§ 87. Sčítanie zlomkov.
Sčítanie zlomkov má veľa podobností so sčítaním celých čísel. Sčítanie zlomkov je činnosť spočívajúca v tom, že niekoľko daných čísel (členov) sa spojí do jedného čísla (súčtu), ktoré obsahuje všetky jednotky a zlomky jednotiek členov.
Postupne zvážime tri prípady:
1. Sčítanie zlomkov s rovnakých menovateľov.
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Sčítanie zmiešaných čísel.
1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Zvážte príklad: 1/5 + 2/5 .
Vezmite segment AB (obr. 17), vezmite ho ako jednotku a rozdeľte ho na 5 rovnakých častí, potom sa časť AC tohto segmentu bude rovnať 1/5 segmentu AB a časť toho istého segmentu CD sa bude rovnať 2/5 AB.
Z nákresu je zrejmé, že ak vezmeme segment AD, bude sa rovnať 3/5 AB; ale segment AD je presne súčtom segmentov AC a CD. Môžeme teda napísať:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Vzhľadom na tieto pojmy a výslednú sumu vidíme, že čitateľ súčtu bol získaný sčítaním čitateľov členov a menovateľ zostal nezmenený.
Odtiaľto sa dostaneme ďalšie pravidlo: Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať rovnakého menovateľa.
Zvážte príklad:
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Pridajme zlomky: 3/4 + 3/8 Najprv ich treba zredukovať na najnižšieho spoločného menovateľa:
Medzičlánok 6/8 + 3/8 nemohol byť napísaný; pre väčšiu prehľadnosť sme to napísali sem.
Ak teda chcete sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najskôr priviesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi, pridať ich čitateľov a podpísať spoločného menovateľa.
Zvážte príklad (napíšeme ďalšie faktory nad zodpovedajúce zlomky):
3. Sčítanie zmiešaných čísel.
Sčítajme čísla: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Najprv privedieme zlomkové časti našich čísel k spoločnému menovateľovi a znova ich prepíšeme:
Teraz postupne pridajte celé číslo a zlomkové časti:
§ 88. Odčítanie zlomkov.
Odčítanie zlomkov je definované rovnakým spôsobom ako odčítanie celých čísel. Ide o akciu, pri ktorej sa na základe súčtu dvoch výrazov a jedného z nich nájde ďalší výraz. Pozrime sa postupne na tri prípady:
1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Odčítanie zmiešaných čísel.
1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Zvážte príklad:
13 / 15 - 4 / 15
Zoberme si segment AB (obr. 18), vezmime ho ako jednotku a rozdeľme ho na 15 rovnakých častí; potom časť AC tohto segmentu bude 1/15 AB a časť AD toho istého segmentu bude zodpovedať 13/15 AB. Odložme ďalší segment ED, rovný 4/15 AB.
Musíme odpočítať 4/15 od 13/15. Na výkrese to znamená, že segment ED sa musí odpočítať od segmentu AD. V dôsledku toho zostane segment AE, čo je 9/15 segmentu AB. Môžeme teda napísať:
Príklad, ktorý sme urobili, ukazuje, že čitateľ rozdielu bol získaný odčítaním čitateľov a menovateľ zostal rovnaký.
Preto, aby ste odčítali zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte odčítať čitateľa podhodnoty od čitateľa menovateľa a ponechať rovnaký menovateľ.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Príklad. 3/4 - 5/8
Najprv zredukujme tieto zlomky na najmenšieho spoločného menovateľa:
Pre prehľadnosť je tu napísaný medzičlánok 6 / 8 - 5 / 8, ale v budúcnosti sa dá preskočiť.
Ak teda chcete odčítať zlomok od zlomku, musíte ich najskôr priviesť k najmenšiemu spoločnému menovateľovi, potom odčítať čitateľa podradníka od čitateľa mínusu a podpísať spoločný menovateľ pod ich rozdiel.
Zvážte príklad:
3. Odčítanie zmiešaných čísel.
Príklad. 10 3/4 - 7 2/3.
Priblížme zlomkové časti minuendu a subtrahendu k najnižšiemu spoločnému menovateľovi:
Odčítali sme celok od celku a zlomok od zlomku. Existujú však prípady, keď je zlomková časť subtrahendu väčšia ako zlomková časť minuendu. V takýchto prípadoch musíte zobrať jednu jednotku z celočíselnej časti redukovaného, rozdeliť ju na tie časti, v ktorých je vyjadrená zlomková časť, a pridať k zlomkovej časti redukovaného. A potom sa odčítanie vykoná rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom príklade:
§ 89. Násobenie zlomkov.
Pri štúdiu násobenia zlomkov zvážime ďalšie otázky:
1. Násobenie zlomku celým číslom.
2. Nájdenie zlomku daného čísla.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
4. Násobenie zlomku zlomkom.
5. Násobenie zmiešaných čísel.
6. Pojem úroku.
7. Nájdenie percent daného čísla. Uvažujme ich postupne.
1. Násobenie zlomku celým číslom.
Násobenie zlomku celým číslom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla celým číslom. Násobenie zlomku (násobiteľa) celým číslom (násobiteľom) znamená zostavenie súčtu identických členov, pričom každý člen sa rovná násobiteľu a počet členov sa rovná násobiteľu.
Ak teda potrebujete vynásobiť 1/9 číslom 7, môžete to urobiť takto:
Výsledok sme získali ľahko, pretože akcia bola zredukovaná na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi. v dôsledku toho
Zváženie tejto akcie ukazuje, že vynásobenie zlomku celým číslom sa rovná zvýšeniu tohto zlomku toľkokrát, koľko jednotiek obsahuje celé číslo. A keďže zvýšenie zlomku sa dosiahne buď zvýšením jeho čitateľa
alebo znížením jeho menovateľa 
, potom môžeme čitateľa buď vynásobiť celým číslom, alebo ním vydeliť menovateľa, ak je takéto delenie možné.
Odtiaľ dostaneme pravidlo:
Ak chcete vynásobiť zlomok celým číslom, musíte vynásobiť čitateľa týmto celým číslom a ponechať rovnaký menovateľ alebo, ak je to možné, vydeliť menovateľa týmto číslom, pričom čitateľ zostane nezmenený.
Pri násobení sú možné skratky, napr.
2. Nájdenie zlomku daného čísla. Existuje veľa úloh, v ktorých musíte nájsť alebo vypočítať časť daného čísla. Rozdiel medzi týmito úlohami a inými je v tom, že udávajú počet niektorých predmetov alebo jednotiek merania a musíte nájsť časť tohto čísla, ktorá je tu tiež označená určitým zlomkom. Aby sme uľahčili pochopenie, najprv uvedieme príklady takýchto problémov a potom predstavíme spôsob ich riešenia.
Úloha 1. Mal som 60 rubľov; 1/3 z týchto peňazí som minul na nákup kníh. Koľko stáli knihy?
Úloha 2. Vlak musí prekonať vzdialenosť medzi mestami A a B, ktorá sa rovná 300 km. Už prekonal 2/3 tejto vzdialenosti. Koľko je toto kilometrov?
Úloha 3. V obci je 400 domov, z toho 3/4 sú murované, ostatné sú drevené. Koľko tehlové domy?
Tu sú niektoré z nich početné úlohy nájsť časť daného čísla, ktorú musíme splniť. Zvyčajne sa nazývajú problémy na nájdenie zlomku daného čísla.
