ตารางลบคูณลบให้บวก การกระทำด้วยเครื่องหมายลบ

สองเชิงลบทำให้ยืนยัน- นี่เป็นกฎที่เราเรียนรู้ในโรงเรียนและประยุกต์ใช้มาตลอดชีวิต ใครในหมู่พวกเราที่สงสัยว่าทำไม? แน่นอน มันง่ายกว่าที่จะจดจำข้อความนี้โดยไม่มีคำถามเพิ่มเติม และไม่เจาะลึกถึงแก่นของปัญหา ขณะนี้มีข้อมูลเพียงพอแล้วที่จะต้อง "ย่อย" แต่สำหรับผู้ที่ยังคงสนใจคำถามนี้ เราจะพยายามอธิบายปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์นี้

ตั้งแต่สมัยโบราณ ผู้คนใช้จำนวนธรรมชาติที่เป็นบวก: 1, 2, 3, 4, 5, ... วัว, พืชผล, ศัตรู, ฯลฯ ถูกนับด้วยความช่วยเหลือของตัวเลข เมื่อบวกและคูณจำนวนบวกสองจำนวน เราจะได้จำนวนบวกเสมอ เมื่อหารจำนวนหนึ่งด้วยจำนวนอื่น เราไม่ได้รับ จำนวนเต็ม- ตัวเลขเศษส่วนจึงปรากฏขึ้น แล้วการลบล่ะ? ตั้งแต่วัยเด็ก เรารู้ดีว่าควรบวกค่าน้อยไปหามากแล้วลบค่าที่น้อยกว่าออกจากค่าที่มากกว่า ในขณะที่เราจะไม่ใช้ตัวเลขติดลบอีกต่อไป ปรากฎว่าถ้าฉันมีแอปเปิ้ล 10 ลูก ฉันสามารถให้แอปเปิ้ลได้น้อยกว่า 10 หรือ 10 ลูกเท่านั้น ไม่มีทางที่ฉันจะให้ 13 แอปเปิ้ลได้เพราะฉันไม่มี ไม่จำเป็นต้องมีตัวเลขติดลบเป็นเวลานาน

ตั้งแต่ศตวรรษที่ 7 เท่านั้นตัวเลขติดลบถูกใช้ในระบบการนับบางระบบเป็นค่าเสริม ซึ่งทำให้ได้จำนวนบวกในคำตอบ

พิจารณาตัวอย่าง, 6x - 30 \u003d 3x - 9 ในการหาคำตอบ จำเป็นต้องปล่อยให้คำศัพท์ที่ไม่รู้จักทางด้านซ้ายและส่วนที่เหลืออยู่ทางด้านขวา: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. เมื่อแก้สมการนี้ เราก็ไม่มีจำนวนลบด้วยซ้ำ เราสามารถย้ายสมาชิกที่ไม่รู้จักไปยัง ด้านขวาและไม่มีสิ่งแปลกปลอม - ทางซ้าย: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x) เมื่อหารจำนวนลบด้วยจำนวนลบ เราจะได้คำตอบที่เป็นบวก: x \u003d 7

เราเห็นอะไร?

การดำเนินการโดยใช้ ตัวเลขติดลบควรนำเราไปสู่คำตอบเดียวกันกับการกระทำเท่านั้นกับ ตัวเลขบวก. เราไม่สามารถนึกถึงความไม่เหมาะสมในทางปฏิบัติและความหมายของการกระทำได้อีกต่อไป - สิ่งเหล่านี้ช่วยให้เราแก้ปัญหาได้เร็วกว่ามาก โดยไม่ลดสมการให้อยู่ในรูปแบบด้วยจำนวนบวกเท่านั้น ในตัวอย่างของเรา เราไม่ได้ใช้การคำนวณที่ซับซ้อน แต่ใช้กับ จำนวนมากเงื่อนไขการคำนวณด้วยตัวเลขติดลบทำให้งานของเราง่ายขึ้น

เมื่อเวลาผ่านไป หลังจากการทดลองและการคำนวณที่ยาวนาน เป็นไปได้ที่จะระบุกฎที่ตัวเลขและการกระทำทั้งหมดปฏิบัติตาม (ในคณิตศาสตร์เรียกว่าสัจพจน์) นั่นแหละที่มาที่ไป สัจพจน์ที่ระบุว่าเมื่อคุณคูณจำนวนลบสองตัว คุณจะได้จำนวนบวก

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

คำแนะนำ

การคำนวณทางคณิตศาสตร์มีสี่ประเภท: การบวก การลบ การคูณ และการหาร ดังนั้นจะมีตัวอย่างอยู่ 4 แบบด้วยกัน ตัวเลขติดลบในตัวอย่างจะถูกเน้นเพื่อไม่ให้เกิดความสับสนในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) หรือ 34:(-17)

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. การกระทำนี้อาจมีลักษณะดังนี้: 1) 3+(-6)=3-6=-3 การแทนที่การกระทำ: ขั้นแรกให้เปิดวงเล็บเครื่องหมาย "+" จะกลับด้านจากนั้น "3" ที่เล็กกว่าจะถูกลบออกจากตัวเลขที่ใหญ่กว่า (โมดูโล) "6" หลังจากนั้นคำตอบจะได้รับเครื่องหมายที่ใหญ่กว่านั่นคือ , "-".
2) -3+6=3. อันนี้สามารถเขียนเป็น - ("6-3") หรือตามหลักการ "ลบค่าที่น้อยกว่าออกจากค่าที่มากกว่าและกำหนดเครื่องหมายของค่าที่มากกว่าให้กับคำตอบ"
3) -3+(-6)=-3-6=-9. เมื่อเปิด การแทนที่การบวกด้วยการลบ จากนั้นโมดูลจะถูกสรุปและผลลัพธ์จะได้รับเครื่องหมายลบ

การลบ.1) 8-(-5)=8+5=13. วงเล็บถูกเปิดขึ้น เครื่องหมายของการกระทำจะกลับกัน และได้รับตัวอย่างเพิ่มเติม
2) -9-3=-12. องค์ประกอบของตัวอย่างถูกรวมเข้าด้วยกันและได้รับ สัญญาณทั่วไป "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. เมื่อเปิดวงเล็บ เครื่องหมายจะเปลี่ยนเป็น "+" อีกครั้ง จากนั้นจำนวนที่น้อยกว่าจะถูกลบออกจากจำนวนที่มากกว่า และเครื่องหมายของจำนวนที่มากกว่าจะถูกลบออกจากคำตอบ

การคูณและการหาร เมื่อทำการคูณหรือหารเครื่องหมายจะไม่มีผลกับการดำเนินการเอง เมื่อคูณหรือหารตัวเลข เครื่องหมายลบ ถูกกำหนดให้กับคำตอบ หากตัวเลขที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน ผลลัพธ์จะมีเครื่องหมายบวกเสมอ 1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

ที่มา:

ตารางที่มีข้อเสีย

วิธีตัดสินใจ ตัวอย่าง? เด็ก ๆ มักจะหันไปหาผู้ปกครองด้วยคำถามนี้หากจำเป็นต้องทำการบ้าน จะอธิบายวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างการบวกและการลบตัวเลขหลายหลักให้เด็กฟังได้อย่างไร ลองหาสิ่งนี้กัน

คุณจะต้องการ

1. ตำราคณิตศาสตร์
2. กระดาษ
3. จับ.

