Liczbę 0 można przedstawić jako rodzaj granicy oddzielającej świat liczb rzeczywistych od urojonych lub ujemnych. Ze względu na niejednoznaczny zapis wiele operacji o tej wartości liczbowej nie podlega logika matematyczna. Niemożliwość dzielenia przez zero jest tego najlepszym przykładem. I dozwolone działania arytmetyczne z zerem można spełnić stosując ogólnie przyjęte definicje.
Historia Zero
Zero jest punktem odniesienia we wszystkich systemy standardowe rachunek różniczkowy. Użycie tej liczby przez Europejczyków jest stosunkowo nowe, ale mędrcy starożytnych Indii używali zera przez tysiąc lat, zanim pusta liczba była regularnie używana przez europejskich matematyków. Jeszcze przed Indianami zero było obowiązkową wartością w systemie liczbowym Majów. Ten naród amerykański używał systemu dwunastkowego i zaczynał pierwszy dzień każdego miesiąca od zera. Co ciekawe, wśród Majów znak „zera” całkowicie pokrywał się ze znakiem „nieskończoności”. Tak więc starożytni Majowie doszli do wniosku, że te ilości są identyczne i niepoznawalne.
Operacje matematyczne z zerem
Standardowe operacje matematyczne z zerem można sprowadzić do kilku reguł.
Dodawanie: jeśli do dowolnej liczby dodasz zero, to nie zmieni ona jej wartości (0+x=x).
Odejmowanie: przy odejmowaniu zera od dowolnej liczby, wartość odejmowanego pozostaje niezmieniona (x-0=x).
Mnożenie: dowolna liczba pomnożona przez 0 daje 0 w iloczynie (a*0=0).
Dzielenie: Zero można podzielić przez dowolną liczbę niezerową. W takim przypadku wartość takiego ułamka będzie wynosić 0. A dzielenie przez zero jest zabronione.
Potęgowanie. Czynność tę można wykonać z dowolnym numerem. Dowolna liczba podniesiona do potęgi zera da 1 (x 0 =1).
Zero do dowolnej mocy jest równe 0 (0 a \u003d 0).
W tym przypadku natychmiast pojawia się sprzeczność: wyrażenie 0 0 nie ma sensu.
Paradoksy matematyki
O tym, że dzielenie przez zero jest niemożliwe, wiele osób wie ze szkoły. Ale z jakiegoś powodu nie można wyjaśnić przyczyny takiego zakazu. Rzeczywiście, dlaczego formuła dzielenia przez zero nie istnieje, ale inne działania z tą liczbą są całkiem rozsądne i możliwe? Odpowiedzi na to pytanie udzielają matematycy.
Rzecz w tym, że zwykłe operacje arytmetyczne, których uczą się uczniowie w klasach podstawowych, w rzeczywistości nie są tak równe, jak nam się wydaje. Wszystkie proste operacje na liczbach można zredukować do dwóch: dodawania i mnożenia. Te operacje są istotą samej koncepcji liczby, a reszta operacji opiera się na użyciu tych dwóch.
Dodawanie i mnożenie
Weźmy standardowy przykład odejmowania: 10-2=8. W szkole uważa się to za proste: jeśli z dziesięciu przedmiotów zabierze się dwa, pozostaje osiem. Ale matematycy patrzą na tę operację zupełnie inaczej. W końcu nie ma dla nich takiej operacji jak odejmowanie. Ten przykład można zapisać w inny sposób: x + 2 = 10. Dla matematyków nieznana różnica to po prostu liczba, którą należy dodać do dwóch, aby otrzymać osiem. I tutaj nie jest wymagane odejmowanie, wystarczy znaleźć odpowiednią wartość liczbową.
W ten sam sposób traktuje się mnożenie i dzielenie. W przykładzie 12:4=3 można zrozumieć, że mówimy o podziale ośmiu obiektów na dwa równe stosy. Ale w rzeczywistości jest to tylko odwrócona formuła do pisania 3x4 \u003d 12. Takie przykłady podziału można podawać bez końca.
Przykłady dzielenia przez 0
W tym momencie staje się trochę jasne, dlaczego nie można dzielić przez zero. Mnożenie i dzielenie przez zero mają swoje własne zasady. Wszystkie przykłady na podział tej wielkości można sformułować jako 6:0=x. Ale jest to odwrotne wyrażenie wyrażenia 6 * x = 0. Ale, jak wiadomo, dowolna liczba pomnożona przez 0 daje tylko 0. Ta właściwość jest nierozerwalnie związana z samą koncepcją wartości zerowej.
