Svojstvene vrijednosti (brojevi) i svojstveni vektori.
Primjeri rješenja

Budi svoj

Iz obje jednačine slijedi da .

Recimo onda: .

Kao rezultat: – drugi sopstveni vektor.

Ponovimo važne tačke rješenja:

– rezultujući sistem svakako ima opšte rešenje (jednačine su linearno zavisne);

– “y” biramo na način da bude cijeli broj, a prva “x” koordinata cjelobrojna, pozitivna i što manja.

– provjeravamo da li određeno rješenje zadovoljava svaku jednačinu sistema.

Odgovori .

Bilo je sasvim dovoljno srednjih „kontrolnih tačaka“, pa je provjera ravnopravnosti u principu nepotrebna.

IN raznih izvora informacije, koordinate vlastitih vektora se često pišu ne u stupcima, već u redovima, na primjer: (i, da budem iskren, i sam sam navikao da ih zapisujem u redove). Ova opcija je prihvatljiva, ali u svjetlu teme linearne transformacije tehnički praktičniji za upotrebu vektori stupaca.

Možda vam je rješenje izgledalo jako dugo, ali to je samo zato što sam prvi primjer prokomentarisao vrlo detaljno.

Primjer 2

Matrice

Trenirajmo sami! Približan primjer završnog zadatka na kraju lekcije.

Ponekad morate obaviti dodatni zadatak, i to:

napišite dekompoziciju kanonske matrice

Šta je to?

Ako su svojstveni vektori matrice osnovu, onda se može predstaviti kao:

Gdje je matrica sastavljena od koordinata vlastitih vektora, – dijagonala matrica s odgovarajućim svojstvenim vrijednostima.

Ova matrična dekompozicija se zove kanonski ili dijagonala.

Pogledajmo matricu prvog primjera. Njegovi sopstveni vektori linearno nezavisna(nekolinearne) i čine osnovu. Kreirajmo matricu njihovih koordinata:

On glavna dijagonala matrice odgovarajućim redosledom locirane su vlastite vrijednosti, a preostali elementi su jednaki nuli:
– Još jednom naglašavam važnost reda: “dva” odgovara 1. vektoru i stoga se nalazi u 1. koloni, “tri” – 2. vektoru.

Koristeći uobičajeni algoritam za pronalaženje inverzna matrica ili Gauss-Jordan metoda mi nalazimo . Ne, to nije greška u kucanju! - pred tobom je retkost, kao pomračenje sunca događaj kada se inverz poklapa sa originalnom matricom.

Ostaje da zapišemo kanonsku dekompoziciju matrice:

Sistem se može riješiti pomoću elementarnih transformacija, a u sljedećim primjerima ćemo pribjeći ovom metodu. Ali ovdje "školska" metoda radi mnogo brže. Iz 3. jednačine izražavamo: – zamjenu u drugu jednačinu:

Pošto je prva koordinata nula, dobijamo sistem, iz čije jednačine sledi da .

I opet obratite pažnju na obavezno prisustvo linearnog odnosa. Ako se dobije samo trivijalno rješenje , tada je ili svojstvena vrijednost pogrešno pronađena, ili je sistem kompajliran/riješen s greškom.

Kompaktne koordinate daju vrijednost

Vlastiti vektor:

I još jednom provjeravamo da li je rješenje pronađeno zadovoljava svaku jednačinu sistema. U narednim paragrafima i narednim zadacima preporučujem da ovu želju uzmete kao obavezno pravilo.

2) Za svojstvenu vrijednost, koristeći isti princip, dobijamo sljedeći sistem:

Iz 2. jednačine sistema izražavamo: – zamjenu u treću jednačinu:

Pošto je “zeta” koordinata jednaka nuli, dobijamo sistem iz svake jednačine iz koje slijedi linearna zavisnost.

Neka

Provjera da li je rješenje zadovoljava svaku jednačinu sistema.

Dakle, svojstveni vektor je: .

3) I konačno, sistem odgovara svojstvenoj vrijednosti:

Druga jednačina izgleda najjednostavnije, pa hajde da je izrazimo i zamenimo je u 1. i 3. jednadžbu:

Sve je u redu - pojavio se linearni odnos koji zamjenjujemo u izraz:

Kao rezultat, “x” i “y” su izraženi kroz “z”: . U praksi nije potrebno postići upravo takve odnose, u nekim slučajevima je zgodnije izraziti i kroz ili i kroz . Ili čak "vlak" - na primjer, "X" do "I", i "ja" do "Z"

Recimo onda:

Provjeravamo da li je pronađeno rješenje zadovoljava svaku jednačinu sistema i piše treći sopstveni vektor

Odgovori: sopstveni vektori:

Geometrijski, ovi vektori definiraju tri različita prostorna pravca ("Tamo i nazad"), prema kojoj linearna transformacija transformira vektore koji nisu nula (svojstvene vektore) u kolinearne vektore.

