Trigonometrijske jednadžbe nisu laka tema. Previše su raznoliki.) Na primjer, ovi:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = krevetac (2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
itd...
Ali ova (i sva druga) trigonometrijska čudovišta imaju dvije zajedničke i obavezne osobine. Prvo - nećete vjerovati - u jednadžbama postoje trigonometrijske funkcije.) Drugo: pronađeni su svi izrazi s x u okviru ovih istih funkcija. I samo tamo! Ako se X pojavi negdje vani, Na primjer, sin2x + 3x = 3, ovo će već biti jednačina mješoviti tip. Takve jednačine zahtijevaju individualni pristup. Nećemo ih ovdje razmatrati.
Ni u ovoj lekciji nećemo rješavati zle jednačine.) Ovdje ćemo se pozabaviti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Zašto? Da jer rešenje bilo koji trigonometrijske jednadžbe se sastoje od dvije faze. U prvoj fazi, jednačina zla se svodi na jednostavnu kroz niz transformacija. Na drugom je riješena ova najjednostavnija jednačina. Nema drugog načina.
Dakle, ako imate problema u drugoj fazi, prva faza nema mnogo smisla.)
Kako izgledaju elementarne trigonometrijske jednadžbe?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Evo A označava bilo koji broj. Bilo koji.
Usput, unutar funkcije možda ne postoji čisti X, već neka vrsta izraza, poput:
cos(3x+π /3) = 1/2
itd. Ovo komplicira život, ali ne utiče na metodu rješavanja trigonometrijske jednadžbe.
Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Trigonometrijske jednadžbe se mogu riješiti na dva načina. Prvi način: korištenje logike i trigonometrijskog kruga. Ovdje ćemo pogledati ovu stazu. O drugom načinu - korištenjem memorije i formula - bit će riječi u sljedećoj lekciji.
Prvi način je jasan, pouzdan i teško ga je zaboraviti.) Dobar je za rješavanje trigonometrijskih jednačina, nejednačina i svih vrsta lukavih nestandardni primjeri. Logika je jača od pamćenja!)
Rješavanje jednadžbi pomoću trigonometrijskog kruga.
Uključujemo elementarnu logiku i mogućnost korištenja trigonometrijskog kruga. Zar ne znaš kako? Međutim... Biće vam teško u trigonometriji...) Ali nema veze. Pogledajte lekcije "Trigonometrijski krug...... Šta je to?" i "Mjerenje uglova na trigonometrijskom krugu." Tamo je sve jednostavno. Za razliku od udžbenika...)
Oh, znaš!? Pa čak i savladao “Praktični rad s trigonometrijskim krugom”!? Čestitam. Ova tema će vam biti bliska i razumljiva.) Ono što posebno raduje je da trigonometrijskom krugu nije važno koju jednačinu rešavate. Sinus, kosinus, tangent, kotangens - sve mu je isto. Postoji samo jedan princip rješenja.
Dakle, uzimamo bilo koju osnovnu trigonometrijska jednačina. barem ovo:
cosx = 0,5
Moramo pronaći X. Govoreći ljudskim jezikom, trebate naći ugao (x) čiji je kosinus 0,5.
Kako smo ranije koristili krug? Nacrtali smo ugao na njemu. U stepenima ili radijanima. I to odmah vidio trigonometrijske funkcije ovog ugla. Sada uradimo suprotno. Nacrtajmo kosinus na kružnici jednak 0,5 i odmah vidit ćemo kutak. Ostaje samo da zapišete odgovor.) Da, da!
Nacrtajte krug i označite kosinus jednak 0,5. Na kosinusnoj osi, naravno. Volim ovo:
Sada nacrtajmo ugao koji nam daje ovaj kosinus. Zadržite pokazivač miša preko slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i videćete baš ovaj kutak X.
Kosinus kojeg ugla je 0,5?
x = π /3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Neki će se skeptično nasmejati, da... Kao, da li je vredelo praviti krug kad je već sve jasno... Možete se, naravno, smejati...) Ali činjenica je da je ovo pogrešan odgovor. Ili bolje rečeno, nedovoljno. Poznavaoci krugova shvataju da ovde postoji čitava gomila drugih uglova koji takođe daju kosinus od 0,5.
Ako okrenete pokretnu stranu OA puni okret, tačka A će se vratiti u prvobitni položaj. Sa istim kosinusom jednakim 0,5. One. ugao će se promijeniti za 360° ili 2π radijana, i kosinus - ne. Novi ugao 60° + 360° = 420° takođe će biti rešenje naše jednačine, jer
Može se napraviti beskonačan broj takvih kompletnih okretaja... I svi ovi novi uglovi bit će rješenja naše trigonometrijske jednačine. I sve ih treba nekako zapisati kao odgovor. Sve. Inače, odluka se ne računa, da...)
