Naučiť sa riešiť rovnice je jednou z hlavných úloh, ktoré algebra kladie pre študentov. Počnúc tým najjednoduchším, keď sa skladá z jednej neznámej, a prejsť k čoraz zložitejším. Ak ste sa nenaučili kroky, ktoré je potrebné vykonať s rovnicami z prvej skupiny, s ostatnými si poradíte len ťažko.
Ak chcete pokračovať v konverzácii, musíte sa dohodnúť na označeniach.
Všeobecný pohľad na lineárnu rovnicu s jednou neznámou a princíp jej riešenia
Akákoľvek rovnica, ktorá sa dá napísať takto:
a * x = b,
volal lineárne... Toto všeobecný vzorec... Ale často sa v úlohách lineárne rovnice píšu implicitne. Potom je potrebné vykonať identické transformácie, aby sa získal všeobecne akceptovaný zápis. Tieto akcie zahŕňajú:
- otváracie konzoly;
- presun všetkých výrazov s premennými hodnotami na ľavú stranu rovnosti a zvyšok doprava;
- zníženie podobných podmienok.
V prípade, že neznáma hodnota je v menovateli zlomku, je potrebné určiť jej hodnoty, pri ktorých výraz nebude dávať zmysel. Inými slovami, predpokladá sa, že pozná doménu rovnice.
Princíp, ktorým sa riešia všetky lineárne rovnice, je vydeliť hodnotu na pravej strane rovnosti koeficientom pred premennou. To znamená, že "x" sa bude rovnať w / a.
Špeciálne prípady lineárnej rovnice a ich riešenia
Počas uvažovania môžu nastať momenty, keď lineárne rovnice nadobudnú jednu zo špeciálnych foriem. Každý z nich má špecifické riešenie.
V prvej situácii:
a * x = 0 a ≠ 0.
Riešenie takejto rovnice bude vždy x = 0.
V druhom prípade „a“ nadobúda hodnotu rovnajúcu sa nule:
0 * x = 0.
Odpoveďou na túto rovnicu je ľubovoľné číslo. To znamená, že má nekonečný počet koreňov.
Tretia situácia vyzerá takto:
0 * x = b, kde pri ≠ 0.
Táto rovnica nedáva zmysel. Pretože neexistujú žiadne korene, ktoré by ho uspokojovali.
Všeobecný pohľad na lineárnu rovnicu v dvoch premenných
Už z jeho názvu je jasné, že sa v ňom nachádzajú už dve neznáme množstvá. Lineárne rovnice v dvoch premenných vyzerať takto:
a * x + b * y = c.
Keďže v zázname sú dve neznáme, odpoveď bude vyzerať ako dvojica čísel. To znamená, že nestačí uviesť iba jednu hodnotu. Toto bude neúplná odpoveď. Dvojica veličín, pri ktorých sa rovnica mení na identitu, je riešením rovnice. Navyše v odpovedi je vždy prvá napísaná premenná, ktorá ide skôr v abecednom poradí. Niekedy hovoria, že mu tieto čísla vyhovujú. Navyše takýchto párov môže byť nekonečné množstvo.
Ako vyriešiť lineárnu rovnicu o dvoch neznámych?
Aby ste to dosiahli, musíte si vybrať ľubovoľný pár čísel, ktorý sa ukáže ako správny. Pre jednoduchosť môžete vziať jednu z neznámych rovnú nejakému prvočíslu a potom nájsť druhú.
Pri riešení je často potrebné vykonať kroky na zjednodušenie rovnice. Nazývajú sa premeny identity. Okrem toho sú pre rovnice vždy platné nasledujúce vlastnosti:
- každý výraz možno preniesť na opačnú časť rovnosti a nahradiť jeho znamienko opačným;
- ľavú a pravú stranu akejkoľvek rovnice možno vydeliť rovnakým číslom, ak sa nerovná nule.
Príklady úloh s lineárnymi rovnicami
Prvá úloha. Riešte lineárne rovnice: 4x = 20, 8 (x - 1) + 2x = 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.
V rovnici, ktorá je na prvom mieste v tomto zozname, stačí vydeliť 20 číslom 4. Výsledok bude 5. Toto je odpoveď: x = 5.
Tretia rovnica vyžaduje, aby sa vykonala identická transformácia. Bude spočívať v otváraní zátvoriek a prinášaní podobných výrazov. Po prvom kroku bude mať rovnica tvar: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Potom musíte preniesť všetky neznáme na ľavú stranu rovnosti a zvyšok na pravú stranu. Rovnica bude vyzerať takto: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Po získaní podobných výrazov: 14x = 16. Teraz vyzerá rovnako ako prvá a jej riešenie je jednoduché. Odpoveď je x = 8/7. Ale v matematike to má oddeliť celú časť od nepravidelného zlomku. Potom bude výsledok transformovaný a "x" sa bude rovnať jednému celku a jednej sedmine.
V ostatných príkladoch sú premenné v menovateli. To znamená, že najprv musíte zistiť, pri akých hodnotách sú rovnice definované. Aby ste to dosiahli, musíte vylúčiť čísla, pri ktorých menovatelia zmiznú. V prvom príklade je to "-4", v druhom je to "-3". To znamená, že tieto hodnoty musia byť vylúčené z odpovede. Potom musíte vynásobiť obe strany rovnosti výrazmi v menovateli.
Rozbalením zátvoriek a zadaním podobných výrazov to v prvej z týchto rovníc vyjde: 5x + 15 = 4x + 16 a v druhej 5x + 15 = 4x + 12. Po transformáciách bude riešenie prvej rovnice x = -1. Druhý sa rovná "-3", čo znamená, že druhý nemá žiadne riešenia.
Druhá úloha. Vyriešte rovnicu: -7x + 2y = 5.
Predpokladajme, že prvá neznáma je x = 1, potom rovnica bude mať tvar -7 * 1 + 2y = 5. Prevod do pravá strana faktor rovnosti "-7" a zmenou znamienka na plus sa ukáže, že 2y = 12. Takže y = 6. Odpoveď: jedno z riešení rovnice x = 1, y = 6.
Všeobecná forma nerovnosti s jednou premennou
Všetko možné situácie pre nerovnosti sú uvedené tu:
- a * x > b;
- a * x< в;
- a * x > b;
- a * x ≤ b.
