ระบบทางเทคนิค พารามิเตอร์ของวัตถุทางเทคนิค ได้แก่ วัตถุที่เคลื่อนไหว วัตถุพลังงาน วัตถุอุตสาหกรรมเคมี วัตถุวิศวกรรมเครื่องกล เครื่องใช้ในครัวเรือน และอื่น ๆ อีกมากมาย วัตถุของระบบทางเทคนิคได้รับการศึกษาอย่างดีในทฤษฎีการควบคุม

วัตถุทางเศรษฐกิจ วัตถุทางเศรษฐกิจ ได้แก่ การประชุมเชิงปฏิบัติการ โรงงาน สถานประกอบการของอุตสาหกรรมต่างๆ หนึ่งในตัวแปรในนั้นคือตัวชี้วัดทางเศรษฐกิจ เช่น กำไร

ระบบชีวภาพ ระบบที่มีชีวิตรักษาหน้าที่ที่สำคัญไว้ด้วยกลไกการควบคุมที่ฝังอยู่ในระบบ

ระบบกำหนดและสุ่ม

หากอิทธิพลภายนอกที่ใช้กับระบบ (การควบคุมและการรบกวน) เป็นหน้าที่ที่ทราบบางประการของเวลา u=f(t) ในกรณีนี้ สถานะของระบบที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ณ เวลาใดๆ t สามารถอธิบายได้อย่างคลุมเครือโดยสถานะของระบบ ณ จุดก่อนหน้าของเวลา ระบบที่สถานะของระบบถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยค่าเริ่มต้นและสามารถคาดการณ์ได้ในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งเรียกว่ากำหนดขึ้น

ระบบ Stochastic คือระบบที่การเปลี่ยนแปลงมีลักษณะสุ่ม เช่นผลกระทบต่อระบบไฟฟ้าของผู้ใช้บริการต่างๆ ด้วยอิทธิพลแบบสุ่ม ข้อมูลเกี่ยวกับสถานะของระบบจึงไม่เพียงพอที่จะคาดการณ์ในเวลาต่อมา

อิทธิพลแบบสุ่มสามารถนำไปใช้กับระบบจากภายนอก หรือเกิดขึ้นภายในองค์ประกอบบางอย่าง (สัญญาณรบกวนภายใน) การศึกษาระบบที่มีอิทธิพลแบบสุ่มสามารถทำได้โดยใช้วิธีการทั่วไป โดยลดขั้นตอนการสร้างแบบจำลองลงเพื่อไม่ให้พลาดอิทธิพล พารามิเตอร์สุ่ม- นอกจากนี้ เนื่องจากค่าสูงสุดของตัวแปรสุ่มนั้นหาได้ยาก (การแจกแจงแบบปกติมีอิทธิพลเหนือกว่าในเทคโนโลยี) การเลือกขั้นตอนขั้นต่ำ ณ เวลาส่วนใหญ่จึงไม่สมเหตุสมผล

ในกรณีส่วนใหญ่ เมื่อออกแบบระบบ มันไม่ใช่ค่าสูงสุด แต่เป็นค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดของพารามิเตอร์สุ่ม ในกรณีนี้ จะมีการเรียนรู้ระบบที่มีเหตุผลมากขึ้น โดยคาดการณ์ล่วงหน้าถึงความเสื่อมถอยของประสิทธิภาพของระบบในช่วงเวลาหนึ่งๆ เช่น การติดตั้งระบบป้องกัน cathodic

การคำนวณระบบภายใต้อิทธิพลแบบสุ่มดำเนินการโดยใช้วิธีการทางสถิติพิเศษ มีการประมาณค่าพารามิเตอร์สุ่มจากการทดสอบจำนวนมาก เช่น แผนที่พื้นผิวระดับ น้ำบาดาลเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

คุณสมบัติทางสถิติของตัวแปรสุ่มถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการแจกแจงหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

ระบบเปิดและปิด

แนวคิดของระบบเปิดได้รับการแนะนำโดย L. von Bertalanffy คุณสมบัติหลัก ระบบเปิด- ความสามารถในการแลกเปลี่ยนพลังงานและข้อมูลกับสภาพแวดล้อมภายนอก ระบบปิด (ปิด) ถูกแยกออกจากสภาพแวดล้อมภายนอก (ด้วยความแม่นยำที่ยอมรับในแบบจำลอง)

ระบบที่ดีและไม่ดี

มีการจัดระบบอย่างดี การนำเสนอวัตถุหรือกระบวนการที่ได้รับการวิเคราะห์ในรูปแบบของ "ระบบที่มีการจัดการอย่างดี" หมายถึงการกำหนดองค์ประกอบของระบบ ความสัมพันธ์ระหว่างกัน กฎสำหรับการรวมเป็นส่วนประกอบที่ใหญ่ขึ้น เช่น เพื่อกำหนดความเชื่อมโยงระหว่างองค์ประกอบทั้งหมดและเป้าหมายของ ระบบจากมุมมองของวัตถุที่ได้รับการพิจารณาหรือเพื่อประโยชน์ของการสร้างระบบ สถานการณ์ปัญหาสามารถอธิบายได้ในรูปแบบของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เชื่อมโยงเป้าหมายกับค่าเฉลี่ยเช่นในรูปแบบของเกณฑ์ประสิทธิภาพซึ่งเป็นเกณฑ์สำหรับการทำงานของระบบซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยสมการที่ซับซ้อนหรือระบบของ สมการ การแก้ปัญหา เมื่อนำเสนอในรูปแบบของระบบที่มีการจัดการอย่างดี จะดำเนินการโดยวิธีการวิเคราะห์ของการนำเสนอระบบอย่างเป็นทางการ

ตัวอย่างของระบบที่มีการจัดการอย่างดี: ระบบสุริยะซึ่งอธิบายรูปแบบการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ที่สำคัญที่สุด การแสดงอะตอมเป็นระบบดาวเคราะห์ที่ประกอบด้วยนิวเคลียสและอิเล็กตรอน คำอธิบายการทำงานของอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ที่ซับซ้อนโดยใช้ระบบสมการที่คำนึงถึงลักษณะเฉพาะของสภาพการทำงาน (การมีเสียงรบกวนความไม่เสถียรของแหล่งจ่ายไฟ ฯลฯ )

ในการแสดงวัตถุในรูปแบบของระบบที่มีการจัดระเบียบอย่างดี จำเป็นต้องเน้นองค์ประกอบที่จำเป็น และไม่คำนึงถึงองค์ประกอบที่ค่อนข้างไม่สำคัญสำหรับวัตถุประสงค์ในการพิจารณานี้ เช่น เมื่อพิจารณาระบบสุริยะ อย่าคำนึงถึงอุกกาบาต ดาวเคราะห์น้อย และองค์ประกอบอื่น ๆ ของอวกาศระหว่างดาวเคราะห์ที่มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับดาวเคราะห์

คำอธิบายของวัตถุในรูปแบบของระบบที่มีการจัดระเบียบอย่างดีจะใช้ในกรณีที่เป็นไปได้ที่จะเสนอคำอธิบายที่กำหนดขึ้นและทดลองพิสูจน์ความถูกต้องตามกฎหมายของการประยุกต์ใช้และความเพียงพอของแบบจำลองกับกระบวนการจริง ความพยายามที่จะใช้คลาสของระบบที่มีการจัดการอย่างดีเพื่อแสดงออบเจ็กต์ที่มีองค์ประกอบหลายองค์ประกอบที่ซับซ้อนหรือปัญหาหลายเกณฑ์นั้นไม่ประสบผลสำเร็จ: พวกมันต้องใช้เวลาจำนวนมากอย่างไม่อาจยอมรับได้ ในทางปฏิบัติเป็นไปไม่ได้เลยที่จะนำไปใช้ และไม่เพียงพอกับแบบจำลองที่ใช้

