Jedna od najtežih tema za studente je rješavanje jednačina koje sadrže varijablu pod predznakom modula. Hajde prvo da shvatimo sa čime je ovo povezano? Zašto, na primjer, većina djece razbija kvadratne jednadžbe poput oraha, ali ima toliko problema s tako daleko od složenog koncepta kao što je modul?
Po mom mišljenju, sve ove poteškoće su povezane sa nedostatkom jasno formulisanih pravila za rešavanje jednačina sa modulom. Dakle, odlučivanje kvadratna jednačina, učenik sigurno zna da prvo treba primijeniti diskriminantnu formulu, a zatim formule za korijene kvadratne jednačine. Šta učiniti ako se u jednačini nađe modul? Pokušaćemo da jasno opišemo neophodan plan radnje u slučaju kada jednačina sadrži nepoznatu pod predznakom modula. Navest ćemo nekoliko primjera za svaki slučaj.
Ali prvo, prisjetimo se definicija modula. Dakle, po modulu broja a sam ovaj broj se zove if a nenegativni i -a, ako je broj a manje od nule. Možete to napisati ovako:
|a| = a ako je a ≥ 0 i |a| = -a ako a< 0
Pričamo o tome geometrijskog smisla modula, treba imati na umu da svaki realan broj odgovara određenoj tački na brojevnoj osi - njenom do 
koordinata. Dakle, modul ili apsolutna vrijednost broja je udaljenost od ove tačke do početka numeričke ose. Udaljenost je uvijek navedena kao pozitivan broj. Dakle, modul bilo kojeg negativnog broja je pozitivan broj. Inače, čak i u ovoj fazi, mnogi učenici počinju da se zbunjuju. Modul može sadržavati bilo koji broj, ali rezultat korištenja modula je uvijek pozitivan broj.
Pređimo sada direktno na rješavanje jednačina.
1. Razmotrimo jednačinu oblika |x| = c, gdje je c realan broj. Ova jednačina se može riješiti korištenjem definicije modula.
Sve realne brojeve dijelimo u tri grupe: one koji Iznad nule, oni koji su manji od nule, a treća grupa je broj 0. Zapišimo rješenje u obliku dijagrama:
(±c, ako je c > 0
Ako |x| = c, tada je x = (0, ako je c = 0
(bez korijena ako je sa< 0
1) |x| = 5, jer 5 > 0, tada je x = ±5;
2) |x| = -5, jer -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, tada je x = 0.
2. Jednadžba oblika |f(x)| = b, gdje je b > 0. Za rješavanje ove jednačine potrebno je riješiti se modula. Radimo to na ovaj način: f(x) = b ili f(x) = -b. Sada trebate riješiti svaku od rezultirajućih jednačina zasebno. Ako je u originalnoj jednadžbi b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, jer 4 > 0, onda
x + 2 = 4 ili x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, jer 11 > 0, onda
x 2 – 5 = 11 ili x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 bez korijena
3) |x 2 – 5x| = -8, jer -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Jednadžba oblika |f(x)| = g(x). Prema značenju modula, takva jednačina će imati rješenja ako je desni deo veći ili jednak nuli, tj. g(x) ≥ 0. Tada ćemo imati:
f(x) = g(x) ili f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. Ova jednačina će imati korijen ako je 5x – 10 ≥ 0. Ovdje počinje rješavanje takvih jednačina.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Rješenje:
2x – 1 = 5x – 10 ili 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Kombiniramo O.D.Z. a rješenje dobijamo:
Koren x = 11/7 ne odgovara O.D.Z., manji je od 2, ali x = 3 zadovoljava ovaj uslov.
Odgovor: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Riješimo ovu nejednačinu metodom intervala:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Rješenje:
x – 1 = 1 – x 2 ili x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 ili x = 1 x = 0 ili x = 1
3. Kombiniramo rješenje i O.D.Z.:
Prikladni su samo korijeni x = 1 i x = 0.
Odgovor: x = 0, x = 1.
4. Jednadžba oblika |f(x)| = |g(x)|. Takva jednačina je ekvivalentna sljedećim dvjema jednačinama f(x) = g(x) ili f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Ova jednadžba je ekvivalentna sljedeće dvije:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ili x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 ili x = 4 x = 2 ili x = 1
Odgovor: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Jednačine riješene metodom zamjene (zamjena varijable). Ova metoda rješenja najlakše je objasniti u konkretan primjer. Dakle, neka nam bude data kvadratna jednačina sa modulom:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Po svojstvu modula x 2 = |x| 2, pa se jednačina može prepisati na sljedeći način:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Napravimo zamjenu |x| = t ≥ 0, tada ćemo imati:
t 2 – 6t + 5 = 0. Rješavajući ovu jednačinu, nalazimo da je t = 1 ili t = 5. Vratimo se zamjeni:
|x| = 1 ili |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Odgovor: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Pogledajmo još jedan primjer:
x 2 + |x| – 2 = 0. Po svojstvu modula x 2 = |x| 2, dakle
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Napravimo zamjenu |x| = t ≥ 0, tada:
t 2 + t – 2 = 0. Rješavanjem ove jednačine dobijamo t = -2 ili t = 1. Vratimo se zamjeni:
|x| = -2 ili |x| = 1
Nema korijena x = ± 1
Odgovor: x = -1, x = 1.