คำแนะนำ

อ่านตัวอย่าง ในการทำเช่นนี้ หลายค่าหลายค่าจะถูกแบ่งออกเป็นคลาส เริ่มจากจุดสิ้นสุดของตัวเลข นับสามหลักแล้วใส่จุด (23.867.567) จำได้ว่าสามหลักแรกจากจุดสิ้นสุดของตัวเลขไปยังหน่วย สามถัดไป - ถึงชั้นเรียนแล้วมีนับล้าน เราอ่านตัวเลข: ยี่สิบสามแปดแสนหกหมื่นเจ็ดพันหกสิบเจ็ด

เขียนตัวอย่าง โปรดทราบว่าหน่วยของแต่ละหลักจะเขียนทับกันอย่างเคร่งครัด: หน่วยใต้หน่วย สิบใต้สิบ ร้อยใต้ร้อย ฯลฯ

ทำการบวกหรือลบ เริ่มดำเนินการกับหน่วย เขียนผลลัพธ์ภายใต้หมวดหมู่ที่มีการดำเนินการ หากกลายเป็นตัวเลข () เราจะเขียนหน่วยที่ตำแหน่งคำตอบแล้วบวกจำนวนหลักสิบลงในหน่วยของการปลดปล่อย หากจำนวนหน่วยของหลักใด ๆ ในส่วน minuend น้อยกว่าใน subtrahend เราจะเอา 10 หน่วยของหลักถัดไป ดำเนินการ

อ่านคำตอบ

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

บันทึก

ห้ามลูกของคุณใช้เครื่องคิดเลข แม้กระทั่งเพื่อตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง การบวกถูกทดสอบโดยการลบ และการบวกถูกทดสอบด้วยการบวก

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

หากเด็กเรียนรู้เทคนิคการคำนวณเป็นลายลักษณ์อักษรภายใน 1,000 ได้ดี การกระทำที่มีตัวเลขหลายหลักโดยการเปรียบเทียบจะไม่ทำให้เกิดปัญหา
จัดการแข่งขันสำหรับลูกของคุณ: เขาสามารถแก้ตัวอย่างได้กี่ตัวอย่างใน 10 นาที การฝึกอบรมดังกล่าวจะช่วยให้เทคนิคการคำนวณเป็นไปโดยอัตโนมัติ

การคูณเป็นหนึ่งในสี่ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่รองรับอีกมากมาย ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน. ในกรณีนี้ อันที่จริง การคูณนั้นขึ้นอยู่กับการดำเนินการของการบวก: ความรู้เกี่ยวกับสิ่งนี้ช่วยให้คุณแก้ไขตัวอย่างได้อย่างถูกต้อง

เพื่อให้เข้าใจสาระสำคัญของการดำเนินการคูณ จำเป็นต้องคำนึงถึงองค์ประกอบหลักสามประการที่เกี่ยวข้อง หนึ่งในนั้นเรียกว่าปัจจัยแรกและแสดงถึงจำนวนที่อยู่ภายใต้การดำเนินการคูณ ด้วยเหตุผลนี้ มันมีชื่อที่สองซึ่งค่อนข้างน้อย - "ตัวคูณ" องค์ประกอบที่สองของการดำเนินการคูณเรียกว่าปัจจัยที่สอง: เป็นจำนวนที่ตัวคูณจะถูกคูณ ดังนั้นส่วนประกอบทั้งสองนี้จึงเรียกว่าตัวคูณ ซึ่งเน้นที่สถานะที่เท่าเทียมกัน เช่นเดียวกับข้อเท็จจริงที่ว่ามันสามารถสับเปลี่ยนกันได้ ผลลัพธ์ของการคูณจะไม่เปลี่ยนแปลงไปจากนี้ สุดท้าย ส่วนประกอบที่สามของการคูณซึ่งเป็นผลมาจากมัน เรียกว่าผลคูณ

ลำดับของการดำเนินการคูณ

สาระสำคัญของการดำเนินการคูณจะขึ้นอยู่กับความเรียบง่าย การดำเนินการเลขคณิต- . อันที่จริง การคูณเป็นผลรวมของปัจจัยที่หนึ่ง หรือ การคูณ จำนวนครั้งที่สอดคล้องกับปัจจัยที่สอง ตัวอย่างเช่น ในการคูณ 8 ด้วย 4 คุณต้องบวกเลข 8 4 ครั้ง ได้ 32 วิธีนี้นอกจากจะให้ความเข้าใจแก่สาระสำคัญของการคูณแล้ว ยังใช้ตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้ได้อีกด้วย โดยคำนวณสินค้าที่ต้องการ โปรดทราบว่าการตรวจสอบจำเป็นต้องถือว่าเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับผลรวมเหมือนกันและสอดคล้องกับปัจจัยแรก

การแก้ตัวอย่างการคูณ

ดังนั้น เพื่อที่จะแก้ , เกี่ยวข้องกับความจำเป็นในการคูณ อาจจะเพียงพอที่จะเพิ่มจำนวนครั้งที่กำหนด จำนวนที่ต้องการตัวคูณแรก วิธีการดังกล่าวสะดวกสำหรับการคำนวณเกือบทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการนี้ ในเวลาเดียวกันในวิชาคณิตศาสตร์มักมีสิ่งทั่วไปซึ่งมีจำนวนเต็มหลักเดียวมาตรฐานเข้าร่วม เพื่อความสะดวกในการคำนวณ จึงมีการสร้างการคูณที่เรียกว่า ซึ่งรวมถึงรายการผลิตภัณฑ์ทั้งหมดของตัวเลขหลักเดียวที่เป็นจำนวนเต็มบวก นั่นคือ ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ดังนั้น เมื่อคุณได้เรียนรู้แล้ว คุณสามารถลดความซับซ้อนได้อย่างมาก กระบวนการแก้ตัวอย่างการคูณตามการใช้ตัวเลขดังกล่าว อย่างไรก็ตาม สำหรับตัวเลือกที่ซับซ้อนกว่านี้ จำเป็นต้องใช้สิ่งนี้ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยตัวเอง

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

ที่มา:

การคูณในปี 2019

การคูณเป็นหนึ่งในสี่ของการดำเนินการเลขคณิตพื้นฐาน ซึ่งมักใช้ทั้งในโรงเรียนและใน ชีวิตประจำวัน. คุณจะคูณสองจำนวนอย่างรวดเร็วได้อย่างไร?

