Dovoljan uslov za ekstremum funkcije dvije varijable

1. Neka je funkcija kontinuirano diferencibilna u nekom susjedstvu tačke i ima kontinuirane parcijalne izvode drugog reda (čiste i mješovite).

2. Označimo determinantom drugog reda

funkcija predavanja ekstremne varijable

Teorema

Ako je točka s koordinatama stacionarna točka za funkciju, tada:

A) Na njemu je tačka lokalnog ekstremuma i, u lokalnom maksimumu, lokalni minimum;

C) u tački nije lokalna tačka ekstrema;

C) ako, možda oboje.

Dokaz

Napišimo Taylorovu formulu za funkciju, ograničavajući se na dva pojma:

Pošto je, prema uslovima teoreme, tačka stacionarna, parcijalni izvod drugog reda jednaki su nuli, tj. I. Onda

Označimo

Tada će povećanje funkcije poprimiti oblik:

Zbog kontinuiteta parcijalnih izvoda drugog reda (čistih i mješovitih), prema uslovima teoreme u tački, možemo napisati:

Gdje ili; ,

1. Neka i, tj. ili.

2. Pomnožimo prirast funkcije i podijelimo sa, dobićemo:

3. Dodajmo izraz u vitičastim zagradama punom kvadratu zbira:

4. Izraz u vitičastim zagradama nije negativan, jer

5. Prema tome, ako je sredstvo i, onda i, prema tome, prema definiciji, tačka je tačka lokalnog minimuma.

6. Ako je sredstvo i, onda, prema definiciji, tačka sa koordinatama je tačka lokalnog maksimuma.

2. Uzmite u obzir kvadratni trinom, njegov diskriminant, .

3. Ako, onda postoje tačke takve da je polinom

4. Ukupan prirast funkcije u tački u skladu s izrazom dobivenim u I zapisujemo kao:

5. Zbog kontinuiteta parcijalnih izvoda drugog reda, prema uslovima teoreme u tački, možemo zapisati da

Prema tome, postoji susjedstvo tačke takvo da je za bilo koju tačku kvadratni trinom veći od nule:

6. Razmotrite susjedstvo tačke.

Odaberimo bilo koju vrijednost, pa tačka. Pod pretpostavkom da je u formuli za prirast funkcije

šta dobijamo:

7. Od tada.

8. Slično argumentirajući za korijen, nalazimo da u bilo kojoj okolini tačke postoji tačka za koju, prema tome, u okolini tačke ne čuva predznak, stoga nema ekstremuma u tački.

Uslovni ekstrem funkcije dvije varijable

Prilikom pronalaženja ekstrema funkcije dvije varijable često se javljaju problemi vezani za takozvani uslovni ekstrem. Ovaj koncept se može objasniti na primjeru funkcije dvije varijable.

Neka su funkcija i prava L dati na ravni 0xy. Zadatak je pronaći tačku P (x, y) na pravoj L u kojoj je vrijednost funkcije najveća ili najmanja u odnosu na vrijednosti ove funkcije u tačkama na pravoj L koje se nalaze u blizini tačke P. Takve tačke P nazivaju se funkcije uvjetnih ekstremnih tačaka na liniji L. Za razliku od uobičajene tačke ekstrema, vrijednost funkcije u tački uvjetnog ekstrema se uspoređuje s vrijednostima funkcije ne u svim tačkama njenog susjedstva, već samo u onima koje leže na liniji L.

Apsolutno je jasno da je tačka običnog ekstrema (kažu i bezuslovni ekstrem) i tačka uslovnog ekstremuma za svaku pravu koja prolazi kroz ovu tačku. Obrnuto, naravno, nije tačno: uslovna tačka ekstrema možda nije obična tačka ekstrema. Ilustrirajmo to primjerom.

Primjer br. 1. Grafikon funkcije je gornja hemisfera (slika 2).

Rice. 2.

Ova funkcija ima maksimum na početku; odgovara vrhu M hemisfere. Ako je prava L prava koja prolazi kroz tačke A i B (njena jednadžba), onda je geometrijski jasno da za tačke ove prave najveća vrijednost funkcija je dostignuta u tački koja leži u sredini između tačaka A i B. Ovo je tačka uslovnog ekstrema (maksimuma) funkcije na ovoj pravoj; odgovara tački M 1 na hemisferi, a sa slike je jasno da ovdje ne može biti govora ni o kakvom običnom ekstremumu.

Imajte na umu da u završnom dijelu problema pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom području moramo pronaći ekstremne vrijednosti funkcije na granici ovog područja, tj. na nekoj liniji, i time riješiti problem uslovnog ekstrema.

Definicija 1. Kažu da gdje u tački koja zadovoljava jednadžbu ima uslovni ili relativni maksimum (minimum): ako za bilo koju tačku koja zadovoljava jednadžbu nejednakost

Definicija 2. Jednačina oblika naziva se jednačina ograničenja.

Teorema

Ako su funkcije i kontinuirano diferencibilne u susjedstvu točke i parcijalnog izvoda, a tačka je uvjetna tačka ekstrema funkcije u odnosu na jednadžbu ograničenja, tada je determinanta drugog reda jednaka nuli:

Dokaz

1. Pošto su, prema uslovima teoreme, parcijalni izvod i vrednost funkcije, onda u određenom pravougaoniku

definirana implicitna funkcija

Kompleksna funkcija dvije varijable u jednoj tački imat će lokalni ekstrem, dakle, ili.

2. Zaista, prema svojstvu invarijantnosti diferencijalne formule prvog reda

3. Jednačina veze se može predstaviti u ovom obliku, što znači

4. Pomnožite jednačinu (2) sa i (3) sa i dodajte ih

Stoga, kada

proizvoljno. itd.

Posljedica

Traženje uvjetnih ekstremnih tačaka funkcije dvije varijable u praksi se provodi rješavanjem sistema jednadžbi

Dakle, u gornjem primjeru br. 1 iz jednačine veze imamo. Odavde je lako provjeriti šta dostiže maksimum. Ali onda iz komunikacijske jednadžbe. Dobijamo tačku P, pronađenu geometrijski.

Primjer br. 2. Naći uslovne ekstremne tačke funkcije u odnosu na jednadžbu sprege.

Nađimo parcijalne izvode date funkcije i jednadžbe sprege:

Kreirajmo determinantu drugog reda:

Hajde da napišemo sistem jednačina za pronalaženje tačaka uslovnog ekstrema:

To znači da postoje četiri tačke uslovnog ekstremuma funkcije sa koordinatama: .