Ako je uvjet zahtijevao pronalaženje kanonske dekompozicije, onda je to ovdje moguće, jer različite vlastite vrijednosti odgovaraju različitim linearno nezavisnim svojstvenim vektorima. Pravljenje matrice iz njihovih koordinata, dijagonalna matrica od relevantan svojstvene vrijednosti i nađi inverzna matrica .

Ako, po uslovu, treba da napišete matrica linearne transformacije u bazi sopstvenih vektora, onda dajemo odgovor u obliku . Postoji razlika, a razlika je značajna! Zato što je ova matrica „de” matrica.

Problem sa više jednostavne proračune Za nezavisna odluka:

Primjer 5

Naći svojstvene vektore linearne transformacije zadane matricom

Kada pronalazite svoje brojeve, pokušajte da ne idete sve do polinoma 3. stepena. Osim toga, vaša sistemska rješenja mogu se razlikovati od mojih rješenja - tu nema sigurnosti; a vektori koje pronađete mogu se razlikovati od vektora uzorka do proporcionalnosti njihovih odgovarajućih koordinata. Na primjer, i. Estetski je odgovor predstaviti u formi, ali je u redu ako se zaustavite na drugoj opciji. Međutim, postoje razumna ograničenja za sve; verzija više ne izgleda baš dobro.

Okvirni konačni uzorak zadatka na kraju lekcije.

Kako riješiti problem u slučaju više vlastitih vrijednosti?

Opšti algoritam ostaje isti, ali ima svoje karakteristike, te je preporučljivo zadržati neke dijelove rješenja u strožijem akademskom stilu:

Primjer 6

Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore

Rješenje

Naravno, hajde da pišemo velikim slovom fantastičnu prvu kolonu:

I, nakon raspadanja kvadratni trinom po množiteljima:

Kao rezultat, dobivaju se vlastite vrijednosti, od kojih su dvije višekratne.

Nađimo sopstvene vektore:

1) Pozabavimo se usamljenim vojnikom prema "pojednostavljenoj" šemi:

Iz posljednje dvije jednačine jasno je vidljiva jednakost koju, očigledno, treba zamijeniti 1. jednačinom sistema:

Nećete naći bolju kombinaciju:
Vlastiti vektor:

2-3) Sada uklanjamo nekoliko stražara. IN u ovom slučaju moglo bi uspjeti ili dva ili jedan svojstveni vektor. Bez obzira na višestrukost korijena, vrijednost zamjenjujemo u determinantu što nam donosi sljedeće homogeni sistem linearnih jednačina:

Svojstveni vektori su upravo vektori
fundamentalni sistem rješenja

Zapravo, tokom čitave lekcije nismo radili ništa osim pronalaženja vektora fundamentalnog sistema. Samo što za sada ovaj termin nije bio posebno potreban. Usput, oni pametni studenti koji su promašili temu u maskirnim odijelima homogene jednačine, biće primoran da ga sada popuši.

Jedina akcija bila je uklanjanje dodatnih linija. Rezultat je matrica jedan po tri sa formalnim „korakom“ u sredini.
– osnovna varijabla, – slobodne varijable. Dakle, postoje dvije slobodne varijable postoje i dva vektora fundamentalnog sistema.

Izrazimo osnovnu varijablu u terminima slobodnih varijabli: . Multiplikator nule ispred "X" omogućava mu da preuzme apsolutno bilo koje vrijednosti (što je jasno vidljivo iz sistema jednadžbi).

U kontekstu ovog problema, prikladnije je opće rješenje napisati ne u redu, već u stupcu:

Par odgovara sopstvenom vektoru:
Par odgovara sopstvenom vektoru:

Bilješka : sofisticirani čitaoci mogu odabrati ove vektore usmeno - jednostavno analizirajući sistem , ali ovdje je potrebno određeno znanje: postoje tri varijable, rang sistemske matrice- jedan, što znači fundamentalni sistem odlučivanja sastoji se od 3 – 1 = 2 vektora. Međutim, pronađeni vektori su jasno vidljivi i bez ovog znanja, čisto na intuitivnom nivou. U ovom slučaju, treći vektor će biti napisan još „ljepše“: . Međutim, upozoravam vas da u drugom primjeru jednostavan odabir možda neće biti moguć, zbog čega je klauzula namijenjena iskusnim ljudima. Uz to, zašto ne uzeti, recimo, kao treći vektor? Na kraju krajeva, njegove koordinate također zadovoljavaju svaku jednačinu sistema i vektore linearno nezavisna. Ova opcija je, u principu, prikladna, ali "kriva", jer je "drugi" vektor linearna kombinacija vektora osnovnog sistema.

