Podľa ľudovej slovesnosti tak bežnej medzi fyzikmi sa to stalo takto: v roku 1926 na vedeckom seminári na univerzite v Zürichu vystúpil teoretický fyzik podľa mena. Hovoril o zvláštnych nových myšlienkach vznášajúcich sa vo vzduchu, že objekty mikrokozmu sa často správajú viac ako vlny než ako častice. Potom sa o slovo prihlásil starší učiteľ a povedal: „Schrödinger, nevidíš, že je to všetko nezmysel? Alebo všetci nevieme, že vlny sú na to vlny, ktoré treba opísať vlnovými rovnicami? Schrödinger to zobral ako osobnú urážku a pustil sa do vývoja vlnovej rovnice na popis častíc v rámci kvantovej mechaniky – a s touto úlohou sa bravúrne vyrovnal.
Tu je potrebné podať vysvetlenie. V našom každodennom svete sa energia prenáša dvoma spôsobmi: hmotou pri pohybe z miesta na miesto (napríklad pohybujúcou sa lokomotívou alebo vetrom) - na takomto prenose energie sa podieľajú častice - alebo vlnami (napríklad rádiové vlny, ktoré sú vysielané výkonnými vysielačmi a zachytené anténami našich televízorov). To znamená, že v makrokozme, kde žijeme, sú všetky nosiče energie striktne rozdelené na dva typy - korpuskulárne (pozostávajúce z hmotných častíc) alebo vlnové. V tomto prípade je opísaná akákoľvek vlna špeciálny typ rovnice - vlnové rovnice. Všetky vlny bez výnimky – oceánske vlny, seizmické vlny hornín, rádiové vlny zo vzdialených galaxií – sú opísané rovnakým typom vlnových rovníc. Toto vysvetlenie je potrebné, aby bolo jasné, že ak chceme javy subatomárneho sveta znázorniť z hľadiska vĺn rozdelenia pravdepodobnosti (pozri Kvantová mechanika), tieto vlny musia byť tiež popísané zodpovedajúcou vlnovou rovnicou.
Schrödinger aplikoval klasickú diferenciálnu rovnicu vlnovej funkcie na koncept pravdepodobnostných vĺn a získal slávnu rovnicu, ktorá nesie jeho meno. Tak ako obvyklá rovnica vlnovej funkcie popisuje šírenie napríklad vlnenia na hladine vody, Schrödingerova rovnica popisuje šírenie vlny pravdepodobnosti nájdenia častice v daný bod priestor. Vrcholy tejto vlny (body maximálnej pravdepodobnosti) ukazujú, kde vo vesmíre častica pravdepodobne skončí. Hoci Schrödingerova rovnica patrí do regiónu vyššia matematika, je pre pochopenie modernej fyziky taká dôležitá, že ju tu napriek tomu uvediem – v jej najjednoduchšej forme (tzv. „jednorozmerná stacionárna Schrödingerova rovnica“). zhora vlnová funkcia rozdelenie pravdepodobnosti, označené gréckym písmenom ("psi"), je riešením nasledujúceho Diferenciálnej rovnice(je v poriadku, ak tomu nerozumiete; hlavnou vecou je veriť, že táto rovnica naznačuje, že pravdepodobnosť sa správa ako vlna):
kde je vzdialenosť, je Planckova konštanta a , a sú hmotnosť, celková energia a potenciálna energia častice.
Obraz kvantových dejov, ktorý nám dáva Schrödingerova rovnica, je taký, že elektróny a iné elementárne častice sa na povrchu oceánu správajú ako vlny. V priebehu času sa vrchol vlny (zodpovedajúci miestu, kde sa elektrón s najväčšou pravdepodobnosťou nachádza) v priestore posúva v súlade s rovnicou opisujúcou túto vlnu. To znamená, že to, čo sme v kvantovom svete tradične považovali za časticu, sa v mnohom správa ako vlna.
Keď Schrödinger prvýkrát zverejnil svoje výsledky, vo svete teoretickej fyziky sa strhla búrka v šálke čaju. Faktom je, že takmer v rovnakom čase sa objavilo dielo Schrödingerovho súčasníka Wernera Heisenberga (pozri Heisenbergov princíp neurčitosti), v ktorom autor predložil koncept „maticovej mechaniky“, kde sa riešili rovnaké problémy kvantovej mechaniky. v inej, z matematického hľadiska zložitejšej maticovej forme. Rozruch spôsobila skutočnosť, že vedci sa jednoducho báli, že dva rovnako presvedčivé prístupy k popisu mikrokozmu si môžu protirečiť. Nadšenie bolo márne. Sám Schrodinger v tom istom roku dokázal úplnú ekvivalenciu oboch teórií – teda maticová rovnica vyplýva z vlnovej rovnice a naopak; výsledky sú totožné. Dnes sa väčšinou používa Schrödingerova verzia (niekedy nazývaná „vlnová mechanika“), pretože jeho rovnica je menej ťažkopádna a ľahšie sa učí.
Avšak predstaviť si a prijať, že niečo ako elektrón sa správa ako vlna, nie je také jednoduché. V Každodenný život stretneme buď časticu alebo vlnu. Lopta je častica, zvuk je vlna a to je všetko. Vo svete kvantovej mechaniky veci nie sú také jednoduché. V skutočnosti – a experimenty to čoskoro ukázali – v kvantovom svete sa entity líšia od objektov, na ktoré sme zvyknutí, a majú iné vlastnosti. Svetlo, ktoré sme považovali za vlnu, sa niekedy správa ako častica (ktorá sa nazýva fotón) a častice ako elektrón a protón sa môžu správať ako vlny (pozri princíp komplementarity).
Tento problém sa zvyčajne nazýva duálna alebo duálna korpuskulárno-vlnová povaha kvantových častíc a je charakteristický pre všetky objekty subatomárneho sveta (pozri Bellovu vetu). Musíme pochopiť, že v mikrokozme naše bežné intuície o tom, aké formy môže mať hmota a ako sa môže správať, jednoducho nie sú použiteľné. Samotný fakt, že vlnovú rovnicu používame na opis pohybu toho, čo sme zvyknutí považovať za častice, je toho jasným dôkazom. Ako je uvedené v úvode, nejde o veľký rozpor. Koniec koncov, nemáme dobrý dôvod domnievať sa, že to, čo pozorujeme v makrokozme, by malo byť presne reprodukované na úrovni mikrokozmu. Napriek tomu duálna povaha elementárnych častíc zostáva pre mnohých ľudí jedným z najviac znepokojujúcich a znepokojujúcich aspektov kvantovej mechaniky a nie je prehnané povedať, že všetky problémy začali Erwinom Schrödingerom.
Encyklopédia Jamesa Trefila „Povaha vedy. 200 zákonov vesmíru.