ระบบการจัดระเบียบไม่ดี เมื่อนำเสนอวัตถุว่าเป็น "ระบบที่มีการจัดระเบียบไม่ดีหรือกระจายตัว" งานไม่ได้อยู่ที่การพิจารณาส่วนประกอบทั้งหมดที่นำมาพิจารณา คุณสมบัติและการเชื่อมโยงระหว่างส่วนประกอบเหล่านั้นกับเป้าหมายของระบบ ระบบมีลักษณะเฉพาะด้วยชุดพารามิเตอร์และรูปแบบมหภาคบางชุด ซึ่งพบบนพื้นฐานของการศึกษาไม่ใช่ของวัตถุทั้งหมดหรือระดับของปรากฏการณ์ แต่อยู่บนพื้นฐานของกฎบางอย่างสำหรับการเลือกส่วนประกอบที่กำหนดลักษณะของวัตถุหรือกระบวนการ อยู่ระหว่างการศึกษา จากการศึกษาตัวอย่างดังกล่าว คุณลักษณะหรือรูปแบบ (ทางสถิติ เศรษฐศาสตร์) จะได้รับและกระจายไปยังทั้งระบบโดยรวม ในกรณีนี้ จะทำการจองอย่างเหมาะสม ตัวอย่างเช่น เมื่อได้รับความสม่ำเสมอทางสถิติ ค่าเหล่านั้นจะขยายไปสู่พฤติกรรมของทั้งระบบด้วยความน่าจะเป็นที่มีความเชื่อมั่นที่แน่นอน

วิธีการแสดงวัตถุในรูปแบบของระบบกระจายใช้กันอย่างแพร่หลายใน: อธิบายระบบคิว, การกำหนดจำนวนพนักงานในองค์กรและสถาบัน, ศึกษากระแสข้อมูลสารคดีในระบบการจัดการ ฯลฯ

ระบบการจัดการตนเอง การแสดงวัตถุเป็นระบบการจัดระเบียบตัวเองเป็นวิธีการที่ช่วยให้คุณสามารถสำรวจวัตถุและกระบวนการที่มีการศึกษาน้อยที่สุด ระบบการจัดระเบียบตัวเองมีคุณลักษณะของระบบกระจาย ได้แก่ พฤติกรรมสุ่ม ความไม่คงที่ของพารามิเตอร์และกระบวนการแต่ละตัว นอกจากนี้ ยังมีสัญญาณต่างๆ เช่น พฤติกรรมที่คาดเดาไม่ได้ ความสามารถในการปรับตัวให้เข้ากับสภาพแวดล้อมที่เปลี่ยนแปลง เปลี่ยนโครงสร้างเมื่อระบบโต้ตอบกับสภาพแวดล้อม ในขณะที่ยังคงรักษาคุณสมบัติของความสมบูรณ์ ความสามารถในการสร้างตัวเลือกพฤติกรรมที่เป็นไปได้และเลือกสิ่งที่ดีที่สุดจากพวกเขา ฯลฯ บางครั้งคลาสนี้แบ่งออกเป็นคลาสย่อยโดยเน้นระบบการปรับตัวหรือการปรับตัวเอง การรักษาด้วยตนเอง การสืบพันธุ์ด้วยตนเอง และคลาสย่อยอื่น ๆ ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติต่าง ๆ ของระบบที่กำลังพัฒนา .

ตัวอย่าง: องค์กรทางชีววิทยา พฤติกรรมโดยรวมของผู้คน องค์กรการจัดการในระดับองค์กร อุตสาหกรรม รัฐโดยรวม เช่น ในระบบเหล่านั้นที่จำเป็นต้องมีปัจจัยมนุษย์

เมื่อใช้การทำแผนที่วัตถุในรูปแบบของระบบการจัดการตนเอง มักจะแยกงานในการกำหนดเป้าหมายและวิธีการเลือกออกจากกัน ในกรณีนี้ ในทางกลับกัน งานในการเลือกเป้าหมายสามารถอธิบายได้ในรูปแบบของระบบการจัดการตนเอง เช่น โครงสร้างของส่วนการทำงานของระบบควบคุมอัตโนมัติ โครงสร้างของเป้าหมาย แผนสามารถแตกหักได้ ในลักษณะเดียวกับโครงสร้างของส่วนรองรับของระบบควบคุมอัตโนมัติ (วิธีการทางเทคนิคที่ซับซ้อนของระบบควบคุมอัตโนมัติ) หรือโครงสร้างระบบการจัดการองค์กร

ตัวอย่างส่วนใหญ่ของการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ระบบจะขึ้นอยู่กับการเป็นตัวแทนของวัตถุในรูปแบบของระบบการจัดการตัวเอง

1. แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงกำหนดและความน่าจะเป็นทางเศรษฐศาสตร์ ข้อดีและข้อเสีย

วิธีการศึกษากระบวนการทางเศรษฐศาสตร์ขึ้นอยู่กับการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - เชิงกำหนดและความน่าจะเป็น - เป็นตัวแทนของกระบวนการ ระบบ หรือประเภทของกิจกรรมที่กำลังศึกษา โมเดลดังกล่าวให้คำอธิบายเชิงปริมาณของปัญหาและเป็นพื้นฐานในการนำไปใช้ การตัดสินใจของฝ่ายบริหารเมื่อค้นหา ตัวเลือกที่ดีที่สุด- การตัดสินใจเหล่านี้มีความสมเหตุสมผลเพียงใด เป็นปัจจัยทั้งหมดที่กำหนดการพิจารณาและชั่งน้ำหนักหรือไม่ ทางออกที่ดีที่สุดอะไรเป็นเกณฑ์ในการพิจารณาว่า การตัดสินใจครั้งนี้ดีที่สุดจริงๆ - นี่คือช่วงคำถามที่มี ความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับผู้จัดการฝ่ายผลิตและคำตอบสามารถพบได้โดยใช้วิธีการวิจัยเชิงปฏิบัติการ [Chesnokov S.V. การวิเคราะห์เชิงกำหนดของข้อมูลทางเศรษฐกิจและสังคม - ม.: Nauka, 1982, หน้า 45]

หลักการประการหนึ่งของการสร้างระบบควบคุมคือวิธีการของแบบจำลองไซเบอร์เนติกส์ (ทางคณิตศาสตร์) การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มีตำแหน่งตรงกลางระหว่างการทดลองและทฤษฎี: ไม่จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองทางกายภาพที่แท้จริงของระบบ แต่จะถูกแทนที่ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ลักษณะเฉพาะของการก่อตัวของระบบควบคุมอยู่ที่ความน่าจะเป็นและแนวทางทางสถิติในการควบคุมกระบวนการ ในโลกไซเบอร์เนติกส์ เป็นที่ยอมรับกันว่ากระบวนการควบคุมใดๆ อยู่ภายใต้อิทธิพลแบบสุ่มที่รบกวนจิตใจ ใช่แล้ว กระบวนการผลิตอิทธิพล จำนวนมากปัจจัยที่ไม่สามารถนำมาพิจารณาในลักษณะที่กำหนดได้ ดังนั้นกระบวนการผลิตจึงถือว่าได้รับอิทธิพลจากสัญญาณสุ่ม ด้วยเหตุนี้ การวางแผนองค์กรจึงทำได้เพียงความน่าจะเป็นเท่านั้น

ด้วยเหตุผลเหล่านี้บ่อยครั้งเมื่อพูดถึง การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์กระบวนการทางเศรษฐกิจ หมายถึง แบบจำลองความน่าจะเป็น

ให้เราอธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แต่ละประเภท

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงกำหนดมีลักษณะเฉพาะโดยอธิบายความสัมพันธ์ของปัจจัยบางอย่างกับตัวบ่งชี้ที่มีประสิทธิผลดังนี้ การพึ่งพาการทำงานกล่าวคือ ในแบบจำลองที่กำหนด ตัวบ่งชี้ประสิทธิผลของแบบจำลองจะแสดงในรูปแบบของผลคูณ ผลหาร ผลรวมพีชคณิตของปัจจัย หรือในรูปแบบของฟังก์ชันอื่นใด ประเภทนี้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นแบบจำลองที่พบบ่อยที่สุด เนื่องจากค่อนข้างใช้งานง่าย (เมื่อเทียบกับแบบจำลองความน่าจะเป็น) ซึ่งช่วยให้เข้าใจตรรกะของการกระทำของปัจจัยหลักในการพัฒนากระบวนการทางเศรษฐกิจ วัดปริมาณอิทธิพล ทำความเข้าใจว่าปัจจัยใด และในสัดส่วนที่เป็นไปได้และแนะนำให้เปลี่ยนแปลงเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพการผลิต

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นโดยพื้นฐานแล้วจะแตกต่างจากแบบจำลองที่กำหนดขึ้นตรงที่ว่าในแบบจำลองความน่าจะเป็นความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยและคุณลักษณะผลลัพธ์จะเป็นความน่าจะเป็น (สุ่ม) ด้วยการพึ่งพาฟังก์ชัน (แบบจำลองที่กำหนด) สถานะของปัจจัยเดียวกันจะสอดคล้องกับสถานะเดียวของผลลัพธ์ คุณลักษณะ ในขณะที่ในแบบจำลองความน่าจะเป็น สถานะหนึ่งของปัจจัยและสถานะเดียวกันจะสอดคล้องกับชุดสถานะทั้งหมดของคุณลักษณะผลลัพธ์ [Tolstova Yu การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์กระบวนการทางเศรษฐกิจ - อ.: Nauka, 2544, หน้า. 32-33].

ข้อดีของแบบจำลองที่กำหนดคือใช้งานง่าย ข้อเสียเปรียบหลักคือความเพียงพอของความเป็นจริงต่ำ เนื่องจากตามที่ระบุไว้ข้างต้น กระบวนการทางเศรษฐกิจส่วนใหญ่มีความน่าจะเป็นในธรรมชาติ

ข้อดีของแบบจำลองความน่าจะเป็นคือ ตามกฎแล้ว โมเดลเหล่านี้จะสอดคล้องกับความเป็นจริง (เพียงพอมากกว่า) มากกว่าแบบจำลองที่กำหนด อย่างไรก็ตาม ข้อเสียของแบบจำลองความน่าจะเป็นคือความซับซ้อนและลักษณะการใช้งานที่ต้องใช้แรงงานมาก ดังนั้นในหลาย ๆ สถานการณ์ ก็เพียงพอที่จะจำกัดตัวเราเองอยู่เฉพาะแบบจำลองที่กำหนดเท่านั้น

เป็นครั้งแรกที่มีการกำหนดปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในรูปแบบของข้อเสนอสำหรับการคอมไพล์ แผนการที่เหมาะสมที่สุดการขนส่ง; การอนุญาตให้ลดระยะทางรวมให้เหลือน้อยที่สุดในงานของนักเศรษฐศาสตร์โซเวียต A. N. Tolstoy ในปี 1930

การวิจัยอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับปัญหาและการพัฒนาโปรแกรมเชิงเส้น วิธีการทั่วไปวิธีแก้ปัญหาของพวกเขาได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมในผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย L. V. Kantorovich, V. S. Nemchinov และนักคณิตศาสตร์และนักเศรษฐศาสตร์คนอื่น ๆ นอกจากนี้ ผลงานจำนวนมากของชาวต่างชาติ และเหนือสิ่งอื่นใด นักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกันยังทุ่มเทให้กับวิธีการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นอีกด้วย

ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นคือการเพิ่ม (ย่อ) ฟังก์ชันเชิงเส้นให้สูงสุด

, ที่ไหน

ภายใต้ข้อจำกัด

และทั้งหมด

ความคิดเห็น อสมการยังสามารถมีความหมายตรงกันข้ามได้ โดยการคูณอสมการที่สอดคล้องกันด้วย (-1) เราจะได้ระบบที่มีรูปแบบ (*) เสมอ

หากจำนวนตัวแปรในระบบข้อจำกัดและฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาคือ 2 แสดงว่าสามารถแก้ไขได้ในรูปแบบกราฟิก

ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องเพิ่มฟังก์ชันให้สูงสุด

สู่ระบบที่มีข้อจำกัดอันน่าพึงพอใจ

ให้เรามาดูความไม่เท่าเทียมกันประการหนึ่งของระบบข้อจำกัด

จากมุมมองทางเรขาคณิต ทุกจุดที่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันนี้จะต้องอยู่บนเส้นตรง

หรืออยู่ในระนาบครึ่งหนึ่งซึ่งมีการแบ่งระนาบของเส้นนี้ หากต้องการทราบ คุณต้องตรวจสอบว่ารายการใดบ้างที่มีจุด ()

หมายเหตุ 2. ถ้า

จากนั้นจะเข้าใจประเด็นได้ง่ายขึ้น (0;0)

เงื่อนไขสำหรับการไม่ปฏิเสธ

ยังกำหนดระนาบครึ่งระนาบที่สอดคล้องกับเส้นเขตแดนด้วย - เราจะถือว่าระบบความไม่เท่าเทียมกันนั้นสอดคล้องกัน จากนั้นครึ่งระนาบที่ตัดกันกลายเป็นส่วนร่วมซึ่งเป็นเซตนูนและแสดงถึงเซตของจุดซึ่งมีพิกัดเป็นคำตอบของระบบนี้ - นี่คือเซตที่ยอมรับได้ โซลูชั่น เซตของจุดเหล่านี้ (คำตอบ) เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมของคำตอบ อาจเป็นจุด รังสี รูปหลายเหลี่ยม หรือพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีขอบเขต ดังนั้น หน้าที่ของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นคือการหาจุดในรูปหลายเหลี่ยมการตัดสินใจที่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์รับค่าสูงสุด (ต่ำสุด) จุดนี้เกิดขึ้นเมื่อรูปหลายเหลี่ยมของคำตอบไม่ว่างเปล่า และฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของรูปหลายเหลี่ยมนั้นถูกขอบเขตจากด้านบน (จากด้านล่าง) ที่ เงื่อนไขที่กำหนดที่จุดยอดหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมของคำตอบ ฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะใช้ค่าสูงสุด เพื่อกำหนดจุดยอดนี้ เราสร้างเส้นตรง (โดยที่ h เป็นค่าคงที่) ส่วนใหญ่มักจะใช้เส้นตรง - ยังคงต้องหาทิศทางการเคลื่อนที่ของเส้นนี้ ทิศทางนี้ถูกกำหนดโดยการไล่ระดับสี (แอนติกราเดียนต์) ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ในทุกจุดที่ตั้งฉากกับเส้น ดังนั้นค่าของ f จะเพิ่มขึ้นเมื่อเส้นเคลื่อนที่ไปในทิศทางของการไล่ระดับสี (ลดลงในทิศทางของแอนติกราเดียนต์) โดยให้ขนานกับเส้นตรง วาดเส้นตรงโดยเลื่อนไปในทิศทางของการไล่ระดับสี (ป้องกันการไล่ระดับสี)

เราจะดำเนินการก่อสร้างเหล่านี้ต่อไปจนกว่าเส้นจะผ่านจุดยอดสุดท้ายของรูปหลายเหลี่ยมสารละลาย จุดนี้กำหนดค่าที่เหมาะสมที่สุด

ดังนั้น การค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้วิธีเรขาคณิตจึงมีขั้นตอนต่อไปนี้:

เส้นถูกสร้างขึ้นโดยสมการที่ได้มาจากการแทนที่เครื่องหมายอสมการในข้อ จำกัด ด้วยเครื่องหมายความเท่าเทียมกันที่แน่นอน

ค้นหาระนาบครึ่งระนาบที่กำหนดโดยข้อจำกัดแต่ละข้อของปัญหา

ค้นหาวิธีแก้ปัญหารูปหลายเหลี่ยม

สร้างเวกเตอร์

.

สร้างเส้นตรง

.

