Racional datih brojeva je. Racionalni brojevi

Skup racionalnih brojeva

Gomila racionalni brojevi je označen i može se napisati na sljedeći način:

Ispostavilo se da različiti unosi može predstavljati isti razlomak, na primjer, i , (svi razlomci koji se mogu dobiti jedan od drugog množenjem ili dijeljenjem istim prirodnim brojem predstavljaju isti racionalni broj). Budući da dijeljenjem brojnika i nazivnika razlomka njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem možemo dobiti jedan nesvodljivi prikaz racionalnog broja, možemo govoriti o njihovom skupu kao skupu nesvodivo razlomci sa zajedničkim prostim cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom:

Ovdje je najveći zajednički djelitelj brojeva i .

Skup racionalnih brojeva je prirodna generalizacija skupa cijelih brojeva. Lako je vidjeti da ako racionalni broj ima nazivnik , onda je to cijeli broj. Skup racionalnih brojeva nalazi se svuda gusto na brojevnoj osi: između bilo koja dva različita racionalna broja postoji barem jedan racionalni broj (i stoga beskonačan skup racionalnih brojeva). Međutim, ispostavilo se da skup racionalnih brojeva ima prebrojivu kardinalnost (to jest, svi njegovi elementi mogu biti prenumerisani). Napomenimo, uzgred, da su stari Grci bili uvjereni u postojanje brojeva koji se ne mogu predstaviti kao razlomak (na primjer, dokazali su da ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat 2).

Terminologija

Formalna definicija

Formalno, racionalni brojevi su definisani kao skup klasa ekvivalencije parova u odnosu na relaciju ekvivalencije if. U ovom slučaju, operacije sabiranja i množenja su definirane na sljedeći način:

Povezane definicije

Pravilni, nepravilni i mješoviti razlomci

Tačno Razlomak čiji je brojilac manji od nazivnika naziva se razlomak. Pravi razlomci predstavljaju racionalne brojeve po modulu manje od jedan. Razlomak koji nije pravi se zove pogrešno i predstavlja racionalni broj veći od ili jednako jedan modulo.

Nepravilan razlomak se može predstaviti kao zbir cijelog broja i pravilnog razlomka, tzv mješovita frakcija . Na primjer, . Slična notacija (sa nedostajućim znakom sabiranja), iako se koristi u elementarnoj aritmetici, izbjegava se u strogoj matematičkoj literaturi zbog sličnosti zapisa mješovita frakcija sa zapisom za proizvod cijelog broja i razlomka.

Visina udarca

Visina običan razlomak je zbir modula brojioca i nazivnika ovog razlomka. Visina racionalnog broja je zbir modula brojioca i nazivnika nesvodljivog običnog razlomka koji odgovara ovom broju.

Na primjer, visina razlomka je . Visina odgovarajućeg racionalnog broja je jednaka , budući da se razlomak može smanjiti za .

Komentar

Termin razlomak (razlomak) Ponekad [ odrediti] se koristi kao sinonim za pojam racionalni broj, a ponekad i sinonim za bilo koji necijeli broj. U potonjem slučaju, razlomak i racionalni brojevi su različite stvari, od tada su necijeli racionalni brojevi pravedni poseban slučaj razlomak.

Svojstva

Osnovna svojstva

Skup racionalnih brojeva zadovoljava šesnaest osnovnih svojstava, koja se lako mogu izvesti iz svojstava cijelih brojeva.