James Trefil je profesor fyziky na George Mason University (USA), jeden z najznámejších západných autorov populárno-vedeckých kníh.
| Komentáre: 0 |
Max Planck - jeden zo zakladateľov kvantovej mechaniky - prišiel k myšlienke kvantovania energie a snažil sa teoreticky vysvetliť proces interakcie medzi nedávno objavenými elektromagnetické vlny a atómov a tým vyriešiť problém žiarenia čierneho telesa. Uvedomil si, že na vysvetlenie pozorovaného radiačného spektra atómov je potrebné brať ako samozrejmosť, že atómy vyžarujú a absorbujú energiu po častiach (ktoré vedec nazval kvantá) a len pri jednotlivých vlnových frekvenciách.
Absolútne čierne telo, ktorý úplne pohltí elektromagnetické žiarenie akejkoľvek frekvencie, pri zahriatí vyžaruje energiu vo forme vĺn rovnomerne rozložených v celom frekvenčnom spektre.
Slovo „quantum“ pochádza z latinského quantum („koľko, koľko“) a anglického quantum („množstvo, porcia, kvantum“). „Mechanika“ sa už dlho nazýva vedou o pohybe hmoty. V súlade s tým výraz „kvantová mechanika“ znamená vedu o pohybe hmoty po častiach (alebo v modernom vedeckom jazyku vedu o pohybe kvantovanej hmoty). Termín „kvantový“ zaviedol nemecký fyzik Max Planck na opis interakcie svetla s atómami.
Jedným z faktov subatomárneho sveta je, že jeho objekty – ako sú elektróny alebo fotóny – sa vôbec nepodobajú bežným objektom makrokozmu. Správajú sa nie ako častice a nie ako vlny, ale ako veľmi špeciálne útvary, ktoré v závislosti od okolností vykazujú vlnové aj korpuskulárne vlastnosti. Jedna vec je deklarovať a celkom iná je spojiť vlnové a korpuskulárne aspekty správania kvantových častíc a opísať ich presnou rovnicou. To je presne to, čo sa urobilo v pomere de Broglie.
V každodennom živote existujú dva spôsoby prenosu energie vo vesmíre – prostredníctvom častíc alebo vĺn. V každodennom živote nie sú medzi týmito dvoma mechanizmami prenosu energie viditeľné rozpory. Takže basketbalová lopta je častica a zvuk je vlna a všetko je jasné. V kvantovej mechanike však veci v žiadnom prípade nie sú také jednoduché. Aj z tých najjednoduchších experimentov s kvantovými objektmi je veľmi skoro jasné, že nám známe princípy a zákony makrosveta v mikrokozme nefungujú. Svetlo, ktoré sme si zvykli chápať ako vlnu, sa niekedy správa tak, ako keby pozostávalo z prúdu častíc (fotónov) a elementárne častice, ako je elektrón alebo dokonca masívny protón, často vykazujú vlastnosti vlny.
Einstein predovšetkým protestoval proti potrebe popísať javy mikrokozmu z hľadiska pravdepodobností a vlnových funkcií, a nie z bežnej polohy súradníc a rýchlostí častíc. To mal na mysli „kocky“. Uvedomil si, že popis pohybu elektrónov z hľadiska ich rýchlostí a súradníc je v rozpore s princípom neurčitosti. Einstein však tvrdil, že musia existovať nejaké ďalšie premenné alebo parametre, berúc do úvahy, ktoré kvantovo-mechanický obraz mikrosveta vráti na cestu integrity a determinizmu. To znamená, tvrdil, len sa nám zdá, že Boh s nami hrá kocky, pretože nerozumieme všetkému. Bol teda prvým, kto sformuloval hypotézu skrytej premennej v rovniciach kvantovej mechaniky. Spočíva v tom, že v skutočnosti majú elektróny pevné súradnice a rýchlosť ako Newtonove biliardové gule a princíp neurčitosti a pravdepodobnostný prístup k ich definícii v rámci kvantovej mechaniky sú výsledkom neúplnosti samotnej teórie, preto im to s určitosťou neumožňuje.definovať.
Júlia Zotová
Dozviete sa: Aké technológie sa nazývajú kvantové a prečo. Aké sú výhody kvantových technológií oproti klasickým? Čo kvantový počítač dokáže a čo nie. Ako fyzici vyrábajú kvantový počítač. kedy bude vytvorený.
Francúzsky fyzik Pierre Simon Laplace položil dôležitú otázku, či je všetko na svete predurčené predchádzajúcim stavom sveta, alebo či príčina môže spôsobiť viacero následkov. Ako očakávala filozofická tradícia, sám Laplace vo svojej knihe „Statement of the System of the World“ nekládol žiadne otázky, ale povedal hotovú odpoveď, že áno, všetko na svete je predurčené, ako sa však často stáva v filozofie, obraz sveta, ktorý navrhol Laplace, nepresvedčil každého, a preto jeho odpoveď vyvolala diskusiu o tejto otázke, ktorá pretrváva dodnes. Napriek názoru niektorých filozofov, že kvantová mechanika tento problém vyriešila v prospech pravdepodobnostného prístupu, sa však o Laplaceovej teórii úplného predurčenia, alebo ako sa tomu hovorí inak, hovorí o teórii Laplaceovho determinizmu dodnes.
Gordey Lesovik
Pred časom sme so skupinou spoluautorov začali odvodzovať druhý termodynamický zákon z pohľadu kvantovej mechaniky. Napríklad v jednej z jeho formulácií, ktorá hovorí, že entropia uzavretého systému sa neznižuje, typicky sa zvyšuje a niekedy zostáva konštantná, ak je systém energeticky izolovaný. Pomocou dobre známych výsledkov kvantovej teórie informácie sme odvodili niektoré podmienky, za ktorých je toto tvrdenie pravdivé. Nečakane sa ukázalo, že tieto podmienky sa nezhodujú s podmienkou energetickej izolácie systémov.
Profesor fyziky Jim Al-Khalili skúma ten najpresnejší a jeden z najviac mätúcich vedeckých teórií- kvantová fyzika. Začiatkom 20. storočia vedci prenikli do skrytých hlbín hmoty, do subatomárnej stavebné bloky svet okolo nás. Objavili javy, ktoré sa líšia od všetkého, čo sme predtým videli. Svet, kde môže byť všetko súčasne na mnohých miestach, kde realita skutočne existuje len vtedy, keď ju pozorujeme. Albert Einstein sa postavil proti samotnej myšlienke, že podstata prírody je založená na náhode. Kvantová fyzika naznačuje, že subatomárne častice môžu interagovať vyššia rýchlosť svetlo, a to odporuje jeho teórii relativity.
№1 Stacionárna Schrödingerova rovnica má tvar . Táto rovnica je napísaná pre ....
Stacionárna Schrödingerova rovnica má vo všeobecnom prípade tvar
, kde je potenciálna energia mikročastice. Pre jednorozmerný prípad. Navyše častica nemôže byť vo vnútri potenciálovej schránky a mimo nej, pretože jeho steny sú nekonečne vysoké. Preto je táto Schrödingerova rovnica napísaná pre časticu v jednorozmernej krabici s nekonečne vysokými stenami.