พื้นฐานของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนที่สุดคือการดำเนินการเลขคณิตพื้นฐานสี่อย่าง: การลบ การบวก การคูณ และการหาร ในเวลาเดียวกัน แม้จะเป็นอิสระ การดำเนินการเหล่านี้เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิด กลับกลายเป็นว่าเชื่อมโยงถึงกัน ความสัมพันธ์ดังกล่าวมีอยู่ เช่น ระหว่างการบวกและการคูณ

การดำเนินการคูณจำนวน

มีสามองค์ประกอบหลักที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการคูณ ตัวแรกซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าปัจจัยแรกหรือตัวคูณคือจำนวนที่จะถูกดำเนินการคูณ ตัวที่สองซึ่งเรียกว่าตัวประกอบที่สองคือจำนวนที่ตัวประกอบแรกจะถูกคูณ ในที่สุด ผลลัพธ์ของการดำเนินการคูณมักเรียกว่าผลิตภัณฑ์

ควรจำไว้ว่าสาระสำคัญของการดำเนินการคูณนั้นจริง ๆ แล้วขึ้นอยู่กับการบวก: สำหรับการนำไปใช้นั้นจำเป็นต้องรวมปัจจัยแรกจำนวนหนึ่งเข้าด้วยกันและจำนวนเทอมในผลรวมนี้จะต้องเท่ากับปัจจัยที่สอง นอกจากการคำนวณผลคูณของปัจจัยทั้งสองที่อยู่ระหว่างการพิจารณาแล้ว อัลกอริธึมนี้ยังสามารถใช้เพื่อตรวจสอบผลลัพธ์ได้อีกด้วย

ตัวอย่างการแก้โจทย์การคูณ

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาการคูณ สมมุติว่าตามเงื่อนไขของการมอบหมาย จำเป็นต้องคำนวณผลคูณของตัวเลขสองตัว โดยที่ตัวประกอบแรกคือ 8 และตัวที่สองคือ 4 ตามคำจำกัดความของการคูณ นี่หมายความว่าคุณ ต้องบวกเลข 8 4 ครั้ง ผลลัพธ์คือ 32 - นี่คือผลคูณที่ถือว่าเป็นตัวเลขนั่นคือผลลัพธ์ของการคูณ

นอกจากนี้ ต้องจำไว้ว่ากฎการสลับที่เรียกกันว่าใช้กับการดำเนินการคูณ ซึ่งกำหนดว่าการเปลี่ยนตำแหน่งของปัจจัยในตัวอย่างเดิมจะไม่เปลี่ยนผลลัพธ์ ดังนั้นคุณสามารถเพิ่มหมายเลข 4 8 ครั้งได้ผลลัพธ์เดียวกัน - 32

ตารางสูตรคูณ

เป็นที่ชัดเจนว่าการแก้ไขตัวอย่างประเภทเดียวกันจำนวนมากด้วยวิธีนี้เป็นงานที่ค่อนข้างน่าเบื่อ เพื่ออำนวยความสะดวกในงานนี้ จึงได้มีการคิดค้นการคูณที่เรียกว่า อันที่จริงมันคือรายการผลิตภัณฑ์ของตัวเลขหลักเดียวที่เป็นจำนวนเต็มบวก พูดง่ายๆ คือ ตารางสูตรคูณคือชุดของผลการคูณระหว่างกันตั้งแต่ 1 ถึง 9 เมื่อคุณเรียนรู้ตารางนี้แล้ว คุณจะไม่สามารถใช้วิธีคูณอีกต่อไปเมื่อคุณต้องการแก้ตัวอย่างสำหรับสิ่งนั้น จำนวนเฉพาะแต่เพียงจำผลลัพธ์ของมัน

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

เมื่อฟังครูคณิตศาสตร์ นักเรียนส่วนใหญ่มองว่าเนื้อหาเป็นสัจธรรม ในเวลาเดียวกัน มีคนเพียงไม่กี่คนที่พยายามหาจุดต่ำสุดและหาสาเหตุที่ "ลบ" ถึง "บวก" ให้เครื่องหมาย "ลบ" และเมื่อคูณจำนวนลบสองตัว ตัวเลขบวกก็จะออกมา

กฎของคณิตศาสตร์

ผู้ใหญ่ส่วนใหญ่ไม่สามารถอธิบายให้ตนเองหรือลูกฟังได้ว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น พวกเขาได้เรียนรู้เนื้อหานี้อย่างถี่ถ้วนในโรงเรียน แต่พวกเขาไม่ได้พยายามค้นหาว่ากฎดังกล่าวมาจากไหน แต่เปล่าประโยชน์ บ่อยครั้งที่เด็กสมัยใหม่ไม่ใจง่ายนัก พวกเขาจำเป็นต้องเข้าใจประเด็นและเข้าใจว่าทำไม "บวก" บน "ลบ" ถึงให้ "ลบ" และบางครั้งทอมบอยจงใจถามคำถามที่ยุ่งยากเพื่อสนุกกับช่วงเวลาที่ผู้ใหญ่ไม่สามารถให้คำตอบที่เข้าใจได้ และมันจะเป็นหายนะจริง ๆ หากครูรุ่นเยาว์ประสบปัญหา ...

