Każda nauka, która się rozwija ogólna teoria dowolny zakres zjawisk, zawiera szereg podstawowych pojęć, na których się opiera. Takimi na przykład w geometrii są pojęcia punktu, linii prostej, linii; w mechanice - pojęcia siły, masy, prędkości, przyspieszenia itp. Oczywiście nie wszystkie podstawowe pojęcia da się ściśle zdefiniować, ponieważ zdefiniowanie pojęcia oznacza sprowadzenie go do innych, bardziej znanych. Oczywiście proces definiowania jednych pojęć przez inne musi gdzieś się skończyć, dochodząc do pojęć najbardziej pierwotnych, do których wszystkie inne są sprowadzone i które same nie są ściśle określone, a jedynie wyjaśnione.
Takie podstawowe pojęcia istnieją również w teorii prawdopodobieństwa. Jako pierwsi wprowadzamy pojęcie eventu.
„Zdarzeniem” w teorii prawdopodobieństwa jest każdy fakt, który w wyniku eksperymentu może wystąpić lub nie.
Oto kilka przykładów wydarzeń:
A - wygląd herbu podczas rzucania monetą;
B - pojawienie się trzech herbów po trzykrotnym rzuceniu monetą;
C - trafienie w cel przy strzale;
D - pojawienie się asa po wyjęciu karty z talii;
E - detekcja obiektu podczas jednego cyklu przeglądu stacji radiolokacyjnej;
F - zerwanie nici podczas godzinnej pracy krosna.
Biorąc pod uwagę powyższe zdarzenia, widzimy, że każde z nich ma pewien stopień możliwości: jedne więcej, inne mniej, a dla niektórych z tych zdarzeń możemy od razu zdecydować, które z nich jest większe, a które mniej możliwe. Na przykład od razu widać, że zdarzenie A jest bardziej możliwe niż B i D. Odnośnie zdarzeń C, E i F, podobnych wniosków nie można wyciągnąć od razu; W tym celu należy określić warunki eksperymentu. Tak czy inaczej, jasne jest, że każde z tych wydarzeń ma pewien stopień możliwości. W celu ilościowego porównania zdarzeń ze sobą według stopnia ich możliwości, oczywiście konieczne jest powiązanie z każdym zdarzeniem pewna liczba, czyli im większe, tym bardziej możliwe zdarzenie. Nazywamy tę liczbę prawdopodobieństwem zdarzenia.
W ten sposób wprowadziliśmy pod uwagę drugie podstawowe pojęcie teorii prawdopodobieństwa - pojęcie prawdopodobieństwa zdarzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczbową miarą stopnia obiektywnej możliwości tego zdarzenia.
Zauważamy, że już na samym wstępie pojęcia prawdopodobieństwa zdarzenia wiążemy z tym pojęciem pewne praktyczne znaczenie, a mianowicie: na podstawie doświadczenia za bardziej prawdopodobne uważamy te zdarzenia, które występują częściej; mało prawdopodobne - te, które prawie nigdy się nie zdarzają. Zatem pojęcie prawdopodobieństwa zdarzenia jest w swej istocie powiązane z empiryczną, praktyczną koncepcją częstotliwości zdarzenia.
Porównując ze sobą różne zdarzenia według stopnia ich możliwości, musimy ustalić jakąś jednostkę miary. Jako taką jednostkę miary naturalne jest przyjęcie prawdopodobieństwa określonego zdarzenia, tj. takie zdarzenie, które w wyniku doświadczenia z pewnością musi nastąpić. Przykładem pewnego zdarzenia jest rzut o wartości nie większej niż 6 punktów przy rzucaniu kostka do gry.
Jeśli zdarzeniu przypisujemy pewne prawdopodobieństwo, równy jeden, wtedy wszystkie inne zdarzenia - możliwe, ale nie pewne - będą charakteryzowały się prawdopodobieństwami mniejszymi niż jeden, stanowiącymi ułamek jedności.
Przeciwieństwem pewnego zdarzenia jest zdarzenie niemożliwe, tj. zdarzenie, które nie może wystąpić w danym eksperymencie. Przykładem zdarzenia niemożliwego jest wystąpienie 12 punktów podczas rzutu pojedynczą kostką. Naturalne jest przypisanie zdarzeniom niemożliwym prawdopodobieństwa równego zero.
W ten sposób ustalana jest jednostka miary prawdopodobieństw - prawdopodobieństwo określonego zdarzenia - oraz zakres zmiany prawdopodobieństw dowolnych zdarzeń - liczby od 0 do 1.
1. Zdarzenia losowe
Teoria prawdopodobieństwa- To dział matematyki, który bada prawa masowych zdarzeń losowych.
Zdarzenie nazywane jest losowym, którego wystąpienia nie można zagwarantować. O losowości zdarzenia decyduje wiele obiektywnie istniejących przyczyn, nie sposób jednak uwzględnić ich wszystkich, jak również stopnia ich wpływu na badane zdarzenie. Do takich zdarzeń losowych należą: wypadnięcie z jednej lub drugiej liczby podczas rzucania kostką, wygrana na loterii, liczba pacjentów, którzy umówili się na wizytę u lekarza itp.
I choć w każdym konkretnym przypadku trudno jest przewidzieć wynik testu, to przy odpowiednio dużej liczbie obserwacji można stwierdzić obecność pewnej prawidłowości. Rzucając monetą widać, że liczba orzełków i reszek jest mniej więcej taka sama, a podczas rzucania kostką pojawiają się też różne twarze, mniej więcej takie same. Sugeruje to, że zjawiska losowe mają swoje własne wzorce, ale pojawiają się tylko przy dużej liczbie testów. Słuszność tego potwierdza prawo wielkich liczb, które leży u podstaw teorii prawdopodobieństwa.
Rozważ podstawowe terminy i koncepcje teorii prawdopodobieństwa.
test to zbiór warunków, w których może wystąpić dane zdarzenie losowe.
Wydarzenie - jest to fakt, który pod pewnymi warunkami może, ale nie musi wystąpić. Wydarzenia oznaczają wielkie litery Alfabet łaciński A, B, C...
Na przykład, wydarzenie ALE- narodziny chłopca, wydarzenie W - wygrana w loterii, wydarzenie C – przegrana cyfry 4 przy rzucie kostką.
Zdarzenia są pewne, niemożliwe i przypadkowe.
Wiarygodne wydarzenie- to wydarzenie, które w wyniku testu z pewnością musi nastąpić.
Na przykład, jeśli na kostce na wszystkich sześciu ścianach . umieść cyfrę 1, wtedy utrata cyfry 1 podczas rzucania kostką jest pewnym wydarzeniem.
Niemożliwe wydarzenie - jest to zdarzenie, które w wyniku testu nie może wystąpić.
Na przykład, we wcześniej rozważanym przykładzie jest to utrata dowolnej liczby z wyjątkiem 1.
przypadkowe wydarzenie to zdarzenie, które może, ale nie musi wystąpić podczas testowania. Niektóre wydarzenia realizowane są z różne możliwości.
Na przykład, Deszcz spodziewany jest jutro po południu. W tym przykładzie nadejście dnia jest testem, a upadek deszczu jest zdarzeniem losowym.
Wydarzenia nazywają się niekompatybilny jeśli w wyniku tego testu pojawienie się jednego z nich wyklucza pojawienie się drugiego.
Na przykład, Kiedy rzuca się monetą, jednoczesne branie orłów i reszek jest nie do pogodzenia.