Matematika to može učiniti jednostavno i elegantno. Zapišite u jednom kratkom odgovoru beskonačan skup odluke. Evo kako to izgleda za našu jednačinu:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ja ću to dešifrovati. Još piši smisleno Prijatnije je nego glupo crtati neka misteriozna slova, zar ne?)
π /3 - Ovo je isti kutak kao i mi vidio na krugu i odlučan prema kosinusnoj tabeli.
2π je jedna potpuna revolucija u radijanima.
n - ovo je broj kompletnih, tj. cijeli rpm To je jasno n može biti jednako 0, ±1, ±2, ±3.... i tako dalje. Kako je navedeno kratka napomena:
n ∈ Z
n pripada ( ∈ ) skup cijelih brojeva ( Z ). Usput, umjesto pisma n slova se mogu koristiti k, m, t itd.
Ova notacija znači da možete uzeti bilo koji cijeli broj n . Najmanje -3, najmanje 0, najmanje +55. Šta god želiš. Ako ovaj broj zamijenite u odgovoru, dobit ćete određeni ugao, koji će definitivno biti rješenje naše oštre jednadžbe.)
Ili, drugim riječima, x = π /3 je jedini korijen beskonačnog skupa. Da biste dobili sve ostale korijene, dovoljno je dodati bilo koji broj punih okretaja na π /3 ( n ) u radijanima. One. 2π n radian.
Sve? br. Namerno produžavam zadovoljstvo. Da bolje zapamtimo.) Dobili smo samo dio odgovora na našu jednačinu. Napisat ću ovaj prvi dio rješenja ovako:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - ne samo jedan korijen, već čitav niz korijena, zapisanih u kratkom obliku.
Ali postoje i uglovi koji takođe daju kosinus od 0,5!
Vratimo se našoj slici sa koje smo zapisali odgovor. evo nje:
Zadržite pokazivač miša preko slike i vidimo drugi ugao koji također daje kosinus od 0,5.Šta mislite čemu je to jednako? Trouglovi su isti... Da! On je jednak uglu X , samo kasni u negativnom smjeru. Ovo je ugao -X. Ali već smo izračunali x. π /3 ili 60°. Stoga sa sigurnošću možemo napisati:
x 2 = - π /3
Pa, naravno, dodajemo sve uglove koji se dobijaju kroz pune okrete:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
To je sada sve.) Na trigonometrijskom krugu mi vidio(ko razume, naravno)) Sve uglovi koji daju kosinus od 0,5. I zapisali smo ove uglove u kratkom matematičkom obliku. Odgovor je rezultirao u dvije beskonačne serije korijena:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ovo je tačan odgovor.
nada, opšti princip za rešavanje trigonometrijskih jednačina korištenje kruga je jasno. Na kružnici označimo kosinus (sinus, tangent, kotangens) iz date jednačine, nacrtamo uglove koji mu odgovaraju i zapišemo odgovor. Naravno, moramo shvatiti koji smo uglovi vidio na krugu. Ponekad to nije tako očigledno. Pa, rekao sam da je ovdje potrebna logika.)
Na primjer, pogledajmo još jednu trigonometrijsku jednačinu:
Uzmite u obzir da broj 0,5 nije jedini mogući broj u jednadžbi!) Samo mi je zgodnije da ga zapišem od korijena i razlomaka.
Radimo po opštem principu. Crtamo krug, označavamo (na osi sinusa, naravno!) 0,5. Crtamo sve uglove koji odgovaraju ovom sinusu odjednom. Dobijamo ovu sliku:
Prvo se pozabavimo uglom X u prvoj četvrtini. Prisjećamo se tablice sinusa i određujemo vrijednost ovog ugla. To je jednostavna stvar:
x = π /6
Pamtimo pune okrete i mirne savjesti zapisujemo prvu seriju odgovora:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Pola posla je obavljeno. Ali sada moramo odrediti drugi ugao... To je teže nego koristiti kosinuse, da... Ali logika će nas spasiti! Kako odrediti drugi ugao kroz x? Yes Easy! Trokuti na slici su isti, a crveni ugao X jednaka uglu X . Samo se broji od ugla π u negativnom smjeru. Zato je crvena.) A za odgovor nam je potreban ugao, tačno izmeren, od pozitivne poluose OX, tj. iz ugla od 0 stepeni.
Prelazimo kursorom preko crteža i vidimo sve. Uklonio sam prvi ugao da ne bih komplikovao sliku. Ugao koji nas zanima (nacrtan zelenom bojom) bit će jednak:
π - x
X znamo ovo π /6 . Dakle, drugi ugao će biti:
π - π /6 = 5π /6
Opet se prisjećamo dodavanja punih okretaja i zapisujemo drugu seriju odgovora:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
To je sve. Potpuni odgovor sastoji se od dvije serije korijena:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Tangentne i kotangensne jednačine se mogu lako riješiti korištenjem istog općeg principa za rješavanje trigonometrijskih jednačina. Ako, naravno, znate nacrtati tangentu i kotangens na trigonometrijskom krugu.
