Ak pridáme číslo 0 naľavo od radu prirodzených čísel, dostaneme rad kladných celých čísel:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Celé záporné čísla

Zvážte malý príklad. Obrázok vľavo ukazuje teplomer, ktorý ukazuje teplotu 7°C. Ak teplota klesne o 4°, teplomer ukáže 3° teplo. Pokles teploty zodpovedá odčítacej akcii:

Ak teplota klesne o 7°, teplomer ukáže 0°. Pokles teploty zodpovedá odčítacej akcii:

Ak teplota klesne o 8°, potom teplomer ukáže -1° (1° mráz). Ale výsledok odčítania 7 - 8 nemožno zapísať pomocou prirodzených čísel a nuly.

Odčítanie ilustrujeme na sérii celých čísel kladné čísla:

1) Spočítame 4 čísla vľavo od čísla 7 a dostaneme 3:

2) Spočítame 7 čísel vľavo od čísla 7 a dostaneme 0:

Nie je možné spočítať 8 čísel v sérii kladných celých čísel od čísla 7 doľava. Aby bola akcia 7 – 8 uskutočniteľná, rozširujeme sériu kladných celých čísel. Aby sme to dosiahli, naľavo od nuly napíšeme (sprava doľava) v poradí všetkých prirodzených čísel, pričom ku každému z nich pridáme znamienko -, ktoré ukazuje, že toto číslo je naľavo od nuly.

Záznamy -1, -2, -3, ... čítajú mínus 1 , mínus 2 , mínus 3 atď.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Výsledný rad čísel sa nazýva vedľa celých čísel. Bodky vľavo a vpravo v tomto zázname znamenajú, že séria môže pokračovať donekonečna doprava a doľava.

Napravo od čísla 0 v tomto riadku sú volané čísla prirodzené alebo celé pozitívne(krátko - pozitívne).

Naľavo od čísla 0 v tomto riadku sú volané čísla celý negatívny(krátko - negatívne).

Číslo 0 je celé číslo, ale nie je ani kladné, ani záporné. Oddeľuje kladné a záporné čísla.

teda rad celých čísel pozostáva z celých čísel záporné čísla, nula a kladné celé čísla.

Porovnanie celých čísel

Porovnajte dve celé čísla- znamená zistiť, ktorá z nich je väčšia, ktorá je menšia, alebo určiť, že čísla sa rovnajú.

Celé čísla môžete porovnávať pomocou radu celých čísel, pretože čísla v ňom sú usporiadané od najmenšieho po najväčšie, ak sa pohybujete po riadku zľava doprava. Preto v sérii celých čísel môžete nahradiť čiarky znamienkom menej ako:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

teda Z dvoch celých čísel je to vpravo väčšie a to vľavo menšie., znamená:

1) Akékoľvek kladné číslo Nad nulou a väčšie ako akékoľvek záporné číslo:

1 > 0; 15 > -16

2) Akékoľvek záporné číslo menej ako nula:

7 < 0; -357 < 0

3) Z dvoch záporných čísel je to, ktoré je v rade celých čísel napravo, väčšie.

Téma

Typ lekcie

• štúdium a primárna asimilácia nového materiálu

Ciele lekcie

Plán lekcie

1. Úvod.
2. Teoretická časť
3. Praktická časť.
4. Domáca úloha.
5. Otázky

Úvod

poďme sa pozrieť video ako triediť záporné čísla

Teraz usporiadajte záporné čísla a dešifrujte tému lekcie:

Odpoveď: slovo "porovnanie".

Teoretická časť

Porovnanie čísel. pravidlá

Pri porovnávaní dvoch čísel sa treba najskôr pozrieť na znaky porovnávaných čísel. Číslo s mínusom (záporom) je vždy menšie ako kladné.

Ak majú obe porovnávané čísla znamienka mínus (záporné), musíme ich moduly porovnať, to znamená porovnať ich bez toho, aby sme brali do úvahy znamienka mínus. Číslo, ktorého modul sa ukáže byť väčší, je v skutočnosti menšie.

Napríklad -3 a -5. Porovnávané čísla sú záporné. Porovnajme teda ich moduly 3 a 5. 5 je väčšie ako 3, teda -5 je menšie ako -3.

Ak je jedno z porovnávaných čísel nula, záporné číslo bude menšie ako nula. (-3 < 0) A pozitív je viac. (3 > 0)

Čísla môžete porovnávať aj pomocou vodorovnej súradnicovej čiary. Číslo vľavo je menšie ako číslo vpravo. Platí aj opačné pravidlo. Bod s väčšou súradnicou na súradnicovej čiare je vpravo ako bod s menšou súradnicou.

Napríklad na obrázku Bod E je napravo od bodu A a jeho súradnica je väčšia. (5 > 1)

Porovnanie celých čísel

Porovnanie absolútnych hodnôt (modulov) čísel

Modulové nerovnosti

Praktická časť

Porovnávanie čísel na číselnej osi

Úlohy

1. Vysvetlite prečo:
-5 menej ako -1,
-2 nad -16,
-25 je menej ako 3,
0 ďalších - 9.

2. Porovnajte:
čísla sú zobrazené na súradnicovom riadku: 0; a; v; s Porovnaj:

1) a > 0; 2) v< 0; 3) 0 >s
čísla sú zobrazené na súradnicovom riadku: 0; a; v; s Porovnajte ich:

1) a > b; 2) s< а; 3) в < с.

