Trigonometrijske jednadžbe sin. Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe

Lekcija i prezentacija na temu: "Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za 10. razred od 1C
Rješavanje zadataka iz geometrije. Interaktivni zadaci za izgradnju u prostoru
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Šta ćemo proučavati:
1. Šta su trigonometrijske jednačine?

3. Dvije glavne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
4. Homogene trigonometrijske jednadžbe.
5. Primjeri.

Šta su trigonometrijske jednačine?

Ljudi, mi smo već proučavali arksin, arkkosinus, arktangens i arkkotangens. Pogledajmo sada trigonometrijske jednadžbe općenito.

Trigonometrijske jednadžbe– jednačina u kojoj je varijabla sadržana pod znakom trigonometrijske funkcije.

Ponovimo oblik rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

1)Ako je |a|≤ 1, tada jednačina cos(x) = a ima rješenje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ako je |a|≤ 1, onda jednačina sin(x) = a ima rješenje:

3) Ako |a| > 1, tada jednadžba sin(x) = a i cos(x) = a nemaju rješenja 4) Jednačina tg(x)=a ima rješenje: x=arctg(a)+ πk

5) Jednačina ctg(x)=a ima rješenje: x=arcctg(a)+ πk

Za sve formule k je cijeli broj

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe imaju oblik: T(kx+m)=a, T je neka trigonometrijska funkcija.

Primjer.

Riješite jednačine: a) sin(3x)= √3/2

Rješenje:

A) Označimo 3x=t, onda ćemo našu jednačinu prepisati u obliku:

Rješenje ove jednačine će biti: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Iz tabele vrednosti dobijamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vratimo se na našu varijablu: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdje je n cijeli broj. (-1)^n – minus jedan na stepen n.

Više primjera trigonometrijskih jednadžbi.

Riješite jednačine: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Rješenje:

A) Ovaj put idemo direktno na izračunavanje korijena jednadžbe odmah:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, gdje je k cijeli broj.

B) Zapisujemo ga u obliku: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Znamo da je: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, gdje je k cijeli broj.

Riješite jednačine: cos(4x)= √2/2. I pronađite sve korijene na segmentu.

Rješenje:

Odlučićemo se opšti pogled naša jednadžba: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sada da vidimo koji korijeni padaju na naš segment. Kod k Pri k=0, x= π/16, nalazimo se u datom segmentu.
Sa k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, udaramo ponovo.
Za k=2, x= π/16+ π=17π/16, ali ovdje nismo pogodili, što znači da za veliki k također očito nećemo pogoditi.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dvije glavne metode rješenja.

Pogledali smo najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe, ali postoje i složenije. Za njihovo rješavanje koristi se metoda uvođenja nove varijable i metoda faktorizacije. Pogledajmo primjere.

Rešimo jednačinu:

Rješenje:
Za rješavanje naše jednačine koristit ćemo metodu uvođenja nove varijable koja označava: t=tg(x).

Kao rezultat zamjene dobijamo: t 2 + 2t -1 = 0

Hajde da nađemo korene kvadratna jednačina: t=-1 i t=1/3

Tada tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, dobijamo najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu, hajde da nađemo njene korene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primjer rješavanja jednadžbe

Riješite jednadžbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Rješenje:

Koristimo identitet: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša jednačina će imati oblik: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Hajde da uvedemo zamjenu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe su korijeni: t=2 i t=-1/2

Tada je cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Jer kosinus ne može uzeti vrijednosti veće od jedan, tada cos(x)=2 nema korijena.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrijske jednadžbe.

Definicija: Jednačine oblika a sin(x)+b cos(x) nazivaju se homogene trigonometrijske jednačine prvog stepena.

Jednačine oblika

homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena.

Da biste riješili homogenu trigonometrijsku jednačinu prvog stepena, podijelite je sa cos(x): Ne možete dijeliti kosinusom ako je jednak nuli, uvjerimo se da to nije slučaj:
Neka je cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ali sinus i kosinus nisu jednaki nuli u isto vrijeme, dobijamo kontradikciju, tako da možemo sigurno podijeliti po nuli.

