Definícia: Kvadratická forma, čo zodpovedá symetrickej bilineárnej forme na lineárnom priestore V , sa nazýva funkcia jedného vektorového argumentu .

Nech je daná kvadratická forma a je zodpovedajúca symetrická bilineárna forma. Potom

z čoho vyplýva, že vzhľadom na kvadratickú formu je jednoznačne určená aj zodpovedajúca symetrická bilineárna forma. Takže medzi symetrickými bilineárnymi a kvadratickými formami v lineárnom priestore V je stanovená korešpondencia jedna k jednej, takže kvadratické formy možno študovať pomocou symetrických bilineárnych foriem.

Uvažujme n-rozmerný lineárny priestor. Matica kvadratického tvaru v danej báze lineárneho priestoru je matica jej zodpovedajúcej symetrickej bilineárnej formy na tej istej báze. Matica kvadratického tvaru je vždy symetrická.

Označme maticu kvadratickej formy v nejakej báze priestoru. Ak, ako obvykle, určíme X súradnicový stĺpec vektora v rovnakom základe, potom z rovnosti 5.5 získame maticový tvar zápisu kvadratickej formy:

.

Veta 5.4. Nech sú v lineárnom priestore dané dve základne

(5.10)

, (5.11)

a nech a sú matice kvadratickej formy v bázach (5.10) a (5.11). Potom kde T– matica prechodu z (5.10) do (5.11).

Dôkaz vyplýva z vety 5.2 a definície matice kvadratickej formy.

Vzhľadom k tomu, že prechodová matica T je nedegenerovaná, potom sa pri prechode na nový základ pozícia matice kvadratickej formy nemení. Preto môžeme sformulovať nasledujúcu definíciu.

Definícia. Poradie kvadratickej formy definovanej na lineárnom priestore je hodnosť jej matice v niektorej, a teda v ľubovoľnej báze priestoru (označená ).

Teraz napíšme kvadratickú formu v súradnicovej forme. Aby sme to dosiahli, rozvinieme vektor na bázu (5.10): . Ak je matica kvadratického tvaru na rovnakom základe, potom v súlade s rovnosťou (5.4) máme

– (5.12)

súradnicový zápis kvadratického tvaru. Napíšme (5.12) podrobne pre n= 3, vzhľadom na to

Ak je teda daný základ, potom kvadratická forma v súradnicovom zápise vyzerá ako homogénny polynóm druhého stupňa v n premenné – vektorové súradnice v danej báze. Tento polynóm je tzv vyhliadka kvadratický tvar v danom základe. Ale v aplikáciách takéto polynómy často vznikajú nezávisle, bez viditeľného spojenia s lineárnymi priestormi (napríklad sekundové diferenciály funkcií), preto sformulujeme inú definíciu kvadratickej formy.

Definícia. Kvadratický tvar z n premenných sa v týchto premenných nazýva homogénny polynóm druhého stupňa, teda funkcia tvaru (5.12). Matica kvadratickej formy (5.12) je symetrická matica.

Príklad zostavenie matice kvadratickej formy. Nechaj

Z (5.12) a (5.13) je zrejmé, že koeficient pri sa zhoduje s , t.j. Diagonálnymi prvkami matice kvadratickej formy sú koeficienty štvorcov. Rovnakým spôsobom vidíme, že - polovičný koeficient súčinu. Matica kvadratickej formy (5.14) teda vyzerá takto:

.

Vyberme si teraz opäť dve základne (5.10) a (5.11) v priestore a označme ako obvykle, sú súradnicové stĺpce vektora v bázach (5.10) a (5.11). Pri prechode z bázy (5.10) na bázu (5.11) sa súradnice vektora menia podľa zákona:

kde je prechodová matica z (5.10) do (5.11). Všimnite si, že matica je nedegenerovaná. Napíšme rovnosť (5.15) v súradnicovom tvare:

alebo podrobne:

(5.17)

Pomocou rovnosti (5.17) (alebo (5.16), čo je to isté) prejdeme od premenných k premenným .

Definícia. Lineárna nedegenerovaná transformácia premenných je transformácia premenných definovaných systémom rovnosti (5.16) alebo (5.17), alebo jednoduchou maticovou rovnosťou (5.15), za predpokladu, že ide o nesingulárnu maticu. Matrix T sa nazýva matica tejto transformácie premenných.

Ak v (5.12) namiesto premenných dosadíme ich výrazy cez premenné podľa vzorcov (5.17), otvoríme zátvorky a prinesieme podobné, tak dostaneme ďalší homogénny polynóm druhého stupňa:

.

V tomto prípade sa hovorí, že lineárna nedegenerovaná transformácia premenných (5.17) transformuje kvadratickú formu na kvadratickú formu. Hodnoty premenných a súvisiace vzťahom (5.15) (alebo vzťahmi (5.16) alebo (5.17)) sa budú nazývať relevantné pre danú lineárnu nedegenerovanú transformáciu premenných.

Definícia. Množina premenných sa nazýva netriviálne , ak je hodnota aspoň jednej z premenných v ňom iná ako nula. Inak sa volá množina premenných triviálne .

Lema 5.2. Pri lineárnej nedegenerovanej transformácii premenných triviálnej množine premenných zodpovedá triviálna množina.

Z rovnosti (5.15) samozrejme vyplýva: ak , potom . Na druhej strane s využitím nedegenerácie matrice T, opäť z (5.15) získame , z čoho je zrejmé, že pre , aj .◄

Dôsledok. Pri lineárnej nedegenerovanej transformácii premenných netriviálnej množine premenných zodpovedá netriviálna množina.

Veta 5.5. Ak lineárna nedegenerovaná transformácia (5.15) nadobudne kvadratickú formu s matricou A do kvadratickej formy s matricou A", potom (ďalšia formulácia vety 5.4).

Dôsledok. Pri lineárnej nedegenerovanej transformácii premenných determinant matice kvadratickej formy nemení znamienko.

Komentujte. Na rozdiel od matice prechodu a matice lineárny operátor, matica lineárnej nedegenerovanej transformácie premenných sa zapisuje nie po stĺpcoch, ale po riadkoch.