Primjer br. 3. Pronađite ekstremne tačke funkcije.

Izjednačavajući parcijalne derivacije sa nulom: , nalazimo jednu stacionarnu tačku - ishodište. Evo,. Prema tome, tačka (0, 0) nije tačka ekstrema. Jednačina je jednačina hiperboličkog paraboloida (slika 3) sa slike se vidi da tačka (0, 0) nije tačka ekstrema.

Rice. 3.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije u zatvorenom području

1. Neka je funkcija definirana i kontinuirana u ograničenom zatvorenom području D.

2. Neka funkcija ima konačne parcijalne izvode u ovoj regiji, osim za pojedinačne tačke regije.

3. U skladu s Weierstrassovom teoremom, u ovoj regiji postoji tačka u kojoj funkcija poprima svoj maksimum i najmanju vrijednost.

4. Ako su ove tačke unutrašnje tačke regiona D, onda će očigledno imati maksimum ili minimum.

5. U ovom slučaju, tačke koje nas zanimaju su među sumnjivim tačkama na ekstremumu.

6. Međutim, funkcija također može poprimiti najveću ili najmanju vrijednost na granici područja D.

7. Da biste pronašli najveću (najmanju) vrijednost funkcije u području D, potrebno je pronaći sve unutrašnje tačke sumnjive za ekstrem, izračunati vrijednost funkcije u njima, zatim uporediti sa vrijednošću funkcije na granične tačke regije, a najveća od svih pronađenih vrijednosti bit će najveća u zatvorenom području D.

8. Metoda pronalaženja lokalnog maksimuma ili minimuma razmatrana je ranije u odjeljku 1.2. i 1.3.

9. Ostaje razmotriti metodu pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije na granici regije.

10. U slučaju funkcije dvije varijable, površina je obično ograničena krivom ili nekoliko krivulja.

11. Duž takve krive (ili nekoliko krivulja), varijable i ili zavise jedna od druge, ili obje zavise od jednog parametra.

12. Dakle, na granici ispada da funkcija zavisi od jedne varijable.

13. Ranije je razmatrana metoda pronalaženja najveće vrijednosti funkcije jedne varijable.

14. Neka je granica regije D data parametarskim jednadžbama:

Tada će na ovoj krivulji funkcija dvije varijable biti složena funkcija parametra: . Za takvu funkciju najveće i najmanje vrijednosti određuju se metodom za određivanje najveće i najmanje vrijednosti za funkciju jedne varijable.

Definicija1: Kaže se da funkcija ima lokalni maksimum u tački ako postoji susjedstvo tačke takvo da za bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y) vrijedi nejednakost: . U ovom slučaju, tj. povećanje funkcije< 0.

Definicija2: Kaže se da funkcija ima lokalni minimum u tački ako postoji susjedstvo tačke takvo da za bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y) vrijedi nejednakost: . U ovom slučaju, tj. prirast funkcije > 0.

Definicija 3: Pozivaju se točke lokalnog minimuma i maksimuma ekstremne tačke.

Conditional Extremes

Prilikom traženja ekstrema funkcije mnogih varijabli često se javljaju problemi vezani za tzv uslovni ekstrem. Ovaj koncept se može objasniti na primjeru funkcije dvije varijable.

Neka su data funkcija i linija L na površini 0xy. Zadatak je doći na liniju L pronađite takvu tačku P(x, y), u kojoj je vrijednost funkcije najveća ili najmanja u usporedbi s vrijednostima ove funkcije u tačkama na pravoj L, koji se nalazi u blizini punkta P. Takve tačke P su pozvani uslovne ekstremne tačke funkcije na mreži L. Za razliku od uobičajene tačke ekstrema, vrijednost funkcije u tački uvjetnog ekstrema uspoređuje se s vrijednostima funkcije ne u svim tačkama njenog susjedstva, već samo u onima koje leže na pravoj L.

Apsolutno je jasno da je tačka uobičajenog ekstremuma (također kažu bezuslovni ekstrem) je također uslovna tačka ekstrema za svaku pravu koja prolazi kroz ovu tačku. Obrnuto, naravno, nije tačno: uslovna tačka ekstrema možda nije obična tačka ekstrema. Dozvolite mi da objasnim šta sam rekao uobičajeni primjer. Grafikon funkcije je gornja hemisfera (Dodatak 3 (Sl. 3)).

Ova funkcija ima maksimum na početku; vrh mu odgovara M hemisfere. Ako je linija L postoji prava koja prolazi kroz tačke A I IN(njena jednačina x+y-1=0), tada je geometrijski jasno da se za tačke ove prave najveća vrijednost funkcije postiže u tački koja leži u sredini između tačaka A I IN. Ovo je tačka uslovnog ekstrema (maksimuma) funkcije na ovoj liniji; odgovara tački M 1 na hemisferi, a sa slike je jasno da ovdje ne može biti govora ni o kakvom običnom ekstremumu.

Pređimo sada na praktičnu potragu za tačkama uslovnog ekstrema funkcije Z= f(x, y) pod uslovom da su varijable x i y povezane jednačinom (x, y) = 0. Ovu relaciju ćemo nazvati jednačina veze. Ako se iz jednačine spajanja y može eksplicitno izraziti u terminima x: y=(x), dobijamo funkciju jedne varijable Z= f(x, (x)) = F(x).

Nakon što smo pronašli vrijednost x na kojoj ova funkcija dostiže ekstrem, a zatim odredili iz jednačine veze odgovarajuće y vrijednosti, dobili smo željene točke uslovnog ekstrema.

Dakle, u gornjem primjeru, iz jednačine relacije x+y-1=0 imamo y=1-x. Odavde

Lako je provjeriti da z dostiže svoj maksimum na x = 0,5; ali onda iz jednačine veze y = 0.5, i dobijamo tačno tačku P, pronađenu iz geometrijskih razmatranja.

Problem uslovnog ekstremuma može se vrlo jednostavno riješiti kada se jednačina veze može predstaviti parametarskim jednadžbama x=x(t), y=y(t). Zamjena izraza za x i y u ovu funkciju, ponovo dolazimo do problema nalaženja ekstrema funkcije jedne varijable.