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่ากฎที่กล่าวมาข้างต้นใช้ได้กับทั้งการคูณและการหาร ผลคูณของจำนวนลบและจำนวนบวกจะให้ค่าลบเท่านั้น หากเรากำลังพูดถึงตัวเลขสองหลักที่มีเครื่องหมาย "-" ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวก เดียวกันจะไปสำหรับการแบ่ง หากตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเป็นลบ ผลหารจะมีเครื่องหมาย "-" ด้วย

เพื่ออธิบายความถูกต้องของกฎคณิตศาสตร์นี้ จำเป็นต้องกำหนดสัจพจน์ของวงแหวน แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร ในวิชาคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกวงแหวนว่าเซตซึ่งมีการดำเนินการสองอย่างที่มีสององค์ประกอบ แต่จะดีกว่าถ้าเข้าใจสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

สัจพจน์แหวน

มีกฎทางคณิตศาสตร์หลายข้อ

คนแรกของพวกเขาคือ displaceable ตามเขา C + V = V + C.
ที่สองเรียกว่าการเชื่อมโยง (V + C) + D = V + (C + D)

การคูณ (V x C) x D \u003d V x (C x D) ก็ปฏิบัติตามเช่นกัน

ไม่มีใครยกเลิกกฎโดยการเปิดวงเล็บ (V + C) x D = V x D + C x D ซึ่งเป็นความจริงเช่นกันว่า C x (V + D) = C x V + C x D

นอกจากนี้ ได้มีการกำหนดว่าสามารถนำองค์ประกอบพิเศษที่เป็นกลางเพิ่มเติมเข้าไปในวงแหวนได้ โดยใช้สิ่งต่อไปนี้: C + 0 = C นอกจากนี้ สำหรับแต่ละ C มีองค์ประกอบตรงข้ามซึ่งสามารถ แสดงเป็น (-C) ในกรณีนี้ C + (-C) \u003d 0

ที่มาของสัจพจน์สำหรับจำนวนลบ

โดยการยอมรับข้อความข้างต้น เราสามารถตอบคำถามว่า "บวก" บน "ลบ" ให้เครื่องหมายอะไร เมื่อทราบสัจพจน์เกี่ยวกับการคูณจำนวนลบ จำเป็นต้องยืนยันว่าแน่นอน (-C) x V = -(C x V) และความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: (-(-C)) = C.

ในการทำเช่นนี้ เราต้องพิสูจน์ก่อนว่าองค์ประกอบแต่ละอย่างมี "พี่ชาย" ที่ตรงกันข้ามเพียงคนเดียว พิจารณาตัวอย่างการพิสูจน์ต่อไปนี้ ลองจินตนาการว่าตัวเลขสองตัวอยู่ตรงข้ามกับ C - V และ D จากนี้ไป C + V = 0 และ C + D = 0 นั่นคือ C + V = 0 = C + D จำกฎการกระจัด และเกี่ยวกับคุณสมบัติของเลข 0 เราสามารถพิจารณาผลรวมของตัวเลขทั้งสาม: C, V และ D ลองหาค่าของ V กัน เป็นตรรกะที่ V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D เนื่องจากค่าของ C + D ตามที่ยอมรับข้างต้น เท่ากับ 0 ดังนั้น V = V + C + D

ค่าของ D ได้มาในลักษณะเดียวกัน: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D จากนี้ จะเห็นได้ชัดว่า V = D

เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมถึงอย่างไรก็ตาม "บวก" บน "ลบ" ให้ "ลบ" คุณต้องเข้าใจสิ่งต่อไปนี้ ดังนั้นสำหรับองค์ประกอบ (-C) สิ่งที่ตรงกันข้ามคือ C และ (-(-C)) นั่นคือพวกมันมีค่าเท่ากัน

จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่า 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V จากนี้ไป C x V อยู่ตรงข้ามกับ (-) C x V ซึ่งหมายถึง (-C) x V = -(C x V)

เพื่อความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์ จำเป็นต้องยืนยันด้วยว่า 0 x V = 0 สำหรับองค์ประกอบใดๆ หากคุณปฏิบัติตามตรรกะ 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V ซึ่งหมายความว่าการเพิ่มผลิตภัณฑ์ 0 x V จะไม่เปลี่ยนจำนวนเงินที่ตั้งไว้ แต่อย่างใด ท้ายที่สุด ผลิตภัณฑ์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์

เมื่อทราบสัจพจน์เหล่านี้แล้ว เป็นไปได้ที่จะอนุมานไม่เพียงแค่ว่า "บวก" กับ "ลบ" ให้เท่าไหร่ แต่ยังจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อจำนวนลบคูณด้วย

การคูณและการหารของตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมาย "-"

ถ้าคุณไม่เจาะลึกความแตกต่างทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถลองเพิ่มเติม ด้วยวิธีง่ายๆอธิบายกฎสำหรับการจัดการกับตัวเลขติดลบ

สมมติว่า C - (-V) = D ตามนี้ C = D + (-V) นั่นคือ C = D - V เราโอน V แล้วเราจะได้ C + V = D นั่นคือ C + V = C - (-V) ตัวอย่างนี้อธิบายว่าทำไมในนิพจน์ที่มี "ลบ" สองตัวติดกัน เครื่องหมายที่กล่าวถึงควรเปลี่ยนเป็น "บวก" ทีนี้มาจัดการกับการคูณกัน

(-C) x (-V) \u003d D สามารถเพิ่มและลบผลิตภัณฑ์ที่เหมือนกันสองรายการไปยังนิพจน์ได้ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนค่าของมัน: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

จำกฎสำหรับการทำงานกับวงเล็บเราได้รับ:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

จากนี้ไป C x V \u003d (-C) x (-V)

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าผลลัพธ์ของการหารจำนวนลบสองจำนวนจะเป็นบวก

กฎคณิตศาสตร์ทั่วไป

แน่นอนว่าคำอธิบายนี้ไม่เหมาะสำหรับเด็กนักเรียน เกรดต่ำกว่าที่เพิ่งเริ่มเรียนรู้ตัวเลขเชิงลบที่เป็นนามธรรม จะดีกว่าสำหรับพวกเขาที่จะอธิบายเกี่ยวกับวัตถุที่มองเห็นได้โดยใช้คำที่คุ้นเคยผ่านกระจกมอง ตัวอย่างเช่นมีการประดิษฐ์ขึ้น แต่ไม่มีของเล่นที่มีอยู่ สามารถแสดงด้วยเครื่องหมาย "-" การคูณของวัตถุคล้ายกระจกสองชิ้นถ่ายโอนไปยังอีกโลกหนึ่งซึ่งเท่ากับปัจจุบัน นั่นคือผลที่เรามีจำนวนบวก แต่การคูณจำนวนลบที่เป็นนามธรรมด้วยจำนวนบวกจะทำให้ทุกคนคุ้นเคยกับผลลัพธ์ที่คุ้นเคย ท้ายที่สุด "บวก" คูณด้วย "ลบ" ให้ "ลบ" จริงอยู่ เด็ก ๆ อย่าพยายามเจาะลึกถึงความแตกต่างทางคณิตศาสตร์มากเกินไป

แม้ว่าหากเผชิญความจริงสำหรับใครหลายๆ คน แม้กับ อุดมศึกษาและกฎหลายข้อยังคงเป็นปริศนา ทุกคนยอมรับในสิ่งที่ครูสอนพวกเขาโดยไม่สูญเสียที่จะเจาะลึกความซับซ้อนทั้งหมดที่คณิตศาสตร์เต็มไปด้วย “ลบ” บน “ลบ” ให้ “บวก” - ทุกคนรู้เรื่องนี้โดยไม่มีข้อยกเว้น สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วน