Riešenie problému 1. Od 60 rubľov. 1/3 som minul na knihy; Ak chcete zistiť cenu kníh, musíte vydeliť číslo 60 tromi:
Riešenie problému 2. Význam problému je, že potrebujete nájsť 2/3 z 300 km. Vypočítajte prvú 1/3 z 300; to sa dosiahne vydelením 300 km tromi:
300: 3 = 100 (to je 1/3 z 300).
Ak chcete nájsť dve tretiny z 300, musíte zdvojnásobiť výsledný kvocient, to znamená vynásobiť 2:
100 x 2 = 200 (to sú 2/3 z 300).
Riešenie problému 3. Tu je potrebné určiť počet murovaných domov, ktorých sú 3/4 zo 400. Najprv nájdime 1/4 zo 400,
400 : 4 = 100 (to je 1/4 zo 400).
Na výpočet troch štvrtín zo 400 sa musí výsledný kvocient strojnásobiť, to znamená vynásobiť 3:
100 x 3 = 300 (to sú 3/4 zo 400).
Na základe riešenia týchto problémov môžeme odvodiť nasledujúce pravidlo:
Ak chcete nájsť hodnotu zlomku daného čísla, musíte toto číslo vydeliť menovateľom zlomku a výsledný podiel vynásobiť jeho čitateľom.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
Skôr (§ 26) sa stanovilo, že násobenie celých čísel by sa malo chápať ako sčítanie rovnakých výrazov (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). V tomto odseku (odsek 1) bolo stanovené, že vynásobenie zlomku celým číslom znamená nájsť súčet identických členov rovný tomuto zlomku.
V oboch prípadoch násobenie spočívalo v nájdení súčtu identických členov.
Teraz prejdeme k vynásobeniu celého čísla zlomkom. Tu sa stretneme napríklad s násobením: 9 2 / 3. Je celkom zrejmé, že predchádzajúca definícia násobenia v tomto prípade neplatí. Je to zrejmé z toho, že takéto násobenie nemôžeme nahradiť sčítaním rovnakých čísel.
Kvôli tomu budeme musieť dať novú definíciu násobenia, t.j. inými slovami, odpovedať na otázku, čo treba rozumieť pod násobením zlomkom, ako treba chápať tento úkon.
Význam násobenia celého čísla zlomkom je jasný z nasledujúcej definície: vynásobiť celé číslo (násobiteľ) zlomkom (násobiteľom) znamená nájsť tento zlomok násobiteľa.
Totiž vynásobenie 9 2/3 znamená nájdenie 2/3 z deviatich jednotiek. V predchádzajúcom odseku boli takéto problémy vyriešené; takže je ľahké zistiť, že skončíme so 6.
Teraz však vyvstáva zaujímavá a dôležitá otázka: prečo práve na prvý pohľad rôzne aktivity, ako nájdenie súčtu rovnakých čísel a nájdenie zlomku čísla, sa v aritmetike nazývajú rovnakým slovom "násobenie"?
Stáva sa to preto, lebo predchádzajúca akcia (niekoľkokrát zopakovanie čísla s výrazmi) a nová akcia (nájdenie zlomku čísla) dávajú odpoveď na homogénne otázky. To znamená, že tu vychádzame z úvah, že homogénne otázky alebo úlohy sa riešia jednou a tou istou akciou.
Aby ste to pochopili, zvážte nasledujúci problém: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko budú stáť 4 m takejto látky?
Tento problém sa rieši vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (4), t.j. 50 x 4 = 200 (rubľov).
Zoberme si rovnaký problém, ale v ňom bude množstvo látky vyjadrené ako zlomkové číslo: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko bude stáť 3/4 m takejto látky?
Tento problém je tiež potrebné vyriešiť vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (3/4).
Čísla v ňom môžete zmeniť aj niekoľkokrát bez toho, aby ste zmenili význam problému, napríklad zoberte 9/10 m alebo 2 3/10 m atď.
Keďže tieto úlohy majú rovnaký obsah a líšia sa len číslami, akcie použité pri ich riešení nazývame rovnakým slovom – násobenie.
Ako sa celé číslo vynásobí zlomkom?
Zoberme si čísla, s ktorými sme sa stretli v poslednom probléme:
Podľa definície musíme nájsť 3/4 z 50. Najprv nájdeme 1/4 z 50 a potom 3/4.
1/4 z 50 je 50/4;
3/4 z 50 je .
V dôsledku toho.
Zvážte ďalší príklad: 12 5 / 8 = ?
1/8 z 12 je 12/8,
5/8 z čísla 12 je .
v dôsledku toho
Odtiaľ dostaneme pravidlo:
Ak chcete vynásobiť celé číslo zlomkom, musíte celé číslo vynásobiť čitateľom zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a menovateľa daného zlomku podpísať ako menovateľa.
Toto pravidlo napíšeme pomocou písmen:
Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom pre násobenie čísla podielom, ktoré bolo ustanovené v § 38
Je potrebné mať na pamäti, že pred vykonaním násobenia by ste mali urobiť (ak je to možné) škrty, napríklad:
4. Násobenie zlomku zlomkom. Násobenie zlomku zlomkom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla zlomkom, to znamená, že pri násobení zlomku zlomkom je potrebné nájsť zlomok v násobilke z prvého zlomku (násobilky).
Totiž vynásobenie 3/4 1/2 (polovica) znamená nájdenie polovice 3/4.
Ako vynásobíte zlomok zlomkom?
Vezmime si príklad: 3/4 krát 5/7. To znamená, že musíte nájsť 5/7 z 3/4. Nájdite najskôr 1/7 z 3/4 a potom 5/7
1/7 z 3/4 by bola vyjadrená takto:
5/7 číslic 3/4 budú vyjadrené takto:
Touto cestou,
Ďalší príklad: 5/8 krát 4/9.
1/9 z 5/8 je ,
4/9 čísla 5/8 sú .
Touto cestou, 
Z týchto príkladov možno odvodiť nasledujúce pravidlo:
Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a urobiť prvý súčin čitateľom a druhý súčin menovateľom súčinu.
Toto je pravidlo v všeobecný pohľad možno napísať takto:
Pri násobení je potrebné robiť (ak je to možné) redukcie. Zvážte príklady:
5. Násobenie zmiešaných čísel. Keďže zmiešané čísla možno ľahko nahradiť nesprávnymi zlomkami, táto okolnosť sa zvyčajne používa pri násobení zmiešaných čísel. To znamená, že v prípadoch, keď sú násobiteľ alebo násobiteľ alebo oba faktory vyjadrené ako zmiešané čísla, sú nahradené nesprávnymi zlomkami. Vynásobte napríklad zmiešané čísla: 2 1/2 a 3 1/5. Každý z nich premeníme na nesprávny zlomok a výsledné zlomky potom vynásobíme podľa pravidla o násobení zlomku zlomkom:
Pravidlo. Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom vynásobiť podľa pravidla násobenia zlomku zlomkom.
Poznámka. Ak je jedným z faktorov celé číslo, násobenie možno vykonať na základe distribučného zákona takto:
6. Pojem úroku. Pri riešení problémov a vykonávaní rôznych praktické výpočty Používame všetky druhy zlomkov. Ale treba mať na pamäti, že mnohé veličiny nepripúšťajú žiadne, ale prirodzené členenia. Môžete si napríklad vziať jednu stotinu (1/100) rubľa, bude to cent, dve stotiny sú 2 kopejky, tri stotiny sú 3 kopejky. Môžete si zobrať 1/10 rubľa, bude to "10 kopejok alebo desetník. Môžete si vziať štvrtinu rubľa, tj 25 kopejok, pol rubľa, tj 50 kopejok (päťdesiat kopejok). Neberte si napríklad 2/7 rubľov, pretože rubeľ nie je rozdelený na sedminy.
