U ovom članku ćemo detaljno analizirati apsolutnu vrijednost broja. Dat ćemo različite definicije modula broja, uvesti notaciju i dati grafičke ilustracije. U isto vrijeme, razmotrimo razni primjeri nalaženje modula broja po definiciji. Nakon toga ćemo navesti i obrazložiti glavna svojstva modula. Na kraju članka ćemo govoriti o tome kako je modul definiran i lociran kompleksni broj.
Navigacija po stranici.
Modul brojeva - definicija, notacija i primjeri
Prvo se upoznajemo oznaka modula broja. Zapisaćemo modul broja a kao , odnosno lijevo i desno od broja stavićemo okomite crtice da formiramo znak modula. Navedimo par primjera. Na primjer, modul −7 se može napisati kao ; modul 4.125 je napisan kao , a modul ima zapis u obliku .
Sljedeća definicija modula odnosi se na , i stoga na , i na cijele brojeve, i na racionalno, i na iracionalni brojevi, što se tiče sastavnih dijelova skupa realnih brojeva. Govorit ćemo o modulu kompleksnog broja u.
Definicija.
Modul broja a– ovo je ili sam broj a, ako je a – pozitivan broj, ili broj −a, suprotan broju a, ako je a negativan broj, ili 0, ako je a=0.
Zvučna definicija modula broja često se upisuje sljedeći obrazac 
, ovaj unos znači da ako je a>0, ako je a=0, i ako je a<0
.
Zapis se može predstaviti u kompaktnijoj formi 
. Ova notacija znači da ako (a je veće ili jednako 0), i ako je a<0
.
Tu je i ulaz 
. Ovdje treba posebno objasniti slučaj kada je a=0. U ovom slučaju imamo , ali −0=0, budući da se nula smatra brojem koji je suprotan samom sebi.
Hajde da damo primjeri nalaženja modula broja koristeći navedenu definiciju. Na primjer, pronađimo module brojeva 15 i . Počnimo sa pronalaženjem. Pošto je broj 15 pozitivan, njegov je modul, po definiciji, jednak samom ovom broju, odnosno, . Koliki je modul broja? Pošto je negativan broj, njegov modul je jednak broju suprotnom broju, odnosno broju 
. Dakle, .
Da zaključimo ovo, donosimo jedan zaključak koji je vrlo pogodan za korištenje u praksi pri pronalaženju modula broja. Iz definicije modula broja proizilazi da modul broja jednak je broju ispod predznaka modula bez uzimanja u obzir njegovog predznaka, a iz gore navedenih primjera to je vrlo jasno vidljivo. Navedena izjava objašnjava zašto se naziva i modul broja apsolutnu vrijednost broja. Dakle, modul broja i apsolutna vrijednost broja su jedno te isto.
Modul broja kao udaljenost
Geometrijski, modul broja može se tumačiti kao razdaljina. Hajde da damo određivanje modula broja kroz udaljenost.
Definicija.
Modul broja a– ovo je rastojanje od početka na koordinatnoj liniji do tačke koja odgovara broju a.
Ova definicija je u skladu sa definicijom modula broja datom u prvom paragrafu. Hajde da razjasnimo ovu tačku. Udaljenost od početka do tačke koja odgovara pozitivnom broju jednaka je ovom broju. Nula odgovara ishodištu, stoga je udaljenost od ishodišta do tačke s koordinatom 0 jednaka nuli (ne morate izdvojiti jedan jedinični segment i niti jedan segment koji čini bilo koji dio jediničnog segmenta po redu doći od tačke O do tačke sa koordinatom 0). Udaljenost od ishodišta do tačke sa negativnom koordinatom jednaka je broju suprotnom od koordinate ove tačke, jer je jednaka udaljenosti od početka do tačke čija je koordinata suprotan broj.
Na primjer, modul broja 9 je jednak 9, jer je udaljenost od početka do tačke sa koordinatom 9 jednaka devet. Dajemo još jedan primjer. Tačka sa koordinatom −3,25 nalazi se na udaljenosti 3,25 od tačke O, dakle 
.
Navedena definicija modula broja je poseban slučaj definicije modula razlike dva broja.
Definicija.
Modul razlike dva broja a i b je jednako rastojanju između tačaka koordinatne linije sa koordinatama a i b.
To jest, ako su date tačke na koordinatnoj liniji A(a) i B(b), tada je udaljenost od tačke A do tačke B jednaka modulu razlike između brojeva a i b. Ako uzmemo tačku O (početak) kao tačku B, onda ćemo dobiti definiciju modula broja datu na početku ovog pasusa.
Određivanje modula broja pomoću aritmetičkog kvadratnog korijena
Povremeno se javlja određivanje modula preko aritmetičkog kvadratnog korijena.