Urednost. Za sve racionalne brojeve postoji pravilo koje vam omogućava da jedinstveno identifikujete jednu i samo jednu od tri relacije između njih: “”, “” ili “”. Ovo pravilo se zove pravilo naručivanja i formuliše se na sledeći način: dva pozitivni brojevi i povezani su istim odnosom kao dva cijela broja i ; dva nepozitivna broja i povezani su istom relacijom kao i dva nepozitivna broja negativni brojevi And ; ako odjednom nije negativan, već - negativan, onda .
Zbrajanje razlomaka
Operacija sabiranja. pravilo sumiranja iznos brojevi i i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se zove sumiranje. Pravilo sumiranja ima sljedeći pogled: .
Operacija množenja. Za sve racionalne brojeve postoji tzv pravilo množenja, što ih stavlja u korespondenciju sa nekim racionalnim brojem. U ovom slučaju se poziva sam broj rad brojevi i i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se također naziva množenje. Pravilo množenja ima sljedeći oblik: .
Tranzitivnost odnosa poretka. Za bilo koju trojku racionalnih brojeva, i ako je manje i manje, onda manje, a ako je jednako i jednako, onda jednako.
Komutativnost sabiranja. Promena mesta racionalnih članova ne menja zbir.
Asocijativnost sabiranja. Redoslijed sabiranja tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Prisustvo nule. Postoji racionalni broj 0 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.
Dostupnost suprotni brojevi. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, koji kada se doda na daje 0.
Komutativnost množenja. Promena mesta racionalnih faktora ne menja proizvod.
Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se množi.
Prisustvo recipročnih brojeva. Svaki racionalni broj različit od nule ima inverzni racionalni broj, koji kada se pomnoži sa daje 1.
Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje. Operacija množenja je koordinirana sa operacijom sabiranja kroz zakon raspodjele:
Povezanost relacije narudžbe sa operacijom sabiranja. Lijevo i desna strana Za racionalnu nejednakost možete dodati isti racionalni broj.
Veza između relacije reda i operacije množenja. Lijeva i desna strana racionalne nejednakosti mogu se pomnožiti istim pozitivnim racionalnim brojem.
Arhimedov aksiom. Koji god da je racionalni broj, možete uzeti toliko jedinica da njihov zbir premašuje.

Dodatne nekretnine

Sva ostala svojstva svojstvena racionalnim brojevima ne izdvajaju se kao osnovna, jer, općenito govoreći, više se ne zasnivaju direktno na svojstvima cijelih brojeva, već se mogu dokazati na osnovu datih osnovnih svojstava ili direktno definicijom nekog matematičkog objekta. . Postoji mnogo takvih dodatnih nekretnina. Ovdje ima smisla navesti samo neke od njih.

Prebrojivost skupa

Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Da biste to učinili, dovoljno je dati algoritam koji nabraja racionalne brojeve, odnosno uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva. Primjer takve konstrukcije je sljedeći jednostavan algoritam. Sastavlja se beskonačna tabela običnih razlomaka, u svakom redu u svakoj koloni u kojoj se nalazi razlomak. Radi određenosti, pretpostavlja se da su redovi i stupci ove tabele numerisani počevši od jedan. Označene su ćelije tabele, gde je broj reda tabele u kojem se ćelija nalazi, a broj kolone.

Rezultirajuća tabela se prelazi pomoću “zmije” prema sljedećem formalnom algoritmu.

Ova pravila se pretražuju od vrha do dna i sljedeća pozicija se bira na osnovu prvog podudaranja.

U procesu takvog obilaska, svaki novi racionalni broj je povezan s drugim prirodnim brojem. To jest, razlomcima se dodeljuje broj 1, razlomcima se dodeljuje broj 2, itd. Treba napomenuti da su samo nesvodljivi razlomci numerisani. Formalni znak nesvodljivosti je da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka jednak jedan.

Prateći ovaj algoritam, možemo nabrojati sve pozitivne racionalne brojeve. To znači da je skup pozitivnih racionalnih brojeva prebrojiv. Lako je uspostaviti bijekciju između skupova pozitivnih i negativnih racionalnih brojeva jednostavnim pripisivanjem svakom racionalnom broju njegovu suprotnost. To. skup negativnih racionalnih brojeva je također prebrojiv. Njihova unija je također prebrojiva svojstvom prebrojivih skupova. Skup racionalnih brojeva je također prebrojiv kao unija prebrojivog skupa sa konačnim.

Naravno, postoje i drugi načini za nabrajanje racionalnih brojeva. Na primjer, za ovo možete koristiti strukture kao što su Kalkin-Wilf stablo, Stern-Broko drvo ili Farey serija.

