Fourierov red proširenja parnih i neparnih funkcija proširenje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusima Fourierov red za funkciju sa proizvoljnim periodom Kompleksni prikaz Fourierovog niza Fourierov red u općim ortogonalnim sistemima funkcija Fourierov red u ortogonalni sistem Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Beselova nejednakost Jednakost Parseval Zatvoreni sistemi Potpunost i zatvorenost sistema
Proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red Funkcija f(x), definirana na intervalu \-1, gdje je I > 0, naziva se parnom ako je graf parne funkcije simetričan u odnosu na ordinatnu os. Funkcija f(x), definirana na segmentu J), gdje je I > 0, naziva se neparnom ako je graf neparne funkcije simetričan u odnosu na ishodište. Primjer. a) Funkcija je parna na intervalu |-jt, jt), budući da je za sve x e b) Funkcija je neparna, budući da je proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red proširenje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusi Fourierov red za funkciju sa proizvoljnim periodom Kompleksni prikaz Furijeovog reda Fourierov red za opšte ortogonalne sisteme funkcija Fourierov red za ortogonalni sistem Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Besselova nejednakost Parsevalova jednakost Zatvoreni sistemi Potpunost i zatvorenost sistema c) Funkcija f (x)=x2-x, pri čemu ne pripada ni parnim ni neparnim funkcijama, budući da je funkcija f(x), koja zadovoljava uslove teoreme 1, parna na intervalu x|. Onda za sve tj. /(g) cos nx je ravnomjerna funkcija, a f(x)sinnx je neparan. Stoga će Furijeovi koeficijenti parne funkcije f(x) biti jednaki, pa Fourierov red parne funkcije ima oblik 00 Ako je f(x) - neparna funkcija na intervalu [-tr, ir|, tada će proizvod f(x)cosnx biti neparna funkcija, a proizvod f(x) sinph će biti parna funkcija. Dakle, imat ćemo Dakle, Fourierov red neparne funkcije ima oblik Primjer 1. Proširite funkciju 4 u Fourierov red na intervalu -x ^ x ^ n Pošto je ova funkcija parna i zadovoljava uvjete teoreme 1, onda njegov Fourierov red ima oblik Nađi Fourierove koeficijente. Imamo Primjenjujući integraciju po dijelovima dva puta, dobijamo da Dakle, Fourierov red ove funkcije izgleda ovako: ili, u proširenom obliku, Ova jednakost vrijedi za bilo koje x €, budući da je u tačkama x = ±ir zbir serija se poklapa sa vrijednostima funkcije f(x) = x2, budući da su grafovi funkcije f(x) = x i zbroj rezultirajućeg niza dati na Sl. Komentar. Ovaj Fourierov red nam omogućava da pronađemo zbir jednog od konvergentnih numeričkih redova, naime, za x = 0 dobijamo da je Primjer 2. Proširiti funkciju /(x) = x u Fourierov red na intervalu. Funkcija /(x) zadovoljava uslove teoreme 1, pa se može proširiti u Fourierov red, koji će zbog neparnosti ove funkcije imati oblik Integrirajući po dijelovima, nalazimo Fourierove koeficijente. Fourierov red ove funkcije ima oblik Ova jednakost vrijedi za sve x B u tačkama x - ±t, suma Fourierovog reda se ne poklapa sa vrijednostima funkcije /(x) = x, jer je jednaka Izvan intervala [-*, i-] zbir niza je periodični nastavak funkcije /(x) = x; njegov grafikon je prikazan na sl. 6. § 6. Proširivanje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusima Neka je na intervalu data ograničena po komadima monotona funkcija /. Vrijednosti ove funkcije na intervalu 0| može se dalje definisati na različite načine. Na primjer, možete definirati funkciju / na segmentu tc] tako da /. U ovom slučaju kažu da) se „proširuje na segment 0] na paran način“; njegov Fourierov niz će sadržavati samo kosinuse. Ako je funkcija /(x) definirana na intervalu [-l-, mc] tako da je /(, tada je rezultat neparna funkcija, a onda kažu da je / „prošireno na interval [-*, 0] na neparan način”; u ovom slučaju, Fourierov red će sadržavati samo sinuse. Dakle, svaka ograničena po komadima monotona funkcija /(x) definirana na intervalu može se proširiti u Fourierov niz i po sinusima i po kosinusima. Primjer 1 Proširite funkciju u Fourierov red: a) kosinusima; b) po sinusima. M Ova funkcija, sa svojim parnim i neparnim nastavcima u segment |-x,0) bit će ograničena i po komadima monotona. a) Proširiti /(z) u segment 0) a) Proširiti j\x) u segment (-π,0| na paran način (slika 7), tada će njegov Fourierov red i imati oblik Π = 1 gdje su Fourierovi koeficijenti jednaki, odnosno za Dakle, b) Proširiti /(z) u segment [-x,0] na neparan način (Sl. 8). Zatim njegov Fourierov red §7. Fourierov red za funkciju sa proizvoljnim periodom Neka funkcija fix) bude periodična s periodom od 21,1 ^ 0. Da bismo je proširili u Fourierov red na intervalu gdje je I > 0, vršimo promjenu varijable postavljanjem x = jt . Tada će funkcija F(t) = / ^tj biti periodična funkcija argumenta t sa periodom i može se proširiti na segment u Fourierov niz. Vraćajući se na varijablu x, tj. postavku, dobijamo sve teoreme važeće za Fourierove redove periodičnih funkcija s periodom 2π , ostaju važeći za periodične funkcije sa proizvoljnim periodom 21. Konkretno, dovoljan kriterij za razgradljivost funkcije u Fourierovom redu također ostaje važeći. Primer 1. Proširiti u Fourierov red periodičnu funkciju sa periodom 21, datu na intervalu [-/,/] formulom (slika 9). Jer ovu funkciju je paran, tada njegov Fourierov red ima oblik Zamjenom pronađenih vrijednosti Fourierovih koeficijenata u Fourierov red, dobijamo Napominjemo jednu stvar važna imovina periodične funkcije. Teorema 5. Ako funkcija ima period T i integrabilna je, tada za bilo koji broj a vrijedi jednakost m. odnosno integral segmenta čija je dužina jednaka periodu T ima istu vrijednost bez obzira na položaj ovog segmenta na brojevnoj osi. U stvari, vršimo promjenu varijable u drugom integralu, pod pretpostavkom. Ovo daje i stoga, geometrijski, ovo svojstvo znači da u slučaju područja zasjenjenog na Sl. 10 oblasti su međusobno jednake. Konkretno, za funkciju f(x) s periodom dobijamo proširenje