Jednotka hmotnosti, teda kilogram, umožňuje v prvom rade desatinné delenie, napríklad 1/10 kg alebo 100 g. A také zlomky kilogramu ako 1/6, 1/11, 1/ 13 nie sú bežné.
Vo všeobecnosti sú naše (metrické) miery desatinné a umožňujú desiatkové delenie.
Treba však poznamenať, že je mimoriadne užitočné a vhodné v širokej škále prípadov použiť rovnakú (jednotnú) metódu delenia veličín. Dlhoročné skúsenosti ukázali, že takýmto opodstatneným delením je delenie na „stovky“. Uvažujme o niekoľkých príkladoch súvisiacich s najrozmanitejšími oblasťami ľudskej praxe.
1. Cena kníh sa znížila o 12/100 z predchádzajúcej ceny.
Príklad. Predchádzajúca cena knihy je 10 rubľov. Klesla o 1 rubeľ. 20 kop.
2. Sporiteľne vyplácajú v priebehu roka vkladateľom 2/100 sumy, ktorá sa vloží do sporenia.
Príklad. Do pokladne sa vloží 500 rubľov, príjem z tejto sumy za rok je 10 rubľov.
3. Počet absolventov jednej školy bol 5/100 z celkového počtu žiakov.
PRÍKLAD Na škole študovalo len 1200 žiakov, z nich 60 školu ukončilo.
Stotina čísla sa nazýva percento..
Slovo „percento“ je prevzaté z latinského jazyka a jeho koreň „cent“ znamená sto. Spolu s predložkou (pro centum) toto slovo znamená „za sto“. Význam tohto výrazu vyplýva zo skutočnosti, že spočiatku v staroveký Rímúroky boli peniaze, ktoré dlžník zaplatil veriteľovi „za každú stovku“. Slovo "cent" sa počúva v takých známych slovách: centner (sto kilogramov), centimeter (hovoria centimeter).
Napríklad, namiesto toho, aby sme povedali, že závod vyrobil 1/100 všetkých produktov, ktoré vyrobil za posledný mesiac, povieme toto: závod vyrobil za posledný mesiac jedno percento nepodarkov. Namiesto toho, aby sme povedali: závod vyrobil o 4/100 produktov viac ako bol stanovený plán, povieme: závod prekročil plán o 4 percentá.
Vyššie uvedené príklady môžu byť vyjadrené rôzne:
1. Cena kníh klesla o 12 percent z predchádzajúcej ceny.
2. Záložne vyplácajú vkladateľom 2 percentá ročne zo sumy vloženej do sporenia.
3. Počet absolventov jednej školy bol 5 percent z počtu všetkých žiakov školy.
Na skrátenie písmena je zvykom písať namiesto slova „percento“ znak %.
Treba však pamätať na to, že znamienko % sa zvyčajne nezapisuje do výpočtov, môže sa zapísať do úlohy a do konečného výsledku. Pri výpočtoch musíte namiesto celého čísla s touto ikonou napísať zlomok s menovateľom 100.
Musíte byť schopní nahradiť celé číslo zadanou ikonou zlomkom s menovateľom 100:
Naopak, musíte si zvyknúť písať celé číslo s naznačenou ikonou namiesto zlomku s menovateľom 100:
7. Nájdenie percent daného čísla.
Úloha 1.Škola dostala 200 metrov kubických. m palivového dreva, pričom brezové palivové drevo predstavuje 30 %. Koľko tam bolo brezového dreva?
Význam tohto problému je v tom, že brezové palivové drevo bolo len časťou palivového dreva, ktoré bolo dodané do školy a táto časť je vyjadrená zlomkom 30/100. Stojíme teda pred úlohou nájsť zlomok čísla. Aby sme to vyriešili, musíme vynásobiť 200 30 / 100 (úlohy na nájdenie zlomku čísla riešime vynásobením čísla zlomkom.).
Takže 30 % z 200 sa rovná 60.
Zlomok 30/100 vyskytujúci sa v tomto probléme možno zmenšiť o 10. Toto zmenšenie by bolo možné vykonať od úplného začiatku; riešenie problému by sa nezmenilo.
Úloha 2. V tábore bolo 300 detí rôzneho veku. Detí vo veku 11 rokov bolo 21 %, detí vo veku 12 rokov bolo 61 % a napokon 13-ročných 18 %. Koľko detí každého veku bolo v tábore?
V tomto probléme musíte vykonať tri výpočty, to znamená postupne nájsť počet detí vo veku 11 rokov, potom vo veku 12 rokov a nakoniec vo veku 13 rokov.
Takže tu bude potrebné nájsť zlomok čísla trikrát. Poďme na to:
1) Koľko detí malo 11 rokov?
2) Koľko detí malo 12 rokov?
3) Koľko detí malo 13 rokov?
Po vyriešení úlohy je užitočné doplniť nájdené čísla; ich súčet by mal byť 300:
63 + 183 + 54 = 300
Mali by ste tiež venovať pozornosť skutočnosti, že súčet percent uvedených v podmienke problému je 100:
21% + 61% + 18% = 100%
To naznačuje celkový počet deti, ktoré boli v tábore boli brané ako 100%.
3 a da cha 3. Pracovník dostal 1 200 rubľov mesačne. Z toho 65 % minul na stravu, 6 % na byt a kúrenie, 4 % na plyn, elektrinu a rozhlas, 10 % na kultúrne potreby a 15 % ušetril. Koľko peňazí bolo vynaložených na potreby uvedené v úlohe?
Ak chcete vyriešiť tento problém, musíte 5-krát nájsť zlomok čísla 1 200. Poďme na to.
1) Koľko peňazí sa minie na jedlo? Úloha hovorí, že tento výdavok je 65 % zo všetkých zárobkov, teda 65/100 z čísla 1 200. Urobme výpočet:
2) Koľko peňazí sa zaplatilo za byt s kúrením? Argumentujúc ako predchádzajúci, dospejeme k nasledujúcemu výpočtu:
3) Koľko peňazí ste zaplatili za plyn, elektrinu a rádio?
4) Koľko peňazí sa vynakladá na kultúrne potreby?
5) Koľko peňazí pracovník ušetril?
Pre overenie je užitočné pridať čísla nájdené v týchto 5 otázkach. Suma by mala byť 1 200 rubľov. Všetky zárobky sa berú ako 100 %, čo sa dá ľahko skontrolovať sčítaním percent uvedených vo vyhlásení o probléme.
Vyriešili sme tri problémy. Napriek tomu, že tieto úlohy boli o rôznych veciach (dodávka palivového dreva pre školu, počet detí rôzneho veku, výdavky pracovníka), riešili sa rovnako. Stalo sa tak preto, že vo všetkých úlohách bolo potrebné nájsť niekoľko percent z daných čísel.
§ 90. Delenie zlomkov.
Pri štúdiu rozdelenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:
1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
2. Delenie zlomku celým číslom
3. Delenie celého čísla zlomkom.
4. Delenie zlomku zlomkom.
5. Delenie zmiešaných čísel.
6. Nájdenie čísla podľa jeho zlomku.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.
Uvažujme ich postupne.