Wydarzenia nazywają się połączenie, jeżeli w wyniku tego testu pojawienie się jednego z nich nie wyklucza pojawienia się drugiego.
Na przykład, podczas gry w karty pojawienie się waleta i koloru pik to wspólne wydarzenia.
Wydarzenia nazywają się równie możliwe chyba że istnieją powody, by sądzić, że jedno z nich występuje częściej niż drugie!
Na przykład, równie prawdopodobnym wydarzeniem jest utrata jakiejkolwiek ścianki kości.
Forma wydarzeń kompletna grupa wydarzeń, jeśli w wyniku testu wystąpi przynajmniej jeden z nich, a dowolne dwa z nich są niezgodne.
Na przykład, przy 10 strzałach w tarczę możliwe jest od 0 do 10 trafień. Podczas rzutu kostką może wypadnąć liczba od 1 do 6. Te wydarzenia tworzą kompletną grupę.
Zdarzenia zawarte w pełnej grupie parami niezgodnych i jednakowo prawdopodobnych zdarzeń są nazywane wyniki lub podstawowe wydarzenia. Zgodnie z definicją pewnego zdarzenia można uznać, że zdarzenie polegające na pojawieniu się jednego, bez względu na to, które ze zdarzeń całej grupy, jest pewnym zdarzeniem.
Na przykład, rzucając jedną kostką, wypada liczba mniejsza niż siedem. To jest przykład pewnego wydarzenia.
Szczególnym przypadkiem zdarzeń, które tworzą kompletną grupę, są zdarzenia przeciwstawne.
Dwa niezgodne zdarzenia ALE i (czytaj „nie A”) są nazywane naprzeciw, jeśli w wyniku testu musi koniecznie wystąpić jedno z nich.
Na przykład, jeżeli stypendium jest przyznawane tylko w przypadku uzyskania z egzaminu oceny dobrej i doskonałej, to zdarzenia „stypendium” i „ocena niedostateczna lub dostateczna” są na odwrót.
Wydarzenie ALE nazywa się korzystny wydarzenie W, jeśli wystąpienie zdarzenia ALE wyzwala zdarzenie W.
Na przykład, podczas rzucania kostką wystąpieniu liczby nieparzystej sprzyjają zdarzenia związane z utratą liczb 1,3 i 5.
2. Operacje na wydarzeniach
Operacje na zdarzeniach są podobne do operacji na zbiorach.
suma kilku zdarzeń nazywamy zdarzeniem polegającym na wystąpieniu przynajmniej jednego z nich w wyniku testu.
Suma zdarzeń może być oznaczona znakami „+”, „È”, „lub”.
Rysunek 1 przedstawia interpretację geometryczną za pomocą diagramów Eulera-Venna. Suma zdarzeń A+B będzie pasować do całego zacienionego obszaru.
rys.1
Obszar skrzyżowania zdarzeń ALE I W odpowiada wspólnym wydarzeniom, które mogą wystąpić jednocześnie. To samo dla wydarzeń A, B I OD są wspólne wydarzenia ALE I W; ALE I OD; W i C; ALE I W I OD, co może się zdarzyć w tym samym czasie.
Na przykład, W urnie znajdują się kule białe, czerwone i niebieskie. Możliwe są następujące wydarzenia: ALE- wylosowana zostaje biała bila; W- wylosowana zostaje czerwona kula; C - losowana jest niebieska kula. Wydarzenie B + C oznacza, że zdarzenie miało miejsce – wyrzucono bilę kolorową lub wyrzucono bilę inną niż biała.
Praca kilku zdarzeń nazywamy zdarzeniem, które polega na łącznym wystąpieniu wszystkich tych zdarzeń w wyniku testu.
Iloczyn zdarzeń można oznaczyć znakami „x”, „∩”, „and”.
Interpretację geometryczną iloczynu zdarzeń przedstawiono na ryc. 2.
rys.2
Produkt wydarzeń ALE I W w miejscu przecięcia obszarów pojawi się zacieniony obszar ALE I W. I na trzy wydarzenia ALE I W I OD - Całkowita powierzchnia, który występuje jednocześnie we wszystkich trzech wydarzeniach.
Na przykład, Niech karta zostanie wylosowana z talii kart. Wydarzenie ALE- dobierana jest karta pik; W - Jack jest wyjęty. Potem wydarzenie A×B oznacza wydarzenie - walet pik jest wyjęty.
różnica dwa wydarzenia A-B nazywa się zdarzeniem składającym się z wyników zawartych w ALE, ale nie zawarte w W.
Na ryc. 3 jest ilustracją różnicy zdarzeń za pomocą diagramów Eulera-Venna.
rys.3
Różnica między dwoma wydarzeniami A-B to zacieniony obszar? ALE bez części zawartej w wydarzeniu W. Różnica między iloczynem wydarzeń ALE I W i wydarzenie OD będzie obszar wspólny rozwój ALE i wydarzenia W bez wspólnej przestrzeni eventowej z nią OD.
Na przykład, niech podczas rzucania kostką wydarzy się ALE - występowanie liczb parzystych (2,4,6) oraz zdarzenie W - wielokrotności 3, tj. (3, 6). Potem wydarzenie A-B pojawienie się liczb (2,4).
3. Określanie prawdopodobieństwa zdarzenia
Zdarzenia losowe są realizowane z różnymi możliwościami. Niektóre występują częściej, inne rzadziej. W celu ilościowej oceny możliwości realizacji wydarzenia wprowadzono koncepcję prawdopodobieństwo zdarzenia.
Prawdopodobieństwo zdarzenia- jest to liczba charakteryzująca stopień prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia z wielokrotnym powtarzaniem testów.
Prawdopodobieństwo jest oznaczone literą r(z angielskiego. prawdopodobieństwo- prawdopodobieństwo). Prawdopodobieństwo jest jednym z podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa. Istnieje kilka definicji tego pojęcia.
klasyczny definicja prawdopodobieństwa jest następująca. Jeśli znane są wszystkie możliwe wyniki badania i nie ma powodu, by sądzić, że jedno zdarzenie losowe będzie występowało częściej niż inne, tj. zdarzenia są jednakowo możliwe i niezgodne, wtedy możliwe jest analityczne określenie prawdopodobieństwa zdarzenia.
Prawdopodobieństwo ROCZNIE) rozwój ALE nazywany stosunkiem liczby korzystnych wyników T do całkowitej liczby równie możliwych niezgodnych wyników P:
Właściwości prawdopodobieństwa:
1. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego ALE wynosi od 0 do 1.
2. Prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia wynosi 1.
.
3. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0.
.
Jeśli interesuje Cię tytułowe pytanie, prawdopodobnie jesteś uczniem lub uczniem, który ma do czynienia z nowym przedmiotem. Problemy teorii prawdopodobieństwa rozwiązują obecnie piątoklasiści szkół wyższych, licealiści przed Zjednoczonym Egzaminem Państwowym oraz studenci dosłownie wszystkich specjalności – od geografów po matematyków. Co to za temat i jak do niego podejść?
Prawdopodobieństwo. Co to jest?
Teoria prawdopodobieństwa, jak sama nazwa wskazuje, zajmuje się prawdopodobieństwami. Otacza nas wiele rzeczy i zjawisk, co do których, niezależnie od stopnia zaawansowania nauki, nie da się dokładnie przewidzieć. Nie wiemy jaką kartę losujemy z talii ani ile dni będzie padać w maju, ale mając trochę Dodatkowe informacje, możemy dokonywać prognoz i obliczać prawdopodobieństwa tych zdarzeń losowych.