Ako jednačina spajanja ima više od složen izgled a mi nismo u mogućnosti da eksplicitno izrazimo jednu varijablu u terminima druge, ili da je zamijenimo parametarskim jednačinama, tada zadatak pronalaženja uslovnog ekstremuma postaje teži. Nastavićemo da pretpostavljamo da je u izrazu funkcije z= f(x, y) varijabla (x, y) = 0. Ukupna derivacija funkcije z= f(x, y) jednaka je:

Gdje se derivacija y` nalazi korištenjem pravila diferencijacije implicitne funkcije. U tačkama uslovnog ekstremuma, pronađeni ukupni derivat mora biti jednak nuli; ovo daje jednu jednačinu koja povezuje x i y. Budući da moraju zadovoljiti i jednačinu spajanja, dobijamo sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate

Hajde da transformišemo ovaj sistem u mnogo pogodniji tako što ćemo napisati prvu jednačinu u obliku proporcije i uvesti novu pomoćnu nepoznanicu:

(znak minus ispred je radi praktičnosti). Iz ovih jednakosti lako je preći na sljedeći sistem:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

koja zajedno sa jednadžbom veze (x, y) = 0 čini sistem od tri jednačine sa nepoznatim x, y i.

Ove jednačine (*) je najlakše zapamtiti upotrebom sledeće pravilo: da bismo pronašli tačke koje mogu biti uslovne tačke ekstrema funkcije

Z= f(x, y) sa jednadžbom veze (x, y) = 0, potrebno je formirati pomoćnu funkciju

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Gdje je neka konstanta i kreirajte jednadžbe za pronalaženje ekstremnih tačaka ove funkcije.

Navedeni sistem jednačina obezbeđuje, po pravilu, samo neophodne uslove, tj. nije svaki par vrijednosti x i y koji zadovoljava ovaj sistem nužno uslovna tačka ekstrema. Neću dati dovoljne uslove za tačke uslovnog ekstremuma; vrlo često sam specifičan sadržaj problema sugeriše šta je pronađena tačka. Opisana tehnika rješavanja problema na uslovnom ekstremumu naziva se Lagrangeova metoda množenja.

