Linearna jednačina ima oblik. Rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Učenje rješavanja jednačina jedan je od glavnih zadataka koje algebra postavlja pred učenike. Počevši od najjednostavnijeg, kada se sastoji od jedne nepoznate, pa prelazimo na sve složenije. Ako niste savladali radnje koje je potrebno izvesti sa jednadžbama iz prve grupe, bit će teško razumjeti ostale.

Da biste nastavili razgovor, morate se složiti oko notacije.

Opšti oblik linearne jednadžbe sa jednom nepoznatom i princip njenog rješenja

Bilo koja jednačina koja se može napisati ovako:

a * x = b,

pozvao linearno. Ovo opšta formula. Ali često se u zadacima linearne jednačine pišu u implicitnom obliku. Tada je potrebno izvršiti identične transformacije da bi se dobila općeprihvaćena notacija. Ove radnje uključuju:

otvarajuće zagrade;
pomeranje svih pojmova sa promenljivom vrednošću na levu stranu jednakosti, a ostatak na desnu;
smanjenje sličnih termina.

U slučaju kada je nepoznata količina u nazivniku razlomka, potrebno je odrediti njene vrijednosti pri kojima izraz neće imati smisla. Drugim riječima, morate znati domenu definicije jednačine.

Princip po kojem se rješavaju sve linearne jednačine svodi se na dijeljenje vrijednosti na desnoj strani jednačine koeficijentom ispred varijable. To jest, “x” će biti jednako b/a.

Posebni slučajevi linearnih jednadžbi i njihova rješenja

Tokom rasuđivanja mogu nastati momenti kada linearne jednačine poprime jedan od posebnih oblika. Svaki od njih ima specifično rješenje.

U prvoj situaciji:

a * x = 0, i a ≠ 0.

Rješenje takve jednačine uvijek će biti x = 0.

U drugom slučaju, "a" uzima vrijednost jednaku nuli:

0 * x = 0.

Odgovor na takvu jednačinu će biti bilo koji broj. To jest, ima beskonačan broj korijena.

Treća situacija izgleda ovako:

0 * x = in, gdje je u ≠ 0.

Ova jednadžba nema smisla. Jer ne postoje korijeni koji to zadovoljavaju.

Opći prikaz linearne jednadžbe s dvije varijable

Iz njegovog imena postaje jasno da u njemu već postoje dvije nepoznate količine. Linearne jednadžbe u dvije varijable izgleda ovako:

a * x + b * y = c.

Pošto u zapisu postoje dvije nepoznate, odgovor će izgledati kao par brojeva. Odnosno, nije dovoljno navesti samo jednu vrijednost. Ovo će biti nepotpun odgovor. Par veličina za koje jednačina postaje identičnost je rješenje jednačine. Štaviše, u odgovoru se uvijek prva upisuje varijabla koja je prva u abecedi. Ponekad kažu da ga ovi brojevi zadovoljavaju. Štaviše, može postojati beskonačan broj takvih parova.

Kako riješiti linearnu jednačinu sa dvije nepoznate?

Da biste to učinili, samo trebate odabrati bilo koji par brojeva koji se pokaže ispravnim. Radi jednostavnosti, možete uzeti jednu od nepoznanica jednaku nekom prostom broju, a zatim pronaći drugu.

Prilikom rješavanja često morate izvoditi korake da pojednostavite jednadžbu. Zovu se transformacije identiteta. Štaviše, sljedeća svojstva su uvijek tačna za jednačine:

svaki član se može premjestiti u suprotni dio jednakosti zamjenom njegovog predznaka suprotnim;
Lijeva i desna strana bilo koje jednačine mogu se podijeliti istim brojem, sve dok nije jednak nuli.

Primjeri zadataka sa linearnim jednadžbama

Prvi zadatak. Riješite linearne jednačine: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

U jednadžbi koja je prva na ovoj listi, jednostavno podijelite 20 sa 4. Rezultat će biti 5. Ovo je odgovor: x = 5.

Treća jednačina zahtijeva da se izvrši transformacija identiteta. Sastojat će se od otvaranja zagrada i donošenja sličnih pojmova. Nakon prvog koraka, jednačina će dobiti oblik: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Zatim trebate premjestiti sve nepoznanice na lijevu stranu jednačine, a ostale na desnu. Jednačina će izgledati ovako: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Nakon dodavanja sličnih pojmova: 14x = 16. Sada izgleda isto kao i prva, a njeno rješenje je lako pronaći. Odgovor će biti x=8/7. Ali u matematici bi trebalo da izolujete ceo deo od nepravilnog razlomka. Tada će se rezultat transformirati, a "x" će biti jednako jednoj cjelini i jednoj sedmici.

U preostalim primjerima, varijable su u nazivniku. To znači da prvo morate saznati na kojim su vrijednostima definirane jednadžbe. Da biste to učinili, morate isključiti brojeve kod kojih imenioci idu na nulu. U prvom primjeru je “-4”, u drugom je “-3”. Odnosno, ove vrijednosti trebaju biti isključene iz odgovora. Nakon toga, trebate pomnožiti obje strane jednakosti sa izrazima u nazivniku.

Otvarajući zagrade i donoseći slične članove, u prvoj od ovih jednačina dobijamo: 5x + 15 = 4x + 16, au drugoj 5x + 15 = 4x + 12. Nakon transformacije, rješenje prve jednačine će biti x = -1. Drugi se ispostavi da je jednak "-3", što znači da potonji nema rješenja.

Drugi zadatak. Riješite jednačinu: -7x + 2y = 5.