Lineárny harmonický oscilátor
ü Častice v jednorozmernej potenciálovej schránke s nekonečne vysokými stenami
Častice v trojrozmernej potenciálovej schránke s nekonečne vysokými stenami
Elektrón v atóme vodíka
Stanovte zhody medzi kvantovými mechanickými problémami a Schrödingerovými rovnicami pre ne.
Všeobecná forma stacionárna rovnica Schrödinger má tvar:
Potenciálna energia častice,
Laplaceov operátor. Pre simultánny prípad
Výraz pre potenciálnu energiu harmonického oscilátora, t.j. častice, ktorá sa jednorozmerne pohybuje pôsobením kvázi-elastickej sily, má tvar U=.
Hodnota potenciálnej energie elektrónu v potenciálovej schránke s nekonečne vysokými stenami je U=0. Elektrón v atóme podobnom vodíku má potenciálnu energiu Pre atóm vodíka Z=1.
Pre elektrón v jednorozmernom potenciálovom boxe má teda Schrödingerova rovnica tvar:
Pomocou vlnovej funkcie, ktorá je riešením Schrödingerovej rovnice, môžete určiť ....
Možnosti odpovede: (Uveďte aspoň dve odpovede)
Priemerné hodnoty fyzikálnych veličín charakterizujúcich časticu
Pravdepodobnosť, že častica je v určitej oblasti priestoru
trajektória častíc
Umiestnenie častíc
Hodnota má význam hustoty pravdepodobnosti (pravdepodobnosti na jednotku objemu), teda určuje pravdepodobnosť výskytu častice na zodpovedajúcom mieste v priestore. Potom sa pravdepodobnosť W detekcie častice v určitej oblasti priestoru rovná
Schrödingerova rovnica (špecifické situácie)
№1Vlastné funkcie elektrónu v jednorozmernom potenciálovom boxe s nekonečne vysokými stenami majú tvar 
kde je šírka poľa, kvantové číslo, ktoré má význam čísla energetická úroveň. Ak je počet funkčných uzlov na segmente a , potom rovný ...
Počet uzlov, t.j. počet bodov, v ktorých vlnová funkcia na segmente zaniká, súvisí s počtom energetickej hladiny vzťahom. Potom 
a podľa podmienky sa tento pomer rovná 1,5. Vyriešením výslednej rovnice pre , dostaneme to
Jadrové reakcie.
№1 V jadrovej reakcie Písmeno predstavuje časticu...
Zo zákonov zachovania hmotnostného čísla a nábojového čísla vyplýva, že náboj častice sa rovná nule, a hromadné číslo sa rovná 1. Preto písmeno označuje neutrón.
ü Neutrón
Pozitrón
Electron
Semilogaritmický graf ukazuje závislosť zmeny počtu rádioaktívnych izotopových jadier od času. rádioaktívny rozpad in sa rovná ... (zaokrúhliť odpoveď na celé čísla)
Počet rádioaktívnych jadier sa mení s časom podľa zákona - počiatočný počet jadier, - konštanta rádioaktívneho rozpadu. Logaritmovaním tohto výrazu dostaneme
ln 
.Preto 
=0,07
Zákony ochrany pri jadrových reakciách.
Reakcia nemôže prebehnúť z dôvodu porušenia zákona o ochrane prírody...
Vo všetkých základných interakciách sú splnené zákony zachovania: energia, hybnosť, moment hybnosti (spin) a všetky náboje (elektrické, baryónové a leptónové). Tieto zákony ochrany nielen obmedzujú dôsledky rôznych interakcií, ale určujú aj všetky možnosti týchto dôsledkov. Pre výber správnej odpovede je potrebné skontrolovať, ktorý zákon zachovania je zakázaný a ktorý je povolený pri danej reakcii vzájomnej premeny elementárnych častíc. Podľa zákona zachovania náboja leptónu v uzavretom systéme pre ľubovoľné procesy sa zachováva rozdiel medzi počtom leptónov a antileptónov. Dohodli sme sa, že pre leptóny zvážime: . leptónový náboj a pre antileptóny: . leptónový náboj. Pre všetky ostatné elementárne častice sa leptónové náboje rovnajú nule. Reakcia nemôže prebehnúť z dôvodu porušenia zákona zachovania náboja leptónu, pretože
ü Leptónový náboj
baryónový náboj
Spin uhlová hybnosť
Reakcia nemôže pokračovať z dôvodu porušenia zákona o ochrane...
Vo všetkých základných interakciách sú splnené zákony zachovania: energia, hybnosť, moment hybnosti (spin) a všetky náboje (elektrický Q, baryón B a leptón L) Tieto zákony zachovania nielen obmedzujú dôsledky rôznych interakcií, ale určujú aj všetky možnosti týchto následkov. Podľa zákona o zachovaní baryónového náboja B sa pre všetky procesy zahŕňajúce baryóny a antibaryóny zachová celkový baryónový náboj. Baryónom (nukleónom n, p a hyperónom) je priradený baryónový náboj
B=-1 a všetky ostatné častice majú baryónový náboj-B=0. Reakcia nemôže prebehnúť z dôvodu porušenia zákona baryónového náboja B, pretože (+1)+(+1)
Možnosti odpovede: , leptónový náboj, spinový moment hybnosti, elektrický náboj. Q=0, antiprotón (
Všeobecná Schrödingerova rovnica. Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy
Štatistická interpretácia de Broglieho vĺn (pozri § 216) a Heisenbergov vzťah neurčitosti (pozri 5 215) viedli k záveru, že pohybová rovnica v kvantovej mechanike, ktorá popisuje pohyb mikročastíc v rôznych silové polia, musí existovať rovnica, z ktorej by vyplývali experimentálne pozorovateľné veličiny vlnové vlastnostičastice. Základnou rovnicou musí byť rovnica pre vlnovú funkciu Ψ (x, y, z, t), keďže ide práve o túto, presnejšie povedané, veličinu |Ψ| 2, určuje pravdepodobnosť, že častica zostane v čase t v objeme dV, t.j. v oblasti so súradnicami x a x+dx, y a y+dy, z a z+dz. Keďže požadovaná rovnica musí zohľadňovať vlnové vlastnosti častíc, musí ísť o vlnovú rovnicu, podobnú rovnici popisujúcej elektromagnetické vlny.
Základnú rovnicu nerelativistickej kvantovej mechaniky sformuloval v roku 1926 E. Schrödinger. Schrödingerova rovnica, podobne ako všetky základné rovnice fyziky (napríklad Newtonove rovnice v klasickej mechanike a Maxwellove rovnice pre elektromagnetického poľa), nie je odvodený, ale postulovaný. Správnosť tejto rovnice potvrdzuje súhlas so skúsenosťami s výsledkami získanými s jej pomocou, čo jej zase dáva charakter prírodného zákona. Schrödingerova rovnica má tvar
kde h=h/(2π), m je hmotnosť častice, ∆ je Laplaceov operátor ( 
),
i - imaginárna jednotka, U (x, y, z, t) - potenciálna funkcia častice v silovom poli, v ktorom sa pohybuje, Ψ (x, y, z, t ) - požadovaná vlnová funkcia častice.