Nech sú dané dve lineárne nedegenerované transformácie premenných:

Aplikujme ich postupne:

Zloženie lineárnych nedegenerovaných transformácií premenných(5.18) a (5.19) sa nazýva ich sekvenčná aplikácia, teda transformácia premenných Z (5.20) je zrejmé, že zloženie dvoch lineárnych nedegenerovaných transformácií premenných je zároveň lineárnou nedegenerovanou transformáciou premenných.

Definícia. Kvadratické tvary sa volajú ekvivalent , ak existuje lineárna nedegenerovaná transformácia premenných, ktorá jednu z nich prevedie na druhú.

Definícia. Kvadratická forma sa nazýva kladne definitná, ak sú všetky jej hodnoty pre reálne hodnoty premenných, ktoré nie sú súčasne nulové, kladné. Je zrejmé, že kvadratická forma je pozitívne definitívna.

Definícia. Kvadratická forma sa nazýva negatívne definitívna, ak sú všetky jej hodnoty záporné, s výnimkou nenulovej hodnoty pre nenulové hodnoty premenných.

Definícia. Kvadratická forma sa považuje za pozitívnu (zápornú) semidefinitnú, ak nenadobudne negatívne (kladné) hodnoty.

Kvadratické formy, ktoré majú kladné aj záporné hodnoty, sa nazývajú neurčité.

O n=1, kvadratická forma je buď pozitívne definitná (at ), alebo negatívne definitná (at ). Neurčité tvary sa objavia, keď .

Veta(Sylvester test na pozitívnu jednoznačnosť kvadratickej formy). V poradí kvadratický tvar

bola kladne definovaná, je potrebné a postačujúce splniť tieto podmienky:

.

Dôkaz. Používame indukciu počtu premenných zahrnutých v . Pre kvadratickú formu závislú od jednej premennej, a tvrdenie vety je zrejmé. Predpokladajme, že teorém platí pre kvadratickú formu v závislosti od n-1 premenné .

1. Dôkaz o nevyhnutnosti. Nechaj

je pozitívny jednoznačný. Potom kvadratická forma

bude kladne definitivne, kedze ak , tak pri .

Podľa indukčnej hypotézy sú všetky hlavné minority formy pozitívne, t.j.

.

Zostáva to dokázať.

Pozitívna určitá kvadratická forma nedegenerovanou lineárnou transformáciou X=BY zredukované na kánonickú formu

Kvadratická forma zodpovedá diagonálnej matici

s determinantom.

Lineárna transformácia definovaná nesingulárnou maticou IN, transformuje maticu S kvadratický tvar do matice. Ale odvtedy To .

2. Dôkaz o dostatočnosti. Predpokladajme, že všetky vedúce minority kvadratického tvaru sú kladné: .

Dokážme, že kvadratická forma je pozitívne definitívna. Indukčný predpoklad implikuje pozitívnu definitívnosť kvadratickej formy . Preto nedegenerovanou lineárnou transformáciou sa redukuje na normálnu formu. Vykonaním príslušnej zmeny premenných a uvedením dostaneme

Kde - niektoré nové koeficienty.

Vykonaním zmeny premenných dostaneme

.

Determinant matice tejto kvadratickej formy sa rovná , a keďže jej znamienko sa zhoduje so znamienkom , potom , a teda kvadratická forma - kladný jednoznačný. Veta bola dokázaná.

Aby bola kvadratická forma negatívne definitná, je potrebné a postačujúce, že

bola pozitívna definitívna, čo znamená, že všetky hlavné neplnoleté matice

boli pozitívne. To však znamená

tie. že znaky hlavných maloletých matičiarov C striedajte, začínajúc znamienkom mínus.

Príklad. Vypočítajte, či je kvadratický tvar kladný (záporný) určitý alebo neurčitý.

Riešenie. Matica kvadratickej formy má tvar:

.

Vypočítajme hlavné minority matice S:

Kvadratická forma je pozitívne definitívna.

Riešenie. Vypočítajme hlavné minority matice

Kvadratická forma je neurčitá.

Na záver formulujeme nasledujúcu vetu.

Veta(zákon zotrvačnosti kvadratických foriem). Počet kladných a záporných štvorcov v normálnom tvare, na ktoré sa kvadratická forma nedegenerovanými lineárnymi transformáciami redukuje, nezávisí od voľby týchto transformácií.

7.5. Úlohy pre samostatná práca v kapitole 7

7.1. Dokážte, že ak ide o kvadratickú formu s maticou A je kladne určitý, potom kvadratická forma s inverzná matica je pozitívny jednoznačný.

7.2. Nájdite normálny tvar v obore reálnych čísel

7.3. Nájdite normálny tvar v obore reálnych čísel

Kvadratické tvary

Kvadratický tvar f(x 1, x 2,...,x n) z n premenných je súčet, pričom každý člen je buď druhou mocninou jednej z premenných, alebo súčinom dvoch rôznych premenných, braný s určitým koeficientom: f (x 1, x 2, ..., x n) = (a ij = a ji).

Matica A zložená z týchto koeficientov sa nazýva matica kvadratickej formy. To je vždy symetrické matica (t. j. matica symetrická podľa hlavnej uhlopriečky, a ij = a ji).

V maticovom zápise je kvadratická forma f(X) = X T AX, kde

Naozaj

Napríklad napíšme kvadratickú formu v maticovom tvare.

Aby sme to dosiahli, nájdeme maticu kvadratickej formy. Jeho diagonálne prvky sa rovnajú koeficientom druhej mocniny premenných a zvyšné prvky sa rovnajú poloviciam zodpovedajúcich koeficientov kvadratickej formy. Preto

Maticový stĺpec premenných X nech získame nedegenerovanou lineárnou transformáciou maticového stĺpca Y, t.j. X = CY, kde C je nesingulárna matica n-tého rádu. Potom kvadratická forma
f(X) = X TAX = (CY) TA(CY) = (YTCT)A(CY) = YT (CTAC)Y.