1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
Ako bolo naznačené v časti o celých číslach, delenie je dej spočívajúci v tom, že pri súčine dvoch faktorov (dividenda) a jedného z týchto faktorov (deliteľ) sa nájde ďalší faktor.
Delenie celého čísla celým číslom sme uvažovali v oddelení celých čísel. Stretli sme sa tam s dvoma prípadmi delenia: delenie bez zvyšku, alebo „úplne“ (150 : 10 = 15) a delenie so zvyškom (100 : 9 = 11 a 1 vo zvyšku). Môžeme teda povedať, že v oblasti celých čísel nie je presné delenie vždy možné, pretože dividenda nie je vždy súčinom deliteľa a celého čísla. Po zavedení násobenia zlomkom môžeme považovať za možný akýkoľvek prípad delenia celých čísel (vylúčené je len delenie nulou).
Napríklad delenie 7 číslom 12 znamená nájdenie čísla, ktorého súčin krát 12 by bol 7. Toto číslo je zlomok 7/12, pretože 7/12 12 = 7. Ďalší príklad: 14: 25 = 14/25, pretože 14/25 25 = 14.
Ak teda chcete deliť celé číslo celým číslom, musíte vytvoriť zlomok, ktorého čitateľ sa rovná dividende a menovateľ je deliteľ.
2. Delenie zlomku celým číslom.
Vydeľte zlomok 6 / 7 3. Podľa definície delenia uvedenej vyššie tu máme súčin (6 / 7) a jeden z faktorov (3); je potrebné nájsť taký druhý faktor, ktorý po vynásobení 3 dostane daný súčin 6/7. Je zrejmé, že by mal byť trikrát menší ako tento produkt. To znamená, že úlohou, ktorá bola pred nami, bolo znížiť zlomok 6/7 3-krát.
Už vieme, že zlomok možno zmenšiť buď zmenšením jeho čitateľa, alebo zvýšením jeho menovateľa. Preto môžete napísať:
IN tento prípadčitateľ 6 je deliteľný 3, preto by sa mal čitateľ zmenšiť 3-krát.
Zoberme si ďalší príklad: 5 / 8 delené 2. Tu čitateľ 5 nie je deliteľný 2, čo znamená, že menovateľ bude musieť byť vynásobený týmto číslom:
Na základe toho môžeme stanoviť pravidlo: Ak chcete rozdeliť zlomok celým číslom, musíte vydeliť čitateľa zlomku týmto celým číslom(Ak je to možné), ponecháme rovnakého menovateľa, alebo vynásobíme menovateľa zlomku týmto číslom, pričom zostane rovnaký čitateľ.
3. Delenie celého čísla zlomkom.
Nech je potrebné deliť 5 1/2, teda nájsť číslo, ktoré po vynásobení 1/2 dostane súčin 5. Je zrejmé, že toto číslo musí byť väčšie ako 5, keďže 1/2 je vlastný zlomok, a pri vynásobení čísla správnym zlomkom musí byť súčin menší ako násobiteľ. Aby to bolo jasnejšie, napíšme naše akcie takto: 5: 1 / 2 = X , takže x 1/2 \u003d 5.
Takéto číslo musíme nájsť X , čo po vynásobení 1/2 by dalo 5. Keďže vynásobenie určitého čísla 1/2 znamená nájsť 1/2 tohto čísla, potom teda 1/2 neznáme číslo X je 5 a celé číslo X dvakrát toľko, t.j. 5 2 \u003d 10.
Takže 5: 1/2 = 5 2 = 10
Skontrolujme to: 
Uvažujme ešte o jednom príklade. Nech je potrebné deliť 6 2/3. Skúsme najskôr nájsť požadovaný výsledok pomocou nákresu (obr. 19).
Obr.19
Nakreslite segment AB, ktorý sa rovná 6 z niektorých jednotiek, a rozdeľte každú jednotku na 3 rovnaké časti. V každej jednotke sú tri tretiny (3 / 3) v celom segmente AB 6-krát väčšie, t.j. napríklad 18/3. Spájame pomocou malých konzol 18 získaných segmentov po 2; Bude len 9 segmentov. To znamená, že zlomok 2/3 je obsiahnutý v b jednotkách 9-krát, alebo, inými slovami, zlomok 2/3 je 9-krát menší ako 6 celých jednotiek. v dôsledku toho
Ako získať tento výsledok bez výkresu iba pomocou výpočtov? Budeme argumentovať nasledovne: je potrebné vydeliť 6 2 / 3, tj je potrebné odpovedať na otázku, koľkokrát je 2 / 3 obsiahnutých v 6. Najprv zistíme: koľkokrát je 1 / 3 obsiahnuté v 6? V celej jednotke - 3 tretiny a v 6 jednotkách - 6 krát viac, t.j. 18 tretín; aby sme našli toto číslo, musíme 6 vynásobiť 3. Preto 1/3 je obsiahnutá v b jednotkách 18-krát a 2/3 je obsiahnutá v b jednotkách nie 18-krát, ale polovične, tj 18: 2 = 9 Preto pri delení 6 2/3 sme urobili nasledovné:
Odtiaľ dostaneme pravidlo na delenie celého čísla zlomkom. Ak chcete deliť celé číslo zlomkom, musíte toto celé číslo vynásobiť menovateľom daného zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a vydeliť ho čitateľom daného zlomku.
Pravidlo napíšeme pomocou písmen:
Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom delenia čísla podielom, ktoré bolo uvedené v § 38. Všimnite si, že tam bol získaný rovnaký vzorec.
Pri delení sú možné skratky, napr.
4. Delenie zlomku zlomkom.
Nech je potrebné deliť 3/4 3/8. Čo bude označovať číslo, ktoré sa získa v dôsledku delenia? Odpovie na otázku, koľkokrát je zlomok 3/8 obsiahnutý v zlomku 3/4. Aby sme pochopili túto problematiku, urobme si nákres (obr. 20).
Vezmite segment AB, vezmite ho ako celok, rozdeľte ho na 4 rovnaké časti a označte 3 takéto časti. Segment AC sa bude rovnať 3/4 segmentu AB. Rozdeľme teraz každý zo štyroch počiatočných segmentov na polovicu, potom sa segment AB rozdelí na 8 rovnakých častí a každá takáto časť sa bude rovnať 1/8 segmentu AB. Spojíme 3 takéto segmenty s oblúkmi, potom sa každý zo segmentov AD a DC bude rovnať 3/8 segmentu AB. Na výkrese je znázornené, že segment rovnajúci sa 3/8 je obsiahnutý v segmente rovnajúcemu sa 3/4 presne 2-krát; Takže výsledok delenia možno zapísať takto:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Uvažujme ešte o jednom príklade. Nech je potrebné deliť 15/16 3/32:
Môžeme uvažovať takto: musíme nájsť číslo, ktoré po vynásobení 3/32 dostane súčin rovný 15/16. Zapíšme si výpočty takto:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 neznáme číslo X make up 15/16
1/32 neznáme číslo X je ,
32/32 čísel X makeup .
v dôsledku toho
Ak teda chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého a vynásobiť menovateľa prvého zlomku čitateľom druhého a urobiť z prvého súčinu čitateľa a druhý menovateľ.
Napíšme pravidlo pomocou písmen:
Pri delení sú možné skratky, napr.