Izjava o prebrojivosti skupa racionalnih brojeva može izazvati određenu zabunu, jer se na prvi pogled čini da je mnogo opsežnija od skupa prirodnih brojeva. U stvari, to nije tako i ima dovoljno prirodnih brojeva da se nabroje svi racionalni brojevi.

Nedostatak racionalnih brojeva

vidi takođe


	Cijeli brojevi

Racionalni brojevi

Realni brojevi Kompleksni brojevi Kvaternioni

Bilješke

Književnost

I. Kushnir. Priručnik iz matematike za školsku decu. - Kijev: ASTARTA, 1998. - 520 str.
P. S. Aleksandrov. Uvod u teoriju skupova i opću topologiju. - M.: pogl. ed. fizike i matematike lit. ed. "Nauka", 1977
I. L. Hmeljnicki. Uvod u teoriju algebarskih sistema

Integers

Definicija prirodnih brojeva su pozitivni cijeli brojevi. Prirodni brojevi se koriste za brojanje objekata i za mnoge druge svrhe. Ovo su brojevi:

Ovo je prirodan niz brojeva.
Da li je nula prirodan broj? Ne, nula nije prirodan broj.
Koliko prirodnih brojeva ima? Postoji beskonačan broj prirodnih brojeva.
Koji je najmanji prirodan broj? Jedan je najmanji prirodan broj.
Koji je najveći prirodni broj? Nemoguće ga je odrediti, jer postoji beskonačan broj prirodnih brojeva.

Zbir prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, sabiranje prirodnih brojeva a i b:

Proizvod prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, proizvod prirodnih brojeva a i b:

c je uvijek prirodan broj.

Razlika prirodnih brojeva Ne postoji uvijek prirodan broj. Ako je minus veći od oduzetog, onda je razlika prirodnih brojeva prirodan broj, inače nije.

Količnik prirodnih brojeva nije uvijek prirodan broj. Ako za prirodne brojeve a i b

gdje je c prirodan broj, to znači da je a djeljiv sa b. U ovom primjeru, a je dividenda, b je djelitelj, c je količnik.

Razdjelnik prirodni broj je prirodan broj kojim je prvi broj djeljiv s cjelinom.

Svaki prirodan broj je djeljiv sa jednim i samim sobom.

Prosti prirodni brojevi su djeljivi samo sa jedan i sami sa sobom. Ovdje mislimo na potpuno podijeljeno. Primjer, brojevi 2; 3; 5; 7 je samo djeljivo sa jednim i samim sobom. Ovo su jednostavni prirodni brojevi.

Jedan se ne smatra prostim brojem.

Brojevi koji su veći od jedan i koji nisu prosti nazivaju se složeni brojevi. Primjeri kompozitni brojevi:

Jedan se ne smatra složenim brojem.

Skup prirodnih brojeva je jedan, primarni brojevi i složeni brojevi.

Skup prirodnih brojeva označava se latiničnim slovom N.

Svojstva sabiranja i množenja prirodnih brojeva:

komutativno svojstvo sabiranja

asocijativno svojstvo sabiranja

(a + b) + c = a + (b + c);

komutativno svojstvo množenja

asocijativno svojstvo množenja

(ab) c = a (bc);

distributivna svojina množenje

A (b + c) = ab + ac;

Cijeli brojevi

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, nula i suprotnosti prirodnim brojevima.

Suprotnost prirodnim brojevima su negativni cijeli brojevi, na primjer:

1; -2; -3; -4;...

Skup cijelih brojeva je označen latiničnim slovom Z.

Racionalni brojevi

Racionalni brojevi su cijeli brojevi i razlomci.

Svaki racionalni broj se može predstaviti kao periodični razlomak. primjeri:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Iz primjera je jasno da je svaki cijeli broj periodični razlomak s periodom nula.

Bilo koji racionalni broj se može predstaviti kao razlomak m/n, gdje je m cijeli broj broj,n prirodan broj. Zamislimo broj 3,(6) iz prethodnog primjera kao takav razlomak.

