Množenje i dijeljenje razlomaka.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Ova operacija je mnogo ljepša od sabiranja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećamo, da biste pomnožili razlomak razlomkom, morate pomnožiti brojioce (ovo će biti brojilac rezultata) i nazivnike (ovo će biti imenilac). To je:
Na primjer:
Sve je krajnje jednostavno. I molim vas ne tražite zajednički imenitelj! Nema potrebe za njim ovde...
Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate obrnuti sekunda(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:
Na primjer:
Ako naiđete na množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima, u redu je. Kao i kod sabiranja, pravimo razlomak od cijelog broja sa jedan u nazivniku - i samo naprijed! Na primjer:
U srednjoj školi često morate da imate posla sa trospratnim (ili čak četvorospratnim!) razlomcima. Na primjer:
Kako mogu učiniti da ovaj razlomak izgleda pristojno? Da, vrlo jednostavno! Koristite podjelu na dvije tačke:
Ali ne zaboravite na redoslijed podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali lako je pogriješiti u trospratnom razlomku. Imajte na umu na primjer:
U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):
U drugom (izraz desno):
Osjećate li razliku? 4 i 1/9!
Šta određuje redoslijed podjele? Ili sa zagradama, ili (kao ovde) sa dužinom horizontalnih linija. Razvijte svoje oko. A ako nema zagrada ili crtica, kao:
zatim podijeli i pomnoži redom, s lijeva na desno!
I takođe vrlo jednostavno i važna tehnika. U akcijama sa diplomama, to će vam biti od velike koristi! Podijelimo jedan bilo kojim razlomkom, na primjer, sa 13/15:
Šut se preokrenuo! I to se uvijek dešava. Kada se 1 podijeli bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo naopako.
To je to za operacije sa razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Bilješka praktični saveti, i biće ih manje (greške)!
Praktični savjeti:
1. Najvažnija stvar pri radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja! Ovo nisu opšte reči, nisu dobre želje! Ovo strašna potreba! Uradite sve proračune na Jedinstvenom državnom ispitu kao potpuni zadatak, fokusiran i jasan. Bolje je da napišete dva dodatna reda u nacrtu nego da zabrljate dok radite mentalne proračune.
2. U primjerima sa različite vrste razlomci - idite na obične razlomke.
3. Smanjujemo sve razlomke dok se ne zaustave.
4. Razlomačke izraze na više nivoa svodimo na obične dijeljenjem kroz dvije tačke (pratimo redoslijed dijeljenja!).
5. Podijelite jedinicu s razlomkom u svojoj glavi, jednostavno okrećući razlomak.
Evo zadataka koje svakako morate obaviti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale na ovu temu i praktične savjete. Procijenite koliko ste primjera uspjeli točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...
Zapamtite - tačan odgovor je primljeno od drugog (naročito trećeg) puta se ne računa! Takav je surov život.
dakle, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, već priprema za Jedinstveni državni ispit. Rešavamo primer, proveravamo ga, rešavamo sledeći. Odlučili smo sve - ponovo provjerili od prvog do posljednjeg. Ali samo Onda pogledajte odgovore.
Izračunati:
Jeste li odlučili?
Tražimo odgovore koji odgovaraju vašima. Namerno sam ih zapisivao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, ispisanih tačkom i zarezom.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo, drago mi je zbog tebe! Osnovni proračuni sa razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne...
Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješivo Problemi.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Prije ili kasnije, sva djeca u školi počnu učiti razlomke: njihovo zbrajanje, dijeljenje, množenje i sve moguće operacije koje se mogu izvesti s razlomcima. Kako bi djetetu pružili odgovarajuću pomoć, sami roditelji ne bi trebali zaboraviti kako dijeliti cijele brojeve u razlomke, inače mu nećete moći ni na koji način pomoći, već ćete ga samo zbuniti. Ako treba da se setite ovu akciju, ali jednostavno ne možete sve informacije u svojoj glavi spojiti u jedno pravilo, onda će vam ovaj članak pomoći: naučit ćete podijeliti broj s razlomkom i vidjeti jasne primjere.
Kako podijeliti broj na razlomak
Zapišite svoj primjer kao grubi nacrt kako biste mogli praviti bilješke i brisati. Zapamtite da je cijeli broj upisan između ćelija, tačno na njihovom sjecištu, a razlomci su upisani svaki u svoju ćeliju.