Na primjer, izračunajmo module brojeva −30 i na osnovu ove definicije. Imamo. Slično, izračunavamo modul od dvije trećine: 
.
Definicija modula broja kroz aritmetički kvadratni korijen je također u skladu sa definicijom datom u prvom stavu ovog člana. Hajde da to pokažemo. Neka je a pozitivan broj, i neka je −a negativan broj. Onda 
I 
, ako je a=0 , onda 
.
Svojstva modula
Modul ima niz karakterističnih rezultata - svojstva modula. Sada ćemo predstaviti glavne i najčešće korištene od njih. Kada opravdavamo ova svojstva, oslonićemo se na definiciju modula broja u smislu udaljenosti.
Počnimo s najočiglednijim svojstvom modula - Modul broja ne može biti negativan broj. U doslovnom obliku, ovo svojstvo ima oblik za bilo koji broj a. Ovo svojstvo je vrlo lako opravdati: modul broja je udaljenost, a udaljenost se ne može izraziti kao negativan broj.
Pređimo na sljedeće svojstvo modula. Modul broja je nula ako i samo ako je ovaj broj nula. Modul nule je nula po definiciji. Nula odgovara ishodištu; nijedna druga tačka na koordinatnoj liniji ne odgovara nuli, pošto je svaki realan broj povezan sa jednom tačkom na koordinatnoj liniji. Iz istog razloga, bilo koji broj osim nule odgovara tački različitoj od početka. A rastojanje od početka do bilo koje tačke osim tačke O nije nula, pošto je rastojanje između dve tačke nula ako i samo ako se ove tačke poklapaju. Gornje rezonovanje dokazuje da je samo modul nule jednak nuli.
Nastavi. Suprotni brojevi imaju jednake module, odnosno za bilo koji broj a. Zaista, dvije tačke na koordinatnoj liniji, čije su koordinate suprotni brojevi, nalaze se na istoj udaljenosti od početka, što znači da su moduli suprotnih brojeva jednaki.
Sljedeće svojstvo modula je: Modul proizvoda dva broja jednak je proizvodu modula ovih brojeva, to je, . Po definiciji, modul proizvoda brojeva a i b jednak je ili a·b ako je , ili −(a·b) ako je . Iz pravila množenja realnih brojeva slijedi da je proizvod modula brojeva a i b jednak ili a·b, , ili −(a·b) ako je , što dokazuje dotično svojstvo.
Modul količnika a podijeljenog sa b jednak je količniku modula broja podijeljenog modulom od b, to je, . Hajde da opravdamo ovo svojstvo modula. Pošto je količnik jednak proizvodu, onda. Na osnovu prethodnog svojstva imamo 
. Ostaje samo koristiti jednakost , koja vrijedi na osnovu definicije modula broja.
Sljedeće svojstvo modula zapisuje se kao nejednakost: 
, a , b i c su proizvoljni realni brojevi. Napisana nejednakost nije ništa drugo do nejednakost trougla. Da ovo bude jasno, uzmimo tačke A(a), B(b), C(c) na koordinatnoj pravoj i razmotrimo degenerisani trougao ABC, čiji vrhovi leže na istoj pravoj. Po definiciji, modul razlike jednak je dužini odsječka AB, - dužini odsječka AC, i - dužini odsječka CB. Kako dužina bilo koje stranice trokuta ne prelazi zbir dužina druge dvije stranice, tada je tačna nejednakost 
, dakle, tačna je i nejednakost.
Upravo dokazana nejednakost je mnogo češća u obliku 
. Napisana nejednakost se obično posmatra kao zasebno svojstvo modula sa formulacijom: “ Modul zbira dva broja ne prelazi zbir modula ovih brojeva" Ali nejednakost proizlazi direktno iz nejednakosti ako stavimo −b umjesto b i uzmemo c=0.
Modul kompleksnog broja
Hajde da damo definicija modula kompleksnog broja. Neka nam se da kompleksni broj, napisan u algebarskom obliku, gdje su x i y neki realni brojevi, koji predstavljaju realni i imaginarni dio datog kompleksnog broja z, i predstavlja imaginarnu jedinicu.
Jedna od najtežih tema za studente je rješavanje jednačina koje sadrže varijablu pod predznakom modula. Hajde prvo da shvatimo sa čime je ovo povezano? Zašto, na primjer, većina djece razbija kvadratne jednadžbe poput oraha, ali ima toliko problema s tako daleko od složenog koncepta kao što je modul?
Po mom mišljenju, sve ove poteškoće su povezane sa nedostatkom jasno formulisanih pravila za rešavanje jednačina sa modulom. Dakle, odlučivanje kvadratna jednačina, učenik sigurno zna da prvo treba primijeniti diskriminantnu formulu, a zatim i formule za korijene kvadratne jednačine. Šta učiniti ako se u jednačini nađe modul? Pokušaćemo da jasno opišemo neophodan akcioni plan za slučaj kada jednačina sadrži nepoznanicu pod predznakom modula. Navest ćemo nekoliko primjera za svaki slučaj.