U gornjim primjerima koristio sam tabličnu vrijednost sinusa i kosinusa: 0,5. One. jedno od onih značenja koje učenik zna mora. Sada proširimo naše mogućnosti na sve druge vrednosti. Odluči, pa odluči!)
Dakle, recimo da moramo riješiti ovu trigonometrijsku jednačinu:
Takva vrijednost kosinusa u kratke tabele br. Hladno ignorišemo ovu strašnu činjenicu. Nacrtajte krug, označite 2/3 na osi kosinusa i nacrtajte odgovarajuće uglove. Dobili smo ovu sliku.
Pogledajmo, prvo, ugao u prvoj četvrtini. Voleo bih da znam zašto jednako x, odgovor bi bio odmah zapisan! Ne znamo... Neuspjeh!? Miran! Matematika ne ostavlja svoje ljude u nevolji! Ona je smislila lučni kosinus za ovaj slučaj. Ne znam? Uzalud. Saznajte, mnogo je lakše nego što mislite. Na ovom linku nema nijedne škakljive čarolije o “inverznim trigonometrijskim funkcijama”... Ovo je suvišno u ovoj temi.
Ako znate, samo recite sebi: "X je ugao čiji je kosinus jednak 2/3." I odmah, čisto po definiciji ark kosinusa, možemo napisati:
Sjećamo se dodatnih okretaja i mirno zapisujemo prvu seriju korijena naše trigonometrijske jednadžbe:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Druga serija korijena za drugi ugao se gotovo automatski zapisuje. Sve je isto, samo će X (arccos 2/3) biti sa minusom:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
I to je to! Ovo je tačan odgovor. Čak i lakše nego sa tabličnim vrijednostima. Nema potrebe pamtiti ništa.) Usput, najpažljiviji će primijetiti da ova slika prikazuje rješenje kroz arc kosinus u suštini, ne razlikuje se od slike za jednačinu cosx = 0,5.
Upravo! Opšti princip Zato je to uobičajeno! Namjerno sam nacrtao dvije skoro identične slike. Krug nam pokazuje ugao X svojim kosinusom. Svima je nepoznato da li je to tabelarni kosinus ili ne. Kakav je to ugao, π /3, ili koji je arc kosinus - na nama je da odlučimo.
Ista pjesma sa sinusom. Na primjer:
Ponovo nacrtajte krug, označite sinus jednak 1/3, nacrtajte uglove. Ovo je slika koju dobijamo:
I opet je slika skoro ista kao i za jednačinu sinx = 0,5. Ponovo krećemo iz kornera u prvoj četvrtini. Čemu je jednak X ako mu je sinus 1/3? Nema problema!
Sada je spreman prvi paket korijena:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Hajde da se pozabavimo drugim uglom. U primjeru sa vrijednošću tablice od 0,5, bio je jednak:
π - x
I ovdje će biti potpuno isto! Samo je x različit, arcsin 1/3. Pa šta!? Možete sigurno zapisati drugi paket korijena:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Ovo je potpuno tačan odgovor. Iako ne izgleda baš poznato. Ali jasno je, nadam se.)
Ovako se trigonometrijske jednadžbe rješavaju pomoću kružnice. Ovaj put je jasan i razumljiv. On je taj koji štedi u trigonometrijskim jednadžbama s odabirom korijena na datom intervalu, u trigonometrijskim nejednačinama - one se uglavnom rješavaju gotovo uvijek u krug. Ukratko, u svim zadacima koji su malo teži od standardnih.
Primijenimo znanje u praksi?)
Riješite trigonometrijske jednadžbe:
Prvo, jednostavnije, direktno iz ove lekcije.
Sada je sve komplikovanije.
Savjet: ovdje ćete morati razmišljati o krugu. Lično.)
A sada su oni spolja jednostavni... Zovu se i specijalni slučajevi.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Nagoveštaj: ovde treba da odgonetneš u krug gde su dve serije odgovora, a gde jedan... I kako napisati jedan umesto dva niza odgovora. Da, tako da se ni jedan korijen iz beskonačnog broja ne izgubi!)
Pa vrlo jednostavno):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Nagoveštaj: ovde treba da znate šta su arksinus i arkosinus? Šta je arktangens, arkkotangens? Najjednostavnije definicije. Ali ne morate pamtiti nijednu vrijednost tablice!)
Odgovori su, naravno, nered):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Nije sve u redu? Dešava se. Pročitajte lekciju ponovo. Samo zamišljeno(postoji takav zastarjela riječ...) I pratite linkove. Glavne veze se odnose na krug. Bez toga, trigonometrija je kao prelazak puta sa povezom preko očiju. Ponekad uspe.)
