เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ ในด้านเรขาคณิต กลศาสตร์ ฟิสิกส์ และความรู้สาขาอื่นๆ ความต้องการเกิดขึ้นโดยใช้กระบวนการวิเคราะห์เดียวกันจากฟังก์ชันนี้ y=ฉ(x)รับฟังก์ชั่นใหม่ที่เรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์(หรือเพียงแค่ อนุพันธ์) ของฟังก์ชันที่กำหนด f(x)และถูกกำหนดด้วยสัญลักษณ์

กระบวนการที่มาจากฟังก์ชันที่กำหนด ฉ(x)รับคุณสมบัติใหม่ ฉ" (x), เรียกว่า ความแตกต่างและประกอบด้วย 3 ขั้นตอนดังนี้ 1) ให้ข้อโต้แย้ง xเพิ่มขึ้น  xและกำหนดส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน  y = ฉ(x+ x) -ฉ(x)-

2) สร้างความสัมพันธ์ x 3) การนับ  xคงที่และ
0, เราหาได้ ฉ" (x)ซึ่งเราแสดงโดย xราวกับว่าเน้นว่าฟังก์ชันผลลัพธ์นั้นขึ้นอยู่กับค่าเท่านั้น ซึ่งเราไปถึงขีดจำกัดแล้ว: คำนิยาม อนุพันธ์ y " =f " (x) ฟังก์ชันที่กำหนด y=f(x)สำหรับ x ที่กำหนด
เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ โดยมีเงื่อนไขว่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ถ้าแน่นอน มีขีดจำกัดนี้อยู่ เช่น มีจำกัด ดังนั้น,

, หรือ xโปรดทราบว่าหากมีค่าบางอย่าง เช่น เมื่อใด x=ก
, ทัศนคติ  xที่ ฉ(x)0 ไม่มีแนวโน้มไปที่ขีดจำกัดอันจำกัด ในกรณีนี้ เขาจะบอกว่าฟังก์ชันนั้น เช่น เมื่อใดที่ เช่น เมื่อใด(หรือตรงจุด. เช่น เมื่อใด.

) ไม่มีอนุพันธ์หรือหาอนุพันธ์ ณ จุดนั้นไม่ได้

2. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ฉ(x)

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ในบริเวณใกล้กับจุด x 0

ลองพิจารณาเส้นตรงใดๆ ที่ผ่านจุดบนกราฟของฟังก์ชัน - จุด A(x 0, f (x 0)) และตัดกราฟที่จุดใดจุดหนึ่ง B(x;f(x)) เส้นตรงดังกล่าว (AB) เรียกว่าเส้นตัด จาก ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x ตั้งแต่ AC || Ox แล้ว ALO = BAC = β (สอดคล้องกับขนาน) แต่ ALO คือมุมเอียงของเส้นตัด AB กับทิศทางบวกของแกน Ox ซึ่งหมายความว่าtanβ = k -ความลาดชัน

เอบีตรง

ตอนนี้เราจะลด ∆x นั่นคือ ∆х→ 0 ในกรณีนี้ จุด B จะเข้าใกล้จุด A ตามกราฟ และเส้นตัด AB จะหมุน ตำแหน่งจำกัดของเส้นตัด AB ที่ ∆x→ 0 จะเป็นเส้นตรง (a) เรียกว่าแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด A
ถ้าเราไปถึงขีดจำกัดเป็น ∆x → 0 ในความเท่าเทียมกัน tgβ =∆y/∆x เราจะได้
ortg =f "(x 0) เนื่องจาก
ตามคำนิยามของอนุพันธ์ แต่ tg = k คือสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์ซึ่งหมายถึง k = tg = f "(x 0)

ดังนั้น ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์จึงเป็นดังนี้:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่วาดที่จุดด้วย abscissa x 0 .

3. ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์

พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดตามแนวเส้นตรง ให้พิกัดของจุด ณ เวลาใดก็ได้ x(t) เป็นที่ทราบกันดี (จากหลักสูตรฟิสิกส์) ว่าความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่งเท่ากับอัตราส่วนของระยะทางที่เดินทางในช่วงเวลานี้ต่อเวลา กล่าวคือ

วาฟ = ∆x/∆t ไปที่ขีดจำกัดของความเสมอภาคสุดท้ายด้วย ∆t → 0

ลิม วาฟ (t) = (t 0) - ความเร็วทันทีณ เวลา เสื้อ 0, ∆t → 0

และ lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์)

ดังนั้น (t) =x"(t)

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์มีดังนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันย = ฉ(x) ณ จุดนั้นx 0 คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันฉ(x) ณ จุดนั้นx 0

อนุพันธ์นี้ใช้ในฟิสิกส์เพื่อค้นหาความเร็วจากฟังก์ชันที่ทราบของพิกัดเทียบกับเวลา ความเร่งจากฟังก์ชันที่ทราบของความเร็วเทียบกับเวลา

(t) = x"(t) - ความเร็ว

a(f) = "(t) - ความเร่งหรือ

หากทราบกฎการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุในวงกลม เราสามารถหาความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนได้:

φ = φ(t) - การเปลี่ยนแปลงมุมเมื่อเวลาผ่านไป

ω = φ"(t) - ความเร็วเชิงมุม

ε = φ"(t) - ความเร่งเชิงมุมหรือ ε = φ"(t)

หากทราบกฎการกระจายมวลของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ก็จะสามารถหาความหนาแน่นเชิงเส้นของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันได้:

ม. = ม.(x) - มวล

x  , ล. - ความยาวของไม้เรียว

p = m"(x) - ความหนาแน่นเชิงเส้น

เมื่อใช้อนุพันธ์ ปัญหาจากทฤษฎีความยืดหยุ่นและการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกจะได้รับการแก้ไข ดังนั้นตามกฎของฮุค

F = -kx, x – พิกัดตัวแปร, k – สัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นของสปริง เมื่อ ω 2 =k/m เราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ของลูกตุ้มสปริง x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

โดยที่ ω = √k/√m ความถี่การสั่น (l/c), k คือความแข็งของสปริง (H/m)

สมการของรูปแบบ y" + ω 2 y = 0 เรียกว่าสมการของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก (เครื่องกล, ไฟฟ้า, แม่เหล็กไฟฟ้า) วิธีแก้สมการดังกล่าวคือฟังก์ชัน

y = Asin(ωt + φ 0) หรือ y = Acos(ωt + φ 0) โดยที่

เอ - แอมพลิจูดของการแกว่ง, ω - ความถี่ไซคลิก

φ 0 - เฟสเริ่มต้น

การดำเนินการค้นหาอนุพันธ์เรียกว่าอนุพันธ์

จากการแก้ปัญหาในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด (และไม่ง่ายนัก) โดยการกำหนดอนุพันธ์เป็นขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ตารางอนุพันธ์จึงปรากฏขึ้นและแน่นอน กฎบางอย่างความแตกต่าง คนแรกที่ทำงานในด้านการค้นหาอนุพันธ์คือ Isaac Newton (1643-1727) และ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

ดังนั้นในยุคของเราในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ดังกล่าวข้างต้นของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แต่คุณเพียงต้องใช้ตารางของ อนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง อัลกอริธึมต่อไปนี้เหมาะสำหรับการค้นหาอนุพันธ์

เพื่อหาอนุพันธ์คุณต้องมีนิพจน์ใต้เครื่องหมายเฉพาะ แบ่งฟังก์ชันง่ายๆ ออกเป็นส่วนประกอบต่างๆและกำหนดการกระทำใด (ผลิตภัณฑ์ ผลรวม ผลหาร)ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน อนุพันธ์เพิ่มเติม ฟังก์ชันเบื้องต้นเราพบในตารางอนุพันธ์ และสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ ผลรวม และผลหารอยู่ในกฎของการสร้างความแตกต่าง ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างจะได้รับหลังจากสองตัวอย่างแรก

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. จากกฎการหาความแตกต่าง เราพบว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เช่น

จากตารางอนุพันธ์ เราพบว่าอนุพันธ์ของ "x" เท่ากับ 1 และอนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์ เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นผลรวมของอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราแยกความแตกต่างเป็นอนุพันธ์ของผลรวมโดยที่เทอมที่สองมีปัจจัยคงที่ สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

หากยังคงมีคำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับที่มาของบางสิ่ง คำถามเหล่านี้มักจะถูกกระจ่างหลังจากทำความคุ้นเคยกับตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่ง่ายที่สุด เรากำลังดำเนินการไปหาพวกเขาในขณะนี้

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (ตัวเลข) ตัวเลขใดๆ (1, 2, 5, 200...) ที่อยู่ในนิพจน์ฟังก์ชัน เท่ากับศูนย์เสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องจำไว้เนื่องจากต้องใช้บ่อยมาก
2. อนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ ส่วนใหญ่มักจะเป็น "X" เท่ากับหนึ่งเสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้เป็นเวลานาน
3. อนุพันธ์ของปริญญา เมื่อแก้ไขปัญหา คุณต้องแปลงรากที่ไม่ใช่กำลังสองให้เป็นกำลัง
4. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลัง -1
5. อนุพันธ์ รากที่สอง
6. อนุพันธ์ของไซน์
7. อนุพันธ์ของโคไซน์
8. อนุพันธ์ของแทนเจนต์
9. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
10. อนุพันธ์ของอาร์คไซน์
11. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
12. อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์
13. อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
14. อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ
15. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
16. อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
17. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กฎของความแตกต่าง

1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือผลต่าง
2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
2ก. อนุพันธ์ของนิพจน์คูณด้วยตัวประกอบคงที่
3. อนุพันธ์ของผลหาร
4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

กฎข้อที่ 1ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง จากนั้นฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้

ผลที่ตามมา หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันต่างกันด้วยเทอมคงที่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งสองจะเท่ากัน, เช่น.

กฎข้อที่ 2ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง แล้วผลิตภัณฑ์ของเขาก็หาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้กับอนุพันธ์ของอีกฟังก์ชันหนึ่ง

ข้อพิสูจน์ 1. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

ข้อพิสูจน์ 2. อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันอนุพันธ์หลายฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัยและอื่นๆ ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวคูณสามตัว:

กฎข้อที่ 3ถ้าฟังก์ชั่น

แยกแยะได้ในบางจุด และ , เมื่อถึงจุดนี้ความฉลาดของพวกมันก็สามารถหาอนุพันธ์ได้เช่นกันคุณ/วี และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วน โดยตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของ อดีตตัวเศษ

จะค้นหาสิ่งต่าง ๆ ในหน้าอื่นได้ที่ไหน

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารในปัญหาจริง จำเป็นต้องใช้กฎการสร้างความแตกต่างหลายข้อในคราวเดียวเสมอ ดังนั้น ตัวอย่างเพิ่มเติมสำหรับอนุพันธ์เหล่านี้ - ในบทความ"อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารของฟังก์ชัน".