Pri nedegenerovanej lineárnej transformácii C má teda matica kvadratickej formy tvar: A * = CT AC.

Nájdime napríklad kvadratickú formu f(y 1, y 2), získanú z kvadratickej formy f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineárnou transformáciou.

Kvadratická forma je tzv kanonický(Má kanonický pohľad), ak všetky jeho koeficienty a ij = 0 pre i ≠ j, t.j.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Jeho matica je diagonálna.

Veta(tu nie je uvedený dôkaz). Akákoľvek kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu pomocou nedegenerovanej lineárnej transformácie.

Napríklad zredukujme kvadratickú formu na kanonickú formu
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Najprv vyberte úplný štvorec s premennou x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 x 2 2 - x 2 x 3.

Teraz vyberieme úplný štvorec s premennou x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 2 – 2* x 2 *(1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Potom nedegenerovaná lineárna transformácia y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 a y 3 = x 3 privedie túto kvadratickú formu do kanonickej formy f(y 1, y 2 , y 3) = 2 y 1 2 - 5 y 2 2 - (1/20) y 3 2 .

Všimnite si, že kanonická forma kvadratickej formy je určená nejednoznačne (rovnaká kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu rôzne cesty). Avšak prijaté rôzne cesty kanonické formy majú množstvo všeobecných vlastností. Najmä počet členov s kladnými (zápornými) koeficientmi kvadratickej formy nezávisí od spôsobu redukcie formy na túto formu (napríklad v uvažovanom príklade budú vždy dva záporné a jeden kladný koeficient). Táto vlastnosť je tzv zákon zotrvačnosti kvadratických foriem.

Overme si to tak, že tú istú kvadratickú formu privedieme do kanonickej formy iným spôsobom. Začnime transformáciu s premennou x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 –
– 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 =
= -3 (x 2 – (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, kde y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 a y3 = x1. Tu je kladný koeficient 2 pri y 3 a dva záporné koeficienty (-3) pri y 1 a y 2 (a pomocou inej metódy sme dostali kladný koeficient 2 pri y 1 a dva záporné koeficienty - (-5) pri y2 a (-1/20) na y3).

Treba si tiež uvedomiť, že hodnosť matice kvadratickej formy, tzv hodnosť kvadratickej formy, sa rovná počtu nenulových koeficientov kanonickej formy a pri lineárnych transformáciách sa nemení.

Kvadratická forma f(X) sa nazýva pozitívne (negatívne) istý, ak pre všetky hodnoty premenných, ktoré nie sú súčasne rovné nule, je kladné, t.j. f(X) > 0 (záporné, t.j.
f(X)< 0).

Napríklad kvadratická forma f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 je pozitívne definitná, pretože je súčet štvorcov a kvadratická forma f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je záporne definitná, pretože predstavuje môže byť reprezentovaný ako f2 (X) = -(x1 - x 2) 2.

Vo väčšine praktických situácií je o niečo ťažšie určiť jednoznačné znamienko kvadratickej formy, preto na to použijeme jednu z nasledujúcich viet (budeme ich formulovať bez dôkazu).

Veta. Kvadratická forma je pozitívna (záporná) určitá vtedy a len vtedy, ak sú všetky vlastné hodnoty jej matice kladné (záporné).

Veta (Sylvesterovo kritérium). Kvadratická forma je pozitívne definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky vedúce minority matice tejto formy kladné.

Hlavná (rohová) vedľajšia Matica k-tého rádu A n-tého rádu sa nazýva determinant matice, zložený z prvých k riadkov a stĺpcov matice A ().

Všimnite si, že v prípade negatívnych určitých kvadratických foriem sa znamienka hlavných maloletých striedajú a vedľajší prvok prvého poriadku musí byť záporný.

Skúmajme napríklad kvadratickú formu f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 na určenie znamienka.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2 l - 3 l + l 2) - 4 = l 2 - 5 l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Preto je kvadratická forma pozitívne definitívna.

Metóda 2. Hlavná moll 1. rádu matice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hlavná moll 2. rádu D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Preto podľa Sylvesterovho kritéria je kvadratická forma kladné definitívne.

Skúmame inú kvadratickú formu určenosti znamienka, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metóda 1. Zostrojme maticu kvadratickej formy A = . Charakteristická rovnica bude mať tvar = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2 l + 3 l + l 2) – 4 = l 2 + 5 l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Preto je kvadratická forma negatívne definitívna.

Pojem kvadratickej formy. Matica kvadratického tvaru. Kanonická forma kvadratickej formy. Lagrangeova metóda. Normálny pohľad kvadratická forma. Hodnosť, index a podpis kvadratickej formy. Pozitívna určitá kvadratická forma. Kvadriky.

Koncept kvadratického tvaru: funkcia na vektorovom priestore definovanom homogénnym polynómom druhého stupňa v súradniciach vektora.

Kvadratický tvar z n neznámy sa nazýva súčet, pričom každý člen je buď druhou mocninou jednej z týchto neznámych, alebo súčinom dvoch rôznych neznámych.

Kvadratická matica: Matica sa v danom základe nazýva matica kvadratického tvaru. Ak sa charakteristika poľa nerovná 2, môžeme predpokladať, že matica kvadratickej formy je symetrická, tzn.

Napíšte maticu kvadratického tvaru:

teda

Vo forme vektorovej matice je kvadratická forma:

A, kde

Kanonická forma kvadratickej formy: Kvadratická forma sa nazýva kanonická, ak všetky t.j.

Akákoľvek kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu pomocou lineárnych transformácií. V praxi sa zvyčajne používajú nasledujúce metódy.

Lagrangeova metóda : sekvenčný výber celých štvorcov. Napríklad ak

Potom sa podobný postup vykoná s kvadratickou formou atď Ak v kvadratickej forme je všetko ale potom po predbežnej transformácii záležitosť príde na zvažovaný postup. Takže, ak napr., potom predpokladáme

Normálna forma kvadratickej formy: Normálna kvadratická forma je kanonická kvadratická forma, v ktorej sú všetky koeficienty rovné +1 alebo -1.