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina
Uvod 2
Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina 5
Algebarski 5
Rješavanje jednadžbi uz korištenje uvjeta jednakosti istoimenih trigonometrijskih funkcija 7
Faktorizacija 8
Redukcija na homogenu jednačinu 10
Uvođenje pomoćnog ugla 11
Pretvorite proizvod u zbir 14
Univerzalna zamjena 14
Zaključak 17
Uvod
Do desetog razreda redosled radnji mnogih vežbi koje vode do cilja je, po pravilu, jasno definisan. Na primjer, linearni i kvadratne jednačine i nejednakosti frakcione jednačine i jednadžbe svedene na kvadratne, itd. Ne ispitujući detaljno princip rješavanja svakog od navedenih primjera, navodimo opšte stvari koje su neophodne za njihovo uspješno rješavanje.
U većini slučajeva morate ustanoviti koja je vrsta zadatka zadatak, zapamtiti redoslijed radnji koje vode do cilja i izvršiti te radnje. Očigledno, uspjeh ili neuspjeh studenta u ovladavanju tehnikama rješavanja jednačina ovisi uglavnom o tome koliko je on sposoban ispravno odrediti vrstu jednačine i zapamtiti redoslijed svih faza njenog rješavanja. Naravno, pretpostavlja se da učenik ima vještine za izvođenje identičnih transformacija i proračuna.
Sasvim drugačija situacija nastaje kada se školarac susreće s trigonometrijskim jednadžbama. Štaviše, nije teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri pronalaženju pravca djelovanja koji bi doveo do pozitivnog rezultata. I ovdje se učenik suočava sa dva problema. By izgled vrsta jednadžbi je teško odrediti. A bez poznavanja vrste, gotovo je nemoguće odabrati željenu formulu od nekoliko desetina dostupnih.
Kako bi pomogli učenicima da pronađu svoj put kroz složeni labirint trigonometrijskih jednačina, prvo se upoznaju sa jednadžbama koje se svode na kvadratne jednadžbe kada se uvede nova varijabla. Zatim rješavaju homogene jednadžbe i one svodive na njih. Sve se po pravilu završava jednačinama, za rješavanje kojih je potrebno lijevu stranu rastaviti na faktore, a zatim svaki od faktora izjednačiti sa nulom.
Shvativši da desetak i po jednačina o kojima se govori u lekcijama očigledno nije dovoljno da se učenik uputi na samostalno putovanje kroz trigonometrijsko „more“, nastavnik dodaje još nekoliko svojih preporuka.
Da biste riješili trigonometrijsku jednačinu, trebate pokušati:
Dovedite sve funkcije uključene u jednadžbu u “iste uglove”;
Svesti jednadžbu na “identične funkcije”;
Faktorizirajte lijevu stranu jednačine, itd.
No, uprkos poznavanju osnovnih tipova trigonometrijskih jednadžbi i nekoliko principa za pronalaženje njihovih rješenja, mnogi učenici se i dalje nalaze u zatečenosti zbog svake jednačine koja se malo razlikuje od onih koje su ranije rješavane. Ostaje nejasno čemu treba težiti kada imamo ovu ili onu jednadžbu, zašto je u jednom slučaju potrebno koristiti formule dvostrukog ugla, u drugom - poluugla, au trećem formule sabiranja itd.
Definicija 1. Trigonometrijska jednadžba je jednačina u kojoj je nepoznato sadržano pod znakom trigonometrijskih funkcija.
Definicija 2. Kaže se da trigonometrijska jednačina ima jednake uglove ako sve trigonometrijske funkcije uključene u nju imaju jednake argumente. Kaže se da trigonometrijska jednačina ima identične funkcije ako sadrži samo jednu od trigonometrijskih funkcija.
Definicija 3. Potencija monoma koji sadrži trigonometrijske funkcije je zbir eksponenta potencija trigonometrijskih funkcija uključenih u njega.
Definicija 4. Jednačina se naziva homogenom ako svi monomi uključeni u nju imaju isti stepen. Ovaj stepen se naziva redom jednačine.
Definicija 5. Trigonometrijska jednadžba koja sadrži samo funkcije grijeh I cos, naziva se homogenim ako svi monomi u odnosu na trigonometrijske funkcije imaju isti stepen, a same trigonometrijske funkcije imaju jednakih uglova i broj monoma za 1 više reda jednačine
Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina.
Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi sastoji se od dvije faze: transformacije jednadžbe kako bi se dobila najjednostavniji oblik i rješavanja rezultirajuće najjednostavnije trigonometrijske jednačine. Postoji sedam osnovnih metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
I. Algebarska metoda. Ova metoda je dobro poznata iz algebre. (Metoda varijabilne zamjene i supstitucije).
Riješite jednačine.