Okazuje się, że taka liczba, która pomnożona przez 0, daje jakąkolwiek namacalną wartość, nie istnieje, czyli ten problem nie ma rozwiązania. Takiej odpowiedzi nie należy się bać, jest to naturalna odpowiedź na tego typu problemy. Samo pisanie 6:0 nie ma sensu i niczego nie wyjaśnia. Krótko mówiąc, wyrażenie to można wytłumaczyć nieśmiertelnym „bez dzielenia przez zero”.
Czy istnieje operacja 0:0? Rzeczywiście, jeśli operacja mnożenia przez 0 jest legalna, czy zero można podzielić przez zero? W końcu równanie postaci 0x5=0 jest całkiem legalne. Zamiast cyfry 5 możesz wpisać 0, produkt nie zmieni się z tego.
Rzeczywiście, 0x0=0. Ale nadal nie możesz dzielić przez 0. Jak już powiedziano, dzielenie jest po prostu odwrotnością mnożenia. Zatem jeśli w przykładzie 0x5=0, musisz określić drugi czynnik, otrzymamy 0x0=5. Lub 10. Albo nieskończoność. Dzielenie nieskończoności przez zero - jak ci się podoba?
Ale jeśli do wyrażenia pasuje jakaś liczba, to nie ma to sensu, nie możemy wybrać jednej z nieskończonego zbioru liczb. A jeśli tak, to znaczy, że wyrażenie 0:0 nie ma sensu. Okazuje się, że nawet samo zero nie może być podzielone przez zero.
wyższa matematyka
Dzielenie przez zero to ból głowy dla matematyki w szkole średniej. Analiza matematyczna studiowana na politechnikach nieco poszerza pojęcie problemów, które nie mają rozwiązania. Na przykład do znanego już wyrażenia 0:0 dodawane są nowe, które nie mają rozwiązania na szkolnych kursach matematyki:
- nieskończoność podzielona przez nieskończoność: ∞:∞;
- nieskończoność minus nieskończoność: ∞−∞;
- jednostka podniesiona do nieskończonej potęgi: 1 ∞ ;
- nieskończoność pomnożona przez 0: ∞*0;
- jacyś inni.
Nie da się rozwiązać takich wyrażeń metodami elementarnymi. Ale wyższa matematyka dzięki dodatkowe funkcje za numer podobne przykłady daje ostateczne rozwiązania. Jest to szczególnie widoczne w rozważaniach problemów z teorii granic.
Ujawnienie niepewności
W teorii granic wartość 0 zastępuje się zmienną warunkową nieskończenie małą. Oraz wyrażenia, w których przy podstawieniu Pożądana wartość otrzymuje się dzielenie przez zero, są konwertowane. Poniżej znajduje się standardowy przykład rozszerzania granic przy użyciu zwykłych przekształceń algebraicznych:
Jak widać na przykładzie, prosta redukcja ułamka sprowadza jego wartość do całkowicie racjonalnej odpowiedzi.
Rozważając ograniczenia funkcje trygonometryczne ich ekspresje mają tendencję do ograniczania się do pierwszego wspaniały limit. Rozważając granice, w których mianownik dochodzi do 0, gdy granica jest zastępowana, stosuje się drugą godną uwagi granicę.
Metoda L'Hopitala
W niektórych przypadkach granice wyrażeń można zastąpić granicami ich pochodnych. Guillaume Lopital - francuski matematyk, założyciel szkoły francuskiej Analiza matematyczna. Udowodnił, że granice wyrażeń są równe granicom pochodnych tych wyrażeń. V notacja matematyczna jego zasada jest następująca.
Mówią, że możesz podzielić przez zero, jeśli określisz wynik dzielenia przez zero. Wystarczy rozwinąć algebrę. Dziwnym zbiegiem okoliczności nie udało się znaleźć choćby jakiegoś, ale lepiej zrozumiałego i prostego przykładu takiego rozszerzenia. Aby naprawić Internet, potrzebujesz demonstracji jednej z metod takiego rozszerzenia lub opisu, dlaczego nie jest to możliwe.
