Neka M 0 – skup rješenja homogenog sistema (4) linearne jednačine.
Definicija 6.12. Vektori With 1 ,With 2 , …, sa str, koji su rješenja homogenog sistema linearnih jednačina nazivaju se fundamentalni set rješenja(skraćeno FNR), ako
1) vektori With 1 ,With 2 , …, sa str linearno nezavisne (tj. nijedan od njih se ne može izraziti u terminima drugih);
2) bilo koje drugo rješenje homogenog sistema linearnih jednačina može se izraziti kroz rješenja With 1 ,With 2 , …, sa str.
Imajte na umu da ako With 1 ,With 2 , …, sa str– bilo koji f.n.r., zatim izraz k 1× With 1 + k 2× With 2 + … + k p× sa str možete opisati cijeli set M 0 rješenja sistema (4), tako se zove opšti pogled na sistemsko rešenje (4).
Teorema 6.6. Svaki neodređeni homogeni sistem linearnih jednačina ima osnovni skup rješenja.
Način da se pronađe osnovni skup rješenja je sljedeći:
Nađi zajednička odluka homogeni sistem linearnih jednačina;
Izgraditi ( n – r) parcijalna rješenja ovog sistema, dok se vrijednosti slobodnih nepoznanica moraju formirati matrica identiteta;
Napisati opšti oblik rješenja uključena u M 0 .
Primjer 6.5. Pronađite osnovni skup rješenja za sljedeći sistem:
Rješenje. Hajde da pronađemo opšte rešenje za ovaj sistem.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
U ovom sistemu postoji pet nepoznatih ( n= 5), od kojih postoje dvije glavne nepoznanice ( r= 2), postoje tri slobodne nepoznate ( n – r), odnosno osnovni skup rješenja sadrži tri vektora rješenja. Hajde da ih izgradimo. Imamo x 1 i x 3 – glavne nepoznanice, x 2 , x 4 , x 5 – slobodne nepoznanice
Vrijednosti slobodnih nepoznanica x 2 , x 4 , x 5 formiraju matricu identiteta E trećeg reda. Imam te vektore With 1 ,With 2 , With 3 obrazac f.n.r. ovog sistema. Tada će skup rješenja ovog homogenog sistema biti M 0 = {k 1× With 1 + k 2× With 2 + k 3× With 3 , k 1 , k 2 , k 3 O R).
Hajde sada da saznamo uslove za postojanje nenultih rešenja homogenog sistema linearnih jednačina, drugim rečima, uslove za postojanje fundamentalnog skupa rešenja.
Homogeni sistem linearnih jednadžbi ima rješenja različita od nule, odnosno neizvjesno je da li
1) rang glavne matrice sistema je manji od broja nepoznatih;
2) u homogenom sistemu linearnih jednačina broj jednačina je manji od broja nepoznatih;
3) ako je u homogenom sistemu linearnih jednadžbi broj jednačina jednak broju nepoznanica, a determinanta glavne matrice jednaka nuli (tj. | A| = 0).
Primjer 6.6. Na kojoj vrijednosti parametra a homogeni sistem linearnih jednačina 
ima rješenja koja nisu nula?
Rješenje. Sastavimo glavnu matricu ovog sistema i pronađemo njenu determinantu: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Determinanta ove matrice je jednaka nuli u a = –4.
Odgovori: –4.
7. Aritmetika n-dimenzionalni vektorski prostor
Osnovni koncepti
U prethodnim odjeljcima već smo se susreli s konceptom skupa realnih brojeva koji se nalaze u određenim redosledom. Ovo je matrica reda (ili matrica stupaca) i rješenje sistema linearnih jednačina sa n nepoznato. Ove informacije se mogu sažeti.
Definicija 7.1. n-dimenzionalni aritmetički vektor naziva se uređenim skupom n realni brojevi.
Sredstva A= (a 1 , a 2 , …, a n), gdje a i O R, i = 1, 2, …, n– opšti pogled na vektor. Broj n pozvao dimenzija vektori i brojevi a i zovu se njegovim koordinate.
Na primjer: A= (1, –8, 7, 4, ) – petodimenzionalni vektor.
Sve je spremno n-dimenzionalni vektori se obično označavaju kao Rn.
Definicija 7.2. Dva vektora A= (a 1 , a 2 , …, a n) I b= (b 1 , b 2 , …, b n) iste dimenzije jednaka ako i samo ako su njihove odgovarajuće koordinate jednake, tj. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Definicija 7.3.Iznos dva n-dimenzionalni vektori A= (a 1 , a 2 , …, a n) I b= (b 1 , b 2 , …, b n) naziva se vektor a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).
Definicija 7.4. Posao pravi broj k na vektor A= (a 1 , a 2 , …, a n) naziva se vektor k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)
Definicija 7.5. Vector O= (0, 0, …, 0) se poziva nula(ili null vektor).