) su brojevi sa pozitivnim ili negativnim predznakom (cijeli brojevi i razlomci) i nula. Precizniji koncept racionalnih brojeva zvuči ovako:

Racionalni broj- broj koji je predstavljen kao običan razlomak m/n, gdje je brojilac m su cijeli brojevi i imenilac n- cijeli brojevi, na primjer 2/3.

Beskonačni neperiodični razlomci NISU uključeni u skup racionalnih brojeva.

a/b, Gdje a∈ Z (a pripada cijelim brojevima), b∈ N (b pripada prirodnim brojevima).

Korištenje racionalnih brojeva u stvarnom životu.

IN pravi zivot skup racionalnih brojeva koristi se za brojanje dijelova nekih cjelobrojnih djeljivih objekata, Na primjer, kolače ili druge namirnice koje se režu na komade prije konzumiranja ili za grubu procjenu prostornih odnosa proširenih objekata.

Svojstva racionalnih brojeva.

Osnovna svojstva racionalnih brojeva.

1. Urednost a I b postoji pravilo koje vam omogućava da nedvosmisleno identifikujete 1 i samo jedan od 3 odnosa između njih: “<», «>" ili "=". Ovo pravilo je - pravilo naručivanja i formulirajte to ovako:

2 pozitivna broja a=m a /n a I b=m b /n b povezani su istim odnosom kao 2 cijela broja m a⋅ n b I m b⋅ N / A;
2 negativna broja a I b povezani su istim omjerom kao 2 pozitivna broja |b| I |a|;
Kada a pozitivno i b- negativan, onda a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operacija sabiranja. Za sve racionalne brojeve a I b Tu je pravilo sumiranja, što im dodeljuje određeni racionalni broj c. Štaviše, sam broj c- Ovo suma brojevi a I b i označava se kao (a+b) sumiranje.

Pravilo sumiranja izgleda ovako:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ N / A)/(N / A⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operacija množenja. Za sve racionalne brojeve a I b Tu je pravilo množenja, povezuje ih sa određenim racionalnim brojem c. Poziva se broj c rad brojevi a I b i označiti (a⋅b), a proces pronalaženja ovog broja se zove množenje.

Pravilo množenja izgleda ovako: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivnost odnosa poretka. Za bilo koja tri racionalna broja a, b I c Ako a manje b I b manje c, To a manje c, i ako a jednaki b I b jednaki c, To a jednaki c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Komutativnost sabiranja. Promena mesta racionalnih članova ne menja zbir.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Asocijativnost sabiranja. Redoslijed kojim se zbrajaju 3 racionalna broja ne utječe na rezultat.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Prisustvo nule. Postoji racionalni broj 0, on čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Q a+0=a

8. Prisustvo suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, a kada se dodaju, rezultat je 0.

∀ a∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Komutativnost množenja. Promena mesta racionalnih faktora ne menja proizvod.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ a

10. Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe 3 racionalna broja nema utjecaja na rezultat.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1, on čuva svaki drugi racionalni broj u procesu množenja.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Q a⋅ 1=a

12. Dostupnost recipročni brojevi . Svaki racionalni broj osim nule ima inverzni racionalni broj, množenjem s kojim dobijamo 1 .

∀ a∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje. Operacija množenja povezana je sa sabiranjem pomoću distributivnog zakona:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Odnos između relacije naloga i operacije sabiranja. Isti racionalni broj se dodaje lijevoj i desnoj strani racionalne nejednakosti.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Odnos između relacije reda i operacije množenja. Lijeva i desna strana racionalne nejednakosti mogu se pomnožiti istim nenegativnim racionalnim brojem.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Arhimedov aksiom. Bez obzira na racionalni broj a, lako je uzeti toliko jedinica da će njihov zbir biti veći a.