3. Ktorá z nerovností je pravdivá?
Čísla a a b sú záporné; | a | > | v |.
a) a > b; b) a< в.

4. Porovnajte moduly čísel a a b.
Čísla a a b sú záporné; a< в.

5. Ktorá z nerovností je pravdivá?
a je kladné číslo
c je záporné číslo.
a) a > b; b) a< в?

6. Porovnajte:

Domáca úloha

1. Porovnajte čísla

2. Vypočítajte

3. Usporiadajte čísla vo vzostupnom poradí

Otázky

Čo ukazuje súradnica bodu na priamke?
Aký je modul čísla z geometrického hľadiska?
Čo rovná sa modul kladné číslo?
Aký je modul záporného čísla?
Aký je nulový modul?
Môže byť absolútna hodnota akéhokoľvek čísla záporná?
Pomenujte číslo opačné číslo 5?
Aké číslo je jeho opakom?

Záver

Akékoľvek záporné číslo je menšie ako akékoľvek kladné číslo.

Z dvoch záporných čísel je to, ktorého modul je väčší, menšie.

Nula je väčšia ako akékoľvek záporné číslo, ale menšia ako akékoľvek kladné číslo.

Na vodorovnej súradnici leží bod s väčšou súradnicou napravo od bodu s menšou súradnicou.

Zoznam použitých zdrojov

1. Matematická encyklopédia (v 5 zväzkoch). - M.: Sovietska encyklopédia, 2002. - T. 1.
2. "Najnovší sprievodca pre školákov" "DOM XXI storočia" 2008
3. Zhrnutie hodiny na tému "Porovnávanie čísel" Autor: Petrova V.P., učiteľka matematiky (5.-9. ročník), Kyjev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Matematika pre 6. ročník, Učebnica pre strednú školu

Práca na lekcii
Pautinka A.V.
Petrova V.P.

Zostavil a spracoval A.V.Pautinka

Položte otázku o moderné vzdelávanie, vyjadriť nápad alebo vyriešiť naliehavý problém, môžete Vzdelávacie fórum kde sa na medzinárodnej úrovni stretáva vzdelávacia rada nových myšlienok a činov. Po vytvorení

Prvá úroveň

Porovnanie čísel. Komplexný sprievodca (2019)

Pri riešení rovníc a nerovníc, ako aj problémov s modulmi, je potrebné nájsť nájdené korene na skutočnej čiare. Ako viete, nájdené korene môžu byť rôzne. Môžu byť takéto:, alebo môžu byť takéto:,.

Ak teda čísla nie sú racionálne, ale iracionálne (ak ste zabudli, čo to je, pozrite sa do témy), alebo sú to zložité matematické výrazy, potom je ich umiestnenie na číselnú os veľmi problematické. Navyše pri skúške nemožno použiť kalkulačky a približný výpočet neposkytuje 100% záruku, že jedno číslo je menšie ako druhé (čo ak je medzi porovnávanými číslami rozdiel?).

Samozrejme viete, že kladné čísla sú vždy väčšie ako záporné a že ak predstavujeme číselnú os, potom pri porovnávaní napr. najväčšie čísla bude umiestnený vpravo ako najmenší: ; ; atď.

Ale je to vždy také ľahké? Kde na číselnej osi označíme .

Ako ich porovnať napríklad s číslom? V tom je problém...)

Najprv si pohovorme o vo všeobecnosti ako a čo porovnávať.

Dôležité: je žiaduce vykonávať transformácie takým spôsobom, aby sa znamienko nerovnosti nezmenilo! To znamená, že v priebehu transformácií je nežiaduce násobiť záporným číslom a je zakázanéštvorec, ak je jedna z častí záporná.

Porovnanie zlomkov

Musíme teda porovnať dva zlomky: a.

Existuje niekoľko možností, ako to urobiť.

Možnosť 1. Priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi.

Píšeme do formulára spoločný zlomok:

- (ako vidíte, znížil som aj o čitateľa a menovateľa).

Teraz musíme porovnať zlomky:

Teraz môžeme pokračovať v porovnávaní aj dvoma spôsobmi. Môžeme:

1. len zredukujte všetko na spoločného menovateľa, pričom oba zlomky predstavte ako nesprávne (čitateľ je väčší ako menovateľ):

   Ktoré číslo je väčšie? Správne, ten, ktorého čitateľ je väčší, teda ten prvý.