"ศัตรูของศัตรูคือมิตร"

ทำไมลบหนึ่งคูณลบหนึ่งเท่ากับบวกหนึ่ง? ทำไมลบหนึ่งคูณบวกหนึ่งเท่ากับลบหนึ่ง? คำตอบที่ง่ายที่สุดคือ: "เพราะนี่เป็นกฎสำหรับการทำงานกับตัวเลขติดลบ" กฎเกณฑ์ที่เราเรียนรู้ในโรงเรียนและนำไปใช้ตลอดชีวิต อย่างไรก็ตาม หนังสือเรียนไม่ได้อธิบายว่าทำไมกฎจึงเป็นแบบที่มันเป็น ก่อนอื่นเราจะพยายามทำความเข้าใจสิ่งนี้จากประวัติศาสตร์ของการพัฒนาเลขคณิต จากนั้นเราจะตอบคำถามนี้จากมุมมองของคณิตศาสตร์สมัยใหม่

นานมาแล้ว ผู้คนรู้จักตัวเลขธรรมชาติเท่านั้น: พวกเขาเคยนับเครื่องใช้ เหยื่อ ศัตรู ฯลฯ แต่ตัวเลขในตัวเองค่อนข้างไร้ประโยชน์ - คุณต้องสามารถจัดการกับพวกเขาได้ การบวกมีความชัดเจนและเข้าใจได้ นอกจากนี้ ผลบวกของจำนวนธรรมชาติสองจำนวนยังเป็นจำนวนธรรมชาติด้วย (นักคณิตศาสตร์อาจกล่าวว่าเซตของจำนวนธรรมชาติถูกปิดภายใต้การดำเนินการของการบวก) อันที่จริง การคูณคือการบวกแบบเดียวกัน หากเรากำลังพูดถึงจำนวนธรรมชาติ ในชีวิตเรามักจะดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทั้งสองนี้ (เช่นเมื่อซื้อเราเพิ่มและคูณ) และเป็นเรื่องแปลกที่จะคิดว่าบรรพบุรุษของเราพบพวกเขาน้อยกว่า - มนุษย์เข้าใจการบวกและการคูณเป็นเวลานานมาก ที่ผ่านมา. บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องหารปริมาณหนึ่งด้วยอีกปริมาณหนึ่ง แต่ผลลัพธ์ไม่ได้แสดงเป็นจำนวนธรรมชาติเสมอไป - นี่คือลักษณะที่ตัวเลขเศษส่วนปรากฏขึ้น

แน่นอนว่าการลบก็ขาดไม่ได้เช่นกัน แต่ในทางปฏิบัติ เรามักจะลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนที่มากกว่า และไม่จำเป็นต้องใช้จำนวนลบ (ถ้าฉันมีขนมและให้น้องสาวฉันก็จะมีขนม แต่ฉันไม่สามารถให้ขนมกับเธออย่างสุดใจได้) สิ่งนี้สามารถอธิบายได้ว่าทำไมผู้คนถึงไม่ใช้ตัวเลขติดลบมาเป็นเวลานาน

ตัวเลขติดลบปรากฏในเอกสารอินเดียตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 7 เห็นได้ชัดว่าชาวจีนเริ่มใช้พวกเขาก่อนหน้านี้เล็กน้อย ใช้เพื่อบัญชีหนี้หรือในการคำนวณขั้นกลางเพื่อลดความซับซ้อนของการแก้สมการ - มันเป็นเพียงเครื่องมือที่จะได้รับคำตอบในเชิงบวก ความจริงที่ว่าตัวเลขติดลบซึ่งแตกต่างจากค่าบวกไม่ได้แสดงถึงการมีอยู่ของเอนทิตีใด ๆ ทำให้เกิดความไม่ไว้วางใจอย่างมาก ผู้คนตามความหมายที่แท้จริงของคำนั้นหลีกเลี่ยงตัวเลขติดลบ: หากปัญหาได้รับคำตอบเชิงลบ พวกเขาเชื่อว่าไม่มีคำตอบเลย ความไม่ไว้วางใจนี้ยังคงมีอยู่เป็นเวลานานมาก และแม้แต่เดส์การต ซึ่งเป็นหนึ่งใน "ผู้ก่อตั้ง" ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ก็เรียกพวกเขาว่า "เท็จ" (ในศตวรรษที่ 17!)

ลองใช้สมการเป็นตัวอย่าง มันสามารถแก้ไขได้ดังนี้: ย้ายเงื่อนไขที่ไม่รู้จักไปทางด้านซ้ายและที่เหลือไปทางขวาก็จะกลายเป็น , , . ด้วยวิธีนี้ เราไม่พบจำนวนลบด้วยซ้ำ

แต่มันสามารถทำได้ในวิธีที่ต่างออกไปโดยบังเอิญ: ย้ายเงื่อนไขที่ไม่รู้จักไปทางด้านขวาและรับ , ในการหาค่าที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารจำนวนลบหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง: แต่คำตอบที่ถูกต้องเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว และยังคงสรุปได้ว่า

ตัวอย่างง่ายๆ นี้แสดงให้เห็นอะไร? ประการแรก เป็นที่ชัดเจนถึงตรรกะที่กำหนดกฎสำหรับการดำเนินการกับจำนวนลบ: ผลลัพธ์ของการกระทำเหล่านี้ต้องตรงกับคำตอบที่ได้รับในวิธีที่ต่างออกไป โดยไม่มีตัวเลขติดลบ ประการที่สอง โดยอนุญาตให้ใช้ตัวเลขติดลบ เราจะกำจัดสิ่งที่น่าเบื่อออกไป (หากสมการซับซ้อนกว่าด้วยคำศัพท์จำนวนมาก) ค้นหาเส้นทางการแก้ปัญหาซึ่งการกระทำทั้งหมดจะดำเนินการกับตัวเลขธรรมชาติเท่านั้น ยิ่งกว่านั้น เราไม่สามารถคิดทุกครั้งเกี่ยวกับความหมายของปริมาณที่จะถูกแปลงทุกครั้งอีกต่อไป และนี่เป็นขั้นตอนในการเปลี่ยนคณิตศาสตร์ให้เป็นวิทยาศาสตร์เชิงนามธรรมอยู่แล้ว