5. Delenie zmiešaných čísel.
Pri delení zmiešaných čísel sa musia najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom by sa výsledné zlomky mali rozdeliť podľa pravidiel na delenie zlomkových čísel. Zvážte príklad:
Previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:
Teraz sa rozdeľme:
Ak teda chcete rozdeliť zmiešané čísla, musíte ich previesť na nesprávne zlomky a potom rozdeliť podľa pravidla na delenie zlomkov.
6. Nájdenie čísla podľa jeho zlomku.
Medzi rôznymi úlohami o zlomkoch sú niekedy také, v ktorých je daná hodnota nejakého zlomku neznámeho čísla a je potrebné toto číslo nájsť. Tento typ problému bude inverzný k problému nájdenia zlomku daného čísla; tam bolo dané číslo a bolo potrebné nájsť nejaký zlomok tohto čísla, tu je daný zlomok čísla a je potrebné nájsť toto číslo samo. Táto myšlienka bude ešte jasnejšia, ak sa obrátime na riešenie tohto typu problému.
Úloha 1. V prvý deň sklenári zasklili 50 okien, čo je 1/3 všetkých okien postaveného domu. Koľko okien je v tomto dome?
Riešenie. Problém hovorí, že 50 zasklených okien tvorí 1/3 všetkých okien domu, čiže celkovo je okien 3x viac, t.j.
Dom mal 150 okien.
Úloha 2. Predajňa predala 1500 kg múky, čo sú 3/8 z celkových zásob múky v predajni. Aká bola počiatočná dodávka múky v obchode?
Riešenie. Zo stavu problému je vidieť, že predaných 1500 kg múky tvorí 3/8 celkových zásob; to znamená, že 1/8 tejto zásoby bude 3-krát menej, t.j. na jej výpočet je potrebné znížiť 1500 3-krát:
1 500: 3 = 500 (to je 1/8 zásob).
Je zrejmé, že celá zásoba bude 8-krát väčšia. v dôsledku toho
500 8 \u003d 4 000 (kg).
Počiatočná zásoba múky v predajni bola 4000 kg.
Z uvažovania o tomto probléme možno odvodiť nasledujúce pravidlo.
Ak chcete nájsť číslo zadanou hodnotou jeho zlomku, stačí túto hodnotu vydeliť čitateľom zlomku a výsledok vynásobiť menovateľom zlomku.
Vyriešili sme dva problémy s nájdením čísla daného zlomkom. Takéto problémy, ako je obzvlášť dobre vidieť z posledného, sa riešia dvoma akciami: delením (keď sa nájde jedna časť) a násobením (keď sa nájde celé číslo).
Avšak potom, čo sme študovali delenie zlomkov, vyššie uvedené problémy môžu byť vyriešené v jednej akcii, a to: delenie zlomkom.
Napríklad posledná úloha sa dá vyriešiť jednou akciou takto:
V budúcnosti vyriešime problém hľadania čísla jeho zlomkom v jednej akcii – delení.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.
V týchto úlohách budete musieť nájsť číslo a poznať niekoľko percent tohto čísla.
Úloha 1. Na začiatku aktuálny rok Zo sporiteľne som dostal 60 rubľov. príjem zo sumy, ktorú som pred rokom vložil do sporenia. Koľko peňazí som vložil do sporiteľne? (Pokladne dávajú vkladateľom 2 % z príjmu ročne.)
Zmysel problému je v tom, že určitú sumu peňazí som vložil do sporiteľne a ležal tam rok. Po roku som od nej dostal 60 rubľov. príjem, čo sú 2/100 z peňazí, ktoré som vložil. Koľko peňazí som vložil?
Preto, keď poznáme časť týchto peňazí, vyjadrenú dvoma spôsobmi (v rubľoch a zlomkoch), musíme nájsť celú, zatiaľ neznámu sumu. Toto je bežný problém nájsť číslo vzhľadom na jeho zlomok. Nasledujúce úlohy sa riešia delením:
Do sporiteľne sa teda vložilo 3 000 rubľov.
Úloha 2. Za dva týždne rybári splnili mesačný plán na 64 %, keď pripravili 512 ton rýb. Aký mali plán?
Zo stavu problému je známe, že rybári časť plánu splnili. Táto časť sa rovná 512 tonám, čo je 64 % plánu. Koľko ton rýb treba podľa plánu vyloviť, nevieme. Riešenie problému bude spočívať v nájdení tohto čísla.
Takéto úlohy sa riešia rozdelením:
Takže podľa plánu musíte pripraviť 800 ton rýb.
Úloha 3. Vlak išiel z Rigy do Moskvy. Keď prešiel 276. kilometer, jeden z cestujúcich sa spýtal okoloidúceho sprievodcu, koľko cesty už prešli. Na to sprievodca odpovedal: „Už sme prešli 30% celej cesty. Aká je vzdialenosť z Rigy do Moskvy?
Zo stavu problému je zrejmé, že 30% cesty z Rigy do Moskvy je 276 km. Musíme nájsť celú vzdialenosť medzi týmito mestami, t. j. pre túto časť nájsť celok:
§ 91. Vzájomné čísla. Nahradenie delenia násobením.
Vezmite zlomok 2/3 a preusporiadajte čitateľa na miesto menovateľa, dostaneme 3/2. Dostali sme zlomok, recipročný tohto.
Aby ste dostali zlomok prevrátený k danému, musíte na miesto menovateľa umiestniť jeho čitateľa a na miesto čitateľa menovateľa. Týmto spôsobom môžeme získať zlomok, ktorý je prevrátený k ľubovoľnému zlomku. Napríklad:
3/4, spätný chod 4/3; 5/6, spätný chod 6/5
Dva zlomky, ktoré majú vlastnosť, že čitateľ prvého je menovateľom druhého a menovateľ prvého je čitateľom druhého, sa nazývajú vzájomne inverzné.
Teraz sa zamyslime nad tým, aký zlomok bude prevrátená 1/2. Je zrejmé, že to bude 2 / 1, alebo len 2. Ak hľadáme prevrátenú hodnotu, máme celé číslo. A tento prípad nie je izolovaný; naopak, pre všetky zlomky s čitateľom 1 (jedna) budú prevrátené celé čísla, napríklad:
1/3, prevrátená 3; 1/5, obrátene 5
Keďže pri hľadaní recipročných sme sa stretli aj s celými číslami, v budúcnosti nebudeme hovoriť o recipročných, ale o recipročné X.
Poďme zistiť, ako napísať prevrátenú hodnotu celého čísla. V prípade zlomkov je to vyriešené jednoducho: namiesto čitateľa musíte umiestniť menovateľa. Rovnakým spôsobom môžete získať prevrátenú hodnotu celého čísla, pretože každé celé číslo môže mať menovateľa 1. Takže prevrátená hodnota 7 bude 1 / 7, pretože 7 \u003d 7 / 1; pre číslo 10 je to naopak 1/10, pretože 10 = 10/1
Túto myšlienku možno vyjadriť aj inak: prevrátenú hodnotu daného čísla získame vydelením jednotky daným číslom. Toto tvrdenie platí nielen pre celé čísla, ale aj pre zlomky. Skutočne, ak chcete napísať číslo, ktoré je prevrátené k zlomku 5 / 9, potom môžeme vziať 1 a vydeliť ho 5 / 9, t.j.
Teraz poukážeme na jeden nehnuteľnosť vzájomne recipročné čísla, ktoré sa nám budú hodiť: súčin vzájomne recipročných čísel sa rovná jednej. Naozaj:
Pomocou tejto vlastnosti môžeme nájsť recipročné hodnoty nasledujúcim spôsobom. Nájdite prevrátenú hodnotu 8.
