Geometrijska progresija, uz aritmetiku, važan je brojevni niz koji se izučava u školskom predmetu algebre u 9. razredu. U ovom članku ćemo pogledati nazivnik geometrijske progresije i kako njegova vrijednost utječe na njena svojstva.
Definicija geometrijske progresije
Prvo, dajmo definiciju ovog brojevnog niza. Takav niz naziva se geometrijska progresija racionalni brojevi, koji se formira uzastopnim množenjem njegovog prvog elementa sa konstantnim brojem koji se naziva imenilac.
Na primjer, brojevi u nizu 3, 6, 12, 24, ... su geometrijska progresija, jer ako pomnožite 3 (prvi element) sa 2, dobićete 6. Ako pomnožite 6 sa 2, dobićete 12, i tako dalje.
Članovi niza koji se razmatraju obično se označavaju simbolom ai, gdje je i cijeli broj koji označava broj elementa u nizu.
Gornja definicija progresije može se napisati matematičkim jezikom na sljedeći način: an = bn-1 * a1, gdje je b imenilac. Lako je provjeriti ovu formulu: ako je n = 1, onda je b1-1 = 1, i dobijamo a1 = a1. Ako je n = 2, onda je an = b * a1, i opet dolazimo do definicije dotičnog niza brojeva. Slično rezonovanje može se nastaviti za veće vrijednosti n.
Imenilac geometrijske progresije
Broj b u potpunosti određuje koji će karakter imati cijeli niz brojeva. Imenilac b može biti pozitivan, negativan ili veći ili manji od jedan. Sve gore navedene opcije dovode do različitih sekvenci:
- b > 1. Postoji rastući niz racionalnih brojeva. Na primjer, 1, 2, 4, 8, ... Ako je element a1 negativan, tada će se cijeli niz povećati samo u apsolutnoj vrijednosti, ali će se smanjiti ovisno o predznaku brojeva.
- b = 1. Često se ovaj slučaj ne naziva progresijom, jer postoji običan niz identičnih racionalnih brojeva. Na primjer, -4, -4, -4.
Formula za iznos
Prije nego što pređemo na razmatranje konkretnih problema korištenjem nazivnika vrste progresije koja se razmatra, potrebno je dati važna formula za zbir njegovih prvih n elemenata. Formula izgleda ovako: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Možete sami dobiti ovaj izraz ako uzmete u obzir rekurzivni niz članova progresije. Također imajte na umu da je u gornjoj formuli dovoljno znati samo prvi element i imenilac da biste pronašli zbir proizvoljnog broja članova.
Beskonačno opadajući niz
Gore je dato objašnjenje šta je to. Sada, znajući formulu za Sn, primijenimo je na ovaj niz brojeva. Budući da bilo koji broj čiji modul ne prelazi 1 teži nuli kada se podigne na velike stepene, to jest, b∞ => 0 ako je -1
Budući da će razlika (1 - b) uvijek biti pozitivna, bez obzira na vrijednost nazivnika, predznak sume beskonačno opadajuće geometrijske progresije S∞ jedinstveno je određen predznakom njenog prvog elementa a1.
Pogledajmo sada nekoliko problema u kojima ćemo pokazati kako primijeniti stečeno znanje na određene brojeve.
Zadatak br. 1. Izračunavanje nepoznatih elemenata progresije i zbira
Za geometrijsku progresiju imenilac progresije je 2, a njen prvi element je 3. Čemu će biti jednaki njeni 7. i 10. član i koliki je zbir njegovih sedam početnih elemenata?
Uslov problema je prilično jednostavan i uključuje direktnu upotrebu gornjih formula. Dakle, da bismo izračunali broj elementa n, koristimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, zamjenom poznatih podataka, dobijamo: a7 = 26 * 3 = 192. Isto radimo i za 10. član: a10 = 29 * 3 = 1536.
Koristimo dobro poznatu formulu za zbir i odredimo ovu vrijednost za prvih 7 elemenata serije. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Zadatak br. 2. Određivanje zbira proizvoljnih elemenata progresije
Neka je -2 jednako nazivniku geometrijske progresije bn-1 * 4, gdje je n cijeli broj. Potrebno je odrediti zbir od 5. do 10. elementa ove serije, uključujući.
Postavljeni problem se ne može riješiti direktno korištenjem poznatih formula. Može se riješiti na 2 načina razne metode. Radi kompletnosti izlaganja teme, predstavljamo oba.
Metoda 1. Ideja je jednostavna: trebate izračunati dva odgovarajuća zbira prvih članova, a zatim oduzeti drugi od jednog. Izračunavamo manji iznos: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sada izračunajmo velika količina: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Imajte na umu da su u posljednjem izrazu sabrana samo 4 člana, pošto je 5. već uključen u iznos koji treba izračunati prema uslovima zadatka. Konačno, uzimamo razliku: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metoda 2. Prije zamjene brojeva i brojanja, možete dobiti formulu za zbir između m i n članova dotičnog niza. Radimo potpuno isto kao u metodi 1, samo što prvo radimo sa simboličkim prikazom iznosa. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Možete zamijeniti poznate brojeve u rezultirajući izraz i izračunati konačni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Zadatak br. 3. Šta je imenilac?
Neka je a1 = 2, nađite imenilac geometrijske progresije, pod uslovom da je njen beskonačan zbir 3, a poznato je da je to opadajući niz brojeva.
Na osnovu uslova problema nije teško pogoditi koju formulu treba koristiti za njegovo rješavanje. Naravno, za zbir progresije beskonačno opadajuće. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Odakle izražavamo nazivnik: b = 1 - a1 / S∞. Ostaje samo zamjena poznate vrednosti i dobijemo traženi broj: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ili -0,333(3). Ovaj rezultat možemo kvalitativno provjeriti ako se prisjetimo da za ovu vrstu niza modul b ne bi trebao ići dalje od 1. Kao što se može vidjeti, |-1 / 3|
Zadatak br. 4. Obnavljanje niza brojeva
Neka su data 2 elementa niza brojeva, na primjer, 5. je jednak 30, a 10. je jednak 60. Iz ovih podataka je potrebno rekonstruirati cijeli niz, znajući da zadovoljava svojstva geometrijske progresije.
Da biste riješili problem, prvo morate zapisati odgovarajući izraz za svaki poznati pojam. Imamo: a5 = b4 * a1 i a10 = b9 * a1. Sada podijelite drugi izraz sa prvim, dobijamo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odavde određujemo imenilac uzimajući peti korijen omjera članova poznatih iz iskaza problema, b = 1,148698. Dobijeni broj zamenimo u jedan od izraza za poznati element, dobijamo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Tako smo našli nazivnik progresije bn, i geometrijsku progresiju bn-1 * 17,2304966 = an, gdje je b = 1,148698.
Gdje se koriste geometrijske progresije?
Kada ne bi bilo praktične primjene ovog brojevnog niza, onda bi se njegovo proučavanje svelo na čisto teorijski interes. Ali takva aplikacija postoji.
Ispod su 3 najpoznatija primjera:
- Zenonov paradoks, u kojem okretni Ahilej ne može sustići sporu kornjaču, riješen je konceptom beskonačno opadajućeg niza brojeva.
- Ako za svaku ćeliju chessboard stavite zrna pšenice tako da na 1. ćeliju stavite 1 zrno, na 2. - 2, na 3. - 3 i tako dalje, a zatim za popunjavanje svih ćelija ploče trebat će vam 18446744073709551615 zrna!
- U igrici "Tower of Hanoi", da bi se diskovi premjestili s jednog štapa na drugi, potrebno je izvršiti 2n - 1 operacije, odnosno njihov broj raste eksponencijalno s brojem n korištenih diskova.
NUMERIČKI NISOVI VI
§ l48. Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije
Do sada, kada se govori o zbirovima, uvijek smo pretpostavljali da je broj članova u tim zbirovima konačan (na primjer, 2, 15, 1000, itd.). Ali kod rješavanja nekih problema (naročito višu matematiku) treba se baviti zbirom beskonačnog broja članova
S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Koji su to iznosi? A-prioritet zbir beskonačnog broja pojmova a 1 , a 2 , ..., a n , ... naziva se granica sume S n prvo P brojevi kada P -> ∞ :
S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Granica (2), naravno, može i ne mora postojati. Shodno tome, kažu da zbir (1) postoji ili ne postoji.
Kako možemo saznati postoji li zbir (1) u svakom konkretnom slučaju? Zajednička odluka Ovo pitanje daleko prevazilazi okvire našeg programa. Međutim, postoji jedna važna poseban slučaj, što sada moramo razmotriti. Govorit ćemo o sabiranju pojmova beskonačno opadajuće geometrijske progresije.
Neka a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... je beskonačno opadajuća geometrijska progresija. To znači da | q |< 1. Сумма первых P uslovi ove progresije su jednaki
Iz osnovnih teorema o granicama varijabli (vidi § 136) dobijamo:
Ali 1 = 1, a qn = 0. Dakle
Dakle, zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije jednak je prvom članu ove progresije podijeljen sa jedan minus nazivnik ove progresije.
1) Zbir geometrijske progresije 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... jednak je
a zbir geometrijske progresije je 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... jednako
2) Pretvorite jednostavan periodični razlomak 0,454545 ... u običan.
Da biste riješili ovaj problem, zamislite ovaj razlomak kao beskonačan zbir:
Desni deo Ova jednakost je zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije, čiji je prvi član jednak 45/100, a imenilac je 1/100. Zbog toga
Koristeći opisanu metodu, također se može dobiti opšte pravilo pretvaranje prostih periodičnih razlomaka u obične (vidi Poglavlje II, § 38):
Da biste pretvorili jednostavan periodični razlomak u običan razlomak, trebate učiniti sljedeće: stavite tačku u brojilac decimalni, a nazivnik je broj koji se sastoji od devetki uzetih onoliko puta koliko ima cifara u periodu decimalnog razlomka.
3) Pretvorite mješoviti periodični razlomak 0,58333 .... u običan razlomak.
Zamislimo ovaj razlomak kao beskonačan zbir:
Na desnoj strani ove jednakosti, svi članovi, počevši od 3/1000, formiraju beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju, čiji je prvi član jednak 3/1000, a imenilac je 1/10. Zbog toga
Koristeći opisanu metodu, može se dobiti opšte pravilo za pretvaranje mešovitih periodičnih razlomaka u obične (videti Poglavlje II, § 38). Mi to namjerno ne predstavljamo ovdje. Nema potrebe da pamtite ovo glomazno pravilo. Mnogo je korisnije znati da se svaki mješoviti periodični razlomak može predstaviti kao zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije i određenog broja. I formula
za zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije, morate, naravno, zapamtiti.
Kao vežbu, predlažemo da, pored zadataka br. 995-1000 datih u nastavku, još jednom pogledate problem br. 301 § 38.
Vježbe
995. Šta se naziva zbirom beskonačno opadajuće geometrijske progresije?
996. Nađi sume beskonačno opadajućih geometrijskih progresija:
997. Na kojim vrijednostima X progresija
da li se beskonačno smanjuje? Pronađite zbroj takve progresije.
998. U jednakostraničnom trouglu sa stranicom A novi trougao je upisan spajanjem središta njegovih stranica; novi trokut je upisan u ovaj trokut na isti način, i tako redom do beskonačnosti.
a) zbir obima svih ovih trouglova;
b) zbir njihovih površina.
999. Kvadrat sa stranom A novi kvadrat se upisuje spajanjem sredina njegovih stranica; kvadrat je upisan u ovaj kvadrat na isti način, i tako redom ad beskonačno. Nađite zbir opsega svih ovih kvadrata i zbir njihovih površina.
1000. Sastavite beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju tako da je njen zbir jednak 25/4, a zbir kvadrata njegovih članova jednak 625/24.
Aritmetičke i geometrijske progresije
Teorijske informacije
Teorijske informacije
Aritmetička progresija |
Geometrijska progresija |
|
Definicija |
Aritmetička progresija a n je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju d (d- razlika u napredovanju) |
Geometrijska progresija b n je niz brojeva koji nisu nula, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom istim brojem q (q- imenilac progresije) |
Formula recidiva |
Za bilo koji prirodni n |
Za bilo koji prirodni n |
Formula n-ti član |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Karakteristično svojstvo |  |
|
| Zbir prvih n članova |  |
 |
Primjeri zadataka s komentarima
Vježba 1
U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6, a 2
Prema formuli n-tog člana:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Po uslovu:
a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21 d .
Potrebno je pronaći razliku progresija:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Odgovor: a 22 = -48.
Zadatak 2
Naći peti član geometrijske progresije: -3; 6;....
1. metoda (koristeći n-term formulu)
Prema formuli za n-ti član geometrijske progresije:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Jer b 1 = -3,
2. metoda (koristeći ponavljajuća formula)
Pošto je imenilac progresije -2 (q = -2), onda:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Odgovor: b 5 = -48.
Zadatak 3
U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Pronađite sedamdeset peti član ove progresije.
Za aritmetičku progresiju, karakteristično svojstvo ima oblik 
.
dakle:
.
Zamijenimo podatke u formulu:
Odgovor: 95.
Zadatak 4
U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a n= 3n - 4. Naći zbir prvih sedamnaest članova.
Da bi se pronašao zbroj prvih n članova aritmetičke progresije, koriste se dvije formule:
.
U kojoj je u ovom slučaju zgodnije za upotrebu?
Po uslovu je poznata formula za n-ti član originalne progresije ( a n) a n= 3n - 4. Možete odmah pronaći i a 1, And a 16 bez pronalaženja d. Stoga ćemo koristiti prvu formulu.
Odgovor: 368.
Zadatak 5
U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Pronađite dvadeset drugi član progresije.
Prema formuli n-tog člana:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
Po uslovu, ako a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21d . Potrebno je pronaći razliku progresija:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Odgovor: a 22 = -48.
Zadatak 6
Zapisano je nekoliko uzastopnih članova geometrijske progresije:
Pronađite termin progresije označen sa x.
Prilikom rješavanja koristit ćemo formulu za n-ti član b n = b 1 ∙ q n - 1 za geometrijske progresije. Prvi termin progresije. Da biste pronašli nazivnik progresije q, potrebno je da uzmete bilo koji od datih članova progresije i podijelite s prethodnim. U našem primjeru možemo uzeti i podijeliti po. Dobijamo da je q = 3. Umjesto n, u formulu zamjenjujemo 3, jer je potrebno pronaći treći član date geometrijske progresije.
Zamjenom pronađenih vrijednosti u formulu dobijamo:
.
Odgovor: .
Zadatak 7
Od aritmetičkih progresija datih formulom n-tog člana, odaberite onu za koju je uslov zadovoljen a 27 > 9:
Pošto za 27. član progresije mora biti zadovoljen dati uslov, u svakoj od četiri progresije zamjenjujemo 27 umjesto n. U 4. progresiji dobijamo:
.
Odgovor: 4.
Zadatak 8
U aritmetičkoj progresiji a 1= 3, d = -1,5. Odrediti najveća vrijednost n za koji vrijedi nejednakost a n > -6.
Instrukcije
10, 30, 90, 270...
Morate pronaći nazivnik geometrijske progresije.
Rješenje:
Opcija 1. Uzmimo proizvoljan član progresije (na primjer, 90) i podijelimo ga s prethodnim (30): 90/30=3.
Ako je poznat zbir nekoliko članova geometrijske progresije ili zbir svih članova opadajuće geometrijske progresije, onda da biste pronašli nazivnik progresije, koristite odgovarajuće formule:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), gdje je Sn zbir prvih n članova geometrijske progresije i
S = b1/(1-q), gdje je S zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije (zbir svih članova progresije sa nazivnikom manjim od jedan).
Primjer.
Prvi član opadajuće geometrijske progresije jednak je jedan, a zbir svih njegovih članova jednak je dva.
Potrebno je odrediti nazivnik ove progresije.
Rješenje:
Zamijenite podatke iz problema u formulu. Ispostaviće se:
2=1/(1-q), odakle je – q=1/2.
Progresija je niz brojeva. U geometrijskoj progresiji, svaki naredni član se dobija množenjem prethodnog sa određenim brojem q, koji se naziva imenilac progresije.
Instrukcije
Ako su poznata dva susjedna geometrijska člana b(n+1) i b(n), da biste dobili nazivnik, trebate podijeliti broj sa većim brojem koji mu prethodi: q=b(n+1)/b (n). Ovo proizilazi iz definicije progresije i njenog nazivnika. Važan uslov je nejednakost prvog člana i nazivnika progresije na nulu, inače se smatra neodređenim.
Dakle, između članova progresije su uspostavljeni sljedeći odnosi: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Koristeći formulu b(n)=b1 q^(n-1), može se izračunati bilo koji član geometrijske progresije u kojoj su imenilac q i termin b1 poznati. Takođe, svaka od progresija je jednaka po modulu proseku svojih susednih članova: |b(n)|=√, gde je progresija dobila svoj .
Analog geometrijske progresije je najjednostavnija eksponencijalna funkcija y=a^x, gdje je x eksponent, a određeni broj. U ovom slučaju, nazivnik progresije se poklapa sa prvim članom i jednak je broju a. Vrijednost funkcije y može se shvatiti kao n-ti termin progresija ako se uzme da je argument x prirodni broj n (brojac).
Drugi važna imovina geometrijsku progresiju, koja je dala geometrijsku progresiju
Razmotrimo sada pitanje sabiranja beskonačne geometrijske progresije. Nazovimo parcijalni zbir date beskonačne progresije zbirom njenih prvih članova. Označimo parcijalni zbir simbolom
Za svaku beskonačnu progresiju
može se sastaviti (takođe beskonačan) niz njegovih parcijalnih suma
Neka niz sa neograničenim povećanjem ima ograničenje
U ovom slučaju, broj S, odnosno granica parcijalnih zbira progresije, naziva se zbir beskonačne progresije. Dokazaćemo da beskonačna opadajuća geometrijska progresija uvek ima zbir i izvešćemo formulu za ovaj zbir (takođe možemo pokazati da ako beskonačna progresija nema zbir, ne postoji).
Zapišimo izraz za parcijalni zbir kao zbir članova progresije koristeći formulu (91.1) i razmotrimo granicu parcijalne sume na
Iz teoreme 89 je poznato da za opadajuću progresiju; stoga, primjenom teorema o graničnoj razlikama, nalazimo
(ovdje se također koristi pravilo: konstantni faktor se uzima izvan predznaka granice). Postojanje je dokazano, a istovremeno se dobija formula za zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije:
Jednakost (92.1) se takođe može napisati u obliku
Ovdje može izgledati paradoksalno da se zbroju beskonačnog broja pojmova pripisuje vrlo određena konačna vrijednost.
Možete citirati vizuelna ilustracija da objasni ovu situaciju. Zamislite kvadrat sa stranom jednako jedan(Sl. 72). Podijelimo ovaj kvadrat horizontalna linija na dva jednaka dijela i gornji dio nanesite na donji tako da se formira pravougaonik sa stranicama 2 i . Nakon toga, desnu polovinu ovog pravokutnika ponovo ćemo podijeliti na pola vodoravnom linijom i pričvrstiti gornji dio na donji (kao što je prikazano na slici 72). Nastavljajući ovaj proces, kontinuirano transformiramo originalni kvadrat površine 1 u figure jednake veličine (u obliku stepenica sa tanjivim stepenicama).
Beskonačnim nastavkom ovog procesa, čitava površina kvadrata se razlaže na beskonačan broj članova - površine pravougaonika sa osnovama jednakim 1 i visinama. Površine pravougaonika precizno čine beskonačno opadajuću progresiju, njen zbir
tj., kako bi se očekivalo, jednako površini kvadrata.
Primjer. Pronađite zbrojeve sljedećih beskonačnih progresija:
Rješenje, a) Primjećujemo da je ova progresija Stoga, koristeći formulu (92.2) nalazimo
b) Ovdje to znači da koristeći istu formulu (92.2) imamo
c) Nalazimo da ova progresija stoga nema zbroj.
U pasusu 5 prikazana je primjena formule za zbir članova beskonačno opadajuće progresije na konverziju periodičnog decimalnog razlomka u obični razlomak.
Vježbe
1. Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije je 3/5, a zbir prva četiri člana je 13/27. Pronađite prvi član i imenilac progresije.
2. Pronađite četiri broja koji čine naizmjeničnu geometrijsku progresiju, u kojoj je drugi član manji od prvog za 35, a treći veći od četvrtog za 560.
3. Pokažite da ako je sekvenca
formira beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju, zatim niz
za bilo koje, formira beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju. Hoće li ova izjava biti istinita kada
Izvedite formulu za proizvod članova geometrijske progresije.