Pretpostavimo da je prva nepoznata x = 1, tada će jednačina poprimiti oblik -7 * 1 + 2y = 5. desna strana jednakosti, faktor je “-7” i mijenjajući njegov predznak u plus, ispada da je 2y = 12. To znači y = 6. Odgovor: jedno od rješenja jednačine x = 1, y = 6.

Opšti oblik nejednakosti sa jednom promenljivom

Sve moguće situacije za nejednakosti su predstavljene ovdje:

a * x > b;
sjekira< в;
a * x ≥b;
a * x ≤v.

Općenito, izgleda kao jednostavna linearna jednadžba, samo je znak jednakosti zamijenjen nejednakošću.

Pravila za transformacije identiteta nejednakosti

Baš kao i linearne jednačine, nejednakosti se mogu modificirati prema određenim zakonima. One se svode na sledeće:

bilo koji alfabetski ili numerički izraz može se dodati lijevoj i desnoj strani nejednakosti, a predznak nejednakosti ostaje isti;
Također možete množiti ili dijeliti sa istom stvari pozitivan broj, ovo opet ne mijenja znak;
prilikom množenja ili dijeljenja sa istom stvari negativan broj jednakost će ostati istinita pod uvjetom da je znak nejednakosti obrnut.

Opšti pogled na dvostruke nejednakosti

U zadacima se mogu predstaviti sljedeće nejednakosti:

V< а * х < с;
c ≤ a * x< с;
V< а * х ≤ с;
c ≤ a * x ≤ c.

Naziva se dvostrukim jer je ograničen znakovima nejednakosti na obje strane. Rješava se korištenjem istih pravila kao i obične nejednačine. A pronalaženje odgovora se svodi na niz identičnih transformacija. Dok se ne dobije najjednostavnije.

Osobine rješavanja dvostrukih nejednačina

Prva od njih je njegova slika na koordinatnoj osi. Nema potrebe koristiti ovu metodu za jednostavne nejednakosti. Ali unutra teški slučajevi može jednostavno biti neophodno.

Da biste prikazali nejednakost, morate na osi označiti sve tačke koje su dobijene tokom razmišljanja. To su nevažeće vrijednosti, koje su označene probušenim tačkama, i vrijednosti iz nejednakosti dobijenih nakon transformacija. I ovdje je važno pravilno nacrtati tačke. Ako je nejednakost stroga, tj< или >, onda se ove vrijednosti iskucavaju. U nestriktnim nejednačinama, tačke moraju biti zasjenjene.

Zatim je potrebno naznačiti značenje nejednakosti. To se može učiniti pomoću sjenčanja ili lukova. Njihovo ukrštanje će ukazati na odgovor.

Druga karakteristika se odnosi na njegovo snimanje. Ovdje su ponuđene dvije opcije. Prva je krajnja nejednakost. Drugi je u obliku intervala. Kod njega se dešavaju poteškoće. Odgovor u razmacima uvijek izgleda kao varijabla sa znakom članstva i zagradama s brojevima. Ponekad postoji nekoliko razmaka, tada između zagrada morate napisati simbol "i". Ovi znakovi izgledaju ovako: ∈ i ∩. Razmakne zagrade također igraju ulogu. Okrugli se postavlja kada je tačka isključen iz odgovora, a pravokutni uključuje ovu vrijednost. Znak beskonačnosti je uvijek u zagradi.

Primjeri rješavanja nejednačina

1. Riješite nejednačinu 7 - 5x ≥ 37.

Nakon jednostavnih transformacija dobijamo: -5x ≥ 30. Dijeljenjem sa “-5” možemo dobiti sljedeći izraz: x ≤ -6. Ovo je već odgovor, ali se može napisati i na drugi način: x ∈ (-∞; -6).

2. Riješiti dvostruku nejednačinu -4< 2x + 6 ≤ 8.

Prvo morate svuda oduzeti 6. Dobivate: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Da biste nastavili razgovor, morate se složiti oko notacije.

Opšti oblik linearne jednadžbe sa jednom nepoznatom i princip njenog rješenja

Bilo koja jednačina koja se može napisati ovako:

a * x = b,

pozvao linearno. Ovo je opšta formula. Ali često se u zadacima linearne jednačine pišu u implicitnom obliku. Tada je potrebno izvršiti identične transformacije da bi se dobila općeprihvaćena notacija. Ove radnje uključuju:

otvarajuće zagrade;
pomeranje svih pojmova sa promenljivom vrednošću na levu stranu jednakosti, a ostatak na desnu;
smanjenje sličnih termina.

U slučaju kada je nepoznata količina u nazivniku razlomka, potrebno je odrediti njene vrijednosti pri kojima izraz neće imati smisla. Drugim riječima, morate znati domenu definicije jednačine.

Princip po kojem se rješavaju sve linearne jednačine svodi se na dijeljenje vrijednosti na desnoj strani jednačine koeficijentom ispred varijable. To jest, “x” će biti jednako b/a.

Posebni slučajevi linearnih jednadžbi i njihova rješenja

Tokom rasuđivanja mogu nastati momenti kada linearne jednačine poprime jedan od posebnih oblika. Svaki od njih ima specifično rješenje.

U prvoj situaciji:

a * x = 0, i a ≠ 0.

Rješenje takve jednačine uvijek će biti x = 0.

U drugom slučaju, "a" uzima vrijednost jednaku nuli:

0 * x = 0.

Odgovor na takvu jednačinu će biti bilo koji broj. To jest, ima beskonačan broj korijena.