Rovnica (217.1) platí pre akúkoľvek časticu (so spinom rovným 0; pozri § 225), ktorá sa pohybuje malou (v porovnaní s rýchlosťou svetla) rýchlosťou, t.j. rýchlosťou υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные
musí byť nepretržitý; 3) funkcia |Ψ| 2 musí byť integrovateľné; táto podmienka sa v najjednoduchších prípadoch redukuje na podmienku normalizácie pravdepodobností (216,3).
Aby sme dospeli k Schrödingerovej rovnici, uvažujme voľne sa pohybujúcu časticu, ktorá je podľa de Broglieho predstavy spojená s rovinnou vlnou. Pre jednoduchosť uvažujeme jednorozmerný prípad. Rovnica pre rovinnú vlnu šíriacu sa pozdĺž osi x je (pozri § 154)
Alebo v zložitom zápise 
. Preto má de Broglieho rovinná vlna tvar
(217.2)
(berúc do úvahy, že ω = E/h, k=p/h). V kvantovej mechanike sa exponent berie so znamienkom mínus, ale keďže iba |Ψ| 2, potom to (pozri (217.2)) je nepodstatné. Potom
,
; (217.3)
Pomocou vzťahu medzi energiou E a hybnosťou p (E = p 2 /(2m)) a dosadením výrazov (217.3) dostaneme diferenciálnu rovnicu
čo sa zhoduje s rovnicou (217.1) pre prípad U = 0 (uvažovali sme o voľnej častici).
Ak sa častica pohybuje v silovom poli charakterizovanom potenciálnou energiou U, potom celková energia E je súčtom kinetickej a potenciálnej energie. Uskutočnením podobného uvažovania pomocou vzťahu medzi E a p (v tomto prípade p 2 / (2m) = E - U) sa dostaneme k diferenciálnej rovnici, ktorá sa zhoduje s (217.1).
Vyššie uvedené úvahy by sa nemali považovať za odvodenie Schrödingerovej rovnice. Vysvetľujú len, ako sa dá dospieť k tejto rovnici. Dôkazom správnosti Schrödingerovej rovnice je zhoda so skúsenosťami so závermi, ku ktorým vedie.
Rovnica (217.1) je všeobecná Schrödingerova rovnica. Nazýva sa aj časovo závislá Schrödingerova rovnica. Pre mnohé fyzikálne javy vyskytujúce sa v mikrokozme možno rovnicu (217.1) zjednodušiť odstránením závislosti Ψ na čase, inými slovami, nájsť Schrödingerovu rovnicu pre stacionárne stavy – stav s pevnými hodnotami energie. To je možné, ak je silové pole, v ktorom sa častica pohybuje, stacionárne, t.j. funkcia U = U(x, y, z ) nie je vyslovene závislá od času a má význam potenciálnej energie. V tomto prípade je možné riešenie Schrödingerovej rovnice znázorniť ako súčin dvoch funkcií, z ktorých jedna je funkciou iba súradníc, druhá je len funkciou času a závislosť od času vyjadruje faktor
,
kde E - celková energia častice, ktorá je v prípade stacionárneho poľa konštantná. Dosadením (217,4) do (217,1) dostaneme
odkiaľ po vydelení spoločným faktorom e – i (E/ h) t a zodpovedajúcimi transformáciami dospejeme k rovnici, ktorá definuje funkciu ψ:
(217.5)
Rovnica (217.5) sa nazýva Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy.
Táto rovnica zahŕňa celkovú energiu E častice ako parameter. V teórii diferenciálnych rovníc je dokázané, že takéto rovnice majú nekonečný počet riešení, z ktorých sa uložením okrajových podmienok vyberajú riešenia, ktoré majú fyzikálny význam. Pre Schrödingerovu rovnicu sú takéto podmienky podmienkami pravidelnosti vlnových funkcií: vlnové funkcie musia byť konečné, jednohodnotové a spojité spolu s ich prvými deriváciami. Teda len riešenia, ktoré sú vyjadrené regulárnymi funkciami ψ . Regulárne riešenia však neprebiehajú pre žiadne hodnoty parametra E, ale len pre ich určitú množinu, ktorá je charakteristická pre daný problém. Tieto energetické hodnoty sa nazývajú vnútorné. Riešenia, ktoré zodpovedajú vlastným hodnotám energie, sa nazývajú vlastné funkcie. Vlastné hodnoty E môžu tvoriť súvislý alebo diskrétny rad. V prvom prípade sa hovorí o spojitom alebo spojitom spektre, v druhom o diskrétnom spektre.
Prednáška 5. SCHROEDINGEROVÁ ROVNICE.
Pravdepodobný význam de Broglieho vĺn. vlnová funkcia.
De Broglieho vlny majú špecifickú kvantovú povahu, ktorá nemá obdobu s vlnami v klasickej fyzike. Nejde o elektromagnetické vlny, keďže ich šírenie v priestore nie je spojené so šírením žiadneho elektromagnetického poľa. Otázku o povahe vĺn možno formulovať ako otázku o fyzikálnom význame amplitúdy týchto vĺn. Namiesto amplitúdy je vhodnejšie zvoliť intenzitu vlny úmernú druhej mocnine modulu amplitúdy.
Z experimentov na difrakcii elektrónov vyplýva, že tieto experimenty odhaľujú nerovnomerné rozloženie elektrónových lúčov odrazených v rôznych smeroch. Z vlnového hľadiska prítomnosť maxím v počte elektrónov v niektorých smeroch znamená, že tieto smery zodpovedajú najvyššej intenzite de Broglieho vĺn. Intenzita vĺn v danom bode v priestore určuje hustotu pravdepodobnosti, že elektróny zasiahnu tento bod za 1 sekundu.
To slúžilo ako základ pre akúsi štatistickú, pravdepodobnostnú interpretáciu de Broglieho vĺn.
Druhá mocnina modulu amplitúdy de Broglieho vlny v danom bode je mierou pravdepodobnosti, že v tomto bode je detekovaná častica.
Aby sme opísali rozdelenie pravdepodobnosti nájdenia častice v danom časovom bode a v určitom bode priestoru, zavedieme funkciu, ktorá je funkciou času a súradníc, označíme ju gréckym písmenom ψ a volal vlnová funkcia alebo jednoducho funkcia psi.
Podľa definície pravdepodobnosť, že častica má súradnicu v rámci x, x+dx.
Ak 
, potom je pravdepodobnosť, že častica je v objeme dxdydz.
Preto je pravdepodobnosť, že častica je v objemovom prvku dV úmerná druhej mocnine modulu psi funkcie a objemového prvku dV.
Fyzikálny význam nemá samotná funkcia ψ, ale druhá mocnina jej modulu , kde ψ* je komplex funkcií konjugovaný s ψ. Hodnota dáva zmysel hustota pravdepodobnosti, t.j. definuje pravdepodobnosť, že častica zostane v danom bode priestoru. Inými slovami, určuje intenzitu de Broglieho vĺn. Vlnová funkcia je hlavnou charakteristikou stavu mikroobjektov (elementárnych častíc, atómov, molekúl).