1)
Hajde da uvedemo notaciju x=2 grijeh3 t, dobijamo
Rješavajući ovu jednačinu dobijamo: 
ili 
one. može se zapisati
Prilikom snimanja rezultirajućeg rješenja zbog prisutnosti znakova 
stepen 
nema smisla to zapisivati.
odgovor: 
Označimo 
Dobijamo kvadratnu jednačinu 
. Njegovi korijeni su brojevi 
I 
. Stoga se ova jednadžba svodi na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe 
I 
. Rešavajući ih, nalazimo to 
ili 
.
odgovor: 
; 
.
Označimo 
ne zadovoljava uslov 
Sredstva 
odgovor: 
Transformirajmo lijevu stranu jednačine:
Dakle, ova početna jednačina se može napisati kao:
, tj.
Nakon što je odredio 
, dobijamo 
Rješavajući ovu kvadratnu jednačinu imamo:
ne zadovoljava uslov 
Zapisujemo rješenje originalne jednačine:
odgovor: 
Zamjena 
svodi ovu jednačinu na kvadratnu jednačinu 
. Njegovi korijeni su brojevi 
I 
. Jer 
, To zadata jednačina nema korena.
Odgovor: nema korijena.
II. Rješavanje jednadžbi uz korištenje uvjeta jednakosti istoimenih trigonometrijskih funkcija.
A) 
, Ako
b) 
, Ako
V) 
, Ako 
Koristeći ove uslove, razmotrite rješavanje sljedećih jednačina:
6) 
Koristeći ono što je rečeno u dijelu a) nalazimo da jednačina ima rješenje ako i samo ako 
.
Rješavajući ovu jednačinu, nalazimo 
.
Imamo dvije grupe rješenja: 
.
7) Riješite jednačinu: 
.
Koristeći uslov tačke b) zaključujemo da 
.
Rješavajući ove kvadratne jednačine dobijamo:
.
8) Riješite jednačinu 
.
Iz ove jednačine zaključujemo da . Rješavajući ovu kvadratnu jednačinu, nalazimo to 
.
III. Faktorizacija.
Ovu metodu razmatramo na primjerima.
9) Riješite jednačinu 
.
Rješenje. Pomjerimo sve članove jednadžbe ulijevo: .
Transformirajmo i faktorizirajmo izraz na lijevoj strani jednačine: 
.
.
.
1)
2) 
Jer 
I 
ne prihvataju vrednost nula
u isto vrijeme, tada dijelimo oba dijela
jednadžbe za 
, 
odgovor: 
10) Riješite jednačinu:
Rješenje.
ili 
odgovor: 
11) Riješite jednačinu
Rješenje:
1)
2)
3)
, 
odgovor: 
IV. Redukcija na homogenu jednačinu.
Riješiti homogena jednačina potrebno:
Pomaknite sve njegove članove na lijevu stranu;
Stavite sve uobičajene faktore izvan zagrada;
Izjednačiti sve faktore i zagrade na nulu;
Zagrade jednake nuli daju homogenu jednačinu manjeg stepena, koju treba podijeliti sa 
(ili 
) u višem stepenu;
Riješi rezultirajuću algebarsku jednadžbu za 
.
Pogledajmo primjere:
12) Riješite jednačinu:
Rješenje.
Podijelimo obje strane jednačine sa 
, 
Uvođenje oznaka 
, ime
korijeni ove jednadžbe: 
dakle 1) 
2) 
odgovor: 
13) Riješite jednačinu:
Rješenje. Koristeći formule dvostrukog ugla i osnovni trigonometrijski identitet, ovu jednačinu svodimo na pola argumenta:
Nakon smanjenja sličnih pojmova imamo:
Dijelimo posljednju homogenu jednačinu sa 
, dobijamo
Ja ću naznačiti 
, dobijamo kvadratnu jednačinu 
, čiji su korijeni brojevi 
Dakle 
Izraz 
ide na nulu u 
, tj. at 
, 
.
Rješenje jednačine koje smo dobili ne uključuje ove brojeve.
odgovor: 
, .
V. Uvođenje pomoćnog ugla.
Razmotrimo jednačinu oblika
Gdje a, b, c- koeficijenti, x- nepoznato.
Podijelimo obje strane ove jednačine sa 
Sada koeficijenti jednadžbe imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime: modul svakog od njih ne prelazi jedan, a zbroj njihovih kvadrata je jednak 1.
Tada ih možemo odrediti u skladu s tim 
(Ovdje 
- pomoćni ugao) i naša jednadžba ima oblik: .
Onda 
I njegova odluka
Imajte na umu da su uvedene oznake međusobno zamjenjive.
14) Riješite jednačinu: 
Rješenje. Evo 
, pa dijelimo obje strane jednačine sa 
odgovor: 
15) Riješite jednačinu
Rješenje. Jer 
, tada je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi
Jer 
, onda postoji ugao takav da 
, 
(oni. 