u Fourierov niz parnih i neparnih funkcija, proširenje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusima Fourierov red za funkciju sa proizvoljnim period Kompleksna notacija Fourierovog niza Fourierov red u općim ortogonalnim sistemskim funkcijama Fourierov red u ortogonalnom sistemu Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Besselova nejednakost Parsevalova jednakost Zatvoreni sistemi Potpunost i zatvorenost sistema Primjer 2. Funkcija x je periodična s periodom Zbog neparnost ove funkcije, bez izračunavanja integrala, možemo reći da za bilo koje Dokazano svojstvo, posebno, pokazuje , da su Fourierovi koeficijenti periodična funkcija f(x) sa periodom od 21 može se izračunati korištenjem formula gdje je a proizvoljan realan broj (imajte na umu da funkcije cos - i sin imaju period 2/). Primjer 3. Proširiti u Fourierov red funkciju datu na intervalu s periodom 2x (slika 11). 4 Nađimo Fourierove koeficijente ove funkcije. Stavljajući formule nalazimo da će za Prema tome, Fourierov red izgledati ovako: U tački x = jt (tačka diskontinuiteta prve vrste) imamo §8. Kompleksni prikaz Fourierovog reda Ovaj dio koristi neke elemente sveobuhvatna analiza(vidi Poglavlje XXX, gdje su sve radnje koje se ovdje izvode sa složenim izrazima strogo opravdane). Neka funkcija f(x) zadovolji dovoljne uslove za proširenje u Fourierov red. Tada se na segmentu x] može predstaviti nizom oblika. Koristeći Ojlerove formule. Zamjenom ovih izraza u niz (1) umjesto cos πx i sin φx imaćemo sljedeću notaciju. Tada će niz (2) uzeti oblik Dakle, Fourierov red (1) je predstavljen u kompleksnom obliku (3). Nađimo izraze za koeficijente kroz integrale. Imamo Slično, nalazimo Konačne formule za s„, s_p i s mogu se napisati na sljedeći način: . . Koeficijenti s„ se nazivaju kompleksni Fourierovi koeficijenti funkcije. Za periodičnu funkciju s periodom), kompleksni oblik Fourierovog reda će poprimiti oblik u kojem se koeficijenti Cn izračunavaju pomoću formula. Konvergencija redova (3 ) i (4) razume se na sledeći način: nizovi (3) i (4) se nazivaju konvergentnim za datu vrijednost g, ako postoje ograničenja Primjer. Proširiti funkciju perioda u složeni Fourierov red.Ova funkcija zadovoljava dovoljne uslove za proširenje u Fourierov red. Nađimo kompleksne Fourierove koeficijente ove funkcije. Imamo za nepar za par n, ili, ukratko. Zamjenom vrijednosti) konačno dobijamo Napomena da se ovaj niz može napisati i na sljedeći način: Fourierov red za opšte ortogonalne sisteme funkcija 9.1. Ortogonalni sistemi funkcija Označimo skupom svih (realnih) funkcija definiranih i integrabilnih na intervalu [a, 6] s kvadratom, tj. onih za koje postoji integral. Konkretno, sve funkcije f(x) kontinuirane na intervalu [a , 6], pripadaju 6], a vrijednosti njihovih Lebesgueovih integrala poklapaju se sa vrijednostima Riemannovih integrala. Definicija. Sistem funkcija, gdje, se naziva ortogonalnim na intervalu [a, b\, ako uvjet (1) posebno pretpostavlja da nijedna funkcija nije identična nuli. Integral se shvata u Lebesgueovom smislu. i veličinu nazivamo normom funkcije.Ako u ortogonalnom sistemu za bilo koje n imamo, onda se sistem funkcija naziva ortonormalnim. Ako je sistem (y>„(x)) ortogonan, onda je sistem Primer 1. Trigonometrijski sistem je ortogonan na segmentu. Sistem funkcija je ortonormirani sistem funkcija na primjeru 2. Kosinusni sistem i sinusni sistem su ortonormirani. Uvedemo oznaku da su ortogonalni na intervalu (0, f|, ali ne ortonormalni (za I F- 2). Pošto su njihove norme COS Primjer 3. Polinomi definirani jednakošću se nazivaju Legendre polinomi (polinomi). Jer n = 0 imamo Može se dokazati da funkcije formiraju ortonormalni sistem funkcija na intervalu. Pokažimo, na primjer, ortogonalnost Legendrovih polinoma. Neka je m > n. U ovom slučaju, integrirajući n puta po dijelova, nalazimo jer za funkciju t/m = (z2 - I)m svi derivati do reda m - I uključujući nestaju na krajevima segmenta [-1,1). Definicija. Sistem funkcija (pn(x)) naziva se ortogonalnim na intervalu (a, b) preko prevjesa p(x) ako: 1) za sve n = 1,2,... postoje integrali. Ovdje je pretpostavio da je težinska funkcija p(x) definisana i pozitivna svuda na intervalu (a, b) sa mogućim izuzetkom konačnog broja tačaka u kojima p(x) može nestati. Nakon što smo izvršili diferencijaciju u formuli (3), nalazimo. Može se pokazati da su Chebyshev-Hermite polinomi ortogonalni na intervalu Primjer 4. Sistem Beselovih funkcija (jL(pix)^ je ortogonan na intervalu nula Besselove funkcije Primjer 5. Razmotrimo Chebyshev-Hermite polinome , koji se može definirati pomoću jednakosti. Fourierov red u ortogonalnom sistemu Neka postoji ortogonalni sistem funkcija u intervalu (a, 6) i neka niz (cj = const) konvergira na ovom intervalu funkciji f(x): Množenje obje strane posljednje jednakosti po - fiksno) i integrišući preko x od a do 6, zbog ortogonalnosti sistema dobijamo da ova operacija ima, uopšteno govoreći, čisto formalni karakter. Međutim, u nekim slučajevima, na primjer, kada se niz (4) ravnomjerno konvergira, sve funkcije su kontinuirane i interval (a, 6) je konačan, ova operacija je legalna. Ali za nas je sada važno formalno tumačenje. Dakle, neka je data funkcija. Formiramo brojeve c* prema formuli (5) i zapišemo. Niz na desnoj strani naziva se Fourierov red funkcije f(x) u odnosu na sistem (^n(i)). Brojevi Cn nazivaju se Fourierovi koeficijenti funkcije f(x) u odnosu na ovaj sistem. Znak ~ u formuli (6) samo znači da su brojevi Cn povezani sa funkcijom f(x) formulom (5) (ne pretpostavlja se da red s desne strane uopće konvergira, a još manje konvergira funkciji f (x)). Stoga se prirodno postavlja pitanje: koja su svojstva ove serije? U kom smislu ona “predstavlja” funkciju f(x)? 