Vo všeobecnosti to vyzerá ako najjednoduchšia lineárna rovnica, iba znamienko rovnosti je nahradené nerovnosťou.
Pravidlá pre identické transformácie nerovností
Rovnako ako lineárne rovnice, nerovnosti môžu byť upravené podľa určitých zákonov. Zredukujú sa na nasledovné:
- na ľavú a pravú stranu nerovnosti možno pridať ľubovoľný doslovný alebo číselný výraz a znak nerovnosti zostáva rovnaký;
- môžete tiež násobiť alebo deliť tým istým kladné číslo, od toho sa opäť znamienko nemení;
- pri násobení alebo delení tým istým záporné číslo rovnosť zostane pravdivá za predpokladu, že sa znamienko nerovnosti obráti.
Celkový pohľad na dvojité nerovnosti
Problémy môžu predstavovať nasledujúce varianty nerovností:
- v< а * х < с;
- b ≤ a * x< с;
- v< а * х ≤ с;
- c ≤ a * x ≤ c.
Nazýva sa dvojitý, pretože je na oboch stranách ohraničený znamienkami nerovnosti. Rieši sa pomocou rovnakých pravidiel ako pri bežných nerovnostiach. A nájdenie odpovede vedie k sérii identických transformácií. Kým sa nedosiahne najjednoduchšie.
Vlastnosti riešenia dvojitých nerovností
Prvým z nich je jeho obraz na súradnicovej osi. Pri jednoduchých nerovnostiach nie je potrebné túto metódu používať. Ale v ťažké prípady môže to byť len potrebné.
Ak chcete zobraziť nerovnosť, musíte na osi označiť všetky body, ktoré ste získali počas uvažovania. Ide o neplatné hodnoty, ktoré sú označené punkciou, ako aj o hodnoty z nerovností získaných po transformáciách. Aj tu je dôležité správne nakresliť body. Ak je nerovnosť prísna, tak< или >, potom sú tieto hodnoty prepichnuté. Pri laxných nerovnostiach treba body prelakovať.
Potom má označovať význam nerovností. To je možné vykonať pomocou poklopov alebo oblúkov. Ich priesečník ukáže odpoveď.
Druhá vlastnosť súvisí s jeho nahrávaním. Tu sú dve možnosti. Prvým je konečná nerovnosť. Druhá je vo forme medzier. Stáva sa s ním, že vznikajú ťažkosti. Odozva na medzery vždy vyzerá ako premenná so znakom členstva a zátvorkami s číslami. Niekedy existuje niekoľko medzier, potom medzi zátvorkami musíte napísať symbol "a". Tieto znaky vyzerajú takto: ∈ a ∩. Svoju úlohu zohrávajú aj rozperné držiaky. Okrúhle sa umiestni, keď je bod vylúčený z odpovede a obdĺžnikový bod obsahuje túto hodnotu. Znak nekonečna je vždy v zátvorkách.
Príklady riešenia nerovností
1. Vyriešte nerovnosť 7 - 5x ≥ 37.
Po jednoduchých transformáciách to vyjde: -5x ≥ 30. Delením "-5" dostanete nasledujúci výraz: x ≤ -6. Toto je už odpoveď, ale dá sa napísať aj inak: x ∈ (-∞; -6].
2. Vyriešte dvojitú nerovnosť -4< 2x + 6 ≤ 8.
Najprv musíte odpočítať 6 všade, kde dostanete: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].
Naučiť sa riešiť rovnice je jednou z hlavných úloh, ktoré algebra kladie pre študentov. Počnúc tým najjednoduchším, keď sa skladá z jednej neznámej, a prejsť k čoraz zložitejším. Ak ste sa nenaučili kroky, ktoré je potrebné vykonať s rovnicami z prvej skupiny, s ostatnými si poradíte len ťažko.
Ak chcete pokračovať v konverzácii, musíte sa dohodnúť na označeniach.
Všeobecný pohľad na lineárnu rovnicu s jednou neznámou a princíp jej riešenia
Akákoľvek rovnica, ktorá sa dá napísať takto:
a * x = b,
volal lineárne... Toto je všeobecný vzorec. Ale často sa v úlohách lineárne rovnice píšu implicitne. Potom je potrebné vykonať identické transformácie, aby sa získal všeobecne akceptovaný zápis. Tieto akcie zahŕňajú:
- otváracie konzoly;
- presun všetkých výrazov s premennými hodnotami na ľavú stranu rovnosti a zvyšok doprava;
- zníženie podobných podmienok.
V prípade, že neznáma hodnota je v menovateli zlomku, je potrebné určiť jej hodnoty, pri ktorých výraz nebude dávať zmysel. Inými slovami, predpokladá sa, že pozná doménu rovnice.
Princíp, ktorým sa riešia všetky lineárne rovnice, je vydeliť hodnotu na pravej strane rovnosti koeficientom pred premennou. To znamená, že "x" sa bude rovnať w / a.
Špeciálne prípady lineárnej rovnice a ich riešenia
Počas uvažovania môžu nastať momenty, keď lineárne rovnice nadobudnú jednu zo špeciálnych foriem. Každý z nich má špecifické riešenie.
V prvej situácii:
a * x = 0 a ≠ 0.
Riešenie takejto rovnice bude vždy x = 0.
V druhom prípade „a“ nadobúda hodnotu rovnajúcu sa nule:
0 * x = 0.
Odpoveďou na túto rovnicu je ľubovoľné číslo. To znamená, že má nekonečný počet koreňov.
Tretia situácia vyzerá takto:
0 * x = b, kde pri ≠ 0.
Táto rovnica nedáva zmysel. Pretože neexistujú žiadne korene, ktoré by ho uspokojovali.
Všeobecný pohľad na lineárnu rovnicu v dvoch premenných
Už z jeho názvu je jasné, že sa v ňom nachádzajú už dve neznáme množstvá. Lineárne rovnice v dvoch premenných vyzerať takto:
a * x + b * y = c.
Keďže v zázname sú dve neznáme, odpoveď bude vyzerať ako dvojica čísel. To znamená, že nestačí uviesť iba jednu hodnotu. Toto bude neúplná odpoveď. Dvojica veličín, pri ktorých sa rovnica mení na identitu, je riešením rovnice. Navyše v odpovedi je vždy prvá napísaná premenná, ktorá ide skôr v abecednom poradí. Niekedy hovoria, že mu tieto čísla vyhovujú. Navyše takýchto párov môže byť nekonečné množstvo.