ความคิดเห็นคุณไม่ควรสับสนระหว่างค่าคงที่ (นั่นคือตัวเลข) ในรูปของผลรวมและตัวประกอบคงที่! ในกรณีของเทอม อนุพันธ์ของมันจะเท่ากับศูนย์ และในกรณีของตัวประกอบคงที่ อนุพันธ์ของเทอมนั้นจะถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นี้ ข้อผิดพลาดทั่วไปซึ่งเกิดขึ้นเมื่อวันที่ ชั้นต้นศึกษาอนุพันธ์ แต่ในขณะที่พวกเขาแก้ตัวอย่างหนึ่งและสองส่วนหลายตัวอย่าง นักเรียนทั่วไปจะไม่ทำผิดพลาดอีกต่อไป

และถ้าเมื่อคุณแยกแยะผลิตภัณฑ์หรือผลหาร คุณมีคำศัพท์ ยู"โวลต์, ซึ่งใน ยู- ตัวเลข เช่น 2 หรือ 5 นั่นคือค่าคงที่ จากนั้นอนุพันธ์ของตัวเลขนี้จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นพจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ (ในกรณีนี้จะกล่าวถึงในตัวอย่างที่ 10)

อื่น ข้อผิดพลาดทั่วไป - โซลูชันทางกลอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน นั่นเป็นเหตุผล อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนมีการอุทิศบทความแยกต่างหาก แต่ก่อนอื่น เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่ายๆ ก่อน

ระหว่างทาง คุณไม่สามารถทำได้โดยไม่เปลี่ยนการแสดงออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณอาจต้องเปิดคู่มือในหน้าต่างใหม่ การกระทำที่มีพลังและรากและ การดำเนินการกับเศษส่วน .

หากคุณกำลังมองหาคำตอบของอนุพันธ์ของเศษส่วนที่มีกำลังและราก นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะเช่นนี้ จากนั้นติดตามบทเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนที่มีพลังและราก”

หากคุณมีงานเช่น จากนั้น คุณจะได้เรียนรู้บทเรียน “อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย”

ตัวอย่างทีละขั้นตอน - วิธีค้นหาอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เรากำหนดส่วนของนิพจน์ฟังก์ชัน: นิพจน์ทั้งหมดแสดงถึงผลิตภัณฑ์ และปัจจัยคือผลรวม ในวินาทีที่หนึ่งในเงื่อนไขประกอบด้วยตัวประกอบคงที่ เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลคูณ: อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น:

ต่อไป เราใช้กฎการหาความแตกต่างของผลรวม: อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีของเรา ในแต่ละผลรวม เทอมที่สองจะมีเครื่องหมายลบ ในแต่ละผลรวมเราจะเห็นทั้งตัวแปรอิสระ โดยมีอนุพันธ์เท่ากับ 1 และค่าคงที่ (ตัวเลข) ซึ่งอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น "X" จะกลายเป็นหนึ่ง และลบ 5 จะกลายเป็นศูนย์ ในนิพจน์ที่สอง "x" คูณด้วย 2 ดังนั้นเราจึงคูณสองด้วยหน่วยเดียวกันกับอนุพันธ์ของ "x" เราได้รับค่าอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:

เราแทนที่อนุพันธ์ที่พบเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์และรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดตามเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของผลหาร เราใช้สูตรในการหาความแตกต่างของผลหาร: อนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชันทั้งสองมีค่าเท่ากับเศษส่วน ซึ่งตัวเศษคือความแตกต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของ ตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม เราได้รับ:

เราพบอนุพันธ์ของปัจจัยในตัวเศษในตัวอย่างที่ 2 แล้ว อย่าลืมว่าผลคูณซึ่งเป็นตัวประกอบตัวที่สองในตัวเศษในตัวอย่างปัจจุบันนั้นมีเครื่องหมายลบ:

หากคุณกำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาโดยต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันซึ่งมีรากและกำลังอย่างต่อเนื่อง เช่น แล้วยินดีต้อนรับเข้าสู่ชั้นเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนด้วยกำลังและราก” .

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และอื่นๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิตินั่นคือเมื่อฟังก์ชันดูเหมือน แล้วบทเรียนสำหรับคุณ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย" .

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลคูณ หนึ่งในปัจจัยคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยในตารางอนุพันธ์ เมื่อใช้กฎในการแยกความแตกต่างผลิตภัณฑ์และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สองเราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลหารซึ่งเงินปันผลคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ เมื่อใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหารซึ่งเราทำซ้ำและนำไปใช้ในตัวอย่างที่ 4 และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้:

หากต้องการกำจัดเศษส่วนในตัวเศษ ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว

การแนะนำ.

