Racionalita daných čísel je. Racionálne čísla

Množina racionálnych čísel

Kopa racionálne čísla označené a môžu byť napísané takto:

Navyše sa ukazuje, že rôzne záznamy môže reprezentovať rovnaký zlomok, napríklad a, (všetky zlomky, ktoré možno navzájom získať vynásobením alebo delením rovnakým prirodzeným číslom, predstavujú rovnaké racionálne číslo). Keďže delením čitateľa a menovateľa zlomku ich najväčším spoločným deliteľom možno získať jediné neredukovateľné vyjadrenie racionálneho čísla, o ich množine môžeme hovoriť ako o množine neredukovateľné zlomky s hlavným celým číslom a prirodzeným menovateľom:

Tu je najväčší spoločný deliteľ čísel a.

Množina racionálnych čísel je prirodzeným zovšeobecnením množiny celých čísel. Je ľahké vidieť, že ak má racionálne číslo menovateľa, potom je to celé číslo. Množina racionálnych čísel je všade husto umiestnená na číselnej osi: medzi akýmikoľvek dvoma rôznymi racionálnymi číslami je aspoň jedno racionálne číslo (a teda nekonečná množina racionálnych čísel). Napriek tomu sa ukazuje, že množina racionálnych čísel má spočítateľnú mohutnosť (to znamená, že všetky jej prvky možno prečíslovať). Všimnite si, mimochodom, aj starí Gréci boli presvedčení o existencii čísel, ktoré nemožno znázorniť zlomkom (napríklad dokázali, že neexistuje žiadne racionálne číslo, ktorého druhá mocnina je 2).

Terminológia

Formálna definícia

Formálne sú racionálne čísla definované ako množina tried ekvivalencie párov vzhľadom na ekvivalenciu, ak. V tomto prípade sú operácie sčítania a násobenia definované takto:

Súvisiace definície

Správne, nesprávne a zmiešané zlomky

Správne sa nazýva zlomok, ktorého modul v čitateli je menší ako modul v menovateli. Pravidelné zlomky predstavujú racionálne čísla, modulo menšie ako jedna. Zlomok, ktorý nie je správny, sa nazýva nesprávne a predstavuje racionálne číslo väčšie ako alebo rovný jednej modulo.

Nepravidelný zlomok možno znázorniť ako súčet celého čísla a pravidelného zlomku, tzv zmiešaný záber ... Napríklad . Podobnému zápisu (s chýbajúcim znakom sčítania), hoci sa používa v elementárnej aritmetike, sa striktná matematická literatúra vyhýba kvôli podobnosti zápisu zmiešaná frakcia s označením súčinu celého čísla a zlomku.

Výška frakcie

Výška spoločný zlomok je súčet modulu čitateľa a menovateľa tohto zlomku. Racionálna výška čísla je súčet modulov čitateľa a menovateľa neredukovateľného obyčajného zlomku zodpovedajúceho tomuto číslu.

Napríklad výška zlomku je. Výška zodpovedajúceho racionálneho čísla je rovnaká, pretože zlomok je zrušený o.

Komentár

Termín zlomkové číslo (zlomok) niekedy [ objasniť] sa používa synonymne s výrazom racionálne číslo a niekedy synonymum pre akékoľvek iné ako celé číslo. V druhom prípade ide o zlomkové a racionálne čísla rozdielne veci, odvtedy sú necelé racionálne čísla len špeciálny prípad zlomkové.

Vlastnosti

Základné vlastnosti

Množina racionálnych čísel spĺňa šestnásť základných vlastností, ktoré možno ľahko získať z vlastností celých čísel.