Poradie, index a podpis kvadratickej formy: Hodnosť kvadratického tvaru A sa nazýva hodnosť matice A. Hodnosť kvadratickej formy sa pri nedegenerovaných transformáciách neznámych nemení.

Počet záporných koeficientov sa nazýva index negatívnej formy.

Počet kladných členov v kanonickej forme sa nazýva kladný index zotrvačnosti kvadratickej formy, počet záporných členov sa nazýva negatívny index. Rozdiel medzi kladnými a zápornými indexmi sa nazýva podpis kvadratickej formy

Pozitívna určitá kvadratická forma: Reálny kvadratický tvar sa nazýva pozitívne definitné (negatívne definitné), ak pre akékoľvek reálne hodnoty premenných, ktoré nie sú súčasne nulové,

. (36)

V tomto prípade sa matica nazýva aj pozitívne definitná (negatívne definitná).

Trieda pozitívne určitých (negatívne určitých) foriem je súčasťou triedy nezáporných (resp. nepozitívnych) foriem.

kvadriky: Quadric - n-rozmerná hyperplocha v n+1-rozmerný priestor, definovaný ako množina núl polynómu druhého stupňa. Ak zadáte súradnice ( X 1 , X 2 , x n+1 ) (v euklidovskom alebo afinnom priestore), všeobecná rovnica kvadrika má tvar

Táto rovnica môže byť prepísaná kompaktnejšie v maticovom zápise:

kde x = ( X 1 , X 2 , x n+1 ) — riadkový vektor, X T je transponovaný vektor, Q- matica veľkosti ( n+1)×( n+1) (predpokladá sa, že aspoň jeden z jeho prvkov je nenulový), P je riadkový vektor a R— stály. Najčastejšie sa uvažuje o kvadrikoch nad skutočnými komplexné čísla. Definícia môže byť rozšírená na kvadriky v projektívnom priestore, pozri nižšie.

Vo všeobecnosti je množina núl systému polynomických rovníc známa ako algebraická varieta. Kvadrika je teda (afinná alebo projektívna) algebraická varieta druhého stupňa a kodimenzie 1.

Premeny roviny a priestoru.

Definícia rovinnej transformácie. Detekcia pohybu. vlastnosti pohybu. Dva typy pohybov: pohyb prvého druhu a pohyb druhého druhu. Príklady pohybov. Analytické vyjadrenie pohybu. Klasifikácia pohybov roviny (v závislosti od prítomnosti pevných bodov a invariantných čiar). Skupina pohybov roviny.

Definícia rovinnej transformácie: Definícia. Nazýva sa rovinná transformácia, ktorá zachováva vzdialenosť medzi bodmi pohyb(alebo pohyb) lietadla. Rovinná transformácia sa nazýva afinný, ak premení ľubovoľné tri body ležiace na tej istej priamke na tri body tiež ležiace na tej istej priamke a pri zachovaní jednoduchého vzťahu troch bodov.

Definícia pohybu: Ide o tvarové transformácie, ktoré zachovávajú vzdialenosti medzi bodmi. Ak sú dve postavy pohybom presne zarovnané, potom sú tieto postavy rovnaké, rovnaké.

Vlastnosti pohybu: Každý pohyb roviny zachovávajúci orientáciu je buď rovnobežný posuv alebo otáčanie, každý pohyb roviny meniaci orientáciu je buď osová súmernosť alebo posuvná súmernosť. Pri pohybe sa body ležiace na priamke transformujú na body ležiace na priamke a ich poradie je zachované relatívnu polohu. Pri pohybe sú zachované uhly medzi polpriamkami.

Dva typy pohybov: pohyb prvého druhu a pohyb druhého druhu: Pohyby prvého druhu sú pohyby, ktoré zachovávajú orientáciu základov určitej postavy. Môžu byť realizované nepretržitými pohybmi.

Pohyby druhého druhu sú také pohyby, ktoré menia orientáciu základov na opačnú. Nedajú sa realizovať nepretržitými pohybmi.

Príklady pohybov prvého druhu sú translácia a rotácia okolo priamky a pohyby druhého druhu sú stredové a zrkadlové symetrie.

Zloženie ľubovoľného počtu pohybov prvého druhu je pohybom prvého druhu.

Zloženie párneho počtu pohybov druhého druhu je pohyb 1. druhu a zloženie nepárneho počtu pohybov 2. druhu je pohyb 2. druhu.

Príklady pohybov:Paralelný prenos. Nech a je daný vektor. Paralelný prenos do vektora a je zobrazenie roviny na seba, v ktorom je každý bod M zobrazený na bod M 1, takže vektor MM 1 je rovný vektoru a.

Paralelný preklad je pohyb, pretože ide o mapovanie roviny na seba, pričom sa zachovávajú vzdialenosti. Tento pohyb možno vizuálne znázorniť ako posun celej roviny v smere daný vektor ale na jeho dĺžke.

Točiť sa. Označme bod O na rovine ( stred otáčania) a nastavte uhol α ( uhol natočenia). Otočenie roviny okolo bodu O o uhol α je zobrazenie roviny na seba, v ktorom je každý bod M zobrazený na bod M 1 tak, že OM = OM 1 a uhol MOM 1 je rovný α. V tomto prípade bod O zostáva na svojom mieste, t.j. je namapovaný na seba, a všetky ostatné body sa otáčajú okolo bodu O rovnakým smerom - v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek (obrázok ukazuje otáčanie proti smeru hodinových ručičiek).

Rotácia je pohyb, pretože predstavuje mapovanie roviny na seba, pri ktorom sú zachované vzdialenosti.

Analytické vyjadrenie pohybu: analytické spojenie medzi súradnicami predobrazu a obrazom bodu má tvar (1).

Klasifikácia pohybov roviny (v závislosti od prítomnosti pevných bodov a invariantných čiar): Definícia:

Bod na rovine je invariantný (pevný), ak sa pri danej transformácii transformuje na seba.