จริง การพัฒนาระเบียบวิธีมีไว้สำหรับนักศึกษาคณะวิศวกรรมศาสตร์อุตสาหกรรมและโยธา รวบรวมมาจากโปรแกรมรายวิชาคณิตศาสตร์ในหัวข้อ “แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว”

การพัฒนานี้เป็นแนวทางด้านระเบียบวิธีฉบับเดียว ซึ่งรวมถึง: ข้อมูลทางทฤษฎีโดยย่อ; ปัญหาและแบบฝึกหัด “มาตรฐาน” พร้อมแนวทางแก้ไขโดยละเอียดและคำอธิบายสำหรับแนวทางแก้ไขเหล่านี้ ตัวเลือกการทดสอบ

มีแบบฝึกหัดเพิ่มเติมในตอนท้ายของแต่ละย่อหน้า โครงสร้างการพัฒนานี้ทำให้เหมาะสำหรับการเรียนรู้อย่างอิสระในส่วนนี้โดยได้รับความช่วยเหลือจากครูเพียงเล็กน้อย

§1. ความหมายของอนุพันธ์

ความหมายทางกลและเรขาคณิต

อนุพันธ์

แนวคิดเรื่องอนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 การก่อตัวของแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ในอดีตมีความเกี่ยวข้องกับปัญหาสองประการ: ปัญหาความเร็วของการเคลื่อนที่แบบสลับและปัญหาเส้นสัมผัสเส้นโค้ง

ปัญหาเหล่านี้แม้จะมีเนื้อหาต่างกัน แต่ก็นำไปสู่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์แบบเดียวกันกับที่ต้องทำกับฟังก์ชันหนึ่งๆ เรียกว่าการดำเนินการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ผลลัพธ์ของการดำเนินการหาความแตกต่างเรียกว่าอนุพันธ์

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุด x0 คือขีดจำกัด (ถ้ามี) ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์
ที่
.

อนุพันธ์มักจะแสดงดังนี้:
.

ดังนั้นตามคำนิยาม

สัญลักษณ์นี้ยังใช้เพื่อแสดงอนุพันธ์อีกด้วย
.

ความหมายทางกลของอนุพันธ์

ถ้า s=s(t) คือกฎการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของจุดวัสดุ ดังนั้น
คือความเร็วของจุดนี้ ณ เวลา t

ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์

ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์อยู่ที่จุดนั้น แล้วค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น
เท่ากับ
.

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตรงจุด =2:

1) ให้มันเป็นจุด =2 เพิ่มขึ้น
- สังเกตว่า.

2) ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น =2:

3) มาสร้างอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์:

ให้เราหาลิมิตของอัตราส่วนกันที่
:

.

ดังนั้น,
.

§ 2. อนุพันธ์ของบางส่วน

ฟังก์ชั่นที่ง่ายที่สุด

นักเรียนต้องเรียนรู้วิธีการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเฉพาะ: y=x,y= และโดยทั่วไป= .

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=x กัน

เหล่านั้น. (x)'=1.

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน

อนุพันธ์

อนุญาต
แล้ว

เป็นเรื่องง่ายที่จะสังเกตเห็นรูปแบบในนิพจน์อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง
ด้วย n=1,2,3

เพราะฉะนั้น,

. (1)

สูตรนี้ใช้ได้กับ n จริงใดๆ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใช้สูตร (1) เรามี:

;

.

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

.

.

ฟังก์ชันนี้เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันของแบบฟอร์ม

ที่
.

โดยใช้สูตร (1) เรามี

.

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=sin x และ y=cos x

ให้ y=sinx

หารด้วย ∆x เราได้

เราได้ผ่านไปยังลิมิตที่ ∆x→0

ให้ y=cosx

เมื่อผ่านไปยังขีดจำกัดที่ ∆x→0 เราก็จะได้

;
. (2)

§3 กฎพื้นฐานของการสร้างความแตกต่าง

พิจารณากฎของความแตกต่าง

ทฤษฎีบท1 - ถ้าฟังก์ชัน u=u(x) และ v=v(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดที่กำหนด x ผลรวมของฟังก์ชันนี้จะหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้ และอนุพันธ์ของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของเทอม : (u+v)"=u"+v".(3 )

พิสูจน์: พิจารณาฟังก์ชัน y=f(x)=u(x)+v(x)

ส่วนเพิ่ม ∆x ของอาร์กิวเมนต์ x สอดคล้องกับส่วนเพิ่ม ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ของฟังก์ชัน u และ v จากนั้นฟังก์ชัน y จะเพิ่มขึ้น

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

เพราะฉะนั้น,

ดังนั้น (u+v)"=u"+v"

ทฤษฎีบท2. หากฟังก์ชัน u=u(x) และ v=v(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดที่กำหนด x ผลคูณของฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน ในกรณีนี้ อนุพันธ์ของผลคูณจะพบได้จากสูตรต่อไปนี้: ( ยูวี)"=u"วี+ยูวี" ( 4)

พิสูจน์: ให้ y=uv โดยที่ u และ v เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของ x ได้ ลองให้ x เพิ่มขึ้นเป็น ∆x จากนั้น คุณจะได้รับค่าเพิ่มขึ้นเป็น ∆u, v จะได้รับค่าเพิ่มขึ้นเป็น ∆v และ y จะได้รับค่าเพิ่มขึ้นเป็น ∆y

เรามี y+∆y=(u+∆u)(v+∆v) หรือ

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

ดังนั้น ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v

จากที่นี่

เมื่อผ่านไปจนถึงขีดจำกัดที่ ∆x→0 และพิจารณาว่า u และ v ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ∆x เราจะได้

ทฤษฎีบท 3- อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันมีค่าเท่ากับเศษส่วน โดยมีตัวส่วนเท่ากับกำลังสองของตัวหาร และตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของอนุพันธ์ของเงินปันผลของตัวหารกับผลคูณของ เงินปันผลตามอนุพันธ์ของตัวหาร เช่น

ถ้า
ที่
(5)

ทฤษฎีบท 4อนุพันธ์ของค่าคงที่เท่ากับศูนย์นั่นคือ ถ้า y=C โดยที่ C=const แล้ว y"=0

ทฤษฎีบท 5ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้เช่น ถ้า y=Cu(x) โดยที่ C=const แล้ว y"=Cu"(x)

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

.

ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบ
, โดยที่=x,v=cosx. เราพบการใช้กฎการสร้างความแตกต่าง (4)

.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

.

ลองใช้สูตร (5) กัน

ที่นี่
;
.

งาน

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

อนุพันธ์คืออะไร?
ความหมายและความหมายของฟังก์ชันอนุพันธ์

หลายคนจะแปลกใจกับตำแหน่งที่ไม่คาดคิดของบทความนี้ในหลักสูตรผู้เขียนของฉันเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งและการประยุกต์ ท้ายที่สุดแล้ว อย่างที่เคยเป็นมาตั้งแต่สมัยเรียน หนังสือเรียนมาตรฐานอันดับแรกเลยให้คำจำกัดความของอนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิต และความหมายทางกล ต่อไป นักเรียนจะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตามคำจำกัดความ และในความเป็นจริงแล้ว นักเรียนจึงใช้เทคนิคการสร้างความแตกต่างให้สมบูรณ์แบบ ตารางอนุพันธ์.

แต่จากมุมมองของฉัน แนวทางต่อไปนี้เป็นแนวทางเชิงปฏิบัติมากกว่า: ประการแรก ขอแนะนำให้ทำความเข้าใจให้ดี ขีดจำกัดของฟังก์ชันและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริมาณที่ไม่มีที่สิ้นสุด- ความจริงก็คือว่า คำจำกัดความของอนุพันธ์ขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องขีดจำกัดซึ่งถือว่าไม่ดีในหลักสูตรของโรงเรียน นั่นคือเหตุผลที่ส่วนสำคัญของผู้บริโภคหินแกรนิตแห่งความรู้รุ่นเยาว์ไม่เข้าใจสาระสำคัญของอนุพันธ์ ดังนั้นหากคุณมีความรู้เพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์หรือมีสมองที่ชาญฉลาด ปีที่ยาวนานกำจัดสัมภาระนี้สำเร็จแล้ว กรุณาเริ่มด้วย ขีดจำกัดของฟังก์ชัน- ในเวลาเดียวกัน ให้เชี่ยวชาญ/จดจำวิธีแก้ปัญหาของพวกเขา

ความหมายเชิงปฏิบัติเดียวกันกำหนดว่ามันได้เปรียบก่อน เรียนรู้ที่จะหาอนุพันธ์, รวมทั้ง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน- ทฤษฎีก็คือทฤษฎี แต่อย่างที่พวกเขาพูดกัน คุณมักจะต้องการสร้างความแตกต่าง ในเรื่องนี้จะเป็นการดีกว่าถ้าเรียนผ่านบทเรียนพื้นฐานที่ระบุไว้และอาจจะดีกว่า ต้นแบบของความแตกต่างโดยไม่ได้ตระหนักถึงแก่นแท้ของการกระทำของพวกเขาด้วยซ้ำ

ฉันขอแนะนำให้เริ่มต้นด้วยเนื้อหาในหน้านี้หลังจากอ่านบทความแล้ว ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับอนุพันธ์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โดยที่พิจารณาปัญหาของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน แต่คุณสามารถรอได้ ความจริงก็คือการประยุกต์ใช้อนุพันธ์หลายอย่างไม่ต้องการความเข้าใจและไม่น่าแปลกใจที่บทเรียนเชิงทฤษฎีปรากฏค่อนข้างช้า - เมื่อฉันต้องการอธิบาย การหาช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้น/ลดลง และสุดขั้วฟังก์ชั่น. นอกจากนี้เขายังอยู่ในหัวข้อนี้เป็นเวลานาน ฟังก์ชันและกราฟ” จนกระทั่งในที่สุดฉันก็ตัดสินใจวางไว้ก่อนหน้านี้

ดังนั้นกาน้ำชาที่รักอย่ารีบดูดซับสาระสำคัญของอนุพันธ์เช่นสัตว์ที่หิวโหยเพราะความอิ่มตัวจะไม่มีรสจืดและไม่สมบูรณ์

แนวคิดเรื่องการเพิ่ม ลด สูงสุด ต่ำสุดของฟังก์ชัน

มากมาย สื่อการสอนนำไปสู่แนวคิดเรื่องอนุพันธ์โดยใช้ปัญหาเชิงปฏิบัติ และฉันก็คิดขึ้นมาด้วย ตัวอย่างที่น่าสนใจ- ลองนึกภาพว่าเรากำลังจะเดินทางไปยังเมืองที่สามารถไปถึงได้หลายวิธี ให้ทิ้งทางโค้งที่คดเคี้ยวทันทีและพิจารณาเฉพาะทางหลวงที่เป็นทางตรงเท่านั้น อย่างไรก็ตาม เส้นทางที่เป็นเส้นตรงก็แตกต่างกันเช่นกัน คุณสามารถเข้าเมืองโดยใช้ทางหลวงที่เรียบได้ หรือตามทางหลวงที่เป็นเนินขึ้นลงขึ้นลง ถนนอีกสายหนึ่งขึ้นเขาเท่านั้น และอีกสายหนึ่งลงเนินตลอดเวลา ผู้ที่ชื่นชอบความเอ็กซ์ตรีมจะเลือกเส้นทางผ่านหุบเขาที่มีหน้าผาสูงชันและทางปีนสูงชัน