Ali prvo, prisjetimo se definicija modula. Dakle, po modulu broja a sam ovaj broj se zove if a nenegativni i -a, ako je broj a manje od nule. Možete to napisati ovako:
|a| = a ako je a ≥ 0 i |a| = -a ako a< 0
Govoreći o geometrijskom značenju modula, treba imati na umu da svaki realni broj odgovara određenoj tački na brojevnoj osi - njegovom 
koordinata. Dakle, modul ili apsolutna vrijednost broja je udaljenost od ove tačke do početka numeričke ose. Udaljenost je uvijek navedena kao pozitivan broj. Dakle, modul bilo kojeg negativnog broja je pozitivan broj. Inače, čak i u ovoj fazi, mnogi učenici počinju da se zbunjuju. Modul može sadržavati bilo koji broj, ali rezultat korištenja modula je uvijek pozitivan broj.
Pređimo sada direktno na rješavanje jednačina.
1. Razmotrimo jednačinu oblika |x| = c, gdje je c realan broj. Ova jednačina se može riješiti korištenjem definicije modula.
Sve realne brojeve dijelimo u tri grupe: one koji su veći od nule, one koji su manji od nule, a treća grupa je broj 0. Rješenje zapisujemo u obliku dijagrama:
(±c, ako je c > 0
Ako |x| = c, tada je x = (0, ako je c = 0
(bez korijena ako je sa< 0
1) |x| = 5, jer 5 > 0, tada je x = ±5;
2) |x| = -5, jer -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, tada je x = 0.
2. Jednadžba oblika |f(x)| = b, gdje je b > 0. Za rješavanje ove jednačine potrebno je riješiti se modula. Radimo to na ovaj način: f(x) = b ili f(x) = -b. Sada trebate riješiti svaku od rezultirajućih jednačina zasebno. Ako je u originalnoj jednadžbi b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, jer 4 > 0, onda
x + 2 = 4 ili x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, jer 11 > 0, onda
x 2 – 5 = 11 ili x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 bez korijena
3) |x 2 – 5x| = -8, jer -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Jednadžba oblika |f(x)| = g(x). Prema značenju modula, takva jednačina će imati rješenja ako je desni deo veći ili jednak nuli, tj. g(x) ≥ 0. Tada ćemo imati:
f(x) = g(x) ili f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. Ova jednačina će imati korijen ako je 5x – 10 ≥ 0. Ovdje počinje rješavanje takvih jednačina.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Rješenje:
2x – 1 = 5x – 10 ili 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Kombiniramo O.D.Z. a rješenje dobijamo:
Koren x = 11/7 ne odgovara O.D.Z., manji je od 2, ali x = 3 zadovoljava ovaj uslov.
Odgovor: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Riješimo ovu nejednačinu metodom intervala:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Rješenje:
x – 1 = 1 – x 2 ili x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 ili x = 1 x = 0 ili x = 1
3. Kombiniramo rješenje i O.D.Z.:
Prikladni su samo korijeni x = 1 i x = 0.
Odgovor: x = 0, x = 1.
4. Jednadžba oblika |f(x)| = |g(x)|. Takva jednačina je ekvivalentna sljedećim dvjema jednačinama f(x) = g(x) ili f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Ova jednadžba je ekvivalentna sljedeće dvije:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ili x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 ili x = 4 x = 2 ili x = 1
Odgovor: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Jednačine riješene metodom zamjene (zamjena varijable). Ova metoda rješenja najlakše je objasniti u konkretan primjer. Dakle, neka nam bude data kvadratna jednačina sa modulom:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Po svojstvu modula x 2 = |x| 2, pa se jednačina može prepisati na sljedeći način:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Napravimo zamjenu |x| = t ≥ 0, tada ćemo imati:
t 2 – 6t + 5 = 0. Rješavajući ovu jednačinu, nalazimo da je t = 1 ili t = 5. Vratimo se zamjeni:
|x| = 1 ili |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Odgovor: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Pogledajmo još jedan primjer:
x 2 + |x| – 2 = 0. Po svojstvu modula x 2 = |x| 2, dakle
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Napravimo zamjenu |x| = t ≥ 0, tada:
t 2 + t – 2 = 0. Rješavanjem ove jednačine dobijamo t = -2 ili t = 1. Vratimo se zamjeni:
|x| = -2 ili |x| = 1
Nema korijena x = ± 1
Odgovor: x = -1, x = 1.
6. Druga vrsta jednadžbi su jednačine sa “složenim” modulom. Takve jednačine uključuju jednačine koje imaju "module unutar modula". Jednačine ovog tipa mogu se riješiti korištenjem svojstava modula.