Nestacionárna Schrödingerova rovnica.
Newtonove rovnice v klasickej mechanike umožňujú vyriešiť hlavný problém mechaniky pre makroskopické telesá - vzhľadom na sily pôsobiace na teleso (alebo sústavu telies) a počiatočné podmienky nájsť súradnice telesa a jeho rýchlosť pre ľubovoľný moment čas, tj opisujú pohyb telesa v priestore a čase.
Pri kladení podobného problému v kvantovej mechanike je potrebné vziať do úvahy obmedzenia možnosti aplikácie klasických pojmov súradníc a hybnosti na mikročastice. Keďže stav mikročastice v priestore v danom časovom okamihu je daný vlnovou funkciou, respektíve pravdepodobnosťou nájdenia častice v bode x, y, z v okamihu t, základná rovnica kvantovej mechaniky je rovnica pre funkciu psi.
Túto rovnicu získal v roku 1926 Schrödinger. Podobne ako Newtonove pohybové rovnice, aj Schrödingerova rovnica je postulovaná, nie odvodená. Platnosť tejto rovnice dokazuje skutočnosť, že závery získané s jej pomocou sú v dobrej zhode s experimentmi.
Schrödingerova rovnica má tvar
,
tu m je hmotnosť častice, i je imaginárna jednotka, je Laplaceov operátor, ktorého výsledkom je pôsobenie na nejakú funkciu
.
U(x, y, z, t) je v rámci našich úloh potenciálna energia častice pohybujúcej sa v silovom poli. Zo Schrödingerovej rovnice vyplýva, že tvar psi-funkcie je určený funkciou U, t.j. v konečnom dôsledku povaha síl pôsobiacich na časticu.
Schrödingerova rovnica je doplnená o dôležité podmienky, ktoré sú kladené na psi-funkciu. Tieto podmienky sú tri:
1) funkcia ψ musí byť konečná, spojitá a jednohodnotová;
2) deriváty 
musí byť nepretržitý
3) funkcia musí byť integrovateľná, t.j. integrálne
musí byť konečná. V najjednoduchších prípadoch sa tretí stav redukuje na normalizačný stav
To znamená, že prítomnosť častice niekde vo vesmíre je istá udalosť a jej pravdepodobnosť sa musí rovnať jednej. Prvé dve podmienky sú obvyklé požiadavky kladené na požadované riešenie diferenciálnej rovnice.
Vysvetlime, ako môžeme dospieť k Schrödingerovej rovnici. Pre jednoduchosť sa obmedzíme na jednorozmerný prípad. Uvažujme voľne sa pohybujúcu časticu (U = 0).
Porovnajme s tým, podľa myšlienky de Broglieho, rovinnú vlnu
Nahradiť a a prepísať
.
Získame diferenciáciu tohto výrazu raz vzhľadom na t a druhýkrát dvakrát vzhľadom na x
Energia a hybnosť voľnej častice sú spojené vzťahom
Dosadením do tohto vzťahu výrazy pre E a p 2
Posledný výraz sa zhoduje so Schrödingerovou rovnicou pre U = 0.
V prípade pohybu častice v silovom poli charakterizovanom potenciálnou energiou U sú energia E a hybnosť p spojené vzťahom
Vyššie uvedené argumenty nie sú dôkazné a nemožno ich považovať za odvodenie Schrödingerovej rovnice. Ich cieľom je vysvetliť, ako možno dospieť k stanoveniu tejto rovnice.
| | | ďalšia prednáška ==> | |
Zo štatistickej interpretácie de Broglieho vĺn (pozri § a Heisenbergových vzťahov neurčitosti (pozri § 215)) vyplynulo, že pohybová rovnica v kvantovej mechanike, ktorá popisuje pohyb mikročastíc v rôznych silových poliach, by mala byť rovnicou z r. ktoré by nasledovali nasledujúce pozorovania.- experimentálne dané vlnové vlastnosti častíc.
Hlavná rovnica musí byť rovnicou pre vlnovú funkciu, pretože je to práve táto, alebo presnejšie veličina |Ф|2, ktorá určuje pravdepodobnosť, že častica zostane v danom okamihu t v objeme dV, v oblasti so súradnicami a X+ dx, y+dy,
z a Keďže požadovaná rovnica musí zohľadňovať vlnové vlastnosti častíc, musí byť vlnová rovnica, ako rovnica popisujúca elektromagnetické vlny. Základná rovnica nerelativistická kvantová mechanika sformuloval v roku 1926 E. Schrödinger. Schrödingerova rovnica, podobne ako všetky základné rovnice fyziky (napríklad Newtonove rovnice v klasickej mechanike a Maxwellove rovnice pre elektromagnetické pole), nie je odvodená, ale postulovaná. Správnosť tejto rovnice je potvrdená zhodou so skúsenosťami s výsledkami získanými s jej pomocou, čo jej zase dáva charakter prírodného zákona. Rovnica
Schrödinger má formu
|
pomyselná jednotka, y,z,t) -
Potenciálna funkcia častice v silovom poli, v ktorom sa pohybuje; z,t) - požadovaná vlnová funkcia
Rovnica platí pre každú časticu (so spinom rovným 0; pozri § 225), ktorá sa pohybuje malou (v porovnaní s rýchlosťou svetla) rýchlosťou, t.j. v S Dopĺňajú ju podmienky kladené na vlnovú funkciu: 1) vlnová funkcia musí byť konečná, jednohodnotová a spojitá (pozri § 216);
2) deriváty -, -, --, musí-
dx urobiť
aby sme boli nepretržití; 3) funkcia |Ф|2 musí byť integrovateľná; tento stav sa v najjednoduchších prípadoch znižuje na
Normalizačná podmienka (216.3).
Aby sme dospeli k Schrödingerovej rovnici, uvažujeme voľne sa pohybujúcu časticu, ktorá je podľa de Broglieho asociovaná.Pre jednoduchosť uvažujeme jednorozmerný prípad. Rovnica rovinnej vlny šíriacej sa pozdĺž osi X, má formu (pozri § 154) t) = A cos - alebo v zložitom zápise t)- Preto má de Broglieho rovinná vlna tvar
(217.2)
(berúc do úvahy to - = -). V kvantovej th
Exponent sa berie so znamienkom „-“, keďže iba |Ф|2 má fyzický význam, nie je to dôležité. Potom
 |
Použitie vzťahu medzi energiou E a hybnosť = --) a dosadzovanie
výraz (217.3), dostaneme diferenciálnu rovnicu
čo sa zhoduje s rovnicou pre prípad U- O (uvažovali sme o voľnej častici).
Ak sa častica pohybuje v silovom poli charakterizovanom potenciálnou energiou ty potom celková energia E sa skladá z kinetickej a potenciálnej energie. Vykonávanie podobného uvažovania a používanie vzťahu medzi („pre
prípad = EÚ), dospejeme k diferenciálnej rovnici, ktorá sa zhoduje s (217.1).