2. „zahodiť“ (predpokladajme, že sme odpočítali jeden od každého zlomku a pomer zlomkov k sebe sa nezmenil) a zlomky porovnáme:

   Prinášame ich aj spoločnému menovateľovi:

   Dostali sme presne rovnaký výsledok ako v predchádzajúcom prípade – prvé číslo je väčšie ako druhé:

   Skontrolujme aj to, či sme správne odčítali jeden? Vypočítajme rozdiel v čitateli v prvom a druhom výpočte:
   1)
   2)

Pozreli sme sa teda na to, ako porovnať zlomky a priviesť ich k spoločnému menovateľovi. Prejdime k inej metóde – porovnávaniu zlomkov ich privedením do spoločného ... čitateľa.

Možnosť 2. Porovnanie zlomkov redukciou na spoločného čitateľa.

Áno áno. Toto nie je preklep. V škole sa táto metóda učia len zriedka, ale veľmi často je to veľmi pohodlné. Aby ste rýchlo pochopili jeho podstatu, položím vám iba jednu otázku - "v ktorých prípadoch je hodnota zlomku najväčšia?" Samozrejme, poviete "keď je čitateľ čo najväčší a menovateľ čo najmenší."

Určite si napríklad poviete, že Pravda? A ak potrebujeme porovnať takéto zlomky: Myslím, že aj vy okamžite správne umiestnite znamenie, pretože v prvom prípade sú rozdelené na časti a v druhom na celé, čo znamená, že v druhom prípade sú kúsky veľmi malé, a teda:. Ako vidíte, menovatelia sú tu rôzni, no čitatelia sú rovnakí. Na porovnanie týchto dvoch zlomkov však nemusíte hľadať spoločného menovateľa. Hoci ... nájdite ho a zistite, či je porovnávacie znamienko stále nesprávne?

Ale znamenie je rovnaké.

Vráťme sa k našej pôvodnej úlohe – porovnávať a. Porovnáme a Tieto zlomky neprivádzame do spoločného menovateľa, ale do spoločného čitateľa. Pre toto je to jednoduché čitateľ a menovateľ vynásobte prvý zlomok. Dostaneme:

a Ktorý zlomok je väčší? Presne tak, ten prvý.

Možnosť 3. Porovnávanie zlomkov pomocou odčítania.

Ako porovnávať zlomky pomocou odčítania? Áno, veľmi jednoduché. Od jedného zlomku odčítame ďalší. Ak je výsledok kladný, potom je prvý zlomok (redukovaný) väčší ako druhý (odčítaný) a ak je záporný, potom naopak.

V našom prípade skúsme odpočítať prvý zlomok od druhého: .

Ako ste už pochopili, preložíme aj do obyčajného zlomku a získame rovnaký výsledok -. Náš výraz sa stáva:

Ďalej sa ešte musíme uchýliť k redukcii na spoločného menovateľa. Otázkou je, ako: prvým spôsobom prevod zlomkov na nesprávne, alebo druhým, akoby „odstránením“ jednotky? Mimochodom, táto akcia má úplne matematické opodstatnenie. Pozri:

Viac sa mi páči druhá možnosť, keďže násobenie v čitateli pri redukovaní na spoločného menovateľa je mnohokrát jednoduchšie.

Prinášame spoločného menovateľa:

Hlavná vec je nenechať sa zmiasť, z akého čísla a odkiaľ sme odpočítali. Pozorne si prezrite priebeh riešenia a nenechajte si náhodou pomýliť znamienka. Odpočítali sme prvé od druhého čísla a dostali sme zápornú odpoveď, takže? .. Je to tak, prvé číslo je väčšie ako druhé.

Mám to? Skúste porovnať zlomky:

Stop, stop. Neponáhľajte sa priviesť k spoločnému menovateľovi alebo odpočítať. Pozrite sa: dá sa ľahko previesť na desatinný zlomok. Koľko to bude? správne. Čo nakoniec bude viac?

Toto je ďalšia možnosť - porovnávanie zlomkov redukciou na desatinný zlomok.

Možnosť 4. Porovnávanie zlomkov pomocou delenia.

Áno áno. A tak je to tiež možné. Logika je jednoduchá: keď delíme väčšie číslo menším, dostaneme v odpovedi číslo väčšie ako jedna a ak menšie číslo vydelíme väčším, tak odpoveď pripadá na interval od do.

Aby ste si toto pravidlo zapamätali, vezmite na porovnanie ľubovoľné dve základné čísla napríklad i. vies co je viac? Teraz poďme rozdeliť. Naša odpoveď je. Podľa toho je teória správna. Ak vydelíme, to, čo dostaneme, je menej ako jedna, čo zase potvrdzuje, čo je v skutočnosti menej.

Skúsme toto pravidlo aplikovať na obyčajné zlomky. Porovnaj:

Vydeľte prvý zlomok druhým:

Skracujme postupne.

Výsledok je menší, takže dividenda je menšia ako deliteľ, to znamená:

Všetko sme rozobrali možné možnosti porovnanie zlomkov. Ako vidíte, je ich 5:

• redukcia na spoločného menovateľa;
• redukcia na spoločného čitateľa;
• zmenšenie na tvar desatinného zlomku;
• odčítanie;
• divízie.