1) |3 – |x|| = 4. Postupit ćemo na isti način kao u jednačinama drugog tipa. Jer 4 > 0, tada dobijamo dvije jednadžbe:
3 – |x| = 4 ili 3 – |x| = -4.
Izrazimo sada modul x u svakoj jednadžbi, a zatim |x| = -1 ili |x| = 7.
Rješavamo svaku od rezultirajućih jednačina. U prvoj jednadžbi nema korijena, jer -1< 0, а во втором x = ±7.
Odgovor x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Ovu jednačinu rješavamo na sličan način:
3 + |x + 1| = 5 ili 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 ili x + 1 = -2. Nema korijena.
Odgovor: x = -3, x = 1.
Tu je i univerzalna metoda rješavanje jednačina sa modulom. Ovo je intervalna metoda. Ali to ćemo kasnije pogledati.
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
Tochilkina Yulia
U radu su prikazane različite metode za rješavanje jednačina s modulom.
Skinuti:
Pregled:
Opštinska budžetska obrazovna ustanova
"Prosječno sveobuhvatne škole br. 59"
Jednačine sa modulom
Apstraktni rad
Izvedeno Učenik 9A razreda
MBOU "Srednja škola br. 59" Barnaul
Tochilkina Yulia
Supervizor
Zakharova Ljudmila Vladimirovna,
nastavnik matematike
MBOU "Srednja škola br. 59" Barnaul
Barnaul 2015
Uvod
Ja sam deveti razred. Ove školske godine ću morati da polažem završnu ovjeru za osnovnu školu. Da bismo se pripremili za ispit, kupili smo zbirku matematike D. A. Maltseva. 9. razred. Pregledavajući zbirku, otkrio sam jednadžbe koje sadrže ne samo jedan, već i nekoliko modula. Učiteljica je objasnila meni i mojim kolegama iz razreda da se takve jednačine nazivaju jednačine „ugniježđenog modula“. Ovaj naziv nam se činio neobičnim, a rješenje je, na prvi pogled, bilo prilično komplicirano. Tako se pojavila tema za moj rad „Jednačine sa modulom“. Odlučio sam da dublje proučim ovu temu, pogotovo što će mi biti od koristi pri polaganju ispita na kraju školske godine i mislim da će biti potrebno u 10. i 11. razredu. Sve navedeno određuje relevantnost teme koju sam odabrao.
Cilj rada:
- Razmislite razne metode rješavanje jednačina sa modulom.
- Naučite rješavati jednadžbe koje sadrže znak apsolutna vrijednost, razne metode
Za rad na ovoj temi formulirani su sljedeći zadaci:
Zadaci:
- Istražiti teorijski materijal na temu “Modul realnog broja”.
- Razmotriti metode rješavanja jednačina i učvrstiti stečeno znanje rješavanjem zadataka.
- Stečeno znanje primijeniti prilikom rješavanja različitih jednačina koje sadrže znak modula u srednjoj školi
Predmet studija:metode za rješavanje jednačina sa modulom
Predmet studija:jednačine sa modulom
Metode istraživanja:
Teorijski : proučavanje literature na temu istraživanja;
Internet - informacije.
Analiza informacije dobijene proučavanjem literature; rezultati dobijeni pri rješavanju jednačina sa modulom Različiti putevi.
Poređenje metode za rješavanje jednačina predmet je racionalnosti njihove upotrebe pri rješavanju različitih jednačina sa modulom.
“Počinjemo razmišljati kada nešto udarimo.” Paul Valery.
1. Koncepti i definicije.
Koncept "modula" se široko koristi u mnogim dijelovima školskog kursa matematike, na primjer, u proučavanju apsolutnih i relativnih grešaka približnog broja; u geometriji i fizici se proučavaju pojmovi vektora i njegove dužine (vektorski modul). Koncepti modula koji se primjenjuju na kursevima višu matematiku, fizike i tehničke nauke studirao na visokoškolskim ustanovama.
Riječ “modul” dolazi od latinske riječi “modulus”, što znači “mjera”. Ova riječ ima mnogo značenja i koristi se ne samo u matematici, fizici i tehnologiji, već iu arhitekturi, programiranju i drugim egzaktnim naukama.
Vjeruje se da je termin predložio Cotes, Newtonov učenik. Znak modula uveo je u 19. vijeku Weierstrass.
U arhitekturi, modul je početna mjerna jedinica uspostavljena za datu arhitektonsku strukturu.
U tehnologiji je to termin koji se koristi u raznim oblastima tehnike, koristi se za označavanje različitih koeficijenata i veličina, na primjer, modul elastičnosti, modul zahvata...
U matematici, modul ima nekoliko značenja, ali ja ću ga smatrati apsolutnom vrijednošću broja.