9.3. Konvergencija u prosjeku Definicija. Niz konvergira elementu ] u prosjeku ako je norma u prostoru Teorema 6. Ako niz ) konvergira ravnomjerno, tada konvergira u prosjeku. M Neka niz ()) ravnomjerno konvergira na intervalu [a, b] funkciji /(x). To znači da za svakoga, za sve dovoljno veliko n, imamo Dakle, iz čega slijedi naša izjava. Obrnuto nije tačno: niz () može u prosjeku konvergirati na /(x), ali ne može biti ravnomjerno konvergentan. Primjer. Razmotrimo niz nx. Lako je vidjeti da Ali ova konvergencija nije uniformna: postoji e, na primjer, takvo da, bez obzira koliko je n, na intervalu kosinusa Fourierovog niza za funkciju sa proizvoljnim periodom Kompleksna reprezentacija Fourierovog reda Fourierov red za opšte ortogonalne sisteme funkcija Fourierov red za ortogonalni sistem Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Besselova nejednakost Parsevalova jednakost Zatvoreni sistemi Potpunost i zatvorenost sistema i neka Označimo sa c* Fourierove koeficijente funkcije /(x ) ortonormalnim sistemom b Razmotrimo linearnu kombinaciju gdje je n ^ 1 fiksni cijeli broj i pronađi vrijednosti konstanti pri kojima integral poprima minimalnu vrijednost. Napišimo to detaljnije. Integrirajući član po član, zbog ortonormalnosti sistema, dobijamo. Prva dva člana na desnoj strani jednakosti (7) su nezavisna, a treći član je nenegativan. Dakle, integral (*) uzima minimalnu vrijednost pri ak = sk. Integral se naziva aproksimacija srednjeg kvadrata funkcije /(x) linearnom kombinacijom Tn(x). Dakle, aproksimacija srednjeg kvadrata funkcije /\ uzima minimalnu vrijednost kada. kada je Tn(x) 71. parcijalni zbir Fourierovog reda funkcije /(x) nad sistemom (. Postavljanjem ak = sk, iz (7) dobijamo Jednakost (9) naziva se Beselov identitet. strana je nenegativna, onda iz nje slijedi Besselova nejednakost. Pošto sam ovdje proizvoljno, Besselova nejednakost se može predstaviti u pojačanom obliku, tj. za bilo koju funkciju / niz kvadrata Fourierovih koeficijenata ove funkcije u ortonormalnom sistemu ) konvergira . Pošto je sistem ortonormalan na intervalu [-x, m], onda nejednakost (10) prevedena u uobičajenu notaciju trigonometrijskog Fourierovog reda daje relaciju do koja vrijedi za bilo koju funkciju /(x) s integrabilnim kvadratom. Ako je f2(x) integrabilno, onda zbog neophodno stanje konvergencijom niza na lijevoj strani nejednakosti (11), dobijamo da. Parsevalova jednakost Za neke sisteme (^„(x)), predznak nejednakosti u formuli (10) može se zamijeniti (za sve funkcije f(x) 6 ×) znakom jednakosti. Rezultirajuća jednakost naziva se Parseval-Steklovska jednakost (uslov potpunosti). Beselov identitet (9) nam omogućava da zapišemo uslov (12) u ekvivalentnom obliku. Dakle, ispunjenje uslova potpunosti znači da parcijalni sumi Sn(x) Fourierovog reda funkcije /(x) konvergiraju funkciji /(x) u prosjeku, tj. prema normi prostora 6]. Definicija. Ortonormalni sistem ( se naziva potpun u b2[ay b] ako se svaka funkcija može u prosjeku aproksimirati s bilo kojom točnošću linearnom kombinacijom oblika sa dovoljno velikim brojem članova, tj. ako za bilo koju funkciju /(x) ∈ b2 [a, b\ i za bilo koje e > 0 postoji prirodni broj nq i brojevima a\, a2y..., tako da Ne Iz gornjeg rezonovanja slijedi Teorema 7. Ako je ortonormalizacijom sistem ) potpun u prostoru, Fourierov red bilo koje funkcije / nad ovim sistemom konvergira na f(x) na po normi Može se pokazati da je trigonometrijski sistem potpun u prostoru.To implicira tvrdnju. Teorema 8. Ako joj funkcija /o njen trigonometrijski Fourierov red konvergira u prosjeku. 9.5. Zatvoreni sistemi. Kompletnost i zatvorenost sistema Definicija. Ortonormalni sistem funkcija \ naziva se zatvorenim ako u prostoru Li\a, b) ne postoji funkcija različita od nule koja je ortogonalna na sve funkcije.U prostoru L2\a, b\ pojmovi kompletnosti i zatvorenosti ortonormalnih sistema se poklapaju. Vježbe 1. Proširite funkciju 2 u Fourierov niz u intervalu (-i-, x) 2. Proširite funkciju u Fourierov niz u intervalu (-tr, tr) 3. Proširite funkciju 4 u Fourierov niz u interval (-tr, tr) u Fourierov red u funkciji intervala (-jt, tr) 5. Proširite funkciju f(x) = x + x u Fourierov red u intervalu (-tr, tr). 6. Proširiti funkciju n u Fourierov red u intervalu (-jt, tr) 7. Proširiti funkciju /(x) = sin2 x u Fourierov red u intervalu (-tr, x). 8. Proširiti funkciju f(x) = y u Fourierov red u intervalu (-tr, jt) 9. Proširiti funkciju f(x) = | sin x|. 10. Proširiti funkciju f(x) = § u Fourierov red u intervalu (-π-, π). 11. Proširiti funkciju f(x) = sin § u Fourierov red u intervalu (-tr, tr). 12. Proširiti funkciju f(x) = n -2x, datu u intervalu (0, x), u Fourierov red, proširujući je na interval (-x, 0): a) na paran način; b) na čudan način. 13. Proširiti funkciju /(x) = x2, datu u intervalu (0, x), u Fourierov red u sinusima. 14. Proširiti funkciju /(x) = 3, datu u intervalu (-2,2), u Fourierov red. 15. Proširite funkciju f(x) = |x|, datu u intervalu (-1,1), u Fourierov red. 16. Proširite funkciju f(x) = 2x, specificiranu u intervalu (0,1), u Fourierov red u sinusima.
Ako je funkcija f(x) ima na nekom intervalu koji sadrži tačku A, derivati svih redova, onda se na njega može primijeniti Taylorova formula:
Gdje r n– takozvani preostali član ili ostatak serije, može se procijeniti pomoću Lagrangeove formule:
, gdje je broj x između X I A.
Ako za neku vrijednost x r n®0 at n®¥, tada se u granici Taylor formula pretvara u konvergentnu formulu za ovu vrijednost Taylor serija:
Dakle, funkcija f(x) može se proširiti u Taylorov niz u dotičnoj tački X, Ako:
1) ima derivate svih naloga;
2) konstruisani niz konvergira u ovoj tački.
At A=0 dobijamo niz pod nazivom blizu Maclaurina:
Primjer 1 f(x)= 2x.
Rješenje. Nađimo vrijednosti funkcije i njenih derivata na X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2x u 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Zamjenom dobivenih vrijednosti derivacija u formulu Taylorovog reda, dobivamo:
Radijus konvergencije ovog niza jednak je beskonačnosti, stoga ovo proširenje vrijedi za -¥<x<+¥.
Primjer 2 X+4) za funkciju f(x)= e x.