Príklad: Kedy stredová symetria bod stredu symetrie je invariantný. Pri otáčaní je bod stredu otáčania nemenný. O osová súmernosť priamka je invariantná - os symetrie je priamka invariantných bodov.

Veta: Ak pohyb nemá jediný invariantný bod, potom má aspoň jeden invariantný smer.

Príklad: Paralelný prenos. V skutočnosti sú priamky rovnobežné s týmto smerom ako celok nemenné, hoci nepozostávajú z invariantných bodov.

Veta: Ak sa lúč pohybuje, lúč sa prekladá do seba, potom je tento pohyb buď identickou transformáciou alebo symetriou vzhľadom na priamku obsahujúcu daný lúč.

Preto na základe prítomnosti invariantných bodov alebo postáv je možné klasifikovať pohyby.

Názov pohybu	Invariantné body	Invariantné čiary
Pohyb prvého druhu.
1. - obrat	(v strede) - 0	Nie
2. Transformácia identity	všetky body roviny	všetko rovno
3. Stredová symetria	bod 0 - stred	všetky čiary prechádzajúce bodom 0
4. Paralelný prenos	Nie	všetko rovno
Pohyb druhého druhu.
5. Osová súmernosť.	súbor bodov	os symetrie (priamka) všetky priamky

Skupina pohybu v rovine: V geometrii dôležitá úloha hrajú skupiny samostatne sa kombinujúcich figúrok. Ak je určitá postava v rovine (alebo v priestore), potom môžeme uvažovať o množine všetkých tých pohybov roviny (alebo priestoru), pri ktorých sa postava mení na seba.

Táto sada je skupina. Napríklad v prípade rovnostranného trojuholníka skupina rovinných pohybov, ktoré transformujú trojuholník na seba, pozostáva zo 6 prvkov: rotácie cez uhly okolo bodu a symetrie okolo troch priamych čiar.

Sú znázornené na obr. 1 červená čiara. Prvky skupiny samozarovnaní pravidelného trojuholníka môžu byť špecifikované rôzne. Aby sme to vysvetlili, očíslujme vrcholy pravidelného trojuholníka číslami 1, 2, 3. Akékoľvek samozarovnanie trojuholníka naberá body 1, 2, 3 do rovnakých bodov, ale v inom poradí, t.j. môžu byť podmienečne napísané vo forme jednej z týchto zátvoriek:

atď.

kde čísla 1, 2, 3 označujú čísla tých vrcholov, do ktorých vrcholy 1, 2, 3 smerujú v dôsledku uvažovaného pohybu.

Projektívne priestory a ich modely.

Pojem projektívneho priestoru a model projektívneho priestoru. Základné fakty projektívnej geometrie. Zhluk čiar so stredom v bode O je modelom projektívnej roviny. Projektívne body. Predĺžená rovina je modelom projektívnej roviny. Rozšírený trojrozmerný afinný alebo euklidovský priestor je model projektívneho priestoru. Obrázky plochých a priestorových postáv v paralelnom dizajne.

Koncept projektívneho priestoru a model projektívneho priestoru:

Projektívny priestor nad poľom je priestor pozostávajúci z čiar (jednorozmerných podpriestorov) nejakého lineárneho priestoru nad daným poľom. Priame medzery sú tzv bodky projektívny priestor. Túto definíciu možno zovšeobecniť na ľubovoľný orgán

Ak má dimenziu , potom sa dimenzia projektívneho priestoru nazýva číslo a samotný projektívny priestor sa označuje a nazýva sa asociovaný s (na označenie toho sa používa notácia).

Prechod z vektorového priestoru dimenzie do zodpovedajúceho projektívneho priestoru sa nazýva projektivizácia priestor.

Body možno popísať pomocou homogénnych súradníc.

Základné fakty projektívnej geometrie: Projektívna geometria je oblasť geometrie, ktorá študuje projektívne roviny a priestory. Hlavná prednosť Projektívna geometria je založená na princípe duality, ktorá mnohým dizajnom dodáva ladnú symetriu. Projektívnu geometriu možno študovať tak z čisto geometrického hľadiska, ako aj z analytického (pomocou homogénnych súradníc) a salgebraického hľadiska, pričom sa projektívna rovina považuje za štruktúru nad poľom. Často a historicky sa za skutočnú projektívnu rovinu považuje euklidovská rovina s pridaním „priamky v nekonečne“.

Zatiaľ čo vlastnosti útvarov, ktorými sa zaoberá euklidovská geometria, sú metrický(špecifické hodnoty uhlov, segmentov, plôch) a rovnocennosť čísel je ekvivalentná ich kongruencia(t. j. keď sa čísla dajú preložiť jedna do druhej pohybom pri zachovaní metrických vlastností), existuje viac „hlboko ležiacich“ vlastností geometrické tvary, ktoré sa zachovávajú pri transformáciách všeobecnejšieho typu ako je pohyb. Projektívna geometria sa zaoberá štúdiom vlastností útvarov, ktoré sú v rámci triedy nemenné projektívne transformácie, ako aj tieto premeny samotné.

Projektívna geometria dopĺňa euklidovskú, poskytuje krásne a jednoduché riešenia pre mnohé problémy komplikované prítomnosťou rovnobežných čiar. Projektívna teória kužeľosečiek je obzvlášť jednoduchá a elegantná.

Existujú tri hlavné prístupy k projektívnej geometrii: nezávislá axiomatizácia, doplnenie euklidovskej geometrie a štruktúra nad poľom.

Axiomatizácia

Projektívny priestor je možné definovať pomocou iná sada axióma.

Coxeter poskytuje nasledovné:

1. Existuje priamka a na nej nie je bod.

2. Každý riadok má najmenej tri body.

3. Cez dva body môžete nakresliť presne jednu priamku.

4. Ak A, B, C, A D- rôzne body a AB A CD pretínajú sa teda A.C. A BD pretínajú.

5. Ak ABC je rovina, potom aspoň jeden bod nie je v rovine ABC.

6. Dve rôzne roviny pretínajú aspoň dva body.

7. Tri diagonálne body úplného štvoruholníka nie sú kolineárne.

8. Ak sú tri body na priamke X X

Projektívna rovina (bez tretieho rozmeru) je definovaná mierne odlišnými axiómami:

1. Cez dva body môžete nakresliť presne jednu priamku.

2. Akékoľvek dve čiary sa pretínajú.

3. Existujú štyri body, z ktorých tri nie sú kolineárne.

4. Tri diagonálne body úplných štvoruholníkov nie sú kolineárne.

5. Ak sú tri body na priamke X sú invariantné vzhľadom na projektivitu φ, potom sú všetky body na X invariantné vzhľadom na φ.