Ako vyriešiť lineárnu rovnicu o dvoch neznámych?
Aby ste to dosiahli, musíte si vybrať ľubovoľný pár čísel, ktorý sa ukáže ako správny. Pre jednoduchosť môžete vziať jednu z neznámych rovnú nejakému prvočíslu a potom nájsť druhú.
Pri riešení je často potrebné vykonať kroky na zjednodušenie rovnice. Nazývajú sa premeny identity. Okrem toho sú pre rovnice vždy platné nasledujúce vlastnosti:
- každý výraz možno preniesť na opačnú časť rovnosti a nahradiť jeho znamienko opačným;
- ľavú a pravú stranu akejkoľvek rovnice možno vydeliť rovnakým číslom, ak sa nerovná nule.
Príklady úloh s lineárnymi rovnicami
Prvá úloha. Riešte lineárne rovnice: 4x = 20, 8 (x - 1) + 2x = 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.
V rovnici, ktorá je na prvom mieste v tomto zozname, stačí vydeliť 20 číslom 4. Výsledok bude 5. Toto je odpoveď: x = 5.
Tretia rovnica vyžaduje, aby sa vykonala identická transformácia. Bude spočívať v otváraní zátvoriek a prinášaní podobných výrazov. Po prvom kroku bude mať rovnica tvar: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Potom musíte preniesť všetky neznáme na ľavú stranu rovnosti a zvyšok na pravú stranu. Rovnica bude vyzerať takto: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Po získaní podobných výrazov: 14x = 16. Teraz vyzerá rovnako ako prvá a jej riešenie je jednoduché. Odpoveď je x = 8/7. Ale v matematike to má oddeliť celú časť od nepravidelného zlomku. Potom bude výsledok transformovaný a "x" sa bude rovnať jednému celku a jednej sedmine.
V ostatných príkladoch sú premenné v menovateli. To znamená, že najprv musíte zistiť, pri akých hodnotách sú rovnice definované. Aby ste to dosiahli, musíte vylúčiť čísla, pri ktorých menovatelia zmiznú. V prvom príklade je to "-4", v druhom je to "-3". To znamená, že tieto hodnoty musia byť vylúčené z odpovede. Potom musíte vynásobiť obe strany rovnosti výrazmi v menovateli.
Rozbalením zátvoriek a zadaním podobných výrazov to v prvej z týchto rovníc vyjde: 5x + 15 = 4x + 16 a v druhej 5x + 15 = 4x + 12. Po transformáciách bude riešenie prvej rovnice x = -1. Druhý sa rovná "-3", čo znamená, že druhý nemá žiadne riešenia.
Druhá úloha. Vyriešte rovnicu: -7x + 2y = 5.
Predpokladajme, že prvá neznáma x = 1, potom rovnica bude mať tvar -7 * 1 + 2y = 5. Posunutím faktora "-7" na pravú stranu rovnosti a zmenou jeho znamienka na plus sa ukáže, že 2 roky = 12. Takže y = 6. Odpoveď: jedno z riešení rovnice x = 1, y = 6.
Všeobecná forma nerovnosti s jednou premennou
Všetky možné situácie nerovností sú uvedené tu:
- a * x > b;
- a * x< в;
- a * x > b;
- a * x ≤ b.
Vo všeobecnosti to vyzerá ako najjednoduchšia lineárna rovnica, iba znamienko rovnosti je nahradené nerovnosťou.
Pravidlá pre identické transformácie nerovností
Rovnako ako lineárne rovnice, nerovnosti môžu byť upravené podľa určitých zákonov. Zredukujú sa na nasledovné:
- na ľavú a pravú stranu nerovnosti možno pridať ľubovoľný doslovný alebo číselný výraz a znak nerovnosti zostáva rovnaký;
- rovnakým kladným číslom môžete aj násobiť alebo deliť, znamienko sa tým opäť nemení;
- pri násobení alebo delení rovnakým záporným číslom zostane rovnosť pravdivá, ak sa znamienko nerovnosti zmení na opak.
Celkový pohľad na dvojité nerovnosti
Problémy môžu predstavovať nasledujúce varianty nerovností:
- v< а * х < с;
- b ≤ a * x< с;
- v< а * х ≤ с;
- c ≤ a * x ≤ c.
Nazýva sa dvojitý, pretože je na oboch stranách ohraničený znamienkami nerovnosti. Rieši sa pomocou rovnakých pravidiel ako pri bežných nerovnostiach. A nájdenie odpovede vedie k sérii identických transformácií. Kým sa nedosiahne najjednoduchšie.
Vlastnosti riešenia dvojitých nerovností
Prvým z nich je jeho obraz na súradnicovej osi. Pri jednoduchých nerovnostiach nie je potrebné túto metódu používať. Ale v zložitých prípadoch to môže byť jednoducho nevyhnutné.
Ak chcete zobraziť nerovnosť, musíte na osi označiť všetky body, ktoré ste získali počas uvažovania. Ide o neplatné hodnoty, ktoré sú označené punkciou, ako aj o hodnoty z nerovností získaných po transformáciách. Aj tu je dôležité správne nakresliť body. Ak je nerovnosť prísna, tak< или >, potom sú tieto hodnoty prepichnuté. Pri laxných nerovnostiach treba body prelakovať.
Potom má označovať význam nerovností. To je možné vykonať pomocou poklopov alebo oblúkov. Ich priesečník ukáže odpoveď.
Druhá vlastnosť súvisí s jeho nahrávaním. Tu sú dve možnosti. Prvým je konečná nerovnosť. Druhá je vo forme medzier. Stáva sa s ním, že vznikajú ťažkosti. Odozva na medzery vždy vyzerá ako premenná so znakom členstva a zátvorkami s číslami. Niekedy existuje niekoľko medzier, potom medzi zátvorkami musíte napísať symbol "a". Tieto znaky vyzerajú takto: ∈ a ∩. Svoju úlohu zohrávajú aj rozperné držiaky. Okrúhle sa umiestni, keď je bod vylúčený z odpovede a obdĺžnikový bod obsahuje túto hodnotu. Znak nekonečna je vždy v zátvorkách.