Neka je funkcija z - /(x, y) definirana u nekom domenu D i neka je Mo(xo, Vo) unutrašnja tačka ovog domena. Definicija. Ako postoji broj takav da je za sve koji zadovoljavaju uslove nejednakost tačna, tada se tačka Mo(xo, y) naziva lokalna tačka maksimuma funkcije /(x, y); ako za sve Dx, Du, koji zadovoljavaju uslove | tada se tačka Mo(xo,yo) naziva tankim lokalnim minimumom. Drugim riječima, tačka M0(x0, y0) je tačka maksimuma ili minimuma funkcije f(x, y) ako postoji 6-susedstvo tačke A/o(x0, y0) tako da uopšte tačke M(x, y) ovoga u susjedstvu, prirast funkcije zadržava svoj predznak. Primjeri. 1. Za tačku funkcije - minimalna tačka (slika 17). 2. Za funkciju, tačka 0(0,0) je maksimalna tačka (slika 18). 3. Za funkciju, tačka 0(0,0) je lokalna maksimalna tačka. 4 Zaista, postoji susjedstvo tačke 0(0, 0), na primjer, kružnica poluprečnika j (vidi sliku 19), u čijoj bilo kojoj tački, različitoj od tačke 0(0,0), vrijednost funkcije /(x,y) manja od 1 = Razmatraćemo samo tačke strogog maksimuma i minimuma funkcija kada je stroga nejednakost ili stroga nejednakost zadovoljena za sve tačke M(x) y) iz nekog probušenog 6-susedstva od tačka Mq. Vrijednost funkcije u tački maksimuma naziva se maksimumom, a vrijednost funkcije u tački minimuma naziva se minimumom ove funkcije. Točke maksimuma i minimuma funkcije nazivaju se tačkama ekstrema funkcije, a maksimumi i minimumi same funkcije nazivaju se njeni ekstremi. Teorema 11 (neophodan uslov za ekstrem). Ako je funkcija ekstremum funkcije više varijabli.Pojam ekstremuma funkcije više varijabli. Neophodni i dovoljni uslovi za ekstrem Uslovni ekstrem Najveća i najmanja vrijednost kontinuiranih funkcija imaju ekstrem u tački, tada u ovoj tački svaki parcijalni izvod u ili nestaje ili ne postoji. Neka u tački M0(x0, yo) funkcija z = f(x) y) ima ekstrem. Dajmo varijabli y vrijednost yo. Tada će funkcija z = /(x, y) biti funkcija jedne varijable x\ Pošto pri x = xo ona ima ekstrem (maksimum ili minimum, slika 20), onda je njen izvod u odnosu na x = “o, | (*o,l>)" Jednako nuli ili ne postoji. Slično tome, uvjereni smo da je) ili jednako nuli ili ne postoji. Tačke u kojima je = 0 i χ = 0 ili ne postoje nazivaju se kritičnim tačke funkcije z = Dx, y). Tačke u kojima je $£ = φ = 0 nazivaju se i stacionarne tačke funkcije. Teorema 11 izražava samo neophodne uslove za ekstrem, koji nisu dovoljni. Primer Funkcija Fig. 18 Slika 20 immt derivati koji nestaju u Ali ova funkcija je tanka na imvat struma.Zaista, funkcija je jednaka nuli u tački 0(0,0) i poprima pozitivne koeficijente u tačkama M(x, y), proizvoljno blizu tačke 0(0,0), i negativne vrijednosti.Za to je tako u tačkama u tačkama (0, y) za proizvoljno malu Tačku 0(0,0) specificirani tip nazvana mini-max tačka (slika 21). Dovoljni uslovi za ekstremum funkcije dvije varijable izraženi su sljedećim teoremom. Teorema 12 (dovoljni uslovi za ekstrem u dvije varijable). Neka je tačka Mo(xo»Yo) stacionarna tačka funkcije f(x, y), a u nekom okruženju tačke /, uključujući i samu tačku Mo, funkcija f(z, y) ima kontinuirane parcijalne izvode do zaključno drugog reda. Tada". u tački Mo(xo, V0) funkcija /(xo, y) nema ekstrem ako D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Ekstremum funkcije f(x, y) može postojati, ali i ne mora. U ovom slučaju potrebno je dodatno istraživanje. m Ograničimo se na dokazivanje tvrdnji 1) i 2) teoreme. Napišimo Taylorovu formulu drugog reda za funkciju /(i, y): gdje. Prema uslovu, jasno je da je predznak prirasta D/ određen predznakom trinoma na desnoj strani (1), odnosno predznakom drugog diferencijala d2f. Označimo to radi kratkoće. Tada se jednakost (l) može napisati na sljedeći način: Neka u tački MQ(dakle, V0) imamo... Pošto su, po uslovu, parcijalni izvodi funkcije f(s, y) drugog reda kontinuirani, onda nejednakost (3) će također vrijediti u nekom susjedstvu tačke M0(s0,yo). Ako je uslov zadovoljen (u tački A/0, a zahvaljujući kontinuitetu derivacija /,z(s,y) će zadržati svoj predznak u nekom susjedstvu tačke Af0. U području gdje je A F 0 imamo Iz ovoga je jasno da ako je LS - V2 > 0 u nekoj okolini tačke M0(x0) y0), tada se znak trinoma AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 poklapa sa predznakom A u tački (dakle , V0) (kao i sa predznakom C, jer za AC - B2 > 0 A i C ne mogu imati različite predznake). Kako predznak zbira AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 u tački (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) određuje znak razlike, dolazimo do sljedećeg zaključka: ako je za funkciju /(s,y) na uslov stacionarne tačke (s0, V0), tada za dovoljno male || nejednakost će biti zadovoljena. Dakle, u tački (sq, V0) funkcija /(s, y) ima maksimum. Ako je uslov zadovoljen u stacionarnoj tački (s0, y0), tada za sve dovoljno male |Dr| i |Du| nejednakost je tačna, što znači da u tački (so,yo) funkcija /(s, y) ima minimum. Primjeri. 1. Istražiti funkciju za ekstrem 4 Koristeći potrebne uslove za ekstrem, tražimo stacionarne tačke funkcije. Da bismo to učinili, nalazimo parcijalne izvode u i izjednačavamo ih sa nulom. Dobijamo sistem jednačina odakle je - stacionarna tačka. Koristimo sada teoremu 12. To znači da postoji ekstremum u tački Ml. Jer ovo je minimum. Ako transformiramo funkciju r u formu, to je lako vidjeti desni deo(“) će biti minimalan kada je apsolutni minimum ove funkcije. 2. Ispitati funkciju za ekstrem.Nalazimo stacionarne tačke funkcije za koje sastavljamo sistem jednačina.Dakle, tako da je tačka stacionarna. Pošto, na osnovu teoreme 12, ne postoji ekstrem u tački M. * 3. Istražite ekstremum funkcije.Nađite stacionarne tačke funkcije. Iz sistema jednačina dobijamo to, pa je tačka stacionarna. Zatim imamo da teorema 12 ne daje odgovor na pitanje o prisustvu ili odsustvu ekstremuma. Uradimo to ovako. Za funkciju oko svih tačaka različitih od tačke, tako da, po definiciji, i tačke A/o(0,0) funkcija r ima apsolutni minimum. Sličnim proračunima utvrđujemo da funkcija ima maksimum u tački, ali funkcija nema ekstrem u tački. Neka je funkcija od n nezavisnih varijabli diferencibilna u jednoj tački.Tačka Mo se naziva stacionarnom tačkom funkcije ako je teorem 13 (do dovoljnih uslova za ekstrem). Neka je funkcija definirana i ima kontinuirane parcijalne derivacije drugog reda u nekom susjedstvu fine Mt(xi..., koja je stacionarna fina funkcija ako je kvadratni oblik (drugi diferencijal funkcije f u finom) pozitivan definitivan (negativno definitivan), minimalna tačka (odnosno, fini maksimum) funkcije f je tanka. Ako je kvadratni oblik (4) naizmjeničan, onda u tankom LG0 nema ekstrema. Da bi se ustanovilo da li će postojati kvadratni oblik (4) pozitivno ili negativno određeno, možete koristiti, na primjer, Sylvesterov kriterij za pozitivnu (negativnu) određenost kvadratnog oblika. 15.2. Uslovni ekstrem Do sada smo tražili lokalne ekstreme funkcije u čitavom domenu njene definicije, kada argumenti funkcije nisu vezani nikakvim dodatnim uslovima. Takvi ekstremi se nazivaju bezuslovnim. Međutim, često postoje problemi u pronalaženju takozvanih uslovnih ekstrema. Neka je funkcija z = /(x, y) definirana u domeni D. Pretpostavimo da je u ovoj domeni data kriva L i trebamo pronaći ekstreme funkcije f(x> y) samo među onima njegovih vrijednosti koje odgovaraju tačkama krive L. Isti ekstremi se nazivaju uslovni ekstremi funkcije z = f(x) y) na krivulji L. Definicija Kažu da u tački koja leži na krivulji L , funkcija f(x, y) ima uslovni maksimum (minimum) ako je nejednakost zadovoljena u svim tačkama M (s, y) y) krivulje L, koje pripadaju nekom susjedstvu tačke M0(x0, V0) i različite iz tačke M0 (Ako je kriva L data jednačinom, onda se problem pronalaženja uslovnog ekstrema funkcije r - f(x,y) na krivulji! može formulirati na sljedeći način: pronaći ekstreme funkcije x = /(z, y) u području D, pod uslovom da se, dakle, pri pronalaženju uslovnih ekstrema funkcije z = y), argumenti gnua više ne mogu smatrati nezavisnim varijablama: oni su međusobno povezani pomoću relacija y) = 0, koja se zove jednačina veze. Da bismo razjasnili razliku između bezuslovnog i uslovnog ekstrema, pogledajmo primer gde je bezuslovni maksimum funkcije (slika 23) jednak jedan i postignut je u tački (0,0). Odgovara tački M - vrhu pvvboloida. Dodajmo jednačinu veze y = j. Tada će mu očito biti jednak uslovni maksimum koji se postiže u tački (o,|), a odgovara vrhu Afj lopte, a to je linija presjeka lopte sa ravninom y = j. U slučaju bezuslovnog mvximuma, imamo mvximum primenu među svim vpplicvt površine * = 1 - l;2 ~ y1; summvv uslovno - samo među vllikvt tačkama pvraboloidv, koje odgovaraju tački* prave linije y = j, a ne ravni xOy. Jedna od metoda za pronalaženje uslovnog ekstremuma funkcije u prisustvu i povezanosti je kako slijedi. Neka jednačina veze y) - O definira y kao jedinstvenu diferencijabilnu funkciju argumenta x: Zamjenom funkcije umjesto y u funkciju, dobijamo funkciju jednog argumenta u kojoj je uvjet veze već uzet u obzir. (bezuslovni) ekstremum funkcije je željeni uslovni ekstrem. Primjer. Naći ekstremu funkcije pod