Mamy więc do czynienia z podstawową koncepcją przypadkowe wydarzenie- zjawisko, którego zachowania nie można przewidzieć, eksperyment, którego wyniku nie można z góry obliczyć itp. To prawdopodobieństwa zdarzeń są obliczane w typowe zadania Oh. Prawdopodobieństwo to jakaś, ściśle rzecz biorąc, funkcja, która przyjmuje wartości od 0 do 1 i charakteryzuje dane zdarzenie losowe. 0 - zdarzenie jest prawie niemożliwe, 1 - zdarzenie jest praktycznie pewne, 0,5 (lub "50 do 50") - zdarzenie nastąpi z równym prawdopodobieństwem lub nie.
Algorytm rozwiązywania typowych problemów w celu znalezienia prawdopodobieństwa
Więcej informacji o podstawach rachunku prawdopodobieństwa można znaleźć na przykład w podręczniku internetowym. A teraz nie owijmy się w bawełnę i formułujmy przykładowy schemat, który należy wykorzystać do rozwiązywania standardowych zadań szkoleniowych do obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia losowego, a następnie poniżej na przykładach zilustrujemy jego zastosowanie.
- Uważnie przeczytaj zadanie i zrozum, co dokładnie się dzieje (co jest wyciągane z którego pudełka, co było gdzie, ile urządzeń działa itp.)
- Znajdź główne pytanie zadania, takie jak „oblicz prawdopodobieństwo, że ...” i zapisz ten wielokropek jako zdarzenie, którego prawdopodobieństwo należy znaleźć.
- Zdarzenie jest rejestrowane. Teraz musimy zrozumieć, do którego „schematu” rachunku prawdopodobieństwa należy problem, aby wybrać właściwe formuły rozwiązania.
Prawdopodobieństwo
Odpowiedz na pytania testowe, takie jak:
- jest jeden test (np. rzucanie dwiema kostkami) lub kilka (np. sprawdzenie 10 urządzeń);
- jeśli jest kilka prób, czy wyniki jednej są zależne od innych (zależność czy niezależność zdarzeń);
- zdarzenie ma miejsce w pojedynczej sytuacji lub problem dotyczy kilku możliwych hipotez (np. piłka jest wyjęta z dowolnego z trzech pudełek lub z konkretnego).
Im więcej doświadczenia w rozwiązywaniu problemów, tym łatwiej będzie określić, które formuły są odpowiednie.
- Wybrano formułę (lub kilka) rozwiązania. Zapisujemy wszystkie dane problemu i podstawiamy je do tego wzoru.
- Voila, prawdopodobieństwo zostało znalezione.
Gotowe rozwiązania problemów na dowolnych sekcjach teorii prawdopodobieństwa, ponad 10 000 przykładów! Znajdź swoje zadanie:
Jak rozwiązywać problemy: prawdopodobieństwo klasyczne
Przykład 1W grupie 30 studentów na praca kontrolna 6 uczniów otrzymało „5”, 10 uczniów – „4”, 9 uczniów – „3”, reszta – „2”. Znajdź prawdopodobieństwo, że 3 uczniów dzwoniących na tablicę otrzyma w teście „2”.
Zacznijmy od powyższych punktów.
- Problem polega na wyborze 3 uczniów z grupy, która spełnia określone warunki.
- Przedstawiamy główne wydarzenie $X$ = (Wszystkich 3 uczniów wezwanych do tablicy otrzymało w teście „2”).
- Ponieważ w zadaniu jest tylko jeden test i jest on związany z selekcją/selekcję według pewnego warunku, mówimy o klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Zapiszmy wzór: $P=m/n$, gdzie $m$ to liczba wyników sprzyjających zdarzeniu $X$, a $n$ to liczba wszystkich równie możliwych wyników elementarnych.
- Teraz musimy znaleźć wartości $m$ i $n$ dla tego problemu. Najpierw znajdujemy liczbę wszystkich możliwych wyników - liczbę sposobów wyboru 3 uczniów z 30. Ponieważ kolejność wyboru nie ma znaczenia, jest to liczba kombinacji od 30 do 3: $$n=C_(30) ^3=\frac(30{3!27!}=\frac{28\cdot 29 \cdot 30}{1\cdot 2 \cdot 3}=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших «2». Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_{5}^3=\frac{5!}{3!2!}=\frac{4 \cdot 5}{1\cdot 2}=10.$$!}
- Otrzymujemy prawdopodobieństwo: $$P(X)=\frac(m)(n)=\frac(10)(4060)=0.002.$$ Problem rozwiązany.
Więcej przykładów: Rozwiązane problemy dotyczące klasycznej definicji prawdopodobieństwa.
Jak rozwiązywać problemy: wzór Bernoulliego
Przykład 2Jakie jest prawdopodobieństwo, że po 8 rzutach monetą herb pojawi się 5 razy?
Ponownie, zgodnie ze schematem rozwiązywania problemów dotyczących prawdopodobieństwa, rozważamy ten problem:
- Problem dotyczy serii identycznych testów - rzucania monetą.
- Wejdź do turnieju głównego $X$ = (Po 8 rzutach monetą herb wypadnie 5 razy).
- Ponieważ w zadaniu jest kilka prób, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia (herbu) jest takie samo w każdej próbie, mówimy o schemacie Bernoulliego. Zapiszmy wzór Bernoulliego, który opisuje prawdopodobieństwo, że z $n$ monety rzuconej herb wypadnie dokładnie $k$ razy: $$ P_(n)(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^ (nk).$$
- Zapisujemy dane ze stanu problemu: $n=8, p=0,5$ (prawdopodobieństwo wypadnięcia herbu w każdym rzucie wynosi 0,5) i $k=5$
- Podstaw i uzyskaj prawdopodobieństwo: $$ P(X)=P_(8)(5)=C_8^5 \cdot 0.5^5 \cdot (1-0.5)^(8-5)=\frac(8{5!3!}\cdot 0,5^8=\frac{6\cdot 7 \cdot 8}{1\cdot 2 \cdot 3} \cdot 0,5^8= 0,219.$$ Задача решена.!}
Więcej przykładów: Rozwiązywanie problemów na podstawie wzoru Bernoulliego, narzędzie do rozwiązywania problemów w teorii prawdopodobieństwa.
I to wszystko? Oczywiście nie.
Powyżej wymieniliśmy tylko niewielką część tematów i formuł teorii prawdopodobieństwa, w celu dokładniejszego zbadania można obejrzeć podręcznik online na tej stronie (lub pobrać klasyczne podręczniki w telewizji), przeczytać artykuły na temat rozwiązywania problemów probabilistycznych, bezpłatnie przykłady, użyj kalkulatory online. Powodzenia!
Dziękuję za przeczytanie i podzielenie się z innymi
Inny przydatne artykuły zgodnie z teorią prawdopodobieństwa
Artykuły o rozwiązywaniu problemów matematycznych
Obserwacja zjawiska, eksperymentu, eksperymentu, który można przeprowadzić wielokrotnie, w teorii prawdopodobieństwa nazywa się zwykle test . Wynik, wynik testu nazywa się wydarzenie .
Przykład 1 . Zdanie egzaminu jest testem; uzyskanie określonej oceny jest wydarzeniem. Strzał to test; trafienie w określony obszar celu jest wydarzeniem. Rzucanie kostką to test; pojawienie się takiej lub innej liczby punktów na rzuconej kostce jest wydarzeniem.