Odgovori: vlastite vrijednosti: , svojstveni vektori:

Sličan primjer za nezavisno rješenje:

Primjer 7

Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore

Približan uzorak konačnog dizajna na kraju lekcije.

Treba napomenuti da se i u 6. i u 7. primjeru dobija trojka linearno nezavisnih svojstvenih vektora, te je stoga originalna matrica reprezentabilna u kanonskoj dekompoziciji. Ali takve maline se ne dešavaju u svim slučajevima:

Primjer 8

Rješenje: Kreirajmo i riješimo karakterističnu jednačinu:

Proširimo determinantu u prvoj koloni:

Dalja pojednostavljenja vršimo prema razmatranoj metodi, izbjegavajući polinom trećeg stepena:

– vlastite vrijednosti.

Nađimo sopstvene vektore:

1) Nema poteškoća s root-om:

Nemojte se iznenaditi, osim kompleta, u upotrebi su i varijable - tu nema razlike.

Iz 3. jednačine to izražavamo i zamjenjujemo u 1. i 2. jednačinu:

Iz obje jednačine slijedi:

Neka onda:

2-3) Za više vrijednosti dobijamo sistem .

Zapišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postepeni oblik:

Na slici vidimo transformaciju pomaka koja se dešava Giocondi. Plavi vektor mijenja smjer, ali crveni ne. Dakle, crvena je svojstveni vektor takve transformacije, ali plava nije. Budući da crveni vektor nije ni rastegnut ni komprimiran, njegova vlastita vrijednost je jedan. Svi vektori su kolinearni, a crvena su također svojstveni vektori. sopstveni vektor) kvadratna matrica (C eigenvalue(engleski) vlastita vrijednost)) – Ovo je vektor različit od nule za koji relacija vrijedi

Gdje? je određeni skalar, odnosno realan ili kompleksni broj.
To jest, sopstveni vektori matrice A su različiti od nule vektori koji su pod djelovanjem linearne transformacije specificirani matricom A ne mijenjaju smjer, ali mogu promijeniti dužinu za faktor?.
Matrica ima dimenzije ne veće od N svojstvene vektore i sopstvene vrijednosti koje im odgovaraju.
Relacija (*) takođe ima smisla za linearni operator u vektorskom prostoru V. Ako je ovaj prostor konačno-dimenzionalan, tada se operator može napisati kao matrica u odnosu na određenu bazu V.
Budući da su svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti označeni bez korištenja koordinata, neovisno o izboru baze. Stoga slične matrice imaju iste vlastite vrijednosti.
Vodeću ulogu u razumijevanju vlastitih vrijednosti matrica igra Hamilton-Cayleyeva teorema. Iz ovoga slijedi da su svojstvene vrijednosti matrice A i samo su oni korijeni karakterističnog polinoma matrice O:

str (?) je polinom stepena n, dakle, prema osnovnoj teoremi algebre, postoji upravo n kompleksne svojstvene vrijednosti, uzimajući u obzir njihovu višestrukost.
Dakle, matrica A nema više n svojstvene vrijednosti (ali mnogo svojstvenih vektora za svaki od njih).
Zapišimo karakteristični polinom kroz njegove korijene:

Mnoštvo korijena karakterističnog polinoma matrice naziva se algebarska višestrukost eigenvalue
Skup svih svojstvenih vrijednosti matrice ili linearnog operatora u konačnodimenzionalnom vektorskom prostoru naziva se spektra matrični ili linearni operator. (Ova terminologija je modificirana za vektorske prostore bez kože: u općem slučaju, ? koje nisu vlastite vrijednosti mogu pripadati spektru operatora.)
Zbog povezanosti između karakterističnog polinoma matrice i njenih vlastitih vrijednosti, ove posljednje se također nazivaju karakteristični brojevi matrice.
Za svaku svojstvenu vrijednost dobijamo vlastiti sistem jednadžbi:

Šta će imati linearno nezavisna rješenja.
Skup svih rješenja sistema formira linearni podprostor dimenzija i naziva se sopstveni prostor(engleski) vlastiti prostor) matrice sa svojstvenim vrijednostima.
Dimenzija odgovarajućeg prostora se zove geometrijska mnogostrukost odgovarajuću svojstvenu vrijednost?.
Svi svojstveni prostori su invarijantni podprostori za .
Ako postoje najmanje dva linearno nezavisna svojstvena vektora sa istom svojstvenom vrijednošću?, tada se takva svojstvena vrijednost naziva degenerisati. Ova terminologija se prvenstveno koristi kada se geometrijska i algebarska višestrukost svojstvenih vrijednosti podudaraju, na primjer, za Hermitove matrice.