uslovom Ekstremum funkcije više varijabli Koncept ekstremuma funkcije više varijabli. Neophodni i dovoljni uslovi za ekstremum Uslovni ekstrem Najveće i najmanje vrednosti kontinuiranih funkcija A Iz jednačine veze (2") nalazimo y = 1-x. Zamenivši ovu vrednost y u (V), dobijamo funkciju od jedan argument x: Hajde da ga ispitamo za ekstrem: odakle je x = 1 kritična tačka; , tako da daje uslovni minimum funkcije r (slika 24). Naznačimo još jedan način za rešavanje problema uslovnog Ekstremum, nazvan Lagrangeova metoda množenja. Neka postoji tačka uslovnog ekstremuma funkcije u prisustvu veze. Pretpostavimo da jednačina veze definira jedinstvenu kontinuirano diferencibilnu funkciju u određenom susjedstvu tačke xx. da dobijemo da derivacija u odnosu na x funkcije /(r, ip(x)) u tački xq mora biti jednaka nuli ili, što je ekvivalentno ovome, diferencijal f(x, y) u točki tačka Mo" O) Iz jednačine veze imamo (5) Pomnožimo posljednju jednakost sa još neodređenim brojčanim faktorom A i dodamo član po član s jednakošću (4), imaćemo (pretpostavljamo da). Tada, zbog proizvoljnosti dx, dobijamo Jednačine (6) i (7) koje izražavaju neophodne uslove za bezuslovni ekstrem u tački funkcije, koja se zove Lagrangeova funkcija. Dakle, uslovna tačka ekstrema funkcije /(x, y), if, je nužno stacionarna tačka Lagrangeove funkcije gde je A određeni numerički koeficijent. Odavde dobijamo pravilo za pronalaženje uslovnih ekstrema: da bismo pronašli tačke koje mogu biti tačke konvencionalnog ekstremuma funkcije u prisustvu veze, 1) sastavljamo Lagrangeovu funkciju, 2) izjednačavanjem derivata ove funkciju na nulu i dodajući jednadžbu veze na rezultirajuće jednadžbe, dobijamo sistem od tri jednadžbe iz kojih nalazimo vrijednosti A i koordinate x, y mogućih točaka ekstrema. Pitanje postojanja i prirode uslovnog ekstremuma rješava se na osnovu proučavanja predznaka drugog diferencijala Lagrangeove funkcije za razmatrani sistem vrijednosti x0, V0, A, dobijenog iz (8) pod uslovom da ako , tada u tački (x0, V0) funkcija /(x, y ) ima uslovni maksimum; ako je d2F > 0 - onda uslovni minimum. Konkretno, ako je u stacionarnoj tački (xo, J/o) determinanta D za funkciju F(x, y) pozitivna, tada u tački (®o, V0) postoji uslovni maksimum funkcije f( x, y), ako i uslovni minimum funkcije /(x, y), ako Primjer. Vratimo se ponovo uslovima prethodnog primera: pronađite ekstrem funkcije pod uslovom da je x + y = 1. Zadatak ćemo riješiti korištenjem Lagrangeove metode množitelja. Lagrangeova funkcija u u ovom slučaju ima oblik Da bismo pronašli stacionarne tačke, komponujemo sistem.Iz prve dve jednačine sistema dobijamo da je x = y. Tada iz treće jednačine sistema (jednačina veze) nalazimo da su x - y = j koordinate moguće tačke ekstrema. U ovom slučaju (označeno je da je A = -1. Dakle, Lagrangeova funkcija. je uslovna minimalna tačka funkcije * = x2 + y2 pod uslovom Ne postoji bezuslovni ekstrem za Lagrangeovu funkciju. P(x, y) ) još ne znači odsustvo uslovnog ekstrema za funkciju /(x, y) u prisutnosti veze Primjer: Pronađite ekstremum funkcije pod uvjetom y 4 Sastavljamo Lagrangeovu funkciju i ispisujemo sistem za određivanje A i koordinata mogućih tačaka ekstrema: Iz prve dvije jednačine dobijamo x + y = 0 i dolazimo do sistema odakle je x = y = A = 0. Dakle, odgovarajuća Lagrangeova funkcija ima oblik U tački (0,0) funkcija F(x, y; 0) nema bezuslovni ekstrem, međutim, uslovni ekstrem funkcije r = xy. Kada je y = x, postoji ". Zaista, u ovom slučaju r = x2. Odavde je jasno da u tački (0,0) postoji uslovni minimum. "Metoda Lagrangeovih množitelja prenosi se na slučaj funkcija bilo kojeg broja argumenata/ Potražimo ekstremum funkcije u prisustvu jednačina veze Sastaviti Lagrangeovu funkciju gdje su A|, Az,..., A„, neodređeni konstantni faktori. Izjednačavanjem na nulu sve parcijalne izvode funkcije F prvog reda i dodavanjem jednadžbi veze (9) rezultirajućim jednačinama, dobijamo sistem od n + m jednačina, iz kojih određujemo Ab A3|..., At i koordinate x \) x2). » xn mogućih tačaka uslovnog ekstremuma. Pitanje da li su tačke pronađene Lagrangeovom metodom zapravo tačke uslovnog ekstremuma često se može rešiti na osnovu razmatranja fizičke ili geometrijske prirode. 15.3. Najveće i najmanje vrijednosti kontinuiranih funkcija Neka je potrebno pronaći najveću (najmanju) vrijednost funkcije z = /(x, y), kontinuiranu u nekom zatvorenom ograničenom domenu D. Prema teoremi 3, u ovoj oblasti postoji je tačka (xo, V0) u kojoj funkcija poprima najveću (najmanju) vrijednost. Ako tačka (xo, y0) leži unutar domene D, tada funkcija / ima maksimum (minimum) u sebi, pa je u ovom slučaju tačka koja nas zanima sadržana među kritičnim tačkama funkcije /(x, y). Međutim, funkcija /(x, y) može dostići svoju najveću (najmanju) vrijednost na granici regije. Stoga, da biste pronašli najveću (najmanju) vrijednost koju uzima funkcija z = /(x, y) u ograničenom zatvorenom području 2), morate pronaći sve maksimume (minimume) funkcije postignute unutar ovog područja, kao i najveća (najmanja) vrijednost funkcije u granici ovog područja. Najveći (najmanji) od svih ovih brojeva će biti željena najveća (najmanja) vrijednost funkcije z = /(x,y) u području 27. Pokažimo kako se to radi u slučaju diferencijabilne funkcije. Prmmr. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije regije 4. Pronalazimo kritične tačke funkcije unutar regije D. Da bismo to uradili, sastavljamo sistem jednadžbi. Odavde dobijamo x = y « 0, tako da tačka 0 (0,0) je kritična tačka funkcije x. Pošto Pronađimo sada najveću i najmanju vrijednost funkcije na granici G domene D. Na dijelu granice imamo da je y = 0 kritična tačka, a pošto je = onda je u ovoj tački funkcija z = 1 + y2 ima minimum, jednako jedan. Na krajevima segmenta G", u tačkama (, imamo. Uzimajući u obzir razmatranja simetrije, dobijamo iste rezultate za ostale delove granice. Konačno dobijamo: najmanju vrednost funkcije z = x2+y2 u regionu "B je jednako nuli i postiže se na području unutrašnje tačke 0( 0, 0), a maksimalna vrijednost ove funkcije, jednaka dva, postiže se na četiri tačke granice (Sl. 25) Sl. 25 Vježbe Pronađite područje definicije funkcija: Konstruirajte linije nivoa funkcija: 9 Nađite površine nivoa funkcija tri nezavisne varijable: Izračunajte granične funkcije: Nađite parcijalne izvode funkcija i njihove totalne diferencijale: Nađite izvode kompleksnih funkcije: 3 Naći J. Ekstremum funkcije više varijabli Pojam ekstremuma funkcije više varijabli Neophodni i dovoljni uslovi za ekstrem Uslovni ekstrem Maksimalne i minimalne vrijednosti kontinuiranih funkcija 34. Korištenje formule izvoda složena funkcija dvije varijable, nađi i funkcije: 35. Koristeći formulu za izvod kompleksne funkcije dvije varijable, pronađi |J i funkcije: Nađi jj funkcije date implicitno: 40. Nađi nagib tangenta na krivu u tački presjeka sa pravom x = 3. 41. Nađi tačke u kojima je tangenta krive x paralelna sa Ox osom. . U sljedećim zadacima pronađite i T: Napišite jednadžbe tangentne ravni i normale površine: 49. Napišite jednačine tangentnih ravni površine x2 + 2y2 + 3r2 = 21, paralelno sa ravninom x + 4y + 6z = 0. Pronađite prva tri ili četiri člana ekspanzije koristeći Taylorovu formulu: 50. y u blizini tačke (0, 0). Koristeći definiciju ekstrema funkcije, ispitajte sljedeće funkcije za ekstrem:). Koristeći dovoljne uslove za ekstremum funkcije dvije varijable, ispitaj ekstremum funkcije: 84. Nađi najveću i najmanju vrijednost funkcije z = x2 - y2 u zatvorenom krugu 85. Nađi najveću i najmanju vrijednost funkcije * = x2y(4-x-y) u trokutu omeđenom pravim linijama x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Odredi dimenzije pravougaonog otvorenog bazena s najmanjom površinom, pod uslovom da mu je zapremina jednaka V. 87. Odredi dimenzije pravougaoni paralelepiped, koji ima maksimalnu zapreminu datu ukupnoj površini 5. Odgovori 1. i | Kvadrat koji čine segmenti x uključujući njegove stranice. 3. Familija koncentričnih prstenova 2= 0,1,2,... .4. Cijela ravan osim tačaka na pravim linijama. Dio ravnine koji se nalazi iznad parabole y = -x?. 8. Tačke kružnice x. Cela ravan osim pravih x Radikalni izraz je nenegativan u dva slučaja j * ^ ili j x ^ ^ što je ekvivalentno beskonačnom nizu nejednačina, respektivno. Domen definicije su osenčeni kvadrati (slika 26); l što je ekvivalentno beskonačnom nizu Funkcija je definirana u točkama. a) Prave paralelne pravoj liniji x b) koncentrične kružnice sa centrom u početku. 10. a) parabole y) parabole y a) parabole b) hiperbole | .Planes xc. 13. Prim - hiperboloidi sa jednom šupljinom rotacije oko ose Oz; kada su i hiperboloidi od dva lista rotacije oko ose Oz, obe porodice površina su odvojene konusom; Ne postoji granica, b) 0. 18. Postavimo y = kxt onda z lim z = -2, tako da data funkcija u tački (0,0) nema ograničenja. 19. a) Tačka (0,0); b) tačka (0,0). 20. a) Prelomna linija - kružnica x2 + y2 = 1; b) linija loma je prava linija y = x. 21. a) Prelomne linije - koordinatne ose Ox i Oy; b) 0 (prazan skup). 22. Sve tačke (m, n), gdje su i n cijeli brojevi