Lako je provjeriti da akcije (operacije) sabiranja vektora i njihovog množenja realnim brojem imaju sljedeća svojstva: " a, b, c Î Rn, " k, l O R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1× a = a, 1 O R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Definicija 7.6. Gomila Rn sa operacijama sabiranja vektora i njihovog množenja realnim brojem datim na njemu se zove aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor.
Zadane matrice
Pronađite: 1) aA - bB,
Rješenje: 1) Nalazimo ga sekvencijalno, koristeći pravila množenja matrice brojem i sabiranja matrica.
2. Pronađite A*B ako
Rješenje: Koristimo pravilo množenja matrice
odgovor: 
3. Za datu matricu pronađite minor M 31 i izračunajte determinantu.
Rješenje: Minor M 31 je determinanta matrice koja se dobija iz A
nakon precrtavanja reda 3 i kolone 1. Nalazimo
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Transformirajmo matricu A bez promjene njene determinante (napravimo nule u redu 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Sada izračunavamo determinantu matrice A proširenjem duž reda 1
Odgovor: M 31 = 0, detA = 0
Riješite Gaussovom metodom i Cramerovom metodom.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Rješenje: Hajde da proverimo
Možete koristiti Cramerovu metodu
Rješenje sistema: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Primijenimo Gaussovu metodu.
Svedujmo proširenu matricu sistema na trouglasti oblik.
Radi lakšeg izračunavanja, zamijenimo redove:
Pomnožite 2. red sa (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) i dodajte trećem:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Pomnožite prvi red sa (k = -2 / 2 = -1 ) i dodajte drugom:
Sada se originalni sistem može napisati kao:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
Iz 2. reda izražavamo
Od 1. reda izražavamo
Rješenje je isto.
Odgovor: (2; -5; 3)
Naći opće rješenje sistema i FSR-a
13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Rješenje: Primijenimo Gaussovu metodu. Svedujmo proširenu matricu sistema na trouglasti oblik.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Pomnožite prvi red sa (-11). Pomnožite 2. red sa (13). Dodajmo 2. red na 1.:
| -2 | -2 | -3 | ||
Pomnožite 2. red sa (-5). Pomnožimo 3. red sa (11). Dodajmo 3. red u 2.:
Pomnožite 3. red sa (-7). Pomnožimo 4. red sa (5). Dodajmo 4. red u 3.:
Druga jednačina je linearna kombinacija ostalih
Nađimo rang matrice.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Odabrani minor ima najveći red (od mogućih minora) i nije nula (jednak je proizvodu elemenata na obrnutoj dijagonali), stoga rang(A) = 2.
Ovaj minor je osnovni. Uključuje koeficijente za nepoznate x 1 , x 2 , što znači da su nepoznate x 1 , x 2 zavisne (osnovne), a x 3 , x 4 , x 5 su slobodne.
Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:
18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Koristeći metodu eliminacije nepoznanica, nalazimo zajednička odluka:
x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5
x 1 = - 1 / 3 x 3
Pronalazimo fundamentalni sistem rješenja (FSD), koji se sastoji od (n-r) rješenja. U našem slučaju, n=5, r=2, dakle, osnovni sistem rješenja sastoji se od 3 rješenja, a ta rješenja moraju biti linearno nezavisna.
Da bi redovi bili linearno nezavisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata reda bude jednak broju redova, odnosno 3.
Dovoljno je dati slobodne nepoznanice x 3 , x 4 , x 5 vrijednosti iz linija determinante 3. reda, različite od nule, i izračunati x 1 , x 2 .
Najjednostavnija determinanta koja nije nula je matrica identiteta.
Ali zgodnije je uzeti ovdje
Pronalazimo koristeći opće rješenje:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ
I odluka FSR-a: (-2; -4; 6; 0;0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ
II FSR rješenje: (0; -6; 0; 6;0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
III odluka FSR: (0; - 9; 0; 0;6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)
6. Dato je: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Pronađite: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2
Rješenje: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Odgovor: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i
Nastavit ćemo sa poliranjem naše tehnologije elementarne transformacije on homogeni sistem linearnih jednačina.
Na osnovu prvih pasusa, materijal može izgledati dosadno i osrednje, ali ovaj utisak je varljiv. Pored daljeg razvoja tehnika, bit će puno novih informacija, pa vas molimo da ne zanemarite primjere u ovom članku.
Šta je homogeni sistem linearnih jednačina?