Pripravený na cvičenie? Porovnajte zlomky najlepším spôsobom:

Porovnajme odpovede:

1. (- previesť na desatinné číslo)
2. (rozdeľte jeden zlomok druhým a znížte o čitateľa a menovateľa)
3. (vyberte celú časť a porovnajte zlomky podľa princípu rovnakého čitateľa)
4. (rozdeľte jeden zlomok druhým a znížte o čitateľa a menovateľa).

2. Porovnanie stupňov

Teraz si predstavte, že musíme porovnávať nielen čísla, ale aj výrazy, kde je stupeň ().

Samozrejme, môžete ľahko umiestniť znamenie:

Ak totiž nahradíme stupeň násobením, dostaneme:

Z tohto malého a primitívneho príkladu vyplýva pravidlo:

Teraz skúste porovnať nasledovné: . Môžete tiež ľahko umiestniť znak:

Pretože ak nahradíme umocňovanie násobením...

Vo všeobecnosti rozumiete všetkému a nie je to vôbec ťažké.

Ťažkosti vznikajú len vtedy, keď majú stupne pri porovnaní rôzne základy a ukazovatele. V tomto prípade je potrebné pokúsiť sa priviesť k spoločnému základu. Napríklad:

Samozrejme viete, že tento výraz má formu:

Otvorme zátvorky a porovnajme, čo sa stane:

Niektorí špeciálny prípad keď je základ stupňa () menší ako jedna.

Ak teda o dva stupne alebo viac, ten, ktorého indikátor je menší.

Skúsme toto pravidlo dokázať. Nechať byť.

Dovoľte nám niektoré predstaviť prirodzené číslo ako rozdiel medzi a.

Logické, nie?

Teraz venujme pozornosť podmienke - .

Respektíve: . Preto, .

Napríklad:

Ako ste pochopili, zvažovali sme prípad, keď sú základy síl rovnaké. Teraz sa pozrime, kedy je základňa v rozsahu od do, ale exponenty sú rovnaké. Všetko je tu veľmi jednoduché.

Pripomeňme si, ako to porovnať s príkladom:

Samozrejme, rýchlo ste vypočítali:

Preto, keď sa stretnete s podobnými problémami na porovnanie, majte na pamäti nejaký jednoduchý podobný príklad, ktorý viete rýchlo vypočítať a na základe tohto príkladu položte znamienka do zložitejšieho.

Pri vykonávaní transformácií si pamätajte, že ak násobíte, sčítate, odčítate alebo delíte, všetky akcie sa musia vykonať vľavo aj na pravá strana(ak násobíte, potom musíte vynásobiť obe).

Okrem toho sú chvíle, keď je vykonávanie akýchkoľvek manipulácií jednoducho nerentabilné. Napríklad je potrebné porovnávať. AT tento prípad, nie je také ťažké zvýšiť silu a usporiadať znamenie na základe tohto:

Poďme cvičiť. Porovnajte stupne:

Ste pripravení porovnať odpovede? Tu je to, čo som dostal:

1. - rovnake ako
2. - rovnake ako
3. - rovnake ako
4. - rovnake ako

3. Porovnanie čísel s odmocninou

Začnime tým, čo sú korene? Pamätáte si tento záznam?

Koreň reálneho čísla je číslo, pre ktoré platí rovnosť.

Korene pre záporné a kladné čísla existuje nepárny stupeň a dokonca aj korene- Len pozitívne.

Hodnota odmocniny je často nekonečná desatinná čiarka, čo sťažuje jej presný výpočet, preto je dôležité vedieť porovnať odmocniny.

Ak ste zabudli, čo to je a s čím sa to je -. Ak si všetko pamätáte, naučme sa porovnávať korene krok za krokom.

Povedzme, že musíme porovnať:

Na porovnanie týchto dvoch koreňov nemusíte robiť žiadne výpočty, stačí analyzovať samotný pojem „koreň“. Chápem, o čom hovorím? Áno, o tomto: inak sa to dá zapísať ako tretia mocnina nejakého čísla, ktorá sa rovná koreňovému výrazu.

Co viac? alebo? To, samozrejme, môžete bez problémov porovnávať. Čím väčšie číslo zvýšime na mocninu, tým väčšia bude hodnota.

Takže Zoberme si pravidlo.

Ak sú exponenty koreňov rovnaké (v našom prípade je to tak), potom je potrebné porovnať koreňové výrazy (a) - čím väčšie je číslo koreňa, tým väčšia je hodnota koreňa pri rovnakých ukazovateľoch.

Ťažko zapamätateľné? Potom už len majte na pamäti príklad a. To viac?

Exponenty koreňov sú rovnaké, pretože koreň je štvorcový. Koreňový výraz jedného čísla () je väčší ako druhý (), čo znamená, že pravidlo je skutočne pravdivé.

Ale čo ak sú radikálne výrazy rovnaké, ale stupne koreňov sú odlišné? Napríklad: .

Je tiež celkom jasné, že pri extrakcii koreňa väčšieho stupňa sa získa menšie číslo. Vezmime si napríklad:

Označte hodnotu prvého koreňa ako a druhého - ako, potom:

Ľahko zistíte, že v týchto rovniciach by malo byť viac, preto:

Ak sú koreňové výrazy rovnaké(v našom prípade), a exponenty koreňov sú rôzne(v našom prípade je to a), potom je potrebné porovnať exponenty(a) - čím väčší exponent, tým menší daný výraz.