กฎสำหรับการดำเนินการกับตัวเลขติดลบไม่ได้เกิดขึ้นทันที แต่กลายเป็นลักษณะทั่วไปของตัวอย่างมากมายที่เกิดขึ้นเมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้ โดยทั่วไป การพัฒนาของคณิตศาสตร์สามารถแบ่งออกเป็นขั้นตอนตามเงื่อนไข: each ขั้นตอนต่อไปแตกต่างจากก่อนหน้านี้โดยระดับใหม่ของนามธรรมในการศึกษาวัตถุ ดังนั้น ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์จึงตระหนักว่าจำนวนเต็มและพหุนามสำหรับความต่างออกไปทั้งหมด มีความเหมือนกันมาก: ทั้งสองสามารถบวก ลบ และคูณได้ การดำเนินการเหล่านี้เป็นไปตามกฎหมายเดียวกัน - ทั้งในกรณีของตัวเลขและในกรณีของพหุนาม แต่การหารจำนวนเต็มโดยกันและกัน ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้กลับเป็นจำนวนเต็มนั้นไม่สามารถทำได้เสมอไป เช่นเดียวกับพหุนาม

จากนั้นจึงค้นพบคอลเล็กชันของวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ซึ่งการดำเนินการดังกล่าวสามารถทำได้: เป็นทางการ ชุดพลัง, ฟังก์ชันต่อเนื่อง... ในที่สุด ความเข้าใจก็มีมาว่า ถ้าคุณศึกษาคุณสมบัติของการดำเนินการด้วยตัวเอง ผลลัพธ์ก็สามารถนำไปใช้กับคอลเล็กชันของวัตถุเหล่านี้ทั้งหมดได้ (แนวทางนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับคณิตศาสตร์สมัยใหม่ทั้งหมด)

เป็นผลให้มีแนวคิดใหม่ปรากฏขึ้น: วงแหวน มันเป็นเพียงองค์ประกอบหลายอย่างพร้อมการกระทำที่สามารถทำได้กับพวกมัน กฎพื้นฐานที่นี่เป็นเพียงกฎ (เรียกว่าสัจพจน์) ซึ่งขึ้นอยู่กับการกระทำ ไม่ใช่ธรรมชาติขององค์ประกอบของเซต (นี่คือ ระดับใหม่นามธรรม!). นักคณิตศาสตร์ต้องการเน้นว่าเป็นโครงสร้างที่เกิดขึ้นหลังจากการแนะนำสัจพจน์ที่มีความสำคัญ: วงแหวนของจำนวนเต็ม วงแหวนของพหุนาม ฯลฯ เริ่มต้นจากสัจพจน์ เราสามารถหาสมบัติอื่นๆ ของวงแหวนได้

เราจะกำหนดสัจพจน์ของวงแหวน (ซึ่งแน่นอนว่าคล้ายกับกฎสำหรับการดำเนินการที่มีจำนวนเต็ม) จากนั้นเราจะพิสูจน์ว่าในวงแหวนใด ๆ การคูณลบด้วยลบได้ผลลัพธ์เป็นบวก

วงแหวนคือเซตที่มีการดำเนินการไบนารีสองอัน (นั่นคือ สององค์ประกอบของวงแหวนมีส่วนร่วมในการดำเนินการแต่ละครั้ง) ซึ่งตามธรรมเนียมเรียกว่าการบวกและการคูณ และสัจพจน์ต่อไปนี้:

สังเกตว่า วงแหวน ในโครงสร้างทั่วไปส่วนใหญ่ ไม่ต้องการการคูณเพื่อให้เปลี่ยนแปลงได้ และไม่สามารถย้อนกลับได้ (กล่าวคือ ไม่สามารถแบ่งได้เสมอไป) หรือการมีอยู่ของหน่วย ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางเกี่ยวกับการคูณ ถ้าสัจพจน์เหล่านี้ถูกนำมาใช้ ก็จะได้โครงสร้างพีชคณิตอื่น ๆ แต่ทฤษฎีบททั้งหมดที่พิสูจน์แล้วสำหรับวงแหวนจะเป็นจริงในพวกมัน

ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่าสำหรับองค์ประกอบใดๆ และวงแหวนตามอำเภอใจ ประการแรกและประการที่สอง . จากนี้ ข้อความเกี่ยวกับหน่วยติดตามอย่างง่ายดาย: และ .

ในการทำเช่นนี้ เราต้องสร้างข้อเท็จจริงบางประการ ขั้นแรก เราพิสูจน์ว่าแต่ละองค์ประกอบสามารถมีได้เพียงตัวเดียวที่ตรงกันข้าม อันที่จริง ให้องค์ประกอบหนึ่งมีสองสิ่งที่ตรงกันข้าม: และ . เช่น . ลองพิจารณาผลรวม โดยใช้กฎที่เชื่อมโยงและสับเปลี่ยนกับสมบัติของศูนย์ เราได้รับสิ่งนั้น ในแง่หนึ่ง ผลรวมจะเท่ากับ และในอีกทางหนึ่ง มันเท่ากับ วิธี, .

สังเกตว่า และ และ ตรงข้ามกับองค์ประกอบเดียวกัน ดังนั้นจะต้องเท่ากัน

ได้ข้อเท็จจริงข้อแรกดังนี้ , นั่นคือ ตรงกันข้ามกับ , ซึ่งหมายความว่า เท่ากับ .

เพื่อให้มีความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ เรามาอธิบายด้วยว่าเหตุใดองค์ประกอบใดๆ อย่างแท้จริง, . นั่นคือการบวกจะไม่เปลี่ยนผลรวม ผลคูณนี้จึงเท่ากับศูนย์

และความจริงที่ว่ามีศูนย์หนึ่งตัวในวงแหวน (หลังจากทั้งหมดสัจพจน์บอกว่าองค์ประกอบดังกล่าวมีอยู่ แต่ไม่มีอะไรพูดถึงความเป็นเอกลักษณ์ของมัน!) เราจะปล่อยให้ผู้อ่านเป็นแบบฝึกหัดง่ายๆ

Evgeny Epifanov
"องค์ประกอบ"

ความคิดเห็น: 0

Jacques Cesiano

มีการขยายโดเมนตัวเลขที่สำคัญสามรายการในสองพันปี ช่วงแรกประมาณ 450 ปีก่อนคริสตกาล นักวิทยาศาสตร์ของโรงเรียนพีทาโกรัสพิสูจน์การดำรงอยู่ ir สรุปตัวเลข. เป้าหมายแรกของพวกเขาคือการแสดงเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นตัวเลข ประการที่สอง ในศตวรรษที่ XIII-XV นักวิทยาศาสตร์ชาวยุโรป ระบบการแก้ปัญหา สมการเชิงเส้น, ยอมรับความเป็นไปของหนึ่ง การตัดสินใจเชิงลบ. และประการที่สาม ในปี ค.ศ. 1572 Raphael Bombelli นักพีชคณิตชาวอิตาลีใช้จำนวนเชิงซ้อนเพื่อหาคำตอบที่แท้จริงของสมการกำลังสาม

Proskuryakov I.V.