Príklady riešenia nerovností
1. Vyriešte nerovnosť 7 - 5x ≥ 37.
Po jednoduchých transformáciách to vyjde: -5x ≥ 30. Delením "-5" dostanete nasledujúci výraz: x ≤ -6. Toto je už odpoveď, ale dá sa napísať aj inak: x ∈ (-∞; -6].
2. Vyriešte dvojitú nerovnosť -4< 2x + 6 ≤ 8.
Najprv musíte odpočítať 6 všade, kde dostanete: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].
Rovnice. Inak povedané, riešenie všetkých rovníc začína týmito transformáciami. Pri rozhodovaní lineárne rovnice, to (riešenie) na identických transformáciách a končí konečnou odpoveďou.
Prípad nenulového koeficientu pre neznámu premennú.
ax + b = 0, a ≠ 0
Prenesieme členy s x na jednu stranu a čísla na druhú stranu. Nezabudnite, že pri prenose výrazov na opačnú stranu rovnice musíte zmeniť znamienko:
ax: (a) = - b: (a)
Zníženie a pri X a dostaneme:
x = -b: (a)
Toto je odpoveď. Ak potrebujete skontrolovať, či je číslo -b: (a) koreň našej rovnice, potom musíte nahradiť v počiatočnej rovnici namiesto X toto je číslo:
a (-b: (a)) + b = 0 ( tie. 0=0)
Pretože táto rovnosť je teda pravdivá -b: (a) a pravda je koreňom rovnice.
odpoveď: x = -b: (a), a ≠ 0.
Prvý príklad:
5x + 2 = 7x-6
Prevádzame podmienky s X a na druhej strane čísla:
5x-7x = -6-2
-2x: (- 2) = - 8: (- 2)
Keď nebol známy, koeficient sa znížil a dostal odpoveď:
Toto je odpoveď. Ak potrebujete skontrolovať, či je číslo 4 skutočne koreňom našej rovnice, dosadíme toto číslo do pôvodnej rovnice namiesto x:
5*4+2=7*4-6 ( tie. 22=22)
Pretože táto rovnosť je pravdivá, potom je 4 koreňom rovnice.
Druhý príklad:
Vyriešte rovnicu:
5x + 14 = x-49
Posunutím neznámych a čísel v rôznych smeroch sme dostali:
Časti rovnice delíme koeficientom at X(o 4) a dostaneme:
Tretí príklad:
Vyriešte rovnicu:
Najprv sa zbavíme iracionality v koeficiente neznáma vynásobením všetkých členov takto:
Tento formulár sa považuje za zjednodušený, keďže číslo má koreň čísla v menovateli. Musíme zjednodušiť odpoveď vynásobením čitateľa a menovateľa rovnaké číslo, máme toto:
Prípad bez riešenia.
Vyriešte rovnicu:
2x + 3 = 2x + 7
So všetkým X naša rovnica sa nestane skutočnou rovnosťou. To znamená, že naša rovnica nemá korene.
Odpoveď: Neexistujú žiadne riešenia.
Špeciálnym prípadom je nekonečné množstvo riešení.
Vyriešte rovnicu:
2x + 3 = 2x + 3
Pohybom x a čísel v rôznych smeroch a prinesením podobných výrazov dostaneme rovnicu:
Ani tu nie je možné deliť obe časti 0, keďže je zakázané. Avšak nahrádzanie X akékoľvek číslo, dostaneme správnu rovnosť. To znamená, že akékoľvek číslo je riešením takejto rovnice. Riešení je teda nekonečné množstvo.
Odpoveď: nekonečné množstvo riešení.
Prípad rovnosti dvoch úplných foriem.
ax + b = cx + d
ax-cx = d-b
(a-c) x = d-b
x = (d-b) :( a-c)
odpoveď: x = (d-b) :( a-c), ak d ≠ b a a ≠ c, inak riešení je nekonečne veľa, ale keby a = c, a d ≠ b, potom neexistujú žiadne riešenia.
Lineárne rovnice sú celkom neškodné a jasná témaškolská matematika. Ale napodiv, počet chýb z ničoho nič pri riešení lineárnych rovníc je len o niečo menší ako v iných témach - kvadratické rovnice, logaritmy, trigonometria a iné. Väčšina chýb je spôsobená banálnymi identickými transformáciami rovníc. V prvom rade ide o zmätok v znamienkach pri prenose výrazov z jednej strany rovnice na druhú, ako aj o chyby pri práci so zlomkami a zlomkovými koeficientmi. Áno áno! Zlomky v lineárnych rovniciach sa tiež vyskytujú! Celkom často. Nižšie určite analyzujeme takéto zlé rovnice.)
No, neťahajme mačku za chvost a nezačnime to zisťovať? Potom si to prečítame a ponoríme sa do toho.)
Čo je lineárna rovnica? Príklady.
Lineárna rovnica zvyčajne vyzerá takto:
sekera + b = 0,
Kde a a b sú ľubovoľné čísla. Čokoľvek: celé, zlomkové, negatívne, iracionálne – čokoľvek môže byť!
Napríklad:
7x + 1 = 0 (tu a = 7, b = 1)
x - 3 = 0 (tu a = 1, b = -3)
x / 2 - 1,1 = 0 (tu a = 1/2, b = -1,1)
Vo všeobecnosti chápete, dúfam.) Všetko je jednoduché, ako v rozprávke. Zatiaľ ... A ak sa bližšie pozriete na všeobecný záznam ax + b = 0, ale trochu sa zamyslite? Koniec koncov, a a b - akékoľvek čísla! A ak máme, povedzme, a = 0 a b = 0 (môžete si vziať akékoľvek čísla!), Čo potom dostaneme?
0 = 0
Ale to nie je všetka zábava! A ak povedzme a = 0, b = -10? Potom z toho vypadne nejaky nezmysel:
0 = 10.
Čo je veľmi, veľmi nepríjemné a podkopáva to dôveru v matematiku vyhranú potom a krvou... Najmä na testoch a skúškach. Ale z týchto nepochopiteľných a zvláštnych rovností musíte tiež nájsť X! Čo tam vôbec nie je! A tu aj dobre trénovaní študenti občas môžu upadnúť, ako sa hovorí, do strnulosti ... Ale nebojte sa! V tejto lekcii tiež zvážime všetky takéto prekvapenia. A určite nájdeme X takýchto rovností.) A práve toto X sa hľadá veľmi, veľmi jednoducho. Áno áno! Prekvapivé, ale pravdivé.)