Riješite jednačinu:
Primjer: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Rješenje:

Izvadimo zajednički faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Zatim moramo riješiti dvije jednačine:

Cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 na x= π/2 + πk;

Razmotrite jednačinu cos(x)+sin(x)=0 Podijelite našu jednačinu sa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Kako riješiti homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena?
Ljudi, uvek se pridržavajte ovih pravila!

1. Pogledajte čemu je koeficijent a jednak, ako je a=0 onda će naša jednadžba dobiti oblik cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), čiji je primjer rješenja na prethodnom slajdu

2. Ako je a≠0, tada trebate podijeliti obje strane jednadžbe sa kosinusom na kvadrat, dobićemo:

Mijenjamo varijablu t=tg(x) i dobijamo jednačinu:

Riješi primjer br.:3

Riješite jednačinu:
Rješenje:

Podijelimo obje strane jednadžbe kosinusnim kvadratom:

Mijenjamo varijablu t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: t=-3 i t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Riješi primjer br.:4

Riješite jednačinu:

Rješenje:
Transformirajmo naš izraz:

Možemo riješiti takve jednačine: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Riješi primjer br.:5

Riješite jednačinu:

Rješenje:
Transformirajmo naš izraz:

Hajde da uvedemo zamjenu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijeni: t=-2 i t=1/2

Tada dobijamo: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemi za samostalno rješavanje.

1) Riješite jednačinu

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riješite jednačine: sin(3x)= √3/2. I pronađite sve korijene na segmentu [π/2; π].

3) Riješite jednačinu: krevetac 2 (x) + 2 krevetac (x) + 1 =0

4) Riješite jednačinu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Riješite jednačinu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Riješite jednačinu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Zahtijeva poznavanje osnovnih formula trigonometrije - zbira kvadrata sinusa i kosinusa, izraza tangente kroz sinus i kosinus i dr. Za one koji su ih zaboravili ili ih ne znaju, preporučujemo da pročitaju članak "".
Dakle, znamo osnovne trigonometrijske formule, vrijeme je da ih iskoristimo u praksi. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi at pravi pristup- prilično uzbudljiva aktivnost, poput, na primjer, rješavanja Rubikove kocke.

Na osnovu samog naziva jasno je da je trigonometrijska jednačina jednačina u kojoj je nepoznata pod znakom trigonometrijske funkcije.
Postoje takozvane najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Evo kako izgledaju: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Hajde da razmotrimo kako riješiti takve trigonometrijske jednadžbe, radi jasnoće ćemo koristiti već poznati trigonometrijski krug.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

krevetac x = a

Svaka trigonometrijska jednadžba se rješava u dvije faze: svodimo jednačinu na njen najjednostavniji oblik, a zatim je rješavamo kao jednostavnu trigonometrijsku jednadžbu.
Postoji 7 glavnih metoda pomoću kojih se rješavaju trigonometrijske jednačine.

1. Zamjena varijable i metoda zamjene

Riješite jednačinu 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Koristeći formule redukcije dobijamo:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Zamijenite cos(x + /6) sa y da pojednostavite i dobijete uobičajenu kvadratnu jednačinu:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Korijeni su y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sada idemo obrnutim redoslijedom

Zamjenjujemo pronađene vrijednosti y i dobijamo dvije opcije odgovora:

2. Rješavanje trigonometrijskih jednačina kroz faktorizaciju

Kako riješiti jednačinu sin x + cos x = 1?