Rješenje. Pronalaženje izvoda funkcije e x i njihove vrijednosti u tom trenutku X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;
f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Prema tome, traženi Taylorov red funkcije ima oblik:
Ovo proširenje vrijedi i za -¥<x<+¥.
Primjer 3 . Proširite funkciju f(x)=ln x u nizu moći ( X- 1),
(tj. u Tejlorovom nizu u blizini tačke X=1).
Rješenje. Pronađite izvode ove funkcije.
Zamjenom ovih vrijednosti u formulu dobijamo željeni Taylorov niz:
Koristeći d'Alembertov test, možete provjeriti da li se niz konvergira kada
½ X- 1½<1. Действительно,
Niz konvergira ako je ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 dobijamo promenljivi niz koji zadovoljava uslove Lajbnicovog kriterijuma. At X=0 funkcija nije definirana. Dakle, područje konvergencije Taylorovog reda je poluotvoreni interval (0;2).
Predstavimo ovako dobijene ekspanzije u Maclaurinov niz (tj. u blizini tačke X=0) za neke elementarne funkcije:
(2) 
,
(3) 
,
( zove se posljednja dekompozicija binomni niz)
Primjer 4 . Proširite funkciju u niz stepena
Rješenje. U proširenju (1) zamjenjujemo X na - X 2, dobijamo:
Primjer 5
. Proširite funkciju u Maclaurin seriju 
Rješenje. Imamo 
Koristeći formulu (4), možemo napisati:
umjesto zamjene X u formulu -X, dobijamo:
Odavde nalazimo:
Otvaranjem zagrada, preuređivanjem termina serije i dovođenjem sličnih pojmova, dobijamo
Ovaj niz konvergira u intervalu
(-1;1), budući da se dobija iz dva niza, od kojih svaki konvergira u ovom intervalu.
Komentar .
Formule (1)-(5) se također mogu koristiti za proširenje odgovarajućih funkcija u Taylorov niz, tj. za proširenje funkcija u pozitivnim cijelim potencijama ( Ha). Da biste to učinili, potrebno je izvršiti takve identične transformacije na datoj funkciji kako bi se dobila jedna od funkcija (1)-(5), u kojoj umjesto X košta k( Ha) m , gdje je k konstantan broj, m je pozitivan cijeli broj. Često je zgodno napraviti promjenu varijable t=Ha i proširi rezultujuću funkciju u odnosu na t u Maclaurinovom nizu.
Ova metoda ilustruje teoremu o jedinstvenosti proširenja funkcije u niz stepena. Suština ove teoreme je da se u okolini iste tačke ne mogu dobiti dva različita niza stepena koji bi konvergirali istoj funkciji, bez obzira na to kako se vrši njeno proširenje.
Primjer 6 . Proširite funkciju u Taylorov niz u susjedstvu tačke X=3.
Rješenje. Ovaj se problem može riješiti, kao i prije, korištenjem definicije Taylorovog reda, za koji trebamo pronaći derivacije funkcije i njihove vrijednosti na X=3. Međutim, bit će lakše koristiti postojeće proširenje (5):
Rezultirajući niz konvergira na 
ili –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Primjer 7
. Napišite Taylorov niz u potencijama ( X-1) funkcije 
.
Rješenje.
Serija se konvergira na 
, ili 2< x£5.
Koje su već prilično dosadne. I osjećam da je došao trenutak kada je došlo vrijeme da se iz strateških rezervi teorije izvuku nova konzervirana roba. Da li je moguće proširiti funkciju u niz na neki drugi način? Na primjer, izraziti segment prave linije u smislu sinusa i kosinusa? Čini se nevjerovatnim, ali takve naizgled udaljene funkcije mogu biti
"ponovno ujedinjenje". Pored poznatih diploma u teoriji i praksi, postoje i drugi pristupi proširenju funkcije u niz.
U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa trigonometrijskim Fourierovim redom, dotaknuti se pitanja njegove konvergencije i sume i, naravno, analiziraćemo brojne primere proširenja funkcija u Fourierov red. Iskreno sam želio nazvati članak „Furierov niz za lutke“, ali to bi bilo neiskreno, jer bi rješavanje problema zahtijevalo poznavanje drugih grana matematičke analize i određeno praktično iskustvo. Stoga će preambula ličiti na obuku astronauta =)
Prvo, trebali biste pristupiti proučavanju materijala stranica u odličnom obliku. Pospan, odmoran i priseban. Bez jakih emocija o slomljenoj nozi hrčka i opsesivnih misli o teškoćama života akvarijskih riba. Fourierov niz nije teško razumjeti, ali praktični zadaci jednostavno zahtijevaju povećanu koncentraciju pažnje - u idealnom slučaju, trebali biste se potpuno odvojiti od vanjskih podražaja. Situaciju otežava činjenica da ne postoji lak način da se proveri rešenje i odgovori. Dakle, ako je vaše zdravlje ispod prosjeka, onda je bolje učiniti nešto jednostavnije. Da li je istina.
Drugo, prije letenja u svemir potrebno je proučiti instrument ploču letjelice. Počnimo s vrijednostima funkcija koje treba kliknuti na mašini:
Za bilo koju prirodnu vrijednost:
1) . Zaista, sinusoida "prošiva" x-osu kroz svaki "pi":
. U slučaju negativnih vrijednosti argumenta, rezultat će, naravno, biti isti: .
2) . Ali nisu svi to znali. Kosinus "pi" je ekvivalent "blinkaru":
Negativan argument ne mijenja stvar: 
.
Možda je to dovoljno.
I treće, dragi kosmonautski korpusi, morate biti u stanju da... integrisati.
Posebno samouvjereno podvesti funkciju pod diferencijalni predznak, integrisati po komadu i budi u miru Newton-Leibnizova formula. Počnimo sa važnim vježbama prije leta. Kategorično ne preporučujem da ga preskočite, kako se kasnije ne biste zgnječili u bestežinskom stanju:
Primjer 1
Izračunati određene integrale
gdje preuzima prirodne vrijednosti.
Rješenje: integracija se vrši preko varijable “x” i u ovoj fazi se diskretna varijabla “en” smatra konstantom. U svim integralima stavi funkciju pod diferencijalni predznak:
Kratka verzija rješenja na koju bi bilo dobro ciljati izgleda ovako:
Hajde da se naviknemo:
Četiri preostale tačke su za vas. Pokušajte savjesno pristupiti zadatku i napišite integrale na kratak način. Primjeri rješenja na kraju lekcije.
Nakon izvođenja vježbi KVALITETNO obukli smo skafandere
i spremam se za početak!
Proširivanje funkcije u Fourierov niz na intervalu
Razmislite o nekoj funkciji odlučan barem na određeno vrijeme (a moguće i na duži period). Ako je ova funkcija integrabilna na intervalu, onda se može proširiti u trigonometrijsku Fourierova serija:
, gdje se nalaze tzv Fourierovi koeficijenti.