สร้างเส้นคู่ขนาน

ในทิศทางของการไล่ระดับสีหรือแอนติกราเดียนต์ซึ่งเป็นผลมาจากการที่พวกเขาค้นหาจุดที่ฟังก์ชันรับค่าสูงสุดหรือต่ำสุดหรือสร้างความไม่ จำกัด จากด้านบน (จากด้านล่าง) ของฟังก์ชันบนชุดที่ยอมรับได้

พิกัดของจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ของฟังก์ชันจะถูกกำหนด และค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ณ จุดนี้จะถูกคำนวณ

ปัญหาเรื่องโภชนาการอย่างมีเหตุผล (ปัญหาเรื่องการปันส่วนอาหาร)

การกำหนดปัญหา

ฟาร์มเลี้ยงปศุสัตว์เพื่อการค้า เพื่อความง่าย สมมติว่ามีผลิตภัณฑ์เพียงสี่ประเภทเท่านั้น: P1, P2, P3, P4; ต้นทุนต่อหน่วยของผลิตภัณฑ์แต่ละรายการจะเท่ากับ C1, C2, C3, C4 ตามลำดับ จากผลิตภัณฑ์เหล่านี้คุณต้องสร้างอาหารที่ควรมี: โปรตีน - อย่างน้อย b1 หน่วย; คาร์โบไฮเดรต - อย่างน้อย b2 หน่วย; ไขมัน - อย่างน้อย b3 หน่วย สำหรับผลิตภัณฑ์ P1, P2, P3, P4 ปริมาณโปรตีน คาร์โบไฮเดรต และไขมัน (เป็นหน่วยต่อหน่วยของผลิตภัณฑ์) เป็นที่รู้จักและระบุไว้ในตาราง โดยที่ aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - บ้าง ตัวเลขบางตัว- ดัชนีแรกระบุหมายเลขผลิตภัณฑ์ ดัชนีที่สอง - หมายเลของค์ประกอบ (โปรตีน คาร์โบไฮเดรต ไขมัน)

โมเดลสุ่ม

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ตัวแบบสุ่มคือตัวแบบความน่าจะเป็น ยิ่งไปกว่านั้น จากผลของการคำนวณ คุณสามารถพูดได้ในระดับความน่าจะเป็นที่เพียงพอว่าค่าของตัวบ่งชี้ที่วิเคราะห์จะเป็นอย่างไรหากปัจจัยเปลี่ยนแปลง การประยุกต์ใช้โมเดลสุ่มที่พบบ่อยที่สุดคือการคาดการณ์

การสร้างแบบจำลองสุ่มเป็นส่วนเสริมและเจาะลึกของการวิเคราะห์ปัจจัยที่กำหนดขึ้นในระดับหนึ่ง ใน การวิเคราะห์ปัจจัยโมเดลเหล่านี้ถูกใช้ด้วยเหตุผลหลักสามประการ:

• จำเป็นต้องศึกษาอิทธิพลของปัจจัยที่ไม่สามารถกำหนดได้อย่างเคร่งครัด แบบจำลองปัจจัย(เช่น ระดับการก่อหนี้ทางการเงิน)

• จำเป็นต้องศึกษาอิทธิพลของปัจจัยที่ซับซ้อนซึ่งไม่สามารถรวมกันในรูปแบบที่กำหนดอย่างเคร่งครัดเดียวกัน
• มีความจำเป็นต้องศึกษาอิทธิพลของปัจจัยที่ซับซ้อนซึ่งไม่สามารถแสดงได้ด้วยตัวบ่งชี้เชิงปริมาณตัวเดียว (เช่นระดับความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี)

ตรงกันข้ามกับแนวทางที่กำหนดอย่างเคร่งครัด วิธีสุ่มต้องมีข้อกำหนดเบื้องต้นหลายประการสำหรับการนำไปปฏิบัติ:

1. การปรากฏตัวของประชากร
2. ปริมาณการสังเกตที่เพียงพอ
3. ความสุ่มและความเป็นอิสระของการสังเกต
4. ความสม่ำเสมอ;
5. การปรากฏตัวของการกระจายลักษณะที่ใกล้เคียงกับปกติ
6. การมีเครื่องมือทางคณิตศาสตร์พิเศษ

การสร้างแบบจำลองสุ่มนั้นดำเนินการในหลายขั้นตอน:

• การวิเคราะห์เชิงคุณภาพ (การกำหนดวัตถุประสงค์ของการวิเคราะห์, การกำหนดประชากร, การกำหนดลักษณะที่มีประสิทธิภาพและปัจจัย, การเลือกช่วงเวลาที่ดำเนินการวิเคราะห์, การเลือกวิธีการวิเคราะห์)
• การวิเคราะห์เบื้องต้นของประชากรจำลอง (การตรวจสอบความเป็นเนื้อเดียวกันของประชากร ไม่รวมการสังเกตที่ผิดปกติ การชี้แจงขนาดตัวอย่างที่ต้องการ การจัดทำกฎการกระจายสำหรับตัวบ่งชี้ที่กำลังศึกษา)
• การสร้างแบบจำลองสุ่ม (การถดถอย) (การชี้แจงรายการปัจจัย, การคำนวณการประมาณค่าพารามิเตอร์ของสมการการถดถอย, การแจงนับตัวเลือกแบบจำลองที่แข่งขันกัน)
• การประเมินความเพียงพอของแบบจำลอง (การตรวจสอบนัยสำคัญทางสถิติของสมการโดยรวมและพารามิเตอร์แต่ละตัวตรวจสอบความสอดคล้องของคุณสมบัติอย่างเป็นทางการของการประมาณการโดยมีวัตถุประสงค์ของการศึกษา)
• การตีความทางเศรษฐกิจและ การใช้งานจริงแบบจำลอง (การกำหนดความเสถียรเชิงพื้นที่ - ชั่วคราวของความสัมพันธ์ที่สร้างขึ้น การประเมินคุณสมบัติเชิงปฏิบัติของแบบจำลอง)

แนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์สหสัมพันธ์และการถดถอย

การวิเคราะห์สหสัมพันธ์ -ชุดวิธีการทางสถิติทางคณิตศาสตร์ที่ทำให้สามารถประมาณค่าสัมประสิทธิ์ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่มและทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าของมันตามการคำนวณอะนาล็อกตัวอย่าง

การวิเคราะห์สหสัมพันธ์เป็นวิธีการประมวลผลข้อมูลทางสถิติที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาค่าสัมประสิทธิ์ (สหสัมพันธ์) ระหว่างตัวแปร

ความสัมพันธ์(ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าไม่สมบูรณ์หรือทางสถิติ) ปรากฏโดยเฉลี่ยสำหรับการสังเกตมวลเมื่อค่าที่กำหนดของตัวแปรตามสอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้จำนวนหนึ่งของตัวแปรอิสระ คำอธิบายนี้คือความซับซ้อนของความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยที่วิเคราะห์ ซึ่งปฏิสัมพันธ์ของปัจจัยดังกล่าวได้รับอิทธิพลจากตัวแปรสุ่มที่ไม่ได้นับรวม ดังนั้นการเชื่อมต่อระหว่างสัญญาณจึงปรากฏโดยเฉลี่ยเท่านั้นในกรณีส่วนใหญ่ ในการเชื่อมต่อความสัมพันธ์ แต่ละค่าอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันที่แจกแจงแบบสุ่มในช่วงเวลาหนึ่ง.