Pomaknimo sve ulijevo tako da 0 ostane na desnoj strani:

sin x + cos x – 1 = 0

Upotrijebimo gore navedene identitete da pojednostavimo jednačinu:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Rastavimo na faktore:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Dobijamo dvije jednačine

3. Redukcija na homogenu jednačinu

Jednačina je homogena u odnosu na sinus i kosinus ako su svi njeni članovi relativni na sinus i kosinus iste snage istog ugla. Da biste riješili homogenu jednačinu, postupite na sljedeći način:

a) prebaci sve svoje članove na lijevu stranu;

b) izvaditi sve zajedničke faktore iz zagrada;

c) izjednačiti sve faktore i zagrade sa 0;

d) primljeno u zagradama homogena jednačina u manjem stepenu, zauzvrat se deli na sinus ili kosinus do najvišeg stepena;

e) riješiti rezultirajuću jednačinu za tg.

Riješite jednačinu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Upotrijebimo formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 i riješimo se otvorene dvije na desnoj strani:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Podijelite sa cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Zamijenite tan x sa y i dobijete kvadratnu jednačinu:

y 2 + 4y +3 = 0, čiji su korijeni y 1 =1, y 2 = 3

Odavde nalazimo dva rješenja originalne jednadžbe:

x 2 = arktan 3 + k

4. Rješavanje jednadžbi kroz prijelaz na poluugao

Riješite jednačinu 3sin x – 5cos x = 7

Idemo na x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Pomerimo sve ulevo:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Podijelite sa cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Uvođenje pomoćnog ugla

Za razmatranje, uzmimo jednačinu oblika: a sin x + b cos x = c,

gdje su a, b, c neki proizvoljni koeficijenti, a x je nepoznanica.

Podijelimo obje strane jednačine sa:



Sada koeficijenti jednačine prema trigonometrijske formule imaju svojstva sin i cos, i to: njihov modul nije veći od 1 i zbir kvadrata = 1. Označimo ih kao cos i sin, gdje je - to je takozvani pomoćni ugao. Tada će jednačina poprimiti oblik:

cos * sin x + sin * cos x = C

ili sin(x + ) = C

Rješenje ove najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe je

x = (-1) k * arcsin C - + k, gdje je



Treba napomenuti da su oznake cos i sin zamjenjive.

Riješite jednačinu sin 3x – cos 3x = 1

Koeficijenti u ovoj jednačini su:

a = , b = -1, pa podijelite obje strane sa = 2

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo nam omogućavaju da vas kontaktiramo i informišemo o tome jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi, u skladu sa zakonom, sudski postupak, u pravnom postupku, i/ili na osnovu javnih upita ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Nije tajna da uspjeh ili neuspjeh u procesu rješavanja gotovo svakog problema uglavnom ovisi o ispravnoj definiciji vrste zadata jednačina, kao i iz tačne reprodukcije slijeda svih faza njegovog rješenja. Međutim, u slučaju trigonometrijskih jednadžbi, određivanje činjenice da je jednadžba trigonometrijska nije nimalo teško. Ali u procesu određivanja redoslijeda radnji koje bi nas trebale dovesti do tačnog odgovora možemo naići na određene poteškoće. Hajde da shvatimo kako pravilno riješiti trigonometrijske jednadžbe od samog početka.

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi

Da biste riješili trigonometrijsku jednačinu, morate isprobati sljedeće točke:

• Sve funkcije koje su uključene u našu jednadžbu svodimo na “identične uglove”;
• Zadatu jednačinu potrebno je dovesti na „identične funkcije“;
• Lijevu stranu date jednadžbe razlažemo na faktore ili druge potrebne komponente.

Metode

Metoda 1. Takve jednačine se moraju rješavati u dvije faze. Prvo transformiramo jednačinu kako bismo dobili njen najjednostavniji (pojednostavljeni) oblik. Jednadžba: Cosx = a, Sinx = a i slične se nazivaju najjednostavnijim trigonometrijskim jednadžbama. Druga faza je rješavanje najjednostavnije dobivene jednačine. Treba napomenuti da se najjednostavnija jednačina može riješiti algebarskom metodom, koja nam je dobro poznata iz školskog kursa algebre. Naziva se i metodom zamjene i zamjene varijabli. Koristeći formule redukcije, prvo trebate transformirati, zatim izvršiti zamjenu, a zatim pronaći korijene.

