Obični razlomci prvi put se susreću sa školarcima u 5. razredu i prate ih kroz život, jer je u svakodnevnom životu često potrebno posmatrati ili koristiti predmet ne kao cjelinu, već u zasebnim dijelovima. Počnite proučavati ovu temu - dijeli. Udjeli su jednaki dijelovi, na koje je podijeljen ovaj ili onaj objekt. Uostalom, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, dužinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj; treba uzeti u obzir dijelove ili razlomke neke mjere. Nastala od glagola "razdvojiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, sama riječ "frakcija" nastala je u ruskom jeziku u 8. stoljeću.
Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežom granom matematike. U 17. veku, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, zvali su se „razbijeni brojevi“, što je ljudima bilo veoma teško razumeti.
Moderan izgled jednostavne razlomke, čiji su dijelovi odvojeni vodoravnom linijom, prvi je promovirao Fibonacci - Leonardo iz Pize. Njegova djela datiraju se u 1202. godinu. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako se miješani razlomci s različitim nazivnicima množe.
Množenje razlomaka sa različitim nazivnicima
U početku je vrijedno odrediti vrste frakcija:
- ispravan;
- netačno;
- mješovito.
Zatim morate zapamtiti kako se množe razlomci isti imenioci. Samo pravilo ovog procesa je lako formulisati nezavisno: rezultat množenja prosti razlomci sa istim nazivnicima je frakcijski izraz, čiji je brojilac proizvod brojilaca, a nazivnik je proizvod nazivnika ovih razlomaka. Naime, novi nazivnik je kvadrat jednog od prvobitno postojećih.
Prilikom množenja prosti razlomci sa različitim nazivnicima za dva ili više faktora pravilo se ne mijenja:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Jedina razlika je u tome što će formirani broj ispod razlomka biti proizvod različitih brojeva i, naravno, ne može se nazvati kvadratom jednog numeričkog izraza.
Vrijedi razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Primjeri koriste metode za smanjenje frakcijskih izraza. Brojeve brojioca možete smanjiti samo brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod linije razlomaka ne mogu se smanjiti.
Uz jednostavne razlomke postoji koncept miješanih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog broja i razlomka, to jest, to je zbir ovih brojeva:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Kako funkcionira množenje?
Nekoliko primjera je dato za razmatranje.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Primjer koristi množenje broja sa obični razlomak, pravilo za ovu radnju se može napisati kao:
a* b/c = a*b /c.
U stvari, takav proizvod je zbir identičnih razlomaka, a broj članova označava ovaj prirodni broj. Poseban slučaj:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Postoji još jedno rješenje za množenje broja s razlomkom ostatka. Vi samo trebate podijeliti imenilac ovim brojem:
d* e/f = e/f: d.
Ovu tehniku je korisno koristiti kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, cijelim brojem.
Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke i dobijete proizvod na prethodno opisan način:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ovaj primjer uključuje način predstavljanja mješovitog razlomka kao nepravilan razlomak, također se može predstaviti kao opšta formula:
a bc = a*b+ c / c, pri čemu se imenilac novog razlomka formira množenjem cijelog dijela sa nazivnikom i dodavanjem brojnika originalnog razlomka, a imenilac ostaje isti.
Ovaj proces takođe funkcioniše u poleđina. Da biste razdvojili cijeli dio i razlomak ostatak, morate podijeliti brojnik nepravilnog razlomka sa nazivnikom pomoću "ugla".
Množenje nepravilnih razlomaka proizvedeno na opšteprihvaćen način. Kada pišete pod jednom linijom razlomaka, morate po potrebi smanjiti razlomke kako biste smanjili brojeve pomoću ove metode i olakšali izračunavanje rezultata.
Na internetu postoji mnogo pomagača za rješavanje čak i složenih matematičkih problema razne varijacije programe. Dovoljan broj ovakvih servisa nudi svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka sa različiti brojevi u nazivnicima - takozvani online kalkulatori za računanje razlomaka. Oni su u stanju ne samo da množe, već i da izvode sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mešoviti brojevi. Nije teško raditi, popunite odgovarajuća polja na stranici web stranice, odaberete znak matematičke operacije i kliknete na "izračunaj". Program izračunava automatski.