Odgovor se nameće sam od sebe. Sistem linearnih jednačina je homogen ako je slobodni član svima jednačina sistema je nula. Na primjer:
To je apsolutno jasno homogen sistem je uvek konzistentan, odnosno uvijek ima rješenje. I, prije svega, ono što vam upada u oči je tzv trivijalan rješenje 
. Trivijalno, za one koji uopće ne razumiju značenje pridjeva, znači bez razmetanja. Ne akademski, naravno, ali razumljivo =) ...Zašto se tucati, hajde da saznamo ima li ovaj sistem još neko rješenje:
Primjer 1
Rješenje: za rješavanje homogenog sistema potrebno je napisati sistemska matrica i uz pomoć elementarnih transformacija dovesti ga u stepenasti oblik. Imajte na umu da ovdje nema potrebe zapisivati vertikalnu traku i nulti stupac slobodnih pojmova - na kraju krajeva, bez obzira na to što radite s nulama, one će ostati nule: 
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –3.
(2) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.
Deljenje trećeg reda sa 3 nema mnogo smisla.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se ekvivalentan homogeni sistem 
, i, koristeći inverznu Gaussovu metodu, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.
Odgovori: 
Hajde da formulišemo očigledan kriterijum: homogeni sistem linearnih jednačina ima samo trivijalno rešenje, Ako rang sistemske matrice(V u ovom slučaju 3) jednak broju varijabli (u ovom slučaju – 3 komada).
Zagrijmo se i podesimo naš radio na val elementarnih transformacija:
Primjer 2
Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina 
Da konačno konsolidujemo algoritam, analizirajmo završni zadatak:
Primjer 7
Riješite homogeni sistem, napišite odgovor u vektorskom obliku. 
Rješenje: zapišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postepeni oblik: 
(1) Predznak prvog reda je promijenjen. Još jednom skrećem pažnju na tehniku koja se već mnogo puta susreće, a koja vam omogućava da značajno pojednostavite sljedeću radnju.
(1) Prvi red je dodat 2. i 3. redu. Prvi red, pomnožen sa 2, dodan je četvrtom redu.
(3) Zadnja tri reda su proporcionalna, dva su uklonjena.
Kao rezultat, dobija se standardna matrica koraka, a rješenje se nastavlja duž nazubljene staze:
– osnovne varijable;
– slobodne varijable.
Izrazimo osnovne varijable u terminima slobodnih varijabli. Iz 2. jednačine:
– zamijeniti u 1. jednačinu:
Dakle, generalno rješenje je:
Kako u primjeru koji se razmatra postoje tri slobodne varijable, osnovni sistem sadrži tri vektora.
Zamijenimo trostruku vrijednost 
u opšte rešenje i dobijemo vektor čije koordinate zadovoljavaju svaku jednačinu homogenog sistema. I opet, ponavljam da je vrlo preporučljivo provjeriti svaki primljeni vektor - neće trebati puno vremena, ali će vas potpuno zaštititi od grešaka.
Za trostruku vrijednost 
pronađite vektor
I na kraju za troje 
dobijamo treći vektor:
Odgovori: , Gdje
Oni koji žele izbjeći razlomke mogu uzeti u obzir trojke 
i dobiti odgovor u ekvivalentnom obliku:
Govoreći o razlomcima. Pogledajmo matricu dobijenu u zadatku 
i zapitajmo se: da li je moguće pojednostaviti dalje rješenje? Uostalom, ovdje smo prvo izrazili osnovnu varijablu kroz razlomke, zatim kroz razlomke osnovnu varijablu i, moram reći, ovaj proces nije bio najjednostavniji i ne najugodniji.
Drugo rješenje:
Ideja je pokušati izaberite druge bazne varijable. Pogledajmo matricu i uočimo dva u trećoj koloni. Pa zašto ne imati nulu na vrhu? Izvršimo još jednu elementarnu transformaciju:
Homogeni sistem linearnih jednačina nad poljem
DEFINICIJA. Osnovni sistem rješenja sistema jednačina (1) naziva se neprazan linearni nezavisni sistem njegova rješenja, čiji se linearni raspon poklapa sa skupom svih rješenja sistema (1).
Imajte na umu da homogeni sistem linearnih jednačina koji ima samo nulto rješenje nema fundamentalni sistem rješenja.
PREDLOG 3.11. Bilo koja dva osnovna sistema rješenja homogenog sistema linearnih jednačina se sastoje od isti broj odluke.
Dokaz. U stvari, bilo koja dva fundamentalna sistema rješenja homogenog sistema jednačina (1) su ekvivalentna i linearno nezavisna. Dakle, prema prijedlogu 1.12, njihovi rangovi su jednaki. Prema tome, broj rješenja uključenih u jedan fundamentalni sistem jednak je broju rješenja uključenih u bilo koji drugi fundamentalni sistem rješenja.
Ako je glavna matrica A homogenog sistema jednačina (1) nula, tada je bilo koji vektor iz rješenje za sistem (1); u ovom slučaju, bilo koji skup linearno nezavisnih vektora iz je fundamentalni sistem rješenja. Ako je rang stupca matrice A jednak , tada sistem (1) ima samo jedno rješenje - nula; stoga u ovom slučaju sistem jednačina (1) nema fundamentalni sistem rješenja.