).
Imamo 
Jer 
, tada konačno dobijamo:
.
Imajte na umu da jednačine oblika imaju rješenje ako i samo ako 
16) Riješite jednačinu:
Da bismo riješili ovu jednačinu, grupiramo trigonometrijske funkcije s istim argumentima
Podijelite obje strane jednačine sa dva
Pretvorimo zbir trigonometrijskih funkcija u proizvod:
odgovor: 
VI. Pretvaranje proizvoda u zbroj.
Ovdje se koriste odgovarajuće formule.
17) Riješite jednačinu:
Rješenje. Pretvorimo lijevu stranu u zbir:
VII.Univerzalna zamjena.
, 
ove formule su istinite za sve 
Zamjena 
naziva se univerzalnim.
18) Riješite jednačinu: 
Rješenje: Zamijenite i 
do njihovog izražavanja kroz 
i označiti 
.
Dobijamo racionalna jednačina 
, koji se pretvara u kvadrat 
.
Korijeni ove jednadžbe su brojevi 
.
Stoga se problem sveo na rješavanje dvije jednačine 
.
Nalazimo to 
.
Pogledaj vrijednost 
ne zadovoljava originalnu jednačinu, što se provjerava provjerom - zamjenom datu vrijednost t u originalnu jednačinu.
odgovor: 
.
Komentar. Jednačina 18 se mogla riješiti i na drugi način.
Podijelimo obje strane ove jednačine sa 5 (tj 
): 
.
Jer 
, onda postoji takav broj 
, Šta 
I 
. Stoga jednačina poprima oblik: 
ili 
. Odavde to nalazimo 
Gdje 
.
19) Riješite jednačinu 
.
Rješenje. Pošto funkcije 
I 
imati najveća vrijednost, jednako 1, tada je njihov zbir 2 ako 
I 
, istovremeno, tj 
.
odgovor: 
.
Prilikom rješavanja ove jednadžbe korištena je ograničenost funkcija i.
Zaključak.
Prilikom rada na temi “Rješavanje trigonometrijskih jednačina” korisno je da se svaki nastavnik pridržava sljedećih preporuka:
Sistematizirati metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
Sami odaberite korake za izvođenje analize jednadžbe i znakove preporučljivosti korištenja određene metode rješenja.
Razmislite o načinima da sami nadgledate svoje aktivnosti u implementaciji metode.
Naučite da sastavite „svoje“ jednadžbe za svaku od metoda koje se proučavaju.
Dodatak br. 1
Riješiti homogene ili svodive na homogene jednadžbe.
1. | Rep. |
Rep. |
|
Rep. |
|
5. | Rep. |
Rep. |
|
7. | Rep. |
Rep. |
|
Zahtijeva poznavanje osnovnih formula trigonometrije - zbira kvadrata sinusa i kosinusa, izraza tangente kroz sinus i kosinus i dr. Za one koji su ih zaboravili ili ih ne znaju, preporučujemo da pročitaju članak "".
Dakle, glavne trigonometrijske formule znamo da je vrijeme da ih provedemo u praksi. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi at pravi pristup- prilično uzbudljiva aktivnost, poput, na primjer, rješavanja Rubikove kocke.
Na osnovu samog naziva jasno je da je trigonometrijska jednačina jednačina u kojoj je nepoznata pod znakom trigonometrijske funkcije.
Postoje takozvane najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Evo kako izgledaju: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Hajde da razmotrimo kako riješiti takve trigonometrijske jednadžbe, radi jasnoće ćemo koristiti već poznati trigonometrijski krug.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
krevetac x = a
Svaka trigonometrijska jednadžba se rješava u dvije faze: svodimo jednačinu na njen najjednostavniji oblik, a zatim je rješavamo kao jednostavnu trigonometrijsku jednadžbu.
Postoji 7 glavnih metoda pomoću kojih se rješavaju trigonometrijske jednačine.
Zamjena varijable i metoda zamjene
Rješavanje trigonometrijskih jednačina kroz faktorizaciju
Redukcija na homogenu jednačinu
Rješavanje jednadžbi kroz prijelaz na poluugao
Uvođenje pomoćnog ugla
Riješite jednačinu 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Koristeći formule redukcije dobijamo:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Zamijenite cos(x + /6) sa y da pojednostavite i dobijete uobičajenu kvadratnu jednačinu:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Korijeni su y 1 = 1, y 2 = 1/2
Sada idemo obrnutim redoslijedom
Zamjenjujemo pronađene vrijednosti y i dobijamo dvije opcije odgovora:
Kako riješiti jednačinu sin x + cos x = 1?