Vyššie uvedená úvaha by sa nemalo brať ako odvodenie Schrödingerovej rovnice. Vysvetľujú len, ako sa dá dospieť k tejto rovnici. Dôkazom správnosti Schrödingerovej rovnice je zhoda so skúsenosťami so závermi, ku ktorým vedie.
Rovnica (217.1) je všeobecná Schrödingerova rovnica. On je tiež tzv časovo závislá Schrödingerova rovnica. Pre mnohé fyzikálne javy vyskytujúce sa v mikrokozme možno rovnicu (217.1) zjednodušiť odstránením časovej závislosti, inými slovami, nájsť Schrödingerovu rovnicu pre stacionárne stavy - stavy s pevnými hodnotami energie. To je možné, ak je silové pole, v ktorom sa častica pohybuje, stacionárne, teda funkcia U=z) nie je vyslovene závislá od času a má význam potenciálnej energie.
V tomto prípade môže byť riešenie Schrödingerovej rovnice reprezentované ako súčin dvoch funkcií, z ktorých jedna je funkciou iba súradníc, druhá je len funkciou času a závislosť od času je vyjadrená
Vynásobí sa e" = e, takže
(217.4)
kde E je celková energia častice, ktorá je v prípade stacionárneho poľa konštantná. Dosadením (217,4) do (217,1) dostaneme
Odkiaľ, po vydelení spoločným faktorom e zodpovedajúcich transformácií
Dostaneme sa k rovnici, ktorá definuje funkciu
Rovnica ekvivalent-
Schrödingerova koncepcia pre stacionárne stavy. Táto rovnica zahŕňa celkovú energiu ako parameter Ečastice. V teórii diferenciálnych rovníc je dokázané, že takéto rovnice majú nekonečný počet riešení, z ktorých sa uložením okrajových podmienok vyberú riešenia, ktoré majú fyzikálne
Pre Schrödingerovu rovnicu také podmienky sú podmienky pre pravidelnosť vlnových funkcií: vlnové funkcie musia byť konečné, jednohodnotové a spojité spolu s ich prvými deriváciami.
Skutočný fyzikálny význam majú teda iba riešenia, ktoré sú vyjadrené regulárnymi funkciami. Ale regulárne riešenia sa nevyskytujú pre žiadne hodnoty parametra E, ale len pre určitý súbor z nich, typický pre tento problém. Títo energetické hodnoty sa volajú vlastné. Riešenia, ktoré zodpovedajú vlastným energetickým hodnotám, sa nazývajú vlastné funkcie. Vlastné hodnoty E môžu tvoriť spojité aj diskrétne série. V prvom prípade sa hovorí o nepretržitý, alebo spojité, spektrum, v druhom - diskrétne spektrum.
§ 218. Princíp kauzality v kvantovej mechanike
Zo vzťahu neurčitosti sa často usudzuje, že
princíp kauzality k javom vyskytujúcim sa v mikrokozme. V tomto prípade sú založené na nasledujúcich úvahách. V klasickej mechanike sa podľa princíp kauzality - princíp klasického determinizmu, na známy stav systému v určitom časovom bode (je úplne určený hodnotami súradníc a hybnosti všetkých častíc systému) a silami, ktoré naň pôsobia, môžete úplne presne nastaviť jeho stav v ktoromkoľvek nasledujúcom moment. Preto je klasická fyzika založená na nasledovnom chápaní kauzality: stav mechanického systému v počiatočnom časovom okamihu so známym zákonom o interakcii častíc je príčinou a jeho stav po momente je dôsledkom.
Na druhej strane mikroobjekty nemôžu mať súčasne určitú súradnicu a určitú zodpovedajúcu projekciu hybnosti [sú dané vzťahom neurčitosti; preto sa usudzuje, že v počiatočnom okamihu nie je stav systému presne určený . Ak stav systému nie je istý v počiatočnom okamihu, potom nemožno predpovedať nasledujúce stavy, t. j. je porušený princíp kauzality.
Vo vzťahu k mikroobjektom však nie je pozorované žiadne porušenie princípu kauzality, keďže v kvantovej mechanike nadobúda pojem stav mikroobjektu úplne iný význam ako v klasickej mechanike. V kvantovej mechanike je stav mikroobjektu úplne určený vlnovou funkciou, ktorej modul na druhú
2 nastavuje hustotu pravdepodobnosti nájdenia častice v bode so súradnicami x, y, z.
Vlnová funkcia zasa spĺňa rovnicu
Schrödinger obsahujúci prvú deriváciu funkcie Ф vzhľadom na čas. To tiež znamená, že priradenie funkcie (na okamih určuje jej hodnotu v nasledujúcich okamihoch. Preto je v kvantovej mechanike počiatočný stav príčinou a stav Ф v nasledujúcom okamihu je dôsledkom. forma principiálnej kauzality v kvantovej mechanike, tj nastavenie funkcie predurčuje jej hodnoty pre akékoľvek nasledujúce momenty. Stav systému mikročastíc, definovaný v kvantovej mechanike, teda jednoznačne vyplýva z predchádzajúceho stavu, ako to vyžaduje princíp kauzality.
§ 219. Voľný pohyb častíc
voľná častica - častica pohybujúca sa v neprítomnosti vonkajších polí. Keďže je voľný (nech sa pohybuje pozdĺž osi X) sily nepôsobia, potom potenciálna energia častice U(x) = const a môže sa to považovať za rovné nule. Potom sa celková energia častice zhoduje s jej kinetickou energiou. V tomto prípade má Schrödingerova rovnica (217.5) pre stacionárne stavy tvar
(219.1)
Priamou substitúciou možno overiť, že konkrétne riešenie rovnice (219.1) je funkciou - kde A = konšt a Komu= konšt., s vlastnou hodnotou energie
Funkcia = = predstavuje iba súradnicovú časť vlnovej funkcie. Preto časovo závislá vlnová funkcia podľa (217.4),
(219,3) je rovinná monochromatická de Broglieho vlna [viď. (217,2)].
Od výrazu (219.2) vyplýva, že závislosť energie od hybnosti
sa ukázalo byť bežné pre nerelativistické častice. Preto môže voľná častica brať energiu akékoľvek hodnoty(pretože vlnové číslo Komu môže nadobudnúť akékoľvek kladné hodnoty), t.j. energiu rozsah voľná častica je nepretržitý.
Voľná kvantová častica je teda opísaná rovinnou monochromatickou de Broglieho vlnou. To zodpovedá hustote pravdepodobnosti detekcie častice v danom bode priestoru na čase
t.j. všetky polohy voľnej častice v priestore sú ekvipravdepodobné.
§ 220. Častica v jednorozmernej pravouhlej „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokým
"steny"
Urobme kvalitatívnu analýzu riešení Schrödingerovej rovnice pomocou
Ryža. 299
(220.4)
vzhľadom na časticu v jednorozmerná obdĺžniková „potenciálna studňa“ s nekonečne vysokými „stenami“. Takáto „studňa“ je opísaná potenciálnou energiou formy (pre jednoduchosť predpokladáme, že častica sa pohybuje pozdĺž osi X)
kde je šírka "jamy", a energia sa meria od jej dna (obr. 299).