Označme to písmenom X , potom 8 X = 1, teda X = 1/8. Nájdime iné číslo, prevrátené číslo 7/12, označme ho písmenom X , potom 7/12 X = 1, teda X = 1:7 / 12 alebo X = 12 / 7 .
Zaviedli sme tu pojem reciproké čísla, aby sme mierne doplnili informácie o delení zlomkov.
Keď vydelíme číslo 6 3/5, urobíme nasledovné:
zaplatiť Osobitná pozornosť k výrazu a porovnajte ho s daným: .
Ak vezmeme výraz oddelene, bez spojenia s predchádzajúcim, potom nie je možné vyriešiť otázku, odkiaľ pochádza: z delenia 6 3/5 alebo z vynásobenia 6 5/3. V oboch prípadoch je výsledok rovnaký. Takže môžeme povedať že delenie jedného čísla druhým možno nahradiť vynásobením dividendy prevrátenou hodnotou deliteľa.
Príklady, ktoré uvádzame nižšie, plne potvrdzujú tento záver.
Násobenie a delenie zlomkov.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Táto operácia je oveľa krajšia ako sčítanie-odčítanie! Pretože je to jednoduchšie. Pripomínam vám: ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľov (toto bude čitateľ výsledku) a menovateľov (toto bude menovateľ). T.j.:
Napríklad:
Všetko je mimoriadne jednoduché. A prosím, nehľadajte spoločného menovateľa! Netreba to tu...
Ak chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte ho prevrátiť druhý(to je dôležité!) zlomok a vynásobte ich, t.j.:
Napríklad:
Ak sa zachytí násobenie alebo delenie celými číslami a zlomkami, je to v poriadku. Rovnako ako pri sčítaní, aj tu urobíme zlomok z celého čísla s jednotkou v menovateli – a ide sa! Napríklad:
Na strednej škole sa často musíte zaoberať trojposchodovými (alebo aj štvorposchodovými!) zlomkami. Napríklad:
Ako priviesť tento zlomok do slušnej podoby? Áno, veľmi jednoduché! Použite rozdelenie podľa dvoch bodov:
Nezabudnite však na poradie rozdelenia! Na rozdiel od násobenia je to tu veľmi dôležité! Samozrejme, 4:2 alebo 2:4 si nepopletieme. Ale v trojposchodovom zlomku je ľahké urobiť chybu. Všimnite si napríklad:
V prvom prípade (výraz vľavo):
V druhom (výraz vpravo):
Cítiť rozdiel? 4 a 1/9!
Aké je poradie delenia? Alebo zátvorky, alebo (ako tu) dĺžka vodorovných pomlčiek. Rozvíjať oko. A ak neexistujú žiadne zátvorky alebo pomlčky, napríklad:
potom deliť-násobiť v poradí, zľava doprava!
A veľmi jednoduché a dôležitý trik. V akciách s grády sa vám to bude hodiť! Rozdeľme jednotku ľubovoľným zlomkom, napríklad 13/15:
Strela sa obrátila! A vždy sa to stane. Pri delení 1 ľubovoľným zlomkom je výsledkom rovnaký zlomok, len prevrátený.
To sú všetky akcie so zlomkami. Vec je celkom jednoduchá, ale poskytuje viac než dosť chýb. Poznámka praktické rady a bude ich (chýb) menej!
Praktické rady:
1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť! Toto nie sú bežné slová, nie dobré priania! Toto naliehavá potreba! Všetky výpočty na skúške robte ako plnohodnotnú úlohu, sústredene a prehľadne. Je lepšie napísať dva riadky navyše do konceptu, ako sa pokaziť pri počítaní v hlave.
2. V príkladoch s odlišné typy zlomky - prejdite na obyčajné zlomky.
3. Všetky frakcie zredukujeme až na doraz.
4. Viacpodlažný zlomkové výrazy redukujeme na obyčajné pomocou delenia cez dva body (dodržiavame poradie delenia!).
5. Jednotku v mysli rozdelíme na zlomok, a to jednoduchým otočením zlomku.
Tu sú úlohy, ktoré musíte splniť. Odpovede sú uvedené po všetkých úlohách. Použite materiály tejto témy a praktické rady. Odhadnite, koľko príkladov by ste dokázali správne vyriešiť. Prvý krát! Bez kalkulačky! A urobte správne závery...
Zapamätajte si správnu odpoveď získané z druhého (najmä tretieho) času - sa nepočíta! Taký je krutý život.
takze riešiť v skúšobnom režime ! Mimochodom, toto je príprava na skúšku. Riešime príklad, kontrolujeme, riešime nasledovné. O všetkom sme rozhodli - znova sme kontrolovali od prvého do posledného. Iba Potom pozri si odpovede.
Vypočítať:
Rozhodli ste sa?
Hľadáte odpovede, ktoré zodpovedajú vašim. Konkrétne som ich napísal v neporiadku, takpovediac ďaleko od pokušenia... Tu sú odpovede, zapísané bodkočiarkou.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
A teraz robíme závery. Ak všetko fungovalo - šťastný pre vás! Elementárne výpočty so zlomkami nie sú váš problém! Môžete robiť aj vážnejšie veci. Ak nie...
Takže máte jeden z dvoch problémov. Alebo oboje naraz.) Nedostatok vedomostí a (alebo) nepozornosť. Ale toto riešiteľný Problémy.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Násobenie celého čísla zlomkom je jednoduchá úloha. Existujú však jemnosti, ktoré ste pravdepodobne pochopili v škole, ale odvtedy ste na ne zabudli.
Ako vynásobiť celé číslo zlomkom - niekoľko pojmov
Ak si pamätáte, čo je čitateľ a menovateľ a ako sa správny zlomok líši od nesprávneho, tento odsek preskočte. Je pre tých, ktorí úplne zabudli na teóriu.
Čitateľ je horná časť zlomku - to, čo delíme. Menovateľ je ten spodný. To je to, čo zdieľame.
Vlastný zlomok je zlomok, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ. Nevlastný zlomok je zlomok, ktorého čitateľ je väčší alebo rovný menovateľovi.
Ako vynásobiť celé číslo zlomkom
Pravidlo pre násobenie celého čísla zlomkom je veľmi jednoduché – čitateľa vynásobíme celým číslom a menovateľa sa nedotkneme. Napríklad: dve vynásobené jednou pätinou – dostaneme dve pätiny. Štyri krát tri šestnástky je dvanásť šestnástok.
Zníženie
V druhom príklade je možné výslednú frakciu znížiť.
Čo to znamená? Všimnite si, že čitateľ aj menovateľ tohto zlomku sú deliteľné štyrmi. Vydeľte obe čísla spoločný deliteľ a nazýva sa - znížiť zlomok. Dostaneme tri štvrtiny.
Nepravé zlomky
Predpokladajme však, že vynásobíme štyri krát dve pätiny. Má osem pätín. Toto je nesprávny zlomok.
Treba to priviesť správna forma. Aby ste to dosiahli, musíte z nej vybrať celú časť.
Tu je potrebné použiť delenie so zvyškom. Zostáva nám jedna a tri.
Jeden celok a tri pätiny je náš správny zlomok.
Oprava tridsiatich piatich osmin je o niečo náročnejšia. Najbližšie číslo k tridsiatim siedmim, ktoré je deliteľné ôsmimi, je tridsaťdva. Pri rozdelení dostaneme štyri. Od tridsiatich piatich odpočítame tridsaťdva – dostaneme tri. Výsledok: štyri celé a tri osminy.