Artykuł jest kontynuacją trendu:
Zastrzeżenie
Celem tego artykułu jest wyjaśnienie w „języku ludzkim”, jak działają fundamentalne podstawy matematyki, uporządkowanie wiedzy i przywrócenie utraconych związków przyczynowo-skutkowych między sekcjami matematyki. Wszystkie argumenty są filozoficzne, pod względem osądów odbiegają od ogólnie przyjętych (stąd nie twierdzi się, że są matematycznie rygorystyczne). Artykuł jest przeznaczony dla poziomu czytelnika „przeszedł wieżę wiele lat temu”.Zrozumienie zasad arytmetyki, algebry elementarnej, ogólnej i liniowej, analizy matematycznej i niestandardowej, teorii mnogości, ogólnej topologii, geometrii rzutowej i afinicznej jest pożądane, ale nie wymagane.
Podczas eksperymentów nie została naruszona żadna nieskończoność.
Prolog
Wychodzenie „poza” to naturalny proces poszukiwania nowej wiedzy. Ale nie każde poszukiwanie przynosi nową wiedzę, a tym samym korzyści.1. Generalnie wszystko zostało już dla nas podzielone!
1.1 Afiniczne rozszerzenie linii liczbowej
Zacznijmy od tego, gdzie prawdopodobnie wszyscy poszukiwacze przygód zaczynają dzielenie przez zero. Przywołaj wykres funkcji
.
Na lewo i na prawo od zera funkcja przebiega w różnych kierunkach "nieistnienia". Na samym zerze generalnie jest „wir” i nic nie jest widoczne.
Zamiast rzucać się na oślep do „basenu”, zobaczmy, co stamtąd wpływa, a co wypływa. Aby to zrobić, używamy limitu - głównego narzędzia analizy matematycznej. Główną „sztuczką” jest to, że limit pozwala przejść do dany punkt tak blisko, jak to możliwe, ale nie „stąp na to”. Takie „ogrodzenie” przed „wirem”.
Oryginał
Dobra, postawiono „ogrodzenie”. To już nie jest takie straszne. Do „wiru wirowego” mamy dwie ścieżki. Chodźmy w lewo – stromy zjazd, w prawo – stromy podbieg. Bez względu na to, jak bardzo podchodzisz do „ogrodzenia”, nie zbliża się. Nie ma możliwości przekroczenia dolnej i górnej „niebytu”. Pojawiają się podejrzenia, może kręcimy się w kółko? Chociaż nie, liczby się zmieniają, więc nie w kółko. Pogrzebmy jeszcze w skrzyni z narzędziami analizy matematycznej. Oprócz granic z „ogrodzeniem”, zestaw zawiera nieskończoność dodatnią i ujemną. Wartości są całkowicie abstrakcyjne (nie liczby), dobrze sformalizowane i gotowe do użycia! To nam odpowiada. Uzupełnijmy nasz „byt” (zbiór liczb rzeczywistych) o dwie nieskończoności ze znakiem.
Język matematyczny:
To właśnie to rozszerzenie pozwala przyjąć granicę, gdy argument dąży do nieskończoności i uzyskać nieskończoność w wyniku przyjęcia granicy.Istnieją dwie gałęzie matematyki, które opisują to samo przy użyciu innej terminologii.
Podsumowując:
w suchej pozostałości. Stare podejście już nie działa. Zwiększyła się złożoność systemu w postaci kilku „jeżeli”, „dla wszystkich, ale” itp. Mieliśmy tylko dwie niepewności 1/0 i 0/0 (nie braliśmy pod uwagę operacji energetycznych), więc było ich pięć. Ujawnienie jednej niepewności zrodziło jeszcze więcej niepewności.
1.2 Koło
Wszystko nie zatrzymało się na wprowadzeniu nieskończoności bez znaku. Aby wyjść z niepewności, potrzebujesz drugiego wiatru.Mamy więc zbiór liczb rzeczywistych i dwie niepewności 1/0 i 0/0. Aby wyeliminować pierwsze, wykonaliśmy rzutowe wydłużenie linii rzeczywistej (czyli wprowadziliśmy nieskończoność bez znaku). Spróbujmy zająć się drugą niepewnością postaci 0/0. Zróbmy to samo. Uzupełnijmy zbiór liczb o nowy element reprezentujący drugą niepewność.
Definicja dzielenia opiera się na mnożeniu. To nam nie pasuje. Rozwiążmy operacje od siebie, ale zachowajmy zwykłe zachowanie dla liczb rzeczywistych. Zdefiniujmy operację dzielenia jednoargumentowego, oznaczoną przez "/".
Zdefiniujmy operacje.
Ta struktura nazywa się „Kołem”. Termin został przyjęty ze względu na podobieństwo z obrazem topologicznym rzutowego przedłużenia prostej rzeczywistej i punktu 0/0.