6. Desarguesova veta: Ak sú dva trojuholníky perspektívne cez bod, potom sú perspektívne cez priamku.

V prítomnosti tretieho rozmeru možno Desarguesovu vetu dokázať bez zavedenia ideálneho bodu a priamky.

Predĺžená rovina - model projektívnej roviny: V afinnom priestore A3 zoberieme zväzok priamok S(O) so stredom v bode O a rovinu Π, ktorá neprechádza stredom zväzku: O 6∈ Π. Zväzok čiar v afinnom priestore je modelom projektívnej roviny. Definujme zobrazenie množiny bodov roviny Π na množinu priamych čiar spojky S (Do riti, modli sa, ak máš túto otázku, odpusť mi)

Rozšírený trojrozmerný afinný alebo euklidovský priestor – model projektívneho priestoru:

Aby bolo zobrazenie surjektívne, zopakujeme proces formálneho rozšírenia afinnej roviny Π na projekčnú rovinu Π, pričom rovinu Π doplníme množinou nevlastných bodov (M∞) tak, že: ((M∞)) = P0(O). Keďže v mape je inverzným obrazom každej roviny zväzku rovín S(O) priamka na rovine d, je zrejmé, že množina všetkých nevlastných bodov predĺženej roviny: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), predstavuje nevlastnú priamku d∞ predĺženej roviny, ktorá je inverzným obrazom singulárnej roviny Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Dohodnime sa, že tu a odteraz budeme poslednú rovnosť P0(O) = Π0 chápať v zmysle rovnosti množín bodov, ale obdarených inou štruktúrou. Doplnením afinnej roviny o nevlastnú priamku sme zabezpečili, že zobrazenie (I.21) sa stalo bijektívnym na množine všetkých bodov predĺženej roviny:

Obrázky plochých a priestorových postáv počas paralelného dizajnu:

V stereometrii sa študujú priestorové postavy, ale na kresbe sú zobrazené ako ploché postavy. Ako by sa mal priestorový obrazec zobraziť v rovine? V geometrii sa na to zvyčajne používa paralelný dizajn. Nech je p nejaké lietadlo, l- priamka, ktorá ho pretína (obr. 1). Prostredníctvom ľubovoľného bodu A, nepatriaci do radu l, nakreslite čiaru rovnobežnú s čiarou l. Priesečník tejto priamky s rovinou p sa nazýva rovnobežný priemet bodu A do roviny p v smere priamky l. Označme to A". Ak bod A patrí do línie l, potom rovnobežnou projekciou A za priesečník priamky sa považuje rovina p l s rovinou p.

Teda každý bod A priestoru sa porovnáva jeho projekcia A" na rovinu p. Táto korešpondencia sa nazýva rovnobežné premietanie na rovinu p v smere priamky l.

Skupina projektívnych transformácií. Aplikácia na riešenie problémov.

Koncept projektívnej transformácie roviny. Príklady projektívnych transformácií roviny. Vlastnosti projektívnych transformácií. Homológia, vlastnosti homológie. Skupina projektívnych transformácií.

Koncept projektívnej transformácie roviny: Pojem projektívna transformácia zovšeobecňuje pojem centrálnej projekcie. Ak vykonáme stredový priemet roviny α na nejakú rovinu α 1, potom priemet α 1 na α 2, α 2 na α 3, ... a nakoniec nejakú rovinu α n opäť na α 1, potom zloženie všetkých týchto projekcií je projektívnou transformáciou roviny α; Do takéhoto reťazca môžu byť zahrnuté aj paralelné projekcie.

Príklady transformácií projektívnej roviny: Projektívna transformácia dokončenej roviny je jej mapovanie jedna k jednej na seba, pri ktorom je zachovaná kolinearita bodov, alebo inými slovami, obrazom akejkoľvek priamky je priamka. Akákoľvek projektívna transformácia je zložením reťazca centrálnych a paralelných projekcií. Afinná transformácia je špeciálny prípad projektívny, v ktorom sa nekonečne vzdialená priamka mení na seba.

Vlastnosti projektívnych transformácií:

Pri projektívnej transformácii sa tri body, ktoré neležia na priamke, transformujú na tri body, ktoré neležia na priamke.

Počas projektívnej transformácie sa rám zmení na rám.

Počas projektívnej transformácie prechádza čiara do priamky a ceruzka prechádza do ceruzky.

Homológia, vlastnosti homológie:

Projektívna transformácia roviny, ktorá má priamku invariantných bodov, a teda ceruzku invariantných priamok, sa nazýva homológia.

1. Čiara prechádzajúca nezhodnými zodpovedajúcimi homologickými bodmi je invariantná čiara;

2. Čiary prechádzajúce nezhodnými zodpovedajúcimi homologickými bodmi patria tej istej ceruzke, ktorej stred je invariantný bod.

3. Bod, jeho obraz a stred homológie ležia na tej istej priamke.

Skupina projektívnych transformácií: zvážte projektívne zobrazenie projektívnej roviny P 2 na seba, teda projektívnu transformáciu tejto roviny (P 2 ’ = P 2).

Ako predtým, zloženie f projektívnych transformácií f 1 a f 2 projektívnej roviny P 2 je výsledkom postupného vykonávania transformácií f 1 a f 2: f = f 2 °f 1 .

Veta 1: množina H všetkých projektívnych transformácií projektívnej roviny P 2 je grupa vzhľadom na zloženie projektívnych transformácií.