Schrödingerovu rovnicu (217.5) pre stacionárne stavy v prípade jednorozmernej úlohy možno zapísať ako
Podľa stavu problému (nekonečne vysoké „steny“) častica neprenikne za „jamu“, takže pravdepodobnosť jej detekcie (a následne aj vlnovej funkcie) mimo „jamy“ sa rovná nule. . Na hraniciach „jamy“ (at X- 0 a x = funkcia spojitej vlny musí tiež zmiznúť. Preto majú okrajové podmienky v tomto prípade tvar
V rámci „jamy“ (0 X Schrödingerova rovnica (220.1) sa redukuje na rovnicu
 |
|||
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice (220.3):
Keďže podľa (220,2) = 0, potom V= 0.
(220.5)
Stav (220.2) = 0 je splnené len pre kde P- celé čísla, t.j. je potrebné, aby
Z výrazov (220.4) a (220.6) vyplýva, že
t.j. stacionárna Schrödingerova rovnica popisujúca pohyb častice v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ je splnená iba pre vlastné hodnoty, ktoré závisia od celého čísla. P. Preto energia častíc v
"potenciálna studňa" s nekonečne vysokými "stenami" zaberá len určité diskrétne hodnoty, tie. je kvantovaný.
Kvantované energetické hodnoty sa nazývajú energetická hladina, a číslo P, ktorý určuje energetické hladiny častice sa nazýva hlavné kvantové číslo. Mikročastica v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ teda môže byť len na určitej energetickej úrovni, alebo, ako sa hovorí, častica je v kvante.
Nahradením hodnoty (220,5). Komu z (220.6) nájdeme vlastné funkcie:
 |
Integračná konštanta A zistíme z normalizačnej podmienky (216.3), ktorá pre tento prípad môže byť zapísaná vo forme
V výsledok integrácie polo-
A - a budú vyzerať vlastné funkcie
I rozvrhy vlastných funkcií (220.8) zodpovedajúce úrovniam
energie (220,7) at n=1,2, 3 sú znázornené na obr. 300, a. Na obr. 300, b je znázornená hustota pravdepodobnosti detekcie častice v rôznych vzdialenostiach od „steny“ jamky, ktorá sa rovná =
Pre n= 1, 2 a 3. Z obrázku vyplýva, že napríklad v kvantovom stave s P= 2 častica nemôže byť v strede „jamy“, pričom rovnako často môže byť v jej ľavej a pravej časti. Toto správanie častice naznačuje, že koncepty trajektórií častíc v kvantovej mechanike sú neudržateľné. Z výrazu (220.7) vyplýva, že energetický interval medzi dvoma
Susedné úrovne sa rovnajú
 |
Napríklad pre elektrón s veľkosťou jamky - 10 "1 m (bezplatná el
Kovové tróny) 10 J
To znamená, že energetické hladiny sú tak blízko seba, že spektrum možno prakticky považovať za spojité. Ak sú rozmery jamky úmerné atómovému m), potom pre elektrón J eV, t.j. sa získajú explicitne diskrétne energetické hodnoty (čiarové spektrum).
Teda aplikácia Schrödingerovej rovnice na časticu v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokým
„steny“ vedú ku kvantovaným energetickým hodnotám, zatiaľ čo klasická mechanika neukladá žiadne obmedzenia na energiu tejto častice.
navyše
Zváženie tohto problému vedie k záveru, že častica „v potenciálovej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ nemôže mať energiu menšiu ako
Minimálne, rovné [pozri. (220,7)].
Prítomnosť nenulovej minimálnej energie nie je náhodná a vyplýva zo vzťahu neurčitosti. Neistota súradníc Ohčastice v "jame" širokej Ah= Potom podľa vzťahu neistoty hybnosť nemôže mať presnú, v tomto prípade nulovú hodnotu. Neistota hybnosti
Také šírenie hodnôt
hybnosť zodpovedá kinetickej energii
Všetky ostatné úrovne (n > 1) majú energiu presahujúcu túto minimálnu hodnotu.
Od vzorcov (220.9) a (220.7) vyplýva, že pre veľké kvantové čísla
tj susedné úrovne sú blízko seba: čím bližšie, tým viac P. Ak P je veľmi veľká, potom môžeme hovoriť o prakticky nepretržitom slede úrovní a charakteristická vlastnosť kvantových procesov - diskrétnosť - je vyhladená. Tento výsledok je špeciálny prípad Bohrov princíp korešpondencie (1923), podľa ktorého by sa zákony kvantovej mechaniky mali pri veľkých hodnotách kvantových čísel transformovať na zákony klasickej fyziky.
Viac všeobecný výklad princípu korešpondencie: akákoľvek nová, všeobecnejšia teória, ktorá je rozvinutím klasickej, ju úplne nezavrhuje, ale zahŕňa klasickú teóriu, pričom naznačuje hranice jej aplikácie a v určitých limitujúcich prípadoch nová teória prechádza do starej. Tak prechádzajú vzorce kinematiky a dynamiky špeciálnej teórie relativity v c do vzorcov newtonovskej mechaniky. Napríklad da Broglieho hypotéza síce pripisuje vlnové vlastnosti všetkým telesám, ale v tých prípadoch, keď máme do činenia s makroskopickými telesami, možno ich vlnové vlastnosti zanedbať, t.j. použiť klasickú newtonovskú mechaniku.
§ 221. Prechod častice cez potenciálnu bariéru.
tunelový efekt
najjednoduchšiu potenciálovú bariéru pravouhlého tvaru (obr. pre jednorozmernú (po osi pohybu častice). Pre potenciálovú bariéru pravouhlého tvaru s výškou šírky l môžeme písať
Za daných podmienok problému klasická častica, ktorá má energiu E, alebo bez prekážok prejsť cez bariéru (s E > U), alebo sa od nej odráža (keď E< U) sa bude pohybovať opačným smerom, t.j. nemôže preniknúť cez bariéru. Pre mikročasticu aj pri E > U, existuje nenulová pravdepodobnosť, že častica sa odrazí od bariéry a pohne sa opačným smerom. o E existuje aj nenulová pravdepodobnosť, že častica bude v oblasti x> tie. preniká cez bariéru. Takéto zdanlivo paradoxné závery vyplývajú priamo z opísaného riešenia Schrödingerovej rovnice
412
ktorý popisuje pohyb mikročastice za podmienok daného problému.
Rovnica (217.5) pre stacionárne stavy pre každý z vybraných obr. 301, a oblasť má
(pre oblasti
(pre oblasť
Všeobecné riešenia týchto diferenciálnych rovníc:
Riešenie (221.3) obsahuje aj vlny (po vynásobení časovým faktorom) šíriace sa oboma smermi. Avšak v oblasti 3 existuje len vlna, ktorá prešla cez bariéru a šíri sa zľava doprava. Preto by sa koeficient vo vzorci (221.3) mal brať ako rovný nule.