Rodzaje zdarzeń losowych
Wydarzenia nazywają się niekompatybilny jeżeli wystąpienie jednego z nich wyklucza wystąpienie innych zdarzeń w tej samej próbie.
Przykład 2 :
- niezgodne zdarzenia : dzień i noc, osoba czyta, a osoba śpi, liczba jest irracjonalna i parzysta;
- wspólne wydarzenia : pada deszcz i pada śnieg, człowiek je, a człowiek czyta, liczba jest pełna i parzysta.
Forma kilku wydarzeń pełna grupa (przestrzeń wynikowa) , jeśli w wyniku testu pojawi się przynajmniej jeden z nich. Innymi słowy, wystąpienie przynajmniej jednego ze zdarzeń całej grupy jest pewnym zdarzeniem.
Przykład 3 .
Lekcja algebry » Zdarzenia losowe. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego.
Po zdaniu testu możliwe są następujące wyniki: „zaliczono”, „nie zaliczono”, „nie pojawiło się”; podczas rzucania monetą - „głowy”, „ogony”.
Przykład 4 . Niech urna zawiera 6 identyczne kule i 2 z czego są czerwone 3 - niebieski i 1 - Biały. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kolorowej kulki z urny? Czy tę szansę można scharakteryzować liczbą?
Okazuje się, że możesz. Ta liczba nazywana jest prawdopodobieństwem zdarzenia. ALE (wygląd kolorowej kuli). W ten sposób, prawdopodobieństwo to liczba charakteryzująca stopień prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia .
Każdy z możliwych wyników testu (w przykładzie 4 test polega na wylosowaniu kuli z urny) nazywa się elementarny wynik .
Te elementarne wyniki, w których zachodzi interesujące nas zdarzenie, nazywamy korzystny wydarzenie. W przykładzie 4 wydarzenie jest faworyzowane ALE (pojawienie się kolorowej kuli) 5 wyników.
Wydarzenia nazywają się równie możliwe , jeśli istnieją powody, by sądzić, że żaden z nich nie jest bardziej możliwy niż drugi.
Przykład 5 . Pojawienie się takiej lub innej liczby punktów na rzuconej kostce jest równie prawdopodobnymi zdarzeniami.
Prawdopodobieństwo P(A) rozwój ALE jest stosunkiem liczby wyników korzystnych dla tego zdarzenia do całkowitej liczby wszystkich równie możliwych niezgodnych wyników elementarnych, które tworzą kompletną grupę.
Prawdopodobieństwo P(A) rozwój ALE określa wzór
gdzie m to liczba faworyzujących wyników elementarnych A ; n - liczba wszystkich możliwych elementarnych wyników testu.
W przykładzie są 4 podstawowe wyniki 6 ; z nich 5 faworyzować wydarzenie ALE . Dlatego prawdopodobieństwo, że wylosowana piłka będzie kolorowa, wynosi P(A) = 5/6 .
Przykład 6 . Określ prawdopodobieństwo uzyskania nieparzystej liczby punktów na kostce.
Rozwiązanie. Podczas rzucania kostką w wydarzeniu A – „nieparzystą liczbę punktów wypadło” można zapisać jako podzbiór (1, 3, 5) przestrzeni wynikowej (1, 2, 3, 4, 5, 6) (rys. 1).
Liczba wszystkich równie prawdopodobnych wyników n = 6, a liczba sprzyjające wydarzenie A – m = 3. Dlatego
Przykład 7 . W urnie jest 7 kulki: 2 biały, 4 czarny i 1 czerwony. Jedna piłka jest losowana. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana piłka jest czarna?
Rozwiązanie. Policzmy piłki. Niech na przykład kule z liczbami 1 I 2 – biały, z cyframi 3, 4, 5 I 6 są czarne i przypisz numer do czerwonej kuli 7 .
Skoro możemy wyjąć tylko jedną z siedmiu piłek, to Łączna istnieje siedem równie prawdopodobnych wyników ( n=7 ). Z nich 4 wynik - pojawienie się kulek z liczbami 3, 4, 5 I 6 - spowoduje, że wylosowana piłka będzie czarna ( m = 4 ). Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia ALE , polegający na pojawieniu się czarnej kuli, jest równy
Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana piłka jest biała.
Przykład 8 .
Oblicz prawdopodobieństwo rzutu w sumie 10 punktów podczas rzucania parą kości.
Rozwiązanie. Rozważ wszystkie jednakowo możliwe wyniki w wyniku rzucenia dwiema kostkami (ich liczba jest równa 36
- zalecamy pisać w formie tabeli). Całkowita strata 10
punkty (zdarzenie ALE
) jest możliwe w trzy przypadki – 4
punkt na pierwszej kości i 6
Na drugim, 5
punkty na pierwszym i 5
Na drugim, 6
punkty na pierwszym i 4
Na drugim. Dlatego prawdopodobieństwo zdarzenia A (wypadkowego w sumie 10
punktów) jest równe 
Właściwość 1. Prawdopodobieństwo niezawodny rozwój ALE jest równy jeden: P(A) = 1 .
Właściwość 2. Prawdopodobieństwo niemożliwy rozwój ALE równa się zero: P(A) = 0 .
Właściwość 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego wynosi Liczba dodatnia pomiędzy zero I jednostka :
0 £ P (A) £ 1.
Przykład 9 . Ponieważ prawdopodobieństwo upadku 13 punktów, gdy rzucenie parą kości jest wydarzeniem niemożliwym, jego prawdopodobieństwo jest równe zero .
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa zakłada, że liczba elementarnych wyników badania jest skończona. W praktyce często zdarzają się testy, których liczba możliwych wyników jest nieskończona. Ponadto często niemożliwe jest przedstawienie wyniku testu jako zestawu zdarzeń elementarnych. Jeszcze trudniej wskazać podstawy do uznania zdarzeń elementarnych za równie prawdopodobne. Z tego powodu obok klasycznej definicji prawdopodobieństwa stosuje się również inne definicje, w szczególności definicja statystyczna .
Statystyczna definicja prawdopodobieństwa
Względna częstotliwość wraz z prawdopodobieństwem należy do podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa.
Względna częstotliwość rozwój ALE nazwijmy stosunek liczby prób, w których wystąpiło zdarzenie, do całkowitej liczby faktycznie przeprowadzonych prób:
gdzie m – liczba wystąpień zdarzenia ALE , n to łączna liczba prób.
Prawdopodobieństwo klasyczne jest obliczane przed doznaniem, a względna częstotliwość jest obliczana po doznaniu. .
Obserwacje długoterminowe wykazały, że jeśli eksperymenty przeprowadzane są w tych samych warunkach, w każdym z których liczba testów jest duża, to częstotliwość względna ujawnia właściwość stabilności .
Właściwość ta polega na tym, że w różnych eksperymentach częstotliwość względna niewiele się zmienia (im mniej, tym więcej przeprowadza się testów), oscylując wokół pewnej stałej liczby. Ta stała liczba to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia.
Tak więc przy wystarczająco dużej liczbie testów, jak statystyczne prawdopodobieństwo zdarzenia zaakceptować częstotliwość względna lub liczba zbliżona do niego.
Przykład 10
. Przyrodnik K. Pearson cierpliwie rzucał monetą i po każdym rzucie nie był zbyt leniwy, aby zapisać wynik. Po wykonaniu tej operacji 24 000 razy stwierdził, że herb wypadł w 12 012 przypadkach. Obliczając względną częstotliwość herbu, uzyskał 
, co jest prawie równe 1/2.
Wiele osób interesuje pytanie: czy można wpływać na zdarzenia losowe, identyfikować dowolny wzorzec zdarzeń, aby uzyskać pożądany rezultat. Wszystkie otaczające nas zjawiska zachodzą i zmieniają się z pewną dozą przypadkowości, niepewności.
Z przypadkowymi zdarzeniami spotykamy się częściej, niż się powszechnie sądzi. U podstaw leżą czynniki losowe środowisko, ekonomia, polityka, społeczeństwo i życie publiczne determinują przebieg każdego procesu kolejka- handel, łączność telefoniczna, usługi transportowe i pomoc medyczna. Zadanie zarządzania różnego rodzaju procesami, które jest najbardziej dotkliwe dla: nowoczesne społeczeństwo polega na nauce poruszania się w świecie wypadków i aktywnego działania, opierając się na ukrytych konkretnych wzorcach.
Wszystkie zjawiska otaczającej nas rzeczywistości można rozpatrywać z punktu widzenia prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Kiedy uczeń idzie na egzamin, prawdopodobieństwo uzyskania dobrej oceny zależy od kilku powodów: przygotowania ucznia, dobrze dobranego biletu, dobrego samopoczucia, nastroju.
Ekonomisty może interesować prawdopodobieństwo, że cena dobra nie wzrośnie, o ile produkcja nie spadnie, lub prawdopodobieństwo, że ubezpieczony samochód nie ulegnie wypadkowi.
Wszystkie te zdarzenia są losowe i mogą, ale nie muszą, wystąpić z pewnym stopniem niepewności. Ilościową miarą takiej niepewności jest prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia losowego, rozumiane jako liczba wyrażająca stopień ufności w zaistnienie takiego lub innego zdarzenia losowego.
Zdarzenia losowe to możliwe wyniki pojedynczej operacji lub testu.
Testowanie należy rozumieć jako proces, który obejmuje: określone warunki i prowadzi do jednego z kilku możliwych wyników.
Na przykład: test – rzucanie monetą, zdarzenie losowe – utrata herbu. Test - narodziny dziecka, zdarzenie losowe - płeć dziecka - mężczyzna.
Wynikiem doświadczenia może być obserwacja, pomiar, ocena.
Zdarzenie losowe może składać się z kilku elementarnych zdarzeń .
Pojedynczy, oddzielny wynik testu nazywany jest zdarzeniem elementarnym.
Zdarzenie nazywane jest losowym, jeśli w wyniku testu (eksperymentu) może wystąpić lub nie.
Na przykład strzelec oddający strzał może trafić w cel lub nie. W tym przypadku testem jest strzał, a możliwymi podstawowymi wynikami są trafienie lub chybienie celu. W meczu może wziąć udział drużyna piłkarska - jest to test, w wyniku którego mogą wystąpić wyniki lub zdarzenia elementarne: wygrana, przegrana lub remis.
Ocena studenta z egzaminu jest zdarzeniem losowym, na które składają się elementy elementarne: uzyskanie oceny „doskonałej”, uzyskanie oceny „dobrej”, uzyskanie oceny „dostatecznej” i uzyskanie oceny „niedostatecznej”.
Zdarzenia elementarne można sklasyfikować według ich niepewności jako pewne, niemożliwe i losowe.
Pewne wydarzenie nazywa się pewnym wydarzeniem, które z pewnością nastąpi w określonych warunkach.
Na przykład, jeśli w pudełku znajdują się tylko części znormalizowane, to wyodrębnienie z niego części znormalizowanej jest pewnym wydarzeniem. Jest również wiarygodne, że w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.
Zdarzenie, które nie może nastąpić w wyniku danego testu nazywamy niemożliwym.
Jeśli wszystkie części są standardowe w pudełku, wyciągnięcie z niego części niestandardowej jest niemożliwe. Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny. Pewne i niemożliwe wydarzenia, ogólnie rzecz biorąc, nie są przypadkowe.
Zdarzenia losowe. Prawdopodobieństwo (strona 1)
Fundacja dla podejście naukowe do poszukiwania odpowiedzi na tego typu pytania leży teoria prawdopodobieństwa.
Narodziny teorii prawdopodobieństwa i powstanie pierwszych pojęć tej gałęzi matematyki nastąpiły w połowie XVII wieku, kiedy Pascal, Fermat, Bernoulli próbowali analizować problemy związane z Hazard nowe metody. Szybko stało się jasne, że rodząca się teoria znajdzie szerokie zastosowanie do rozwiązywania wielu problemów pojawiających się w różne pola ludzka aktywność.
Wystarczająco produkują duża liczba eksperymentów lub prób, możesz określić, jak często występuje zdarzenie i obliczyć prawdopodobieństwo jego wystąpienia. Określone w ten sposób prawdopodobieństwo nazywamy statystycznym lub posteksperymentalnym. W niektórych przypadkach możliwe jest wyznaczenie prawdopodobieństwa przedeksperymentalnego, które nazywamy prawdopodobieństwem klasycznym.
Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A jest stosunkiem liczby wyników sprzyjających wystąpieniu tego zdarzenia do łącznej liczby wszystkich jedynych możliwych i niekompatybilnych wyników elementarnych. Oznaczmy liczbę wyników korzystnych dla zdarzenia A jako M, a liczbę wszystkich możliwych wyników N. Następnie, aby określić prawdopodobieństwo, możemy użyć wzoru P (A) \u003d M / N.
Przeprowadziłem eksperyment: próbowałem wyciągnąć 15 kulek, z czego 2 czerwone, pozostałe zielone, losowo 2 kulki. Próbowałem określić prawdopodobieństwo, że obie kule są czerwone; obie kule będą zielone; jedna piłka będzie czerwona, druga zielona.
Wynik przyjęty przed eksperymentem był uzasadniony: najbardziej możliwym wynikiem jest wyciągnięcie 2 zielonych piłek, najmniej możliwym jest wyciągnięcie 2 czerwonych piłek.
Porównując prawdopodobieństwo praktyczne i teoretyczne stwierdzono dość dużą rozbieżność, której przyczyną jest mała liczba wykonanych badań.
Aby uzyskać dokładniejszy wynik, pożądane jest przeprowadzenie jak największej liczby badań, rozważenie wszystkich możliwych wyników badań i korzystnych wyników. Nie zapominaj, że zawsze można to sprawdzić teoretycznie. W takim przypadku prawdopodobieństwa przed eksperymentem i po eksperymencie powinny się pokrywać.
Po przeprowadzeniu badań na ten temat doszedłem do wniosku: teoria prawdopodobieństwa nie wpływa na zdarzenia losowe, pozwala jedynie określić stopień jego wystąpienia, a prawdopodobieństwo obliczone podczas eksperymentu, im dokładniejsze, tym więcej testów .
Literatura:
- Kibzun AI Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Kurs podstawowy z przykładami i zadaniami / AI Kibzun. - M.: Fizmatlit, 2002. - 224 s.
- Kochetkov E. S., Smerchinskaya S. O., Sokolov V. V. Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. - M.: FORUM: INFRA-M, 2006. - 240 s.
- Pismenny D. T. Notatki z wykładów z teorii prawdopodobieństwa, statystyki matematycznej i procesy losowe. - M.: Iris-press, 2007. - 288 s.