Treća situacija izgleda ovako:

0 * x = in, gdje je u ≠ 0.

Ova jednadžba nema smisla. Jer ne postoje korijeni koji to zadovoljavaju.

Opći prikaz linearne jednadžbe s dvije varijable

Iz njegovog imena postaje jasno da u njemu već postoje dvije nepoznate količine. Linearne jednadžbe u dvije varijable izgleda ovako:

a * x + b * y = c.

Kako riješiti linearnu jednačinu sa dvije nepoznate?

Prilikom rješavanja često morate izvoditi korake da pojednostavite jednadžbu. Zovu se transformacije identiteta. Štaviše, sljedeća svojstva su uvijek tačna za jednačine:

svaki član se može premjestiti u suprotni dio jednakosti zamjenom njegovog predznaka suprotnim;
Lijeva i desna strana bilo koje jednačine mogu se podijeliti istim brojem, sve dok nije jednak nuli.

Primjeri zadataka sa linearnim jednadžbama

Prvi zadatak. Riješite linearne jednačine: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

U jednadžbi koja je prva na ovoj listi, jednostavno podijelite 20 sa 4. Rezultat će biti 5. Ovo je odgovor: x = 5.

Drugi zadatak. Riješite jednačinu: -7x + 2y = 5.

Pretpostavimo da je prva nepoznata x = 1, tada će jednadžba poprimiti oblik -7 * 1 + 2y = 5. Pomicanjem faktora “-7” na desnu stranu jednakosti i mijenjanjem njegovog predznaka u plus, ispada da 2y = 12. To znači y =6. Odgovor: jedno od rješenja jednačine x = 1, y = 6.

Opšti oblik nejednakosti sa jednom promenljivom

Ovdje su prikazane sve moguće situacije za nejednakosti:

a * x > b;
sjekira< в;
a * x ≥b;
a * x ≤v.

Općenito, izgleda kao jednostavna linearna jednadžba, samo je znak jednakosti zamijenjen nejednakošću.

Pravila za transformacije identiteta nejednakosti

Baš kao i linearne jednačine, nejednakosti se mogu modificirati prema određenim zakonima. One se svode na sledeće:

bilo koji alfabetski ili numerički izraz može se dodati lijevoj i desnoj strani nejednakosti, a predznak nejednakosti ostaje isti;
također možete pomnožiti ili podijeliti sa istim pozitivnim brojem, ovo opet ne mijenja predznak;
Prilikom množenja ili dijeljenja istim negativnim brojem, jednakost će ostati tačna pod uvjetom da je predznak nejednakosti obrnut.

Opšti pogled na dvostruke nejednakosti

U zadacima se mogu predstaviti sljedeće nejednakosti:

V< а * х < с;
c ≤ a * x< с;
V< а * х ≤ с;
c ≤ a * x ≤ c.

Osobine rješavanja dvostrukih nejednačina

Prva od njih je njegova slika na koordinatnoj osi. Nema potrebe koristiti ovu metodu za jednostavne nejednakosti. Ali u teškim slučajevima to može jednostavno biti neophodno.

Zatim je potrebno naznačiti značenje nejednakosti. To se može učiniti pomoću sjenčanja ili lukova. Njihovo ukrštanje će ukazati na odgovor.

Primjeri rješavanja nejednačina

1. Riješite nejednačinu 7 - 5x ≥ 37.

2. Riješiti dvostruku nejednačinu -4< 2x + 6 ≤ 8.

Jednačine. Drugim riječima, rješenje svih jednačina počinje ovim transformacijama. Prilikom odlučivanja linearne jednačine, ono (rješenje) se zasniva na transformacijama identiteta i završava se konačnim odgovorom.

Slučaj koeficijenta različitog od nule za nepoznatu varijablu.

ax+b=0, a ≠ 0

Pomeramo članove sa X na jednu, a brojeve na drugu stranu. Obavezno zapamtite da kada premještate članove na suprotnu stranu jednačine, morate promijeniti predznak:

ax:(a)=-b:(a)

Hajde da skratimo A at X i dobijamo:

x=-b:(a)

Ovo je odgovor. Ako trebate provjeriti da li je broj -b:(a) korijen naše jednadžbe, onda umjesto toga trebamo zamijeniti početnu jednadžbu X ovo je broj:

a(-b:(a))+b=0 ( one. 0=0)

Jer onda je ova jednakost tačna -b:(a) a istina je koren jednačine.

odgovor: x=-b:(a), a ≠ 0.

Prvi primjer:

5x+2=7x-6

Pomeramo članove sa na jednu stranu X, a na drugoj strani brojevi:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Za nepoznat faktor smanjili smo koeficijent i dobili odgovor:

Ovo je odgovor. Ako trebate provjeriti je li broj 4 zaista korijen naše jednadžbe, zamjenjujemo ovaj broj umjesto X u originalnoj jednadžbi:

5*4+2=7*4-6 ( one. 22=22)

Jer ova jednakost je tačna, tada je 4 korijen jednadžbe.

Drugi primjer:

Riješite jednačinu:

5x+14=x-49

Pomicanjem nepoznanica i brojeva u različitim smjerovima, dobili smo:

Podijelite dijelove jednačine koeficijentom at x(za 4) i dobijamo:

Treći primjer:

Riješite jednačinu:

Prvo, oslobađamo se iracionalnosti u koeficijentu za nepoznato množenjem svih pojmova sa:

Ovaj oblik se smatra pojednostavljenim, jer broj ima korijen broja u nazivniku. Moramo pojednostaviti odgovor množenjem brojnika i imenioca sa isti broj, imamo ovo:

Slučaj bez rješenja.