Poriadok. Pre všetky racionálne čísla existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje jednoznačne identifikovať medzi nimi jeden a iba jeden z troch vzťahov: "", "" alebo "". Toto pravidlo sa nazýva pravidlo objednávky a je formulovaný takto: dva kladné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a; dve kladné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve kladné čísla záporné čísla a ; ak je zrazu nezáporné a - negatívne, potom.
Súčet zlomkov
Operácia sčítania. sumačné pravidlo súčetčísla a a sa označuje a proces nájdenia takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie... Sumárne pravidlo má ďalší pohľad: .
Operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom. V tomto prípade sa volá samotné číslo produktčísla a a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa tiež nazýva násobenie... Pravidlo násobenia je nasledovné:.
Tranzitivita poradového vzťahu. Pre akúkoľvek trojicu racionálnych čísel, a ak je menej a menej, potom menej, a ak je rovnaké a rovnaké, potom sa rovná.
Komutatívnosť sčítania. Súčet sa nemení od zmeny v miestach racionálnych pojmov.
Adičná asociativita. Poradie sčítania troch racionálnych čísel neovplyvňuje výsledok.
Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré si pri sčítaní zachováva akékoľvek iné racionálne číslo.
Dostupnosť opačné čísla. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, keď sa s ním sčíta, dáva 0.
Komutivita násobenia. Produkt sa nemení zo zmeny miest racionálnych faktorov.
Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Dostupnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré si pri vynásobení zachováva akékoľvek iné racionálne číslo.
Prítomnosť recipročných čísel. Každé nenulové racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktorého vynásobením dostaneme 1.
Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je v súlade s operáciou sčítania pomocou distribučného zákona:
Vzťah objednávky s operáciou sčítania. Doľava a pravé strany racionálna nerovnosť, možno pridať jedno a to isté racionálne číslo.
Vzťah objednávky s operáciou násobenia.Ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno vynásobiť rovnakým kladným racionálnym číslom.
Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo môžete vziať toľko jednotiek, že ich súčet presahuje.

Ďalšie vlastnosti

Všetky ostatné vlastnosti obsiahnuté v racionálnych číslach nie sú vyčlenené ako hlavné, pretože vo všeobecnosti sa už nespoliehajú priamo na vlastnosti celých čísel, ale možno ich dokázať na základe základných vlastností daných alebo priamo definíciou určitého matematický objekt. Existuje veľa takýchto doplnkových vlastností. Má zmysel uviesť tu len niektoré z nich.

Počítateľnosť množiny

Ak chcete odhadnúť počet racionálnych čísel, musíte nájsť mohutnosť ich množiny. Je ľahké dokázať, že množina racionálnych čísel je spočítateľná. Na to stačí dať algoritmus, ktorý čísluje racionálne čísla, to znamená, že vytvára bijekciu medzi množinami racionálnych a prirodzených čísel. Príkladom takejto konštrukcie je nasledujúci jednoduchý algoritmus. Zostavuje sa nekonečná tabuľka bežných zlomkov, na každom riadku v každom stĺpci je zlomok. Pre istotu sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Označujú sa bunky tabuľky, kde je číslo riadku tabuľky, v ktorej sa bunka nachádza, a číslo stĺpca.

Výslednú tabuľku obíde "had" podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.

Tieto pravidlá sa naskenujú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberie pri prvom zápase.

V procese takéhoto prechodu je každé nové racionálne číslo spojené s nasledujúcim prirodzeným číslom. To znamená, že zlomkom je priradené číslo 1, zlomkom číslo 2 atď.. Treba poznamenať, že očíslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je rovnosť s jedným z najväčších spoločných deliteľov čitateľa a menovateľa zlomku.

Podľa tohto algoritmu je možné spočítať všetky kladné racionálne čísla. To znamená, že množina kladných racionálnych čísel je spočítateľná. Je ľahké vytvoriť bijekciu medzi množinami kladných a záporných racionálnych čísel jednoduchým priradením opaku každému racionálnemu číslu. To. množina záporných racionálnych čísel je tiež spočítateľná. Ich spojenie je tiež spočítateľné vlastnosťou spočítateľných množín. Množina racionálnych čísel je spočítateľná aj ako spojenie spočítateľnej množiny s konečnou.

Samozrejme, existujú aj iné spôsoby číslovania racionálnych čísel. Môžete na to použiť napríklad štruktúry ako strom Culkin-Wilf, strom Stern-Broko alebo sériu Farey.

Tvrdenie, že množina racionálnych čísel je spočítateľná, môže spôsobiť zmätok, pretože na prvý pohľad má človek dojem, že je oveľa rozsiahlejšia ako množina prirodzených čísel. V skutočnosti to tak nie je a existuje dostatok prirodzených čísel na vymenovanie všetkých racionálnych.