ในส่วนใหญ่ ปริทัศน์งานสถิติ (และตามนั้น การวิเคราะห์ทางเศรษฐกิจ) ในด้านการศึกษาความสัมพันธ์ประกอบด้วยการประเมินการมีอยู่และทิศทางในเชิงปริมาณตลอดจนการกำหนดลักษณะความแข็งแกร่งและรูปแบบของอิทธิพลของปัจจัยบางประการที่มีต่อผู้อื่น เพื่อแก้ปัญหานี้ มีการใช้วิธีการสองกลุ่ม กลุ่มหนึ่งประกอบด้วยวิธีการวิเคราะห์สหสัมพันธ์ และอีกวิธีหนึ่งคือการวิเคราะห์การถดถอย ในเวลาเดียวกัน นักวิจัยจำนวนหนึ่งรวมวิธีการเหล่านี้เข้ากับการวิเคราะห์สหสัมพันธ์-การถดถอย ซึ่งมีพื้นฐานบางประการ: การมีอยู่ของขั้นตอนการคำนวณทั่วไปจำนวนหนึ่ง การเสริมในการตีความผลลัพธ์ ฯลฯ

ดังนั้น ในบริบทนี้ เราสามารถพูดถึงการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ในความหมายกว้างๆ ได้ เมื่อความสัมพันธ์มีลักษณะเฉพาะอย่างครอบคลุม ในเวลาเดียวกัน มีการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ในแง่แคบ - เมื่อตรวจสอบจุดแข็งของการเชื่อมต่อ - และการวิเคราะห์การถดถอย ในระหว่างที่มีการประเมินรูปแบบและผลกระทบของปัจจัยบางอย่างต่อปัจจัยอื่น ๆ

หน้าที่ของตัวเอง การวิเคราะห์ความสัมพันธ์ลดลงเหลือเพียงการวัดความใกล้ชิดของการเชื่อมต่อระหว่างคุณลักษณะต่างๆ การกำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุที่ไม่ทราบ และการประเมินปัจจัยที่มีอิทธิพลมากที่สุดต่อคุณลักษณะผลลัพธ์

งาน การวิเคราะห์การถดถอยอยู่ในพื้นที่ของการสร้างรูปแบบของการพึ่งพาการกำหนดฟังก์ชันการถดถอยและใช้สมการเพื่อประมาณค่าที่ไม่รู้จักของตัวแปรตาม

การแก้ปัญหาเหล่านี้ขึ้นอยู่กับเทคนิค อัลกอริธึม และตัวบ่งชี้ที่เหมาะสม ซึ่งเป็นเหตุให้พูดถึงการศึกษาความสัมพันธ์ทางสถิติ

ก็ควรสังเกตว่า วิธีการแบบดั้งเดิมความสัมพันธ์และการถดถอยมีการแสดงอย่างกว้างขวางใน หลากหลายชนิดแพคเกจซอฟต์แวร์ทางสถิติสำหรับคอมพิวเตอร์ ผู้วิจัยสามารถเพียงเตรียมข้อมูลให้ถูกต้อง เลือกชุดซอฟต์แวร์ที่ตรงตามข้อกำหนดการวิเคราะห์ และพร้อมที่จะตีความผลลัพธ์ที่ได้รับ มีอัลกอริธึมมากมายสำหรับการคำนวณพารามิเตอร์การสื่อสารและในปัจจุบันแทบจะไม่แนะนำให้ทำเช่นนี้ ดูซับซ้อนการวิเคราะห์ด้วยตนเอง ขั้นตอนการคำนวณเป็นที่สนใจโดยอิสระ แต่ความรู้เกี่ยวกับหลักการศึกษาความสัมพันธ์ ความสามารถ และข้อจำกัดของวิธีการตีความผลลัพธ์บางอย่าง ข้อกำหนดเบื้องต้นวิจัย.

วิธีการประเมินความแข็งแกร่งของการเชื่อมต่อแบ่งออกเป็นความสัมพันธ์ (พาราเมตริก) และแบบไม่อิงพารามิเตอร์ วิธีการแบบพาราเมตริกนั้นขึ้นอยู่กับการใช้การประมาณค่าของการแจกแจงแบบปกติตามกฎและใช้ในกรณีที่ประชากรที่ศึกษาประกอบด้วยค่าที่เป็นไปตามกฎการแจกแจงแบบปกติ ในทางปฏิบัติ ตำแหน่งนี้มักได้รับการยอมรับเป็นนิรนัย จริงๆ แล้ว วิธีการเหล่านี้เป็นแบบพาราเมตริก และมักเรียกว่าวิธีสหสัมพันธ์

วิธีการแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ไม่ได้กำหนดข้อจำกัดเกี่ยวกับกฎการกระจายของปริมาณที่ศึกษา ข้อได้เปรียบของพวกเขาคือความเรียบง่ายในการคำนวณ

ความสัมพันธ์อัตโนมัติ- ความสัมพันธ์ทางสถิติระหว่างตัวแปรสุ่มจากอนุกรมเดียวกัน แต่ถ่ายด้วยการเปลี่ยนแปลง เช่น สำหรับ กระบวนการสุ่ม- ด้วยการเปลี่ยนเวลา

ความสัมพันธ์แบบคู่

เทคนิคที่ง่ายที่สุดในการระบุความสัมพันธ์ระหว่างสองคุณลักษณะคือการสร้าง ตารางความสัมพันธ์:

\ใช่\X\	ใช่ 1	ย2	...	ใช่	ทั้งหมด	ใช่แล้ว
เอ็กซ์ 1	ฉ 11		...	ฉ 1z
เอ็กซ์ 1	ฉ 21		...	ฉ 2z
...	...	...	...	...	...	...
เอ็กซ์ อาร์	ฉ k1	k2	...	ฉ
ทั้งหมด			...		n
			...			-

การจัดกลุ่มจะขึ้นอยู่กับคุณลักษณะสองประการที่ศึกษาในความสัมพันธ์ - X และ Y ความถี่ fij แสดงจำนวนชุดค่าผสมที่สอดคล้องกันของ X และ Y

ถ้า fij สุ่มอยู่ในตาราง เราสามารถพูดถึงการขาดการเชื่อมต่อระหว่างตัวแปรได้ ในกรณีของการก่อตัวของลักษณะเฉพาะใด ๆ ที่รวมกัน fij อนุญาตให้ยืนยันความเชื่อมโยงระหว่าง X และ Y ได้ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า fij กระจุกตัวอยู่ใกล้หนึ่งในสองเส้นทแยงมุม การเชื่อมต่อเชิงเส้นตรงหรือแบบผกผันจะเกิดขึ้น

การแสดงตารางความสัมพันธ์แบบเห็นภาพคือ สนามความสัมพันธ์เป็นกราฟที่มีการพล็อตค่า X บนแกน Abscissa ค่า Y จะถูกพล็อตบนแกนพิกัด และการรวมกันของ X และ Y จะแสดงด้วยจุด โดยตำแหน่งของจุดและความเข้มข้นใน a ในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง เราสามารถตัดสินได้ว่ามีความเชื่อมโยงอยู่หรือไม่

ฟิลด์สหสัมพันธ์เรียกว่าเซตของจุด (X i, Y i) บนระนาบ XY (รูปที่ 6.1 - 6.2)

หากจุดของสนามความสัมพันธ์ก่อตัวเป็นรูปวงรี ซึ่งเส้นทแยงมุมหลักมีมุมเอียงที่เป็นบวก (/) ความสัมพันธ์เชิงบวกจะเกิดขึ้น (ตัวอย่างของสถานการณ์ดังกล่าวสามารถดูได้ในรูปที่ 6.1)

หากจุดของสนามความสัมพันธ์ก่อตัวเป็นรูปวงรี ซึ่งเส้นทแยงมุมหลักมีมุมเอียงเป็นลบ (\) ความสัมพันธ์เชิงลบก็จะเกิดขึ้น (ตัวอย่างแสดงในรูปที่ 6.2)

หากไม่มีรูปแบบในตำแหน่งของจุดต่างๆ พวกเขาบอกว่าในกรณีนี้ไม่มีความสัมพันธ์กัน

ในผลลัพธ์ของตารางความสัมพันธ์ มีการแจกแจงสองแบบในแถวและคอลัมน์ - อันหนึ่งสำหรับ X และอีกอันสำหรับ Y ให้เราคำนวณค่าเฉลี่ยของ Y สำหรับแต่ละ Xi นั่นคือ , ยังไง

ลำดับของจุด (X i, ) ให้กราฟที่แสดงการพึ่งพาค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะที่มีประสิทธิผล Y บนปัจจัย X, – เส้นการถดถอยเชิงประจักษ์แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่า Y เปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อ X เปลี่ยนแปลง