Skúste porovnať nasledujúce korene:

Porovnáme výsledky?

S týmto sme sa úspešne vysporiadali :). Vynára sa ďalšia otázka: čo ak sme každý iný? A stupeň a radikálne vyjadrenie? Nie všetko je také ťažké, len sa potrebujeme ... "zbaviť" koreňa. Áno áno. Zbaviť sa toho.)

Ak máme rôzne stupne a radikálne výrazy, musíme nájsť najmenší spoločný násobok (prečítaj si časť o) koreňových exponentov a umocniť oba výrazy na mocninu rovnajúcu sa najmenšiemu spoločnému násobku.

Že sme všetci v slovách a v slovách. Tu je príklad:

1. Pozeráme sa na ukazovatele koreňov - a. Ich najmenší spoločný násobok je .
2. Uveďme oba výrazy na mocninu:
3. Transformujme výraz a rozviňme zátvorky (podrobnejšie v kapitole):
4. Uvažujme, čo sme urobili, a dajme znamenie:

4. Porovnanie logaritmov

Pomaly, ale isto sme sa teda dostali k otázke, ako porovnávať logaritmy. Ak si nepamätáte, o aký druh zvieraťa ide, odporúčam vám, aby ste si najskôr prečítali teóriu z tejto časti. Čítať? Potom odpovedzte na niekoľko dôležitých otázok:

1. Aký je argument logaritmu a aký je jeho základ?
2. Čo určuje, či funkcia rastie alebo klesá?

Ak si všetko pamätáte a dobre ste sa to naučili - začnime!

Aby ste mohli navzájom porovnávať logaritmy, potrebujete poznať iba 3 triky:

• redukcia na rovnaký základ;
• vrhanie na rovnaký argument;
• porovnanie s tretím číslom.

Najprv venujte pozornosť základu logaritmu. Pamätáte si, že ak je menej, funkcia sa znižuje a ak je väčšia, zvyšuje sa. Na tom sa budú zakladať naše úsudky.

Zvážte porovnanie logaritmov, ktoré už boli zredukované na rovnaký základ alebo argument.

Na začiatok si problém zjednodušíme: vpustite porovnávané logaritmy rovnaké dôvody . potom:

1. Funkcia, keď sa zvyšuje v intervale od, znamená podľa definície potom („priame porovnanie“).
2. Príklad:- základy sú rovnaké, respektíve porovnávame argumenty: , teda:
3. Funkcia at klesá v intervale od, čo podľa definície znamená potom („spätné porovnanie“). - základy sú rovnaké, porovnáme argumenty: , avšak znamienko logaritmov bude „obrátené“, pretože funkcia klesá: .

Teraz zvážte prípady, keď sú základy odlišné, ale argumenty sú rovnaké.

1. Základňa je väčšia.
   • . V tomto prípade používame „obrátené porovnanie“. Napríklad: - argumenty sú rovnaké a. Porovnávame základy: znamienko logaritmov však bude „obrátené“:
2. Základ a je medzi tým.
   • . V tomto prípade používame „priame porovnanie“. Napríklad:
   • . V tomto prípade používame „obrátené porovnanie“. Napríklad:

Zapíšme si všetko vo všeobecnej tabuľkovej forme:

, kde	, kde

V súlade s tým, ako ste už pochopili, pri porovnávaní logaritmov musíme priviesť k rovnakému základu alebo argumentu, Dostaneme sa k rovnakému základu pomocou vzorca na prechod z jedného základu na druhý.

Logaritmy môžete porovnať aj s tretím číslom a na základe toho odvodiť, čo je menej a čo viac. Zamyslite sa napríklad nad tým, ako porovnať tieto dva logaritmy?

Malá nápoveda - pre porovnanie vám veľmi pomôže logaritmus, ktorého argument bude rovnaký.

myšlienka? Rozhodnime sa spolu.

Tieto dva logaritmy môžeme ľahko porovnať s vami:

neviete ako? Viď vyššie. Len sme to rozobrali. Aké znamenie tam bude? správne:

Súhlasím?

Porovnajme medzi sebou:

Mali by ste získať nasledovné:

Teraz spojte všetky naše závery do jedného. Stalo?

5. Porovnanie goniometrických výrazov.

Čo je sínus, kosínus, tangens, kotangens? Na čo slúži jednotkový kruh a ako na ňom nájsť hodnotu goniometrické funkcie? Ak nepoznáte odpovede na tieto otázky, vrelo odporúčam prečítať si teóriu na túto tému. A ak viete, potom porovnávanie goniometrických výrazov medzi sebou nie je pre vás ťažké!

Poďme si trochu osviežiť pamäť. Narysujme jednotkový trigonometrický kruh a do neho vpísaný trojuholník. Podarilo sa ti? Teraz pomocou strán trojuholníka označte, na ktorej strane máme kosínus a na ktorej sínus. (Samozrejme, pamätáte si, že sínus je pomer opačnej strany k prepone a kosínus susednej?). kreslili ste? Dobre! Dokončovací dotyk- dať dole, kde budeme mať, kde a podobne. Položiť? Fuj) Porovnaj, čo sa stalo mne a tebe.