Pomaknimo sve ulijevo tako da 0 ostane na desnoj strani:
sin x + cos x – 1 = 0
Upotrijebimo gore navedene identitete da pojednostavimo jednačinu:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Rastavimo na faktore:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Dobijamo dvije jednačine
Jednačina je homogena u odnosu na sinus i kosinus ako su svi njeni članovi relativni na sinus i kosinus iste snage istog ugla. Da biste riješili homogenu jednačinu, postupite na sljedeći način:
a) prebaci sve svoje članove na lijevu stranu;
b) izvaditi sve zajedničke faktore iz zagrada;
c) izjednačiti sve faktore i zagrade sa 0;
d) u zagradi se dobija homogena jednačina nižeg stepena, koja se opet deli na sinus ili kosinus višeg stepena;
e) riješiti rezultirajuću jednačinu za tg.
Riješite jednačinu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Upotrijebimo formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 i riješimo se otvorene dvije na desnoj strani:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Podijelite sa cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Zamijenite tan x sa y i dobijete kvadratnu jednačinu:
y 2 + 4y +3 = 0, čiji su korijeni y 1 =1, y 2 = 3
Odavde nalazimo dva rješenja originalne jednadžbe:
x 2 = arktan 3 + k
Riješite jednačinu 3sin x – 5cos x = 7
Idemo na x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Pomerimo sve ulevo:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Podijelite sa cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Za razmatranje, uzmimo jednačinu oblika: a sin x + b cos x = c,
gdje su a, b, c neki proizvoljni koeficijenti, a x je nepoznanica.
Podijelimo obje strane jednačine sa:
Sada koeficijenti jednadžbe, prema trigonometrijskim formulama, imaju svojstva sin i cos, naime: njihov modul nije veći od 1 i zbir kvadrata = 1. Označimo ih kao cos i sin, gdje je - ovo takozvani pomoćni ugao. Tada će jednačina poprimiti oblik:
cos * sin x + sin * cos x = C
ili sin(x + ) = C
Rješenje ove najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe je
x = (-1) k * arcsin C - + k, gdje je
Treba napomenuti da su oznake cos i sin zamjenjive.
Riješite jednačinu sin 3x – cos 3x = 1
Koeficijenti u ovoj jednačini su:
a = , b = -1, pa podijelite obje strane sa = 2
Prilikom rješavanja mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed izvođenja radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednačine, linearne i kvadratne nejednačine, razlomke i jednačine koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih problema je sljedeći: potrebno je ustanoviti koju vrstu problema rješavate, zapamtiti potreban slijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.
Očigledno je da uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema uglavnom ovisi o tome koliko je točno određena vrsta jednačine koja se rješava, koliko je pravilno reproduciran redoslijed svih faza njenog rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i proračuna.
Situacija je drugačija sa trigonometrijske jednačine. Nije nimalo teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju prilikom određivanja redosleda radnji koje bi dovele do tačnog odgovora.
Ponekad je teško odrediti njen tip na osnovu izgleda jednačine. A bez poznavanja tipa jednadžbe, gotovo je nemoguće izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.
Da biste riješili trigonometrijsku jednačinu, trebate pokušati:
1. dovesti sve funkcije uključene u jednačinu u „iste uglove“;
2. dovesti jednačinu na “identične funkcije”;
3. faktor lijevu stranu jednačine, itd.
Hajde da razmotrimo osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe
Dijagram rješenja
Korak 1. Express trigonometrijska funkcija preko poznatih komponenti.
Korak 2. Pronađite argument funkcije koristeći formule:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.
Korak 3. Pronađite nepoznatu varijablu.
Primjer.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Rješenje.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nÊ Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
II. Varijabilna zamjena
Dijagram rješenja
Korak 1. Svesti jednadžbu na algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.
Korak 2. Rezultirajuću funkciju označiti promjenljivom t (ako je potrebno, uvesti ograničenja na t).
Korak 3. Zapišite i riješite rezultirajuću algebarsku jednačinu.
Korak 4. Napravite obrnutu zamjenu.
Korak 5. Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.
Primjer.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Rješenje.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5 sin (x/2) – 5 = 0;
2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.
2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 ili e = -3/2, ne zadovoljava uslov |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;
x = π + 4πn, n Ê Z.
Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.
III. Metoda redukcije reda jednačina
Dijagram rješenja
Korak 1. Zamijenite ovu jednačinu linearnom, koristeći formulu za smanjenje stepena:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Korak 2. Riješite rezultirajuću jednačinu koristeći metode I i II.
Primjer.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Rješenje.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;
x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
IV. Homogene jednadžbe
Dijagram rješenja
Korak 1. Svesti ovu jednačinu na oblik
a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednačina prvog stepena)
ili na pogled
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednačina drugog stepena).
Korak 2. Podijelite obje strane jednačine sa
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
i dobijemo jednačinu za tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.
Korak 3. Riješite jednadžbu poznatim metodama.
Primjer.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Rješenje.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Neka je onda tg x = t
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 ili t = -4, što znači
tg x = 1 ili tg x = -4.