- IN ovu metodu treba razlomak okrenuti naopako, odnosno upisati imenilac u brojilac, a brojilac u imenilac.
- Znak dijeljenja se mora promijeniti u množenje.
- Sada sve što treba da uradite je da izvršite množenje prema pravilima koja ste već naučili: brojilac se množi celim brojem, ali ne dodirujete imenilac.
Naravno, kao rezultat takve akcije dobit ćete vrlo veliki broj u brojiocu. Ne možete ostaviti djelić u ovom stanju - nastavnik jednostavno neće prihvatiti ovaj odgovor. Smanjite razlomak tako što ćete brojilac podijeliti imenilac. Rezultirajući cijeli broj napišite lijevo od razlomka u sredini ćelija, a ostatak će biti novi brojnik. Imenilac ostaje nepromijenjen.
Ovaj algoritam je prilično jednostavan, čak i za dijete. Nakon što ga završi pet ili šest puta, dijete će zapamtiti postupak i moći će ga primijeniti na bilo koje razlomke.
Kako podijeliti broj decimalom
Postoje i druge vrste razlomaka - decimale. Podjela na njih odvija se prema potpuno drugačijem algoritmu. Ako naiđete na takav primjer, slijedite upute:
- Za početak pretvorite oba broja u decimale. Ovo je lako učiniti: vaš djelitelj je već predstavljen kao razlomak i dividenda prirodni broj odvajate zarezom da dobijete decimalu. To jest, ako je dividenda bila 5, dobićete razlomak 5,0. Morate razdvojiti broj sa onoliko cifara koliko ih ima iza decimalnog zareza i djelitelja.
- Nakon toga, oba decimalna razlomka morate učiniti prirodnim brojevima. U početku može izgledati malo zbunjujuće, ali to je najviše brz način divizije, što će vam oduzeti nekoliko sekundi nakon nekoliko vježbi. Razlomak 5,0 će postati broj 50, a razlomak 6,23 će postati 623.
- Uradite podjelu. Ako su brojevi veliki ili će se dijeljenje dogoditi s ostatkom, uradite to u koloni. Na ovaj način možete jasno vidjeti sve radnje ovaj primjer. Ne morate namjerno stavljati zarez, jer će se pojaviti sam tokom dugog procesa dijeljenja.
Ova vrsta dijeljenja u početku izgleda previše zbunjujuća, budući da je potrebno da dividendu i djelitelj pretvorite u razlomak, a zatim natrag u prirodne brojeve. Ali nakon kratke vježbe, odmah ćete početi vidjeti one brojeve koje jednostavno trebate podijeliti jedan s drugim.
Upamtite da vam sposobnost pravilnog dijeljenja razlomaka i cijelih brojeva može mnogo puta u životu dobro doći, stoga dijete treba savršeno poznavati ova pravila i jednostavne principe kako u višim razredima ne bi postalo kamen spoticanja zbog kojeg dijete ne može rješavati složenije zadatke.
Obični razlomci prvi put se susreću sa školarcima u 5. razredu i prate ih kroz život, jer je u svakodnevnom životu često potrebno posmatrati ili koristiti predmet ne kao cjelinu, već u zasebnim dijelovima. Počnite proučavati ovu temu - dijeli. Udjeli su jednaki dijelovi, na koje je podijeljen ovaj ili onaj objekt. Uostalom, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, dužinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj; treba uzeti u obzir dijelove ili razlomke neke mjere. Nastala od glagola "razdvojiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, sama riječ "frakcija" nastala je u ruskom jeziku u 8. stoljeću.
Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežom granom matematike. U 17. veku, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, zvali su se „razbijeni brojevi“, što je ljudima bilo veoma teško razumeti.
Moderan izgled jednostavne razlomke, čiji su dijelovi odvojeni vodoravnom linijom, prvi je promovirao Fibonacci - Leonardo iz Pize. Njegova djela datiraju se u 1202. godinu. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako se miješani razlomci množe različiti imenioci.
Množenje razlomaka sa različitim nazivnicima
U početku je vrijedno odrediti vrste frakcija:
- ispravan;
- netačno;
- mješovito.