V oblasti 2
riešenie závisí od vzťahov E>U alebo E
(pre oblasť
(pre región 2);
Význam q a 0, získame riešenia Schrödingerovej rovnice pre tri oblasti v nasledujúcom tvare:
(pre oblasť 3).
V najmä pre región 1 celková vlnová funkcia podľa (217.4) bude mať tvar
 |
V tomto výraze je prvým členom rovinná vlna typu (219.3) šíriaca sa v kladnom smere osi X(zodpovedá častici pohybujúcej sa smerom k bariére) a druhá - vlna šíriaca sa v opačnom smere, t.j. odrazená od bariéry (zodpovedá častici pohybujúcej sa od bariéry doľava).
(pre oblasť 3).
V oblasti 2
funkcia už nezodpovedá rovinným vlnám šíreným oboma smermi, keďže exponenty exponentov nie sú imaginárne, ale skutočné. Dá sa ukázať, že pre konkrétny prípad vysokej a širokej bariéry, keď 1,
Kvalitatívna povaha funkcií a je znázornená na obr. 301, z čoho vyplýva, že vln
Funkcia sa nerovná nule ani vo vnútri bariéry, ale v oblasti 3, ak bariéra nie je veľmi široká, bude mať opäť formu de Broglieho vĺn s rovnakou hybnosťou, t.j. s rovnakou frekvenciou, ale s menšou amplitúdou. Následne sme zistili, že častica má nenulovú pravdepodobnosť, že prejde cez potenciálnu bariéru konečnej šírky.
Kvantová mechanika teda vedie k zásadne novému špecifickému kvantovému javu, tzv tunelový efekt, v dôsledku čoho môže mikroobjekt „prejsť“ cez potenciálnu bariéru. v zmysle Spoločné riešenie rovníc pre pravouhlú potenciálovú bariéru dáva (za predpokladu, že koeficient priehľadnosti je malý v porovnaní s jednotkou)
kde je konštantný faktor, ktorý možno prirovnať k jednému; U- potenciálna výška bariéry; E - energia častíc; je šírka bariéry.
Z výrazu (221.7) vyplýva, že D vysoko závislé od hmotnosti Tčastice, šírka/bariéra a od (U-čím je bariéra širšia, tým je menej pravdepodobné, že cez ňu častica prejde.
Pre potenciálnu bariéru ľubovoľného tvaru (obr. 302) spĺňajúcu podmienky tzv poloklasická aproximácia(skôr hladký tvar krivky), máme
 |
kde U=U(x).
Z klasického hľadiska je prechod častice cez potenciálnu bariéru pri E nemožné, pretože častica, ktorá sa nachádza v oblasti bariéry, by musela mať negatívnu kinetickú energiu. Tunelový efekt je špecifický kvantový efekt.
Prechod častice cez oblasť, do ktorej podľa zákonov klasickej mechaniky nemôže preniknúť, možno vysvetliť vzťahom neurčitosti. Neistota hybnosti Ar na segmente Ach = je Ar > -. V súvislosti s týmto rozpätím hodnôt hybnosti, kinetiky
302
Česká energetika môže byť
dostatočné na dokončenie
energia častice sa ukázala byť väčšia ako potenciálna energia.
Základy teórie tunelových križovatiek boli položené v prácach L.I.
Tunelovanie cez potenciálnu bariéru je základom mnohých javov vo fyzike pevných látok (napríklad javy v kontaktnej vrstve na rozhraní dvoch polovodičov), atómovej a jadrovej fyzike (napríklad rozpad, termonukleárne reakcie).
§ 222. Lineárny harmonický oscilátor
V kvantovej mechanike
Lineárny harmonický oscilátor- systém, ktorý vykonáva jednorozmerný pohyb pôsobením kvázi-elastickej sily, je model používaný v mnohých problémoch klasickej a kvantovej teórie (pozri § 142). Príklady klasických harmonických oscilátorov sú pružinové, fyzikálne a matematické kyvadla.
Potenciálna energia harmonického oscilátora [pozri. (141,5)] je
Kde je vlastná frekvencia oscilátora; T - hmotnosť častíc.
Závislosť (222.1) má tvar paraboly (obr. 303), t.j. „Potencionálna studňa“ je v tomto prípade parabolická.
Amplitúda malých kmitov klasického oscilátora je určená jeho celkovou energiou E(pozri obr. 17).
Dinger, berúc do úvahy výraz (222.1) pre potenciálnu energiu. Potom sú stacionárne stavy kvantového oscilátora určené Schrödingerovou rovnicou tvaru
= 0, (222.2)
kde E - celková energia oscilátora. V teórii diferenciálnych rovníc
Je dokázané, že rovnica (222.2) je vyriešená len pre vlastné hodnoty energie
(222.3)
Vzorec (222.3) ukazuje, že energia kvantového oscilátora môže
mať len diskrétne hodnoty, t.j. je kvantovaný. Energia je dole ohraničená nenulovou hodnotou, ako pri pravouhlej „jame“ s nekonečne vysokými „stenami“ (pozri § 220), minimálnou hodnotou energie. = Su-
existencia minimálnej energie – tzv energie nulového bodu - je typický pre kvantové systémy a je priamym dôsledkom vzťahu neurčitosti.
Prítomnosť nulových oscilácií znamená, že častica nemôže byť na dne „potenciálnej studne“ (bez ohľadu na tvar jamky). „Pád na dno jamy“ je totiž spojený s vymiznutím hybnosti častice a zároveň s jej neistotou. Potom sa neistota súradnice stane ľubovoľne veľkou, čo je zase v rozpore s prítomnosťou častice v
„potenciálnej diery“.
Záver o prítomnosti energie kmitov nulového bodu kvantového oscilátora je v rozpore so závermi klasickej teórie, podľa ktorej najmenšia energia, ktorú môže oscilátor mať, je nulová (zodpovedá častici v pokoji v rovnovážnej polohe) . Napríklad podľa záverov klasickej fyziky at T= 0, energia vibračného pohybu atómov kryštálu mala zmiznúť. V dôsledku toho by mal zmiznúť aj rozptyl svetla v dôsledku vibrácií atómov. Experiment však ukazuje, že intenzita rozptylu svetla s klesajúcou teplotou sa nerovná nule, ale má tendenciu k určitej limitnej hodnote, čo naznačuje, že pri T 0 vibrácií atómov v kryštáli sa nezastaví. Toto je potvrdenie prítomnosti nulových výkyvov.
Zo vzorca (222.3) tiež vyplýva, že energetické hladiny lineárneho harmonického oscilátora sú umiestnené v rovnakých vzdialenostiach od seba (pozri obr. 303), konkrétne vzdialenosť medzi susednými energetickými hladinami je rovná a minimálna energetická hodnota =
Dôsledné riešenie problému kvantového oscilátora vedie k ďalšiemu významnému rozdielu od klasického.