Dziękuję za przeczytanie i podzielenie się z innymi
Podstawowym pojęciem teorii prawdopodobieństwa jest pojęcie zdarzenia losowego. przypadkowe wydarzenie Zdarzenie nazywa się zdarzeniem, które w pewnych warunkach może, ale nie musi wystąpić. Na przykład trafienie lub chybienie obiektu podczas strzelania do tego obiektu z ta broń jest zdarzeniem losowym.
Wydarzenie nazywa się niezawodny jeśli w wyniku testu to koniecznie nastąpi. Niemożliwy Zdarzenie nazywa się zdarzeniem, które nie może wystąpić w wyniku testu.
Zdarzenia losowe nazywają się niekompatybilny w danej rozprawie, jeśli żadne dwie z nich nie mogą wystąpić razem.
Formularz zdarzeń losowych pełna grupa, jeżeli na każdym rozprawie może wystąpić któreś z nich i nie może wystąpić żadne inne zdarzenie niezgodne z nimi.
Rozważ pełną grupę równie możliwych niezgodnych zdarzeń losowych. Takie zdarzenia będą nazywane skutkami. Exodus nazywa się korzystny wystąpienie zdarzenia $A$, jeżeli wystąpienie tego zdarzenia pociąga za sobą pojawienie się zdarzenia $A$.
Przykład. Urna zawiera 8 ponumerowanych kul (każda kula ma jedną cyfrę od 1 do 8).
Kule z numerami 1, 2, 3 są czerwone, pozostałe są czarne. Pojawienie się kuli z cyfrą 1 (lub cyfrą 2 lub cyfrą 3) jest wydarzeniem sprzyjającym pojawieniu się czerwonej kuli. Pojawienie się kuli z cyfrą 4 (lub cyfrą 5, 6, 7, 8) to wydarzenie, które sprzyja pojawieniu się czarnej kuli.
Prawdopodobieństwo zdarzenia$A$ to stosunek liczby $m$ wyników sprzyjających temu zdarzeniu do łącznej liczby $n$ wszystkich równie możliwych niezgodnych wyników elementarnych, które tworzą kompletną grupę $$P(A)=\frac(m)(n ). \quad(1)$$
Właściwość 1. Prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia jest równe jeden
Właściwość 2. Prawdopodobieństwo niemożliwego zdarzenia wynosi zero.
Właściwość 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego to liczba dodatnia od zera do jednego.
Zatem prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia spełnia podwójną nierówność $0 \le P(A) \le 1$ .
Kalkulatory online
Duża warstwa problemów rozwiązywanych za pomocą wzoru (1) dotyczy zagadnienia prawdopodobieństwa hipergeometrycznego. Poniżej linków znajdziesz opisy popularnych zadań oraz kalkulatory online do ich rozwiązań:
- Problem z kulami (w urnie są $k$ białe i $n$ czarne kule, $m$ kule są wyjęte…)
- Problem z częściami (pudełko zawiera $k$ standardowe i $n$ części wadliwe, $m$ części są wyjęte…)
- Problem z losami na loterię ($k$ wygrywających i $n$ przegranych bierze udział w loterii, kupowane są losy $m$...)
Przykłady rozwiązań problemów z prawdopodobieństwem klasycznym
Przykład. W urnie znajduje się 10 ponumerowanych kulek z numerami od 1 do 10. Jedna kula zostaje wyjęta. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba wylosowanej kuli nie przekroczy 10?
Rozwiązanie. Niech wydarzenie ALE= (Liczba wylosowanej kuli nie przekracza 10). Liczba wystąpień sprzyjających wydarzeń ALE równa się liczbie wszystkich możliwych przypadków m=n=10. W konsekwencji, r(ALE)=1. Wydarzenie Niezawodny.. Liczba wyników elementarnych (liczba kart)
Pożądane prawdopodobieństwo 
.
Formuły prawdopodobieństwa online
W tym dziale znajdziesz wzory do rachunku prawdopodobieństwa w wersji online (możesz je pobrać na stronie Tabele i wzory do rachunku prawdopodobieństwa). Jeśli słowo jest podkreślone, kliknięcie linku przeniesie Cię do szczegółowy opis termin, przykłady lub obliczenia na kalkulatorze internetowym. Wykorzystaj te możliwości!
A także do nauki tervera mamy:
Dziękuję za przeczytanie i podzielenie się z innymi
I. Zdarzenia losowe. Podstawowe formuły online
1. Podstawowe formuły kombinatoryki
Liczba permutacji $$P_n = n!
Podręcznik prawdopodobieństwa
1\cdot 2 \cdot 3 \cdot … \cdot (n-1) \cdot n$$
Liczba alokacji $$A_m^n = n \cdot (n-1) \cdot … \cdot (n-m+1)$$
Liczba kombinacji $$C_n^m =\frac(A_n^m)(P_m)=\frac(n{m! \cdot (n-m)!}$$!}
2. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
$$P(A) = \frac(m)(n),$$ gdzie $m$ to liczba wyników korzystnych dla zdarzenia $A$, $n$ to liczba wszystkich elementarnych jednakowo możliwych wyników.
Więcej informacji na temat prawdopodobieństwa klasycznego można znaleźć w samouczku online i kalkulatorach decyzyjnych.
3. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych:
$$ P(A+B) = P(A)+P(B) $$
Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń:
$$ P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) $$
Przykłady rozwiązań i teorii algebry zdarzeń tutaj.
4. Prawdopodobieństwo wytworzenia zdarzeń
Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
$$ P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B) $$
Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń zależnych:
$$ P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B|A),\\ P(A\cdot B) =P(B)\cdot P(A|B). $$
$P(A|B)$ to warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ pod warunkiem, że zdarzenie $B$ wystąpiło,
$P(B|A)$ jest prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia $B$ przy założeniu, że zdarzenie $A$ wystąpiło.
Dowiedz się więcej o prawdopodobieństwie warunkowym.
5. Wzór na całkowite prawdopodobieństwo
$$ P(A)=\sum_(k=1)^(n) P(H_k)\cdot P(A|H_k), $$
6. Formuła Bayesa (Beyesa). Obliczanie prawdopodobieństw a posteriori hipotez
$$ P(H_m|A) =\frac(P(H_m)\cdot P(A|H_m))(P(A)) = \frac(P(H_m)\cdot P(A|H_m))(\ suma\limits_(k=1)^(n) P(H_k)\cdot P(A|H_k)), $$
gdzie $H_1, H_2, …, H_n$ to kompletna grupa hipotez.
Przykłady i teoria na ten temat.
7. Formuła Bernoulliego
$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^(n-k) = \frac(n{k! \cdot (n-k)!}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $$ вероятность появления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании.!}
Bardziej przydatne w teorii formuł Bernoulliego i przykładach, kalkulatory online.
8. Najbardziej prawdopodobna liczba wystąpienia zdarzenia
Najbardziej prawdopodobna liczba $k_0$ wystąpienia zdarzenia w $n$ niezależnych próbach (gdzie $p$ to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w jednej próbie):
$$ np-(1-p) \le k_0 \le np+p. $$
Oblicz najbardziej prawdopodobną wartość online.
9. Formuła lokalna Laplacea
$$ P_n(k) = \frac(1)(\sqrt(npq)) \varphi\left(\frac(k-np)(\sqrt(npq)) \right) $$
prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia dokładnie $k$ razy w $n$ niezależnych próbach, $p$ to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w jednej próbie, $q=1-p$.
Wartości funkcji $\varphi(x)$ są pobierane z tabeli.
10. Wzór całkowy Laplace'a
$$ P_n(m_1, m_2) = \Phi\left(\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)) \right)-\Phi\left(\frac(m_1-np)(\sqrt(npq) ) \prawo) $$
prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia co najmniej $m_1$ i co najwyżej $m_2$ razy w $n$ niezależnych próbach, $p$ to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w jednej próbie, $q=1-p$.
Wartości funkcji $\Phi(x)$ pobierane są z tabeli.
Teoria i przykłady wzorów Moivre-Laplace'a.
11. Oszacowanie odchylenia częstotliwości względnej od stałego prawdopodobieństwa $p$
$$ P\left(\left| \frac(m)(n) -p\right| \le \varepsilon\right) = 2 \Phi\left(\varepsilon\cdot \frac(n)(\sqrt(p (1-p))) \right) $$
$\varepsilon$ to wartość odchylenia, $p$ to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia.
Rozwiązane problemy w teorii prawdopodobieństwa
Potrzebować zakończone zadanie przez Tervera? Znajdź na stronie:
Katalog formuł probabilistycznych online
Pełna lista stron z formułami:
Dziękuję za przeczytanie i podzielenie się z innymi
przypadkowe wydarzenie -
Dwa wydarzenia niekompatybilny
Teoria prawdopodobieństwa
Algebra zdarzeń losowych, diagramy Wienne-Eulera.
Suma zdarzeń A i B Zdarzenie nazywa się zdarzeniem, które występuje, gdy wystąpi A, B lub oba zdarzenia.
Iloczyn A i B nazywamy wydarzeniem, które ma miejsce, jeśli w doświadczeniu są Zarówno rozwój.
Zdarzenie Ā, przeciwieństwo zdarzenia A to zdarzenie, które występuje, gdy zdarzenie A nie występuje.
A \ B (dodatek A do B) A się dzieje, ale B się nie dzieje
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Kombinatoryka.
to klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
m– łączna liczba wyników
n- liczba wyników sprzyjających wystąpieniu zdarzenia A..
Kombinatoryka- dział matematyki zajmujący się badaniem rozmieszczenia przedmiotów zgodnie ze specjalnymi zasadami i zliczaniem sposobów takiego rozmieszczenia. Kombinatoryka powstała w XVIII wieku. Uważany za gałąź teorii mnogości.
Aksjomatyczna konstrukcja teorii prawdopodobieństwa.
Aksjomat 1.„aksjomat nieujemności” P(A)≥0
Aksjomat 2.„aksjomat normalizacji” P(Ω)=1
Aksjomat 3.„aksjomat addytywności” Jeżeli zdarzenia A i B są niezgodne (AB=Ø), to P(A+B)=P(A)+P(B)
Twierdzenie o prawdopodobieństwie sumy zdarzeń.
Dla dowolnych wydarzeń P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB) (dokumenty na wykładzie)
Warunkowe prawdopodobieństwo. Zdarzenia zależne i niezależne. Twierdzenia o prawdopodobieństwie wystąpienia zdarzeń.
P(A|B) – prawdopodobieństwo zdarzenia A, jeśli zdarzenie B już zaszło – warunkowe prawdopodobieństwo.
Wydarzenie A nazywa się niezależny, ze zdarzenia B, jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia A nie zmienia się w zależności od tego, czy zdarzenie B ma miejsce, czy nie.
Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa: P(AB) = P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A)
Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych: P(AB) = P(A) P(B)
Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego
Wzór na całkowite prawdopodobieństwo.
Istnieją zdarzenia H 1 , H 2 ,…., H n parami niekompatybilne i tworzą kompletną grupę. Takie wydarzenia nazywają się hipotezy. Niech będzie jakieś zdarzenie A. A=AH 1 +AH 2 +…+AH n (warunki tej sumy są parami niezgodne).
Formuła Bayesa.
H 1 , H 2 ,…., H n A
Schemat Bernoulliego. Formuła Bernoulliego. Najprawdopodobniej liczba sukcesów.
Niech zostanie przeprowadzona skończona liczba n kolejnych prób, w każdym z których jakieś zdarzenie A może albo „udać się”, albo „nie powieść”, a próby te spełniają następujące warunki:
· Każdy test jest losowy w odniesieniu do zdarzenia A.i.e. przed badaniem nie można powiedzieć, czy A się pojawi, czy nie;
· Badania przeprowadzane są w tych samych warunkach z probabilistycznego punktu widzenia, tj. prawdopodobieństwo sukcesu w każdej indywidualnej próbie wynosi p i nie zmienia się z próby na próbę;
Testy są niezależne, tj. wynik któregokolwiek z nich nie wpływa na wynik innych badań.
Taka sekwencja testów nazywana jest schematem Bernoulliego lub schematem dwumianowym, a same testy nazywane są testami Bernoulliego.
Aby obliczyć prawdopodobieństwo P n (k), że w serii n prób Bernoulliego dokładnie k zakończy się pomyślnie, stosuje się wzór Bernoulliego: (k = 0,1,2,…n).
10. Pojęcie zmiennej losowej. Dyskretna zmienna losowa, sposoby jej wyznaczania: szereg rozkładów.
Zmienna losowa nazywana wielkością, która w każdym teście (przy każdej obserwacji) przyjmuje jedną z wielu jej możliwa wartość, który nie jest z góry znany.
Dyskretny r.w.– r.v., których zbiór możliwych wartości jest skończony lub policzalny.
Seria dystrybucji r.v.(szereg rozkładu prawdopodobieństwa). Wykres szeregu rozkładów jest określony wielokątem rozkładu - linią łamaną, która łączy punkty o współrzędnych (x i ,p i)
| x | x 1 | x2 | x 3 | … | x k | … |
| P | p1 | p2 | p 3 | … | pk | … |
Prawo dystrybucji r.v.: pk =P((X=xk))
Zdarzenia losowe, ich klasyfikacja. Pojęcie prawdopodobieństwa.
przypadkowe wydarzenie - zdarzenie, które w warunkach doświadczenia może, ale nie musi mieć miejsca. Co więcej, nie wiadomo z góry, czy tak się stanie, czy nie.
Dwa wydarzenia niekompatybilny jeśli pojawienie się jednego z nich wyklucza pojawienie się drugiego w tym samym eksperymencie.
Teoria prawdopodobieństwa bada wzorce tkwiące w masowych zjawiskach losowych. Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa zostały sformułowane w korespondencji między Pascalem a Fermatem. Koncepcje te narodziły się w wyniku prób matematycznego opisania hazardu.
Rozdział 1. Podstawowe pojęcia i formuły rachunku prawdopodobieństwa………………………………………….. 5
§ 1. Przedmiot teorii prawdopodobieństwa. Losowy
wydarzenia ………………………………………. pięć
§ 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego …………... 8
§ 3 Algebra zdarzeń …………………………….. 12
§ 4 Wzór dodawania prawdopodobieństwa …………… 17
§ 5 Aksjomatyczne podejście do teorii
prawdopodobieństwa ………………………………… 19
§ 6 Klasyczny schemat teoria prawdopodobieństwa.... 24
§ 7 Prawdopodobieństwa geometryczne ……………….. 26
§ 8 Prawdopodobieństwo warunkowe. Niezależność
zdarzenia losowe …………………………. 29
§ 9 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Formuły
Bayes ……………………………………….... 39
§ 10 Kombinatoryka ………………………………. 42
§ 11 Schemat Bernoulliego ……………………………..... 49
§ 12 Prawdopodobieństwo dla dużych wartości n.