Racionalni brojevi

Četvrtine

Urednost. a I b postoji pravilo koje dozvoljava da se na jedinstven način identifikuje jedan i samo jedan od tri odnosa između njih: “< », « >" ili " = ". Ovo pravilo se zove pravilo naručivanja i formulira se na sljedeći način: dva nenegativna broja i povezani su istom relacijom kao dva cijela broja i ; dva nepozitivna broja a I b povezani su istim odnosom kao dva nenegativna broja i ; ako iznenada a nije negativan, ali b- negativan, onda a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Zbrajanje razlomaka
Operacija sabiranja. Za sve racionalne brojeve a I b postoji tzv pravilo sumiranja c. Štaviše, sam broj c pozvao iznos brojevi a I b i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se zove sumiranje. Pravilo sumiranja ima sljedeći oblik: .
Operacija množenja. Za sve racionalne brojeve a I b postoji tzv pravilo množenja, što im dodeljuje neki racionalni broj c. Štaviše, sam broj c pozvao rad brojevi a I b i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se također naziva množenje. Pravilo množenja izgleda ovako: .
Tranzitivnost odnosa poretka. Za bilo koju trojku racionalnih brojeva a , b I c Ako a manje b I b manje c, To a manje c, i ako a jednaki b I b jednaki c, To a jednaki c. 6435">Komutativnost sabiranja. Promjenom mjesta racionalnih članova ne mijenja se zbir.
Asocijativnost sabiranja. Redoslijed sabiranja tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Prisustvo nule. Postoji racionalni broj 0 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.
Prisustvo suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, koji kada se doda na daje 0.
Komutativnost množenja. Promena mesta racionalnih faktora ne menja proizvod.
Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se množi.
Prisustvo recipročnih brojeva. Svaki racionalni broj ima inverzni racionalni broj, koji kada se pomnoži sa daje 1.
Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje. Operacija množenja je koordinirana sa operacijom sabiranja kroz zakon raspodjele:
Povezanost relacije narudžbe sa operacijom sabiranja. Isti racionalni broj može se dodati lijevoj i desnoj strani racionalne nejednakosti. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arhimedov aksiom. Bez obzira na racionalni broj a, možete uzeti toliko jedinica da njihov zbir premašuje a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatne nekretnine

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Prebrojivost skupa

Numeracija racionalnih brojeva

Najjednostavniji od ovih algoritama izgleda ovako. Beskonačna tabela običnih razlomaka je sastavljena na svakom i-ti red u svakom j th kolona u kojoj se nalazi razlomak. Radi određenosti, pretpostavlja se da su redovi i stupci ove tabele numerisani počevši od jedan. Ćelije tabele su označene sa , gde i- broj reda tabele u kojem se ćelija nalazi, i j- broj kolone.

Rezultirajuća tabela se prelazi pomoću “zmije” prema sljedećem formalnom algoritmu.

Ova pravila se pretražuju od vrha do dna i sljedeća pozicija se bira na osnovu prvog podudaranja.

U procesu takvog obilaska, svaki novi racionalni broj je povezan s drugim prirodnim brojem. Odnosno, razlomak 1/1 je dodijeljen broju 1, razlomak 2/1 broju 2, itd. Treba napomenuti da su samo nesvodljivi razlomci numerirani. Formalni znak nesvodljivosti je da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka jednak jedan.

Nedostatak racionalnih brojeva

Hipotenuza takvog trougla ne može se izraziti nikakvim racionalnim brojem

Racionalni brojevi oblika 1 / n na slobodi n mogu se izmjeriti proizvoljno male količine. Ova činjenica stvara pogrešan utisak da se racionalni brojevi mogu koristiti za mjerenje bilo koje geometrijske udaljenosti. Lako je pokazati da to nije istina.

Bilješke

Književnost

I. Kushnir. Priručnik iz matematike za školsku decu. - Kijev: ASTARTA, 1998. - 520 str.
P. S. Aleksandrov. Uvod u teoriju skupova i opću topologiju. - M.: pogl. ed. fizike i matematike lit. ed. "Nauka", 1977
I. L. Hmeljnicki. Uvod u teoriju algebarskih sistema

Linkovi

Wikimedia Foundation. 2010.

U ovom članku ćemo početi istraživati racionalni brojevi. Ovdje ćemo dati definicije racionalnih brojeva, dati potrebna objašnjenja i dati primjere racionalnih brojeva. Nakon toga ćemo se fokusirati na to kako odrediti da li je dati broj racionalan ili ne.

Navigacija po stranici.

Definicija i primjeri racionalnih brojeva

U ovom dijelu ćemo dati nekoliko definicija racionalnih brojeva. Uprkos razlikama u formulacijama, sve ove definicije imaju isto značenje: racionalni brojevi ujedinjuju cijele brojeve i razlomke, baš kao što cijeli brojevi ujedinjuju prirodne brojeve, njihove suprotnosti i broj nula. Drugim riječima, racionalni brojevi generaliziraju cijele i razlomke.

Počnimo sa definicije racionalnih brojeva, što se percipira najprirodnije.

Iz navedene definicije proizilazi da je racionalan broj:

Bilo koji prirodni broj n. Zaista, možete predstaviti bilo koji prirodni broj kao običan razlomak, na primjer, 3=3/1.
Bilo koji cijeli broj, posebno broj nula. Zapravo, bilo koji cijeli broj se može napisati kao pozitivan razlomak, negativan razlomak ili nula. Na primjer, 26=26/1, .
Bilo koji zajednički razlomak (pozitivan ili negativan). Ovo direktno potvrđuje data definicija racionalnih brojeva.
Bilo koji mešoviti broj. Zaista, uvijek se može zamisliti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Na primjer, i.
Bilo koji konačni decimalni razlomak ili beskonačan periodični razlomak. To je zbog činjenice da se navedeni decimalni razlomci pretvaraju u obične razlomke. Na primjer, , i 0,(3)=1/3.

Takođe je jasno da bilo koji beskonačan neperiodičan decimalni NIJE racionalan broj jer se ne može predstaviti kao razlomak.

Sada možemo lako dati primjeri racionalnih brojeva. Brojevi 4, 903, 100 321 su racionalni brojevi jer su prirodni brojevi. Cijeli brojevi 58, −72, 0, −833,333,333 su također primjeri racionalnih brojeva. Obični razlomci 4/9, 99/3 su također primjeri racionalnih brojeva. Racionalni brojevi su takođe brojevi.

Iz gornjih primjera jasno je da postoje i pozitivni i negativni racionalni brojevi, a racionalni broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Gornja definicija racionalnih brojeva može se formulisati u sažetijem obliku.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao razlomak z/n, gdje je z cijeli broj, a n prirodan broj.

Dokažimo da je ova definicija racionalnih brojeva ekvivalentna prethodnoj definiciji. Znamo da liniju razlomka možemo smatrati znakom dijeljenja, a zatim iz svojstava dijeljenja cijelih brojeva i pravila za dijeljenje cijelih brojeva, slijedi valjanost sljedećih jednakosti i. Dakle, to je dokaz.

Navedimo primjere racionalnih brojeva na osnovu ovu definiciju. Brojevi −5, 0, 3 i su racionalni brojevi, jer se mogu zapisati kao razlomci sa celim brojnikom i prirodnim imeniocem oblika i, respektivno.

Definicija racionalnih brojeva može se dati u sljedećoj formulaciji.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak.

Ova definicija je također ekvivalentna prvoj definiciji, budući da svaki obični razlomak odgovara konačnom ili periodičnom decimalnom razlomku i obrnuto, a bilo koji cijeli broj može biti povezan s decimalnim razlomkom sa nulama iza decimalnog zareza.

Na primjer, brojevi 5, 0, −13 su primjeri racionalnih brojeva jer se mogu napisati kao sljedeći decimalni razlomci 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 i −7, (18).

Završimo teoriju ove tačke sa sljedećim izjavama:

cijeli brojevi i razlomci (pozitivni i negativni) čine skup racionalnih brojeva;
svaki racionalni broj se može predstaviti kao razlomak sa cijelim brojicom i prirodnim nazivnikom, a svaki takav razlomak predstavlja određeni racionalni broj;
svaki racionalni broj se može predstaviti kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak, a svaki takav razlomak predstavlja racionalni broj.