Definicija 1: Modul (apsolutna vrijednost) realnog broja A sam ovaj broj se zove if A ≥0, ili suprotan broj – i ako A modul nule je nula.
Prilikom rješavanja jednadžbi s modulom zgodno je koristiti svojstva modula.
Razmotrimo dokaze svojstava 5,6,7.
Tvrdnja 5. Jednakost │ a+b │=│ a │+│ b │ je tačno ako av ≥ 0.
Dokaz. Zaista, nakon kvadriranja obje strane ove jednakosti, dobivamo │ a+b │²=│ a │²+2│ ab │+│ c │²,
a²+ 2 ab+b²=a²+ 2│ ab │+ b², odakle je │ ab │= ab
I posljednja jednakost će biti istinita kada av ≥0.
Tvrdnja 6. Jednakost │ a-c │=│ a │+│ c │ je istina kada av ≤0.
Dokaz. Da se to dokaže, dovoljno je u jednakosti
│ a+v │=│ a │+│ v │ zamijeniti v sa - v, zatim a· (- v ) ≥0, odakle je av ≤0.
Tvrdnja 7. Jednakost │ a │+│ b │= a+b izvedeno u a ≥0 i b ≥0.
Dokaz . Razmotrivši četiri slučaja a ≥0 i b ≥0; a ≥0 i c A u ≥0; A V a ≥0 i b ≥0.
(a-c) u ≥0.
Geometrijska interpretacija
|a| - ovo je udaljenost na koordinatnoj liniji od tačke sa koordinatom A , do porijekla.
|-a| |a|
A 0 a x
Geometrijska interpretacija značenja |a| jasno potvrđuje da |-a|=|a|
Ako a 0, tada na koordinatnoj pravoj postoje dvije tačke a i –a, jednako udaljene od nule, čiji su moduli jednaki.
Ako je a=0, onda na koordinatnoj liniji |a| predstavljeno tačkom 0.
2. definicija: Jednačina sa modulom je jednačina koja sadrži varijablu pod znakom apsolutne vrijednosti (pod znakom modula). Na primjer: |x +3|=1
Definicija 3: Rješavanje jednadžbe znači pronalaženje svih njezinih korijena ili dokazivanje da nema korijena.
2. Metode rješenja
Iz definicije i svojstava modula slijede glavne metode za rješavanje jednačina s modulom:
- "Proširivanje" modula (tj. korištenje definicije);
- Korištenje geometrijskog značenja modula (osobina 2);
- Metoda grafičkog rješenja;
- Korištenje ekvivalentnih transformacija (osobine 4.6);
- Zamjena varijable (ovo koristi svojstvo 5).
- Intervalna metoda.
Odlučio sam dovoljno veliki broj primjere, ali u radu vam predstavljam samo nekoliko, po mom mišljenju tipičnih primjera, riješenih na razne načine, jer se ostali dupliraju i da biste razumjeli kako rješavati jednadžbe sa modulom nije potrebno razmotriti sve riješene primjere.
RJEŠAVANJE JEDNAČINA | f(x)| = a
Razmotrimo jednačinu | f(x)| = a, a R
Jednačina ovog tipa može se riješiti definicijom modula:
Ako A tada jednačina nema korijena.
Ako je a= 0, onda je jednadžba ekvivalentna f(x)=0.
Ako je a>0, tada je jednadžba ekvivalentna skupu
Primjer. Riješite jednačinu |3x+2|=4.
Rješenje.
|3x+2|=4, zatim 3x+2=4,
3x+2= -4;
X=-2,
X=2/3
ODGOVOR: -2;2/3.
RJEŠAVANJE JEDNAČINA KORIŠĆENJEM GEOMETRIJSKIH SVOJSTVA MODULA.
Primjer 1. Riješite jednačinu /x-1/+/x-3/=6.
Rješenje.
Rješavanje ove jednadžbe znači pronalaženje svih takvih tačaka na numeričkoj osi Ox, za svaku od kojih je zbir udaljenosti od nje do tačaka s koordinatama 1 i 3 jednak 6.
Niti jedne tačke iz segmentane zadovoljava ovaj uslov, jer zbir prikazanih udaljenosti je 2. Izvan ovog segmenta postoje dvije tačke: 5 i -1.
1 1 3 5
Odgovor: -1;5
Primjer 2. Riješi jednačinu |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.
Rješenje.
Označimo x 2 +x-5= a, zatim / a /+/ a-4 /=10. Nađimo tačke na osi Ox tako da je za svaku od njih zbir udaljenosti do tačaka sa koordinatama 0 i 4 jednak 10. Ovaj uslov je zadovoljen sa -4 i 7.