TEOREMA 3.12. Ako je rang glavne matrice homogenog sistema linearnih jednačina (1) manji od broja varijabli, onda sistem (1) ima osnovni sistem rješenja koji se sastoji od rješenja.
Dokaz. Ako je rang glavne matrice A homogenog sistema (1) jednak nuli ili , tada je gore pokazano da je teorema tačna. Stoga, ispod se pretpostavlja da je uz pretpostavku , pretpostavit ćemo da su prvi stupci matrice A linearno nezavisni. U ovom slučaju, matrica A je u nizu ekvivalentna redukovanoj postupnoj matrici, a sistem (1) je ekvivalentan sljedećem redukovanom postupnom sistemu jednačina:
Lako je provjeriti da bilo koji sistem vrijednosti slobodnih varijabli sistema (2) odgovara jednom i jedinom rješenju sistema (2) pa samim tim i sistema (1). Konkretno, samo nulto rješenje sistema (2) i sistema (1) odgovara sistemu nultih vrijednosti.
U sistemu (2) ćemo jednoj od slobodnih varijabli dodijeliti vrijednost jednaku 1, a preostalim varijablama - nula vrijednosti. Kao rezultat dobijamo rješenja sistema jednadžbi (2) koje zapisujemo u obliku redova sljedeće matrice C:
Sistem redova ove matrice je linearno nezavisan. Zaista, za sve skalare iz jednakosti
slijedi jednakost
a samim tim i jednakost
Dokažimo da se linearni raspon sistema redova matrice C poklapa sa skupom svih rješenja sistema (1).
Proizvoljno rješenje sistema (1). Zatim vektor
je također rješenje za sistem (1), i
Možete naručiti detaljno rješenje tvoj zadatak!!!Da razumem šta je to fundamentalni sistem odlučivanja možete pogledati video tutorijal za isti primjer klikom. Sada pređimo na opis cjeline neophodan rad. Ovo će vam pomoći da detaljnije shvatite suštinu ovog pitanja.
Kako pronaći osnovni sistem rješenja linearne jednačine?
Uzmimo za primjer sljedeći sistem linearnih jednadžbi:
Hajde da pronađemo rešenje za ovaj linearni sistem jednačina. Za početak, mi potrebno je da napišete matricu koeficijenata sistema.
Transformirajmo ovu matricu u trouglastu. Prepisujemo prvi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(11)$ moraju biti nula. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(21)$, trebate oduzeti prvi od drugog reda, a razliku upisati u drugi red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(31)$, trebate oduzeti prvo od trećeg reda i upisati razliku u trećem redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(41)$, trebate oduzeti prvo pomnoženo sa 2 iz četvrtog reda i upisati razliku u četvrtom redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(31)$, trebate oduzeti prvo pomnoženo sa 2 iz petog reda i upisati razliku u peti red. 
Prepisujemo prvi i drugi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(22)$ moraju biti nula. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(32)$, trebate oduzeti drugu pomnoženu sa 2 iz trećeg reda i upisati razliku u treći red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(42)$, potrebno je da oduzmete drugu pomnoženu sa 2 iz četvrtog reda i upišete razliku u četvrti red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(52)$, potrebno je da oduzmete drugu pomnoženu sa 3 iz petog reda i upišete razliku u peti red. 
Vidimo to zadnja tri reda su ista, pa ako oduzmete treći od četvrtog i petog, oni će postati nula. 
Prema ovoj matrici zapiši novi sistem jednačine.
Vidimo da imamo samo tri linearno nezavisne jednačine i pet nepoznanica, pa će se osnovni sistem rješenja sastojati od dva vektora. Dakle, mi treba da pomerimo poslednje dve nepoznate udesno.
Sada počinjemo izražavati one nepoznanice koje su na lijevoj strani kroz one koje su na desnoj strani. Počinjemo od posljednje jednačine, prvo izražavamo $x_3$, zatim zamjenjujemo rezultirajući rezultat u drugu jednačinu i izražavamo $x_2$, a zatim u prvu jednačinu i ovdje izražavamo $x_1$. Tako smo sve nepoznanice koje su na lijevoj strani izrazili kroz nepoznanice koje su na desnoj strani. 
Zatim, umjesto $x_4$ i $x_5$, možemo zamijeniti bilo koje brojeve i pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Svakih pet od ovih brojeva bit će korijeni našeg originalnog sistema jednačina. Da biste pronašli vektore koji su uključeni u FSR trebamo zamijeniti 1 umjesto $x_4$, i zamijeniti 0 umjesto $x_5$, pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$, i onda obrnuto $x_4=0$ i $x_5=1$.