Gdje - Kvadratna matrica veličina n x n,-Drugi stupac koji je vektor, A – Ovo je dijagonalna matrica sa odgovarajućim vrijednostima.

Problem svojstvenih vrijednosti je problem nalaženja svojstvenih vektora i brojeva matrice.
Po definiciji (koristeći karakterističnu jednadžbu), možete pronaći samo vlastite vrijednosti matrica s dimenzijama manjim od pet. Karakteristična jednačina ima stepen jednak stepenu matrice. Za velike stupnjeve, pronalaženje rješenja jednadžbe postaje vrlo problematično, pa se koriste različite numeričke metode
Različiti zadaci zahtijevaju dobijanje različite količine sopstvene vrijednosti. Stoga postoji nekoliko problema pronalaženja svojstvenih vrijednosti, od kojih svaki koristi svoje metode.
Čini se da je parcijalni problem svojstvenih vrijednosti parcijalni problem kompletnog, a rješava se istim metodama kao i potpuni. Međutim, metode koje se primjenjuju na određene probleme su mnogo učinkovitije, pa se stoga mogu primijeniti na matrice velikih dimenzija (na primjer, u nuklearnoj fizici, problemi se javljaju u pronalaženju svojstvenih vrijednosti za matrice dimenzija 10 3 – 10 6).
Jacobijeva metoda

Jedan od najstarijih i najjačih zajednički pristupi do odluke kompletan problem eigenvalues je Jacobijeva metoda, prvi put objavljena 1846.
Metoda se primjenjuje na simetričnu matricu A
Ovo je jednostavan iterativni algoritam u kojem se matrica vlastitih vektora izračunava nizom množenja.

Vektor X ≠ 0 se zove svojstveni vektor linearni operator sa matricom A, ako postoji broj  takav da je AX =X.

U ovom slučaju se poziva broj  eigenvalue operator (matrica A) koji odgovara vektoru x.

Drugim riječima, svojstveni vektor je vektor koji se pod djelovanjem linearnog operatora pretvara u kolinearni vektor, tj. samo pomnoži sa nekim brojem. Nasuprot tome, nepravilni vektori su složeniji za transformaciju.

Zapišimo definiciju sopstvenog vektora u obliku sistema jednačina:

Pomerimo sve pojmove na lijevu stranu:

Potonji sistem se može napisati u matričnom obliku na sljedeći način:

(A - E)X = O

Rezultirajući sistem uvijek ima nulto rješenje X = O. Takvi sistemi u kojima su svi slobodni članovi jednaki nuli nazivaju se homogena. Ako je matrica takvog sistema kvadratna i njena determinanta nije jednaka nuli, onda ćemo korištenjem Cramerovih formula uvijek dobiti jedinstveno rješenje – nulu. Može se dokazati da sistem ima rješenja različita od nule ako i samo ako je determinanta ove matrice jednaka nuli, tj.

|A - E| = = 0

Ova jednačina sa nepoznatom se zove karakteristična jednačina(karakteristični polinom) matrica A (linearni operator).

Može se dokazati da karakteristični polinom linearnog operatora ne zavisi od izbora baze.

Na primjer, pronađimo svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore linearnog operatora definirane matricom A =.

Da bismo to učinili, napravimo karakterističnu jednačinu |A - E| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; D = 4 + 140 = 144; sopstvene vrijednosti 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Da bismo pronašli svojstvene vektore, rješavamo dva sistema jednačina

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Za prvi od njih, proširena matrica poprima oblik

odakle je x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, tj. X (1) = (-(2/3)s; s).

Za drugu od njih, proširena matrica poprima oblik

odakle je x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, tj. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

Dakle, svojstveni vektori ovog linearnog operatora su svi vektori oblika (-(2/3)s; s) sa svojstvenom vrijednošću (-5) i svi vektori oblika ((2/3)s 1 ; s 1) sa svojstvena vrijednost 7 .

Može se dokazati da je matrica operatora A u bazi koju čine njegovi vlastiti vektori dijagonalna i ima oblik:

gdje su  i sopstvene vrijednosti ove matrice.

Vrijedi i obrnuto: ako je matrica A u nekoj bazi dijagonalna, tada će svi vektori ove baze biti svojstveni vektori ove matrice.