Rovnosť čitateľa a menovateľa. A tu je všetko veľmi jednoduché a krásne. Keď sú čitateľ a menovateľ rovnaký, výsledok je len jeden.
Ďalšou operáciou, ktorú možno vykonať s obyčajnými zlomkami, je násobenie. Pokúsime sa vysvetliť jej základné pravidlá pri riešení úloh, ukážeme, ako sa obyčajný zlomok násobí prirodzeným číslom a ako správne násobiť tri bežné zlomky a viac.
Najprv si napíšme základné pravidlo:
Definícia 1
Ak vynásobíme jeden obyčajný zlomok, potom sa čitateľ výsledného zlomku bude rovnať súčinu čitateľov pôvodných zlomkov a menovateľ súčinu ich menovateľov. V doslovnej forme to možno pre dva zlomky a / b a c / d vyjadriť ako a b · c d = a · c b · d.
Pozrime sa na príklad, ako správne aplikovať toto pravidlo. Povedzme, že máme štvorec, ktorého strana sa rovná jednej číselnej jednotke. Potom bude plocha obrázku 1 štvorcový. jednotka. Ak štvorec rozdelíme na rovnaké obdĺžniky so stranami rovnými 1 4 a 1 8 číselnej jednotky, dostaneme, že teraz pozostáva z 32 obdĺžnikov (pretože 8 4 = 32). V súlade s tým sa plocha každého z nich bude rovnať 1 32 plochy celého obrázku, t.j. 1 32 štvorcových Jednotky.
Máme tieňovaný fragment so stranami rovnými 5 8 číselným jednotkám a 3 4 číselným jednotkám. Na výpočet jeho plochy je teda potrebné vynásobiť prvý zlomok druhým. Bude sa rovnať 5 8 3 4 štvorcovým metrom. Jednotky. Ale môžeme jednoducho spočítať, koľko obdĺžnikov je zahrnutých vo fragmente: je ich 15, takže Celková plocha je 1532 štvorcových jednotiek.
Pretože 5 3 = 15 a 8 4 = 32, môžeme napísať nasledujúcu rovnicu:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Je to potvrdenie nami sformulovaného pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov, ktoré je vyjadrené ako a b · c d = a · c b · d. Funguje to rovnako pre správne aj nesprávne zlomky; Môže sa použiť na násobenie zlomkov s rôznymi a rovnakými menovateľmi.
Poďme analyzovať riešenia niekoľkých úloh na násobenie obyčajných zlomkov.
Príklad 1
Vynásobte 7 11 číslom 9 8 .
Riešenie
Na začiatok vypočítame súčin čitateľov uvedených zlomkov vynásobením 7 x 9. Máme 63. Potom vypočítame súčin menovateľov a dostaneme: 11 8 = 88 . Poskladajme odpoveď z dvoch čísel: 63 88.
Celé riešenie možno napísať takto:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
odpoveď: 7 11 9 8 = 63 88 .
Ak sme v odpovedi dostali redukovateľný zlomok, musíme dokončiť výpočet a vykonať jeho redukciu. Ak dostaneme nesprávny zlomok, musíme z neho vybrať celú časť.
Príklad 2
Vypočítajte súčin zlomkov 415 a 556.
Riešenie
Podľa vyššie uvedeného pravidla musíme vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Zadanie riešenia bude vyzerať takto:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Získali sme redukovanú frakciu, t.j. taký, ktorý má znamienko deliteľnosti 10.
Znížime zlomok: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. V dôsledku toho sme dostali nesprávny zlomok, z ktorého vyberieme celú časť a získame zmiešané číslo: 22 9 \u003d 2 4 9.
odpoveď: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Pre pohodlie výpočtu môžeme pred vykonaním operácie násobenia zmenšiť aj pôvodné zlomky, na ktoré potrebujeme zlomok zmenšiť na tvar a · c b · d. Hodnoty premenných rozložíme na jednoduché faktory a tie isté zrušíme.
Vysvetlime si, ako to vyzerá s použitím údajov konkrétneho problému.
Príklad 3
Vypočítajte súčin 4 15 55 6 .
Riešenie
Napíšme výpočty na základe pravidla násobenia. Budeme môcť:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Pretože ako 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 a 6 = 2 3, potom 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Odpoveď: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Číselný výraz, v ktorom dochádza k násobeniu obyčajných zlomkov, má komutatívnu vlastnosť, to znamená, že v prípade potreby môžeme zmeniť poradie faktorov:
a b c d = c d a b = a c b d
Ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom
Hneď si zapíšme základné pravidlo, a potom si ho skúsme vysvetliť v praxi.
Definícia 2
Ak chcete vynásobiť obyčajný zlomok prirodzeným číslom, musíte vynásobiť čitateľa tohto zlomku týmto číslom. V tomto prípade sa menovateľ konečného zlomku bude rovnať menovateľovi pôvodného obyčajného zlomku. Násobenie nejakého zlomku a b prirodzeným číslom n možno zapísať ako vzorec a b · n = a · n b .
Je ľahké pochopiť tento vzorec, ak si pamätáte, že akékoľvek prirodzené číslo môže byť reprezentované ako obyčajný zlomok s menovateľom, rovný jednej, t.j.:
a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b
Vysvetlime si našu myšlienku na konkrétnych príkladoch.
Príklad 4
Vypočítajte súčin 2 27 krát 5 .
Riešenie
V dôsledku vynásobenia čitateľa pôvodného zlomku druhým faktorom dostaneme 10. Na základe vyššie uvedeného pravidla dostaneme ako výsledok 10 27. Celé riešenie je uvedené v tomto príspevku:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
odpoveď: 2 27 5 = 10 27
Keď vynásobíme prirodzené číslo spoločným zlomkom, často musíme výsledok zmenšiť alebo reprezentovať ako zmiešané číslo.
Príklad 5
Podmienka: Vypočítajte súčin 8 krát 5 12 .
Riešenie
Podľa vyššie uvedeného pravidla vynásobíme prirodzené číslo čitateľom. Výsledkom je, že 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Posledný zlomok má znaky deliteľnosti 2, takže ho musíme zmenšiť:
LCM (40, 12) \u003d 4, takže 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3
Teraz už len musíme vybrať celú časť a zapísať hotovú odpoveď: 10 3 = 3 1 3.
V tomto zázname môžete vidieť celé riešenie: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .
Zlomok by sme mohli zmenšiť aj rozdelením čitateľa a menovateľa na prvočísla a výsledok by bol úplne rovnaký.
odpoveď: 5 12 8 = 3 1 3 .
Číselný výraz, v ktorom je prirodzené číslo vynásobené zlomkom, má tiež vlastnosť posunutia, to znamená, že poradie faktorov neovplyvňuje výsledok:
a b n = n a b = a n b
Ako vynásobiť tri alebo viac bežných zlomkov
Na násobenie obyčajných zlomkov môžeme rozšíriť tie isté vlastnosti, ktoré sú charakteristické pre násobenie prirodzených čísel. Vyplýva to zo samotnej definície týchto pojmov.
Vďaka znalostiam o asociatívnych a komutatívnych vlastnostiach je možné násobiť tri a viac obyčajných zlomkov. Pre väčšie pohodlie je prípustné preusporiadať faktory na miestach alebo usporiadať zátvorky tak, aby bolo ľahšie počítanie.