Wszystko wygląda dobrze, ale diabeł tkwi w szczegółach:
Aby rozstrzygnąć wszystkie cechy, oprócz poszerzenia zbioru elementów, dodaje się premię w postaci nie jednej, ale dwóch tożsamości, które opisują prawo podziału.
Język matematyczny:Z punktu widzenia algebry ogólnej operowaliśmy na polu . A w terenie, jak wiadomo, zdefiniowane są tylko dwie operacje (dodawanie i mnożenie). Pojęcie podziału wywodzi się z odwrotności, a jeśli jeszcze głębiej, to z pojedynczych elementów. Wprowadzone zmiany przekształciły nasz system algebraiczny w monoid zarówno w dodatku (z zerem jako elementem neutralnym), jak i w mnożeniu (z jednostką jako elementem neutralnym).W pracach odkrywców nie zawsze używa się symboli ∞ i ⊥. Zamiast tego możesz zobaczyć wpis w postaci /0 i 0/0.
Świat nie jest już taki piękny, prawda? Mimo to nie spiesz się. Sprawdźmy, czy nowe tożsamości prawa dystrybucyjnego poradzą sobie z naszym rozszerzonym zbiorem.
Tym razem wynik jest znacznie lepszy.Podsumowując:
w suchej pozostałości. Algebra działa świetnie. Jednak za podstawę przyjęto pojęcie „nieokreślonego”, które zaczęto uważać za coś istniejącego i z tym operować. Pewnego dnia ktoś powie, że wszystko jest źle i trzeba to „niezdefiniowane” rozbić na kilka kolejnych „niezdefiniowanych”, ale mniejszych.Algebra ogólna powie: „Nie ma problemu, bracie!”.
W ten sposób postuluje się dodatkowe (j i k) jednostki urojone w kwaternionach Dodaj znaczniki
Podręcznik:„Matematyka” M.I.Moro
Cele Lekcji: stworzyć warunki do powstania umiejętności dzielenia 0 przez liczbę.
Cele Lekcji:
- ujawnić znaczenie dzielenia 0 przez liczbę poprzez relację mnożenia i dzielenia;
- rozwijać niezależność, uwagę, myślenie;
- kształtowanie umiejętności rozwiązywania przykładów do mnożenia i dzielenia tabelarycznego.
Aby osiągnąć cel, lekcja została zaprojektowana z uwzględnieniem podejście do aktywności.
Struktura lekcji obejmowała:
- Organizacja za chwilę, którego celem było pozytywne przygotowanie dzieci do zajęć edukacyjnych.
- Motywacja pozwoliła na aktualizację wiedzy, sformułowanie celów i zadań lekcji. W tym celu przydzielono zadania znajdowanie dodatkowej liczby, klasyfikowanie przykładów w grupy, dodawanie brakujących liczb. W trakcie rozwiązywania tych zadań napotkane dzieci problem: był przykład, na rozwiązanie którego nie ma wystarczającej wiedzy. Z tego powodu dzieci wyznaczają własne cele i ustal cele nauczania dla lekcji.
- Poszukiwanie i odkrywanie nowej wiedzy dał dzieciom szansę oferta różne opcje rozwiązania zadań. Na podstawie wcześniej poznanego materiału, udało im się znaleźć właściwe rozwiązanie i dojść do wniosek w którym została sformułowana nowa reguła.
- Podczas fiksacja pierwotna uczniowie skomentował ich akcje, działa zgodnie z regułą, zostały dodatkowo wybrane ich przykłady do tej zasady.
- Do automatyzacja działań oraz umiejętność posługiwania się regułami w niestandardowych zadania, dzieci rozwiązywały równania, wyrażenia w kilku czynnościach.
- Niezależna praca i prowadzone wzajemna weryfikacja pokazało, że większość dzieci nauczyła się tego tematu.
- Podczas refleksje dzieci stwierdziły, że cel lekcji został osiągnięty i oceniły się za pomocą kart.
Lekcja opierała się na samodzielnych działaniach uczniów na każdym etapie, całkowitym zanurzeniu się w zadaniu dydaktycznym. Sprzyjały temu takie techniki jak praca w grupach, samo- i wzajemna weryfikacja, tworzenie sytuacji sukcesu, zróżnicowane zadania, autorefleksja.