Predmet aritmetičke operacije sa frakcijskim brojevima relevantno je u obrazovanju učenika srednjih i srednjih škola. U srednjoj školi više ne smatraju najjednostavnije vrste, već cijeli frakcioni izrazi , ali poznavanje pravila za transformaciju i proračune dobijeno ranije se primjenjuje u izvornom obliku. Dobro savladano osnovno znanje daje potpuno povjerenje u uspješna odluka većina složeni zadaci.
U zaključku, ima smisla citirati riječi Lava Nikolajeviča Tolstoja, koji je napisao: „Čovjek je razlomak. Nije u moći osobe da poveća svoj brojilac – svoje zasluge – ali svako može smanjiti svoj imenilac – svoje mišljenje o sebi, i sa tim smanjenjem se približiti svom savršenstvu.
Prošli put smo naučili kako sabirati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju “Sabiranje i oduzimanje razlomaka”). Većina težak trenutak te akcije su uključivale dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.
Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije još jednostavnije od sabiranja i oduzimanja. Prvo, razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez odvojenog cijelog broja.
Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojilac novog razlomka, a drugi imenilac.
Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutim" drugim razlomkom.
Oznaka:
Iz definicije slijedi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste "okrenuli" razlomak, samo zamijenite brojilac i imenilac. Stoga ćemo tokom čitave lekcije uglavnom razmatrati množenje.
Kao rezultat množenja, može nastati (i često nastaje) razlomak koji se može smanjiti - on se, naravno, mora smanjiti. Ako se nakon svih smanjenja razlomak pokaže netočnim, cijeli dio treba istaknuti. Ali ono što se definitivno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički imenitelj: bez unakrsnih metoda, najvećih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.
Po definiciji imamo:
Množenje razlomaka cijelim i negativnim razlomcima
Ako razlomci sadrže cijeli broj, moraju se pretvoriti u nepravilne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.
Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izbaciti iz množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:
- Plus po minus daje minus;
- Dva negativa čine potvrdno.
Do sada su se ova pravila susretala samo pri sabiranju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno riješiti se cijelog dijela. Za djelo se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko nedostataka odjednom:
- Negative precrtavamo u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnim slučajevima može preživjeti jedan minus – onaj za koji nije bilo partnera;
- Ako nema nikakvih minusa, operacija je završena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan jer za njega nije bilo para, uzimamo ga izvan granica množenja. Rezultat je negativan razlomak.
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Sve razlomke pretvaramo u nepravilne, a zatim iz množenja izvlačimo minuse. Ono što je preostalo množimo po uobičajenim pravilima. Dobijamo:
Da vas još jednom podsjetim da se minus koji se pojavljuje ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na cijeli njegov dio (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).
Također imajte na umu negativni brojevi: Prilikom množenja, oni su zatvoreni u zagradama. To je učinjeno kako bi se minusi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio precizniji.
Smanjenje frakcija u hodu
Množenje je vrlo radno intenzivna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da pojednostavite problem, možete pokušati dodatno smanjiti razlomak prije množenja. Zaista, u suštini, brojnici i imenioci razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu smanjiti koristeći osnovno svojstvo razlomka. Pogledajte primjere:
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Po definiciji imamo:
U svim primjerima, brojevi koji su smanjeni i ono što je ostalo od njih su označeni crvenom bojom.
Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Na njihovom mjestu ostaju jedinice koje, općenito govoreći, ne treba pisati. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali se ukupan iznos proračuna ipak smanjio.
Međutim, nikada nemojte koristiti ovu tehniku kada dodajete i oduzimate razlomke! Da, ponekad postoje slični brojevi koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:
Ne možete to učiniti!
Greška nastaje jer pri sabiranju brojnik razlomka daje zbroj, a ne proizvod brojeva. Shodno tome, nemoguće je primijeniti osnovno svojstvo razlomka, jer se ovo svojstvo posebno bavi množenjem brojeva.
Drugih razloga za smanjenje razlomaka jednostavno nema, dakle ispravno rješenje prethodni zadatak izgleda ovako:
Ispravno rješenje:
Kao što vidite, ispostavilo se da tačan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.
Množenje i dijeljenje razlomaka.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Ova operacija je mnogo ljepša od sabiranja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećamo, da biste pomnožili razlomak razlomkom, morate pomnožiti brojioce (ovo će biti brojilac rezultata) i nazivnike (ovo će biti imenilac). To je:
Na primjer:
Sve je krajnje jednostavno. I molim vas ne tražite zajednički imenitelj! Nema potrebe za njim ovde...
Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate obrnuti sekunda(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:
Na primjer:
Ako naiđete na množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima, u redu je. Kao i kod sabiranja, pravimo razlomak od cijelog broja sa jedan u nazivniku - i samo naprijed! Na primjer:
U srednjoj školi često morate da imate posla sa trospratnim (ili čak četvorospratnim!) razlomcima. Na primjer:
Kako mogu učiniti da ovaj razlomak izgleda pristojno? Da, vrlo jednostavno! Koristite podjelu na dvije tačke:
Ali ne zaboravite na redoslijed podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali lako je pogriješiti u trospratnom razlomku. Imajte na umu na primjer:
U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):
U drugom (izraz desno):
Osjećate li razliku? 4 i 1/9!
Šta određuje redoslijed podjele? Ili sa zagradama, ili (kao ovde) sa dužinom horizontalnih linija. Razvijte svoje oko. A ako nema zagrada ili crtica, kao:
zatim podijeli i pomnoži redom, s lijeva na desno!
I takođe vrlo jednostavno i važna tehnika. U akcijama sa diplomama, to će vam biti od velike koristi! Podijelimo jedan bilo kojim razlomkom, na primjer, sa 13/15:
Šut se preokrenuo! I to se uvijek dešava. Kada se 1 podijeli bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo naopako.
To je to za operacije sa razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Bilješka praktični saveti, i biće ih manje (greške)!
Praktični savjeti:
1. Najvažnija stvar pri radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja! Ovo nisu opšte reči, nisu dobre želje! Ovo strašna potreba! Uradite sve proračune na Jedinstvenom državnom ispitu kao potpuni zadatak, fokusiran i jasan. Bolje je da napišete dva dodatna reda u nacrtu nego da zabrljate dok radite mentalne proračune.
2. U primjerima sa različite vrste razlomci - idite na obične razlomke.
3. Smanjujemo sve razlomke dok se ne zaustave.
4. Razlomačke izraze na više nivoa svodimo na obične dijeljenjem kroz dvije tačke (pratimo redoslijed dijeljenja!).
5. Podijelite jedinicu s razlomkom u svojoj glavi, jednostavno okrećući razlomak.
Evo zadataka koje svakako morate obaviti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale na ovu temu i praktične savjete. Procijenite koliko ste primjera uspjeli točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...
Zapamtite - tačan odgovor je primljeno od drugog (naročito trećeg) puta se ne računa! Takav je surov život.
dakle, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, već priprema za Jedinstveni državni ispit. Rešavamo primer, proveravamo ga, rešavamo sledeći. Odlučili smo sve - ponovo provjerili od prvog do posljednjeg. Ali samo Onda pogledajte odgovore.
Izračunati:
Jeste li odlučili?
Tražimo odgovore koji odgovaraju vašima. Namerno sam ih zapisivao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, ispisanih tačkom i zarezom.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo, drago mi je zbog tebe! Osnovni proračuni sa razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne...
Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješivo Problemi.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Da biste ispravno pomnožili razlomak razlomkom ili razlomak brojem, morate znati jednostavna pravila. Sada ćemo detaljno analizirati ova pravila.
Množenje običnog razlomka s razlomkom.
Da biste razlomak pomnožili razlomkom, morate izračunati proizvod brojilaca i umnožaka nazivnika ovih razlomaka.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \puts c)(b \puts d)\\\)
Pogledajmo primjer:
Množimo brojilac prvog razlomka sa brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka množimo i imeniocem drugog razlomka.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ puta 3)(7 \puta 3) = \frac(4)(7)\\\)
Razlomak \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \puts 3) = \frac(4)(7)\\\) smanjen je za 3.
Množenje razlomka brojem.
Prvo, zapamtimo pravilo, bilo koji broj se može predstaviti kao razlomak \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Koristimo ovo pravilo prilikom množenja.
\(5 \ puta \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Nepravilan razlomak \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pretvoreno u mješoviti razlomak.
Drugim riječima, Kada broj množimo razlomkom, množimo broj sa brojnikom i imenilac ostavljamo nepromijenjen. primjer:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Množenje mješovitih razlomaka.