Nedostatok racionálnych čísel

pozri tiež


	Celé čísla

Racionálne čísla

Reálne čísla Komplexné čísla Kvaternióny

Poznámky (upraviť)

Literatúra

I. Kušnír. Sprievodca matematikou pre školákov. - Kyjev: ASTARTA, 1998 .-- 520 s.
P.S. Alexandrov. Úvod do teórie množín a všeobecnej topológie. - M .: kapitoly. vyd. fyz.-mat. lit. vyd. "Veda", 1977
I. L. Chmelnický. Úvod do teórie algebraických systémov

Celé čísla

Prirodzené čísla sú definované ako kladné celé čísla. Prirodzené čísla sa používajú na počítanie predmetov a na mnohé iné účely. Toto sú čísla:

Toto je prirodzený rad čísel.
Je nula prirodzené číslo? Nie, nula nie je prirodzené číslo.
Koľko prirodzených čísel existuje? Prirodzených čísel je nekonečne veľa.
Aké je najmenšie prirodzené číslo? Jedna je najmenšie prirodzené číslo.
Aké je najväčšie prirodzené číslo? Nedá sa to naznačiť, pretože prirodzených čísel je nekonečne veľa.

Súčet prirodzených čísel je prirodzené číslo. Takže sčítanie prirodzených čísel a a b:

Súčin prirodzených čísel je prirodzené číslo. Takže súčin prirodzených čísel a a b:

c je vždy prirodzené číslo.

Rozdiel prirodzených čísel Nie vždy existuje prirodzené číslo. Ak je odčítané väčšie ako odčítané, potom je rozdiel prirodzených čísel prirodzeným číslom, inak nie je.

Podiel prirodzených čísel Nie vždy existuje prirodzené číslo. Ak pre prirodzené čísla a a b

kde c je prirodzené číslo, znamená to, že a je deliteľné b úplne. V tomto príklade a je dividenda, b je deliteľ, c je kvocient.

Rozdeľovač prirodzené číslo je prirodzené číslo, ktorým je prvé číslo rovnomerne deliteľné.

Každé prirodzené číslo je deliteľné jedným a samo sebou.

Prvočísla prirodzené čísla sú deliteľné iba jedným a samy sebou. Tu je myslené úplne rozdeliť. Príklad, čísla 2; 3; 5; 7 sú deliteľné iba jedným a samy sebou. Toto sú prvočísla prirodzené čísla.

Jednotka sa nepovažuje za prvočíslo.

Čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a nie sú prvočísla, sa nazývajú zložené čísla. Príklady zložené čísla:

Jednotka sa nepovažuje za zložené číslo.

Množina prirodzených čísel je jedna, základné čísla a zložené čísla.

Množinu prirodzených čísel označujeme latinským písmenom N.

Vlastnosti sčítania a násobenia prirodzených čísel:

posunová vlastnosť pridania

kombinačná vlastnosť sčítania

(a + b) + c = a + (b + c);

cestovná multiplikačná vlastnosť

kombinačná vlastnosť násobenia

(ab) c = a (bc);

distribučný majetok násobenie

A (b + c) = ab + ac;

Celé čísla

Celé čísla sú prirodzené čísla, nula a opak prirodzených čísel.

Čísla oproti prirodzeným číslam sú záporné celé čísla, napríklad:

1; -2; -3; -4;...

Množina celých čísel je označená latinským písmenom Z.

Racionálne čísla

Racionálne čísla sú celé čísla a zlomky.

Akékoľvek racionálne číslo môže byť reprezentované ako periodický zlomok. Príklady:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Príklady ukazujú, že akékoľvek celé číslo je periodický zlomok s periódou nula.

Akékoľvek racionálne číslo môže byť reprezentované ako zlomok m / n, kde m je celé číslo číslo, n prirodzenéčíslo. Predstavme si v tvare takého zlomku číslo 3, (6) z predchádzajúceho príkladu.

) sú čísla s kladným alebo záporným znamienkom (celé a zlomkové) a nulou. Presnejší koncept racionálnych čísel znie takto:

Racionálne číslo- číslo, ktoré je reprezentované pravidelným zlomkom m / n kde je čitateľ m Sú celé čísla a menovateľ n- celé čísla, napríklad 2/3.

Nekonečné neperiodické zlomky NIE SÚ zahrnuté v množine racionálnych čísel.

a / b, kde a∈ Z (a patrí k celým číslam), b∈ N (b patrí medzi prirodzené čísla).