Fíha! Teraz začnime porovnávať!

Predpokladajme, že musíme porovnať a . Nakreslite tieto uhly pomocou rád v rámčekoch (kde sme označili kde) a rozložte body na jednotkový kruh. Podarilo sa ti? Tu je to, čo som dostal.

Teraz spustíme kolmicu z bodov, ktoré sme označili na kruhu, na os ... Ktorú? Ktorá os ukazuje hodnotu sínusov? Správne, . Tu je to, čo by ste mali dostať:

Pri pohľade na toto číslo, ktoré je väčšie: alebo? Samozrejme, lebo pointa je nad pointou.

Podobne porovnávame hodnotu kosínusov. Spúšťame len kolmicu na os ... Vpravo, . Podľa toho sa pozrieme na to, ktorý bod je vpravo (dobre, alebo vyššie, ako v prípade sínusov), potom je hodnota väčšia.

Porovnávať tangenty už asi viete, však? Všetko, čo potrebujete vedieť, je to, čo je dotyčnica. Čo je teda dotyčnica?) Správne, pomer sínusu ku kosínusu.

Na porovnanie dotyčníc nakreslíme aj uhol, ako v predchádzajúcom prípade. Povedzme, že musíme porovnať:

kreslili ste? Teraz tiež označíme hodnoty sínusu na súradnicovej osi. Poznamenané? A teraz uveďte hodnoty kosínusu na súradnicovej čiare. Stalo? Porovnajme:

Teraz analyzujte, čo ste napísali. - veľký segment rozdelíme na malý. Odpoveďou bude hodnota, ktorá je presne väčšia ako jedna. Správny?

A keď si rozdelíme malú na veľkú. Odpoveďou bude číslo, ktoré je presne menšie ako jedna.

Hodnota ktorého goniometrického výrazu je teda väčšia?

správne:

Ako teraz chápete, porovnanie kotangens je rovnaké, iba naopak: pozeráme sa na to, ako spolu súvisia segmenty, ktoré definujú kosínus a sínus.

Skúste sami porovnať nasledujúce trigonometrické výrazy:

Príklady.

Odpovede.

POROVNANIE ČÍSEL. STREDNÁ ÚROVEŇ.

Ktoré z čísel je väčšie: alebo? Odpoveď je zrejmá. A teraz: alebo? Už to nie je také zrejmé, však? A tak: alebo?

Často potrebujete vedieť, ktorý z číselných výrazov je väčší. Napríklad pri riešení nerovnosti umiestnite body na os v správnom poradí.

Teraz vás naučím porovnávať takéto čísla.

Ak potrebujete porovnať čísla a vložte medzi ne znamienko (odvodené z latinského slova Versus alebo skrátené vs. - proti):. Toto znamienko nahrádza neznáme znamienko nerovnosti (). Ďalej budeme vykonávať identické transformácie, kým nebude jasné, ktoré znamienko by sa malo vložiť medzi čísla.

Podstata porovnávania čísel je nasledovná: so znamienkom zaobchádzame, ako keby to bol nejaký druh znamienka nerovnosti. A s výrazom môžeme robiť všetko, čo zvyčajne robíme s nerovnosťami:

• pripočítajte k obom častiam ľubovoľné číslo (a samozrejme môžeme aj odčítať)
• „posuňte všetko jedným smerom“, teda odčítajte jeden z porovnávaných výrazov z oboch častí. Na mieste odčítaného výrazu zostane: .
• vynásobte alebo vydeľte rovnakým číslom. Ak je toto číslo záporné, znamienko nerovnosti sa obráti: .
• Zvýšte obe strany na rovnakú silu. Ak je táto mocnina párna, musíte sa uistiť, že obe časti majú rovnaké znamienko; ak sú obe časti kladné, znamienko sa pri umocnení nemení, a ak sú záporné, mení sa na opačný.
• vezmite koreň rovnakého stupňa z oboch častí. Ak extrahujeme koreň párneho stupňa, musíte sa najskôr uistiť, že oba výrazy sú nezáporné.
• akékoľvek iné ekvivalentné transformácie.

Dôležité: je žiaduce vykonávať transformácie takým spôsobom, aby sa znamienko nerovnosti nezmenilo! To znamená, že v priebehu transformácií je nežiaduce násobiť záporným číslom a nie je možné vykonať druhú mocninu, ak je jedna z častí záporná.

Pozrime sa na niekoľko typických situácií.

1. Umocňovanie.

Príklad.

Čo je viac: alebo?

rozhodnutie.

Keďže obe strany nerovnosti sú kladné, môžeme použiť druhú mocninu, aby sme sa zbavili koreňa:

Príklad.

Čo je viac: alebo?

rozhodnutie.