Zatim, trebamo faktorizirati našu jednačinu u moguće faktore; da bismo to učinili, moramo pomaknuti sve članove ulijevo i onda to možemo faktorisati. Sada moramo ovu jednačinu dovesti do homogene, u kojoj su svi članovi jednaki u istom stepenu, a kosinus i sinus imaju isti ugao.

Prije rješavanja trigonometrijskih jednadžbi, potrebno je pomjeriti njene članove na lijevu stranu, uzimajući ih s desne strane, a zatim sve zajedničke nazivnike staviti iz zagrada. Izjednačavamo naše zagrade i faktore sa nulom. Naše izjednačene zagrade predstavljaju homogenu jednačinu sa redukovanim stepenom, koji se mora podijeliti sa sin (cos) do najvišeg stepena. Sada rješavamo algebarsku jednačinu koja je dobijena u odnosu na tan.

Metoda 2. Druga metoda kojom možete riješiti trigonometrijsku jednačinu je prelazak na polovični ugao. Na primjer, rješavamo jednačinu: 3sinx-5cosx=7.

Moramo ići na polovični ugao, u našem slučaju to je: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+ 7cos²(x /2). I nakon toga sve članove svedemo u jedan dio (zbog pogodnosti, bolje je izabrati pravi) i nastavljamo rješavati jednačinu.

Ako je potrebno, možete unijeti pomoćni ugao. To se radi u slučaju kada trebate zamijeniti cjelobrojnu vrijednost sin (a) ili cos (a), a znak "a" služi samo kao pomoćni ugao.

Proizvod za sumiranje

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe koristeći proizvod za zbrajanje? Metoda poznata kao konverzija proizvoda u zbir također se može koristiti za rješavanje takvih jednačina. U ovom slučaju potrebno je koristiti formule koje odgovaraju jednadžbi.

Na primjer, imamo jednačinu: 2sinx * sin3x= sos4x

Ovaj problem moramo riješiti pretvaranjem lijeve strane u zbir, i to:

sos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Ako gore navedene metode nisu prikladne, a još uvijek ne znate kako riješiti jednostavne trigonometrijske jednadžbe, možete koristiti drugu metodu - univerzalnu supstituciju. Može se koristiti za transformaciju izraza i za zamjenu. Na primjer: Cos(x/2)=u. Sada možete riješiti jednačinu sa postojećim parametrom u. I nakon što ste dobili željeni rezultat, ne zaboravite ovu vrijednost pretvoriti u suprotnu.

Mnogi „iskusni“ studenti savjetuju da zamolite ljude da rješavaju jednačine na mreži. Pitate se kako riješiti trigonometrijsku jednačinu na mreži. Za online rješenja zadataka, možete otići na forume o relevantnim temama, gdje vam mogu pomoći savjetom ili u rješavanju problema. Ali najbolje je pokušati to učiniti sami.

Vještine i sposobnosti rješavanja trigonometrijskih jednačina su veoma važne i korisne. Njihov razvoj će od vas zahtijevati znatan trud. Mnogi problemi iz fizike, stereometrije, itd. povezani su sa rješavanjem takvih jednačina. A sam proces rješavanja takvih problema pretpostavlja prisustvo vještina i znanja koja se mogu steći proučavajući elemente trigonometrije.

Učenje trigonometrijskih formula

U procesu rješavanja jednadžbe možete naići na potrebu korištenja bilo koje formule iz trigonometrije. Možete ga, naravno, početi tražiti u svojim udžbenicima i varalicama. A ako su ove formule pohranjene u vašoj glavi, ne samo da ćete uštedjeti svoje živce, već ćete i znatno olakšati svoj zadatak, bez gubljenja vremena na traženje potrebne informacije. Tako ćete imati priliku da razmislite o najracionalnijem načinu rješavanja problema.

Povratak