Zatim morate zapamtiti kako se množe razlomci isti imenioci. Samo pravilo ovog procesa nije teško formulirati samostalno: rezultat množenja prostih razlomaka s identičnim nazivnicima je razlomački izraz čiji je brojilac umnožak brojilaca, a nazivnik proizvod nazivnika ovih razlomaka. . Naime, novi nazivnik je kvadrat jednog od prvobitno postojećih.
Prilikom množenja prosti razlomci sa različitim nazivnicima za dva ili više faktora pravilo se ne mijenja:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Jedina razlika je u tome što će formirani broj ispod razlomka biti proizvod različitih brojeva i, naravno, ne može se nazvati kvadratom jednog numeričkog izraza.
Vrijedi razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Primjeri koriste metode za smanjenje frakcijskih izraza. Brojeve brojioca možete smanjiti samo brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod linije razlomaka ne mogu se smanjiti.
Uz jednostavne razlomke postoji koncept miješanih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog broja i razlomka, to jest, to je zbir ovih brojeva:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Kako funkcionira množenje?
Nekoliko primjera je dato za razmatranje.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Primjer koristi množenje broja sa obični razlomak, pravilo za ovu radnju se može napisati kao:
a* b/c = a*b /c.
U stvari, takav proizvod je zbir identičnih razlomaka, a broj članova označava ovaj prirodni broj. Poseban slučaj:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Postoji još jedno rješenje za množenje broja s razlomkom ostatka. Vi samo trebate podijeliti imenilac ovim brojem:
d* e/f = e/f: d.
Ovu tehniku je korisno koristiti kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, cijelim brojem.
Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke i dobijete proizvod na prethodno opisan način:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ovaj primjer uključuje metodu prezentacije mješovita frakcija pogrešno, može se predstaviti i u obliku opšta formula:
a bc = a*b+ c / c, pri čemu se imenilac novog razlomka formira množenjem cijelog dijela sa nazivnikom i dodavanjem brojnika originalnog razlomka, a imenilac ostaje isti.
Ovaj proces također funkcionira u suprotnom smjeru. Da biste razdvojili cijeli dio i razlomak ostatak, morate podijeliti brojnik nepravilnog razlomka sa nazivnikom pomoću "ugla".
Množenje nepravilnih razlomaka proizvedeno na opšteprihvaćen način. Kada pišete pod jednom linijom razlomaka, morate po potrebi smanjiti razlomke kako biste smanjili brojeve pomoću ove metode i olakšali izračunavanje rezultata.
Na internetu postoji mnogo pomagača za rješavanje čak i složenih matematičkih problema razne varijacije programe. Dovoljan broj ovakvih servisa nudi svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka sa različiti brojevi u nazivnicima - takozvani online kalkulatori za računanje razlomaka. Oni su u stanju ne samo da množe, već i da izvode sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješovitim brojevima. Nije teško raditi, popunite odgovarajuća polja na stranici web stranice, odaberete znak matematičke operacije i kliknete na "izračunaj". Program izračunava automatski.
Predmet aritmetičke operacije sa frakcijskim brojevima relevantno je u obrazovanju učenika srednjih i srednjih škola. U srednjoj školi više ne smatraju najjednostavnije vrste, već cjelobrojni razlomci, ali poznavanje pravila za transformaciju i proračune dobijeno ranije se primjenjuje u izvornom obliku. Dobro savladano osnovno znanje daje potpuno povjerenje u uspješna odluka većina složeni zadaci.
U zaključku, ima smisla citirati riječi Lava Nikolajeviča Tolstoja, koji je napisao: „Čovjek je razlomak. Nije u moći osobe da poveća svoj brojilac – svoje zasluge – ali svako može smanjiti svoj imenilac – svoje mišljenje o sebi, i sa tim smanjenjem se približiti svom savršenstvu.
PREDMET: Dijeljenje razlomaka.
- Učenje pravila za dijeljenje razlomaka; Formiranje osnovnih vještina dijeljenja razlomaka;
- razvoj osnovnih vještina dijeljenja razlomaka korištenjem osnovnog algoritma; Razvoj pažnje logičko razmišljanje;
- negovanje interesovanja za proučavanje predmeta i sposobnost grupnog rada.