Iz prve jednačine x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.
Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.
V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula
Dijagram rješenja
Korak 1. Koristeći sve moguće trigonometrijske formule, svesti ovu jednačinu na jednačinu riješenu metodama I, II, III, IV.
Korak 2. Rezultujuću jednadžbu rešite poznatim metodama.
Primjer.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Rješenje.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;
Iz prve jednačine 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.
Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednačine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.
Kao rezultat, x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Sposobnost i vještina rješavanja trigonometrijskih jednačina je vrlo 
važno, njihov razvoj zahteva značajan napor, kako od strane učenika, tako i od strane nastavnika.
Mnogi problemi stereometrije, fizike itd. povezani su sa rješavanjem trigonometrijskih jednačina.. Proces rješavanja takvih zadataka utjelovljuje mnoga znanja i vještine koje se stiču proučavanjem elemenata trigonometrije.
Trigonometrijske jednačine zauzimaju važno mjesto u procesu učenja matematike i ličnog razvoja općenito.
Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Za pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!
blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.
Prilikom rješavanja mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed izvođenja radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednačine, linearne i kvadratne nejednačine, razlomke i jednačine koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih problema je sljedeći: potrebno je ustanoviti koju vrstu problema rješavate, zapamtiti potreban slijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.
Očigledno je da uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema uglavnom ovisi o tome koliko je točno određena vrsta jednačine koja se rješava, koliko je pravilno reproduciran redoslijed svih faza njenog rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i proračuna.
Situacija je drugačija sa trigonometrijske jednačine. Nije nimalo teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju prilikom određivanja redosleda radnji koje bi dovele do tačnog odgovora.
Ponekad je teško odrediti njen tip na osnovu izgleda jednačine. A bez poznavanja tipa jednadžbe, gotovo je nemoguće izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.
Da biste riješili trigonometrijsku jednačinu, trebate pokušati:
1. dovesti sve funkcije uključene u jednačinu u „iste uglove“;
2. dovesti jednačinu na “identične funkcije”;
3. faktor lijevu stranu jednačine, itd.
Hajde da razmotrimo osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe
Dijagram rješenja
Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju u terminima poznatih komponenti.
Korak 2. Pronađite argument funkcije koristeći formule:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.
Korak 3. Pronađite nepoznatu varijablu.
Primjer.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Rješenje.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nÊ Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
II. Varijabilna zamjena
Dijagram rješenja
Korak 1. Svesti jednadžbu na algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.
Korak 2. Rezultirajuću funkciju označiti promjenljivom t (ako je potrebno, uvesti ograničenja na t).
Korak 3. Zapišite i riješite rezultirajuću algebarsku jednačinu.
Korak 4. Napravite obrnutu zamjenu.
Korak 5. Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.
Primjer.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Rješenje.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5 sin (x/2) – 5 = 0;
2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.
2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 ili e = -3/2, ne zadovoljava uslov |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;
x = π + 4πn, n Ê Z.
Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.
III. Metoda redukcije reda jednačina
Dijagram rješenja
Korak 1. Zamijenite ovu jednačinu linearnom, koristeći formulu za smanjenje stepena:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Korak 2. Riješite rezultirajuću jednačinu koristeći metode I i II.
Primjer.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Rješenje.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;
x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
IV. Homogene jednadžbe
Dijagram rješenja
Korak 1. Svesti ovu jednačinu na oblik
a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednačina prvog stepena)
ili na pogled
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednačina drugog stepena).
Korak 2. Podijelite obje strane jednačine sa
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
i dobijemo jednačinu za tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.
Korak 3. Riješite jednadžbu poznatim metodama.
Primjer.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Rješenje.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Neka je onda tg x = t
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 ili t = -4, što znači
tg x = 1 ili tg x = -4.
Iz prve jednačine x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.
Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.
V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula
Dijagram rješenja
Korak 1. Koristeći sve moguće trigonometrijske formule, svesti ovu jednačinu na jednačinu riješenu metodama I, II, III, IV.
Korak 2. Rezultujuću jednadžbu rešite poznatim metodama.
Primjer.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Rješenje.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;
Iz prve jednačine 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.
Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednačine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.
Kao rezultat, x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Sposobnost i vještina rješavanja trigonometrijskih jednačina je vrlo važno, njihov razvoj zahteva značajan napor, kako od strane učenika, tako i od strane nastavnika.
Mnogi problemi stereometrije, fizike itd. povezani su sa rješavanjem trigonometrijskih jednačina.. Proces rješavanja takvih zadataka utjelovljuje mnoga znanja i vještine koje se stiču proučavanjem elemenata trigonometrije.
Trigonometrijske jednačine zauzimaju važno mjesto u procesu učenja matematike i ličnog razvoja općenito.
Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.