Dobre, to je pochopiteľné. Ale ako môžete podľa vzhľadu úlohy vedieť, že máme do činenia s lineárnou rovnicou, a nie inou? Žiaľ, nie vždy je možné rozpoznať typ rovnice len podľa jej vzhľadu. Ide o to, že lineárne sa nazývajú nielen rovnice tvaru ax + b = 0, ale aj akékoľvek iné rovnice, ktoré sa tak či onak redukujú na tento tvar identickými transformáciami. A ako viete, či to spadne alebo nie? Až sa vám podarí takmer vyriešiť príklad – takmer nič. Toto je znepokojujúce. Ale pri niektorých typoch rovníc môžete jedným letmým pohľadom okamžite s istotou povedať, či sú lineárne alebo nie.
Aby sme to dosiahli, znova sa obrátime na všeobecnú štruktúru akejkoľvek lineárnej rovnice:
sekera + b = 0
Poznámka: v lineárnej rovnici vždy je prítomná iba premenná x v prvom stupni a nejaké čísla! A je to! Nič viac. Zároveň nie sú žiadne X vo štvorci, v kocke, pod odmocninou, pod logaritmom a iné exotické veci. A (čo je obzvlášť dôležité!) Neexistujú žiadne zlomky s x v menovateľoch! Ale zlomky s číslami v menovateľoch alebo delení podľa čísla- ľahko!
Napríklad:
Toto je lineárna rovnica. Rovnica obsahuje iba x v prvej mocnine a čísle. A nie sú x vo vyšších stupňoch - v štvorci, v kocke atď. Áno, sú tu zlomky, no zároveň sú menovateľmi zlomkov iba čísla. Totiž dva a tri. Inými slovami, rovnica neobsahuje delenie x.
A tu je rovnica
Lineárne sa to už nazvať nedá, hoci aj tu sú na prvom stupni len čísla a xes. Lebo okrem iného existujú aj zlomky s x v menovateľoch... A po zjednodušeniach a transformáciách sa z takejto rovnice môže stať čokoľvek: lineárne aj štvorcové - čokoľvek.
Ako riešiť lineárne rovnice? Príklady.
Ako teda riešite lineárne rovnice? Čítajte ďalej a nechajte sa prekvapiť.) Celé riešenie lineárnych rovníc je založené len na dvoch hlavných veciach. Poďme si ich vymenovať.
1) Súbor elementárnych úkonov a pravidiel matematiky.
Ide o používanie zátvoriek, rozširovanie zátvoriek, prácu so zlomkami, prácu so zápornými číslami, násobilku a pod. Tieto znalosti a zručnosti sú potrebné nielen pre riešenie lineárnych rovníc, ale pre celú matematiku všeobecne. A ak je to problém, pamätajte na nižšie ročníky. Inak to budeš mať ťažké...
2)
Sú len dvaja. Áno áno! Navyše, tieto úplne základné identické transformácie sú základom riešenia nielen lineárnych, ale vo všeobecnosti akýchkoľvek matematických rovníc! Jedným slovom, riešenie akejkoľvek inej rovnice - kvadratickej, logaritmickej, trigonometrickej, iracionálnej atď. - spravidla sa začína týmito úplne základnými premenami. Ale riešenie presne lineárnych rovníc v skutočnosti končí nimi (transformáciami). Hotová odpoveď.) Takže nebuďte leniví a prejdite sa na odkaz.) Okrem toho sú tam podrobne analyzované aj lineárne rovnice.
Myslím, že je čas začať analyzovať príklady.
Na začiatok, ako zahrievanie, zvážte niektoré základné veci. Bez akýchkoľvek zlomkov a iných zvončekov a píšťaliek. Napríklad takáto rovnica:
x - 2 = 4 - 5x
Toto je klasická lineárna rovnica. Všetky X sú maximálne na prvom stupni a nikde nie je delenie X. Schéma riešenia v takýchto rovniciach je vždy rovnaká a na hrôzu jednoduchá: všetky členy s xes musia byť zhromaždené naľavo a všetky členy bez xes (t.j. čísla) musia byť zhromaždené napravo. Začneme teda zbierať.
Za týmto účelom spúšťame prvú transformáciu identity. Musíme sa pohnúť -5x doľava a -2 doprava. So zmenou znamenia, samozrejme.) Takže prenášame:
x + 5x = 4 + 2
Nech sa páči. Polovica bitky bola hotová: X sa zhromaždili na hromade, čísla tiež. Teraz dávame podobné vľavo a počítame vpravo. Dostaneme:
6x = 6
Čo nám teraz chýba k úplnému šťastiu? Áno, takže vľavo je čisté X! A šestka sa postaví do cesty. Ako sa toho zbaviť? Teraz začneme druhú identickú transformáciu - obe strany rovnice vydelíme 6. A - voilá! Odpoveď je pripravená.)
x = 1
Samozrejme, príklad je dosť primitívny. Komu Všeobecná myšlienka chytiť. No, poďme sa rozhodnúť pre niečo podstatnejšie. Pozrime sa napríklad na nasledujúcu rovnicu:
Pozrime sa na to bližšie.) Toto je tiež lineárna rovnica, aj keď, zdá sa, existujú zlomky. Ale v zlomkoch je delenie dvoma a je delenie tromi, ale neexistuje delenie výrazom s x! Tak sa rozhodneme. Áno, pomocou všetkých rovnakých identických transformácií.)
Čo urobíme ako prvé? S x - doľava, bez x - doprava? V zásade to môžete urobiť. Leťte do Soči cez Vladivostok.) Alebo môžete ísť najkratšou cestou, okamžite pomocou univerzálnej a výkonnej metódy. Ak poznáte rovnaké premeny, samozrejme.)