Riješite jednačinu:

2x+3=2x+7

Pred svima x naša jednadžba neće postati prava jednakost. To jest, naša jednadžba nema korijen.

Odgovor: nema rješenja.

Poseban slučaj je beskonačan broj rješenja.

Riješite jednačinu:

2x+3=2x+3

Pomicanjem x-ova i brojeva u različitim smjerovima i dodavanjem sličnih pojmova dobijamo jednačinu:

I ovdje nije moguće oba dijela podijeliti sa 0, jer zabranjeno je. Međutim, postavljanje na mjesto X bilo koji broj, dobijamo tačnu jednakost. Odnosno, svaki broj je rješenje takve jednačine. Dakle, postoji beskonačan broj rješenja.

Odgovor: beskonačan broj rješenja.

Slučaj jednakosti dva potpuna oblika.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

odgovor: x=(d-b):(a-c), Ako d≠b i a≠c, inače postoji beskonačno mnogo rješenja, ali ako a=c, A d≠b, onda nema rješenja.

Linearne jednadžbe su prilično bezopasne i jasna tema skolska matematika. Ali, koliko je čudno, broj grešaka iz vedra neba pri rješavanju linearnih jednačina je tek nešto manji nego u drugim temama - kvadratne jednačine, logaritmi, trigonometrija i dr. Uzroci većine grešaka su banalne identične transformacije jednačina. Prije svega, riječ je o zbrci u predznacima pri prenošenju članova iz jednog dijela jednadžbe u drugi, kao io greškama pri radu sa razlomcima i razlomcima koeficijenata. Da da! Razlomci se također pojavljuju u linearnim jednačinama! Svuda okolo. U nastavku ćemo definitivno analizirati takve zle jednačine.)

Pa, hajde da ne vučemo mačku za rep i hajde da to shvatimo, hoćemo li? Zatim čitamo i ulazimo u to.)

Šta je linearna jednačina? Primjeri.

Obično linearna jednačina izgleda ovako:

sjekira + b = 0,

Gdje su a i b bilo koji brojevi. Bilo koja vrsta: cijeli brojevi, razlomci, negativni, iracionalni - može biti bilo koji!

Na primjer:

7x + 1 = 0 (ovdje a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (ovdje a = 1, b = -3)

x/2 – 1,1 = 0 (ovdje a = 1/2, b = -1,1)

Općenito, razumiješ, nadam se.) Sve je jednostavno, kao u bajci. Za sada... A ako malo bolje pogledate opštu notaciju ax+b=0, i razmislite malo? Na kraju krajeva, a i b jesu bilo koji broj! A ako imamo, recimo, a = 0 i b = 0 (mogu se uzeti bilo koji brojevi!), šta ćemo onda dobiti?

0 = 0

Ali to nije sva zabava! Šta ako je, recimo, a = 0, b = -10? Onda ispadne neka glupost:

0 = 10.

Što je jako, jako neugodno i podriva povjerenje u matematiku koje smo stekli znojem i krvlju... Pogotovo na testovima i ispitima. Ali od ovih neshvatljivih i čudnih jednakosti, morate pronaći i X! Koji uopšte ne postoji! I ovdje, čak i dobro pripremljeni učenici ponekad mogu pasti u ono što se zove omamljenost... Ali ne brinite! U ovoj lekciji ćemo takođe pogledati sva takva iznenađenja. I sigurno ćemo pronaći X iz takvih jednakosti.) Štaviše, ovaj isti X može se naći vrlo, vrlo jednostavno. Da da! Iznenađujuće ali istinito.)

U redu, to je razumljivo. Ali kako možete po izgledu zadatka reći da je to linearna jednačina, a ne neka druga jednačina? Nažalost, nije uvijek moguće prepoznati vrstu jednačine samo po izgledu. Stvar je u tome da se linearne ne nazivaju samo jednadžbe oblika ax + b = 0, već i sve druge jednačine koje se, na ovaj ili onaj način, mogu svesti na ovaj oblik identičnim transformacijama. Kako znate da li se to zbraja ili ne? Dok teško možete riješiti primjer - gotovo nikako. Ovo je uznemirujuće. Ali za neke vrste jednačina, jednim brzim pogledom možete odmah sa sigurnošću reći da li je linearna ili ne.

Da bismo to učinili, pogledajmo još jednom opću strukturu bilo koje linearne jednadžbe:

sjekira + b = 0

Napomena: u linearnoj jednadžbi Uvijek prisutna je samo varijabla x na prvom stepenu i neke brojke! To je sve! Ništa drugo. Istovremeno, nema X u kvadratu, u kocki, ispod korijena, ispod logaritma i drugih egzotičnih stvari. I (što je najvažnije!) nema razlomaka sa X u imeniocima! Ali razlomci s brojevima u nazivnicima ili podjeli po broju- lako!

Na primjer:

Ovo je linearna jednadžba. Jednačina sadrži samo X na prvi stepen i brojeve. I nema X u višim snagama - na kvadrat, kocku, itd. Da, ovdje postoje razlomci, ali u isto vrijeme i imenioci razlomaka sadrže samo brojevi. Naime - dva i tri. Drugim riječima, nema podjela sa x.

A evo jednačine

Više se ne može nazvati linearnim, iako i ovdje postoje samo brojevi i X na prvi stepen. Jer, između ostalog, postoje i razlomci sa X u nazivnicima. A nakon pojednostavljenja i transformacija, takva jednadžba može postati bilo što: linearna, kvadratna - bilo što.