U ovom slučaju se poziva broj period raspadanja, a broj je poluživot raspadanja.
Očigledno je da se u opštem slučaju Fourierov red sastoji od sinusa i kosinusa: 
Zaista, hajde da to zapišemo detaljno:
Nulti član serije obično se piše u obliku .
Fourierovi koeficijenti se izračunavaju pomoću sljedećih formula: 
Savršeno dobro razumijem da onima koji počinju proučavati ovu temu još uvijek nisu jasni novi pojmovi: period raspadanja, poluciklus, Fourierovi koeficijenti itd. Bez panike, ovo se ne može porediti sa uzbuđenjem pred odlazak u svemir. Razumijemo sve u sljedećem primjeru, prije izvođenja kojeg je logično postaviti goruća praktična pitanja:
Šta treba da uradite u sledećim zadacima?
Proširite funkciju u Fourierov niz. Uz to, često je potrebno prikazati graf funkcije, graf zbira niza, djelomični zbir, au slučaju sofisticiranih profesorskih fantazija, učiniti nešto drugo.
Kako proširiti funkciju u Fourierov red?
U suštini, morate pronaći Fourierovi koeficijenti, odnosno sastavi i izračunaj tri definitivni integral.
Molimo kopirajte opći oblik Fourierove serije i tri radne formule u svoju bilježnicu. Veoma mi je drago što neki posetioci sajta ostvaruju svoj detinji san da postanu astronaut pred mojim očima =)
Primjer 2
Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu. Konstruirajte graf, graf zbira niza i parcijalnog zbira.
Rješenje: Prvi dio zadatka je proširiti funkciju u Fourierov red.
Početak je standardan, obavezno zapišite:
U ovom problemu period ekspanzije je poluperiod.
Proširimo funkciju u Fourierov niz na intervalu: 
Koristeći odgovarajuće formule, nalazimo Fourierovi koeficijenti. Sada treba da sastavimo i izračunamo tri definitivni integral. Radi praktičnosti, numerisaću tačke:
1) Prvi integral je najjednostavniji, međutim, za njega su potrebne i očne jabučice: 
2) Koristite drugu formulu:
Ovaj integral je dobro poznat i uzima deo po deo: 
Koristi se kada se nađe metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak.
U zadatku koji se razmatra, pogodnije je odmah koristiti formula za integraciju po dijelovima u određenom integralu 
:
Par tehničkih napomena. Prvo, nakon primjene formule cijeli izraz mora biti stavljen u velike zagrade, pošto postoji konstanta ispred originalnog integrala. Nemojmo je izgubiti! Zagrade se mogu proširiti u bilo kojem daljnjem koraku; to sam učinio kao krajnje sredstvo. U prvom "komadu" 
Pokazujemo izuzetnu pažnju u zamjeni; kao što vidite, konstanta se ne koristi, a granice integracije su zamijenjene u proizvod. Ova radnja je istaknuta u uglastim zagradama. Pa, upoznati ste sa integralom drugog “komada” formule iz zadatka za obuku ;-)
I što je najvažnije - ekstremna koncentracija!
3) Tražimo treći Furijeov koeficijent:
Dobija se relativ prethodnog integrala, koji je takođe integriše po komadu:
Ovaj primjer je malo složeniji, komentirat ću dalje korake korak po korak: 
(1) Izraz je u potpunosti stavljen u velike zagrade. Nisam želeo da delujem dosadno, prečesto gube konstantu.
(2) U ovom slučaju, odmah sam otvorio ove velike zagrade. Posebna pažnja Posvećujemo se prvom “komadu”: stalno puši sa strane i ne učestvuje u zamjeni granica integracije (i) u proizvod. Zbog nereda zapisa, ponovo je preporučljivo ovu radnju istaknuti uglastim zagradama. Sa drugim "komadom" 
sve je jednostavnije: ovdje se razlomak pojavio nakon otvaranja velikih zagrada, a konstanta - kao rezultat integracije poznatog integrala;-)
(3) U uglastim zagradama vršimo transformacije, au desnom integralu - zamjenu granica integracije.
(4) Uklonimo „trepćuće svjetlo“ iz uglastih zagrada: , a zatim otvorimo unutrašnje zagrade: .
(5) Poništavamo 1 i –1 u zagradama i činimo konačna pojednostavljenja.
Konačno, sva tri Furijeova koeficijenta su pronađena: 
Zamijenimo ih u formulu 
:
U isto vrijeme, ne zaboravite podijeliti na pola. U zadnjem koraku, konstanta (“minus dva”), koja ne zavisi od “en”, uzima se izvan zbira.
Tako smo dobili proširenje funkcije u Fourierov red na intervalu: 
Proučimo pitanje konvergencije Fourierovog reda. Posebno ću objasniti teoriju Dirichletova teorema, doslovno "na prste", pa ako su vam potrebne stroge formulacije, pogledajte udžbenik matematičke analize (na primjer, 2. tom Bohana; ili 3. tom Fihtenholca, ali je teže).
Drugi dio zadatka zahtijeva crtanje grafa, grafa zbira niza i grafa parcijalnog zbira.
Grafikon funkcije je uobičajen prava linija na ravni, koji je nacrtan crnom isprekidanom linijom: 
Hajde da shvatimo zbir serije. Kao što znate, nizovi funkcija konvergiraju u funkcije. U našem slučaju, konstruisani Fourierov red 
za bilo koju vrijednost "x"će konvergirati funkciji koja je prikazana crvenom bojom. Ova funkcija toleriše rupture 1. vrste u tačkama, ali je i definisan na njima (crvene tačke na crtežu)
ovako: 
. Lako je uočiti da se primjetno razlikuje od originalne funkcije, zbog čega u unosu 
Koristi se tilda umjesto znaka jednakosti.
Hajde da proučimo algoritam koji je pogodan za konstruisanje zbira niza.
Na središnjem intervalu, Fourierov red konvergira samoj funkciji (središnji crveni segment poklapa se sa crnom isprekidanom linijom linearne funkcije).
Hajdemo sada malo o prirodi trigonometrijske ekspanzije koja se razmatra. Fourierova serija 
uključuje samo periodične funkcije (konstante, sinuse i kosinuse), dakle zbir serije 
je također periodična funkcija.
Šta to znači u našem konkretnom primjeru? A to znači da je zbir serije 
–obavezno periodično a crveni segment intervala mora se beskonačno ponavljati lijevo i desno.
Mislim da je značenje izraza „period raspadanja“ sada konačno postalo jasno. Pojednostavljeno rečeno, svaki put se situacija iznova ponavlja.
U praksi je obično dovoljno prikazati tri perioda raspadanja, kao što je to učinjeno na crtežu. Pa, i "panjevi" susjednih perioda - tako da je jasno da se grafikon nastavlja.