Prvo, razmotrimo slučaj funkcije dvije varijable. Uslovni ekstrem funkcije $z=f(x,y)$ u tački $M_0(x_0;y_0)$ je ekstremum ove funkcije, postignut pod uslovom da su varijable $x$ i $y$ u okolina ove tačke zadovoljavaju jednadžbu veze $\ varphi (x,y)=0$.

Naziv “uslovni” ekstrem je zbog činjenice da su varijable podložne dodatni uslov$\varphi(x,y)=0$. Ako se jedna varijabla može izraziti iz jednačine veze kroz drugu, onda se problem određivanja uslovnog ekstrema svodi na problem određivanja uobičajenog ekstremuma funkcije jedne varijable. Na primjer, ako jednačina veze implicira $y=\psi(x)$, tada zamjenom $y=\psi(x)$ u $z=f(x,y)$, dobićemo funkciju jedne varijable $z =f\lijevo (x,\psi(x)\desno)$. U opštem slučaju, međutim, ova metoda je od male koristi, pa je potrebno uvođenje novog algoritma.

Metoda Lagrangeovog množitelja za funkcije dvije varijable.

Metoda Lagrangeovog množitelja sastoji se od konstruiranja Lagrangeove funkcije za pronalaženje uslovnog ekstrema: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametar $\lambda$ se zove Lagrangeov množitelj). Potrebni uslovi ekstremi su dati sistemom jednadžbi iz kojih su određene stacionarne tačke:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(poravnano) \desno.$$

Dovoljan uslov iz kojeg se može odrediti priroda ekstrema je znak $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Ako je u stacionarnoj tački $d^2F > 0$, tada funkcija $z=f(x,y)$ ima uslovni minimum u ovoj tački, ali ako $d^2F< 0$, то условный максимум.

Postoji još jedan način da se odredi priroda ekstrema. Iz jednačine spajanja dobijamo: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, stoga u bilo kojoj stacionarnoj tački imamo:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \desno)$$

Drugi faktor (nalazi se u zagradama) može se predstaviti u ovom obliku:

Elementi determinante $\left| označeni su crvenom bojom. \begin(niz) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (niz)\right|$, što je Hessian Lagrangeove funkcije. Ako je $H > 0$, onda je $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, tj. imamo uslovni minimum funkcije $z=f(x,y)$.