โดยพื้นฐานแล้ว ทั้งตารางความสัมพันธ์ สนามสหสัมพันธ์ และเส้นการถดถอยเชิงประจักษ์ได้แสดงลักษณะความสัมพันธ์เบื้องต้นแล้วเมื่อมีการเลือกปัจจัยและคุณลักษณะผลลัพธ์ และจำเป็นต้องกำหนดสมมติฐานเกี่ยวกับรูปแบบและทิศทางของความสัมพันธ์ ในเวลาเดียวกันการประเมินเชิงปริมาณของความหนาแน่นของการเชื่อมต่อจำเป็นต้องมีการคำนวณเพิ่มเติม

23 มกราคม 2017

แบบจำลองสุ่มอธิบายสถานการณ์ที่มีความไม่แน่นอน กล่าวอีกนัยหนึ่ง กระบวนการนี้มีลักษณะของการสุ่มในระดับหนึ่ง คำคุณศัพท์ “stochastic” นั้นมาจาก คำภาษากรีก"เดา". เพราะความไม่แน่นอนเป็นลักษณะสำคัญ ชีวิตประจำวันแล้วโมเดลดังกล่าวก็สามารถอธิบายอะไรก็ได้

แต่อย่างไรก็ตาม แต่ละครั้งที่เราใช้งาน เราก็จะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างออกไป ดังนั้นจึงมีการใช้แบบจำลองที่กำหนดขึ้นบ่อยกว่า แม้ว่าพวกมันจะไม่ใกล้เคียงกับสถานการณ์จริงมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แต่ก็ให้ผลลัพธ์เดียวกันเสมอและทำให้เข้าใจสถานการณ์ได้ง่ายขึ้น ลดความซับซ้อนด้วยการแนะนำชุดสมการทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติหลัก

โมเดลสุ่มจะมีอย่างน้อยหนึ่งรายการเสมอ ตัวแปรสุ่ม- เธอมุ่งมั่นที่จะสะท้อนชีวิตจริงในทุกรูปแบบ ซึ่งแตกต่างจากแบบจำลองที่กำหนดขึ้น แบบจำลองสุ่มไม่มีเป้าหมายในการทำให้ทุกอย่างง่ายขึ้นและลดให้เหลือค่าที่ทราบ ดังนั้นความไม่แน่นอนจึงเป็นคุณลักษณะสำคัญของมัน โมเดล Stochastic เหมาะสำหรับการอธิบายอะไรก็ได้ แต่โมเดล Stochastic ทั้งหมดมีคุณสมบัติทั่วไปดังต่อไปนี้:

• โมเดลสุ่มใดๆ สะท้อนถึงทุกแง่มุมของปัญหาที่ถูกสร้างขึ้นเพื่อศึกษา
• ผลลัพธ์ของแต่ละเหตุการณ์ไม่แน่นอน ดังนั้นแบบจำลองจึงรวมความน่าจะเป็นด้วย ความถูกต้องของผลลัพธ์โดยรวมขึ้นอยู่กับความถูกต้องของการคำนวณ
• ความน่าจะเป็นเหล่านี้สามารถใช้เพื่อทำนายหรืออธิบายกระบวนการได้ด้วยตนเอง

โมเดลเชิงกำหนดและสุ่ม

สำหรับบางคน ชีวิตก็ดูเหมือนเป็นเรื่องต่อเนื่องกัน เหตุการณ์สุ่มสำหรับคนอื่น ๆ - กระบวนการที่สาเหตุกำหนดผล ในความเป็นจริง มันมีลักษณะของความไม่แน่นอน แต่ก็ไม่เสมอไปและไม่ใช่ในทุกสิ่ง ดังนั้นบางครั้งจึงเป็นเรื่องยากที่จะค้นหาความแตกต่างที่ชัดเจนระหว่างแบบจำลองสุ่มและแบบจำลองที่กำหนด ความน่าจะเป็นเป็นตัวบ่งชี้ที่ค่อนข้างเป็นอัตนัย

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสถานการณ์การโยนเหรียญ เมื่อดูเผินๆ ดูเหมือนว่าความน่าจะเป็นที่จะลงจอด "ก้อย" คือ 50% ดังนั้น จึงต้องใช้แบบจำลองที่กำหนดขึ้น อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริง ปรากฎว่าหลายอย่างขึ้นอยู่กับความว่องไวของมือของผู้เล่นและความสมบูรณ์แบบของการรักษาสมดุลของเหรียญ ซึ่งหมายความว่าคุณต้องใช้แบบจำลองสุ่ม มีพารามิเตอร์ที่เราไม่รู้อยู่เสมอ ใน ชีวิตจริงสาเหตุจะเป็นตัวกำหนดผลเสมอ แต่ก็มีความไม่แน่นอนในระดับหนึ่งเช่นกัน ทางเลือกระหว่างการใช้แบบจำลองที่กำหนดขึ้นและแบบจำลองสุ่มนั้นขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรายินดีเสียสละ - ความง่ายในการวิเคราะห์หรือความสมจริง

วิดีโอในหัวข้อ

ในทฤษฎีความโกลาหล

ใน เมื่อเร็วๆ นี้แนวคิดของแบบจำลองที่เรียกว่าสุ่มยิ่งเบลอมากขึ้น นี่เป็นเพราะการพัฒนาของสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีความโกลาหล อธิบายแบบจำลองที่กำหนดซึ่งสามารถสร้างผลลัพธ์ที่แตกต่างกันโดยมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในพารามิเตอร์เริ่มต้น นี่เป็นเหมือนการแนะนำการคำนวณความไม่แน่นอน นักวิทยาศาสตร์หลายคนยอมรับว่านี่เป็นแบบจำลองสุ่มอยู่แล้ว

Lothar Breuer อธิบายทุกสิ่งอย่างงดงามด้วยภาพบทกวี เขาเขียนว่า: “ธารน้ำบนภูเขา หัวใจที่เต้นแรง ไข้ทรพิษระบาด ควันไฟที่เพิ่มขึ้น ทั้งหมดนี้เป็นตัวอย่างของปรากฏการณ์ที่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลาซึ่งบางครั้งดูเหมือนจะมีลักษณะโดยบังเอิญ ในความเป็นจริง กระบวนการดังกล่าวมักอยู่ภายใต้บังคับบัญชาเสมอ คำสั่งบางอย่างซึ่งนักวิทยาศาสตร์และวิศวกรเพิ่งเริ่มเข้าใจ นี่คือสิ่งที่เรียกว่าความวุ่นวายที่กำหนดขึ้นเอง” ทฤษฎีใหม่ฟังดูเป็นไปได้มาก ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมนักวิทยาศาสตร์สมัยใหม่จำนวนมากจึงสนับสนุนทฤษฎีนี้ อย่างไรก็ตาม ยังคงมีการพัฒนาที่ไม่ดีและนำไปใช้ในการคำนวณทางสถิติได้ค่อนข้างยาก ดังนั้นจึงมักใช้แบบจำลองสุ่มหรือแบบจำลองที่กำหนด

การก่อสร้าง

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สุ่มเริ่มต้นด้วยการเลือกช่องว่างของผลลัพธ์เบื้องต้น นี่คือสิ่งที่สถิติเรียกรายการผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของกระบวนการหรือเหตุการณ์ที่กำลังศึกษา จากนั้นผู้วิจัยจะกำหนดความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เบื้องต้นแต่ละอย่าง โดยปกติจะทำโดยใช้วิธีการเฉพาะ

อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็นยังคงเป็นตัวแปรที่ค่อนข้างเป็นอัตนัย จากนั้นผู้วิจัยจะพิจารณาว่าเหตุการณ์ใดที่น่าสนใจที่สุดในการแก้ปัญหา หลังจากนั้นเขาก็เพียงกำหนดความน่าจะเป็นของพวกเขา