Da li je ovaj broj racionalan?

U prethodnom pasusu smo saznali da je svaki prirodni broj, bilo koji cijeli broj, bilo koji obični razlomak, bilo koji mješoviti broj, bilo koji konačni decimalni razlomak, kao i svaki periodični decimalni razlomak racionalan broj. Ovo znanje nam omogućava da “prepoznamo” racionalne brojeve iz skupa zapisanih brojeva.

Ali šta ako je broj dat u obliku nekog , ili kao, itd., kako odgovoriti na pitanje da li je ovaj broj racionalan? U mnogim slučajevima je veoma teško odgovoriti. Naznačimo neke smjerove razmišljanja.

Ako je broj zadan kao numerički izraz koji sadrži samo racionalne brojeve i znakove aritmetičke operacije(+, −, · i:), tada je vrijednost ovog izraza racionalan broj. Ovo proizilazi iz toga kako su definirane operacije s racionalnim brojevima. Na primjer, nakon izvođenja svih operacija u izrazu, dobijamo racionalni broj 18.

Ponekad, nakon pojednostavljivanja izraza i više složenog tipa, postaje moguće utvrditi da li je dati broj racionalan.

Idemo dalje. Broj 2 je racionalan broj, jer je svaki prirodan broj racionalan. Šta je sa brojem? Da li je to racionalno? Ispostavilo se da ne, to nije racionalan broj, to je iracionalan broj (dokaz ove činjenice kontradiktorno je dat u udžbeniku algebre za 8. razred, naveden dolje u listi literature). To je takođe dokazano Kvadratni korijen prirodnog broja je racionalan broj samo u onim slučajevima kada korijen sadrži broj koji je savršen kvadrat nekog prirodnog broja. Na primjer, i su racionalni brojevi, jer 81 = 9 2 i 1 024 = 32 2, a brojevi i nisu racionalni, jer brojevi 7 i 199 nisu savršeni kvadrati prirodnih brojeva.

Da li je broj racionalan ili ne? IN u ovom slučaju Lako je vidjeti da je, dakle, ovaj broj racionalan. Da li je broj racionalan? Dokazano je da je k-ti korijen cijelog broja racionalan broj samo ako je broj pod predznakom korijena k-ti stepen nekog cijelog broja. Dakle, to nije racionalan broj, jer ne postoji cijeli broj čiji je peti stepen 121.

Metoda kontradikcije vam omogućava da dokažete da logaritmi nekih brojeva iz nekog razloga nisu racionalni brojevi. Na primjer, dokažimo da - nije racionalan broj.

Pretpostavimo suprotno, to jest, recimo da je to racionalan broj i da se može napisati kao običan razlomak m/n. Tada dajemo sljedeće jednakosti: . Posljednja jednakost je nemoguća, jer se na lijevoj strani nalazi neparan broj 5 n, a na desnoj strani je paran broj 2 m. Stoga je naša pretpostavka netačna, dakle nije racionalan broj.

U zaključku, posebno je vrijedno napomenuti da se prilikom utvrđivanja racionalnosti ili iracionalnosti brojeva treba suzdržati od iznenadnih zaključaka.

Na primjer, ne biste trebali odmah tvrditi da je proizvod iracionalnih brojeva π i e iracionalan broj; ovo je „naizgled očigledno“, ali nije dokazano. Ovo postavlja pitanje: "Zašto bi proizvod bio racionalan broj?" A zašto ne, jer možete dati primjer iracionalnih brojeva, čiji proizvod daje racionalan broj: .

Takođe je nepoznato da li su brojevi i mnogi drugi brojevi racionalni ili ne. Na primjer, postoje iracionalni brojevi, čiji je iracionalni stepen racionalan broj. Za ilustraciju, predstavljamo stepen oblika , baza ovog stepena i eksponent nisu racionalni brojevi, već , a 3 je racionalan broj.

Bibliografija.

Matematika. 6. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.