Kako riješiti linearne jednačine? Primjeri.

Dakle, kako rješavate linearne jednačine? Čitajte dalje i budite iznenađeni.) Cijelo rješenje linearnih jednačina zasniva se na samo dvije glavne stvari. Hajde da ih navedemo.

1) Skup elementarnih radnji i pravila matematike.

To su korištenje zagrada, otvaranje zagrada, rad sa razlomcima, rad s negativnim brojevima, tablica množenja itd. Ova znanja i vještine su neophodne ne samo za rješavanje linearnih jednačina, već za svu matematiku općenito. I, ako imate problema s ovim, zapamtite niže ocjene. U suprotnom će vam biti teško...

Ima ih samo dvoje. Da da! Štaviše, ove vrlo osnovne transformacije identiteta leže u osnovi rješenja ne samo linearnih, već općenito bilo kojih matematičkih jednačina! Jednom riječju, rješenje bilo koje druge jednačine - kvadratne, logaritamske, trigonometrijske, iracionalne itd. – po pravilu počinje sa ovim osnovnim transformacijama. Ali rješenje linearnih jednadžbi, zapravo, završava s njima (transformacijama). Spreman odgovor.) Zato ne budite lijeni i pogledajte link.) Štaviše, linearne jednačine su također detaljno analizirane tamo.

Pa, mislim da je vrijeme da počnemo gledati primjere.

Za početak, kao zagrijavanje, pogledajmo neke osnovne stvari. Bez ikakvih frakcija ili drugih zvona i zviždaljki. Na primjer, ova jednadžba:

x – 2 = 4 – 5x

Ovo je klasična linearna jednačina. Svi X su najviše u prvom stepenu i nigdje nema podjele sa X. Šema rješenja u takvim jednačinama je uvijek ista i užasno jednostavna: svi članovi sa X-ovima moraju se sakupiti na lijevoj strani, a svi članovi bez X-a (tj. brojevi) moraju se sakupiti na desnoj strani. Pa počnimo sa prikupljanjem.

Da bismo to učinili, pokrećemo prvu transformaciju identiteta. Moramo pomaknuti -5x ulijevo i -2 udesno. Uz promenu predznaka, naravno.) Dakle prenosimo:

x + 5x = 4 + 2

Izvoli. Pola bitke je obavljeno: X-ovi su sakupljeni na gomilu, kao i brojevi. Sada prikazujemo slične na lijevoj strani, a brojimo ih na desnoj strani. Dobijamo:

6x = 6

Šta nam sada nedostaje za potpunu sreću? Da, tako da čisti X ostane na lijevoj strani! I šestorica stane na put. Kako ga se riješiti? Sada pokrećemo drugu transformaciju identiteta - podijelimo obje strane jednačine sa 6. I - voila! Odgovor je spreman.)

x = 1

Naravno, primjer je potpuno primitivan. To opšta ideja uhvatiti. Pa, hajde da odlučimo nešto značajnije. Na primjer, pogledajmo ovu jednačinu:

Pogledajmo je detaljno.) Ovo je također linearna jednadžba, iako se čini da ovdje postoje razlomci. Ali u razlomcima postoji podjela sa dva i postoji podjela sa tri, ali nema dijeljenja izrazom sa X! Pa hajde da odlučimo. Koristeći iste identične transformacije, da.)

Šta prvo treba da uradimo? Sa X-ovima - lijevo, bez X-a - desno? U principu, to je moguće. Letite do Sočija preko Vladivostoka.) Ili možete ići najkraćim putem, odmah koristeći univerzalnu i moćnu metodu. Ako znate transformacije identiteta, naravno.)

Prvo, postavljam ključno pitanje: šta vam se najviše ističe i što vam se najviše ne sviđa u ovoj jednadžbi? 99 od 100 ljudi će reći: fractions! I oni će biti u pravu.) Dakle, hajde da ih se prvo riješimo. Sigurno za samu jednačinu.) Stoga, počnimo odmah s druga transformacija identiteta- od množenja. Čime treba pomnožiti lijevu stranu da se imenilac uspješno smanji? Tako je, dvojka. Šta je sa desnom stranom? Za tri! Ali... Matematika je hirovita dama. Ona, vidite, zahteva množenje samo obe strane za isti broj! Množenje svakog dijela vlastitim brojem ne funkcionira... Šta ćemo? Nešto... Tražite kompromis. Da bismo zadovoljili svoje želje (da se riješimo razlomaka) i da ne uvrijedimo matematiku.) Pomnožimo oba dijela sa šest!) To jest, zajedničkim nazivnikom svih razlomaka uključenih u jednačinu. Onda će se u jednom potezu i dva i tri smanjiti!)