Od posebnog interesa su tačke diskontinuiteta 1. vrste. U takvim tačkama Fourierov red konvergira ka izolovanim vrednostima, koje se nalaze tačno u sredini „skoka“ diskontinuiteta (crvene tačke na crtežu). Kako saznati ordinate ovih tačaka? Prvo, pronađimo ordinatu "gornjeg kata": da bismo to učinili, izračunamo vrijednost funkcije u krajnjoj desnoj tački središnjeg perioda ekspanzije: . Da biste izračunali ordinatu "donjeg sprata", najlakši način je da uzmete najlijevu vrijednost istog perioda: 
. Ordinata prosječne vrijednosti je aritmetička sredina zbira "vrh i dna": . Ugodna činjenica je da ćete prilikom konstruiranja crteža odmah vidjeti da li je sredina izračunata ispravno ili netačno.
Konstruirajmo parcijalni zbir niza i u isto vrijeme ponovimo značenje pojma "konvergencija". Motiv je poznat i iz lekcije o zbir niza brojeva. Hajde da detaljno opišemo naše bogatstvo:
Da biste sastavili delimični zbir, potrebno je da napišete nula + još dva člana serije. To je,
Na crtežu je grafik funkcije prikazan zelenom bojom i, kao što vidite, prilično čvrsto „zamotava“ puni zbir. Ako uzmemo u obzir djelomični zbir pet članova serije, onda će graf ove funkcije još preciznije aproksimirati crvene linije; ako postoji sto članova, tada će se "zelena zmija" zapravo potpuno spojiti s crvenim segmentima, itd. Dakle, Fourierov red konvergira svom zbiru.
Zanimljivo je primijetiti da je bilo koji djelomični iznos kontinuirana funkcija, međutim, ukupan zbroj serije je i dalje diskontinuiran.
U praksi, nije tako retko konstruisati graf parcijalne sume. Kako uraditi? U našem slučaju, potrebno je razmotriti funkciju na segmentu, izračunati njene vrijednosti na krajevima segmenta i na međutočkama (što više tačaka uzmete u obzir, to će graf biti tačniji). Zatim treba da označite ove tačke na crtežu i pažljivo nacrtate grafikon na periodu, a zatim ga „replicirate“ u susedne intervale. Kako drugačije? Uostalom, aproksimacija je također periodična funkcija... ...na neki način me njen grafikon podsjeća na ujednačen srčani ritam na displeju medicinskog uređaja.
Izvođenje konstrukcije, naravno, nije baš zgodno, jer morate biti izuzetno oprezni, održavajući tačnost ne manju od pola milimetra. Međutim, ugodit ću čitateljima kojima crtanje nije ugodno - u "stvarnom" problemu nije uvijek potrebno crtanje, u oko 50% slučajeva je potrebno proširiti funkciju u Fourierov niz i to je to .
Nakon završetka crteža, završavamo zadatak:
Odgovori: 
U mnogim zadacima funkcija trpi ruptura 1. vrste tačno tokom perioda raspadanja:
Primjer 3
Proširite funkciju datu na intervalu u Fourierov niz. Nacrtajte graf funkcije i ukupnog zbroja niza.
Predložena funkcija je specificirana u komadima (i, napominjemo, samo na segmentu) i izdrži ruptura 1. vrste u tački . Da li je moguće izračunati Fourierove koeficijente? Nema problema. I lijeva i desna strana funkcije su integrabilne na svojim intervalima, stoga integrale u svakoj od tri formule treba prikazati kao zbir dva integrala. Pogledajmo, na primjer, kako se to radi za nulti koeficijent:
Pokazalo se da je drugi integral jednak nuli, što je smanjilo rad, ali to nije uvijek slučaj.
Druga dva Fourierova koeficijenta opisana su slično.
Kako prikazati zbir niza? Na lijevom intervalu crtamo ravnu liniju, a na intervalu - ravnu liniju (odsjek ose ističemo podebljano i podebljano). Odnosno, na intervalu ekspanzije, zbir niza se poklapa sa funkcijom svuda osim za tri „loše“ tačke. U tački diskontinuiteta funkcije, Fourierov red će konvergirati do izolovane vrijednosti, koja se nalazi tačno u sredini „skoka“ diskontinuiteta. Nije teško to usmeno vidjeti: lijevo ograničenje: , desno ograničenje: 
i, očigledno, ordinata sredine je 0,5.
Zbog periodičnosti zbira, slika se mora „pomnožiti“ u susjedne periode, posebno ista stvar mora biti prikazana na intervalima i . Istovremeno, u tačkama će Fourierov red konvergirati srednjim vrijednostima.
U stvari, tu nema ničeg novog.
Pokušajte se sami nositi s ovim zadatkom. Približan uzorak konačnog dizajna i crtež na kraju lekcije.
Proširenje funkcije u Fourierov niz u proizvoljnom periodu
Za proizvoljni period ekspanzije, gdje je "el" bilo koji pozitivan broj, formule za Fourierov red i Fourierove koeficijente razlikuju se malo složenijim argumentom za sinus i kosinus:
Ako je , tada dobivamo intervalne formule s kojima smo započeli.
Algoritam i principi za rješavanje problema u potpunosti su očuvani, ali se povećava tehnička složenost proračuna:
Primjer 4
Proširite funkciju u Fourierov red i nacrtajte zbir. 
Rješenje: zapravo analog primjera br. 3 sa ruptura 1. vrste u tački . U ovom problemu period ekspanzije je poluperiod. Funkcija je definirana samo na poluintervalu, ali to ne mijenja stvar - važno je da su oba dijela funkcije integrabilna.
Proširimo funkciju u Fourierov niz:
Budući da je funkcija diskontinuirana u početku, svaki Fourierov koeficijent očito treba napisati kao zbir dvaju integrala:
1) Prvi integral ću napisati što je moguće detaljnije:
2) Pažljivo gledamo na površinu Mjeseca:
Drugi integral uzimaj deo po deo:
Na šta treba obratiti posebnu pažnju nakon što otvorimo nastavak rješenja sa zvjezdicom?
Prvo, ne gubimo prvi integral 
, gdje odmah izvršavamo pretplati se na diferencijalni znak. Drugo, ne zaboravite na nesrećnu konstantu ispred velikih zagrada i nemojte se zbuniti znakovima kada koristite formulu 
. Velike zagrade je ipak pogodnije otvoriti odmah u sljedećem koraku.
Ostalo je stvar tehnike, poteškoće može izazvati samo nedovoljno iskustvo u rješavanju integrala.