Podczas zajęć
| Cel sceny | Treść sceny | Zajęcia studenckie | ||||||||||||
| 1. Organizacja za chwilę | ||||||||||||||
| przygotowanie uczniów do pracy, pozytywne nastawienie do zajęć edukacyjnych. | Stymulacja zajęć edukacyjnych. Sprawdź swoją gotowość do lekcji, usiądź prosto, oprzyj się o oparcie krzesła. Pocieraj uszy, aby zwiększyć przepływ krwi do mózgu. Dzisiaj będziesz mieć ich wiele Ciekawa praca co na pewno sobie poradzisz. |
Organizacja miejsca pracy, sprawdzenie dopasowania. | ||||||||||||
| 2. Motywacja. | ||||||||||||||
| Stymulacja poznawcza czynność, aktywacja procesu myślowego |
Aktualizacja wiedzy wystarczająca do zdobycia nowej wiedzy. Liczenie słowne. Sprawdzanie znajomości mnożenia tabelarycznego: |
Rozwiązywanie zadań w oparciu o znajomość mnożenia tabelarycznego. | ||||||||||||
| a) znajdź dodatkowy numer 2 4 6 7 10 12 14 6 18 24 29 36 42 Wyjaśnij, dlaczego jest zbędny i jakim numerem należy go zastąpić. |
Znalezienie dodatkowego numeru. | |||||||||||||
| B) uzupełnij brakujące cyfry: … 16 24 32 … 48 … |
Dodanie brakującej liczby. | |||||||||||||
| Tworzenie sytuacji problemowej Zadania w parach: C) Ułóż przykłady w 2 grupach: Dlaczego jest tak rozpowszechniony? (odpowiedzi 4 i 5). |
Podział przykładów na grupy. | |||||||||||||
| Karty: 8 7-6+30:6= 28:(16:4) 6= 30-(20-10:2):5= 30-(20-10 2):5= |
Silni uczniowie pracują nad indywidualnymi kartami. | |||||||||||||
| Co zauważyłeś? Czy jest tu dodatkowy przykład? Czy udało Ci się rozwiązać wszystkie przykłady? Kto ma kłopoty? Czym ten przykład różni się od innych? Jeśli ktoś zdecyduje, to dobra robota. Ale dlaczego nie każdy poradziłby sobie z tym przykładem? |
Znalezienie trudności. Identyfikacja brakującej wiedzy, przyczyny trudności. |
|||||||||||||
| Zestawienie zadania edukacyjnego. Oto przykład z 0. A od 0 możesz się spodziewać różne sztuczki. To niezwykła liczba. Pamiętasz, co wiesz o 0? (a 0=0, 0 a=0, 0+a=a) Daj przykłady. Spójrz, jakie to jest podstępne: kiedy jest dodawane, nie zmienia liczby, ale po mnożeniu zmienia ją na 0. Czy te zasady dotyczą naszego przykładu? Jak będzie się zachowywał, gdy będzie jadł? |
Obserwacja znanych metod działania od 0 i korelacja z oryginalnym przykładem. | |||||||||||||
| Jaki jest więc nasz cel? Rozwiąż ten przykład poprawnie. Stół na desce. Co jest do tego potrzebne? Poznaj zasadę dzielenia 0 przez liczbę. |
postawienie hipotezy, | |||||||||||||
| Jak znaleźć właściwe rozwiązanie? Jaka jest operacja mnożenia? (z podziałem) Daj przykład 2 3 = 6 6: 2 = 3 Czy możemy teraz 0:5? Oznacza to, że musisz znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 5 wyniesie 0. x 5=0 Ta liczba to 0. Czyli 0:5=0. Podaj swoje przykłady. |
poszukiwanie rozwiązania w oparciu o wcześniej poznane, | |||||||||||||
| Formułowanie reguł. Jaką regułę można teraz sformułować? Dzieląc 0 przez liczbę, otrzymujesz 0. 0: a = 0. |
Rozwiązanie typowe zadania z komentarzem. Pracuj według schematu (0: a = 0) |
|||||||||||||
| 5. Minuty fizyczne. | ||||||||||||||
| Zapobieganie naruszeniom postawy, usuwanie zmęczenia z oczu, ogólne zmęczenie. | ||||||||||||||
| 6. Automatyzacja wiedzy. | ||||||||||||||
| Ujawnienie granic stosowalności nowej wiedzy. | Jakie inne zadania mogą wymagać znajomości tej zasady? (w rozwiązywaniu przykładów, równań) |
Wykorzystanie zdobytej wiedzy w różnych zadaniach. Praca grupowa. |
||||||||||||