PLAN LEKCIJE:
1. Organizacioni momenat.
2. Usmeni rad koji vodi do novog pravila.
3. Uvod u definiciju.
4. Radite sa karticama za asimilaciju.
5. Fizičke vježbe.
6. Usmeni rad „nađi grešku“.
7. Kačenje: lančani proračuni.
8. Sumiranje lekcije.
TOKOM NASTAVE
1) Danas na času, momci, moramo da uradimo ozbiljan posao. Trebat će vam istrajnost, želja, pažnja, dosljednost i korektnost u izvršavanju zadataka.
Usmeni rad: napiši inverz od ovog broja:
2) Kako možete provjeriti da li je operacija množenja izvedena ispravno? (Postupkom podjele).
Ne znamo kako se dijele razlomci. Vrijeme je da se upoznate sa ovom novom akcijom.
Dijeljenje i dijeljenje ponekad može biti teško, tako da sama operacija dijeljenja razlomaka zahtijeva posebnu pažnju.
Prisjetimo se šta je dijeljenje kao matematička operacija? (akcija inverzna množenju; radnja kada se jedan od faktora i proizvod koristi za pronalaženje drugog faktora).
Sada ćemo zajedno pokušati da vidimo pravilo za dijeljenje razlomaka koje nam je novo dok razmatramo sljedeći problem.
Sada će se naša rješenja razilaziti.
Koje prijedloge imate za rješavanje ove jednačine?
Prvo, znamo kako riješiti takve jednadžbe koristeći koncept recipročnih brojeva (dovoljno je pomnožiti obje strane jednačine inverznim koeficijentom varijable X).
Drugo, znamo standardno pravilo za pronalaženje nepoznatog faktora (proizvod se mora podijeliti sa poznatim faktorom).
Razmotrimo oba ova slučaja:
Pažljivo pogledajte dva rezultirajuća izraza za pronalaženje vrijednosti X. Ovo su odgovori na isti problem, što znači da odgovori moraju biti isti. U jednom slučaju množimo sa 7/6, au drugom dijelimo sa 6/7.
Otkrivamo da kada se podijeli sa 6/7, isti odgovor treba dobiti ako se pomnoži sa 7/6. To znači da se značenje dijeljenja razlomaka svodi na množenje sa recipročnom vrijednosti djelitelja. Ovo nije nasumična karakteristika koju smo primijetili.
Uvedite novo pravilo na 100. strani udžbenika, ponovite nekoliko puta, pitajte nekoliko učenika napamet.
3) Koristeći naučeno pravilo, razmotrite njegovu primjenu na različitim primjerima .
Djeca dobijaju posebne kartice koje popunjavaju zajedno sa učiteljem, uz komentare sa mjesta. Trebali biste razmotriti dijeljenje razlomka razlomkom, dijeljenje prirodnog broja razlomkom i razlomaka prirodnim brojem, dijeljenje mešoviti brojevi. Prilikom popunjavanja, djeca ponovo izgovaraju pravilo. Obratite posebnu pažnju na tri faze prilikom podjele: dividenda ostaje nepromijenjena; dijeljenje se zamjenjuje množenjem; pomnoži sa inverzom djelitelja.
Division |
Aplikacija |
Pravilo |
Konverzija |
||
| 5/7: 3/4 = | 5/7 * 4/3= | (5*4) / (7*3) = | 20/21 | 20/21 | |
| 5: 2/5 = | 5 * | ||||
| 7/8: 2 = | 7/8: 2/1= | 7/8 * | |||
| 4 1/2: 1 1/2= | 9/2: 3/2 = | 9/2 * |
On stražnja strana Kartice imaju tri zadatka koje djeca rješavaju nakon popunjavanja kartica na licu mjesta, zatim provjeravaju rješenja i dobijene rezultate.
ODLUČITE SAMI |
| 1. 4/6: 3 = |
| 2. 8: 4/5 = |
| 3 . 1 2/3: 1 1/10 = |
4) Izvođenje fizičkih vežbi.
5) Faza savladavanja definicije.
Hajde da provjerimo kako ste naučili današnje pravilo i saznajte koliko ste pažljivi: “PRONAĐI GREŠKU”
6) Rješavanje zadataka iz udžbenika: br. 619 (a, b, d).
7) Rad u grupama. Djeca naizmjence idu do ploče i zapisuju rješenje primjera.
8) Dobro urađeno. Dobro urađeno. Hajde da rezimiramo:
Šta ste novo naučili danas na času?
Kako se dijele razlomci?
Šta su recipročni brojevi?
Kod kuce: Pravilo br. 617.