ตัวอย่าง

ลองพิจารณากระบวนการสร้างแบบจำลองสุ่มที่ง่ายที่สุด สมมติว่าเรากำลังทอยลูกเต๋า หาก "หก" หรือ "หนึ่ง" ปรากฏขึ้น เงินรางวัลของเราจะเป็นสิบดอลลาร์ กระบวนการสร้างแบบจำลองสุ่มในกรณีนี้จะมีลักษณะดังนี้:

• ให้เรากำหนดปริภูมิของผลลัพธ์เบื้องต้น แม่พิมพ์มีหกด้าน ดังนั้นม้วนจึงสามารถเป็น "หนึ่ง", "สอง", "สาม", "สี่", "ห้า" และ "หก"
• ความน่าจะเป็นของแต่ละผลลัพธ์จะเป็น 1/6 ไม่ว่าเราจะทอยลูกเต๋ากี่ครั้งก็ตาม
• ตอนนี้เราต้องกำหนดผลลัพธ์ที่เราสนใจ นี่คือการล่มสลายของขอบด้วยเลข "หก" หรือ "หนึ่ง"
• สุดท้ายนี้เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เราสนใจได้ มันคือ 1/3. เราสรุปความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งสองเหตุการณ์ที่เราสนใจ: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

แนวคิดและผลลัพธ์

การสร้างแบบจำลองสุ่มมักใช้ใน การพนัน- แต่สิ่งที่ขาดไม่ได้เช่นกันค่ะ การพยากรณ์เศรษฐกิจเนื่องจากทำให้เราเข้าใจสถานการณ์ได้อย่างลึกซึ้งมากกว่าสถานการณ์ที่กำหนด แบบจำลองสุ่มในเศรษฐศาสตร์มักใช้ในการตัดสินใจลงทุน ช่วยให้คุณสามารถตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับความสามารถในการทำกำไรของการลงทุนในสินทรัพย์บางประเภทหรือกลุ่มของสินทรัพย์

การสร้างแบบจำลองทำให้การวางแผนทางการเงินมีประสิทธิภาพมากขึ้น ด้วยความช่วยเหลือนี้ นักลงทุนและเทรดเดอร์จึงสามารถเพิ่มประสิทธิภาพการจัดสรรสินทรัพย์ของตนได้ การใช้การสร้างแบบจำลองสุ่มมีประโยชน์ในระยะยาวเสมอ ในบางอุตสาหกรรม การปฏิเสธหรือไม่สามารถใช้งานได้อาจทำให้องค์กรล้มละลายได้ นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าในชีวิตจริงใหม่ พารามิเตอร์ที่สำคัญปรากฏทุกวันและหากปล่อยทิ้งไว้อาจส่งผลร้ายแรงได้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทางเศรษฐศาสตร์และการเขียนโปรแกรม

1. แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงกำหนดและความน่าจะเป็นทางเศรษฐศาสตร์ ข้อดีและข้อเสีย

วิธีการศึกษากระบวนการทางเศรษฐศาสตร์ขึ้นอยู่กับการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - เชิงกำหนดและความน่าจะเป็น - เป็นตัวแทนของกระบวนการ ระบบ หรือประเภทของกิจกรรมที่กำลังศึกษา โมเดลดังกล่าวให้คำอธิบายเชิงปริมาณของปัญหาและเป็นพื้นฐานในการตัดสินใจของฝ่ายบริหารเมื่อค้นหาตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุด การตัดสินใจเหล่านี้มีความสมเหตุสมผลเพียงใด เป็นปัจจัยทั้งหมดที่กำหนดวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดโดยนำมาพิจารณาและชั่งน้ำหนัก อะไรคือเกณฑ์ในการพิจารณาว่าโซลูชันนี้ดีที่สุดจริงๆ - เหล่านี้คือช่วงของคำถามที่มี ความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับผู้จัดการฝ่ายผลิตและคำตอบที่สามารถพบได้โดยใช้วิธีการวิจัยเชิงปฏิบัติการ [Chesnokov S.V. การวิเคราะห์เชิงกำหนดของข้อมูลทางเศรษฐกิจและสังคม - ม.: Nauka, 1982, หน้า 45]

หลักการประการหนึ่งของการสร้างระบบควบคุมคือวิธีการของแบบจำลองไซเบอร์เนติกส์ (ทางคณิตศาสตร์) การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มีตำแหน่งตรงกลางระหว่างการทดลองและทฤษฎี: ไม่จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองทางกายภาพที่แท้จริงของระบบ แต่จะถูกแทนที่ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ลักษณะเฉพาะของการก่อตัวของระบบควบคุมอยู่ที่ความน่าจะเป็นและแนวทางทางสถิติในการควบคุมกระบวนการ ในโลกไซเบอร์เนติกส์ เป็นที่ยอมรับกันว่ากระบวนการควบคุมใดๆ อยู่ภายใต้อิทธิพลแบบสุ่มที่รบกวนจิตใจ ดังนั้นกระบวนการผลิตจึงได้รับอิทธิพลจากปัจจัยจำนวนมากซึ่งไม่สามารถนำมาพิจารณาในลักษณะที่กำหนดได้ ดังนั้นกระบวนการผลิตจึงถือว่าได้รับอิทธิพลจากสัญญาณสุ่ม ด้วยเหตุนี้ การวางแผนองค์กรจึงทำได้เพียงความน่าจะเป็นเท่านั้น

ด้วยเหตุผลเหล่านี้ เมื่อพูดถึงการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทางเศรษฐกิจ จึงมักหมายถึงแบบจำลองความน่าจะเป็น

ให้เราอธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แต่ละประเภท

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงกำหนดมีลักษณะเฉพาะโดยข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาอธิบายความสัมพันธ์ของปัจจัยบางอย่างกับตัวบ่งชี้ที่มีประสิทธิผลว่าเป็นการพึ่งพาฟังก์ชัน เช่น ในแบบจำลองที่กำหนดขึ้น ตัวบ่งชี้ที่มีประสิทธิผลของแบบจำลองจะแสดงในรูปแบบของผลิตภัณฑ์ ผลหาร พีชคณิต ผลรวมของตัวประกอบหรือในรูปของฟังก์ชันอื่นใด แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประเภทนี้เป็นแบบที่พบบ่อยที่สุด เนื่องจากค่อนข้างใช้งานง่าย (เมื่อเทียบกับแบบจำลองความน่าจะเป็น) ซึ่งช่วยให้เข้าใจตรรกะของการกระทำของปัจจัยหลักในการพัฒนากระบวนการทางเศรษฐกิจ วัดปริมาณอิทธิพลของพวกเขา ทำความเข้าใจปัจจัยและสัดส่วนที่เป็นไปได้และแนะนำให้เปลี่ยนแปลงเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพการผลิต

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นโดยพื้นฐานแล้วจะแตกต่างจากแบบจำลองที่กำหนดขึ้นตรงที่ว่าในแบบจำลองความน่าจะเป็นความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยและคุณลักษณะผลลัพธ์จะเป็นความน่าจะเป็น (สุ่ม) ด้วยการพึ่งพาฟังก์ชัน (แบบจำลองที่กำหนด) สถานะของปัจจัยเดียวกันจะสอดคล้องกับสถานะเดียวของผลลัพธ์ คุณลักษณะในขณะที่ในแบบจำลองความน่าจะเป็นสถานะหนึ่งของปัจจัยและสถานะเดียวกันนั้นสอดคล้องกับสถานะทั้งชุดของคุณลักษณะผลลัพธ์ [Tolstova Yu. ลอจิกของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทางเศรษฐกิจ - อ.: Nauka, 2544, หน้า. 32-33].