| Co jest nieznane w tych równaniach? Pamiętaj, jak znaleźć nieznany mnożnik. Rozwiązuj równania. Jakie jest rozwiązanie w 1 równaniu? (0) O 2? (brak rozwiązania, nie można dzielić przez 0) |
Ponowne poznanie wcześniej nabytych umiejętności. | |||||||||||||
| ** Zrób równanie z rozwiązaniem x=0 (x 5=0) | Dla silnych uczniów, kreatywne zadanie | |||||||||||||
| 7. Niezależna praca. | ||||||||||||||
| rozwój samodzielności, zdolności poznawcze | Niezależna praca z późniejszą wzajemną weryfikacją. №6 |
Aktywne działania umysłowe uczniów związane z poszukiwaniem rozwiązań w oparciu o ich wiedzę. Samokontrola i wzajemna kontrola. Silni uczniowie sprawdzają i pomagają słabszym. |
||||||||||||
| 8. Pracuj na wcześniej pokrytym materiale. Rozwój umiejętności rozwiązywania problemów. | ||||||||||||||
| Kształtowanie umiejętności rozwiązywania problemów. | Jak myślisz, jak często liczba 0 jest używana w zadaniach? (Nie, nieczęsto, bo 0 to nic, a zadania powinny mieć jakąś ilość czegoś.) Wtedy rozwiążemy problemy, w których są inne liczby. Przeczytaj zadanie. Co pomoże rozwiązać problem? (Tabela) Jakie kolumny w tabeli należy wpisać? Wypełnij tabelę. Zaplanuj rozwiązanie: czego musisz się nauczyć w 1, w 2 działaniu? |
Praca nad zadaniem przy użyciu arkusza kalkulacyjnego. Planowanie rozwiązywania problemów. Rozwiązanie do samodzielnego nagrywania. Modeluj samokontrolę. |
||||||||||||
| 9. Refleksja. Wyniki lekcji. | ||||||||||||||
| Organizacja samooceny działalności. Zwiększenie motywacji dziecka. |
Nad jakim tematem dzisiaj pracujesz? Czego nie wiedziałeś na początku lekcji? Jaki cel sobie wyznaczyłeś? Czy osiągnąłeś to? Jaką zasadę wymyśliłeś? Oceń swoją pracę, ustawiając odpowiednią plakietkę:
| Świadomość swoich działań, introspekcja pracy. Ustalenie zgodności wyników działań z celem. | ||||||||||||
| 10. Praca domowa. | ||||||||||||||
W rzeczywistości historia dzielenia przez zero prześladowała jego wynalazców (a). Ale Indianie to filozofowie przyzwyczajeni do abstrakcyjnych problemów. Co to znaczy dzielić przez nic? Dla ówczesnych Europejczyków takie pytanie w ogóle nie istniało, ponieważ nie wiedzieli o liczbach zerowych lub ujemnych (które są na lewo od zera na skali).
W Indiach odjęcie większej od mniejszej i uzyskanie liczby ujemnej nie stanowiło problemu. W końcu, co oznacza 3-5 \u003d -2 w zwyczajne życie? Oznacza to, że ktoś jest komuś winien 2. Liczby ujemne zwany długiem.
Teraz po prostu zajmijmy się kwestią dzielenia przez zero. W 598 AD (pomyśl tylko, jak dawno temu, ponad 1400 lat temu!) W Indiach urodził się matematyk Brahmagupta, który również zastanawiał się nad dzieleniem przez zero.
Zasugerował, że jeśli weźmiemy cytrynę i zaczniemy kroić ją na kawałki, prędzej czy później dojdziemy do tego, że plasterki będą bardzo małe. W wyobraźni możemy dojść do punktu, w którym segmenty stają się równe zeru. Tak więc pytanie brzmi, jeśli podzielić cytrynę nie na 2, 4 lub 10 części, ale na nieskończoną liczbę części, jakiej wielkości są plasterki?
Otrzymasz nieskończoną liczbę „zerowych plasterków”. Wszystko jest dość proste, cytrynę kroimy bardzo drobno, otrzymujemy kałużę z nieskończoną ilością części.
Ale jeśli zajmiesz się matematyką, okazuje się to jakoś nielogiczne
a*0=0? Co jeśli b*0=0? A więc: a*0=b*0. A stąd: a=b. Oznacza to, że dowolna liczba jest równa dowolnej liczbie. Pierwsza niepoprawność dzielenia przez zero, przejdźmy dalej. W matematyce dzielenie jest uważane za odwrotność mnożenia.