Pa hajde da množimo. Cijela lijeva strana i cijela desna strana! Stoga koristimo zagrade. Ovako izgleda sama procedura:

Sada otvaramo ove iste zagrade:

Sada, predstavljajući 6 kao 6/1, pomnožimo šest sa svakim od razlomaka lijevo i desno. Ovo je uobičajeno množenje razlomaka, ali neka bude, detaljno ću ga opisati:

I evo - pažnja! Stavio sam brojilac (x-3) u zagrade! To je sve zato što se pri množenju razlomaka brojnik množi u potpunosti, u potpunosti! I izraz x-3 mora se raditi kao jedna integralna struktura. Ali ako brojilac napišete ovako:

6x – 3,

Ali imamo sve kako treba i moramo to finalizirati. Šta dalje? Otvoriti zagrade u brojiocu s lijeve strane? Ni u kom slučaju! Ti i ja smo pomnožili obje strane sa 6 da se riješimo razlomaka i da ne brinemo o otvaranju zagrada. U ovoj fazi nam je potrebno smanjimo naše razlomke. Sa osjećajem dubokog zadovoljstva, smanjimo sve nazivnike i dobijemo jednačinu bez razlomaka, u ravnalu:

3(x-3) + 6x = 30 – 4x

A sada se preostale zagrade mogu otvoriti:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

Jednačina postaje sve bolja i bolja! Sada se ponovo prisjetimo prve identične transformacije. Sa pravim licem ponavljamo čini iz junior classes: sa X - lijevo, bez X - desno. I primijenite ovu transformaciju:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Slične predstavljamo na lijevoj, a brojimo na desnoj strani:

13x = 39

Ostaje podijeliti oba dijela sa 13. To jest, ponovo primijeniti drugu transformaciju. Podijelimo i dobijemo odgovor:

x = 3

Posao je obavljen. Kao što vidite, u ovoj jednačini morali smo jednom primijeniti prvu transformaciju (prenošenje pojmova), a drugu dva puta: na početku rješenja koristili smo množenje (sa 6) da bismo se riješili razlomaka, a na kraju rješenja koristili smo dijeljenje (sa 13), da bismo se riješili koeficijenta ispred X. A rješenje bilo koje (da, bilo koje!) linearne jednadžbe sastoji se od kombinacije tih istih transformacija u jednom ili drugom nizu. Odakle tačno početi - od specifična jednačina zavisi. Na nekim mjestima je isplativije početi s prijenosom, a na nekima (kao u ovom primjeru) s množenjem (ili dijeljenjem).

Radimo od jednostavnog do složenog. Hajde sada da razmotrimo potpunu okrutnost. Sa gomilom razlomaka i zagrada. I reći ću vam kako se ne naprezati.)

Na primjer, evo jednadžbe:

Gledamo u jednačinu na trenutak, užasnuti smo, ali se ipak saberemo! Glavni problem je odakle početi? Možete dodati razlomke na desnoj strani. Možete oduzimati razlomke u zagradama. Oba dijela možete pomnožiti nečim. Ili podijeliti... Pa šta je još moguće? Odgovor: sve je moguće! Matematika ne zabranjuje nijednu od navedenih radnji. I bez obzira koji slijed radnji i transformacija odaberete, odgovor će uvijek biti isti - ispravan. Osim ako, naravno, u nekom koraku ne narušite identitet svojih transformacija i time pogriješite...

A, da ne bi pogriješili, u tako sofisticiranim primjerima kao što je ovaj, uvijek je najkorisnije to ocijeniti izgled i smislite u svom umu: šta se može učiniti u primjeru tako da maksimum pojednostaviti u jednom koraku?

Pa hajde da to shvatimo. Na lijevoj strani su šestice u nazivnicima. Lično mi se ne sviđaju i vrlo se lako uklanjaju. Dozvolite mi da pomnožim obje strane jednačine sa 6! Tada će šestice na lijevoj strani biti uspješno smanjene, razlomci u zagradama još nikuda neće ići. Pa, to je u redu. O njima ćemo se pozabaviti malo kasnije.) Ali na desnoj strani imamo poništavanje nazivnika 2 i 3. Ovom radnjom (množenjem sa 6) postižemo maksimalno pojednostavljenje u jednom koraku!

Nakon množenja, cijela naša zla jednačina postaje ovakva:

Ako ne razumijete tačno kako je ova jednadžba nastala, onda niste dobro razumjeli analizu prethodnog primjera. I probao sam, usput...

Dakle, otkrijmo:

Sada bi najlogičniji korak bio izolirati razlomke s lijeve strane i poslati 5x na desnu stranu. Istovremeno ćemo prikazati slične na desnoj strani. Dobijamo:

Već mnogo bolje. Sada se lijeva strana pripremila za množenje. Čime treba pomnožiti lijevu stranu da se i pet i četiri umanjuju odjednom? Na 20! Ali imamo i nedostatke na obje strane jednačine. Stoga će biti najpogodnije obje strane jednadžbe pomnožiti ne sa 20, već sa -20. Tada će u jednom naletu nestati i minusi i razlomci.

Dakle, množimo:

Svako ko još uvijek ne razumije ovaj korak znači da problem nije u jednačinama. Problemi su u osnovama! Prisjetimo se ponovo Zlatno pravilo otvorne zagrade:

Ako se broj pomnoži nekim izrazom u zagradama, onda se taj broj mora uzastopno množiti svakim članom samog izraza. Štaviše, ako je broj pozitivan, onda se predznaci izraza čuvaju nakon proširenja. Ako je negativan, promijenite u suprotno:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Naši nedostaci su nestali nakon množenja obje strane sa -20. A sada množimo zagrade sa razlomcima na lijevoj strani sa prilično pozitivan broj 20. Dakle, kada se ove zagrade otvore, svi znakovi koji su bili u njima su sačuvani. Ali odakle dolaze zagrade u brojiocima razlomaka, već sam detaljno objasnio u prethodnom primjeru.

Sada možete smanjiti razlomke:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Otvorite preostale zagrade. Opet, otkrivamo to ispravno. Prve zagrade se množe pozitivnim brojem 4 i, stoga, svi znakovi ostaju sačuvani kada se otvore. Ali druge zagrade se množe sa negativan broj je -5 i stoga su svi predznaci obrnuti:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Ostale su sitnice. Sa X na lijevo, bez X na desno:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

To je skoro sve. Na lijevoj strani treba vam čisti X, ali broj -35 je na putu. Dakle, dijelimo obje strane sa (-35). Dozvolite mi da vas podsjetim da nam druga transformacija identiteta omogućava da obje strane pomnožimo i podijelimo kako god broj. Uključujući i negativne.) Sve dok nije nula! Slobodno podijelite i dobijete odgovor:

X = 2/35

Ovaj put se pokazalo da je X razlomak. Uredu je. Takav primjer.)

Kao što vidimo, princip rješavanja linearnih jednadžbi (čak i onih najkomplikovanijih) je prilično jednostavan: uzimamo originalnu jednačinu i, koristeći identične transformacije, sukcesivno je pojednostavljujemo dok ne dobijemo odgovor. Sa osnovama, naravno! Ovdje su glavni problemi upravo nepoštivanje osnova (na primjer, ispred zagrada je minus, a zaboravili su promijeniti znakove pri proširenju), kao i u banalnoj aritmetici. Zato nemojte zanemariti osnove! Oni su temelj sve ostale matematike!

Neke zabavne stvari koje treba raditi kada rješavate linearne jednadžbe. Ili posebne prilike.

Sve bi bilo u redu. Međutim... Među linearnim jednačinama ima i tako smiješnih bisera da vas u procesu rješavanja mogu dovesti u jaku omamljenost. Čak i odličan učenik.)

Na primjer, evo jednadžbe koja izgleda bezazleno:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Zijevajući široko i pomalo dosadno, skupljamo sve X na lijevoj strani i sve brojeve na desnoj strani:

7x-4x-3x = 5-2-3

Predstavljamo slične, prebrojite i dobijete:

0 = 0

To je to! Dao sam primjer trika! Ova jednakost sama po sebi ne izaziva nikakve prigovore: nula je zaista jednaka nuli. Ali X nedostaje! Bez traga! I moramo napisati u odgovoru, zašto jednako x . Inače, odluka se ne računa, da.) Šta učiniti?

Ne paničite! U ovakvim nestandardnim slučajevima najviše opšti koncepti i principe matematike. Šta je jednačina? Kako riješiti jednačine? Šta znači riješiti jednačinu?

Rješavanje jednačine znači pronalaženje Sve vrijednosti varijable x, koje, kada se zamijene u original jednadžba će nam dati tačnu jednakost (identitet)!

Ali mi imamo istinsku jednakost već se dogodilo! 0=0, ili bolje rečeno, nigdje!) Možemo samo nagađati od kojih X-ova dobijamo ovu jednakost. Kojim se X-ovima mogu zamijeniti original jednadžba, ako nakon zamjene sve njih hoće li oni i dalje biti svedeni na nulu? Zar to još nisi shvatio?

Sigurno! X-ovi se mogu zamijeniti bilo koji!!! Apsolutno bilo koji. Pošaljite šta god želite. Najmanje 1, najmanje -23, najmanje 2,7 - svejedno! Oni će se i dalje smanjiti i kao rezultat toga će ostati čista istina. Probajte, zamijenite i uvjerite se sami.)

Evo vašeg odgovora:

x – bilo koji broj.

U naučnoj notaciji ova jednakost se piše na sljedeći način:

Ovaj unos glasi ovako: "X je bilo koji realan broj."

Ili u drugom obliku, u intervalima:

Dizajnirajte ga onako kako vam se najviše sviđa. Ovo je tačan i potpuno potpun odgovor!

Sada ću promijeniti samo jedan broj u našoj originalnoj jednačini. Sada da riješimo ovu jednačinu:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2

Opet prenosimo uslove, računamo i dobijamo:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

A šta mislite o ovoj šali? Postojala je obična linearna jednačina, ali je postala neshvatljiva jednakost

0 = 1…

Naučno govoreći, dobili smo lažna jednakost. Ali na ruskom to nije istina. Sranje. Glupost.) Jer nula nije ni na koji način jednaka jedan!

A sada hajde da ponovo shvatimo kakvu će nam vrstu X-ova, kada se zamijene u originalnu jednadžbu, dati istinska jednakost? Koji? Ali nijedan! Bez obzira koji X zamijenite, sve će se i dalje skratiti i sve će ostati sranje.)

evo odgovora: nema rješenja.

IN matematička notacija takav odgovor je formatiran ovako:

Ona glasi: "X pripada praznom skupu."

Takvi odgovori u matematici se takođe javljaju prilično često: nemaju uvijek bilo koje jednačine u principu korijene. Neke jednadžbe možda uopće nemaju korijen. Uopšte.

Evo dva iznenađenja. Nadam se da vas sada iznenadni nestanak X-ova iz jednačine neće zauvijek zbuniti. Ovo je prilično poznato.)

I onda čujem logično pitanje: hoće li oni biti na OGE ili na Jedinstvenom državnom ispitu? O Jedinstvenom državnom ispitu po sebi kao zadatku - ne. Previše jednostavno. Ali u OGE ili u problemima sa riječima - lako! Pa sada trenirajmo i odlučimo:

Odgovori (u neredu): -2; -1; bilo koji broj; 2; nema rješenja; 7/13.

Je li sve uspjelo? Odlično! Imate dobre šanse na ispitu.

Nešto se ne poklapa? Hm... Tuga, naravno. To znači da negdje još uvijek postoje praznine. Ili u osnovama ili u identičnim transformacijama. Ili je samo stvar obične nepažnje. Pročitajte lekciju ponovo. Jer ovo nije tema od koje se u matematici može tako lako izostaviti...

Sretno! Definitivno će vam se nasmejati, verujte!)

Linearna jednačina je algebarska jednačina čiji je ukupan stepen polinoma jednak jedan. Rješavanje linearnih jednadžbi - dio školski program, i nije najteže. Međutim, neki i dalje imaju poteškoća da završe ovu temu. Nadamo se nakon čitanja ovog materijala, sve poteškoće za vas će biti prošlost. Pa, hajde da shvatimo. kako riješiti linearne jednadžbe.

Opšti oblik

Linearna jednačina je predstavljena kao:

ax + b = 0, gdje su a i b bilo koji brojevi.

Iako a i b mogu biti bilo koji broj, njihove vrijednosti utječu na broj rješenja jednadžbe. Postoji nekoliko posebnih slučajeva rješenja:

Ako je a=b=0, jednačina ima beskonačan broj rješenja;
Ako je a=0, b≠0, jednačina nema rješenja;
Ako je a≠0, b=0, jednačina ima rješenje: x = 0.

U slučaju da oba broja imaju vrijednosti različite od nule, jednačina se mora riješiti da bi se izvela konačni izraz za varijablu.

Kako odlučiti?

Rješavanje linearne jednačine znači pronalaženje kojoj je varijabla jednaka. Kako to učiniti? Da, vrlo je jednostavno - koristeći jednostavne algebarske operacije i pridržavajući se pravila prijenosa. Ako se jednačina pojavi pred vama u opštem obliku, imate sreće; sve što trebate učiniti je:

Pomerite b na desnu stranu jednačine, ne zaboravljajući da promenite predznak (pravilo prenosa!), tako da iz izraza oblika ax + b = 0 treba dobiti izraz oblika: ax = -b.
Primijenite pravilo: da biste pronašli jedan od faktora (x - u našem slučaju), trebate podijeliti proizvod (-b u našem slučaju) sa drugim faktorom (a - u našem slučaju). Dakle, trebali biste dobiti izraz oblika: x = -b/a.

To je to - rješenje je pronađeno!

Pogledajmo sada konkretan primjer:

2x + 4 = 0 - pomak b jednako u ovom slučaju 4, desno
2x = -4 - podijeliti b sa a (ne zaboravite na znak minus)
x = -4/2 = -2

To je sve! Naše rješenje: x = -2.

Kao što vidite, rješenje linearne jednadžbe s jednom varijablom je prilično jednostavno pronaći, ali sve je tako jednostavno ako imamo sreće da naiđemo na jednadžbu u njenom općem obliku. U većini slučajeva, prije rješavanja jednadžbe u dva gore opisana koraka, također morate svesti postojeći izraz na opšti izgled. Međutim, ni to nije izuzetno težak zadatak. Pogledajmo neke posebne slučajeve koristeći primjere.

Rješavanje posebnih slučajeva

Prvo, pogledajmo slučajeve koje smo opisali na početku članka i objasnimo šta znači imati beskonačan broj rješenja, a nema rješenja.

Ako je a=b=0, jednačina će izgledati ovako: 0x + 0 = 0. Izvođenjem prvog koraka dobijamo: 0x = 0. Šta znači ova glupost, uzviknete! Uostalom, bez obzira koji broj pomnožite sa nulom, uvijek dobijete nulu! Tačno! Zato kažu da jednačina ima beskonačan broj rješenja – bez obzira koji broj uzmete, jednakost će biti tačna, 0x = 0 ili 0 = 0.
Ako je a=0, b≠0, jednačina će izgledati ovako: 0x + 3 = 0. Izvršite prvi korak, dobijamo 0x = -3. Opet gluposti! Očigledno je da ova jednakost nikada neće biti istinita! Zato kažu da jednačina nema rješenja.
Ako je a≠0, b=0, jednačina će izgledati ovako: 3x + 0 = 0. Izvođenjem prvog koraka dobijamo: 3x = 0. Koje je rješenje? Lako je, x = 0.

Izgubili u prijevodu

Opisani specijalni slučajevi nisu sve čime nas linearne jednačine mogu iznenaditi. Ponekad je jednačinu teško prepoznati na prvi pogled. Pogledajmo primjer:

12x - 14 = 2x + 6

Je li ovo linearna jednadžba? Šta je sa nulom na desnoj strani? Nećemo žuriti sa zaključcima, djelovat ćemo - pomjerit ćemo sve komponente naše jednadžbe na lijevu stranu. Dobijamo:

12x - 2x - 14 - 6 = 0

Sada oduzmimo slično od sličnog, dobijamo:

10x - 20 = 0

Naučio? Najlinearnija jednačina ikada! Rješenje za koje je: x = 20/10 = 2.

Šta ako imamo ovaj primjer:

12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Da, ovo je također linearna jednadžba, samo je potrebno izvršiti još transformacija. Prvo, otvorimo zagrade:

(12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
4x + 8 + 12x = 12 - 9x - sada vršimo prijenos:
25x - 4 = 0 - ostaje pronaći rješenje koristeći već poznatu shemu:
25x = 4,
x = 4/25 = 0,16

Kao što vidite, sve se može riješiti, glavna stvar je ne brinuti, već djelovati. Zapamtite, ako vaša jednadžba sadrži samo varijable prvog stepena i brojeve, imate linearnu jednačinu, koja se, bez obzira kako izgleda u početku, može svesti na opći oblik i riješiti. Nadamo se da će vam sve uspjeti! Sretno!