Štvorcové tvary.
Znaková určitosť foriem. Sylvesterské kritérium

Prídavné meno „kvadratický“ okamžite naznačuje, že tu niečo súvisí so štvorcom (druhý stupeň) a veľmi skoro zistíme, že toto „niečo“ a aký je tvar. Ukázalo sa, že je to jazykolam :)

Vitajte v mojej novej lekcii a ako okamžité zahriatie sa pozrieme na pruhovaný tvar lineárne. Lineárna forma premenných volal homogénne Polynóm 1. stupňa:

- niektoré konkrétne čísla * (predpokladáme, že aspoň jedna z nich je nenulová), a sú premenné, ktoré môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty.

* V rámci tejto témy budeme len uvažovať reálne čísla .

S pojmom „homogénny“ sme sa už stretli v lekcii o homogénne sústavy lineárnych rovníc, a v v tomto prípade to znamená, že polynóm nemá plusovú konštantu.

Napríklad: – lineárny tvar dvoch premenných

Teraz je tvar kvadratický. Kvadratický tvar premenných volal homogénne polynóm 2. stupňa, z ktorých každé obdobie obsahuje buď druhú mocninu premennej resp štvorhra súčin premenných. Takže napríklad kvadratický tvar dvoch premenných má ďalší pohľad:

Pozor! Toto je štandardný záznam a nie je potrebné na ňom nič meniť! Napriek „strašidelnému“ vzhľadu je tu všetko jednoduché - dvojité dolné indexy konštánt signalizujú, ktoré premenné sú zahrnuté v ktorom termíne:
– tento výraz obsahuje produkt a (štvorec);
- tu je práca;
- a tu je práca.

– Okamžite očakávam hrubú chybu, keď stratia „mínus“ koeficientu, pričom nechápu, že sa to týka pojmu:

Niekedy je v duchu možnosť „školského“ dizajnu, ale len niekedy. Mimochodom, všimnite si, že konštanty nám tu nehovoria vôbec nič, a preto je ťažšie zapamätať si „ľahký zápis“. Najmä keď je premenných viac.

A kvadratický forma troch premenné už obsahujú šesť členov:

...prečo sú „dva“ faktory umiestnené „zmiešane“? Je to pohodlné a čoskoro bude jasné prečo.

Avšak všeobecný vzorec Zapíšme si to, je vhodné usporiadať to ako „hárok“:

– pozorne študujeme každý riadok – nie je na tom nič zlé!

Kvadratická forma obsahuje členy so štvorcami premenných a členy s ich párovými súčinmi (cm. kombinatorický kombinačný vzorec) . Nič viac - žiadne „osamelé X“ a žiadna pridaná konštanta (potom nedostanete kvadratickú formu, ale heterogénne polynóm 2. stupňa).

Maticový zápis kvadratického tvaru

V závislosti od hodnôt môže príslušný tvar nadobúdať kladné aj záporné hodnoty a to isté platí pre každý lineárny tvar – ak je aspoň jeden z jeho koeficientov odlišný od nuly, potom môže byť kladný alebo záporný (v závislosti od hodnoty).

Táto forma sa nazýva striedavé znamenie. A ak je všetko transparentné s lineárnou formou, potom s kvadratickou formou sú veci oveľa zaujímavejšie:

Je úplne jasné, že táto forma môže nadobudnúť význam akéhokoľvek znaku, teda kvadratická forma môže byť aj striedavá.

Nemusí to byť:

– vždy, pokiaľ sa súčasne nerovná nule.

- pre hocikoho vektor okrem nuly.

A všeobecne povedané, ak pre niekoho nenulové vektor , , potom sa nazýva kvadratická forma kladné definitívne; ak áno, potom negatívny definitívny.

A všetko by bolo v poriadku, ale definitívnosť kvadratickej formy je viditeľná iba v jednoduché príklady a táto viditeľnosť sa stráca aj s miernou komplikáciou:
– ?

Dalo by sa predpokladať, že forma je pozitívne definovaná, ale je to naozaj tak? Zrazu existujú hodnoty, pri ktorých to menej ako nula?

V tomto skóre existuje teorém: Keby všetci vlastné hodnoty matice kvadratickej formy sú kladné * , potom je to pozitívne definitívne. Ak sú všetky negatívne, potom negatívne.

* Teoreticky bolo dokázané, že všetky vlastné hodnoty skutočnej symetrickej matice platné

Napíšme maticu vyššie uvedeného tvaru:
a z rov. poďme ju nájsť vlastné hodnoty:

Riešime staré dobré kvadratická rovnica:

, čo znamená formulár je definovaný pozitívne, t.j. pre akékoľvek nenulové hodnoty Nad nulou.

Zdá sa, že zvažovaná metóda funguje, no je tu jedno veľké ALE. Už pre maticu tri na tri je hľadanie správnych čísel zdĺhavá a nepríjemná úloha; s vysokou pravdepodobnosťou dostanete polynóm 3. stupňa s iracionálnymi koreňmi.

Čo mám robiť? Existuje jednoduchší spôsob!

Sylvesterské kritérium

Nie, nie Sylvester Stallone :) Najprv vám dovoľte pripomenúť, čo to je rohových maloletých matice. Toto kvalifikácie ktorý „rastie“ z jeho ľavého horného rohu:

a posledný sa presne rovná determinantu matice.

Teraz vlastne, kritérium:

1) Definuje sa kvadratická forma pozitívne vtedy a len vtedy, ak VŠETKY jeho uhlové minority sú väčšie ako nula: .

2) Definuje sa kvadratická forma negatívne vtedy a len vtedy, ak sa jeho uhlové minory striedajú v znaku, pričom 1. minor je menší ako nula: , , ak – párne alebo , ak – nepárne.

Ak je aspoň jeden uhlový moll opačného znamienka, potom tvar striedavé znamenie. Ak sú uhloví neplnoletí znamienko „toho“, ale je medzi nimi nula, potom je to tak špeciálny prípad, ktorému sa budem venovať trochu neskôr, keď sa rozklikneme na bežnejšie príklady.

Poďme analyzovať uhlové minory matice :

A to nám hneď hovorí, že forma nie je negatívne definovaná.