Aj tu môžeme štvorec, ale to nám len pomôže zbaviť sa odmocnina. Tu je potrebné zvýšiť do takej miery, že oba korene zmiznú. To znamená, že exponent tohto stupňa musí byť deliteľný ako (stupeň prvého odmocnina), tak aj deliteľný. Toto číslo je, takže ho zvýšime na tú mocninu:

2. Násobenie konjugátom.

Príklad.

Čo je viac: alebo?

rozhodnutie.

Vynásobte a vydeľte každý rozdiel konjugovaným súčtom:

Je zrejmé, že menovateľ na pravej strane je väčší ako menovateľ na ľavej strane. Preto je pravý zlomok menší ako ľavý:

3. Odčítanie

Pripomeňme si to.

Príklad.

Čo je viac: alebo?

rozhodnutie.

Samozrejme, mohli by sme všetko urovnať, preskupiť a znova vyrovnať. Môžete však urobiť niečo inteligentnejšie:

Je vidieť, že každý výraz na ľavej strane je menší ako každý výraz na pravej strane.

Súčet všetkých výrazov na ľavej strane je teda menší ako súčet všetkých výrazov na pravej strane.

Ale buď opatrný! Pýtali sme sa viac...

Pravá strana je väčšia.

Príklad.

Porovnajte čísla a.

rozhodnutie.

Pamätajte na trigonometrické vzorce:

Skontrolujeme, v ktorých štvrtinách sú body a ležia na trigonometrickej kružnici.

4. Rozdelenie.

Aj tu používame jednoduché pravidlo: .

Teda s alebo.

Keď sa zmení znamenie: .

Príklad.

Urobte porovnanie: .

rozhodnutie.

5. Porovnajte čísla s tretím číslom

Ak a, potom (zákon prechodnosti).

Príklad.

Porovnaj.

rozhodnutie.

Porovnávajme čísla nie medzi sebou, ale s číslom.

To je zrejmé.

Na druhej strane, .

Príklad.

Čo je viac: alebo?

rozhodnutie.

Obe čísla sú väčšie, ale menšie. Vyberte číslo také, aby bolo väčšie ako jedno, ale menšie ako druhé. Napríklad, . Skontrolujme to:

6. Čo robiť s logaritmami?

Nič zvláštne. Ako sa zbaviť logaritmov je podrobne popísané v téme. Základné pravidlá sú:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Šípka doľavadoprava (\rm( ))\doľava[ (\begin(pole)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \klin y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Môžeme tiež pridať pravidlo o logaritmoch s rôznymi základňami a rovnakým argumentom:

Dá sa to vysvetliť takto: čím väčšia je základňa, tým menej bude musieť byť zdvihnutá, aby sa získala rovnaká. Ak je základňa menšia, potom je to naopak, pretože príslušná funkcia je monotónne klesajúca.

Príklad.

Porovnajte čísla: i.

rozhodnutie.

Podľa vyššie uvedených pravidiel:

A teraz pokročilý vzorec.

Pravidlo na porovnávanie logaritmov možno napísať aj kratšie:

Príklad.

Čo je viac: alebo?

rozhodnutie.

Príklad.

Porovnaj, ktoré z čísel je väčšie: .

rozhodnutie.

POROVNANIE ČÍSEL. STRUČNE O HLAVNOM

1. Umocňovanie

Ak sú obe strany nerovnosti kladné, možno ich odmocniť, aby sme sa zbavili koreňa

2. Násobenie konjugátom

Konjugát je multiplikátor, ktorý dopĺňa výraz do vzorca pre rozdiel druhých mocnín: - konjugát pre a naopak, pretože .

3. Odčítanie

4. Rozdelenie

At alebo to je

Keď sa zmení znamenie:

5. Porovnanie s tretím číslom

Ak a potom

6. Porovnanie logaritmov

Základné pravidlá.

V nižšie uvedenom článku vyslovíme princíp porovnávania záporných čísel: sformulujeme pravidlo a použijeme ho pri riešení praktických problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pravidlo na porovnávanie záporných čísel

Základom pravidla je porovnanie pôvodných dátových modulov. V skutočnosti porovnať dve záporné čísla znamená porovnať kladné čísla rovnajúce sa modulu záporných čísel, ktoré sa porovnávajú.

Definícia 1

Pri porovnaní dvoch záporných čísel je menšie číslo to, ktorého modul je väčší; Väčšie číslo je to, ktorého modul je menší. Dané záporné čísla sú rovnaké, ak sú ich absolútne hodnoty rovnaké.

Formulované pravidlo je aplikovateľné ako na záporné celé čísla, tak aj na racionálne a reálne.

Geometrický výklad potvrdzuje princíp vyjadrený v uvedenom pravidle: na súradnicovej čiare je záporné číslo, ktoré je menšie, vľavo ako väčšie záporné číslo. Toto tvrdenie vo všeobecnosti platí pre akékoľvek čísla.

Príklady porovnávania záporných čísel

najviac jednoduchý príklad porovnávanie záporných čísel je porovnávanie celých čísel. Začnime s podobným problémom.