6. Druga vrsta jednadžbi su jednačine sa “složenim” modulom. Takve jednačine uključuju jednačine koje imaju "module unutar modula". Jednačine ovog tipa mogu se riješiti korištenjem svojstava modula.
1) |3 – |x|| = 4. Postupit ćemo na isti način kao u jednačinama drugog tipa. Jer 4 > 0, tada dobijamo dvije jednadžbe:
3 – |x| = 4 ili 3 – |x| = -4.
Izrazimo sada modul x u svakoj jednadžbi, a zatim |x| = -1 ili |x| = 7.
Rješavamo svaku od rezultirajućih jednačina. U prvoj jednadžbi nema korijena, jer -1< 0, а во втором x = ±7.
Odgovor x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Ovu jednačinu rješavamo na sličan način:
3 + |x + 1| = 5 ili 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 ili x + 1 = -2. Nema korijena.
Odgovor: x = -3, x = 1.
Tu je i univerzalna metoda rješavanje jednačina sa modulom. Ovo je intervalna metoda. Ali to ćemo kasnije pogledati.
blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.
Ovaj online matematički kalkulator će vam pomoći riješiti jednadžbu ili nejednačinu s modulima. Program za rješavanje jednačina i nejednačina sa modulima ne samo da daje odgovor na problem, već i vodi detaljno rješenje sa objašnjenjima, tj. prikazuje proces dobijanja rezultata.
Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce srednje škole u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje da kontrolišu rješavanje mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je brže moguće? zadaća iz matematike ili algebre? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.
Na taj način možete sami voditi svoju obuku i/ili obuku. mlađa braća ili sestre, dok se nivo obrazovanja iz oblasti problema koji se rješavaju povećava.
|x| ili abs(x) - modul xUnesite jednadžbu ili nejednakost s modulima
Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.
Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sec...
Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.
Naše igre, zagonetke, emulatori:
Malo teorije.
Jednačine i nejednačine sa modulima
U osnovnom školskom kursu algebre možete se susresti s najjednostavnijim jednadžbama i nejednačinama s modulima. Da biste ih riješili, možete koristiti geometrijsku metodu zasnovanu na činjenici da je \(|x-a| \) udaljenost na brojevnoj pravoj između tačaka x i a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Na primjer, da biste riješili jednačinu \(|x-3|=2\) morate pronaći tačke na brojevnoj pravoj koje su udaljene od tačke 3 na udaljenosti od 2. Postoje dvije takve tačke: \(x_1=1 \) i \(x_2=5\) .
Rješavanje nejednakosti \(|2x+7| 
Ali glavni način rješavanja jednačina i nejednakosti s modulima povezan je s takozvanim "otkrivanjem modula po definiciji":
ako je \(a \geq 0 \), onda \(|a|=a \);
ako \(a Po pravilu, jednačina (nejednakost) sa modulima se svodi na skup jednačina (nejednačina) koje ne sadrže znak modula.
Pored gornje definicije, koriste se i sljedeće izjave:
1) Ako je \(c > 0\), onda je jednadžba \(|f(x)|=c \) ekvivalentna skupu jednačina: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(niz)\desno. \)
2) Ako je \(c > 0 \), onda je nejednakost \(|f(x)| 3) Ako je \(c \geq 0 \), onda je nejednakost \(|f(x)| > c \) ekvivalentno skupu nejednakosti: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Ako obje strane nejednakosti \(f(x) PRIMJER 1. Riješite jednačinu \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).
Ako je \(x-1 \geq 0\), onda \(|x-1| = x-1\) i zadata jednačina poprima oblik
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Strelica desno x^2 +2x -8 = 0 \).
Ako je \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Strelica desno x^2 -2x -4 = 0 \).
Dakle, datu jednačinu treba posmatrati posebno u svakom od dva navedena slučaja.
1) Neka je \(x-1 \geq 0 \), tj. \(x\geq 1\). Iz jednačine \(x^2 +2x -8 = 0\) nalazimo \(x_1=2, \; x_2=-4\). Uslov \(x \geq 1 \) zadovoljava samo vrijednost \(x_1=2\).