Da biste pomnožili mješovite razlomke, prvo morate svaki mješoviti razlomak predstaviti kao nepravilan razlomak, a zatim koristiti pravilo množenja. Množimo brojilac sa brojicom, a nazivnik množimo sa imeniocem.
primjer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ puta 6) = \frac(3 \puta \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Množenje recipročnih razlomaka i brojeva.
Razlomak \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzan razlomku \(\bf \frac(b)(a)\), pod uvjetom da je a≠0,b≠0.
Razlomci \(\bf \frac(a)(b)\) i \(\bf \frac(b)(a)\) nazivaju se recipročni razlomci. Proizvod recipročnih razlomaka jednak je 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
primjer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Povezana pitanja:
Kako pomnožiti razlomak sa razlomkom?
Odgovor: rad obične frakcije je množenje brojioca sa brojicom, imenioca sa imeniocem. Da biste dobili proizvod miješanih razlomaka, trebate ih pretvoriti u nepravilan razlomak i pomnožiti prema pravilima.
Kako pomnožiti razlomke sa različitim nazivnicima?
Odgovor: nije bitno da li su isti ili različiti imenioci Za razlomke, množenje se događa prema pravilu pronalaženja proizvoda brojnika sa brojiocem, nazivnika sa nazivnikom.
Kako pomnožiti miješane razlomke?
Odgovor: prije svega, trebate pretvoriti mješoviti razlomak u nepravilan razlomak, a zatim pronaći proizvod koristeći pravila množenja.
Kako pomnožiti broj sa razlomkom?
Odgovor: množimo broj sa brojicom, ali imenilac ostavljamo isti.
Primjer #1:
Izračunajte proizvod: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Rješenje:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \puts 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( crvena) (5))(3 \puta \color(crvena) (5) \puta 13) = \frac(4)(39)\)
Primjer #2:
Izračunaj umnožak broja i razlomka: a) \(3 \puta \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \puta 11\)
Rješenje:
a) \(3 \puta \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Primjer #3:
Napisati recipročnu vrijednost razlomka \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)
Primjer #4:
Izračunajte umnožak dva recipročna razlomka: a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104)\)
Rješenje:
a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104) = 1\)
Primjer #5:
Mogu li recipročni razlomci biti:
a) istovremeno sa pravim razlomcima;
b) istovremeno nepravilni razlomci;
c) istovremeno prirodni brojevi?
Rješenje:
a) da bismo odgovorili na prvo pitanje, dajmo primjer. Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravilan, njegov inverzni razlomak će biti jednak \(\frac(3)(2)\) - nepravilan razlomak. Odgovor: ne.
b) u skoro svim nabrajanjima razlomaka ovaj uslov nije ispunjen, ali postoje neki brojevi koji ispunjavaju uslov da su istovremeno nepravilni razlomak. Na primjer, nepravilan razlomak je \(\frac(3)(3)\), njegov inverzni razlomak je jednak \(\frac(3)(3)\). Dobijamo dva nepravilna razlomka. Odgovor: ne uvek određenim uslovima kada su brojnik i imenilac jednaki.
c) prirodni brojevi su brojevi koje koristimo prilikom brojanja, na primjer, 1, 2, 3, …. Ako uzmemo broj \(3 = \frac(3)(1)\), tada će njegov inverzni razlomak biti \(\frac(1)(3)\). Razlomak \(\frac(1)(3)\) nije prirodan broj. Ako prođemo kroz sve brojeve, recipročna vrijednost broja je uvijek razlomak, osim 1. Ako uzmemo broj 1, onda će njegov recipročni razlomak biti \(\frac(1)(1) = \frac(1) )(1) = 1\). Broj 1 je prirodan broj. Odgovor: oni mogu istovremeno biti prirodni brojevi samo u jednom slučaju, ako je to broj 1.
Primjer #6:
Uradite umnožak mješovitih razlomaka: a) \(4 \puta 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \puta 3\frac(2)(7)\ )
Rješenje:
a) \(4 \puta 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Primjer #7:
Može dva međusobno recipročni brojevi biti mješoviti brojevi u isto vrijeme?
Pogledajmo primjer. Uzmimo mješoviti razlomak \(1\frac(1)(2)\), pronađemo njegov inverzni razlomak, da bismo to učinili pretvaramo ga u nepravilan razlomak \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Njegov inverzni razlomak će biti jednak \(\frac(2)(3)\) . Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravi razlomak. Odgovor: Dva razlomka koja su međusobno inverzna ne mogu biti mješoviti brojevi u isto vrijeme.