Oznacza to, że jeśli podzielimy 4 przez 2, musimy znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 2 da 4. Podziel 4 przez zero - musisz znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez zero da 4. To znaczy x * 0 \u003d 4? Ale x*0=0! Znowu pech. Pytamy więc: „Ile zer musisz wziąć, aby uzyskać 4?”
Nieskończoność? Nieskończona liczba zer nadal będzie sumować się do zera.
A dzielenie 0 przez 0 generalnie daje niepewność, ponieważ 0 * x \u003d 0, gdzie x to w ogóle cokolwiek. Oznacza to, że istnieje nieskończona liczba rozwiązań.
Nielogiczne i abstrakcyjne operacje zerowe nie są dozwolone w wąskich granicach algebry, a dokładniej jest to operacja nieokreślona. Ona potrzebuje urządzenia. poważniejszy - wyższa matematyka. Więc w jakiś sposób nie możesz dzielić przez zero, ale jeśli naprawdę chcesz, to możesz dzielić przez zero, ale musisz być gotowy na zrozumienie takich rzeczy jak delta Diraca i inne rzeczy, które są trudne do zrealizowania. Udostępnij dla zdrowia.
Matematycy mają specyficzne poczucie humoru, a niektóre zagadnienia związane z obliczeniami od dawna nie były traktowane poważnie. Nie zawsze jest jasne, czy starają się wam z całą powagą wytłumaczyć, dlaczego nie można dzielić przez zero, czy też jest to kolejny żart. Ale samo pytanie nie jest tak oczywiste, jeśli w matematyce elementarnej można osiągnąć rozwiązanie czysto logicznie, to w matematyce wyższej mogą istnieć inne warunki początkowe.
Kiedy pojawiło się zero?
Liczba zero jest najeżona wieloma tajemnicami:
- V Starożytny Rzym liczba ta nie była znana, układ odniesienia zaczynał się od I.
- O prawo do miana przodków zera przez długi czas Arabowie i Indianie kłócili się.
- Badania kultury Majów wykazały, że to starożytna cywilizacja równie dobrze mógłby być pierwszym, jeśli chodzi o użycie zera.
- Zero nie ma wartości liczbowej, nawet minimalnej.
- To dosłownie nic nie znaczy, brak rzeczy do policzenia.
W systemie pierwotnym taka figura nie była specjalnie potrzebna, brak czegoś można było wytłumaczyć słowami. Ale wraz z rozwojem cywilizacji wzrosły również potrzeby ludzkie w zakresie architektury i inżynierii.
Aby przeprowadzić bardziej złożone obliczenia i wyprowadzić nowe funkcje, trzeba było liczba, która wskazywałaby na całkowity brak czegoś.
Czy można dzielić przez zero?
Na tym koncie istnieją dwie diametralnie przeciwstawne opinie:
W szkole, nawet w klasach podstawowych, uczą, że dzielenie przez zero i tak jest niemożliwe. Wyjaśniono to bardzo prosto:
- Wyobraź sobie, że masz 20 plasterków mandarynki.
- Dzieląc je przez 5, rozdasz 4 plastry pięciu znajomym.
- Dzielenie przez zero nie zadziała, ponieważ proces dzielenia między kimś nie zadziała.
Oczywiście jest to wyjaśnienie figuratywne, w dużej mierze uproszczone i nie do końca zgodne z rzeczywistością. Ale wyjaśnia to w najbardziej przystępny sposób bezsensowność dzielenia czegoś przez zero.
Przecież w rzeczywistości w ten sposób można oznaczyć fakt braku podziału. A po co komplikować obliczenia matematyczne i zapisywać również brak dzielenia?
Czy zero można podzielić przez liczbę?
Z punktu widzenia matematyki stosowanej każdy podział, w którym bierze udział zero, nie ma większego sensu. Ale podręczniki szkolne są ich zdaniem jednoznaczne:
- Zero można podzielić.
- Do podziału należy użyć dowolnej liczby.
- Nie możesz podzielić zera przez zero.
Trzeci punkt może wywołać lekkie zakłopotanie, bo zaledwie kilka akapitów powyżej wskazano, że taki podział jest całkiem możliwy. Tak naprawdę wszystko zależy od dyscypliny, w której prowadzisz obliczenia.