Također se može dokazati da ako linearni operator ima n parno različitih svojstvenih vrijednosti, tada su odgovarajući svojstveni vektori linearno nezavisni, a matrica ovog operatora u odgovarajućoj bazi ima dijagonalni oblik.

definicija: Neka je L dato n- dimenzionalni linearni prostor. Poziva se vektor L koji nije nula svojstveni vektor linearna transformacija A, ako postoji broj  takav da vrijedi jednakost:

A
(7.1)

U ovom slučaju se poziva broj  vlastita vrijednost (karakteristični broj) linearna transformacija A koja odgovara vektoru .

Prebacivši se desna strana(7.1) lijevo i uzimajući u obzir relaciju
, prepisujemo (7.1) u obliku

(7.2)

Jednačina (7.2) je ekvivalentna linearnom sistemu homogene jednačine:

(7.3)

Za postojanje različitog od nule rješenja sistema linearnih homogenih jednačina (7.3) potrebno je i dovoljno da determinanta koeficijenata ovog sistema bude jednaka nuli, tj.

|A-λE|=
(7.4)

Ova determinanta je polinom n-tog stepena u odnosu na λ i naziva se karakteristični polinom linearna transformacija A, i jednačina (7.4) - karakteristična jednačina matrice A.

definicija: Ako je linearna transformacija A u nekoj bazi ,,…,ima matricu A =
, tada se vlastite vrijednosti linearne transformacije A mogu naći kao korijeni  1 ,  2 , … ,  n karakteristične jednadžbe:

Hajde da razmotrimo poseban slučaj . Neka je A neka linearna transformacija ravni čija je matrica jednaka
. Tada se transformacija A može dati formulama:

;

po nekom osnovu
.

Ako transformacija A ima svojstveni vektor sa svojstvenom vrijednošću , tada A
.

ili

Jer svojstveni vektor različit od nule, tada x 1 i x 2 nisu jednaki nuli u isto vrijeme. Jer Ako je ovaj sistem homogen, onda da bi imao netrivijalno rješenje, determinanta sistema mora biti jednaka nuli. Inače, prema Cramerovom pravilu, sistem ima jedinstveno rješenje – nulu, što je nemoguće.

Rezultirajuća jednačina je karakteristična jednačina linearne transformacije A.

Tako se može pronaći sopstveni vektor (x 1, x 2) linearna transformacija A sa sopstvenom vrednošću, gde je  koren karakteristične jednačine, a x 1 i x 2 su koreni sistema jednačina kada se vrednost  zameni u njega.

Jasno je da ako karakteristična jednadžba nema realne korijene, onda linearna transformacija A nema svojstvene vektore.

Treba napomenuti da ako je svojstveni vektor transformacije A, tada je svaki vektor kolinearan njemu također svojstveni vektor sa istom svojstvenom vrijednošću.

Zaista,. Ako uzmemo u obzir da vektori imaju isto poreklo, onda ovi vektori formiraju tzv sopstvenom pravcu ili vlastita linija.

Jer karakteristična jednadžba može imati dva različita realna korijena  1 i  2, tada u ovom slučaju, kada ih zamjenjujemo u sistem jednačina, dobijamo beskonačan broj rješenja. (Zato što su jednačine linearno zavisne). Ovaj skup rješenja određuje dva sopstvene linije.

Ako karakteristična jednadžba ima dva jednaka korijena 1 = 2 =, tada ili postoji samo jedna prava prava, ili ako se, kada se zameni u sistem, pretvara u sistem oblika:
. Ovaj sistem zadovoljava sve vrijednosti x 1 i x 2. Tada će svi vektori biti sopstveni vektori i takva transformacija se zove transformacija sličnosti.

Primjer.
.

Primjer. Naći karakteristične brojeve i svojstvene vektore linearne transformacije sa matricom A =
.

Zapišimo linearnu transformaciju u obliku:

Napravimo karakterističnu jednačinu:

 2 - 4+ 4 = 0;

Korijeni karakteristične jednadžbe:  1 = 2 = 2;

Dobijamo:

Sistem proizvodi zavisnost: x 1 – x 2 = 0. Vlastiti vektori za prvi korijen karakteristične jednadžbe imaju koordinate: ( t ; t ) Gdje t- parametar.

Sopstveni vektor se može napisati:
.

Hajde da razmislimo o drugom poseban slučaj. Ako je svojstveni vektor linearne transformacije A specificirane u trodimenzionalnom linearnom prostoru, a x 1, x 2, x 3 su komponente ovog vektora u određenoj bazi
, To