Napomena u vezi sa notacijom determinante $H$. prikaži\sakrij

$$ H=-\left|\begin(niz) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ kraj(niz) \desno| $$

U ovoj situaciji, pravilo formulirano iznad će se promijeniti na sljedeći način: ako je $H > 0$, tada funkcija ima uslovni minimum, a ako je $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritam za proučavanje funkcije dvije varijable za uslovni ekstrem

Sastavite Lagrangeovu funkciju $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
Riješite sistem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(poravnano) \desno.$
Odredite prirodu ekstremuma na svakoj stacionarnoj tački pronađenoj u prethodnom paragrafu. Da biste to učinili, koristite bilo koju od sljedećih metoda:
- Sastavite determinantu $H$ i saznajte njen predznak
- Uzimajući u obzir jednadžbu spajanja, izračunajte predznak $d^2F$

Lagrangeova metoda množenja za funkcije od n varijabli

Recimo da imamo funkciju od $n$ varijabli $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i $m$ jednačina spajanja ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Označavajući Lagrangeove množitelje kao $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Potrebni uslovi za postojanje uslovnog ekstremuma dati su sistemom jednadžbi iz kojih se nalaze koordinate stacionarnih tačaka i vrednosti Lagrangeovih množitelja:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Možete saznati da li funkcija ima uslovni minimum ili uslovni maksimum u pronađenoj tački, kao i ranije, koristeći znak $d^2F$. Ako je u pronađenoj tački $d^2F > 0$, tada funkcija ima uslovni minimum, ali ako je $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinanta matrice $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( niz) \right|$, označen crvenom bojom u matrici $L$, je Hessian Lagrangeove funkcije. Koristimo sljedeće pravilo:

Ako su predznaci ugaonih minora $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ poklapaju se sa predznakom $(-1)^m$, tada je stacionarna tačka koja se proučava uslovna minimalna tačka funkcije $ z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Ako su predznaci ugaonih minora $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ naizmjenični, a znak minora $H_(2m+1)$ poklapa se sa predznakom broja $(-1)^(m+1 )$, tada je stacionarna tačka uslovna maksimalna tačka funkcije $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Primjer br. 1

Naći uslovni ekstrem funkcije $z(x,y)=x+3y$ pod uslovom $x^2+y^2=10$.

Geometrijska interpretacija ovog problema je sljedeća: potrebno je pronaći najveću i najmanju vrijednost aplikacije ravni $z=x+3y$ za tačke njenog preseka sa cilindrom $x^2+y ^2=10$.

Donekle je teško izraziti jednu varijablu kroz drugu iz jednačine spajanja i zamijeniti je u funkciju $z(x,y)=x+3y$, pa ćemo koristiti Lagrangeovu metodu.

Označavajući $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\parcijalni x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Napišimo sistem jednadžbi za određivanje stacionarnih tačaka Lagrangeove funkcije:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (poravnano)\desno.$$

Ako pretpostavimo $\lambda=0$, tada prva jednačina postaje: $1=0$. Rezultirajuća kontradikcija ukazuje da je $\lambda\neq 0$. Pod uslovom $\lambda\neq 0$, iz prve i druge jednačine imamo: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Zamjenom dobijenih vrijednosti u treću jednačinu dobijamo:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(poravnano) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(poravnano) \desno.\\ \begin(poravnano) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(poravnano) $$

Dakle, sistem ima dva rješenja: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ i $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Hajde da saznamo prirodu ekstremuma u svakoj stacionarnoj tački: $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$. Da bismo to učinili, izračunavamo determinantu $H$ u svakoj tački.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\lijevo| \begin(niz) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \levo| \begin(niz) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right| $$

U tački $M_1(1;3)$ dobijamo: $H=8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(niz) \right|=40 > 0$, dakle na tačka Funkcija $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ ima uslovni maksimum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Slično, u tački $M_2(-1,-3)$ nalazimo: $H=8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(niz) \right|=-40$. Od $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Napominjem da je umjesto izračunavanja vrijednosti determinante $H$ u svakoj tački, mnogo zgodnije proširiti je u opšti pogled. Kako ne bih pretrpao tekst detaljima, ovu metodu ću sakriti ispod napomene.

Pisanje determinante $H$ u opštem obliku. prikaži\sakrij

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\desno) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\desno). $$

U principu, već je očigledno koji znak ima $H$. Pošto se nijedna od tačaka $M_1$ ili $M_2$ ne poklapa sa ishodištem, onda je $y^2+x^2>0$. Dakle, predznak $H$ je suprotan predznaku $\lambda$. Možete završiti proračune:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\desno)=-40. \end(poravnano) $$

Pitanje o prirodi ekstremuma u stacionarnim tačkama $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$ može se rešiti bez upotrebe determinante $H$. Nađimo znak $d^2F$ u svakoj stacionarnoj tački:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\desno) $$

Dozvolite mi da napomenem da oznaka $dx^2$ znači tačno $dx$ podignuto na drugi stepen, tj. $\levo(dx \desno)^2$. Otuda imamo: $dx^2+dy^2>0$, dakle, sa $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ dobijamo $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Odgovori: u tački $(-1;-3)$ funkcija ima uslovni minimum, $z_(\min)=-10$. U tački $(1;3)$ funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=10$

Primjer br. 2

Naći uslovni ekstrem funkcije $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod uslovom $x+y=0$.

Prva metoda (metoda množitelja Lagrangea)

Označavajući $\varphi(x,y)=x+y$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0. \end(poravnano) \desno. $$

Nakon što smo riješili sistem, dobijamo: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ i $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Imamo dvije stacionarne tačke: $M_1(0;0)$ i $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Otkrijmo prirodu ekstrema u svakoj stacionarnoj tački koristeći determinantu $H$.

$$H=\levo| \begin(niz) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \levo| \begin(niz) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(niz) \right|=-10-18y $$

U tački $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, stoga u ovom trenutku funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Istražujemo prirodu ekstremuma u svakoj tački koristeći različite metode, zasnovane na predznaku $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Iz jednačine veze $x+y=0$ imamo: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Pošto je $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, onda je $M_1(0;0)$ uslovna minimalna tačka funkcije $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Slično, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Drugi način

Iz jednačine veze $x+y=0$ dobijamo: $y=-x$. Zamjenom $y=-x$ u funkciju $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, dobijamo neku funkciju varijable $x$. Označimo ovu funkciju kao $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Dakle, problem nalaženja uslovnog ekstremuma funkcije dvije varijable sveli smo na problem određivanja ekstrema funkcije jedne varijable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9). $$