แต่ไม่ว่าคุณจะชอบอะไรก็ตาม ขอแนะนำให้รู้พื้นที่หรืออย่างน้อยก็ค้นหามัน แผนที่ภูมิประเทศ- จะทำอย่างไรหากข้อมูลดังกล่าวหายไป? ท้ายที่สุดคุณสามารถเลือกได้เช่นเส้นทางเรียบ แต่ผลก็คือสะดุดกับลานสกีกับฟินน์ที่ร่าเริง ไม่ใช่ความจริงที่ว่าเครื่องนำทางหรือแม้แต่ภาพถ่ายดาวเทียมจะให้ข้อมูลที่เชื่อถือได้ ดังนั้นจึงเป็นการดีที่จะจัดทำเส้นทางบรรเทาทุกข์อย่างเป็นทางการโดยใช้คณิตศาสตร์

มาดูถนนกันบ้าง (วิวด้านข้าง) :

ในกรณีที่ฉันขอเตือนคุณถึงข้อเท็จจริงเบื้องต้น: การเดินทางเกิดขึ้น จากซ้ายไปขวา- เพื่อความง่าย เราจะถือว่าฟังก์ชันนั้น อย่างต่อเนื่องในพื้นที่ที่พิจารณา

มีคุณสมบัติอะไรบ้าง. ของกำหนดการนี้?

เป็นระยะ การทำงาน เพิ่มขึ้นนั่นคือแต่ละค่าถัดไปของมัน มากกว่าก่อนหน้านี้. พูดคร่าวๆ ก็คือกำหนดการเปิดอยู่ ลงขึ้น(เราปีนขึ้นไปบนเนินเขา) และตามช่วงเวลาของฟังก์ชัน ลดลง– แต่ละค่าถัดไป น้อยก่อนหน้านี้ และกำหนดการของเราเปิดอยู่ จากบนลงล่าง(เราลงไปตามทางลาด)

มาดูประเด็นพิเศษกันด้วย เมื่อถึงจุดที่เราไปถึง ขีดสุด, นั่นคือ มีอยู่จริงส่วนของเส้นทางที่มีค่ามากที่สุด (สูงสุด) ในจุดเดียวกันก็บรรลุผลแล้ว ขั้นต่ำ, และ มีอยู่จริงบริเวณใกล้เคียงซึ่งค่าน้อยที่สุด (ต่ำสุด)

เราจะดูคำศัพท์และคำจำกัดความที่เข้มงวดยิ่งขึ้นในชั้นเรียน เกี่ยวกับสุดขั้วของฟังก์ชันแต่สำหรับตอนนี้เรามาศึกษากันอีกเรื่องหนึ่ง คุณสมบัติที่สำคัญ: เป็นระยะๆ ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น แต่มันเพิ่มขึ้น ด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน- และสิ่งแรกที่ดึงดูดสายตาของคุณก็คือกราฟจะทะยานขึ้นในช่วงเวลานั้น เจ๋งกว่ามากมากกว่าในช่วงเวลา เป็นไปได้ไหมที่จะวัดความชันของถนนโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์?

อัตราการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชัน

แนวคิดก็คือ: ลองหาค่าดูบ้าง (อ่านว่า "เดลต้า x")ซึ่งเราจะเรียกว่า อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นและเรามาเริ่ม “ลองใช้” ไปยังจุดต่างๆ บนเส้นทางของเรากันดีกว่า:

1) ลองดูที่จุดซ้ายสุด: ผ่านระยะทางเราปีนขึ้นไปให้สูง (เส้นสีเขียว) ปริมาณเรียกว่า เพิ่มฟังก์ชัน, และใน ในกรณีนี้การเพิ่มขึ้นนี้เป็นค่าบวก (ความแตกต่างของค่าตามแกนคือ เหนือศูนย์- มาสร้างอัตราส่วนที่จะเป็นตัววัดความชันของถนนเรากันดีกว่า แน่นอนว่านี่เป็นจำนวนที่เฉพาะเจาะจงมาก และเนื่องจากการเพิ่มขึ้นทั้งสองค่าเป็นบวก ดังนั้น

ความสนใจ! การกำหนดคือ หนึ่งสัญลักษณ์นั่นคือคุณไม่สามารถ "ฉีก" "เดลต้า" ออกจาก "X" และพิจารณาตัวอักษรเหล่านี้แยกกัน แน่นอนว่าความคิดเห็นยังเกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์การเพิ่มฟังก์ชันด้วย