จุดประสงค์ของหนังสือเล่มนี้คือเพื่อกำหนดตัวเลข พหุนาม และเศษส่วนพีชคณิตอย่างเคร่งครัด และเพื่อพิสูจน์คุณสมบัติที่ทราบอยู่แล้วจากโรงเรียน และไม่แนะนำให้ผู้อ่านรู้จักคุณสมบัติใหม่ ดังนั้นผู้อ่านจะไม่พบข้อเท็จจริงใหม่สำหรับเขาที่นี่ (ยกเว้นคุณสมบัติบางอย่างที่เป็นของจริงและ ตัวเลขเชิงซ้อน) แต่เขาได้เรียนรู้ว่าสิ่งต่าง ๆ ได้รับการพิสูจน์ได้อย่างไรว่าเขารู้ดีโดยเริ่มจาก "สองเป็นสี่" และจบลงด้วยกฎการดำเนินการด้วยพหุนามและ เศษส่วนพีชคณิต. แต่คนอ่านจะได้รู้จัก แนวความคิดทั่วไปซึ่งมีบทบาทสำคัญในพีชคณิต

Ilya Shchurov

นักคณิตศาสตร์ Ilya Shchurov เศษส่วนทศนิยม, ความมีชัยและความไร้เหตุผลของ Pi

Leon Takhtajyan

เหล่านี้จะเป็นเรื่องสั้นสี่เรื่อง เราจะเริ่มต้นด้วยตัวเลข จากนั้นเราจะพูดถึงการเคลื่อนไหว เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลง จากนั้นเราจะพูดถึงรูปร่างและขนาด จากนั้นเราจะพูดถึงจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ในรูปแบบที่มีการเข้ารหัสเล็กน้อย เราจะพยายามมองคณิตศาสตร์จากภายในสู่ภายนอก และเปรียบเสมือนวัตถุ นักคณิตศาสตร์คิดอย่างไรและมีชีวิตอยู่เกี่ยวกับอะไร เราสามารถพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง

วลาดเลน ติโมริน

นักคณิตศาสตร์ Vladlen Timorin เกี่ยวกับข้อดีของจำนวนเชิงซ้อน, ควอเทอร์เนียนแฮมิลตัน, ตัวเลขเคย์ลีย์แปดมิติ และความหลากหลายของตัวเลขในเรขาคณิต

Jacques Cesiano

เรารู้เพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับไดโอแฟนทัส ดูเหมือนว่าเขาจะอาศัยอยู่ในอเล็กซานเดรีย ไม่มีนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกกล่าวถึงเขาก่อนศตวรรษที่ 4 ดังนั้นเขาจึงอาจมีชีวิตอยู่ในช่วงกลางศตวรรษที่ 3 ส่วนใหญ่ งานหลัก Diophantus "เลขคณิต" (Ἀριθμητικά) เกิดขึ้นที่จุดเริ่มต้นของหนังสือ "13 เล่ม" (βιβλία) เช่น บทต่างๆ วันนี้เรามี 10 คน ได้แก่ 6 คนในข้อความภาษากรีกและอีก 4 คนในยุคกลาง แปลภาษาอาหรับซึ่งอยู่ตรงกลางของหนังสือกรีก: หนังสือ I-III ในภาษากรีก, IV-VII ในภาษาอาหรับ, VIII-X ในภาษากรีก "เลขคณิต" ของไดโอแฟนทัสเป็นกลุ่มของปัญหาเป็นหลัก ทั้งหมดประมาณ 260 อัน อันที่จริง ไม่มีทฤษฎีใด มีเพียง คำแนะนำทั่วไปในการแนะนำหนังสือและข้อสังเกตส่วนตัวในปัญหาบางอย่างเมื่อจำเป็น "เลขคณิต" มีคุณสมบัติของบทความเกี่ยวกับพีชคณิตอยู่แล้ว First Diophantus เพลิดเพลิน สัญญาณต่างๆเพื่อแสดงสิ่งที่ไม่รู้จักและพลังของมันรวมถึงการคำนวณบางอย่าง เช่นเดียวกับสัญลักษณ์เกี่ยวกับพีชคณิตของยุคกลาง สัญลักษณ์ดังกล่าวมาจากคำทางคณิตศาสตร์ จากนั้น Diophantus จะอธิบายวิธีแก้ปัญหาด้วยวิธีพีชคณิต แต่ปัญหาของไดโอแฟนไทน์ไม่ใช่พีชคณิตตามปกติ เพราะปัญหาเกือบทั้งหมดลดเหลือการแก้สมการไม่แน่นอนหรือระบบของสมการดังกล่าว

โลกของคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้หากไม่มีพวกมัน - ไม่มีจำนวนเฉพาะ จำนวนเฉพาะคืออะไร มีความสำคัญอย่างไรในชีวิตประจำวัน ในภาพยนตร์เรื่องนี้ ศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Marcus du Sotoy จะเปิดเผยความลับของจำนวนเฉพาะ

จอร์จ ชาบัต

ที่โรงเรียน เราทุกคนล้วนปลูกฝังความคิดที่ผิดพลาดว่าในชุดของจำนวนตรรกยะ Q มีระยะทางธรรมชาติที่ไม่ซ้ำกัน (โมดูลัสของความแตกต่าง) โดยคำนึงถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดอย่างต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม ยังมีระยะทางเป็นอนันต์ ซึ่งเรียกว่า p-adic หนึ่งอันสำหรับ p แต่ละตัว ตามทฤษฎีบทของ Ostrovskii ระยะทาง "ธรรมดา" ร่วมกับระยะทาง p-adic ทั้งหมด ทำให้ระยะทางที่สมเหตุสมผลทั้งหมดหมดไปจริง ๆ Yu. I. Manin เป็นผู้แนะนำคำว่า adele ประชาธิปไตย ตามหลักการของระบอบประชาธิปไตยของ adele ระยะทางที่เหมาะสมทั้งหมดของ Q นั้นเท่ากันก่อนกฎของคณิตศาสตร์ (อาจจะเฉพาะแบบดั้งเดิม "เล็กน้อย = เท่ากันเล็กน้อย ... " หลักสูตรนี้จะแนะนำวงแหวน adele ที่ให้คุณทำงานกับทุกคน ระยะทางเหล่านี้ในเวลาเดียวกัน