ข้อดีของแบบจำลองที่กำหนดคือใช้งานง่าย ข้อเสียเปรียบหลักคือความเพียงพอของความเป็นจริงต่ำ เนื่องจากตามที่ระบุไว้ข้างต้น กระบวนการทางเศรษฐกิจส่วนใหญ่มีความน่าจะเป็นในธรรมชาติ

ข้อดีของแบบจำลองความน่าจะเป็นคือ ตามกฎแล้ว โมเดลเหล่านี้จะสอดคล้องกับความเป็นจริง (เพียงพอมากกว่า) มากกว่าแบบจำลองที่กำหนด อย่างไรก็ตาม ข้อเสียของแบบจำลองความน่าจะเป็นคือความซับซ้อนและลักษณะการใช้งานที่ต้องใช้แรงงานมาก ดังนั้นในหลาย ๆ สถานการณ์ ก็เพียงพอที่จะจำกัดตัวเราเองอยู่เฉพาะแบบจำลองที่กำหนดเท่านั้น

2. คำชี้แจงปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้ตัวอย่างปัญหาการปันส่วนอาหาร

เป็นครั้งแรกที่การกำหนดปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในรูปแบบของข้อเสนอเพื่อจัดทำแผนการขนส่งที่เหมาะสมที่สุด การอนุญาตให้ลดระยะทางรวมให้เหลือน้อยที่สุดในงานของนักเศรษฐศาสตร์โซเวียต A. N. Tolstoy ในปี 1930

การศึกษาปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นอย่างเป็นระบบและการพัฒนาวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมในงานของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย L. V. Kantorovich, V. S. Nemchinov และนักคณิตศาสตร์และนักเศรษฐศาสตร์คนอื่น ๆ นอกจากนี้ ผลงานจำนวนมากของชาวต่างชาติ และเหนือสิ่งอื่นใด นักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกันยังทุ่มเทให้กับวิธีการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นอีกด้วย

ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นคือการเพิ่ม (ย่อ) ฟังก์ชันเชิงเส้นให้สูงสุด

ภายใต้ข้อจำกัด

และทั้งหมด

ความคิดเห็น อสมการยังสามารถมีความหมายตรงกันข้ามได้ โดยการคูณอสมการที่สอดคล้องกันด้วย (-1) เราจะได้ระบบที่มีรูปแบบ (*) เสมอ

หากจำนวนตัวแปรในระบบข้อจำกัดและฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาคือ 2 แสดงว่าสามารถแก้ไขได้ในรูปแบบกราฟิก

ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องเพิ่มฟังก์ชันให้สูงสุดเพื่อให้ระบบข้อจำกัดที่น่าพอใจ

ให้เรามาดูความไม่เท่าเทียมกันประการหนึ่งของระบบข้อจำกัด

จากมุมมองทางเรขาคณิต จุดทั้งหมดที่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันนี้จะต้องอยู่บนเส้นตรงหรือเป็นของหนึ่งในระนาบครึ่งระนาบที่ระนาบของเส้นนี้ถูกแบ่งออก หากต้องการทราบ คุณต้องตรวจสอบว่ารายการใดบ้างที่มีจุด ()

หมายเหตุ 2. ถ้า แสดงว่าจับจุดได้ง่ายกว่า (0;0)

เงื่อนไขที่ไม่เป็นลบยังกำหนดครึ่งระนาบ ตามลำดับ โดยมีเส้นแบ่งเขต เราจะถือว่าระบบความไม่เท่าเทียมกันนั้นสอดคล้องกัน จากนั้นครึ่งระนาบที่ตัดกันกลายเป็นส่วนร่วมซึ่งเป็นเซตนูนและแสดงถึงเซตของจุดซึ่งมีพิกัดเป็นคำตอบของระบบนี้ - นี่คือเซตที่ยอมรับได้ โซลูชั่น เซตของจุดเหล่านี้ (คำตอบ) เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมของคำตอบ อาจเป็นจุด รังสี รูปหลายเหลี่ยม หรือพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีขอบเขต ดังนั้น หน้าที่ของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นคือการหาจุดในรูปหลายเหลี่ยมการตัดสินใจที่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์รับค่าสูงสุด (ต่ำสุด) จุดนี้เกิดขึ้นเมื่อรูปหลายเหลี่ยมของคำตอบไม่ว่างเปล่า และฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของรูปหลายเหลี่ยมนั้นถูกขอบเขตจากด้านบน (จากด้านล่าง) ภายใต้เงื่อนไขที่ระบุ ที่จุดยอดจุดใดจุดหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมของคำตอบ ฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะใช้ค่าสูงสุด เพื่อกำหนดจุดยอดนี้ เราสร้างเส้นตรง (โดยที่ h เป็นค่าคงที่) ส่วนใหญ่มักจะเป็นเส้นตรง ยังคงต้องหาทิศทางการเคลื่อนที่ของเส้นนี้ ทิศทางนี้ถูกกำหนดโดยการไล่ระดับสี (แอนติกราเดียนต์) ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

เวกเตอร์ในแต่ละจุดจะตั้งฉากกับเส้น ดังนั้นค่า f จะเพิ่มขึ้นเมื่อเส้นเคลื่อนที่ไปในทิศทางของการไล่ระดับสี (ลดลงในทิศทางของแอนติกราเดียนต์) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วาดเส้นตรงขนานกับเส้นตรง โดยเลื่อนไปในทิศทางของการไล่ระดับสี (ป้องกันการไล่ระดับสี)

เราจะดำเนินการก่อสร้างเหล่านี้ต่อไปจนกว่าเส้นจะผ่านจุดยอดสุดท้ายของรูปหลายเหลี่ยมสารละลาย จุดนี้กำหนดค่าที่เหมาะสมที่สุด

ดังนั้น การค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้วิธีเรขาคณิตจึงมีขั้นตอนต่อไปนี้:

เส้นถูกสร้างขึ้นโดยสมการที่ได้มาจากการแทนที่เครื่องหมายอสมการในข้อ จำกัด ด้วยเครื่องหมายความเท่าเทียมกันที่แน่นอน

ค้นหาระนาบครึ่งระนาบที่กำหนดโดยข้อจำกัดแต่ละข้อของปัญหา

ค้นหาวิธีแก้ปัญหารูปหลายเหลี่ยม

สร้างเวกเตอร์

พวกเขากำลังสร้างเส้นตรง

พวกเขาสร้างเส้นตรงขนานกันในทิศทางของเกรเดียนต์หรือแอนติกราเดียนต์ ซึ่งเป็นผลมาจากการที่พวกเขาค้นหาจุดที่ฟังก์ชันรับค่าสูงสุดหรือต่ำสุด หรือกำหนดว่าฟังก์ชันนั้นไม่มีขอบเขตจากด้านบน (จากด้านล่าง) บน ชุดที่ยอมรับได้

พิกัดของจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ของฟังก์ชันจะถูกกำหนด และค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ณ จุดนี้จะถูกคำนวณ

ปัญหาเรื่องโภชนาการอย่างมีเหตุผล (ปัญหาเรื่องการปันส่วนอาหาร)

การกำหนดปัญหา

ฟาร์มเลี้ยงปศุสัตว์เพื่อการค้า เพื่อความง่าย สมมติว่ามีผลิตภัณฑ์เพียงสี่ประเภทเท่านั้น: P1, P2, P3, P4; ต้นทุนต่อหน่วยของผลิตภัณฑ์แต่ละรายการจะเท่ากับ C1, C2, C3, C4 ตามลำดับ จากผลิตภัณฑ์เหล่านี้คุณต้องสร้างอาหารที่ควรมี: โปรตีน - อย่างน้อย b1 หน่วย; คาร์โบไฮเดรต - อย่างน้อย b2 หน่วย; ไขมัน - อย่างน้อย b3 หน่วย สำหรับผลิตภัณฑ์ P1, P2, P3, P4 ปริมาณโปรตีน คาร์โบไฮเดรต และไขมัน (เป็นหน่วยต่อหน่วยของผลิตภัณฑ์) เป็นที่รู้จักและระบุไว้ในตาราง โดยที่ aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - ตัวเลขเฉพาะบางตัว; ดัชนีแรกระบุหมายเลขผลิตภัณฑ์ ดัชนีที่สอง - หมายเลของค์ประกอบ (โปรตีน คาร์โบไฮเดรต ไขมัน)

กลับ