มาสำรวจธรรมชาติของเศษส่วนผลลัพธ์อย่างมีความหมายมากขึ้นกันดีกว่า ให้เริ่มแรกอยู่ที่ความสูง 20 เมตร (จุดดำด้านซ้าย) เมื่อครอบคลุมระยะทางเมตร (เส้นสีแดงซ้าย) เราจะพบว่าตัวเองอยู่ที่ระดับความสูง 60 เมตร จากนั้นการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะเป็น เมตร (สายสีเขียว) และ: . ดังนั้น, ในทุกเมตรส่วนนี้ของถนน ความสูงเพิ่มขึ้น เฉลี่ย 4 เมตร...ลืมอุปกรณ์ปีนเขา? =) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสัมพันธ์ที่สร้างขึ้นจะแสดงลักษณะเฉพาะของอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย (ในกรณีนี้คือการเติบโต) ของฟังก์ชัน

บันทึก : ค่าตัวเลขของตัวอย่างที่เป็นปัญหานั้นสอดคล้องกับสัดส่วนของรูปวาดโดยประมาณเท่านั้น

2) ทีนี้ลองไปเป็นระยะทางเดียวกันจากจุดดำขวาสุด การเพิ่มขึ้นที่นี่จะค่อยเป็นค่อยไปมากขึ้น ดังนั้นการเพิ่มขึ้น (เส้นสีแดงเข้ม) จึงค่อนข้างน้อย และอัตราส่วนเมื่อเปรียบเทียบกับกรณีก่อนหน้าจะค่อนข้างเจียมเนื้อเจียมตัวมาก พูดค่อนข้าง, เมตรและ อัตราการเติบโตของฟังก์ชันเป็น . นั่นคือที่นี่ทุกเมตรของเส้นทางที่มี เฉลี่ยเพิ่มขึ้นครึ่งเมตร

3) การผจญภัยเล็กๆ บนไหล่เขา มาดูด้านบนกัน จุดสีดำซึ่งอยู่บนแกนพิกัด สมมติว่านี่คือเครื่องหมาย 50 เมตร เราเอาชนะระยะทางอีกครั้งซึ่งส่งผลให้เราพบว่าตัวเองต่ำกว่า - ที่ระดับ 30 เมตร เนื่องจากมีการเคลื่อนไหว จากบนลงล่าง(ในทิศทาง “ทวน” ของแกน) จากนั้นสุดท้าย การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน (ความสูง) จะเป็นลบ: เมตร (ส่วนสีน้ำตาลในรูปวาด) และในกรณีนี้เรากำลังพูดถึงอยู่แล้ว อัตราการลดลงคุณสมบัติ: กล่าวคือ ความสูงจะลดลงทุกเมตรของเส้นทางในส่วนนี้ เฉลี่ยคูณ 2 เมตร ดูแลเสื้อผ้าของคุณในจุดที่ห้า

ทีนี้ลองถามตัวเองดูว่า "มาตรฐานการวัด" ควรใช้ค่าใดดีที่สุด เข้าใจได้ดีมาก 10 เมตรนั้นหยาบมาก ฮัมม็อกหลายสิบอันสามารถใส่เข้ากับพวกมันได้อย่างง่ายดาย ทำไมถึงมีกระแทก อาจจะมีบ้างข้างล่างนั่น? หุบเขาลึกและหลังจากนั้นไม่กี่เมตร - อีกด้านหนึ่งที่มีความชันเพิ่มขึ้นอีก ดังนั้นในระยะสิบเมตรเราจะไม่ได้คำอธิบายที่เข้าใจได้ของส่วนต่างๆ ของเส้นทางผ่านอัตราส่วน .

จากการสนทนาข้างต้นมีข้อสรุปดังต่อไปนี้: ยังไง มูลค่าน้อยลง ยิ่งเราอธิบายภูมิประเทศของถนนได้แม่นยำมากขึ้นเท่านั้น นอกจากนี้ข้อเท็จจริงต่อไปนี้เป็นจริง:

– สำหรับใครก็ตามยกจุด คุณสามารถเลือกค่า (แม้ว่าจะน้อยมาก) ที่เหมาะกับขอบเขตของการเพิ่มขึ้นครั้งใดครั้งหนึ่งได้ ซึ่งหมายความว่าการเพิ่มความสูงที่สอดคล้องกันจะรับประกันว่าจะเป็นบวก และความไม่เท่าเทียมกันจะระบุการเติบโตของฟังก์ชันในแต่ละจุดของช่วงเวลาเหล่านี้อย่างถูกต้อง

- เช่นเดียวกัน, เพื่อสิ่งใดๆจุดความชัน มีค่าที่จะพอดีกับความชันนี้โดยสมบูรณ์ ดังนั้น ความสูงที่เพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกันจึงเป็นลบอย่างชัดเจน และความไม่เท่าเทียมกันจะแสดงการลดลงของฟังก์ชันในแต่ละจุดของช่วงเวลาที่กำหนดอย่างถูกต้อง

– กรณีที่น่าสนใจอย่างยิ่งคือเมื่ออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันเป็นศูนย์: . ประการแรก การเพิ่มความสูงเป็นศูนย์ () เป็นสัญลักษณ์ของเส้นทางที่ราบรื่น และประการที่สอง มีสถานการณ์ที่น่าสนใจอื่นๆ ดังตัวอย่างที่คุณเห็นในภาพ ลองนึกภาพว่าโชคชะตานำเราไปสู่จุดสูงสุดของเนินเขาที่มีนกอินทรีทะยาน หรือด้านล่างของหุบเขาที่มีกบส่งเสียงร้อง หากคุณก้าวเล็กๆ ไปในทิศทางใดๆ การเปลี่ยนแปลงความสูงจะน้อยมาก และเราสามารถพูดได้ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันนั้นเป็นศูนย์จริงๆ นี่คือภาพที่สังเกตได้ตรงจุด

ดังนั้นเราจึงได้รับโอกาสอันน่าทึ่งที่จะระบุลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันได้อย่างแม่นยำอย่างสมบูรณ์แบบ หลังจากนั้น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ช่วยให้คุณสามารถกำหนดทิศทางการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ให้เป็นศูนย์: นั่นคือทำให้มัน ไม่มีที่สิ้นสุด.