Používanie racionálnych čísel v reálnom živote.

V skutočný život množina racionálnych čísel sa používa na počítanie častí niektorých celočíselne deliteľných objektov, Napríklad, koláče alebo iné výrobky, ktoré sú pred použitím rozrezané na kúsky, alebo pre hrubý odhad priestorových vzťahov rozšírených predmetov.

Vlastnosti racionálnych čísel.

Základné vlastnosti racionálnych čísel.

1. Poriadok a a b existuje pravidlo, ktoré umožňuje jednoznačne identifikovať medzi nimi 1-ale len jeden z 3 vzťahov: “<», «>"Alebo" = ". Toto pravidlo je - pravidlo objednávky a sformuluj to takto:

2 kladné čísla a = m a / n a a b = mb/nb súvisí rovnakým vzťahom ako 2 celé čísla m a⋅ n b a m b⋅ n a;
2 záporné čísla a a b súvisia rovnakým vzťahom ako 2 kladné čísla | b | a | a |;
kedy a pozitívne a b- teda negatívny a> b.

∀ a, b∈ Q (a ∨ a> b∨ a = b)

2. Operácia sčítania... Pre všetky racionálne čísla a a b existuje sumačné pravidlo, čo ich dáva do súladu s určitým racionálnym číslom c... Navyše samotné číslo c- to súčetčísla a a b a označuje sa ako (a + b) zhrnutie.

Sumačné pravidlo vyzerá takto:

m a/n a + m b/nb = (m a⋅ nb + mb⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a, b∈ Q∃ ! (a + b)∈ Q

3. Operácia násobenia... Pre všetky racionálne čísla a a b existuje pravidlo násobenia, spája ich s určitým racionálnym číslom c... Volá sa číslo c produktčísla a a b a označujú (a⋅b), a proces hľadania tohto čísla sa nazýva násobenie.

Pravidlo násobenia vyzerá takto: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a, b∈Q ∃ (a⋅b) ∈Q

4. Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľné tri racionálne čísla a, b a c ak a menej b a b menej c, potom a menej c, A keď a rovná sa b a b rovná sa c, potom a rovná sa c.

∀ a, b, c∈ Q (a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Komutatívnosť sčítania... Súčet sa nemení od zmeny v miestach racionálnych pojmov.

∀ a, b∈ Q a + b = b + a

6. Adičná asociativita... Poradie sčítania 3 racionálnych čísel neovplyvňuje výsledok.

∀ a, b, c∈ Q (a + b) + c = a + (b + c)

7. Prítomnosť nuly... Existuje racionálne číslo 0, pri sčítaní zachováva každé druhé racionálne číslo.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Qa + 0 = a

8. Mať opačné čísla... Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo; keď sa sčítajú, ukáže sa, že je 0.

∀ a∈ Q∃ (-a)∈ Qa + (- a) = 0

9. Komutivita násobenia... Produkt sa nemení zo zmeny miest racionálnych faktorov.

∀ a, b∈ Q a⋅ b = b⋅ a

10. Asociativita násobenia... Poradie násobenia 3 racionálnych čísel nemá žiadny vplyv na súčet.

∀ a, b, c∈ Q (a⋅ b)⋅ c = a⋅ (b⋅ c)

11. Dostupnosť jednotky... Existuje racionálne číslo 1, zachováva si každé druhé racionálne číslo v procese násobenia.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Q a⋅ 1 = a

12. Dostupnosť recipročné čísla ... Každé racionálne číslo iné ako nula má inverzné racionálne číslo, ktorého vynásobením dostaneme 1 .

∀ a∈ Q∃ a - 1∈ Q a⋅ a - 1 = 1

13. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie... Operácia násobenia súvisí so sčítaním pomocou distribučného zákona:

∀ a, b, c∈ Q (a + b)⋅ c = a⋅ c + b⋅ c

14. Vzťah objednávky s operáciou sčítania... Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti sa pridá rovnaké racionálne číslo.

∀ a, b, c∈ Q a ⇒ a + c

15. Vzťah objednávky s operáciou násobenia... Ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno vynásobiť rovnakým nezáporným racionálnym číslom.

∀ a, b, c∈ Q c > 0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Archimedova axióma... Bez ohľadu na racionálne číslo a, je ľahké vziať toľko jednotiek, že ich súčet bude väčší a.

Racionálne čísla

Štvrťroky

Poriadok. a a b existuje pravidlo, ktoré umožňuje jednoznačne identifikovať jeden z troch vzťahov medzi nimi: „< », « >"Alebo" = ". Toto pravidlo sa nazýva pravidlo objednávky a je formulovaný takto: dve nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a; dve nekladné čísla a a b súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a; ak náhle a je nezáporná a b- teda negatívny a > b... src = "/ obrázky / wiki / súbory / 57 /.png" border = "0">
Súčet zlomkov
Operácia sčítania. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv sumačné pravidlo c... Navyše samotné číslo c volal súčetčísla a a b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie... Sumárne pravidlo je nasledovné: .
Operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom c... Navyše samotné číslo c volal produktčísla a a b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa tiež nazýva násobenie... Pravidlo násobenia je nasledovné: .
Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľnú trojicu racionálnych čísel a , b a c ak a menej b a b menej c, potom a menej c, A keď a rovná sa b a b rovná sa c, potom a rovná sa c... 6435 "> Komutativita sčítania. Súčet sa nemení od zmeny miesta racionálnych členov.
Adičná asociativita. Poradie sčítania troch racionálnych čísel neovplyvňuje výsledok.
Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré si pri sčítaní zachováva akékoľvek iné racionálne číslo.
Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, keď sa s ním sčíta, dáva 0.
Komutivita násobenia. Produkt sa nemení zo zmeny miest racionálnych faktorov.
Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Dostupnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré si pri vynásobení zachováva akékoľvek iné racionálne číslo.
Prítomnosť recipročných čísel. Každé racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktoré po vynásobení dostane 1.
Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je v súlade s operáciou sčítania pomocou distribučného zákona:
Vzťah objednávky s operáciou sčítania. K ľavej a pravej strane racionálnej nerovnosti možno pridať rovnaké racionálne číslo. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png "border =" 0 ">
Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, môžete si vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne a... src = "/ obrázky / wiki / súbory / 55 /.png" border = "0">

Ďalšie vlastnosti

Src = "/ obrázky / wiki / súbory / 48 /.png" border = "0">

Počítateľnosť množiny

Racionálne číslovanie

Najjednoduchší z týchto algoritmov je nasledujúci. Pre každého je zostavená nekonečná tabuľka bežných zlomkov i-tý riadok v každom j-tý stĺpec, ktorého zlomok sa nachádza. Pre istotu sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené, kde i je číslo riadku tabuľky, v ktorej sa bunka nachádza, a j- číslo stĺpca.

Výslednú tabuľku obíde "had" podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.

Tieto pravidlá sa naskenujú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberie pri prvom zápase.

V procese takéhoto prechodu je každé nové racionálne číslo spojené s nasledujúcim prirodzeným číslom. To znamená, že zlomku 1/1 je priradené číslo 1, zlomku 2/1 číslo 2 atď. Treba poznamenať, že očíslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je rovnosť s jedným z najväčších spoločných deliteľov čitateľa a menovateľa zlomku.

Nedostatok racionálnych čísel

Prepona takéhoto trojuholníka nie je vyjadrená žiadnym racionálnym číslom

Racionálne čísla tvaru 1 / n na slobode n môžete merať ľubovoľne malé množstvá. Táto skutočnosť vytvára klamlivý dojem, že akúkoľvek geometrickú vzdialenosť možno merať racionálnymi číslami. Je ľahké ukázať, že to nie je pravda.

Poznámky (upraviť)

Literatúra

I. Kušnír. Sprievodca matematikou pre školákov. - Kyjev: ASTARTA, 1998 .-- 520 s.
P.S. Alexandrov. Úvod do teórie množín a všeobecnej topológie. - M .: kapitoly. vyd. fyz.-mat. lit. vyd. "Veda", 1977
I. L. Chmelnický. Úvod do teórie algebraických systémov

Odkazy

Nadácia Wikimedia. 2010.

V tomto článku sa začneme učiť racionálne čísla... Tu uvádzame definície racionálnych čísel, uvádzame potrebné vysvetlenia a uvádzame príklady racionálnych čísel. Potom sa pozrime na to, ako určiť, či je dané číslo racionálne alebo nie.

Navigácia na stránke.

Definícia a príklady racionálnych čísel

V tejto podkapitole uvádzame niekoľko definícií racionálnych čísel. Napriek rozdielom vo formulácii majú všetky tieto definície rovnaký význam: racionálne čísla spájajú celé čísla a zlomkové čísla, rovnako ako celé čísla spájajú prirodzené čísla, ich opačné čísla a číslo nula. Inými slovami, racionálne čísla zovšeobecňujú celé a zlomkové čísla.

Začnime s definície racionálnych čísel ktorý je vnímaný najprirodzenejšie.

Zo znejúcej definície vyplýva, že racionálne číslo je:

Akékoľvek prirodzené číslo n. Akékoľvek prirodzené číslo môže byť skutočne reprezentované ako obyčajný zlomok, napríklad 3 = 3/1.
Akékoľvek celé číslo, najmä nula. Akékoľvek celé číslo možno v skutočnosti zapísať buď ako kladný spoločný zlomok, alebo ako záporný spoločný zlomok, alebo ako nulu. Napríklad 26 = 26/1,.
Akýkoľvek zlomok (kladný alebo záporný). Toto je priamo uvedené vo vyššie uvedenej definícii racionálnych čísel.
Akékoľvek zmiešané číslo. Naozaj, vždy si to človek vie predstaviť zmiešané číslo ako nepravidelný zlomok. Napríklad a.
Akýkoľvek konečný desatinný alebo nekonečný periodický zlomok. Dôvodom je skutočnosť, že uvedené desatinné zlomky sú prevedené na bežné zlomky. Napríklad a 0, (3) = 1/3.

Je tiež jasné, že akékoľvek nekonečné neperiodické desiatkový NIE JE to racionálne číslo, pretože ho nemožno reprezentovať ako zlomok.

Teraz môžeme ľahko viesť príklady racionálnych čísel... Čísla 4, 903, 100 321 sú racionálne čísla, pretože sú prirodzené. Celé čísla 58, -72, 0, -833 333 333 sú tiež príklady racionálnych čísel. Bežné zlomky 4/9, 99/3 sú tiež príklady racionálnych čísel. Racionálne čísla sú tiež čísla.

Z uvedených príkladov je zrejmé, že existujú kladné aj záporné racionálne čísla a racionálne číslo nula nie je ani kladné, ani záporné.

Vyššie uvedená definícia racionálnych čísel môže byť formulovaná v stručnejšej forme.

Definícia.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako zlomok z / n, kde z je celé číslo a n je prirodzené číslo.

Dokážme, že táto definícia racionálnych čísel je ekvivalentná predchádzajúcej definícii. Vieme, že za deliaci znak je možné považovať lomku zlomku, potom z vlastností delenia celých čísel a pravidiel pre delenie celých čísel vyplýva platnosť nasledujúcich rovníc a. Tak toto je dôkaz.

Uveďme príklady racionálnych čísel na základe túto definíciu... Čísla −5, 0, 3 a sú racionálne čísla, pretože ich možno zapísať ako zlomky s celým číslom a prirodzeným menovateľom tvaru, resp.

Definíciu racionálnych čísel možno uviesť v nasledujúcej formulácii.

Definícia.

Racionálne čísla Sú čísla, ktoré možno zapísať ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Táto definícia je tiež ekvivalentná prvej definícii, pretože každý obyčajný zlomok zodpovedá konečnému alebo periodickému desatinnému zlomku a naopak a akékoľvek celé číslo môže byť spojené s desatinným zlomkom s nulami za desatinnou čiarkou.

Napríklad čísla 5, 0, −13 sú príklady racionálnych čísel, keďže ich možno zapísať ako nasledujúce desatinné zlomky 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 a −7, (18).

Teóriu tejto časti uzatvárame nasledujúcimi tvrdeniami:

celé a zlomkové čísla (kladné a záporné) tvoria množinu racionálnych čísel;
každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako zlomok s celým číslom a prirodzeným menovateľom a každý takýto zlomok je určitým racionálnym číslom;
každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok a každý takýto zlomok predstavuje nejaké racionálne číslo.

Je toto číslo racionálne?

V predchádzajúcom odseku sme zistili, že každé prirodzené číslo, každé celé číslo, každý obyčajný zlomok, akékoľvek zmiešané číslo, každý konečný desatinný zlomok, ako aj každý periodický desatinný zlomok je racionálne číslo. Táto znalosť nám umožňuje „rozpoznať“ racionálne čísla z množiny zapísaných čísel.

Ale čo ak je číslo dané v tvare nejaké, alebo ako atď., ako odpovedať na otázku, či je dané číslo racionálne? V mnohých prípadoch je veľmi ťažké na ňu odpovedať. Naznačme niekoľko smerov v myšlienkovom slede.

Ak je číslo zadané ako číselný výraz, ktorý obsahuje iba racionálne čísla a znamienka aritmetické operácie(+, -, · a :), potom hodnota tohto výrazu je racionálne číslo. Vyplýva to z toho, ako sú definované akcie s racionálnymi číslami. Napríklad po dokončení všetkých krokov vo výraze dostaneme racionálne číslo 18.

Niekedy po zjednodušení výrazov a pod komplexný druh, je možné určiť, či je dané číslo racionálne.

Poďme ďalej. Číslo 2 je racionálne číslo, pretože každé prirodzené číslo je racionálne. A čo číslo? Je to racionálne? Ukazuje sa, že nie, nie je to racionálne číslo, je to iracionálne číslo (dôkaz tejto skutočnosti protirečením je uvedený v učebnici algebry pre 8. ročníka uvedenej nižšie v zozname literatúry). Aj to bolo dokázané Odmocnina z prirodzeného čísla je racionálne číslo len v tých prípadoch, keď pod odmocninou je číslo, ktoré je druhou mocninou nejakého prirodzeného čísla. Napríklad a sú racionálne čísla, pretože 81 = 9 2 a 1 024 = 32 2 a čísla a nie sú racionálne, pretože čísla 7 a 199 nie sú dokonalé štvorce prirodzených čísel.

Je číslo racionálne alebo nie? V v tomto prípade je ľahké vidieť, že dané číslo je teda racionálne. Je číslo racionálne? Je dokázané, že k-tá odmocnina z celého čísla je racionálne číslo iba vtedy, ak číslo pod znamienkom odmocniny je k-tou mocninou nejakého celého čísla. Preto to nie je racionálne číslo, pretože neexistuje celé číslo, ktorého piata mocnina je 121.

Protirečivá metóda nám umožňuje dokázať, že logaritmy niektorých čísel z nejakého dôvodu nie sú racionálne čísla. Ako príklad ukážme, že to nie je racionálne číslo.

Predpokladajme opak, teda predpokladajme, že ide o racionálne číslo a možno ho zapísať ako obyčajný zlomok m/n. Potom a dajte nasledujúce rovnosti:. Posledná rovnosť je nemožná, pretože na jej ľavej strane je nepárne číslo 5 n a na pravej strane je párne číslo 2 m. Náš predpoklad je teda nesprávny, teda nejde o racionálne číslo.

Na záver treba zvlášť poznamenať, že pri objasňovaní racionality či iracionality čísel sa treba zdržať unáhlených záverov.

Nemali by ste napríklad hneď tvrdiť, že súčin iracionálnych čísel π a e je iracionálne číslo, je to „samozrejmé“, ale nie je dokázané. To vyvoláva otázku: „Prečo by bol produkt racionálnym číslom“? A prečo nie, veď môžete uviesť príklad iracionálnych čísel, ktorých súčin dáva racionálne číslo:.

Nie je tiež známe, či čísla a mnohé ďalšie čísla sú racionálne alebo nie. Napríklad existujú iracionálne čísla, ktorého iracionálny stupeň je racionálne číslo. Pre ilustráciu uvádzame stupeň tvaru, základ daného stupňa a exponent nie sú racionálne čísla, ale, a 3 je racionálne číslo.

Bibliografia.

Matematika. 6. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie. inštitúcie / [N. Ya, Vilenkin a ďalší]. - 22. vydanie, Rev. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 s.: Ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
algebra:štúdium. za 8 cl. všeobecné vzdelanie. inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008 .-- 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov na technické školy): Učebnica. manuál - M .; Vyššie. shk., 1984.-351 s., ill.