W takim przypadku naprawdę lepiej, aby uczniowie w wieku szkolnym napisali to wyrażenie nie może być określone i dlatego nie ma to sensu. Ale w niektórych gałęziach algebraiki wolno napisać takie wyrażenie z dzieleniem zera przez zero. Zwłaszcza jeśli chodzi o komputery i języki programowania.
Konieczność dzielenia zera przez liczbę może pojawić się podczas rozwiązywania dowolnych równości i poszukiwania wartości początkowych. Ale w takim przypadku odpowiedź zawsze będzie zero. Tutaj, podobnie jak w przypadku mnożenia, bez względu na to, przez jaką liczbę podzielisz zero, nie otrzymasz więcej niż zero. Dlatego, jeśli tę pielęgnowaną liczbę zauważysz w ogromnej formule, spróbuj szybko „oszacować”, czy wszystkie obliczenia zostaną zredukowane do bardzo prostego rozwiązania.
Jeśli nieskończoność jest dzielona przez zero
Nieco wcześniej trzeba było wspomnieć o wartościach nieskończenie dużych i nieskończenie małych, bo to też otwiera pewne luki w dzieleniu, w tym używaniu zera. To prawda i jest mały szkopuł, bo nieskończenie mała wartość i całkowity brak wartości to różne pojęcia.
Ale tę niewielką różnicę w naszych warunkach można pominąć, ostatecznie obliczenia są przeprowadzane przy użyciu abstrakcyjnych wielkości:
- Licznik musi mieć znak nieskończoności.
- Mianowniki to symboliczny obraz wartości zmierzającej do zera.
- Odpowiedzią będzie nieskończoność, reprezentująca nieskończenie dużą funkcję.
Należy zauważyć, że nadal mówimy o symbolicznym wyświetlaniu nieskończenie małej funkcji, a nie o użyciu zera. Z tym znakiem nic się nie zmieniło, nadal nie można go na niego podzielić, tylko jako bardzo, bardzo rzadkie wyjątki.
W większości przypadków zero służy do rozwiązywania problemów, które są w płaszczyzna czysto teoretyczna. Być może po dziesięcioleciach, a nawet stuleciach wszystkie współczesne komputery będą miały: praktyczne użycie, i zapewnią jakiś wspaniały przełom w nauce.
W międzyczasie większość matematycznych geniuszy marzy tylko o światowym uznaniu. Wyjątkiem od tych zasad jest nasz rodak, Perelman. Ale jest znany dzięki rozwiązaniu iście epokowego problemu z dowodami na przypuszczenie Poinquere'a i ekstrawaganckie zachowanie.
Paradoksy i bezsens dzielenia przez zero
Dzielenie przez zero w większości nie ma sensu:
- podział jest reprezentowany jako funkcja odwrotna do mnożenia.
- Możemy pomnożyć dowolną liczbę przez zero i otrzymać zero w odpowiedzi.
- Zgodnie z tą samą logiką, dowolną liczbę można podzielić przez zero.
- W takich warunkach nietrudno byłoby stwierdzić, że dowolna liczba pomnożona lub podzielona przez zero jest równa dowolnej innej liczbie, na której przeprowadzono tę operację.
- Odrzucamy akcję matematyczną i otrzymujemy ciekawy wniosek - dowolna liczba jest równa dowolnej liczbie.
Oprócz tworzenia takich incydentów, dzielenie przez zero nie ma praktycznej wartości, od słowa w ogóle. Nawet jeśli potrafisz wykonać tę czynność, nie otrzymasz żadnych nowych informacji.
Z punktu widzenia matematyka podstawowa, podczas dzielenia przez zero cały obiekt jest dzielony zero razy, czyli ani razu. Po prostu - brak procesu podziału, zatem rezultatem tego wydarzenia nie może być.
Będąc w tym samym społeczeństwie z matematykiem, zawsze możesz zadać kilka banalnych pytań, na przykład, dlaczego nie możesz dzielić przez zero i uzyskać ciekawą i zrozumiałą odpowiedź. Lub drażliwość, ponieważ prawdopodobnie nie jest to pierwszy raz, kiedy ktoś został o to zapytany. A nawet nie dziesięć. Zadbaj więc o swoich przyjaciół matematyków, nie zmuszaj ich do powtarzania jednego wyjaśnienia setki razy.
Wideo: dzielenie przez zero
W tym filmie matematyk Anna Lomakova powie Ci, co się stanie, jeśli podzielisz liczbę przez zero i dlaczego nie można tego zrobić z punktu widzenia matematyki: