Zahtijeva poznavanje osnovnih formula trigonometrije - zbira kvadrata sinusa i kosinusa, izraza tangente kroz sinus i kosinus i dr. Za one koji su ih zaboravili ili ih ne znaju, preporučujemo da pročitaju članak "".
Dakle, znamo osnovne trigonometrijske formule, vrijeme je da ih iskoristimo u praksi. Rješenje trigonometrijske jednačine
at pravi pristup- prilično uzbudljiva aktivnost, poput, na primjer, rješavanja Rubikove kocke.
Na osnovu samog naziva jasno je da je trigonometrijska jednačina jednačina u kojoj je nepoznata pod znakom trigonometrijske funkcije.
Postoje takozvane najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Evo kako izgledaju: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Hajde da razmotrimo kako riješiti takve trigonometrijske jednadžbe, radi jasnoće ćemo koristiti već poznati trigonometrijski krug.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
krevetac x = a
Svaka trigonometrijska jednadžba se rješava u dvije faze: svodimo jednačinu na njen najjednostavniji oblik, a zatim je rješavamo kao jednostavnu trigonometrijsku jednadžbu.
Postoji 7 glavnih metoda pomoću kojih se rješavaju trigonometrijske jednačine.
Zamjena varijable i metoda zamjene
Rješavanje trigonometrijskih jednačina kroz faktorizaciju
Redukcija na homogenu jednačinu
Rješavanje jednadžbi kroz prijelaz na poluugao
Uvođenje pomoćnog ugla
Riješite jednačinu 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Koristeći formule redukcije dobijamo:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Zamijenite cos(x + /6) sa y da pojednostavite i dobijete uobičajenu kvadratnu jednačinu:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Korijeni su y 1 = 1, y 2 = 1/2
Sada idemo obrnutim redoslijedom
Zamjenjujemo pronađene vrijednosti y i dobijamo dvije opcije odgovora:
Kako riješiti jednačina greha x + cos x = 1 ?
Pomaknimo sve ulijevo tako da 0 ostane na desnoj strani:
sin x + cos x – 1 = 0
Upotrijebimo gore navedene identitete da pojednostavimo jednačinu:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Rastavimo na faktore:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Dobijamo dvije jednačine
Jednačina je homogena u odnosu na sinus i kosinus ako su svi njeni članovi relativni na sinus i kosinus iste snage istog ugla. Da biste riješili homogenu jednačinu, postupite na sljedeći način:
a) prebaci sve svoje članove na lijevu stranu;
b) izvaditi sve zajedničke faktore iz zagrada;
c) izjednačiti sve faktore i zagrade sa 0;
d) u zagradi se dobija homogena jednačina nižeg stepena, koja se opet deli na sinus ili kosinus višeg stepena;
e) riješiti rezultirajuću jednačinu za tg.
Riješite jednačinu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Upotrijebimo formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 i riješimo se otvorene dvije na desnoj strani:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Podijelite sa cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Zamijenite tan x sa y i dobijete kvadratnu jednačinu:
y 2 + 4y +3 = 0, čiji su korijeni y 1 =1, y 2 = 3
Odavde nalazimo dva rješenja originalne jednadžbe:
x 2 = arktan 3 + k
Riješite jednačinu 3sin x – 5cos x = 7
Idemo na x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Pomerimo sve ulevo:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Podijelite sa cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Za razmatranje, uzmimo jednačinu oblika: a sin x + b cos x = c,
gdje su a, b, c neki proizvoljni koeficijenti, a x je nepoznanica.
Podijelimo obje strane jednačine sa:
Sada koeficijenti jednadžbe, prema trigonometrijskim formulama, imaju svojstva sin i cos, naime: njihov modul nije veći od 1 i zbir kvadrata = 1. Označimo ih kao cos i sin, gdje je - ovo takozvani pomoćni ugao. Tada će jednačina poprimiti oblik:
cos * sin x + sin * cos x = C
ili sin(x + ) = C
Rješenje ove najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe je
x = (-1) k * arcsin C - + k, gdje je
Treba napomenuti da su oznake cos i sin zamjenjive.
Riješite jednačinu sin 3x – cos 3x = 1
Koeficijenti u ovoj jednačini su:
a = , b = -1, pa podijelite obje strane sa = 2
Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina
Uvod 2
Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina 5
Algebarski 5
Rješavanje jednadžbi uz korištenje uvjeta jednakosti istoimenih trigonometrijskih funkcija 7
Faktorizacija 8
Redukcija na homogenu jednačinu 10
Uvođenje pomoćnog ugla 11
Pretvorite proizvod u zbir 14
Univerzalna zamjena 14
Zaključak 17
Uvod
Do desetog razreda redosled radnji mnogih vežbi koje vode do cilja je, po pravilu, jasno definisan. Na primjer, linearni i kvadratne jednačine i nejednakosti frakcione jednačine i jednadžbe svedene na kvadratne, itd. Ne ispitujući detaljno princip rješavanja svakog od navedenih primjera, navodimo opšte stvari koje su neophodne za njihovo uspješno rješavanje.
U većini slučajeva morate ustanoviti koja je vrsta zadatka zadatak, zapamtiti redoslijed radnji koje vode do cilja i izvršiti te radnje. Očigledno, uspjeh ili neuspjeh studenta u ovladavanju tehnikama rješavanja jednačina ovisi uglavnom o tome koliko je on sposoban ispravno odrediti vrstu jednačine i zapamtiti redoslijed svih faza njenog rješavanja. Naravno, pretpostavlja se da učenik ima vještine za izvođenje identičnih transformacija i proračuna.
Sasvim drugačija situacija nastaje kada se školarac susreće s trigonometrijskim jednadžbama. Štaviše, nije teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri pronalaženju pravca djelovanja koji bi doveo do pozitivnog rezultata. I ovdje se učenik suočava sa dva problema. By izgled vrsta jednadžbi je teško odrediti. A bez poznavanja vrste, gotovo je nemoguće odabrati željenu formulu od nekoliko desetina dostupnih.
Kako bi pomogli učenicima da pronađu svoj put kroz složeni labirint trigonometrijskih jednačina, prvo se upoznaju sa jednadžbama koje se svode na kvadratne jednadžbe kada se uvede nova varijabla. Zatim rješavaju homogene jednadžbe i one svodive na njih. Sve se po pravilu završava jednačinama, za rješavanje kojih je potrebno lijevu stranu rastaviti na faktore, a zatim svaki od faktora izjednačiti sa nulom.
Shvativši da desetak i po jednačina o kojima se govori u lekcijama očigledno nije dovoljno da se učenik uputi na samostalno putovanje kroz trigonometrijsko „more“, nastavnik dodaje još nekoliko svojih preporuka.
Da biste riješili trigonometrijsku jednačinu, trebate pokušati:
Dovedite sve funkcije uključene u jednadžbu u “iste uglove”;
Svesti jednadžbu na “identične funkcije”;
Faktorizirajte lijevu stranu jednačine, itd.
No, uprkos poznavanju osnovnih tipova trigonometrijskih jednadžbi i nekoliko principa za pronalaženje njihovih rješenja, mnogi učenici se i dalje nalaze u zatečenosti zbog svake jednačine koja se malo razlikuje od onih koje su ranije rješavane. Ostaje nejasno čemu treba težiti kada imamo ovu ili onu jednadžbu, zašto je u jednom slučaju potrebno koristiti formule dvostrukog ugla, u drugom - poluugla, au trećem formule sabiranja itd.
Definicija 1. Trigonometrijska jednadžba je jednačina u kojoj je nepoznato sadržano pod znakom trigonometrijskih funkcija.
Definicija 2. Kažu da trigonometrijska jednadžba ima jednake uglove ako sve trigonometrijske funkcije, uključeni u njega, imaju jednake argumente. Kaže se da trigonometrijska jednačina ima identične funkcije ako sadrži samo jednu od trigonometrijskih funkcija.
Definicija 3. Potencija monoma koji sadrži trigonometrijske funkcije je zbir eksponenta potencija trigonometrijskih funkcija uključenih u njega.
Definicija 4. Jednačina se naziva homogenom ako svi monomi uključeni u nju imaju isti stepen. Ovaj stepen se naziva redom jednačine.
Definicija 5. Trigonometrijska jednadžba koja sadrži samo funkcije grijeh I cos, naziva se homogenim ako svi monomi u odnosu na trigonometrijske funkcije imaju isti stepen, a same trigonometrijske funkcije imaju jednakih uglova i broj monoma za 1 više reda jednačine
Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina.
Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi sastoji se od dvije faze: transformacije jednadžbe kako bi se dobila najjednostavniji oblik i rješavanja rezultirajuće najjednostavnije trigonometrijske jednačine. Postoji sedam osnovnih metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
I. Algebarska metoda. Ova metoda je dobro poznata iz algebre. (Metoda varijabilne zamjene i supstitucije).
Riješite jednačine.
1)
Hajde da uvedemo notaciju x=2 grijeh3 t, dobijamo
Rješavajući ovu jednačinu dobijamo: 
ili 
one. može se zapisati
Prilikom snimanja rezultirajućeg rješenja zbog prisutnosti znakova 
stepen 
nema smisla to zapisivati.
odgovor: 
Označimo 
Dobijamo kvadratnu jednačinu 
. Njegovi korijeni su brojevi 
I 
. Stoga se ova jednadžba svodi na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe 
I 
. Rešavajući ih, nalazimo to 
ili 
.
odgovor: 
; 
.
Označimo 
ne zadovoljava uslov 
Sredstva 
odgovor: 
Transformirajmo lijevu stranu jednačine:
Dakle, ova početna jednačina se može napisati kao:
, tj.
Nakon što je odredio 
, dobijamo 
Rješavajući ovu kvadratnu jednačinu imamo:
ne zadovoljava uslov 
Zapisujemo rješenje originalne jednačine:
odgovor: 
Zamjena 
svodi ovu jednačinu na kvadratnu jednačinu 
. Njegovi korijeni su brojevi 
I 
. Jer 
, To zadata jednačina nema korena.
Odgovor: nema korijena.
II. Rješavanje jednadžbi uz korištenje uvjeta jednakosti istoimenih trigonometrijskih funkcija.
A) 
, Ako
b) 
, Ako
V) 
, Ako 
Koristeći ove uslove, razmotrite rješavanje sljedećih jednačina:
6) 
Koristeći ono što je rečeno u dijelu a) nalazimo da jednačina ima rješenje ako i samo ako 
.
Rješavajući ovu jednačinu, nalazimo 
.
Imamo dvije grupe rješenja: 
.
7) Riješite jednačinu: 
.
Koristeći uslov tačke b) zaključujemo da 
.
Rješavajući ove kvadratne jednačine dobijamo:
.
8) Riješite jednačinu 
.
Iz ove jednačine zaključujemo da . Rješavajući ovu kvadratnu jednačinu, nalazimo to 
.
III. Faktorizacija.
Ovu metodu razmatramo na primjerima.
9) Riješite jednačinu 
.
Rješenje. Pomjerimo sve članove jednadžbe ulijevo: .
Transformirajmo i faktorizirajmo izraz na lijevoj strani jednačine: 
.
.
.
1)
2) 
Jer 
I 
ne prihvataju vrednost nula
u isto vrijeme, tada dijelimo oba dijela
jednadžbe za 
, 
odgovor: 
10) Riješite jednačinu:
Rješenje.
ili 
odgovor: 
11) Riješite jednačinu
Rješenje:
1)
2)
3)
, 
odgovor: 
IV. Redukcija na homogenu jednačinu.
Za rješavanje homogene jednačine potrebno je:
Pomaknite sve njegove članove na lijevu stranu;
Stavite sve uobičajene faktore izvan zagrada;
Izjednačiti sve faktore i zagrade na nulu;
Zagrade jednake nuli daju homogenu jednačinu manjeg stepena, koju treba podijeliti sa 
(ili 
) u višem stepenu;
Riješi rezultirajuću algebarsku jednadžbu za 
.
Pogledajmo primjere:
12) Riješite jednačinu:
Rješenje.
Podijelimo obje strane jednačine sa 
, 
Uvođenje oznaka 
, ime
korijeni ove jednadžbe: 
dakle 1) 
2) 
odgovor: 
13) Riješite jednačinu:
Rješenje. Koristeći formule dvostrukog ugla i osnovni trigonometrijski identitet, ovu jednačinu svodimo na pola argumenta:
Nakon smanjenja sličnih pojmova imamo:
Dijelimo posljednju homogenu jednačinu sa 
, dobijamo
Ja ću naznačiti 
, dobijamo kvadratnu jednačinu 
, čiji su korijeni brojevi 
Dakle 
Izraz 
ide na nulu u 
, tj. at 
, 
.
Rješenje jednačine koje smo dobili ne uključuje ove brojeve.
odgovor: 
, .
V. Uvođenje pomoćnog ugla.
Razmotrimo jednačinu oblika
Gdje a, b, c- koeficijenti, x- nepoznato.
Podijelimo obje strane ove jednačine sa 
Sada koeficijenti jednadžbe imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime: modul svakog od njih ne prelazi jedan, a zbroj njihovih kvadrata je jednak 1.
Tada ih možemo odrediti u skladu s tim 
(Ovdje 
- pomoćni ugao) i naša jednadžba ima oblik: .
Onda 
I njegova odluka
Imajte na umu da su uvedene oznake međusobno zamjenjive.
14) Riješite jednačinu: 
Rješenje. Evo 
, pa dijelimo obje strane jednačine sa 
odgovor: 
15) Riješite jednačinu
Rješenje. Jer 
, tada je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi
Jer 
, onda postoji ugao takav da 
, 
(oni. 
).
Imamo 
Jer 
, tada konačno dobijamo:
.
Imajte na umu da jednačine oblika imaju rješenje ako i samo ako 
16) Riješite jednačinu:
Da bismo riješili ovu jednačinu, grupiramo trigonometrijske funkcije s istim argumentima
Podijelite obje strane jednačine sa dva
Pretvorimo zbir trigonometrijskih funkcija u proizvod:
odgovor: 
VI. Pretvaranje proizvoda u zbroj.
Ovdje se koriste odgovarajuće formule.
17) Riješite jednačinu:
Rješenje. Pretvorimo lijevu stranu u zbir:
VII.Univerzalna zamjena.
, 
ove formule su istinite za sve 
Zamjena 
naziva se univerzalnim.
18) Riješite jednačinu: 
Rješenje: Zamijenite i 
do njihovog izražavanja kroz 
i označiti 
.
Dobijamo racionalna jednačina 
, koji se pretvara u kvadrat 
.
Korijeni ove jednadžbe su brojevi 
.
Stoga se problem sveo na rješavanje dvije jednačine 
.
Nalazimo to 
.
Pogledaj vrijednost 
ne zadovoljava originalnu jednačinu, što se provjerava provjerom - zamjenom datu vrijednost t u originalnu jednačinu.
odgovor: 
.
Komentar. Jednačina 18 se mogla riješiti i na drugi način.
Podijelimo obje strane ove jednačine sa 5 (tj 
): 
.
Jer 
, onda postoji takav broj 
, Šta 
I 
. Stoga jednačina poprima oblik: 
ili 
. Odavde to nalazimo 
Gdje 
.
19) Riješite jednačinu 
.
Rješenje. Pošto funkcije 
I 
imati najveća vrijednost, jednako 1, tada je njihov zbir 2 ako 
I 
, istovremeno, tj 
.
odgovor: 
.
Prilikom rješavanja ove jednadžbe korištena je ograničenost funkcija i.
Zaključak.
Prilikom rada na temi “Rješavanje trigonometrijskih jednačina” korisno je da se svaki nastavnik pridržava sljedećih preporuka:
Sistematizirati metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
Sami odaberite korake za izvođenje analize jednadžbe i znakove preporučljivosti korištenja određene metode rješenja.
Razmislite o načinima da sami nadgledate svoje aktivnosti u implementaciji metode.
Naučite da sastavite „svoje“ jednadžbe za svaku od metoda koje se proučavaju.
Dodatak br. 1
Riješiti homogene ili svodive na homogene jednadžbe.
1. | Rep. |
Rep. |
|
Rep. |
|
5. | Rep. |
Rep. |
|
7. | Rep. |
Rep. |
|
Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.
Rješavanje trigonometrijskih jednačina bilo kojeg nivoa složenosti na kraju se svodi na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina. I u ovome se trigonometrijski krug opet ispostavlja kao najbolji asistent.
Prisjetimo se definicija kosinusa i sinusa.
Kosinus ugla je apscisa (tj. koordinata duž ose) tačke na jediničnom krugu koja odgovara rotaciji kroz dati ugao.
Sinus ugla je ordinata (tj. koordinata duž ose) tačke na jediničnom krugu koja odgovara rotaciji kroz dati ugao.
Pozitivan smjer kretanja na trigonometrijskom krugu je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Rotacija od 0 stepeni (ili 0 radijana) odgovara tački sa koordinatama (1;0)
Koristimo ove definicije za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.
1. Riješite jednačinu
Ovu jednačinu zadovoljavaju sve vrijednosti ugla rotacije koje odgovaraju tačkama na kružnici čija je ordinata jednaka .
Označimo tačku sa ordinatom na ordinatnoj osi:
Hajde da izvedemo horizontalna linija paralelno sa x-osi dok se ne ukrsti sa kružnicom. Dobijamo dvije tačke koje leže na kružnici i imaju ordinatu. Ove tačke odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima:
Ako, ostavljajući tačku koja odgovara kutu rotacije po radijanu, obiđemo puni krug, tada ćemo doći do točke koja odgovara kutu rotacije po radijanu i ima istu ordinatu. To jest, ovaj kut rotacije također zadovoljava našu jednačinu. Možemo napraviti onoliko „praznih“ okretaja koliko želimo, vraćajući se na istu tačku, a sve ove vrijednosti uglova će zadovoljiti našu jednadžbu. Broj obrtaja u praznom hodu će biti označen slovom (ili). Budući da možemo napraviti ove okrete iu pozitivnom iu negativnom smjeru, (ili) možemo poprimiti bilo koje cjelobrojne vrijednosti.
To jest, prva serija rješenja originalne jednadžbe ima oblik:
, , - skup cijelih brojeva (1)
Slično, druga serija rješenja ima oblik:
, Gdje , . (2)
Kao što ste mogli pretpostaviti, ova serija rješenja temelji se na tački na kružnici koja odgovara kutu rotacije za .
Ove dvije serije rješenja mogu se kombinirati u jedan unos:
Ako uzmemo (tj. čak) u ovom unosu, onda ćemo dobiti prvu seriju rješenja.
Ako uzmemo (tj. neparno) u ovom unosu, onda ćemo dobiti drugu seriju rješenja.
2. Sada riješimo jednačinu
Pošto je ovo apscisa tačke na jediničnom krugu dobijenom rotacijom kroz ugao, tačku označavamo apscisom na osi:
Nacrtajte okomitu liniju paralelnu osi dok se ne siječe s kružnicom. Dobićemo dve tačke koje leže na kružnici i imaju apscisu. Ove tačke odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima. Podsjetimo da kada se krećemo u smjeru kazaljke na satu dobivamo negativan kut rotacije:
Zapišimo dvije serije rješenja:
,
,
(Ulazimo u željenu tačku, prolazeći iz glavnog punog kruga, tj.
Kombinirajmo ove dvije serije u jedan unos:
3. Riješite jednačinu
Tangentna linija prolazi kroz tačku sa koordinatama (1,0) jedinične kružnice paralelne sa OY osom
Označimo tačku na njoj ordinatom jednakom 1 (tražimo tangentu čiji su uglovi jednaki 1):
Povežimo ovu tačku sa ishodištem koordinata pravom linijom i označimo tačke preseka linije jediničnim krugom. Točke preseka prave linije i kružnice odgovaraju uglovima rotacije na i :
Budući da točke koje odgovaraju uglovima rotacije koje zadovoljavaju našu jednadžbu leže jedna od druge na udaljenosti od radijana, rješenje možemo napisati na sljedeći način:
4. Riješite jednačinu
Prava kotangensa prolazi kroz tačku sa koordinatama jedinične kružnice paralelne osi.
Označimo tačku sa apscisom -1 na liniji kotangensa:
Povežimo ovu tačku sa ishodištem prave linije i nastavimo je dok se ne ukrsti sa kružnicom. Ova ravna linija će presjeći krug u tačkama koje odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima:
Budući da su ove točke odvojene jedna od druge udaljenosti jednake , Tada zajednička odluka Ovu jednačinu možemo napisati ovako:
U navedenim primjerima koji ilustruju rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi korištene su tablične vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Međutim, ako desna strana jednadžbe sadrži vrijednost koja nije tabela, tada vrijednost zamjenjujemo u opšte rješenje jednadžbe:
POSEBNA RJEŠENJA:
Označimo tačke na kružnici čija je ordinata 0:
Označimo jednu tačku na kružnici čija je ordinata 1:
Označimo jednu tačku na krugu čija je ordinata jednaka -1:
Budući da je uobičajeno naznačiti vrijednosti najbliže nuli, rješenje pišemo na sljedeći način:
Označimo tačke na kružnici čija je apscisa jednaka 0:
5.
Označimo jednu tačku na kružnici čija je apscisa jednaka 1:
Označimo jednu tačku na kružnici čija je apscisa jednaka -1:
I malo složeniji primjeri:
1.
Sinus jednako jedan, ako je argument jednak
Argument našeg sinusa je jednak, pa dobijamo:
Podijelimo obje strane jednakosti sa 3:
odgovor:
2.
Kosinus je nula ako je argument kosinusa jednak
Argument našeg kosinusa je jednak , pa dobijamo:
Izrazimo , da bismo to učinili prvo se pomaknemo udesno sa suprotnim predznakom:
Pojednostavimo desnu stranu:
Podijelite obje strane sa -2:
Imajte na umu da se predznak ispred pojma ne mijenja, jer k može poprimiti bilo koju cjelobrojnu vrijednost.
odgovor:
I na kraju, pogledajte video lekciju "Odabir korijena u trigonometrijskoj jednadžbi pomoću trigonometrijskog kruga"
Ovo završava naš razgovor o rješavanju jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. Sljedeći put ćemo razgovarati o tome kako odlučiti.
Prilikom rješavanja mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed izvođenja radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednačine, linearne i kvadratne nejednačine, razlomke i jednačine koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih problema je sljedeći: potrebno je ustanoviti koju vrstu problema rješavate, zapamtiti potreban slijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.
Očigledno je da uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema uglavnom ovisi o tome koliko je točno određena vrsta jednačine koja se rješava, koliko je pravilno reproduciran redoslijed svih faza njenog rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i proračuna.
Situacija je drugačija sa trigonometrijske jednačine. Nije nimalo teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju prilikom određivanja redosleda radnji koje bi dovele do tačnog odgovora.
Ponekad je teško odrediti njen tip na osnovu izgleda jednačine. A bez poznavanja tipa jednadžbe, gotovo je nemoguće izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.
Da biste riješili trigonometrijsku jednačinu, trebate pokušati:
1. dovesti sve funkcije uključene u jednačinu u „iste uglove“;
2. dovesti jednačinu na “identične funkcije”;
3. faktor lijevu stranu jednačine, itd.
Hajde da razmotrimo osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe
Dijagram rješenja
Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju u terminima poznatih komponenti.
Korak 2. Pronađite argument funkcije koristeći formule:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.
Korak 3. Pronađite nepoznatu varijablu.
Primjer.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Rješenje.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nÊ Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
II. Varijabilna zamjena
Dijagram rješenja
Korak 1. Svesti jednadžbu na algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.
Korak 2. Rezultirajuću funkciju označiti promjenljivom t (ako je potrebno, uvesti ograničenja na t).
Korak 3. Zapišite i riješite rezultirajuću algebarsku jednačinu.
Korak 4. Napravite obrnutu zamjenu.
Korak 5. Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.
Primjer.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Rješenje.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5 sin (x/2) – 5 = 0;
2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.
2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 ili e = -3/2, ne zadovoljava uslov |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;
x = π + 4πn, n Ê Z.
Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.
III. Metoda redukcije reda jednačina
Dijagram rješenja
Korak 1. Zamijenite ovu jednačinu linearnom, koristeći formulu za smanjenje stepena:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Korak 2. Riješite rezultirajuću jednačinu koristeći metode I i II.
Primjer.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Rješenje.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;
x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
IV. Homogene jednadžbe
Dijagram rješenja
Korak 1. Svesti ovu jednačinu na oblik
a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednačina prvog stepena)
ili na pogled
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednačina drugog stepena).
Korak 2. Podijelite obje strane jednačine sa
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
i dobijemo jednačinu za tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.
Korak 3. Riješite jednadžbu poznatim metodama.
Primjer.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Rješenje.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Neka je onda tg x = t
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 ili t = -4, što znači
tg x = 1 ili tg x = -4.
Iz prve jednačine x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.
Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.
V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula
Dijagram rješenja
Korak 1. Koristeći sve moguće trigonometrijske formule, svesti ovu jednačinu na jednačinu riješenu metodama I, II, III, IV.
Korak 2. Rezultujuću jednadžbu rešite poznatim metodama.
Primjer.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Rješenje.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;
Iz prve jednačine 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.
Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednačine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.
Kao rezultat, x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Sposobnost i vještina rješavanja trigonometrijskih jednačina je vrlo 
važno, njihov razvoj zahteva značajan napor, kako od strane učenika, tako i od strane nastavnika.
Mnogi problemi stereometrije, fizike itd. povezani su sa rješavanjem trigonometrijskih jednačina.. Proces rješavanja takvih zadataka utjelovljuje mnoga znanja i vještine koje se stiču proučavanjem elemenata trigonometrije.
Trigonometrijske jednačine zauzimaju važno mjesto u procesu učenja matematike i ličnog razvoja općenito.
Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
Lekcija o integrisanoj primeni znanja.
Ciljevi lekcije.
- Razmislite razne metode rješavanje trigonometrijskih jednačina.
- Razvoj kreativnost učenika rješavanjem jednačina.
- Podsticanje učenika na samokontrolu, međusobnu kontrolu i samoanalizu svojih obrazovnih aktivnosti.
Oprema: platno, projektor, referentni materijal.
Tokom nastave
Uvodni razgovor.
Glavna metoda za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi je njihovo svođenje na njihov najjednostavniji oblik. U ovom slučaju se primjenjuju uobičajene načine, kao što je faktoring, kao i tehnike koje se koriste samo za rješavanje trigonometrijskih jednačina. Postoji dosta ovih tehnika, na primjer, razne trigonometrijske zamjene, transformacije uglova, transformacije trigonometrijskih funkcija. Nediskriminatorna primjena bilo koje trigonometrijske transformacije obično ne pojednostavljuje jednačinu, već je katastrofalno komplikuje. Za vježbanje generalni nacrt planirati rješavanje jednadžbe, nacrtati način da se jednačina svede na najjednostavniji, prvo morate analizirati uglove - argumente trigonometrijskih funkcija uključenih u jednadžbu.
Danas ćemo govoriti o metodama rješavanja trigonometrijskih jednačina. Pravilno odabrana metoda često može značajno pojednostaviti rješenje, tako da sve metode koje smo proučavali uvijek treba imati na umu kako bi se trigonometrijske jednadžbe riješile najprikladnijom metodom.
II. (Pomoću projektora ponavljamo metode rješavanja jednačina.)
1. Metoda svođenja trigonometrijske jednadžbe na algebarsku.
Potrebno je sve trigonometrijske funkcije izraziti kroz jednu, sa istim argumentom. To se može učiniti koristeći osnovni trigonometrijski identitet i njegove posljedice. Dobijamo jednačinu s jednom trigonometrijskom funkcijom. Uzimajući to kao novu nepoznanicu, dobijamo algebarsku jednačinu. Pronalazimo njegove korijene i vraćamo se na staru nepoznanicu, rješavajući najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe.
2. Metoda faktorizacije.
Za promjenu uglova često su korisne formule za redukciju, zbir i razliku argumenata, kao i formule za pretvaranje sume (razlike) trigonometrijskih funkcija u proizvod i obrnuto.
sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x
3. Način uvođenja dodatnog ugla.
4. Metoda korištenja univerzalne zamjene.
Jednadžbe oblika F(sinx, cosx, tanx) = 0 svode se na algebarsku korištenjem univerzalne trigonometrijske zamjene
Izražavanje sinusa, kosinusa i tangente u terminima tangenta poluugla. Ova tehnika može dovesti do jednačine višeg reda. Rešenje za koje je teško.