Rozdział 2 Zmienne losowe i ich charakterystyka 62
§ 1 Zmienna losowa i jej funkcja
dystrybucja ................................................. 0,62
§ 2 Dyskretne zmienne losowe .................. 67
§ 3 Ciągłe zmienne losowe ............... 70
§ 4 Funkcje zmiennej losowej .................................. 78
§ 5 Układy zmiennych losowych ………………. 81
§ 6 Niezależne zmienne losowe ………... 89
§ 7 Wartość oczekiwana losowy
wartości …………………………………….. 94
§ 8 Rozproszenie zmiennej losowej ………….... 109
§ 9. Moment korelacji i korelacja
zmienne losowe ……………………………. 113
Rozdział 3 Prawo wielkich liczb i centralnego
twierdzenie graniczne……………………… 119
§ 1 Nierówność Czebyszewa ……………………... 119
§ 2 Prawo wielkich liczb ………………………... 123
§ 3 Centralne twierdzenie graniczne Lapunowa i
jego konsekwencje ………………………………… 129
Problemy z rachunku prawdopodobieństwa …………………… 138
Zadania indywidualne#1 w teorii
prawdopodobieństwa …………………………………………… 153
Zadania indywidualne nr 2 w teorii
prawdopodobieństwa …………………………………………... 166
Tabela wartości funkcji 
…….. 183
Tabela wartości funkcji
................................................... 185
Potęgi liczby mi....................................................... 188
Tabela wartości funkcji ………………..... 189
Rozdział I. Podstawowe pojęcia i formuły rachunku prawdopodobieństwa.
Przedmiot teorii prawdopodobieństwa. Zdarzenia losowe.
Przedmiotem rachunku prawdopodobieństwa są modele eksperymentów (eksperymenty, obserwacje, testy), które są przeprowadzane po stworzeniu określonych zbiorów warunków.
Przykłady doświadczeń:
1) rzucanie monetą 20 razy,
2) zakup losu na loterię,
3) przyjazd rano (między 8 a 9) na stację metra Novogireevo,
W praktyce często zdarzają się sytuacje, w których wyniku naszego eksperymentu nie da się z góry przewidzieć z całkowitą pewnością. Na przykład (patrz przykłady eksperymentów powyżej)
1) nie można przewidzieć, że herb wypadnie dokładnie 9 razy lub herb wypadnie od 7 do 15 razy
2) czy wygrana trafi na los na loterię z takim a takim numerem
3) na pociąg elektryczny będziemy czekać od 20 do 80 sekund
We wszystkich takich sytuacjach jesteśmy zmuszeni uważać rezultat doświadczenia za zależny od przypadku, uważać go za: przypadkowe wydarzenie.
Definicja. Zdarzenie nazywamy przypadkowym w odniesieniu do danego doświadczenia, jeżeli podczas realizacji tego doświadczenia może ono wystąpić lub nie.
Przykładem zdarzenia losowego jest utrata herbu dokładnie 9 razy w eksperymencie z rzucaniem monetą 20 razy, wygranie sprzedanego losu na loterię, na pociąg będziemy czekać od 20 do 80 sekund, zbieg daty urodzenia (w eksperymencie) dwóch losowo wybranych studentów na wykładzie z teorii prawdopodobieństwa i na tym audytorium.
Zdarzenia losowe są oznaczone w następujący sposób ALE, W, OD itp.
Komentarz. Zgodnie z podaną powyżej definicją, zdarzenie jest uważane za losowe, jeśli jego wystąpienie w wyniku doświadczenia przedstawia tylko jedną z dwóch możliwości – albo występuje, albo nie występuje.
Zdarzenia, które zawsze następują w wyniku danego doświadczenia, nazywa się wiarygodny(oznaczenie I), które nigdy nie nadejdą - niemożliwy wydarzenia (oznaczenie Ø).
Teoria prawdopodobieństwa rozpatruje modele takich eksperymentów, które mogą być powtarzane w tych samych warunkach (wystarczająco) nieograniczoną liczbę razy, tj. przyjmiemy, że w zasadzie można stworzyć wielokrotnie te same warunki, w jakich przeprowadza się dany eksperyment.
Zdarzenia losowe, których wystąpienie jest możliwe w takich eksperymentach, nazywa się masowe zdarzenia losowe.
Masowe zdarzenia losowe należy odróżnić od pojedynczych zdarzeń, których cechą charakterystyczną jest to, że doświadczenie, z którym te zdarzenia są związane, jest zasadniczo nieodtwarzalne. Na przykład zdarzenie „1 stycznia 2010 r. w Moskwie padał śnieg” jest w tym sensie zdarzeniem jednorazowym (wyjątkowym), ponieważ nie można wielokrotnie odtworzyć początku określonego dnia. Jednocześnie impreza „1 stycznia w Moskwie padał śnieg” (nie wspominając roku) jest niewątpliwie masowa: w końcu pogodę w Moskwie 1 stycznia można obserwować wiele razy (przez wiele lat).
Najogólniej rzecz biorąc, przedmiot rachunku prawdopodobieństwa można zdefiniować następująco:
Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem wzorców nieodłącznie związanych z masowymi zdarzeniami losowymi.
Okazuje się, że zdarzenia losowe również podlegają pewnym (prawdopodobnym) prawidłowościom. Wynik każdego doświadczenia w odniesieniu do danego wydarzenia jest przypadkowy, nieokreślony. ale średni wynik duża liczba eksperymenty tracą swój losowy charakter, stają się regularne.
Rozważmy na przykład eksperyment rzucania daną monetą. Załóżmy, że rzut jest wykonywany wiele razy z rzędu. Okazuje się, że zbliża się „udział” (średni wynik) rzutów, w których herb wypada (czyli stosunek liczby takich rzutów do liczby wszystkich rzutów) (lub inna liczba – w zależności od stan monety) wraz ze wzrostem liczby rzutów.
Weźmy inny przykład. Pojemnik zawiera gaz. Będąc w ciągłym ruchu, cząsteczki gazu zderzają się ze sobą iw efekcie nieustannie zmieniają wielkość i kierunek swojej prędkości. Wydawałoby się, że z tego wynika, że ciśnienie gazu na ściankach naczynia, pod wpływem uderzeń poszczególnych molekuł na ścianki, powinno zmieniać się w losowy, niekontrolowany sposób. Tak jednak nie jest: ciśnienie gazu podlega ścisłemu wzorcowi (prawo Boyle-Mariotte). Powodem tego wzoru jest to, że ciśnienie gazu na ściankach naczynia jest średnim wynikiem działania dużej liczby cząsteczek. Przypadkowe cechy tkwiące w ruchu poszczególnych cząsteczek, w masie (ponieważ cząsteczek jest wiele) znoszą się, wyrównują i powstaje pewna przeciętna prawidłowość.
To właśnie ta stabilność przeciętnego wyniku, jego niezależność od fluktuacji poszczególnych terminów (indywidualnych wyników doświadczenia) determinuje zakres zastosowania teorii prawdopodobieństwa. Fizyka, biologia, medycyna, językoznawstwo itp. - wszystkie te dziedziny nauki wykorzystują (niektóre w większym stopniu, inne w mniejszym stopniu) pojęcia i wnioski rachunku prawdopodobieństwa i dyscyplin pokrewnych - statystyki matematycznej, teorii informacji itp.
Przejdźmy teraz do najprostszej, najważniejszej prawidłowości zdarzeń losowych, która ostatecznie stanowi podstawę wszelkich zastosowań rachunku prawdopodobieństwa w praktyce.
Podobne informacje.