วลาดิเมียร์ อาร์โนลด์

JL Lagrange พิสูจน์ว่าลำดับของผลหารที่ไม่สมบูรณ์ (เริ่มจากที่ใดที่หนึ่ง) เป็นช่วงเวลาก็ต่อเมื่อจำนวน x เป็นจำนวนอตรรกยะกำลังสอง R.O. Kuzmin พิสูจน์ว่าในลำดับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของจำนวนจริงเกือบทั้งหมด สัดส่วน d_m เท่ากับ m ผลหารที่ไม่สมบูรณ์จะเท่ากัน (สำหรับจำนวนจริงทั่วไป) เศษส่วน d_m ลดลงเป็น m→∞ เท่ากับ 1/m^2 และเกาส์เป็นผู้ทำนายค่าของมัน (ซึ่งไม่ได้พิสูจน์อะไรเลย) V.I. Arnol'da (20 ปีที่แล้ว) คาดคะเนว่าสถิติ Gauss–Kuz'min d_m ยังคงมีระยะเวลาเศษส่วนของรากอย่างต่อเนื่อง สมการกำลังสอง x^2+px+q=0 (ด้วยจำนวนเต็ม p และ q): หากเราเขียนผลหารบางส่วนที่ประกอบกันเป็นช่วงเวลาของเศษส่วนต่อเนื่องทั้งหมดของรากของสมการดังกล่าวด้วย p^2+q^2≤R^ 2 จากนั้นสัดส่วนของผลหารบางส่วน m ในหมู่พวกเขาจะมีแนวโน้มเป็นตัวเลข d_m เป็น R→∞ V. A. Bykovsky และนักเรียนของเขาจาก Khabarovsk เพิ่งพิสูจน์สมมติฐานที่มีมายาวนานนี้ อย่างไรก็ตาม คำถามเกี่ยวกับสถิติไม่ใช่ตัวอักษร แต่เป็นคำที่ประกอบด้วย ซึ่งเป็นช่วงเวลาของเศษส่วนต่อเนื่องของราก x ของสมการ x^2+px+q=0 ยังไม่ได้รับการแก้ไข

Reid Miles

ฉันปล่อยให้ชื่อเรื่องและบทคัดย่อคลุมเครือที่สุดเท่าที่จะทำได้ เพื่อที่ฉันจะได้พูดคุยเกี่ยวกับสิ่งที่ฉันรู้สึกในวันนั้น การจำแนกประเภทต่าง ๆ ที่น่าสนใจนั้นได้มาจาก Spec หรือ Proj of a Gorenstein ring ใน codimension ⩽3 ทฤษฎีโครงสร้างที่รู้จักกันดีให้วิธีการคำนวณด้วยวงแหวน Gorenstein อย่างชัดเจน ในทางตรงกันข้าม ไม่มีทฤษฎีโครงสร้างที่ใช้ได้สำหรับวงแหวนของ codimension ⩾4 อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณี การฉายภาพ Gorenstein (และการไม่ฉายภาพ Kustin–Miller ผกผัน) เป็นวิธีการโจมตีวงแหวนเหล่านี้ วิธีการเหล่านี้นำไปใช้กับคลาสแบบประปรายของวงแหวนตามรูปแบบบัญญัติของพื้นผิวพีชคณิตปกติ และกับโครงสร้างที่เป็นระบบมากขึ้นของ Q-Fano 3 เท่า ซาร์กิซอฟจะเชื่อมโยงระหว่างสิ่งเหล่านี้ และการพลิกกลับ 3 เท่าของทฤษฎีประเภท A ของโมริ

ตั้งแต่สมัยโบราณ ผู้คนใช้จำนวนธรรมชาติที่เป็นบวก: 1, 2, 3, 4, 5, ... วัว, พืชผล, ศัตรู, ฯลฯ ถูกนับด้วยความช่วยเหลือของตัวเลข เมื่อบวกและคูณจำนวนบวกสองจำนวน พวกเขาจะได้จำนวนบวกเสมอ เมื่อหารจำนวนหนึ่งด้วยจำนวนอื่น พวกเขาไม่ได้จำนวนที่เป็นธรรมชาติเสมอไป - นี่คือลักษณะที่ปรากฏของเศษส่วน แล้วการลบล่ะ? ตั้งแต่วัยเด็ก เรารู้ดีว่าควรบวกค่าน้อยไปหามากแล้วลบค่าที่น้อยกว่าออกจากค่าที่มากกว่า ในขณะที่เราจะไม่ใช้ตัวเลขติดลบอีกต่อไป ปรากฎว่าถ้าฉันมีแอปเปิ้ล 10 ลูก ฉันสามารถให้แอปเปิ้ลได้น้อยกว่า 10 หรือ 10 ลูกเท่านั้น ไม่มีทางที่ฉันจะให้ 13 แอปเปิ้ลได้เพราะฉันไม่มี ไม่จำเป็นต้องมีตัวเลขติดลบเป็นเวลานาน

พิจารณาตัวอย่าง, 6x - 30 \u003d 3x - 9 ในการหาคำตอบ จำเป็นต้องปล่อยให้คำศัพท์ที่ไม่รู้จักทางด้านซ้ายและส่วนที่เหลืออยู่ทางด้านขวา: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. เมื่อแก้สมการนี้ เราก็ไม่มีจำนวนลบด้วยซ้ำ เราสามารถโอนเงื่อนไขที่ไม่ทราบค่าไปทางด้านขวาและไม่มีนิรนาม - ทางซ้าย: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x) เมื่อหารจำนวนลบด้วยจำนวนลบ เราจะได้คำตอบที่เป็นบวก: x \u003d 7

เราเห็นอะไร?

การกระทำที่มีตัวเลขติดลบควรนำเราไปสู่คำตอบเดียวกันกับการกระทำที่มีเพียงตัวเลขบวกเท่านั้น เราไม่สามารถนึกถึงความไม่เหมาะสมในทางปฏิบัติและความหมายของการกระทำได้อีกต่อไป - สิ่งเหล่านี้ช่วยให้เราแก้ปัญหาได้เร็วกว่ามาก โดยไม่ลดสมการให้อยู่ในรูปแบบด้วยจำนวนบวกเท่านั้น ในตัวอย่างของเรา เราไม่ได้ใช้การคำนวณที่ซับซ้อน แต่ด้วยเงื่อนไขจำนวนมาก การคำนวณด้วยตัวเลขติดลบทำให้การทำงานของเราง่ายขึ้น

blog.site ที่คัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา