Logaritmus čísla 7 so základom 2. Vlastnosti logaritmov a príklady ich riešenia

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdneho poriadku, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Uvádzajú sa hlavné vlastnosti logaritmu, graf logaritmu, oblasť definície, množina hodnôt, základné vzorce, nárast a pokles. Zvažuje sa nájdenie derivácie logaritmu. A tiež integrál, rozšírenie v mocninný rad a reprezentácia pomocou komplexných čísel.

Definícia logaritmu

Logaritmus so základňou a je funkcia y (x) = log x, inverzná k exponenciálnej funkcii so základom a: x (y) = a y.

Desatinný logaritmus je logaritmus k základu čísla 10 : log x ≡ log 10 x.

prirodzený logaritmus je logaritmus k základu e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Graf logaritmu sa získa z grafu exponenciálnej funkcie zrkadlovým odrazom okolo priamky y \u003d x. Vľavo sú grafy funkcie y (x) = log x pre štyri hodnoty základy logaritmu:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 a = 1/8 . Graf ukazuje, že pre > 1 logaritmus sa monotónne zvyšuje. Keď sa x zvyšuje, rast sa výrazne spomalí. O 0 < a < 1 logaritmus je monotónne klesajúci.

Vlastnosti logaritmu

Doména, množina hodnôt, vzostupná, zostupná

Logaritmus je monotónna funkcia, takže nemá žiadne extrémy. Hlavné vlastnosti logaritmu sú uvedené v tabuľke.

doména	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Rozsah hodnôt	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotónne	zvyšuje monotónne	klesá monotónne
Nuly, y= 0	x= 1	x= 1
Priesečníky s osou y, x = 0	Nie	Nie
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Súkromné ​​hodnoty

Volá sa základný 10 logaritmus desiatkový logaritmus a je označený takto:

základný logaritmus e volal prirodzený logaritmus:

Základné logaritmické vzorce

Vlastnosti logaritmu vyplývajúce z definície inverznej funkcie:

Hlavná vlastnosť logaritmov a jej dôsledky

Vzorec na nahradenie bázy

Logaritmus- toto je matematická operácia preberanie logaritmu. Pri logaritmovaní sa súčin faktorov prevedie na súčty členov.

Potencovanie je matematická operácia inverzná k logaritmu. Pri potenciácii sa daný základ pozdvihne na silu výrazu, na ktorom sa potenciácia vykonáva. V tomto prípade sa súčty členov prevedú na súčin faktorov.

Dôkaz základných vzorcov pre logaritmy

Vzorce súvisiace s logaritmami vyplývajú zo vzorcov pre exponenciálne funkcie az definície inverznej funkcie.

Zvážte vlastnosť exponenciálnej funkcie
.
Potom
.
Použite vlastnosť exponenciálnej funkcie
:
.

Dokážme vzorec zmeny bázy.
;
.
Pri nastavení c = b máme:

Inverzná funkcia

Prevrátená hodnota logaritmu základu a je exponenciálna funkcia s exponentom a.

Ak potom

Ak potom

Derivácia logaritmu

Derivácia logaritmu modulo x :
.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov > > >

Ak chcete nájsť deriváciu logaritmu, musíte ho zredukovať na základňu e.
;
.

Integrálne

Integrál logaritmu sa vypočíta integráciou po častiach : .
takže,

Výrazy z hľadiska komplexných čísel

Zvážte funkciu komplexných čísel z:
.
expresné komplexné číslo z cez modul r a argument φ :
.
Potom pomocou vlastností logaritmu máme:
.
Alebo

Avšak, argument φ nie je jasne definovaný. Ak dáme
, kde n je celé číslo,
potom to bude rovnaké číslo pre rôzne n.

Preto logaritmus ako funkcia komplexnej premennej nie je funkciou s jednou hodnotou.

Rozšírenie výkonového radu

Pre rozšírenie sa uskutoční:

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.

Čo je to logaritmus?

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo je to logaritmus? Ako vyriešiť logaritmy? Tieto otázky mätú mnohých absolventov. Tradične sa téma logaritmov považuje za zložitú, nepochopiteľnú a strašidelnú. Najmä - rovnice s logaritmami.

Toto absolútne nie je pravda. Absolútne! neveríš? Dobre. Teraz na 10 - 20 minút:

1. Pochopte čo je logaritmus.

2. Naučte sa riešiť celú triedu exponenciálne rovnice. Aj keď ste o nich ešte nepočuli.

3. Naučte sa počítať jednoduché logaritmy.

Okrem toho budete potrebovať iba poznať tabuľku násobenia a ako sa číslo zvýši na mocninu ...

Cítim, že pochybuješ... No, nechaj si čas! Choď!

Najprv si v duchu vyriešte nasledujúcu rovnicu:

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Ako viete, pri násobení výrazov mocninami sa ich exponenty vždy sčítajú (a b * a c = a b + c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a neskôr, v 8. storočí, vytvoril matematik Virasen tabuľku celočíselných ukazovateľov. Boli to oni, ktorí slúžili na ďalšie objavovanie logaritmov. Príklady použitia tejto funkcie nájdeme takmer všade tam, kde je potrebné zjednodušiť ťažkopádne násobenie na jednoduché sčítanie. Ak strávite 10 minút čítaním tohto článku, vysvetlíme vám, čo sú to logaritmy a ako s nimi pracovať. Jednoduchý a prístupný jazyk.

Definícia v matematike

Logaritmus je vyjadrením nasledujúceho tvaru: log a b=c, teda logaritmus ľubovoľného nezáporného čísla (to znamená akéhokoľvek kladného čísla) "b" podľa jeho základu "a" sa považuje za mocninu "c". “, na ktorý je potrebné zdvihnúť základ „a“, aby nakoniec dostal hodnotu „b“. Analyzujme logaritmus na príkladoch, povedzme, že existuje výraz log 2 8. Ako nájsť odpoveď? Je to veľmi jednoduché, musíte nájsť taký stupeň, aby ste od 2 do požadovaného stupňa dostali 8. Po vykonaní niekoľkých výpočtov vo vašej mysli dostaneme číslo 3! A je to tak správne, pretože 2 na mocninu 3 dáva v odpovedi číslo 8.

Odrody logaritmov

Pre mnohých žiakov a študentov sa táto téma zdá komplikovaná a nepochopiteľná, ale v skutočnosti logaritmy nie sú také strašidelné, hlavnou vecou je pochopiť ich všeobecný význam a zapamätať si ich vlastnosti a niektoré pravidlá. Sú tam tri určité typy logaritmické výrazy:

1. Prirodzený logaritmus ln a, kde základom je Eulerovo číslo (e = 2,7).
2. Desatinné a, kde základ je 10.
3. Logaritmus ľubovoľného čísla b so základom a>1.

Každý z nich je rozhodnutý štandardným spôsobom, ktorá zahŕňa zjednodušenie, redukciu a následnú redukciu na jeden logaritmus pomocou logaritmických viet. Aby ste získali správne hodnoty logaritmov, mali by ste si zapamätať ich vlastnosti a poradie akcií v ich rozhodnutiach.

Pravidlá a určité obmedzenia

V matematike existuje niekoľko pravidiel-obmedzení, ktoré sú akceptované ako axióma, to znamená, že nie sú predmetom diskusie a sú pravdivé. Čísla napríklad nemôžete deliť nulou a nie je možné použiť ani párny koreň záporné čísla. Logaritmy majú tiež svoje pravidlá, podľa ktorých sa ľahko naučíte pracovať aj s dlhými a objemnými logaritmickými výrazmi:

• základ "a" musí byť vždy Nad nulou, a zároveň sa nesmie rovnať 1, inak výraz stratí svoj význam, pretože „1“ a „0“ sa v akomkoľvek stupni vždy rovnajú svojim hodnotám;
• ak a > 0, potom a b > 0, ukáže sa, že "c" musí byť väčšie ako nula.

Ako vyriešiť logaritmy?

Napríklad bola zadaná úloha nájsť odpoveď na rovnicu 10 x \u003d 100. Je to veľmi jednoduché, musíte si vybrať takú silu, zvýšiť číslo desať, na ktoré dostaneme 100. Toto je, samozrejme, 10 2 \u003d 100.

Teraz si predstavme tento výraz ako logaritmický. Dostaneme log 10 100 = 2. Pri riešení logaritmov všetky akcie prakticky konvergujú k zisteniu miery, do akej je potrebné zadať základ logaritmu, aby sme získali dané číslo.

Ak chcete presne určiť hodnotu neznámeho stupňa, musíte sa naučiť pracovať s tabuľkou stupňov. Vyzerá to takto:

Ako vidíte, niektoré exponenty sa dajú uhádnuť intuitívne, ak máte technické myslenie a znalosti násobilky. Väčšie hodnoty však budú vyžadovať tabuľku výkonu. Využiť ho môžu aj tí, ktorí v zložitých matematických témach nerozumejú vôbec ničomu. Ľavý stĺpec obsahuje čísla (základ a), horný rad čísel je hodnota mocniny c, na ktorú je číslo a umocnené. Na priesečníku buniek sa určia hodnoty čísel, ktoré sú odpoveďou (a c = b). Zoberme si napríklad úplne prvú bunku s číslom 10 a odmocnime ju, dostaneme hodnotu 100, ktorá je naznačená na priesečníku našich dvoch buniek. Všetko je také jednoduché a ľahké, že to pochopí aj ten najskutočnejší humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje sa, že kedy určité podmienky Exponent je logaritmus. Preto akékoľvek matematické numerické výrazy možno zapísať ako logaritmickú rovnicu. Napríklad 3 4 = 81 možno zapísať ako logaritmus 81 k základu 3, čo je štyri (log 3 81 = 4). Pre záporné mocniny sú pravidlá rovnaké: 2 -5 = 1/32 zapíšeme ako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z najfascinujúcejších častí matematiky je téma „logaritmov“. Príklady a riešenia rovníc zvážime o niečo nižšie, hneď po preštudovaní ich vlastností. Teraz sa pozrime, ako vyzerajú nerovnosti a ako ich odlíšiť od rovníc.

Je daný výraz v nasledujúcom tvare: log 2 (x-1) > 3 - ide o logaritmickú nerovnosť, keďže neznáma hodnota "x" je pod znamienkom logaritmu. A tiež vo výraze sa porovnávajú dve veličiny: logaritmus požadovaného čísla v základe dva je väčší ako číslo tri.

Najdôležitejší rozdiel medzi logaritmickými rovnicami a nerovnosťami je v tom, že rovnice s logaritmami (napríklad logaritmus 2 x = √9) zahŕňajú jednu alebo viac konkrétnych číselných hodnôt v odpovedi, zatiaľ čo pri riešení nerovností sú definované ako oblasť povolené hodnoty a body diskontinuity tejto funkcie. V dôsledku toho odpoveď nie je jednoduchá množina jednotlivých čísel ako v odpovedi rovnice, ale súvislý rad alebo množina čísel.

Základné vety o logaritmoch

Pri riešení primitívnych úloh pri hľadaní hodnôt logaritmu nemusia byť jeho vlastnosti známe. Pokiaľ však ide o logaritmické rovnice alebo nerovnice, v prvom rade je potrebné jasne pochopiť a prakticky aplikovať všetky základné vlastnosti logaritmov. S príkladmi rovníc sa zoznámime neskôr, najprv si každú vlastnosť podrobnejšie rozoberieme.

1. Základná identita vyzerá takto: a logaB =B. Platí len vtedy, ak a je väčšie ako 0, nerovná sa 1 a B je väčšie ako nula.
2. Logaritmus súčinu môže byť vyjadrený v nasledujúcom vzorci: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. predpokladom je: d, s1 a s2 > 0; a≠1. Môžete poskytnúť dôkaz pre tento vzorec logaritmov s príkladmi a riešením. Nech log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, potom a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupňov ), a ďalej podľa definície: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, čo sa malo dokázať.
3. Logaritmus kvocientu vyzerá takto: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Veta vo forme vzorca nadobúda ďalší pohľad: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec sa nazýva "vlastnosť stupňa logaritmu". Pripomína vlastnosti bežných stupňov a nie je to prekvapujúce, pretože celá matematika spočíva na pravidelných postulátoch. Pozrime sa na dôkaz.

Nechaj log a b \u003d t, ukáže sa t \u003d b. Ak zdvihnete obe časti na mocninu m: a tn = b n ;

ale keďže a tn = (a q) nt/q = b n , teda log a q b n = (n*t)/t, potom log a q b n = n/q log a b. Veta bola dokázaná.

Príklady problémov a nerovností

Najbežnejšími typmi logaritmických problémov sú príklady rovníc a nerovníc. Nachádzajú sa takmer vo všetkých problémových knihách a sú zahrnuté aj v povinnej časti skúšok z matematiky. Na vstup na univerzitu alebo absolvovanie vstupných testov z matematiky musíte vedieť, ako takéto úlohy správne riešiť.

Bohužiaľ neexistuje jediný plán alebo schéma na riešenie a určenie neznámej hodnoty logaritmu, avšak každá matematická nerovnosť alebo logaritmická rovnica sa dá použiť. určité pravidlá. Najprv by ste mali zistiť, či sa výraz dá zjednodušiť alebo zredukovať všeobecný pohľad. Dlhé logaritmické výrazy môžete zjednodušiť, ak správne použijete ich vlastnosti. Poďme sa s nimi čoskoro zoznámiť.

Pri riešení logaritmických rovníc je potrebné určiť, aký logaritmus máme pred sebou: príklad výrazu môže obsahovať prirodzený logaritmus alebo desiatkový.

Tu sú príklady ln100, ln1026. Ich riešenie sa scvrkáva na skutočnosť, že musíte určiť, do akej miery sa základ 10 bude rovnať 100 a 1026. Pre riešenia prirodzených logaritmov je potrebné použiť logaritmické identity alebo ich vlastnosti. Pozrime sa na príklady riešenia logaritmických problémov rôznych typov.

Ako používať logaritmické vzorce: s príkladmi a riešeniami

Pozrime sa teda na príklady použitia hlavných teorémov na logaritmy.

1. Vlastnosť logaritmu súčinu sa dá využiť v úlohách, kde je potrebné expandovať veľký významčísla b do jednoduchších faktorov. Napríklad log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpoveď je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ako vidíte, pomocou štvrtej vlastnosti stupňa logaritmu sa nám podarilo vyriešiť na prvý pohľad zložitý a neriešiteľný výraz. Je potrebné iba faktorizovať základ a potom odobrať hodnoty exponentov zo znamienka logaritmu.

Úlohy zo skúšky

Logaritmy sa často vyskytujú pri prijímacích skúškach, najmä veľa logaritmických problémov pri skúške ( Štátna skúška pre všetkých absolventov stredných škôl). Zvyčajne sú tieto úlohy prítomné nielen v časti A (najľahšia testovacia časť skúšky), ale aj v časti C (najťažšie a najobsiahlejšie úlohy). Skúška vyžaduje presné a dokonalé poznanie téma "Prirodzené logaritmy".

Príklady a riešenia problémov sú prevzaté z oficiálnych stránok POUŽÍVAŤ možnosti. Pozrime sa, ako sa takéto úlohy riešia.

Daný log 2 (2x-1) = 4. Riešenie:
prepíšme výraz, trochu ho zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2 , definíciou logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4 , teda 2x = 17; x = 8,5.

• Všetky logaritmy je najlepšie zredukovať na rovnaký základ, aby riešenie nebolo ťažkopádne a mätúce.
• Všetky výrazy pod znamienkom logaritmu sú označené ako kladné, preto pri vyberaní exponentu exponentu výrazu, ktorý je pod znamienkom logaritmu a ako jeho základu, musí byť výraz zostávajúci pod logaritmom kladný.

\(a^(b)=c\) \(\šípka doľava\) \(\log_(a)(c)=b\)

Poďme si to vysvetliť jednoduchšie. Napríklad \(\log_(2)(8)\) sa rovná výkonu, na ktorý sa \(2\) musí zvýšiť, aby ste dostali \(8\). Z toho je jasné, že \(\log_(2)(8)=3\).

Príklady:		\(\log_(5)(25)=2\)		pretože \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		pretože \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		pretože \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument a základ logaritmu

Každý logaritmus má nasledujúcu „anatómiu“:

Argument logaritmu sa zvyčajne zapisuje na jeho úrovni a základňa sa píše dolným indexom bližšie k znamienku logaritmu. A tento záznam sa číta takto: "logaritmus dvadsaťpäť na základ päť."

Ako vypočítať logaritmus?

Ak chcete vypočítať logaritmus, musíte odpovedať na otázku: Do akej miery by sa mala základňa zvýšiť, aby ste dostali argument?

Napríklad, vypočítajte logaritmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7)\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na akú mocninu treba zvýšiť \(4\), aby ste dostali \(16\)? Očividne to druhé. Preto:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na akú mocninu sa musí zvýšiť \(\sqrt(5)\), aby sme dostali \(1\)? A aký stupeň robí z akéhokoľvek čísla jednotku? Nula, samozrejme!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na akú mocninu sa musí zvýšiť \(\sqrt(7)\), aby sme dostali \(\sqrt(7)\)? V prvom - akékoľvek číslo v prvom stupni sa rovná sebe.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na akú mocninu sa musí zvýšiť \(3\), aby sme dostali \(\sqrt(3)\)? Z toho vieme, že ide o zlomkovú mocnosť, čo znamená Odmocnina je stupeň \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Príklad : Vypočítajte logaritmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Riešenie :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Musíme nájsť hodnotu logaritmu, označme ho ako x. Teraz použijeme definíciu logaritmu: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Šípka doľava\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Aké odkazy sú \(4\sqrt(2)\) a \(8\)? Dve, ​​pretože obe čísla môžu byť reprezentované dvojkami: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Vľavo používame vlastnosti stupňov: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) a \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Základy sú rovnaké, pristúpime k rovnosti ukazovateľov
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Vynásobte obe strany rovnice pomocou \(\frac(2)(5)\)
		Výsledný koreň je hodnota logaritmu

Odpoveď : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Prečo bol logaritmus vynájdený?

Aby sme to pochopili, vyriešme rovnicu: \(3^(x)=9\). Stačí priradiť \(x\), aby rovnosť fungovala. Samozrejme, \(x=2\).

Teraz vyriešte rovnicu: \(3^(x)=8\). rovná sa x? To je podstata.

Tí najdômyselnejší povedia: "X je o niečo menej ako dva." Ako presne sa má toto číslo zapísať? Na zodpovedanie tejto otázky prišli s logaritmom. Vďaka nemu tu môže byť odpoveď napísaná ako \(x=\log_(3)(8)\).

Chcem zdôrazniť, že \(\log_(3)(8)\), ako aj každý logaritmus je len číslo. Áno, vyzerá to nezvyčajne, ale je to krátke. Lebo keby sme to chceli napísať do formulára desatinný zlomok, potom by to vyzeralo takto: \(1.892789260714.....\)

Príklad : Vyriešte rovnicu \(4^(5x-4)=10\)

Riešenie :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) a \(10\) nemožno zredukovať na rovnaký základ. Takže tu sa bez logaritmu nezaobídete. Použime definíciu logaritmu: \(a^(b)=c\) \(\šípka doľava\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Otočte rovnicu tak, aby x bolo vľavo
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Pred nami. Presuňte \(4\) doprava. A nebojte sa logaritmu, zaobchádzajte s ním ako s normálnym číslom.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Rozdeľte rovnicu číslom 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Tu je náš koreň. Áno, vyzerá to nezvyčajne, ale odpoveď nie je vybraná.

Odpoveď : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Desatinné a prirodzené logaritmy

Ako je uvedené v definícii logaritmu, jeho základňa môže byť ľubovoľná kladné číslo, okrem jednotky \((a>0, a\neq1)\). A medzi všetkými možné dôvody sú dva, ktoré sa vyskytujú tak často, že pre logaritmy s nimi bol vynájdený špeciálny krátky zápis:

Prirodzený logaritmus: logaritmus, ktorého základom je Eulerovo číslo \(e\) (rovná sa približne \(2,7182818…\)) a logaritmus sa zapíše ako \(\ln(a)\).

teda \(\ln(a)\) je to isté ako \(\log_(e)(a)\)

Desatinný logaritmus: Logaritmus, ktorého základ je 10, sa zapíše \(\lg(a)\).

teda \(\lg(a)\) je to isté ako \(\log_(10)(a)\), kde \(a\) je nejaké číslo.

Základná logaritmická identita

Logaritmy majú veľa vlastností. Jeden z nich sa nazýva „Základná logaritmická identita“ a vyzerá takto:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Táto vlastnosť vyplýva priamo z definície. Pozrime sa, ako presne sa tento vzorec objavil.

Spomeňme si krátka poznámka definície logaritmu:

ak \(a^(b)=c\), potom \(\log_(a)(c)=b\)

To znamená, že \(b\) je to isté ako \(\log_(a)(c)\). Potom môžeme vo vzorci \(a^(b)=c\) namiesto \(b\) napísať \(\log_(a)(c)\) . Ukázalo sa, že \(a^(\log_(a)(c))=c\) - hlavná logaritmická identita.

Môžete nájsť zvyšok vlastností logaritmov. S ich pomocou môžete zjednodušiť a vypočítať hodnoty výrazov pomocou logaritmov, ktoré je ťažké vypočítať priamo.

Príklad : Nájdite hodnotu výrazu \(36^(\log_(6)(5))\)

Riešenie :

Odpoveď : \(25\)

Ako napísať číslo ako logaritmus?

Ako bolo uvedené vyššie, každý logaritmus je len číslo. Platí to aj naopak: ľubovoľné číslo možno zapísať ako logaritmus. Napríklad vieme, že \(\log_(2)(4)\) sa rovná dvom. Potom môžete namiesto dvoch napísať \(\log_(2)(4)\).

Ale \(\log_(3)(9)\) sa tiež rovná \(2\), takže môžete písať aj \(2=\log_(3)(9)\) . Podobne s \(\log_(5)(25)\) as \(\log_(9)(81)\) atď. To znamená, že sa ukazuje

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Ak teda potrebujeme, môžeme dvojku zapísať ako logaritmus s ľubovoľným základom kdekoľvek (dokonca aj v rovnici, dokonca aj vo výraze, dokonca aj pri nerovnosti) - ako argument napíšeme základ na druhú.

Rovnako je to aj s trojkou – možno ju zapísať ako \(\log_(2)(8)\), alebo ako \(\log_(3)(27)\), alebo ako \(\log_(4)( 64) \) ... Tu napíšeme základ v kocke ako argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

A so štyrmi:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

A s mínusom jedna:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\)\(...\)

A s jednou tretinou:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Akékoľvek číslo \(a\) môže byť vyjadrené ako logaritmus so základom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Príklad : Nájdite hodnotu výrazu \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Riešenie :

Odpoveď : \(1\)

Návrat