Da, nisu uzalud bili ogorčeni ugledni kolege francuskog matematičara Fouriera - kako se on usudio složiti funkcije u trigonometrijske nizove?! =) Inače, vjerovatno sve zanima praktično značenje dotičnog zadatka. I sam Fourier je radio na matematičkom modelu toplinske provodljivosti, a potom je serija nazvana po njemu počela da se koristi za proučavanje mnogih periodičnih procesa, koji su vidljivi i nevidljivi u okolnom svijetu. Sada sam, inače, uhvatio sebe kako mislim da nisam slučajno uporedio grafik drugog primjera s periodičnim ritmom srca. Zainteresovani se mogu upoznati sa praktičnom primjenom Fourierova transformacija u izvorima trećih strana. ...Iako je bolje ne - pamtiće se kao Prva ljubav =)
3) Uzimajući u obzir više puta spominjane slabe karike, pogledajmo treći koeficijent:
Integrirajmo po dijelovima: 
Zamijenimo pronađene Fourierove koeficijente u formulu 
, ne zaboravljajući podijeliti nulti koeficijent na pola:
Nacrtajmo zbir serije. Ponovimo ukratko postupak: na intervalu konstruišemo pravu, a na intervalu pravu. Ako je vrijednost “x” nula, stavljamo tačku u sredinu “skoka” jaza i “repliciramo” graf za susjedne periode: 
Na “spojnicama” perioda, zbir će takođe biti jednak sredinama “skoka” jaza.
Spreman. Da vas podsjetim da je sama funkcija po uvjetu definirana samo na poluintervalu i očito se poklapa sa zbirom nizova na intervalima
Odgovori:
Ponekad je funkcija zadana po komadima kontinuirana tokom perioda ekspanzije. Najjednostavniji primjer: 
. Rješenje (vidi Bohan tom 2) isto kao u dva prethodna primjera: uprkos kontinuitet funkcije u tački , svaki Fourier koeficijent se izražava kao zbir dva integrala.
Na intervalu razlaganja tačke diskontinuiteta 1. vrste i/ili može biti više „spojnih“ tačaka grafa (dvije, tri i općenito bilo koje final količina). Ako je funkcija integrabilna na svakom dijelu, onda je i proširiva u Fourierov red. Ali iz praktičnog iskustva ne pamtim tako okrutnu stvar. Međutim, postoje teži zadaci od onih koji su upravo razmatrani, a na kraju članka su linkovi na Fourierove serije povećane složenosti za sve.
U međuvremenu, opustimo se, zavalimo se u fotelje i promatrajmo beskrajna zvjezdana prostranstva:
Primjer 5
Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu i nacrtajte zbir tog niza.
U ovom problemu funkcija kontinuirano na poluintervalu ekspanzije, što pojednostavljuje rješenje. Sve je vrlo slično primjeru br. 2. Iz svemirskog broda nema bijega - morat ćete odlučiti =) Približan primjer dizajna na kraju lekcije, raspored je u prilogu.
Proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red
Uz parne i neparne funkcije, proces rješavanja problema je značajno pojednostavljen. I zato. Vratimo se na proširenje funkcije u Fourierov red s periodom od “dva pi” 
i proizvoljna tačka “dva el” 
.
Pretpostavimo da je naša funkcija parna. Opšti pojam serije, kao što vidite, sadrži parne kosinuse i neparne sinuse. A ako proširujemo EVEN funkciju, zašto su nam onda potrebni neparni sinusi?! Resetujmo nepotreban koeficijent: .
dakle, parna funkcija se može proširiti u Fourierov red samo u kosinusima:
Zbog integrali parnih funkcija duž segmenta integracije koji je simetričan u odnosu na nulu može se udvostručiti, tada se preostali Fourierovi koeficijenti pojednostavljuju.
Za prazninu: 
Za proizvoljan interval: 
Primjeri iz udžbenika koji se mogu naći u gotovo svakom udžbeniku matematičke analize uključuju proširenja parnih funkcija 
. Osim toga, nekoliko puta su se susreli u mojoj ličnoj praksi:
Primjer 6
Funkcija je data. Obavezno:
1) proširiti funkciju u Fourierov red s periodom, gdje je proizvoljan pozitivan broj;
2) zapisati ekspanziju na intervalu, konstruisati funkciju i nacrtati ukupan zbir niza.
Rješenje: u prvom pasusu se predlaže rješavanje problema u općem obliku, i to je vrlo zgodno! Ako se ukaže potreba, samo zamijenite svoju vrijednost.
1) U ovom problemu, period ekspanzije je poluperiod. Tokom daljih radnji, posebno tokom integracije, “el” se smatra konstantom
Funkcija je parna, što znači da se može proširiti u Fourierov niz samo u kosinusima: 
.
Fourierove koeficijente tražimo koristeći formule 
. Obratite pažnju na njihove bezuslovne prednosti. Prvo, integracija se vrši preko pozitivnog segmenta proširenja, što znači da se sigurno rješavamo modula 
, uzimajući u obzir samo “X” od dva komada. I, drugo, integracija je primjetno pojednostavljena.
dva: 
Integrirajmo po dijelovima:
ovako:
, dok se konstanta , koja ne zavisi od “en”, uzima izvan zbira.
Odgovori: 
2) Zapišimo ekspanziju na intervalu; da bismo to učinili, zamjenjujemo traženu vrijednost poluperioda u opću formulu:
Ako funkcija f(x) ima derivate svih redova na određenom intervalu koji sadrži tačku a, tada se na nju može primijeniti Taylorova formula:
,
Gdje r n– takozvani preostali član ili ostatak serije, može se procijeniti pomoću Lagrangeove formule: 
, gdje je broj x između x i a.
Pravila za unos funkcija:
Ako za neku vrijednost X r n→0 at n→∞, tada u granici Taylor formula postaje konvergentna za ovu vrijednost Taylor serija:
,
Dakle, funkcija f(x) može se proširiti u Taylorov red u tački x koja se razmatra ako:
1) ima derivate svih naloga;
2) konstruisani niz konvergira u ovoj tački.
Kada je a = 0, dobijamo niz nazvan blizu Maclaurina:
,
Proširenje najjednostavnijih (elementarnih) funkcija u Maclaurin seriji:
Eksponencijalne funkcije
, R=∞
Trigonometrijske funkcije 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcija actgx se ne širi po stepenu x, jer ctg0=∞
Hiperboličke funkcije
Logaritamske funkcije
, -1
Binomni nizovi
.
Primjer br. 1. Proširite funkciju u niz stepena f(x)= 2x.
Rješenje. Nađimo vrijednosti funkcije i njenih derivata na X=0
f(x) = 2x, f( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2x u 2 2, f""( 0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0)
= 2 0
ln n 2=ln n 2.
Zamjenom dobivenih vrijednosti derivacija u formulu Taylorovog reda, dobivamo:
Polumjer konvergencije ovog niza jednak je beskonačnosti, stoga ovo proširenje vrijedi za -∞<x<+∞.
Primjer br. 2. Napišite Taylorov niz u potencijama ( X+4) za funkciju f(x)= e x.
Rješenje. Pronalaženje izvoda funkcije e x i njihove vrijednosti u tom trenutku X=-4.
f(x)= e x, f(-4)
= e -4
;
f"(x)= e x, f"(-4)
= e -4
;
f""(x)= e x, f""(-4)
= e -4
;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4)
= e -4
.