Na začiatok položím kľúčovú otázku: Čo vás na tejto rovnici najviac upúta a čo sa vám najviac nepáči? 99 zo 100 ľudí povie: zlomky! A budú mať pravdu.) Najprv sa ich teda zbavme. Bezpečné pre samotnú rovnicu.) Začnime teda hneď s druhá transformácia identity- z násobenia. Čím treba vynásobiť ľavú stranu, aby sa menovateľ bezpečne zmenšil? Presne tak, dvojka. A pravá strana? Pre prvých troch! Ale ... Matematika je rozmarná dáma. Ona, viete, vyžaduje, aby ste znásobili iba obe časti rovnakým číslom! Násobenie každej časti jej vlastným číslom nefunguje... Čo budeme robiť? Čo, čo... Nájdite kompromis. Aby sme splnili náš wishlist (zbavíme sa zlomkov) a neurazili matematiku.) A vynásobme obe časti šiestimi!) Teda spoločným menovateľom všetkých zlomkov zahrnutých v rovnici. Potom sa jedným ťahom znížia dva a tri!)
Takže sa množíme. Celá ľavá strana a celá pravá strana! Preto používame zátvorky. Takto vyzerá samotný postup:
Teraz otvoríme rovnaké zátvorky:
Teraz, keď ste reprezentovali 6 ako 6/1, vynásobte 6 každým zo zlomkov vľavo a vpravo. Toto je obvyklé násobenie zlomkov, ale nech je to tak, napíšem podrobne:
A tu - pozor! Čitateľ (x-3) som dal do zátvoriek! Je to preto, že keď násobíte zlomky, čitateľ sa násobí úplne, úplne a úplne! A s výrazom x-3 je potrebné pracovať ako s jednou integrálnou štruktúrou. Ale ak napíšete čitateľa takto:
6x - 3,
Ale u nás je všetko správne a je potrebné doriešiť. Čo urobiť ďalej? Rozbaliť zátvorky v ľavom čitateľovi? V žiadnom prípade! Vy a ja sme vynásobili obe časti 6, aby sme sa zbavili zlomkov, a nie preto, aby sme naparovali s otváraním zátvoriek. V tejto fáze potrebujeme znížiť naše zlomky. S pocitom hlbokej spokojnosti zredukujeme všetky menovatele a dostaneme rovnicu bez zlomkov v pravítku:
3 (x-3) + 6x = 30 - 4x
A teraz je možné rozšíriť zostávajúce zátvorky:
3x - 9 + 6x = 30 - 4x
Rovnica je stále lepšia a lepšia! Teraz si opäť pripomíname prvú identickú transformáciu. S kamennou tvárou opakujeme kúzlo od základné ročníky: s x - doľava, bez x - doprava... A použite túto transformáciu:
3x + 6x + 4x = 30 + 9
Podobné dávame vľavo a počítame vpravo:
13x = 39
Zostáva vydeliť obe časti 13. To znamená, že znova použite druhú transformáciu. Rozdeľte a získajte odpoveď:
x = 3
Prípad je pripravený. Ako vidíte, v tejto rovnici sme museli použiť prvú transformáciu (prenos členov) raz a dvakrát - druhú: na začiatku riešenia sme použili násobenie (6), aby sme sa zbavili zlomkov a pri koniec riešenia sme použili delenie (13), aby sme sa zbavili koeficientu pred x. A riešenie akejkoľvek (áno, akejkoľvek!) lineárnej rovnice pozostáva z kombinácie práve týchto transformácií v jednej alebo druhej postupnosti. Odkiaľ presne začať - odkiaľ špecifická rovnica závisí. Niekde je výhodnejšie začať s prevodom a niekde (ako v tomto príklade) - s násobením (alebo delením).
Pracujeme od jednoduchých po zložité. Zvážte teraz očividnú plechovku. S kopou zlomkov a zátvoriek. A poviem vám, ako sa nepreťažovať.)
Napríklad tu je rovnica:
Minútu sa pozeráme na rovnicu, sme zhrození, ale aj tak sa dávame dokopy! Hlavným problémom je, kde začať? Môžete pridať zlomky na pravej strane. Zlomky v zátvorkách môžete odčítať. Obidve časti môžete niečím vynásobiť. Alebo rozdeliť ... Čo teda môžete robiť? Odpoveď: Všetko je možné! Matematika nezakazuje žiadnu z uvedených činností. A bez ohľadu na to, akú postupnosť akcií a premien zvolíte, odpoveď bude vždy rovnaká – tá správna. Pokiaľ, samozrejme, v určitom kroku neporušíte identitu svojich transformácií, a teda neurobíte chyby ...
A aby sme sa nemýlili, pri takýchto vychytených príkladoch, ako je tento, je vždy najužitočnejšie to zhodnotiť. vzhľad a zistite si v duchu: čo sa dá urobiť na príklade maximálne zjednodušiť to v jednom kroku?
Takže odhadujeme. Vľavo sú v menovateloch šestky. Osobne sa mi nepáčia a je veľmi ľahké ich odstrániť. Vynásobím obe strany rovnice 6! Potom sa šestky vľavo bezpečne zmenšia, zlomky v zátvorkách zatiaľ nikam nepôjdu. No to je v poriadku. Budeme sa im venovať trochu neskôr.) Ale vpravo máme menovateľov 2 a 3. Práve touto akciou (vynásobenou 6) dosiahneme maximálne zjednodušenia v jednom kroku!
Po vynásobení bude celá naša rovnica zla vyzerať takto:
Kto nepochopil, ako presne táto rovnica vznikla, znamená to, že ste zle pochopili analýzu predchádzajúceho príkladu. A mimochodom, skúšal som...
Takže prezrádzame:
Teraz by najlogickejším krokom bolo oddeliť zlomky naľavo a poslať 5x doprava. Zároveň dáme podobné na pravú stranu. Dostaneme:
Oveľa lepšie. Teraz sa ľavá strana pripravila na násobenie. Čím sa má vynásobiť ľavá strana, aby sa naraz zmenšila päťka aj štvorka? O 20! Ale máme aj nevýhody na oboch stranách rovnice. Preto bude najvýhodnejšie vynásobiť obe strany rovnice nie 20, ale -20. Potom jedným ťahom zmiznú mínusy a zlomky.