Ukážme si príklad, ako sa to robí.
Príklad 6
Vynásobte štyri bežné zlomky 1 20 , 12 5 , 3 7 a 5 8 .
Riešenie: Najprv si prácu nahrajte. Dostaneme 1 20 12 5 3 7 5 8 . Musíme vynásobiť všetky čitateľa a všetky menovatele spolu: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .
Predtým, než sa pustíme do násobenia, môžeme si to trochu uľahčiť a niektoré čísla rozložiť na prvočísla pre ďalšie znižovanie. Bude to jednoduchšie, ako znížiť výslednú výslednú frakciu.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
odpoveď: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.
Príklad 7
Vynásobte 5 čísel 7 8 12 8 5 36 10 .
Riešenie
Pre pohodlie môžeme zlomok 78 zoskupiť s číslom 8 a číslo 12 so zlomkom 536, pretože nám to ozrejmí budúce skratky. V dôsledku toho dostaneme:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 3 5 10 116 2 3
odpoveď: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Aby ste správne vynásobili zlomok zlomkom alebo zlomok číslom, musíte vedieť jednoduché pravidlá. Teraz tieto pravidlá podrobne rozoberieme.
Násobenie zlomku zlomkom.
Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vypočítať súčin čitateľov a súčin menovateľov týchto zlomkov.
\(\bf \frac(a)(b) \krát \frac(c)(d) = \frac(a \krát c)(b \krát d)\\\)
Zvážte príklad:
Čitateľ prvého zlomku vynásobíme čitateľom druhého zlomku a menovateľ prvého zlomku vynásobíme aj menovateľom druhého zlomku.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ krát 3)(7 \krát 3) = \frac(4)(7)\\\)
Zlomok \(\frac(12)(21) = \frac(4 \krát 3) (7 \krát 3) = \frac(4)(7)\\\) sa zmenšil o 3.
Násobenie zlomku číslom.
Začnime s pravidlom akékoľvek číslo môže byť vyjadrené ako zlomok \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Využime toto pravidlo na násobenie.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Nesprávny zlomok \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) bol skonvertovaný na zmiešaná frakcia.
Inými slovami, Pri násobení čísla zlomkom vynásobte číslo čitateľom a menovateľ ponechajte nezmenený. Príklad:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \krát c = \frac(a \krát c)(b)\\\)
Násobenie zmiešaných frakcií.
Ak chcete násobiť zmiešané zlomky, musíte najprv každý zmiešaný zlomok reprezentovať ako nesprávny zlomok a potom použiť pravidlo násobenia. Čitateľ sa násobí čitateľom, menovateľ sa násobí menovateľom.
Príklad:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \krát 6) = \frac(3 \krát \color(červená) (3) \krát 23)(4 \krát 2 \krát \farba(červená) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Násobenie vzájomných zlomkov a čísel.
Zlomok \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzný k zlomku \(\bf \frac(b)(a)\), ak a≠0,b≠0.
Zlomky \(\bf \frac(a)(b)\) a \(\bf \frac(b)(a)\) sa nazývajú recipročné. Súčin recipročných zlomkov je 1.
\(\bf \frac(a)(b) \krát \frac(b)(a) = 1 \\\)
Príklad:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Súvisiace otázky:
Ako vynásobiť zlomok zlomkom?
Odpoveď: súčin obyčajných zlomkov je vynásobením čitateľa s čitateľom, menovateľa s menovateľom. Ak chcete získať produkt zmiešaných zlomkov, musíte ich previesť na nesprávny zlomok a vynásobiť podľa pravidiel.
Ako násobiť zlomky s rôznymi menovateľmi?
odpoveď: je jedno či sú rovnaké resp rôznych menovateľov pri zlomkoch nastáva násobenie podľa pravidla hľadania súčinu čitateľa s čitateľom, menovateľa s menovateľom.
Ako násobiť zmiešané zlomky?
Odpoveď: Najprv musíte previesť zmiešanú frakciu na nesprávnu frakciu a potom nájsť produkt podľa pravidiel násobenia.
Ako vynásobiť číslo zlomkom?
Odpoveď: Číslo vynásobíme čitateľom a menovateľa necháme rovnaký.
Príklad č. 1:
Vypočítajte súčin: a) \(\frac(8)(9) \krát \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \krát \frac(10)(13) \ )
Riešenie:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( červená) (5))(3 \krát \farba(červená) (5) \krát 13) = \frac(4)(39)\)
Príklad č. 2:
Vypočítajte súčin čísla a zlomku: a) \(3 \krát \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \krát 11\)
Riešenie:
a) \(3 \krát \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \krát \frac(17)(23) = \frac(3 \krát 17)(1 \krát 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Príklad č. 3:
Napíšte prevrátenú hodnotu \(\frac(1)(3)\)?
Odpoveď: \(\frac(3)(1) = 3\)
Príklad č. 4:
Vypočítajte súčin dvoch recipročných zlomkov: a) \(\frac(104)(215) \krát \frac(215)(104)\)
Riešenie:
a) \(\frac(104)(215) \krát \frac(215)(104) = 1\)
Príklad č. 5:
Môžu byť vzájomne inverzné zlomky:
a) oba vlastné zlomky;
b) súčasne nesprávne zlomky;
c) v rovnakom čase prirodzené čísla?
Riešenie:
a) Na odpoveď na prvú otázku použijeme príklad. Zlomok \(\frac(2)(3)\) je vlastný, jeho prevrátená hodnota sa bude rovnať \(\frac(3)(2)\) - nevlastný zlomok. odpoveď: nie.
b) takmer vo všetkých výpočtoch zlomkov táto podmienka nie je splnená, no sú čísla, ktoré zároveň spĺňajú podmienku, že ide o nevlastný zlomok. Napríklad nevlastný zlomok je \(\frac(3)(3)\) , jeho prevrátený zlomok je \(\frac(3)(3)\). Dostaneme dva nesprávne zlomky. Odpoveď: nie vždy určité podmienky keď sú čitateľ a menovateľ rovnaký.
c) prirodzené čísla sú čísla, ktoré používame pri počítaní napríklad 1, 2, 3, .... Ak vezmeme číslo \(3 = \frac(3)(1)\), tak jeho recipročné bude \(\frac(1)(3)\). Zlomok \(\frac(1)(3)\) nie je prirodzené číslo. Ak prejdeme cez všetky čísla, prevrátená je vždy zlomok, okrem 1. Ak vezmeme číslo 1, potom jeho prevrátená hodnota bude \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Číslo 1 je prirodzené číslo. Odpoveď: môžu to byť súčasne prirodzené čísla iba v jednom prípade, ak je toto číslo 1.
Príklad č. 6:
Vykonajte súčin zmiešaných frakcií: a) \(4 \krát 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \krát 3\frac(2)(7)\ )
Riešenie:
a) \(4 \krát 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \krát \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(päť)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Príklad č. 7:
Môžu byť dve recipročné čísla súčasne zmiešané čísla?
Pozrime sa na príklad. Zoberme si zmiešaný zlomok \(1\frac(1)(2)\), nájdime jeho recipročný zlomok, preto ho preložíme na nesprávny zlomok \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Jeho recipročná hodnota sa bude rovnať \(\frac(2)(3)\) . Zlomok \(\frac(2)(3)\) je vlastný zlomok. Odpoveď: Dva vzájomne inverzné zlomky nemôžu byť súčasne zmiešanými číslami.