudno jest określić obszar jej położenia.

W takim przypadku możesz użyć czterech terminów wartości prawdy, które odpowiadają danym możliwościom.

W przypadku złożonych struktur należy użyć większej liczby terminów. Wskazuje to, że wartości prawdy są nieograniczone. Dla jakiej liczby to stwierdzenie jest prawdziwe, zależy od praktycznej celowości.

Zasada niejednoznaczności

Zgodnie z nim każde stwierdzenie jest albo fałszywe, albo prawdziwe, to znaczy charakteryzuje się jedną z dwóch prawdopodobnych wartości prawdy - „fałsz” i „prawda”.

Ta zasada jest podstawą logiki klasycznej, zwanej teorią dwuwartościową. Zasada niejednoznaczności została zastosowana przez Arystotelesa. Filozof ten, spierając się o to, dla jakiej liczby x dane zdanie jest prawdziwe, uznał je za nieodpowiednie dla tych stwierdzeń, które dotyczą przyszłych zdarzeń losowych.

Ustanowił logiczny związek między fatalizmem a zasadą dwuznaczności, predestynacją wszelkiego ludzkiego działania.

W kolejnych epokach historycznych ograniczenia nałożone na tę zasadę tłumaczono tym, że znacznie komplikuje ona analizę wypowiedzi o planowanych wydarzeniach, a także o obiektach nieistniejących (nieobserwowalnych).

Zastanawiając się, które stwierdzenia są prawdziwe, nie zawsze można było tą metodą znaleźć jednoznaczną odpowiedź.

Pojawiające się wątpliwości dotyczące systemów logicznych zostały rozwiane dopiero po opracowaniu nowoczesnej logiki.

Aby zrozumieć, dla której z podanych liczb stwierdzenie jest prawdziwe, odpowiednia jest logika dwuwartościowa.

Zasada niejednoznaczności

Jeśli przeformułujemy wersję dwuwartościowego stwierdzenia, aby ujawnić prawdę, możemy to zmienić w szczególny przypadek polisemia: każde stwierdzenie będzie miało jedną wartość prawdy n, jeśli n jest większe niż 2 lub mniejsze niż nieskończoność.

Wiele systemów logicznych opartych na zasadzie niejednoznaczności działa jako wyjątki od dodatkowych wartości prawdy (powyżej „fałsz” i „prawda”). Dwuwartościowa logika klasyczna charakteryzuje typowe zastosowania niektórych znaków logicznych: „lub”, „i”, „nie”.

Wielowartościowa logika, która twierdzi, że czyni je konkretnymi, nie powinna być sprzeczna z wynikami systemu o dwóch wartościach.

Przekonanie, że zasada niejednoznaczności zawsze prowadzi do stwierdzenia fatalizmu i determinizmu, jest uważane za błędne. Błędny jest również pomysł, zgodnie z którym logika wielokrotna jest uważana za niezbędne fundusze wdrożenie rozumowania indeterministycznego, że jego akceptacja odpowiada odrzuceniu stosowania ścisłego determinizmu.

Semantyka znaków logicznych

Aby zrozumieć, dla jakiej liczby X stwierdzenie jest prawdziwe, możesz uzbroić się w tabele prawdy. Semantyka logiczna to dział metalogiki badający relacje z wyznaczonymi obiektami, ich zawartość różnych wyrażeń językowych.

Ten problem został już omówiony w świat starożytny, ale w postaci w pełni rozwiniętej samodzielnej dyscypliny sformułowano ją dopiero na przełomie XIX i XX wieku. Prace G. Fregego, C. Pierce'a, R. Carnapa, S. Kripkego umożliwiły ujawnienie istoty tej teorii, jej realizmu i celowości.

Przez długi czas logika semantyczna opierała się głównie na analizie języków sformalizowanych. Tylko w Ostatnio większość badań zaczęto poświęcać językowi naturalnemu.

W tej metodologii istnieją dwa główne obszary:

• teoria notacji (odniesienia);
• teoria znaczenia.

Pierwsza obejmuje badanie relacji różnych wyrażeń językowych do wyznaczonych obiektów. Jako główne kategorie można sobie wyobrazić: „oznaczenie”, „nazwisko”, „model”, „interpretacja”. Teoria ta jest podstawą dowodów we współczesnej logice.

Teoria znaczenia zajmuje się znalezieniem odpowiedzi na pytanie, jakie jest znaczenie wyrażenia językowego. Wyjaśnia ich tożsamość w znaczeniu.

Teoria znaczenia odgrywa znaczącą rolę w dyskusji o paradoksach semantycznych, w rozwiązaniu których każde kryterium dopuszczalności jest uważane za ważne i istotne.

Równanie logiczne

Termin ten jest używany w metajęzyku. Pod równaniem logicznym możemy przedstawić rekord F1=F2, w którym F1 i F2 są formułami rozszerzonego języka zdań logicznych. Rozwiązanie takiego równania oznacza określenie tych zestawów prawdziwych wartości zmiennych, które zostaną zawarte w jednej z formuł F1 lub F2, pod którymi będzie obserwowana proponowana równość.

Znak równości w matematyce w niektórych sytuacjach wskazuje na równość oryginalnych obiektów, aw niektórych przypadkach służy do wykazania równości ich wartości. Wpis F1=F2 może wskazywać, że mówimy o tej samej formule.

W literaturze dość często logika formalna jest rozumiana jako synonim „języka zdań logicznych”. Tak jak " dobre słowa» to formuły, które służą jednostki semantyczne używany do konstruowania rozumowania w logice nieformalnej (filozoficznej).

Wypowiedź działa jak zdanie, które wyraża konkretną tezę. Innymi słowy, wyraża ideę obecności pewnego stanu rzeczy.

Fakt ten stał się podstawą logiki zdań. Istnieje podział wypowiedzi na grupy proste i złożone.

Podczas formalizowania proste opcje instrukcje wykorzystują podstawowe formuły języka zerowego rzędu. Opis złożonych wypowiedzi jest możliwy tylko przy użyciu formuł językowych.

Spójniki logiczne są niezbędne do oznaczenia związków. Po zastosowaniu proste stwierdzenia zamieniają się w złożone typy:

• "nie",
• "To nieprawda, że..."
• "lub".

Wniosek

Logika formalna pomaga dowiedzieć się, dla jakiej nazwy zdanie jest prawdziwe, polega na konstruowaniu i analizie reguł przekształcania pewnych wyrażeń, które zachowują swoje prawdziwe znaczenie niezależnie od treści. Jako osobny dział nauk filozoficznych pojawił się dopiero pod koniec XIX wieku. Drugi kierunek to nieformalna logika.

Głównym zadaniem tej nauki jest usystematyzowanie reguł pozwalających na wyprowadzanie nowych twierdzeń na podstawie twierdzeń sprawdzonych.

Podstawą logiki jest możliwość uzyskania pewnych idei jako logicznej konsekwencji innych stwierdzeń.

Fakt ten pozwala adekwatnie opisać nie tylko pewien problem w nauki matematyczne, ale także przeniesienie logiki na twórczość artystyczną.

Badania logiczne zakładają istnienie związku między przesłankami a wyciągniętymi z nich wnioskami.

Można to przypisać wielu początkowym, fundamentalnym pojęciom współczesnej logiki, którą często nazywa się nauką o tym, „co z niej wynika”.

Trudno sobie wyobrazić dowodzenie twierdzeń w geometrii bez takiego rozumowania, wyjaśniania zjawiska fizyczne, wyjaśnienie mechanizmów reakcji w chemii.

Powrót