Príklad 1

Je potrebné porovnať záporné čísla - 65 a - 23 .

rozhodnutie

Podľa pravidla, ak chcete vykonať akciu porovnávania záporných čísel, musíte najprv určiť ich moduly. | - 65 | = 65 a | - 23 | = 23. Teraz porovnajme kladné čísla rovné modulom daných: 65 > 23 . Aplikujme opäť pravidlo, že čím väčšie je záporné číslo, ktorého modul je menší. Takže dostaneme: - 65< - 23 .

odpoveď: - 65 < - 23 .

Je trochu ťažšie porovnávať záporné racionálne čísla: akcia nakoniec vedie k porovnaniu obyčajných alebo desatinných zlomkov.

Príklad 2

Je potrebné určiť, ktoré z daných čísel je väčšie: - 4 3 14 alebo - 4 , 7 .

rozhodnutie

Definujme moduly porovnávaných čísel. - 4 3 14 = 4 3 14 a | - 4 , 7 | = 4,7. Teraz porovnáme výsledné moduly. Celočíselné časti zlomkov sú rovnaké, takže začnime porovnávať zlomkové časti: 314 a 0,7. Preložme desatinný zlomok 0, 7 na obyčajný: 7 10 , nájdite spoločných menovateľov porovnávaných zlomkov, dostaneme: 15 70 a 49 70 . Potom bude výsledok porovnania: 15 70 < 49 70 alebo 3 14 < 0 , 7 . Таким образом, 4 3 14 < 4 , 7 . fff Aplikovaním pravidla na porovnávanie záporných čísel máme: - 4 3 14 < - 4 , 7

Porovnanie bolo možné vykonať aj prevodom obyčajného zlomku na desatinné číslo. Rozdiel je len v pohodlí výpočtu.

odpoveď: - 4 3 14 < - 4 , 7

Záporné reálne čísla sa porovnávajú podľa rovnakého pravidla.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

§ 1 Porovnanie kladných čísel

V tejto lekcii si zapamätáme, ako porovnávať kladné čísla a ako porovnávať záporné čísla.

Začnime úlohou. Cez deň bola teplota vzduchu +7 stupňov, večer klesla na +2 stupne, v noci klesla na -2 stupne a ráno klesla na -7 stupňov. Ako sa zmenila teplota vzduchu?

Problém je o znižovaní, t.j. o poklese teploty. To znamená, že v každom prípade je konečná hodnota teploty nižšia ako počiatočná, teda 2< 7; -2 < 2; -7< -2.

Na súradnicovej čiare označme čísla 7, 2, -2, -7. Pripomeňme si, že na súradnicovej čiare je väčšie kladné číslo umiestnené vpravo.

Pozrime sa na záporné čísla, číslo -2 je vpravo ako -7, t.j. pre záporné čísla na súradnicovej čiare sa zachová rovnaké poradie: keď sa bod posunie doprava, jeho súradnica sa zvýši a keď sa bod posunie doľava, jeho súradnica sa zníži.

Môžeme dospieť k záveru: Každé kladné číslo je väčšie ako nula a väčšie ako akékoľvek záporné číslo. 1 > 0; 12 > -2,5. Akékoľvek záporné číslo je menšie ako nula a menšie ako akékoľvek kladné číslo. -59< 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

Pomocou modulu je vhodné porovnávať racionálne čísla (teda všetky celé čísla a zlomkové čísla).

Kladné čísla sú umiestnené na súradnicovej čiare vzostupne od počiatku, čo znamená, že čím je číslo ďalej od počiatku, tým väčšia je dĺžka úseku od nuly po číslo, t.j. jeho modul. Preto z dvoch kladných čísel je väčšie to, ktorého modul je väčší.

§ 2 Porovnanie záporných čísel

Pri porovnávaní dvoch záporných čísel bude väčšie číslo umiestnené vpravo, teda bližšie k začiatku. To znamená, že jeho modul (dĺžka segmentu od nuly po číslo) bude menší. Z dvoch záporných čísel je teda číslo s menším modulom väčšie.

Napríklad. Porovnajme čísla -1 a -5. Bod zodpovedajúci číslu -1 sa nachádza bližšie k začiatku ako bod zodpovedajúci číslu -5. Takže dĺžka segmentu od 0 do -1 alebo modul čísla -1 je menší ako dĺžka segmentu od 0 do -5 alebo modul čísla -5, čo znamená, že číslo -1 je väčšie než číslo -5.

Robíme závery:

Pri porovnávaní racionálne čísla dávaj pozor na:

Znamienka: Záporné číslo je vždy menšie ako kladné číslo a nula;

Na mieste na súradnicovej čiare: čím viac doprava, tým viac;

Na moduloch: pre kladné čísla je modul väčší a číslo je väčšie, pre záporné čísla je modul väčší a číslo je menšie.

Zoznam použitej literatúry:

1. Matematika.6.ročník: plány hodín k učebnici od I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-zostavovateľ L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
2. Matematika. 6. ročník: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013
3. Matematika. 6. ročník: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemosyne, 2013
4. Matematická príručka - http://lyudmilanik.com.ua
5. Príručka pre študentov v stredná škola http://shkolo.ru

Návrat