Záver: všetky rohové neplnoleté osoby sú väčšie ako nula, čo znamená formu je definovaný pozitívne.

Existuje rozdiel oproti metóde vlastných hodnôt? ;)

Napíšme maticu formulára z Príklad 1:

prvý je jeho uhlová moll a druhý , z čoho vyplýva, že tvar je v znamienku striedavý, t.j. v závislosti od hodnôt môže nadobúdať kladné aj záporné hodnoty. To je však už zrejmé.

Zoberme si formu a jej maticu z Príklad 2:

Neexistuje spôsob, ako to zistiť bez prehľadu. Ale so Sylvesterovým kritériom je nám to jedno:
, teda forma rozhodne nie je negatívna.

, a rozhodne nie pozitívne (keďže všetci uhloví neplnoletí musia byť kladní).

Záver: tvar je striedavý.

Príklady rozcvičky pre nezávislé rozhodnutie:

Príklad 4

Preskúmajte kvadratické formy na určenie jednoznačnosti znamienka

A)

V týchto príkladoch je všetko hladké (pozri koniec lekcie), ale v skutočnosti na dokončenie takejto úlohy Sylvesterovo kritérium nemusí byť dostatočné.

Ide o to, že existujú „okrajové“ prípady, a to: ak nejaké nenulové vektor, potom sa určí tvar nezáporné, Ak potom negatívne. Tieto formy majú nenulové vektory pre ktoré .

Tu môžete citovať nasledujúci „akordeón“:

Zvýraznenie dokonalý štvorec, vidíme hneď nezápornosť tvar: , a rovná sa nule pre akýkoľvek vektor s rovnaké súradnice, Napríklad: .

"Zrkadlový" príklad negatívne určitá forma:

a ešte triviálnejší príklad:
– tu sa tvar rovná nule pre ľubovoľný vektor , kde je ľubovoľné číslo.

Ako identifikovať nezáporné alebo nepozitívne formy?

Na to potrebujeme koncept hlavných maloletých matice. Dur moll je mol zložený z prvkov, ktoré stoja v priesečníku riadkov a stĺpcov s rovnakými číslami. Matica má teda dve hlavné minority 1. rádu:
(prvok sa nachádza na priesečníku 1. riadku a 1. stĺpca);
(prvok je v priesečníku 2. riadku a 2. stĺpca),

a jednu durovú moll 2. rádu:
– zložený z prvkov 1., 2. riadku a 1., 2. stĺpca.

Matica je „tri na tri“ Existuje sedem hlavných maloletých a tu budete musieť ohýbať bicepsy:
– traja maloletí I. rádu,
traja maloletí 2. rádu:
– zložený z prvkov 1., 2. riadku a 1., 2. stĺpca;
– zložený z prvkov 1., 3. riadku a 1., 3. stĺpca;
– zložené z prvkov 2., 3. riadku a 2., 3. stĺpca,
a jeden neplnoletý 3. rádu:
– zložený z prvkov 1., 2., 3. riadku a 1., 2. a 3. stĺpca.
Cvičenie pre pochopenie: zapíšte si všetky hlavné minority matice .
Na konci hodiny skontrolujeme a pokračujeme.

Schwarzeneggerovo kritérium:

1) Definovaná nenulová* kvadratická forma nezáporné vtedy a len vtedy, ak VŠETCI jeho hlavné neplnoleté osoby nezáporné(väčšie alebo rovné nule).

* Nulová (degenerovaná) kvadratická forma má všetky koeficienty rovné nule.

2) Je definovaná nenulová kvadratická forma s maticou negatívne vtedy a len vtedy, ak:
– maloletí 1. rádu nepozitívne(menší alebo rovný nule);
– maloletí 2. rádu nezáporné;
– maloletí 3. rádu nepozitívne(striedanie začalo);
…
– dur mol 1. rádu nepozitívne, ak – nepárne alebo nezáporné, ak – párne.

Ak je aspoň jeden neplnoletý opačného znamienka, potom je tvar znamienkový.

Pozrime sa, ako funguje kritérium vo vyššie uvedených príkladoch:

Vytvorme maticu tvaru a Po prvé Vypočítajme uhlové neplnoleté deti - čo ak je definovaný pozitívne alebo negatívne?

Získané hodnoty nespĺňajú kritérium Sylvester, ale druhé menšie nie negatívne, a preto je potrebné skontrolovať 2. kritérium (v prípade 2. kritéria nebude splnené automaticky, t. j. okamžite sa vyvodzuje záver o znamienkovej zmene tvaru).

Hlavní neplnoletí 1. rádu:
- pozitívny,
dur moll 2. rádu:
- nie negatívne.

Teda VŠETCI väčší neplnoletí nie sú negatívni, čo znamená formu nezáporné.

Napíšeme maticu tvaru , pre ktoré zjavne nie je splnené kritérium Sylvester. Nedostali sme však ani opačné znamienka (keďže obe uhlové minority sa rovnajú nule). Preto kontrolujeme splnenie kritéria nezápornosti/nepozitivity. Hlavní neplnoletí 1. rádu:
- nie pozitívne,
dur moll 2. rádu:
- nie negatívne.

Podľa Schwarzeneggerovho kritéria (bod 2) je teda forma nepozitívne definovaná.

Teraz sa pozrime bližšie na zaujímavejší problém:

Príklad 5

Preskúmajte kvadratickú formu na určenie jednoznačnosti znamienka

Tento formulár zdobí poradie „alfa“, ktoré sa môže rovnať akémukoľvek reálnemu číslu. Ale bude to len väčšia zábava rozhodujeme sa.

Najprv si zapíšme maticu formulárov, mnohí ľudia si už pravdepodobne zvykli robiť to ústne: hlavná uhlopriečka Vložíme koeficienty pre štvorce a na symetrické miesta vložíme polovicu koeficientov zodpovedajúcich „zmiešaných“ produktov:

Vypočítajme uhlové neplnoleté deti:

Rozšírim tretí determinant na 3. riadku:

Návrat