Dobili smo tačke $M_1(0;0)$ i $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Dalja istraživanja poznata su iz kursa diferencijalnog računa funkcija jedne varijable. Ispitivanjem predznaka $u_(xx)^("")$ u svakoj stacionarnoj tački ili provjerom promjene predznaka $u_(x)^(")$ u pronađenim tačkama, dobijamo iste zaključke kao kada rješavanje prve metode. Na primjer, provjerit ćemo znak $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Pošto je $u_(xx)^("")(M_1)>0$, onda je $M_1$ minimalna tačka funkcije $u(x)$, a $u_(\min)=u(0)=0 $ . Od $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Vrijednosti funkcije $u(x)$ za dati uvjet veze poklapaju se sa vrijednostima funkcije $z(x,y)$, tj. pronađeni ekstremi funkcije $u(x)$ su traženi uslovni ekstremi funkcije $z(x,y)$.

Odgovori: u tački $(0;0)$ funkcija ima uslovni minimum, $z_(\min)=0$. U tački $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Razmotrimo još jedan primjer u kojem ćemo razjasniti prirodu ekstrema određivanjem predznaka $d^2F$.

Primjer br. 3

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $z=5xy-4$ ako su varijable $x$ i $y$ pozitivne i zadovoljavaju jednadžbu sprege $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Sastavimo Lagrangeovu funkciju: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Nađimo stacionarne tačke Lagrangeove funkcije:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(poravnano) \desno. $$

Sve dalje transformacije se izvode uzimajući u obzir $x > 0; \; y > 0$ (ovo je navedeno u izjavi problema). Iz druge jednačine izražavamo $\lambda=-\frac(5x)(y)$ i zamjenjujemo pronađenu vrijednost u prvu jednačinu: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Zamjenom $x=2y$ u treću jednačinu dobijamo: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Pošto je $y=1$, onda je $x=2$, $\lambda=-10$. Određujemo prirodu ekstremuma u tački $(2;1)$ na osnovu predznaka $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Pošto je $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, onda:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

U principu, ovdje možete odmah zamijeniti koordinate stacionarne tačke $x=2$, $y=1$ i parametar $\lambda=-10$, dobivši:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \desno)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Međutim, u drugim problemima na uslovnom ekstremumu može postojati nekoliko stacionarnih tačaka. U takvim slučajevima, bolje je predstaviti $d^2F$ u općem obliku, a zatim zamijeniti koordinate svake od pronađenih stacionarnih tačaka u rezultirajući izraz:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Zamjenom $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, dobijamo:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Pošto je $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Odgovori: u tački $(2;1)$ funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=6$.

U narednom dijelu ćemo razmotriti primjenu Lagrangeove metode za funkcije većeg broja varijabli.

Primjer

Naći ekstremum funkcije pod uslovom da X I at povezani su relacijom: . Geometrijski, problem znači sljedeće: na elipsi
avion
.

Ovaj problem se može riješiti na ovaj način: iz jednačine
mi nalazimo
X:

pod uslovom da
, sveden na problem nalaženja ekstrema funkcije jedne varijable na intervalu
.

Geometrijski, problem znači sljedeće: na elipsi , dobijeno ukrštanjem cilindra
avion
, morate pronaći maksimalnu ili minimalnu vrijednost aplikacije (Sl.9). Ovaj problem se može riješiti na ovaj način: iz jednačine
mi nalazimo
. Zamjenom pronađene vrijednosti y u jednačinu ravni, dobijamo funkciju jedne varijable X:

Dakle, problem nalaženja ekstrema funkcije
pod uslovom da
, sveden na problem pronalaženja ekstrema funkcije jedne varijable na intervalu.

dakle, problem pronalaženja uslovnog ekstremuma– ovo je problem nalaženja ekstrema ciljne funkcije
, pod uslovom da su varijable X I at podložno ograničenju
, zvao jednačina veze.

Recimo to dot
, zadovoljavajući jednadžbu spajanja, je tačka lokalnog uslovnog maksimuma (minimum), ako postoji komšiluk
tako da za bilo koje tačke
, čije koordinate zadovoljavaju jednačinu veze, nejednakost je zadovoljena.

Ako se iz jednačine spajanja može pronaći izraz za at, zatim zamjenom ovog izraza u originalnu funkciju, pretvaramo potonju u složenu funkciju jedne varijable X.

Opća metoda za rješavanje problema uslovnog ekstrema je Lagrangeova metoda množenja. Kreirajmo pomoćnu funkciju, gdje ─ neki broj. Ova funkcija se zove Lagrangeova funkcija, A ─ Lagrangeov množitelj. Dakle, zadatak pronalaženja uslovnog ekstremuma sveden je na pronalaženje lokalnih točaka ekstrema za Lagrangeovu funkciju. Da biste pronašli moguće tačke ekstrema, morate riješiti sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate x, y I.

Tada biste trebali koristiti sljedeći dovoljan uvjet za ekstrem.

TEOREMA. Neka je tačka moguća tačka ekstrema za Lagrangeovu funkciju. Pretpostavimo da je u blizini tačke
postoje kontinuirani parcijalni derivati drugog reda funkcija I . Označimo

Onda ako
, To
─ uslovna tačka ekstrema funkcije
sa jednacinom sprezanja
u ovom slučaju, ako
, To
─ uslovni minimum, ako
, To
─ uslovna maksimalna tačka.

§8. Gradijent i derivacija usmjerenja

Neka funkcija
definisano u nekom (otvorenom) regionu. Razmotrite bilo koju tačku
ovo područje i bilo koja usmjerena ravna linija (osa) , prolazeći kroz ovu tačku (slika 1). Neka
- neka druga tačka na ovoj osi,
– dužina segmenta između
I
, snimljeno sa znakom plus, ako je smjer
poklapa se sa smjerom ose , i sa znakom minus ako su im smjerovi suprotni.

Neka
prilazi na neodređeno vreme
. Limit

pozvao derivat funkcije
prema (ili duž ose ) i označava se kako slijedi:

Ovaj izvod karakterizira „brzinu promjene“ funkcije u tački
prema . Konkretno, obični parcijalni derivati ,također se može smatrati derivatima "u odnosu na smjer".

Pretpostavimo sada da je funkcija
ima kontinuirane parcijalne derivate u regionu koji se razmatra. Neka osovina formira uglove sa koordinatnim osa
I . Pod datim pretpostavkama, derivacija usmjerenja postoji i izražava se formulom