Takže vynásobíme:
Pre každého, kto stále nerozumie tomuto kroku, to znamená, že problémy nie sú v rovniciach. Problémy sú v základoch! Spomeňte si znova Zlaté pravidlo rozširujúce zátvorky:
Ak je číslo vynásobené nejakým výrazom v zátvorkách, potom toto číslo musí byť postupne vynásobené každým výrazom práve tohto výrazu. Navyše, ak je číslo kladné, znaky výrazov sa po expanzii zachovajú. Ak sú záporné, sú obrátené:
a (b + c) = ab + ac
-a (b + c) = -ab-ac
Nevýhody zmizli po vynásobení oboch častí -20. A teraz vynásobíme zátvorky so zlomkami vľavo celkom sami kladné číslo 20. Po otvorení týchto zátvoriek sa teda zachovajú všetky znaky, ktoré sa v nich nachádzali. Ale odkiaľ sa vzali zátvorky v čitateloch zlomkov, som už podrobne vysvetlil v predchádzajúcom príklade.
Ale teraz je možné zlomky zmenšiť:
4 (3-5x) -5 (3x-2) = 20
Rozbaľte zostávajúce zátvorky. Opäť to otvárame správne. Prvé zátvorky sú vynásobené kladným číslom 4, a preto sa po rozbalení zachovajú všetky znaky. Ale druhé zátvorky sú vynásobené negatívnečíslo -5, a preto sú všetky znamienka obrátené:
12 - 20x - 15x + 10 = 20
Zostávajú len maličkosti. S x vľavo, bez x vpravo:
-20x - 15x = 20 - 10 - 12
-35x = -2
To je takmer všetko. Naľavo potrebujete čisté X a do cesty vám prekáža číslo -35. Obe časti teda vydelíme (-35). Dovoľte mi pripomenúť, že druhá transformácia identity nám umožňuje znásobiť a rozdeliť obe časti Hocičočíslo. Vrátane záporných.) Keby len nie na nulu! Smelo rozdeľujeme a dostávame odpoveď:
X = 2/35
Tentoraz je X zlomkové. Nič zlé. Taký príklad.)
Ako vidíme, princíp riešenia lineárnych rovníc (aj tých najprekrúcanejších) je celkom jednoduchý: vezmeme pôvodnú rovnicu a postupne ju zjednodušujeme identickými transformáciami až kým nedostaneme odpoveď. Dodržiavanie základov, samozrejme! Hlavné problémy sú tu práve v nedodržiavaní základov (napríklad pred zátvorkami je mínus a pri otváraní zabudli zmeniť znamienka), ako aj v banálnej aritmetike. Nezanedbávajte teda základy! Sú základom celej zvyšku matematiky!
Trochu zábavy pri riešení lineárnych rovníc. Alebo špeciálne príležitosti.
Všetko by bolo v poriadku. Avšak... Medzi lineárnymi rovnicami sú aj také vtipné skvosty, ktoré vás pri ich riešení môžu priviesť do silnej strnulosti. Dokonca vynikajúci študent.)
Napríklad tu je zdanlivo neškodná rovnica:
7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2
Široko a trochu znudene zívame a zbierame všetky x naľavo a všetky čísla napravo:
7x-4x-3x = 5-2-3
Dávame podobné, počítame a dostávame:
0 = 0
Len tie časy! Uviedol príklad triku! Táto rovnosť sama o sebe nie je sporná: nula sa skutočne rovná nule. Ale X je preč! Bez stopy! A v odpovedi sme povinní napísať, čo rovná sa x ... Inak sa rozhodnutie nepočíta, áno.) Čo robiť?
Neprepadajte panike! V takýchto neštandardných prípadoch najviac všeobecné pojmy a princípy matematiky. čo je rovnica? Ako riešiť rovnice? Čo znamená vyriešiť rovnicu?
Riešiť rovnicu znamená nájsť všetky hodnoty premennej x, ktorá po dosadení do počiatočné rovnica nám dá správnu rovnosť (identitu)!
Ale máme skutočnú rovnosť už hotový! 0 = 0, alebo skôr nie je nikde!) Zostáva hádať, v čom presne x dostaneme túto rovnosť. Akým druhom X možno nahradiť počiatočné rovnica, ak po substitúcii všetky scvrkne sa aj tak na nulu? Ešte ste neuhádli?
Áno, samozrejme! Xs môžu byť substituované akýkoľvek!!! Úplne akékoľvek. Nahraďte to, čo chcete. Aspoň 1, aspoň -23, aspoň 2,7 - čokoľvek! Všetky budú rovnako zredukované a výsledkom bude čistá pravda. Vyskúšajte, nahraďte a uvidíte sami.)
Tu je odpoveď:
x - ľubovoľné číslo.
Vo vedeckej notácii je táto rovnosť napísaná takto:
Tento záznam znie takto: "X je akékoľvek reálne číslo."
Alebo inou formou, v intervaloch:
Ako sa vám najviac páči, urobte to. Toto je správna a úplne úplná odpoveď!
Teraz zmením iba jedno číslo v našej pôvodnej rovnici. Teraz poďme vyriešiť túto rovnicu:
7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2
Znova preneste podmienky, počítajte a získajte:
7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2
0 = 1
A ako sa vám páči tento vtip? Existovala obyčajná lineárna rovnica, ale teraz nepochopiteľná rovnosť
0 = 1…
Vedecky povedané, máme falošná rovnosť. Ale v ruštine to nie je pravda. Hovadina. Ahineah.) Lebo nula sa v žiadnom prípade nerovná jednej!
A teraz opäť zisťujeme, čo nám dá x, keď sa dosadí do pôvodnej rovnice správna rovnosť? ktoré? Ale žiadny! Bez ohľadu na to, ktoré X nahradíte, všetko sa zmenší a zostane svinstvo.)
Tu je odpoveď: žiadne riešenia.
V matematický zápis takáto odpoveď je formátovaná takto:
Znie: "X patrí do prázdnej množiny."
S takýmito odpoveďami sa v matematike stretávame pomerne často: zďaleka nie vždy má každá rovnica v princípe korene. Niektoré rovnice nemusia mať vôbec korene. Vôbec.
Toto sú dve prekvapenia. Dúfam, že teraz náhle zmiznutie x v rovnici vás nenechá navždy v slepej uličke. Vec je celkom známa.)
A potom počujem logickú otázku: budú na OGE alebo na Jednotnú štátnu skúšku? Na skúške sami ako úloha - č. Príliš jednoduché. Ale v OGE alebo v slovných úlohách - je to jednoduché! Takže teraz trénujeme a rozhodneme sa:
Odpovede (v neporiadku): -2; - jeden; akékoľvek číslo; 2; žiadne riešenia; 7/13.