เป็นผลให้มีคำถามเชิงตรรกะอีกประการหนึ่งเกิดขึ้น: เป็นไปได้หรือไม่ที่จะค้นหาถนนและกำหนดการ ฟังก์ชั่นอื่น, ที่ จะแจ้งให้เราทราบเกี่ยวกับพื้นที่ราบ ทางขึ้น ทางลง ยอดเขา หุบเขา รวมถึงอัตราการเติบโต/ลดลงในแต่ละจุดระหว่างทางหรือไม่

อนุพันธ์คืออะไร? ความหมายของอนุพันธ์
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์และอนุพันธ์

โปรดอ่านอย่างละเอียดและไม่เร็วเกินไป - เนื้อหานี้เรียบง่ายและทุกคนเข้าถึงได้! ไม่เป็นไรหากในบางสถานที่มีบางอย่างดูไม่ชัดเจน คุณสามารถกลับมาที่บทความได้ในภายหลัง ฉันจะพูดมากกว่านี้การศึกษาทฤษฎีหลายครั้งเพื่อทำความเข้าใจประเด็นทั้งหมดอย่างถี่ถ้วนจะเป็นประโยชน์ (คำแนะนำนี้เกี่ยวข้องโดยเฉพาะกับนักเรียน "นักเทคนิค" ที่มี คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นมีบทบาทสำคัญในกระบวนการศึกษา)

โดยธรรมชาติแล้ว ในคำจำกัดความของอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง เราจะแทนที่มันด้วย:

เรามาเพื่ออะไร? และเราก็ได้ข้อสรุปว่าสำหรับการทำงานตามกฎหมาย ถูกวางให้สอดคล้อง ฟังก์ชั่นอื่น ๆ, ซึ่งถูกเรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์(หรือเพียงแค่ อนุพันธ์).

อนุพันธ์มีลักษณะเฉพาะ อัตราการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชั่น ยังไง? แนวคิดนี้ดำเนินไปเหมือนด้ายแดงตั้งแต่ต้นบทความ ลองพิจารณาบางประเด็น ขอบเขตของคำจำกัดความฟังก์ชั่น ปล่อยให้ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนดได้ แล้ว:

1) ถ้า ฟังก์ชั่นจะเพิ่มขึ้น ณ จุดนั้น และเห็นได้ชัดว่ามี ช่วงเวลา(แม้จะเล็กมากก็ตาม) ซึ่งมีจุดที่ฟังก์ชันเติบโตขึ้น และกราฟของมันจะไป "จากล่างขึ้นบน"

2) ถ้า ฟังก์ชันจะลดลงตรงจุดนั้น และมีช่วงเวลาหนึ่งซึ่งมีจุดที่ฟังก์ชันลดลง (กราฟเปลี่ยนจากบนลงล่าง)

3) ถ้า แล้ว ปิดอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเมื่ออยู่ใกล้จุดที่ฟังก์ชันจะรักษาความเร็วให้คงที่ สิ่งนี้เกิดขึ้นตามที่ระบุไว้ด้วยฟังก์ชันคงที่และ ที่จุดวิกฤติของฟังก์ชัน, โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ที่จุดต่ำสุดและสูงสุด.

ความหมายเล็กน้อย คำกริยา “differentiate” หมายถึงอะไรในความหมายกว้างๆ? การแยกความแตกต่างหมายถึงการเน้นคุณลักษณะ ด้วยการสร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชัน เราจะ "แยก" อัตราการเปลี่ยนแปลงในรูปแบบของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คำว่า "อนุพันธ์" หมายถึงอะไร? การทำงาน เกิดขึ้นจากฟังก์ชัน

คำศัพท์เหล่านี้ตีความได้สำเร็จอย่างมากโดยความหมายเชิงกลของอนุพันธ์ :
ให้เราพิจารณากฎแห่งการเปลี่ยนแปลงพิกัดของร่างกายตามเวลาและหน้าที่ของความเร็วการเคลื่อนที่ของร่างกายที่กำหนด ฟังก์ชันนี้แสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของพิกัดของร่างกาย ดังนั้นจึงเป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันตามเวลา: ถ้าแนวคิดเรื่อง “การเคลื่อนไหวร่างกาย” ไม่มีอยู่ในธรรมชาติ ก็คงไม่มี อนุพันธ์แนวคิดเรื่อง "ความเร็วของร่างกาย"

ความเร่งของร่างกายคืออัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว ดังนั้น: - ถ้าแนวคิดเริ่มต้นของ "การเคลื่อนไหวของร่างกาย" และ "ความเร็วของร่างกาย" ไม่มีอยู่ในธรรมชาติ ก็จะไม่มีอยู่จริง อนุพันธ์แนวคิดเรื่อง "ความเร่งของร่างกาย"

กลับ