3 0 4 7
Dakle, x 2 +x-5= 4 x 2 +x-5=7
X 2 +x-2=0 x 2 +x-12=0
X 1= 1, x 2= -2 x 1= -4, x 2= 3 Odgovor: -4;-2; 1; 3.
RJEŠAVANJE JEDNAČINA | f(x)| = | g(x)|.
- Od | a |=|u |, ako je a= u, onda jednačina oblika | f(x)| = | g(x )| ekvivalentan totalitetu
Primjer 1.
Riješi jednačinu | x –2| = |3 – x |.
Rješenje.
Ova jednadžba je ekvivalentna dvije jednačine:
x – 2 = 3 – x (1) i x – 2 = –3 + x (2)
2 x = 5 –2 = –3 – netačno
X = 2,5 jednačina nema rješenja.
ODGOVOR: 2.5.
Primjer 2.
Riješi jednačinu |x 2 +3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.
Rješenje.
Pošto su obje strane jednadžbe nenegativne, ondakvadriranje je ekvivalentna transformacija:
(x 2 +3x-20) 2 = (x 2 -3x+2) 2
(x 2 +3x-20) 2 - (x 2 -3x+2) 2 =0,
(x 2 +3x-20-x 2 +3x-2) (x 2 +3x-20+x 2 -3x+2)=0,
(6x-22)(2x 2 -18)=0,
6x-22=0 ili 2x 2 -18=0;
X=22/6, x=3, x=-3.
X=11/3
Odgovor: -3; 3; 11/3.
RJEŠENJE JEDNAČINA GLEDA | f(x)| = g(x).
Razlika između ovih jednačina i| f(x)| = a činjenica da je desna strana takođe varijabla. A može biti i pozitivno i negativno. Stoga morate posebno provjeriti njegovu nenegativnost, jer modul ne može biti jednak negativan broj(imovina№1 )
1 način
Rješenje jednadžbe | f(x)| = g(x ) svodi na skup rješenja jednadžbii provjera pravednosti nejednakosti g(x )>0 za pronađene vrijednosti nepoznate.
Metoda 2 (prema definiciji modula)
Od | f(x)| = g(x) ako je f(x) = 0; | f(x)| = - f(x) ako je f(x)
Primjer.
Riješi jednačinu |3 x –10| = x – 2.
Rješenje.
Ova jednačina je ekvivalentna kombinaciji dva sistema:
ODGOVOR: 3; 4.
RJEŠENJE JEDNAČINA OBLIKA |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)
Rješenje jednačina ovog tipa zasniva se na definiciji modula. Za svaku funkciju f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) potrebno je pronaći domen definicije, njegove nule i tačke diskontinuiteta, dijeleći opći domen definicije na intervale, u svakom od kojih su funkcije f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) zadržavaju svoj znak. Zatim, koristeći definiciju modula, za svako od pronađenih područja dobijamo jednačinu koja se mora riješiti na ovom intervalu. Ova metoda se zove "intervalna metoda»
Primjer.
Riješite jednačinu |x-2|-3|x+4|=1.
Rješenje.
Nađimo tačke u kojima su submodularni izrazi jednaki nuli
x-2=0, x+4=0,
x=2; x=-4.
Podijelimo brojevnu pravu na intervale x
Rješavanje jednadžbe se svodi na rješavanje tri sistema:
ODGOVOR: -15, -1.8.
GRAFIČKA METODA ZA RJEŠAVANJE JEDNAČINA KOJA SADRŽE MODULE SIGN.
Grafička metoda rješavanja jednačina je približna, jer tačnost ovisi o odabranom segmentu jedinice, debljini olovke, uglovima pod kojima se prave seku itd. Ali ova metoda vam omogućava da procijenite koliko rješenja ima jedna jednačina.
Primjer. Riješite grafički jednačinu |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9
Rješenje. Napravimo grafove funkcija u jednom koordinatnom sistemu
y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| i y=9.
Da biste napravili graf, morate uzeti u obzir ovu funkciju na svakom intervalu (-∞; 2); [ 3/2 ; ∞ )
Odgovor: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )
Također smo koristili metodu ekvivalentnih transformacija prilikom rješavanja jednačina | f(x)| = | g(x)|.
JEDNAČINE SA SLOŽENIM MODULOM
Druga vrsta jednadžbi su jednačine sa “složenim” modulom. Takve jednačine uključuju jednačine koje imaju "module unutar modula". Jednačine ovog tipa mogu se riješiti različitim metodama.
Primjer 1.
Riješite jednačinu ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.
Rješenje.
Po definiciji modula imamo:
Rešimo prvu jednačinu.
- ||| x |–2| –1| = 4
| x | – 2 = 5;
| x | = 7;
x = 7.
Rešimo drugu jednačinu.
- ||| x | –2| –1| = 0,
|| x | –2| = 1,
| x | –2 = 1,
| x | = 3 i | x | = 1,
x = 3; x = 1.