Všetko vyšlo? Dobre! Na skúške máte veľkú šancu.
Niečo nesedí? Hm... Smútok, samozrejme. To znamená, že ešte niekde sú medzery. Buď v základoch, alebo v identických premenách. Alebo ide o banálnu neopatrnosť. Prečítajte si lekciu znova. Lebo toto nie je téma, ktorá by sa dala v matematike jednoducho obísť...
Veľa štastia! Určite sa na teba usmeje, ver mi!)
Lineárna rovnica je algebraická rovnica, v ktorej je plný stupeň polynómov jedna. Riešenie lineárnych rovníc - časť školské osnovy a nie najťažšie. Niektorí ľudia však majú stále problém prejsť touto témou. Dúfam, že po prečítaní tento materiál, všetky ťažkosti pre vás zostanú v minulosti. Tak poďme na to prísť. ako riešiť lineárne rovnice.
Všeobecná forma
Lineárna rovnica je znázornená ako:
- ax + b = 0, kde a a b sú ľubovoľné čísla.
Hoci a a b môžu byť ľubovoľné číslo, ich hodnoty ovplyvňujú počet riešení v rovnici. Existuje niekoľko špeciálnych prípadov riešenia:
- Ak a = b = 0, rovnica má nekonečnú množinu riešení;
- Ak a = 0, b ≠ 0, rovnica nemá riešenie;
- Ak a ≠ 0, b = 0, rovnica má riešenie: x = 0.
V prípade, že obe čísla majú nenulové hodnoty, treba rovnicu odvodiť konečný výraz pre premennú.
ako sa rozhodnúť?
Riešenie lineárnej rovnice znamená nájsť, čomu sa premenná rovná. Ako sa to dá urobiť? Je to veľmi jednoduché – pomocou jednoduchých algebraických operácií a dodržiavaním pravidiel prenosu. Ak sa vám rovnica zdá vo všeobecnosti, máte šťastie, všetko, čo musíte urobiť, je:
- Presuňte b na pravú stranu rovnice, nezabudnite zmeniť znamienko (pravidlo prevodu!), Takže z výrazu ako ax + b = 0 by ste mali dostať výraz ako: ax = -b.
- Použite pravidlo: ak chcete nájsť jeden z faktorov (x - v našom prípade), musíte rozdeliť súčin (v našom prípade -b) iným faktorom (a - v našom prípade). Mali by ste teda dostať výraz ako: x = -b / a.
To je všetko - riešenie sa našlo!
Teraz sa pozrime na konkrétny príklad:
- 2x + 4 = 0 - ťah b sa rovná v tomto prípade 4, na pravú stranu
- 2x = -4 - vydeľte b a (nezabudnite na znamienko mínus)
- x = -4/2 = -2
To je všetko! Naše riešenie: x = -2.
Ako vidíte, riešenie lineárnej rovnice v jednej premennej je celkom ľahké nájsť, ale všetko je také jednoduché, ak máme šťastie, že narazíme na rovnicu vo všeobecnej forme. Vo väčšine prípadov musíte pred riešením rovnice v dvoch krokoch opísaných vyššie zmenšiť existujúci výraz na všeobecný pohľad... To však tiež nie je náročná úloha. Pozrime sa na niektoré špeciálne prípady s príkladmi.
Riešenie špeciálnych prípadov
Najprv sa pozrime na prípady, ktoré sme opísali na začiatku článku a vysvetlíme si, čo znamená nekonečné množstvo riešení a žiadne riešenie.
- Ak a = b = 0, rovnica bude vyzerať takto: 0x + 0 = 0. Vykonaním prvého kroku dostaneme: 0x = 0. Zvoláte, čo znamená tento nezmysel! Koniec koncov, bez ohľadu na to, aké číslo vynásobíte nulou, vždy dostanete nulu! Správny! Preto hovoria, že rovnica má nekonečnú množinu riešení - akékoľvek číslo si vezmete, rovnosť bude pravdivá, 0x = 0 alebo 0 = 0.
- Ak a = 0, b ≠ 0, rovnica bude vyzerať takto: 0x + 3 = 0. Uskutočníme prvý krok, dostaneme 0x = -3. Opäť nezmysel! Je zrejmé, že táto rovnosť nebude nikdy pravdivá! Preto hovoria, že rovnica nemá riešenia.
- Ak a ≠ 0, b = 0, rovnica bude vyzerať takto: 3x + 0 = 0. Po vykonaní prvého kroku dostaneme: 3x = 0. Aké je riešenie? Je to jednoduché, x = 0.
Stratené v preklade
Opísané konkrétne prípady nie sú všetko, čím nás môže lineárna rovnica prekvapiť. Niekedy je na prvý pohľad ťažké identifikovať rovnicu. Pozrime sa na príklad:
- 12x - 14 = 2x + 6
Je to lineárna rovnica? Ale čo tá nula na pravej strane? Nebudeme sa ponáhľať k záverom, budeme konať - prenesieme všetky zložky našej rovnice na ľavú stranu. Dostaneme:
- 12x - 2x - 14 - 6 = 0
Teraz, odčítaním like od like, dostaneme:
- 10x - 20 = 0
Učil sa? Najlineárnejšia rovnica! Ktoré riešenie: x = 20/10 = 2.
Čo ak máme takýto príklad:
- 12 ((x + 2) / 3) + x) = 12 (1 - 3x / 4)
Áno, toto je tiež lineárna rovnica, len je potrebné urobiť viac transformácií. Najprv rozvinieme zátvorky:
- (12 (x + 2) / 3) + 12x = 12 - 36x / 4
- 4 (x + 2) + 12x = 12 - 36x / 4
- 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - teraz vykonáme prevod:
- 25x - 4 = 0 - zostáva nájsť riešenie podľa už známej schémy:
- 25x = 4,
- x = 4/25 = 0,16
Ako vidíte, všetko je riešiteľné, hlavnou vecou nie je obávať sa, ale konať. Pamätajte, že ak vaša rovnica obsahuje iba premenné prvého stupňa a čísla, ide o lineárnu rovnicu, ktorú je možné bez ohľadu na to, ako na začiatku vyzerá, zredukovať na všeobecnú formu a vyriešiť ju. Dúfame, že uspejete! Veľa štastia!