2) Neka \(x-1 odgovor: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
PRIMJER 2. Riješite jednačinu \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
Prvi način(proširenje modula po definiciji).
Rezonirajući kao u primjeru 1, dolazimo do zaključka da datu jednačinu treba posebno razmatrati ako su ispunjena dva uslova: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ili \(x^2-6x+7
1) Ako je \(x^2-6x+7 \geq 0 \), onda \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) i data jednadžba ima oblik \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Strelica desno 3x^2-23x+30=0 \). Nakon što smo riješili ovu kvadratnu jednačinu, dobili smo: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Hajde da saznamo da li vrednost \(x_1=6\) zadovoljava uslov \(x^2-6x+7 \geq 0\). Da bismo to učinili, izvršimo zamjenu specificirana vrijednost u kvadratnu nejednakost. Dobijamo: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), tj. \(7 \geq 0 \) je prava nejednakost. To znači da je \(x_1=6\) korijen date jednadžbe.
Hajde da saznamo da li vrednost \(x_2=\frac(5)(3)\) zadovoljava uslov \(x^2-6x+7 \geq 0\). Da biste to učinili, zamijenite naznačenu vrijednost u kvadratnu nejednakost. Dobijamo: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), tj. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) je netačna nejednakost. To znači da \(x_2=\frac(5)(3)\) nije korijen date jednadžbe.
2) Ako \(x^2-6x+7 Vrijednost \(x_3=3\) zadovoljava uvjet \(x^2-6x+7 Vrijednost \(x_4=\frac(4)(3) \) ne zadovoljava uslov \ (x^2-6x+7 Dakle, data jednadžba ima dva korijena: \(x=6, \; x=3 \).
Drugi način. Ako je data jednadžba \(|f(x)| = h(x) \), onda sa \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(niz)\desno. \)
Obe ove jednadžbe su prethodno rešene (koristeći prvi metod rešavanja date jednačine), a njihovi koreni su sledeći: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). Uslov \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) od ove četiri vrijednosti je zadovoljen sa samo dva: 6 i 3. To znači da data jednadžba ima dva korijena: \(x=6 , \; x=3 \ ).
Treći način(grafički).
1) Napravimo graf funkcije \(y = |x^2-6x+7| \). Prvo, konstruirajmo parabolu \(y = x^2-6x+7\). Imamo \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Grafikon funkcije \(y = (x-3)^2-2\) može se dobiti iz grafa funkcije \(y = x^2\) pomicanjem za 3 jedinice skale udesno (duž x-osa) i 2 jedinice skale prema dolje (duž y-ose). Prava linija x=3 je osa parabole koja nas zanima. Kao kontrolne tačke za preciznije crtanje, zgodno je uzeti tačku (3; -2) - vrh parabole, tačku (0; 7) i tačku (6; 7) simetrične prema njoj u odnosu na osu parabole .
Da biste sada konstruirali graf funkcije \(y = |x^2-6x+7| \), morate ostaviti nepromijenjene one dijelove konstruirane parabole koji ne leže ispod x-ose i ogledati taj dio parabole parabola koja leži ispod x-ose u odnosu na x-os.
2) Napravimo graf linearna funkcija\(y = \frac(5x-9)(3)\). Pogodno je uzeti tačke (0; –3) i (3; 2) kao kontrolne tačke.
Važno je da se tačka x = 1,8 preseka prave linije sa osom apscise nalazi desno od leve tačke preseka parabole sa osom apscise - to je tačka \(x=3-\ sqrt(2) \) (pošto \(3-\sqrt(2 ) 3) Sudeći po crtežu, grafovi se sijeku u dvije tačke - A(3; 2) i B(6; 7). Zamjena apscisa ovih tačaka x = 3 i x = 6 u zadatu jednačinu, uvjereni smo da je oba U drugoj vrijednosti dobijena tačna brojčana jednakost, što znači da je naša hipoteza potvrđena - jednačina ima dva korijena: x = 3 i x = 6 Odgovor: 3; 6.
Komentar. Grafička metoda, uz svu svoju eleganciju, nije baš pouzdana. U razmatranom primjeru, funkcioniralo je samo zato što su korijeni jednadžbe cijeli brojevi.
PRIMJER 3. Riješite jednačinu \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
Prvi način
Izraz 2x–4 postaje 0 u tački x = 2, a izraz x + 3 postaje 0 u tački x = –3. Ove dvije tačke dijele brojevnu pravu na tri intervala: \(x
Razmotrite prvi interval: \((-\infty; \; -3) \).
Ako je x Razmotrite drugi interval: \([-3; \; 2) \).
Ako je \(-3 \leq x Uzmite u obzir treći interval: \()