Odgovor: 1; 3; 7.
Primjer 2.
Riješite jednačinu |2 – |x + 1|| = 3.
Rješenje.
Rešimo jednačinu uvođenjem nove varijable.
Neka | x + 1| = y, tada |2 – y | = 3, odavde
Uradimo obrnutu zamjenu:
(1) | x + 1| = –1 – nema rješenja.
(2) | x + 1| = 5
ODGOVOR: –6; 4.
Primjer 3.
Koliko korijena ima jednadžba | 2 | x | -6 | = 5 - x?
Rješenje. Rešimo jednačinu koristeći šeme ekvivalencije.
Jednadžba | 2 | x | -6 | = 5 je ekvivalentno sistemu:
Rješavanje jednadžbi i nejednačina s modulomčesto izaziva poteškoće. Međutim, ako dobro razumete šta je to apsolutnu vrijednost broja, And kako pravilno proširiti izraze koji sadrže znak modula, zatim prisustvo u jednačini izraz pod znakom modula, prestaje biti prepreka njegovom rješavanju.
Malo teorije. Svaki broj ima dvije karakteristike: apsolutnu vrijednost broja i njegov znak.
Na primjer, broj +5, ili jednostavno 5, ima znak “+” i apsolutnu vrijednost 5.
Broj -5 ima znak "-" i apsolutnu vrijednost 5.
Apsolutne vrijednosti brojeva 5 i -5 su 5.
Apsolutna vrijednost broja x naziva se modulom broja i označava se sa |x|.
Kao što vidimo, modul broja jednak je samom broju ako je ovaj broj veći ili jednak nuli, a ovom broju suprotnog predznaka ako je ovaj broj negativan.
Isto se odnosi na sve izraze koji se pojavljuju pod znakom modula.
Pravilo proširenja modula izgleda ovako:
|f(x)|= f(x) ako je f(x) ≥ 0, i
|f(x)|= - f(x), ako je f(x)< 0
Na primjer |x-3|=x-3, ako je x-3≥0 i |x-3|=-(x-3)=3-x, ako je x-3<0.
Da biste riješili jednačinu koja sadrži izraz pod predznakom modula, prvo morate proširite modul prema pravilu proširenja modula.
Tada naša jednačina ili nejednakost postaje u dvije različite jednačine koje postoje na dva različita numerička intervala.
Jedna jednačina postoji na numeričkom intervalu na kojem izraz pod predznakom modula nije negativan.
A druga jednadžba postoji na intervalu na kojem je izraz pod predznakom modula negativan.
Pogledajmo jednostavan primjer.
Rešimo jednačinu:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Otvorimo modul.
|x-3|=x-3, ako je x-3≥0, tj. ako je x≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x ako je x-3<0, т.е. если х<3
2. Dobili smo dva numerička intervala: x≥3 i x<3.
Razmotrimo u koje se jednadžbe transformira originalna jednadžba na svakom intervalu:
A) Za x≥3 |x-3|=x-3, a naše ranjavanje ima oblik:
Pažnja! Ova jednačina postoji samo na intervalu x≥3!
Otvorimo zagrade i predstavimo slične pojmove:
i riješi ovu jednačinu.
Ova jednadžba ima korijene:
x 1 =0, x 2 =3
Pažnja! budući da jednačina x-3=-x 2 +4x-3 postoji samo na intervalu x≥3, zanimaju nas samo oni korijeni koji pripadaju ovom intervalu. Ovaj uslov je zadovoljen samo sa x 2 =3.
B) Na x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Pažnja! Ova jednadžba postoji samo na intervalu x<3!
Hajde da otvorimo zagrade i predstavimo slične pojmove. Dobijamo jednačinu:
x 1 =2, x 2 =3
Pažnja! budući da jednačina 3-x=-x 2 +4x-3 postoji samo na intervalu x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Dakle: iz prvog intervala uzimamo samo korijen x=3, iz drugog - korijen x=2.
Među primjera po moduluČesto postoje jednačine koje trebate pronaći korijeni modula u modulu, odnosno jednačina oblika
||a*x-b|-c|=k*x+m .
Ako je k=0, odnosno desna strana jednaka konstanti (m), onda je lakše tražiti rješenje jednadžbe sa modulima grafički. Ispod je metoda otvaranje duplih modula koristeći primjere uobičajene u praksi. Dobro razumite algoritam za izračunavanje jednačina sa modulima, kako ne biste imali problema na kvizovima, testovima i samo da znate.
Primjer 1. Riješite jednačinu po modulu |3|x|-5|=-2x-2.
Rješenje: Uvijek počnite otvarati jednačine iz internog modula
|x|=0 <->x=0.
U tački x=0, jednačina sa modulom je podijeljena sa 2.