Prema tome, traženi Taylorov red funkcije ima oblik:
Ovo proširenje vrijedi i za -∞<x<+∞.
Primjer br. 3. Proširite funkciju f(x)=ln x u nizu moći ( X- 1),
(tj. u Tejlorovom nizu u blizini tačke X=1).
Rješenje. Pronađite izvode ove funkcije.
f(x)=lnx , , , , 
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Zamjenom ovih vrijednosti u formulu dobijamo željeni Taylorov niz:
Koristeći d'Alembertov test, možete provjeriti da se niz konvergira na ½x-1½<1 . Действительно,
Niz konvergira ako je ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 dobijamo promenljivi niz koji zadovoljava uslove Lajbnicovog kriterijuma. Kada je x=0 funkcija nije definirana. Dakle, područje konvergencije Taylorovog reda je poluotvoreni interval (0;2).
Primjer br. 4. Proširite funkciju u niz stepena. Primjer br. 5. Proširite funkciju u Maclaurin seriju Komentar
.
Ova metoda je zasnovana na teoremi o jedinstvenosti proširenja funkcije u niz stepena. Suština ove teoreme je da se u okolini iste tačke ne mogu dobiti dva različita niza stepena koji bi konvergirali istoj funkciji, bez obzira na to kako se vrši njeno proširenje. Primjer br. 5a. Proširite funkciju u Maclaurinov niz i označite područje konvergencije. Razlomak 3/(1-3x) se može smatrati zbirom beskonačno opadajuće geometrijske progresije sa nazivnikom 3x, ako je |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Primjer br. 6. Proširite funkciju u Taylorov red u blizini tačke x = 3. Primjer br. 7. Napišite Taylorov red po stepenu (x -1) funkcije ln(x+2) . Primjer br. 8. Proširite funkciju f(x)=sin(πx/4) u Taylorov red u blizini tačke x =2. Primjer br. 1. Izračunajte ln(3) na najbliže 0,01. Primjer br. 2. Izračunajte na najbližih 0,0001. Primjer br. 3. Izračunajte integral ∫ 0 1 4 sin (x) x s točnošću od 10 -5 . Primjer br. 4. Izračunajte integral ∫ 0 1 4 e x 2 sa tačnošću od 0,001.
Rješenje. U proširenju (1) zamjenjujemo x sa -x 2, dobijamo:
, -∞
.
Rješenje. Imamo
Koristeći formulu (4), možemo napisati:
zamjenom –x umjesto x u formuli, dobijamo:
Odavde nalazimo: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Otvaranjem zagrada, preuređivanjem termina serije i dovođenjem sličnih pojmova, dobijamo
. Ovaj niz konvergira u intervalu (-1;1), jer se dobija iz dva niza, od kojih svaki konvergira u ovom intervalu.
Formule (1)-(5) se također mogu koristiti za proširenje odgovarajućih funkcija u Taylorov niz, tj. za proširenje funkcija u pozitivnim cijelim potencijama ( Ha). Da biste to učinili, potrebno je izvršiti takve identične transformacije na datoj funkciji kako bi se dobila jedna od funkcija (1)-(5), u kojoj umjesto X košta k( Ha) m , gdje je k konstantan broj, m je pozitivan cijeli broj. Često je zgodno napraviti promjenu varijable t=Ha i proširi rezultujuću funkciju u odnosu na t u Maclaurinovom nizu.
Rješenje. Prvo nalazimo 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , . 
na osnovnu:
sa područjem konvergencije |x|< 1/3.
Rješenje. Ovaj se problem može riješiti, kao i prije, korištenjem definicije Taylorovog reda, za koji trebamo pronaći derivacije funkcije i njihove vrijednosti na X=3. Međutim, bit će lakše koristiti postojeće proširenje (5):
=
Rezultirajući niz konvergira na ili –3
Rješenje.
Serija konvergira na , ili -2< x < 5.
Rješenje. Napravimo zamjenu t=x-2:
Koristeći ekspanziju (3), u kojoj zamjenjujemo π / 4 t umjesto x, dobijamo:
Rezultirajući niz konvergira datoj funkciji na -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Približni proračuni korištenjem niza stepena
Redovi snaga se široko koriste u približnim proračunima. Uz njihovu pomoć možete izračunati vrijednosti korijena, trigonometrijske funkcije, logaritme brojeva i određene integrale sa zadanom točnošću. Redovi se također koriste pri integraciji diferencijalnih jednačina.
Razmotrimo proširenje funkcije u nizu stepena:
Da bi se izračunala približna vrijednost funkcije u datoj tački X, koji pripada području konvergencije navedenog niza, prvi su ostavljeni u njegovoj ekspanziji nčlanovi ( n– konačan broj), a preostali pojmovi se odbacuju:
Za procjenu greške dobijene približne vrijednosti potrebno je procijeniti odbačeni ostatak rn (x) . Da biste to učinili, koristite sljedeće tehnike:
Rješenje. Koristimo proširenje gdje je x=1/2 (vidi primjer 5 u prethodnoj temi):
Provjerimo možemo li odbaciti ostatak nakon prva tri člana ekspanzije; da bismo to učinili, procijenićemo ga koristeći zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije:
Tako da možemo odbaciti ovaj ostatak i dobiti
Rješenje. Koristimo binomni niz. Budući da je 5 3 kocka cijelog broja najbliži 130, preporučljivo je broj 130 predstaviti kao 130 = 5 3 +5. 
budući da je već četvrti član rezultirajućeg naizmjeničnog niza koji zadovoljava Leibnizov kriterij manji od tražene tačnosti:
, tako da se on i uslovi koji slijede mogu odbaciti.
Mnogi praktično potrebni određeni ili nepravilni integrali ne mogu se izračunati pomoću Newton-Leibnizove formule, jer je njena primjena povezana s pronalaženjem antiderivata, koji često nema izraz u elementarnim funkcijama. Dešava se i da je pronalaženje antiderivata moguće, ali je to nepotrebno radno intenzivno. Međutim, ako se funkcija integranda proširi u niz stepena, a granice integracije pripadaju intervalu konvergencije ovog niza, tada je moguće približno izračunavanje integrala sa unaprijed određenom tačnošću.
Rješenje. Odgovarajući neodređeni integral ne može se izraziti u elementarnim funkcijama, tj. predstavlja “nestalni integral”. Ovdje se ne može primijeniti Newton-Leibnizova formula. Izračunajmo približno integral.
Dijeljenje pojma po pojmu niz za grijeh x on x, dobijamo: 
Integrirajući ovaj niz član po član (ovo je moguće, budući da granice integracije pripadaju intervalu konvergencije ovog niza), dobijamo:
Pošto rezultujući niz zadovoljava Leibnizove uslove i dovoljno je uzeti zbir prva dva člana da bi se dobila željena vrednost sa datom tačnošću.
Dakle, nalazimo 
.
Rješenje.
. Provjerimo da li možemo odbaciti ostatak nakon drugog člana rezultirajućeg niza.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.