Na x< 0
подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
Za x>0 ili jednako, proširivanjem modula dobijamo
|3x-5|=-2x-2 .
Hajde da riješimo jednačinu za negativne varijable (x< 0)
. Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).
Iz prve jednačine dobijamo da rješenje ne smije biti veće od (-1), tj.
Ovo ograničenje u potpunosti pripada oblasti u kojoj se rješavamo. Pomerimo varijable i konstante na suprotne strane jednakosti u prvom i drugom sistemu
i pronađite rješenje 
Obje vrijednosti pripadaju intervalu koji se razmatra, odnosno korijeni su.
Razmotrimo jednačinu sa modulima za pozitivne varijable
|3x-5|=-2x-2.
Proširujući modul dobijamo dva sistema jednačina 
Iz prve jednačine, koja je zajednička za dva sistema, dobijamo poznati uslov
koji u preseku sa skupom na kome tražimo rešenje daje prazan skup (nema tačaka preseka). Dakle, jedini korijeni modula s modulom su vrijednosti
x=-3; x=-1.4.
Primjer 2. Riješite jednačinu sa modulom ||x-1|-2|=3x-4.
Rješenje: Počnimo otvaranjem internog modula
|x-1|=0 <=>x=1.
Submodularna funkcija mijenja predznak u jedan. Za manje vrijednosti je negativan, za veće vrijednosti pozitivan. U skladu s tim, pri proširenju internog modula dobijamo dvije jednačine sa modulom
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Obavezno provjerite desnu stranu jednačine modula; ona mora biti veća od nule.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
To znači da nema potrebe rješavati prvu jednačinu, jer je napisana za x< 1,
что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 ili x-3=4-3x;
4-3=3x-x ili x+3x=4+3;
2x=1 ili 4x=7;
x=1/2 ili x=7/4.
Dobili smo dvije vrijednosti, od kojih je prva odbijena jer ne pripada traženom intervalu. Konačno, jednačina ima jedno rješenje x=7/4.
Primjer 3. Riješite jednačinu sa modulom ||2x-5|-1|=x+3.
Rješenje: Otvorimo interni modul
|2x-5|=0 <=>x=5/2=2,5.
Tačka x=2,5 dijeli brojevnu pravu na dva intervala. odnosno submodularna funkcija mijenja predznak pri prolasku kroz 2.5. Zapišimo uslov za rješenje na desnoj strani jednačine sa modulom.
x+3>=0 -> x>=-3.
Dakle, rješenje može biti vrijednosti ne manje od (-3). Proširimo modul za negativnu vrijednost internog modula
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Ovaj modul će također dati 2 jednadžbe kada se proširi
-2x+4=x+3 ili 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 ili 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 ili x=7 .
Odbacujemo vrijednost x=7, jer smo tražili rješenje u intervalu [-3;2.5]. Sada otvaramo interni modul za x>2.5. Dobijamo jednačinu sa jednim modulom
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
Prilikom proširenja modula dobijamo sljedeće linearne jednačine
-2x+6=x+3 ili 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 ili 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 ili x=9 .
Prva vrijednost x=1 ne zadovoljava uslov x>2.5. Dakle na ovom intervalu imamo jedan korijen jednadžbe sa modulom x=9, a ukupno ih ima dva (x=1/3).Zamjenom možete provjeriti ispravnost izvršenih proračuna
Odgovor: x=1/3; x=9.
Primjer 4. Pronađite rješenja za dupli modul ||3x-1|-5|=2x-3.
Rješenje: Proširimo unutrašnji modul jednačine
|3x-1|=0 <=>x=1/3.
Tačka x=2,5 dijeli brojevnu pravu na dva intervala, i zadata jednačina za dva slučaja. Zapisujemo uslov za rješenje na osnovu oblika jednačine na desnoj strani
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Iz toga slijedi da nas zanimaju vrijednosti >=1,5. Dakle modularna jednačina razmotriti u dva intervala
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Rezultirajući modul, kada se proširi, dijeli se na 2 jednadžbe
-3x-4=2x-3 ili 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 ili 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 ili x=-7 .
Obje vrijednosti ne spadaju u interval, odnosno nisu rješenja jednadžbe sa modulima. Zatim ćemo proširiti modul za x>2.5. Dobijamo sljedeću jednačinu
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Proširujući modul, dobijamo 2 linearne jednačine
3x-6=2x-3 ili –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 ili 2x+3x=6+3;
x=3 ili 5x=9; x=9/5=1,8.
Druga pronađena vrijednost ne odgovara uvjetu x>2,5, mi je odbacujemo.
Konačno imamo jedan korijen jednačine sa modulima x=3.
Izvršavanje provjere
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3
.
Korijen jednadžbe sa modulom je ispravno izračunat.
Odgovor: x=1/3; x=9.